分布列复习-改好
10.7离散型随机变量及其分布列和数字特征课件高三数学一轮复习
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_唯__一__的__实__数__X_(_w_)_ 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机 变量称为离散型随机变量.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc
2 其 中 a，b， c成 等差 数 列 ，则 P(|X|＝ 1) ＝____3____ ，公差 d的 取值 范 围 是 __－__13_，__31_ .
解析 因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c.
i＝1
或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平__.
(2)方差
称 D(X) ＝ (x1 － E(X))2p1 ＋ (x2 － E(X))2p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2pn ＝
n
_____i∑＝_1_（__x_i_－__E_（__X_）___）__2p_i_____为随机变量 X 的方差，并称____D_（__X__）___为
X 2X＋1
01234 13579
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 P
13579 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X |X－1|
01234 10123
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
离散型随机变量及分布列(一轮复习)
答案：D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设 取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率．
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑， 2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分， 7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易 发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变 量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错 误． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的 概率和是否为1.
1－2q≥0， q2≥0， 12＋1－2q＋q2＝1，
解得
q＝1－
2 2.
或由 1－2q≥0⇒q≤12，可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解
得m＝0.3.首先列表为：
ξ
01234
2ξ＋1 1 3 5 7 9
|ξ－1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
则q的值为
()
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列． [自主解答] (1)由分布列的性质，有
高考数学科学复习创新方案：概率与随机变量及其分布列的热点题型
命题动向：在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常与统计相结合，设计成包含概率计算、概率分布列、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．题型1求离散型随机变量的均值与方差例1(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解(1)随机变量X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.故随机变量X的分布列如下：X020100P0.20.320.48(2)设小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则随机变量Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48.故E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.由(1)知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.因为E(Y)>E(X)，故应先回答B类问题．离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随变式训练1(2024·保定开学考试)2015年5月，国务院印发《中国制造2025》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领．经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业．我国的造船业、光伏产业、5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展．已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值X服从正态分布N(64，100)，且质量指标值在[54，84]内的零件称为优等品．(1)求该企业生产的零件为优等品的概率(结果精确到0.01)；(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量Y表示抽取的5件中优等品的个数，求Y的分布列、数学期望和方差．附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由题意知，X～N(64，100)，则μ＝64，σ＝10，54＝μ－σ，84＝μ＋2σ，由P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，得P(54≤X≤84)＝P(54≤X≤64)＋P(64≤X≤84)＝12×0.6827＋12×0.9545≈0.82.故该企业生产的零件为优等品的概率为0.82.(2)Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，P(Y＝0)＝(1－0.82)5，P(Y＝1)＝C15×0.82×(1－0.82)4，P(Y＝2)＝C25×0.822×(1－0.82)3，P(Y＝3)＝C35×0.823×(1－0.82)2，P(Y＝4)＝C45×0.824×(1－0.82)，P(Y＝5)＝0.825，则Y的分布列为Y012P(1－0.82)5C15×0.82×(1－0.82)4C25×0.822×(1－0.82)3Y345P C35×0.823×(1－0.82)2C45×0.824×(1－0.82)0.825由Y～B(5，0.82)，则E(Y)＝5×0.82＝4.1，D(Y)＝5×0.82×(1－0.82)＝0.738.题型2概率与统计的综合问题例2(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)解(1)平均年龄x－＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．(2)由于患者的年龄位于区间[20，70)是由患者的年龄位于区间[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)组成的，所以所求概率P＝(0.012＋0.017×2＋0.023＋0.020)×10＝0.89.(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间[40，50)为事件A，患这种疾病为事件B，则P(A)＝16%，由频率分布直方图知，这种疾病患者的年龄位于区间[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，结合该地区这种疾病的患病率为0.1%，可得P(AB)＝0.1%×0.23＝0.00023，所以从该地区任选一人，若年龄位于区间[40，50)，则此人患这种疾病的概率为P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.0002316%≈0.0014.概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为高考的一大亮点和热知识竞赛包含预赛和决赛．(1)下表为某10位同学的预赛成绩：得分939495969798人数223111求该10位同学预赛成绩的上四分位数(第75百分位数)和平均数；(2)决赛共有编号为A，B，C，D，E的5道题，学生甲按照A，B，C，D，E的顺序依次作答，答对的概率依次为23，12，12，13，13，各题作答互不影响，若累计答错两道题或五道题全部答完则比赛结束，记X为比赛结束时学生甲已作答的题数，求X的分布列和数学期望．解(1)因为10×0.75＝7.5，所以上四分位数为第8个成绩，为96；平均数为93×2＋94×2＋95×3＋96＋97＋9810＝95.(2)由题意可知，X的所有可能取值为2，3，4，5，所以P(X＝2)＝13×12＝16，P(X＝3)＝13×12×12＋23×12×12＝312＝14，P(X＝4)＝13×12×12×23＋23×12×12×23＋23×12×12×23＝1036＝518，P(X＝5)＝23×12×12×13＋13×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×13＋23×12×12×23＝1136，所以X的分布列为X2345P16145181136E(X)＝2×16＋3×14＋4×518＋5×1136＝13436＝6718.题型3概率与线性回归的综合问题例3某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的经验回归方程y^＝b^x＋a^；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由；(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的增氧冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：鱼的重量(单位：百斤)20<X <4040≤X ≤60X >60增氧冲水机运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台增氧冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期增氧冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝解（1）依题意，得所以y ^＝313x ＋3713，当x ＝10时，y ^＝6713>5，故此方案可行．(2)设盈利为Y ，提供1台，盈利Y ＝5000.提供2台，当20<X <40时，Y ＝3000，P ＝15，当X ≥40时，Y ＝10000，P ＝45.所以E (Y )＝15×3000＋45×10000＝8600.提供3台，当20<X <40时，Y ＝1000，P ＝15，当40≤X ≤60时，Y ＝8000，P ＝35，当X >60时，Y ＝15000，P ＝15.所以E (Y )＝1000×15＋8000×35＋15000×15＝8000.因为8600>8000，故应提供2台增氧冲水机．本题主要考查概率与回归方程等知识，体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面．某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据做了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x (单位：mg)，体内抗体数量为y (单位：AU/mL)．∑10i ＝1t i s i∑10i ＝1t i ∑10i ＝1s i ