高等数学第四节 反常积分
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高数54反常积分
区间可加性
对于两个相邻的无穷区间或瑕点区间，其反常积分可以拆分为两个单独的反常积分进行 计算。
绝对收敛与条件收敛
对于无穷积分和瑕积分，如果其绝对值积分收敛，则称该反常积分绝对收敛；如果原积 分收敛但绝对值积分发散，则称该反常积分条件收敛。
04
反常积分的收敛与发散
收敛性判断
01
02
03
柯西准则
比较判别法
高数54反常积分
• 引言 • 反常积分的类型与判断 • 反常积分的计算与性质 • 反常积分的收敛与发散 • 反常积分的应用举例 • 总结与展望
01
引言
反常积分的定义与性质
无界函数的反常积分
如果函数在积分区间内的某点或某段上无界，则称此 积分为无界函数的反常积分，也称为瑕积分。
无穷区间的反常积分
或无穷区间上进行积分的情况。研究反常积分有助于解决这些实际问题。
03
推动相关学科发展
反常积分与微分方程、复变函数等学科密切相关，研究反常积分有助于
推动这些相关学科的发展。
02
反常积分的类型与判断
无穷积分
定义
无穷积分是反常积分的一种，指 含有无穷上限或下限的积分，或 被积函数中含有无穷大的积分。
性质
研究成果总结
01
反常积分理论体系的 完善
通过对反常积分的深入研究，完善了 其理论体系，包括了对反常积分的定 义、性质、收敛性等方面的系统阐述 。
02
求解方法的创新
针对不同类型的反常积分，提出了多 种有效的求解方法，如分部积分法、 变量替换法、留数定理等，这些方法 在解决实际问题中具有重要的应用价 值。
瑕积分的计算方法
对于瑕积分，通常采用换元法或分部积分法将其转化为普通定 积分进行计算。在计算过程中，需要注意瑕点的处理以及积分
对于两个相邻的无穷区间或瑕点区间，其反常积分可以拆分为两个单独的反常积分进行 计算。
绝对收敛与条件收敛
对于无穷积分和瑕积分，如果其绝对值积分收敛，则称该反常积分绝对收敛；如果原积 分收敛但绝对值积分发散，则称该反常积分条件收敛。
04
反常积分的收敛与发散
收敛性判断
01
02
03
柯西准则
比较判别法
高数54反常积分
• 引言 • 反常积分的类型与判断 • 反常积分的计算与性质 • 反常积分的收敛与发散 • 反常积分的应用举例 • 总结与展望
01
引言
反常积分的定义与性质
无界函数的反常积分
如果函数在积分区间内的某点或某段上无界，则称此 积分为无界函数的反常积分，也称为瑕积分。
无穷区间的反常积分
或无穷区间上进行积分的情况。研究反常积分有助于解决这些实际问题。
03
推动相关学科发展
反常积分与微分方程、复变函数等学科密切相关，研究反常积分有助于
推动这些相关学科的发展。
02
反常积分的类型与判断
无穷积分
定义
无穷积分是反常积分的一种，指 含有无穷上限或下限的积分，或 被积函数中含有无穷大的积分。
性质
研究成果总结
01
反常积分理论体系的 完善
通过对反常积分的深入研究，完善了 其理论体系，包括了对反常积分的定 义、性质、收敛性等方面的系统阐述 。
02
求解方法的创新
针对不同类型的反常积分，提出了多 种有效的求解方法，如分部积分法、 变量替换法、留数定理等，这些方法 在解决实际问题中具有重要的应用价 值。
瑕积分的计算方法
对于瑕积分，通常采用换元法或分部积分法将其转化为普通定 积分进行计算。在计算过程中，需要注意瑕点的处理以及积分
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
高等数学@5-4反常积分
( x)dx
发散
.
y f (x)
s
a
b
x
b
定义
b
f ( x)dx lim f ( x)dx .
a a
右端极限存在,
则称 反 广常 义积分
b
f
( x)dx
收敛
,
否则
,
则称
b
f
( x)dx
发散
.
2
f ( x)dx
定义
0
f ( x)dx
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)
f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
(a 0)
解.
x
3a 是
x 3a2
x
2
的无穷间断点
.
3a x dx
0
3a2 x2
( 3a)
3a2 x2
0
(0 3a) 3a . #
上限 (
3 a)
代入的含义是
lim
x( 3 a)
3a2 x2 .
13
例6.
1 1 1 x
解:
[ arctan x ]|0
[ arctan x ]|
0 22
思考:
分析:
原积分发散 !
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
解
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
《反常积分课件》课件
对函数f(x)在[a, b]上，当b->+∞或a->-∞时，求极 限∫f(x)dx。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
瑕点在积分区间内的反常 积分定义为
对函数f(x)在[a, b]上，当存在c∈(a,b)使得 f(c)=∞时，求极限∫f(x)dx。
反常积分的分类
无穷区间上的反常积分分为两种：发 散和收敛。
瑕点在积分区间内的反常积分也分为 两种：瑕积分发散、瑕积分收敛。
03
CATALOGUE
反常积分的收敛性判断
收敛性的定义
收敛性的定义
一个反常积分 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 或 $int_{-infty}^{b} f(x) dx$ 在实数轴上的极 限存在时，称该反常积分是收敛的。
收敛与发散
如果反常积分存在极限，则称该反常积分是收敛的；否则，称该反常积分是发散的。
CATALOGUE
反常积分在数学分析中的地位和作用
在数学分析中的地位
反常积分是数学分析中一个重要的概念，它是对经典积分的扩展，使得积 分理论更加完整和广泛。
反常积分在解决一些经典积分无法处理的问题时发挥了关键作用，为数学 分析提供了更强大的工具。
反常积分是实数完备性的重要组成部分，对于实数理论的完善和发展具有 重要意义。
收敛与无穷小
当 $f(x)$ 在 $x to infty$ 或 $x to -infty$ 时，如果 $f(x)$ 是无穷小量，则反常积分 可能收敛。
收敛性的判断方法
判断方法一
判断方法二
判断方法三
通过比较判别法来判断反常积分的收 敛性。如果 $f(x) leq g(x)$ 且 $int_{a}^{infty} g(x) dx$ 是收敛的， 那么 $int_{a}^{infty} f(x) dx$ 也一定 是收敛的。
高等数学上5.4反常积分
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P260
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ;
提示: 提示 P260 题2 +∞ +∞ d(lnx) dx d(ln x ∫2 x (ln x)k = ∫2 (ln x)k +∞ dx 1 = 当k > 1时 I (k) = ∫2 , k x (ln x) (k −1)(ln 2)k −1
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1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 ( x − 1) + 2 x
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
P260
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作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2;
y=
1 x2
A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
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定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义
b→ +∞
lim ∫ f ( x )d x
a
b
无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作
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首页
2. 试证 解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞
P260
作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; ;
提示: 提示 P260 题2 +∞ +∞ d(lnx) dx d(ln x ∫2 x (ln x)k = ∫2 (ln x)k +∞ dx 1 = 当k > 1时 I (k) = ∫2 , k x (ln x) (k −1)(ln 2)k −1
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1 = ∫ 2
1 +1 +∞ x2 0 1 + x2 x2
dx
1 +∞ 1 1 = ∫ d (x − ) 2 2 0 ( x − 1) + 2 x
x
=
1 2 2
arctan
x−1 x 2
+∞ 0+
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作业 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2;
y=
1 x2
A
1
b
1− 1 = lim =1 b→+∞ b
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定义1. 设 f (x) ∈C[a, + ∞) , 取b > a, 若 定义
b→ +∞
lim ∫ f ( x )d x
a
b
无穷限反常积分 反常积分, 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分 记作
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2. 试证 解:
∫0
+∞
dx x d x , 并求其值 . =∫ 4 4 0 1+ x 1+ x
令 t =1 x
+∞
+∞
高等数学5.4反常积分
b b a
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
这时也称反常积分
a
f x dx 收敛
如果上述极限不存在，则称反常积分 发散．
a
f x dx
设函数 f x 在区间 , b 上连续，如果 类似地，
f x dx，（a b）存在，则称此极限为函数 极限 alim a
b
f x 在无穷区间
解法二：利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点 为心的对称区间的特性，得 xdx A xdx 因此积分收敛. lim 0 0， 2 1 x 2 Alim A 1 x A 我们说，上述两种方法都是错误的.
例2计算积分
-
一、无穷限的反常积分
定义1 设函数 f x 在区间 a , 上连续， 取b>a，
f x f x dx 则称此极限为函数 存在， 如果极限 blim a
b
在无穷区间 a , 上的反常积分，记作 即
a
f x dx，
a
f x dx lim f x dx .
类似可记 注: 式子
b
f x dx lim F x . F x F b x
b
lim F x lim F x f x dx F x x x
c
lim f x dx
b b
c a
lim f x dx .
这时也称反常积分
第五章 积分 5-4 反常积分
b
1
t (x a) p d x
|
1 1
p
(x
a) 1
p
b
,
t
p1 ,
|
ln
(x
a)
b
,
t
p1
《高等数学》课件 (第五章第四节)
所以
b
1
lim
ta
t
(x a) p d x
1 (b a) 1 p , 1 p ,
p1 p1,
,
p1
所以, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散. 类似地, 反常积分 (1) 当 p < 1 时收敛, p 1时发散.
《高等数学》课件 (第五章第四节)
5.4.1 无限区间上的反常积分 y
考虑由直线 x = a, y = 0 和曲线
y = f (x) ( 0) 围成的平面无穷区域
f (x)
的面积 A.
x Oa
视面积 A 为有限区域 0 y f (x), y
a x b 面积 A b
b f ( x) d x 的极限,
xa _
a 为 f (x) 的奇点或暇点. 同样若函数 f (x) 在 a < 0 附近有定义,
且 lim f (x) , 则称 x a 为 f (x) 的奇点或暇点.
xa
定义 5-4 设函数 y = f (x) 在 [a, b) 连续, b 是 f 的奇点, 若
t
lim f ( x) d x
0
解
In
x ne x d x
0
x n d e x
0
| x n e x
n
x n1 e x d x
《反常积分初步》课件
反常积分的应用
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
04
CATALOGUE
在概率论与数理统计中，反常积分用于计算概率密度函数和累积分布函数等。
概率论与数理统计
在复变函数中，反常积分用于计算复函数的积分和级数展开等。
复变函数
在微分方程中，反常积分用于求解初值问题和边值问题等。
微分方程
信号处理
控制系统
材料科学
反常积分的扩展知识
05
详细描述
在无穷区间上的反常积分，其积分上限或下限可能趋于无穷。这种情况下，我们需要考虑如何处理无穷大或无穷小的量，以及如何确定积分的值。
总结词：无界函数的反常积分是指被积函数在积分区间内无界的情况。
总结词：含参变量的反常积分是指被积函数中含有参数的情况。
详细描述：含参变量的反常积分是反常积分的一种复杂类型。在这种情况下，被积函数中的参数可能会影响积分的值。因此，我们需要仔细分析参数的变化对积分的影响。
反常积分可积的条件
被积函数在积分区间上连续或具有有限个第一类间断点时，反常积分可能可积。
反常积分可积的判断方法
通过定积分存在的充分条件、定积分存在的必要条件等方法判断反常积分的可积性。
03
02
01
反常积分的计算方法
03
CATALOGUE
03
微分法
通过积分函数的微分性质，将反常积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
反常积分的性质
02
CATALOGUE
反常积分收敛的定义
如果反常积分在某个区间上的积分值存在，则称该反常积分在该区间上收敛。
反常积分收敛的判断方法
通过比较测试、Cauchy收敛定理等方法判断反常积分的收敛性。
反常积分收敛的条件
当被积函数在积分区间上非负或单调递减时，反常积分可能收敛。
高等数学第四节反常积分-精品文档
2. ( 1 0 ) ( 0 1 )
dx arctan x 1 x2
. 2 2
3
(k0 ) 例 2 .I x dx e sin
0
kx
kx 1 e cos x
D ekx
第四节 反常积分
P 250
a
f (x)dx lim ) dx . f(x
a b
定义
b
右端极限存在 , 则称 反常积分 ( x ) dx 收敛 , 广义积分 f
a
否则 ,则称 ( x ) dx 发散 . f
a
y f( x )
b 此曲边梯形右端无限延 伸 ,其面积 s为有限值 .
y f( x )
a
y f( x )
s b s
s
b
f(x )dx
x
s
f(x )dx
2
a
b
x
例 1 .
e
x
0 x dx edx ex dx 0
x0 x e e 0
0 x x 0 e lim e lim e e x x
a 0 3
0
( 0 3 a ) 3 a .#
2 2 上限 a 代入的含义 lim 3 a x . 3 x 0 3
9
a
1 1 例 6 . dx ln x 0 . x 1 1
1
错 !
1
忽视了 x0是被积函数的无穷间 点 .
dx arctan x 1 x2
. 2 2
3
(k0 ) 例 2 .I x dx e sin
0
kx
kx 1 e cos x
D ekx
第四节 反常积分
P 250
a
f (x)dx lim ) dx . f(x
a b
定义
b
右端极限存在 , 则称 反常积分 ( x ) dx 收敛 , 广义积分 f
a
否则 ,则称 ( x ) dx 发散 . f
a
y f( x )
b 此曲边梯形右端无限延 伸 ,其面积 s为有限值 .
y f( x )
a
y f( x )
s b s
s
b
f(x )dx
x
s
f(x )dx
2
a
b
x
例 1 .
e
x
0 x dx edx ex dx 0
x0 x e e 0
0 x x 0 e lim e lim e e x x
a 0 3
0
( 0 3 a ) 3 a .#
2 2 上限 a 代入的含义 lim 3 a x . 3 x 0 3
9
a
1 1 例 6 . dx ln x 0 . x 1 1
1
错 !
1
忽视了 x0是被积函数的无穷间 点 .
高等数学B教学课件：反常积分
例3. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
ln x
a
当 p ≠ 1 时有
x1 p 1 p
a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
b
a
(
dx xa)q
当q1时
收敛；当q1时
发散。
3
例 9．计算广义积分： 2 1
2
dx . x x2
解：∵ lim
x1
∵
1
1
2
1 ， ∴ x1 是瑕点。
x x2
dx lim 11
x x2 10 1
2
d(x1) 2
(1)2 (x 1)2
2
2
lim arcsin(2x1)
10
11
1 2
, 2
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
4
引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
1
1 1
x
lim arcsinx 1 lim [arcsin(1)0] arcsin1 .
0
0 0
2
它的几何解释是：由曲线 y 1 ，x 轴, y 轴及
第四节反常积分
xa
1 1q
(x
a)1q
1 (b a)1q 1q
,q 1
,q 1
b a
(x
1 a)q
dx
收敛，且其值为 1 1q
发散
(b
a )1 q
,q 1 ,q 1
类似地，有
b a
1 (b x)q
dx
收敛，且其值为 1 1q
发散
(b a)1q
,q 1 ,q 1
例8 讨论反常积分 2 dx 的收敛性 1 x ln x
设x a为 f ( x) 的 瑕 点, 在(a, b]上F'( x) f ( x), 则反常积分
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
lim[F(b) F(t)] t a
F(b) lim F(t) t a
F(b) F(a )
[F ( x)]ba
b a
f
( x)dx
( )
x
x
2
2
f
(
x)
1
1 x
2
上述反常积分表示： 曲线无限延伸与x 轴所围图形 的面积。
例2
计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
(
sin
1 x
)d
1 x
cos
1 x 2
lim cos 1 cos
x
x
2
10 1
例3
证明反常积分 1
1 dx 0 x2
0 1
dx x2
[
1 x
1 1q
(x
a)1q
1 (b a)1q 1q
,q 1
,q 1
b a
(x
1 a)q
dx
收敛，且其值为 1 1q
发散
(b
a )1 q
,q 1 ,q 1
类似地，有
b a
1 (b x)q
dx
收敛，且其值为 1 1q
发散
(b a)1q
,q 1 ,q 1
例8 讨论反常积分 2 dx 的收敛性 1 x ln x
设x a为 f ( x) 的 瑕 点, 在(a, b]上F'( x) f ( x), 则反常积分
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
lim[F(b) F(t)] t a
F(b) lim F(t) t a
F(b) F(a )
[F ( x)]ba
b a
f
( x)dx
( )
x
x
2
2
f
(
x)
1
1 x
2
上述反常积分表示： 曲线无限延伸与x 轴所围图形 的面积。
例2
计算反常积分
2
1 x2
sin
1 x
dx.
解
2
1 x2
sin
1 x
dx
2
(
sin
1 x
)d
1 x
cos
1 x 2
lim cos 1 cos
x
x
2
10 1
例3
证明反常积分 1
1 dx 0 x2
0 1
dx x2
[
1 x
高等数学 第五章 定积分 第四节 反常积分
= 2 ∫0 f ( t )dt ;
a
a
f ( x )dx
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( − t ) = − f ( t ),
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
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a
0
a
f ( x )dx = 0.
结束
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例6 计算 ∫−1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1− x
相应的改变.
（2） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把Φ (t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限 分别代入Φ ( t ) 然后相减就行了.
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返回
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例1 计算 ∫ 解
π 2
0
cos 5 x sin xdx .
= 4 − π.
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1
1 − x dx
2
单位圆的面积
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结束
例 7 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明 （1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ;
π 2 0 π 2 0
(sin x )
5 2
3 2
π 2
d sin x − ∫π (sin x ) d sin x
2
2 π
3 2
2 = (sin x ) 5
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2 − (sin x ) 5
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5 π 2
π 2
4 = . 5
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a
a
f ( x )dx
② f ( x ) 为奇函数，则 f ( − t ) = − f ( t ),
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
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a
f ( x )dx = 0.
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例6 计算 ∫−1
1
2 x 2 + x cos x dx . 2 1+ 1− x
相应的改变.
（2） 求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数Φ (t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把Φ (t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量 t 的上、下限 分别代入Φ ( t ) 然后相减就行了.
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例1 计算 ∫ 解
π 2
0
cos 5 x sin xdx .
= 4 − π.
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1 − x dx
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单位圆的面积
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例 7 若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明 （1） ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx ;
π 2 0 π 2 0
(sin x )
5 2
3 2
π 2
d sin x − ∫π (sin x ) d sin x
2
2 π
3 2
2 = (sin x ) 5
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π 2
4 = . 5
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高等数学第四节 反常积分
F() lim F(x),F() lim F(x).
x
x
则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为
a
f
(x)dx
F(
x)
a
F(
)F(a)，
b f (x)dx F(x)b F(b)F( )，
f
(x)dx
F(
x)
F() F() .
例 2
求
0
11x2dx.
解
0
1 1 x2
dx
arctaxn0
b
l i m f(x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的反常积分，记作
a f(x)dx,
即
b
f(x)d xlim f(x)d x.
a
b a
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b， 如果极限
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上
的反常积分，记作
b
a
f
(x)limf(x)dx.
a
e 0 ae
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 5 设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续，
且 limf(x), 取 e > 0 ，如果极限 xb be lim f(x)dx. e0 a
F(b)limF(x).F(c)lim F(x)或 F(c)l i m F(x).
x b
x c
x c
则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为
b f (x)dx F(x)bF(b)F(a)
e的-x次方的反常积分
e的-x次方的反常积分
反常积分是高等数学领域研究的重要领域，它能够为我们提供各种重要的结果，如特殊数列的求解。
在本文中，我们将讨论有关求解e的-x次方的反常积分的问题。
我们首先需要介绍一下什么是反常积分？反常积分是指当反常积分函数变化很快时，普通积分无法求出准确的结果，只能用反常积分法进行计算。
接下来，我们来看看如何求解e的-x次方的反常积分。
由于e的-x次方的函数变化很快，
普通积分无法求出准确的结果，所以我们需要使用反常积分来求解这个问题。
为了求解e的-x次方的反常积分，我们首先需要对原函数进行转换，可以使用对数函数对原函数进行替换，记作f(x)。
在对原函数进行转换后，我们可以将原本复杂的反常积分问题简化成一个普通的一元积分。
求解结果可从原函数和其对数函数的差异中找到。
因此，e的-x次方的反常积分的求解的计算步骤就是：首先，将函数转换成对数函数，然
后利用普通一元积分方法求出对数函数的积分，最后，从对数函数和原本函数的差异中找到原本函数的积分结果。
以上就是关于求解e的-x次方的反常积分的内容，通过本文的讨论，我们可以看到，求解反常积分并不是一件难事，只要稍加注意，就可以得到准确的结果。
高等数学课件D5_4反常积分
为瑕点(奇点) .
设 F(x) 是 f (x)的原函数 , 则也有类似牛 – 莱公式的
计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F
(b
)
F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F (b)
F(a )
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
(x)
dx
F (b )
F(a )
注意: 若瑕点 c (a,b), 则
例6. 证明反常积分
b dx a (x a)q 当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证:
当
q
=
1
时,
b
a
dx xa
ln
xa
b a
当 q≠1 时
b dx a (x a)q
(x a)1q 1 q
b
a
(b a)1q 1 q
,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
第四节 反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
一、无穷限的反常积分
引例.
曲线
y
1 x2
和直线
x
1
及
x
轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
y
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A
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F(b)limF(x).F(c)lim F(x)或 F(c)l i m F(x).
x b
x 可表示为
b f (x)dx F(x)bF(b)F(a)
a
a
b f (x)dx F(x)b F(b)F(a).
a
a
bf(x )d xcf(x )d xbf(x )d xF(x)c
a
a
c
a
F(x)bc
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 [a, b) 上
的反常积分. 记作b f(x)dx，即 a
b
be
f(x)dxlimf(x)dx
a
e 0 a
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 6 设函数 f (x) 在 [a, b]上除点 c (a, b)
外连续，且limf(x), 如果下面两个反常积分 xc
第五章 定 积 分
第四节 反 常 积 分
一、无穷区间的反常积分 二、无界函数的反常积分
一、无穷区间的反常积分
例 1 求由曲线 y = e-x，y 轴及 x 轴所围成开口
曲边梯形的面积.
解 这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取
b [0, + )，在 有 限 区 间
y
[0, b] 上， 以曲线 y = e- x
p p
1, 1.
综合上述，当 p > 1 时，该反常积分收敛. 当 p ≤ 1 时，
该反常积分发散.
二、无界函数的反常积分
定义 4 设函数 f (x) 在区间 (a, b] 上连续，
且 limf(x), 取 e > 0 ，如果极限 x a b lim f(x)dx e0 ae
x
x
则定义 1，2，3 中的反常积分可表示为
a
f
(x)dx
F(
x)
a
F(
)F(a)，
b f (x)dx F(x)b F(b)F( )，
f
(x)dx
F(x)
F() F() .
例 2
求
0
11x2dx.
存在， 则称此极限值为函数 f (x) 在区间 (a, b] 上
的反常积分， 记作
b
a
f (x)dx,
即
b
b
f(x)dxlimf(x)dx.
a
e 0 ae
这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
定义 5 设函数 f (x) 在区间 [a, b) 上连续，
且 limf(x), 取 e > 0 ，如果极限 xb be lim f(x)dx. e0 a
穷区间
(-
,
+
)
内的反常积分，记作
f(x)dx,
即
c
f(x )d x f(x )d x f(x )d x ,
c
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并记
F() lim F(x),F() lim F(x).
y = e-x
b
x
定义 1 设函数 f (x) 在 [a, + )上连续，取实 数 b > a， 如果极限
b
l i m f(x)dx
b a
存在， 则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间[a, + )
上的反常积分，记作
a f(x)dx,
即
b
f(x)d xlim f(x)d x.
a
b a
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
定义 2 设函数 f (x) 在 (- , b] 上连续， 取实 数 a > b， 如果极限
b
l i m f(x)dx
a a
存在，则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间(- , b]
上的反常积分，
记作 b f(x)dx,
即
b
b
f(x)dxlim f(x)dx
a a
这时也称反常积分收敛， 否则称反常积分发散.
定义 3 设函数 f (x) 在 (- , + ) 内连续， 且 对任意实数 c， 如果反常积分
c f(x)dx与 f(x)dx
c
都收敛，则称上面两个反常函数积分之和为 f (x) 在无
e
故该积分发散.
例 6
证明反常积分
1 1 x p dx,
当 p > 1 时，
收敛；当 p ≤ 1 时，发散 .
证 p = 1 时，则
dx lnx
1x
1
所以该反常积分发散.
p 1 时，则
dx
1 xp
1 x1p 1p 1
1
p
1
,
,当 当
cf(x)dx与bf(x)dx
a
c
都收敛，则称这两个反常积分之和为函数 f (x) 在区
间
[a,
b]
上的反常积分，记作 b a
f
(x)dx,
即
b
c
b
af(x )d x af(x )d x cf(x )d x .
这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.
若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，并F 记 (a)lim F(x)， x a
为曲边的曲边梯形面积为
(0,1)
0bexdxex0 b1e1b.
O
y = e-x
b
x
开口曲边梯形的面积
当 b + 时，阴影部分曲边梯形面积的极限就 是开口曲边梯形面积， 即
Alimbexdx b a
bl im1e1b
1.
y
(0,1) O
ex 0 1.
其xl中 im xexxl im ex x xl ime1x 0,
即xex 0 0.
例 5 判断 dx 的 收 敛. 性 e xl nx
解
dx dlnx lnlnx
e x ln x e lnx
解
0
1 1 x2
dx
arctaxn0
2
0
2
.
例 3 判断
co
sxdx的
收
敛.
性
0
解
c
oxd sxsin x
.
0
0
由于当 x + 时，sin x 没有极限，所以反常积分
发散 .
例 4 计算 0 xexdx.
解 用分部积分法，得
0 xexdx 0 xdex xex0 0exdx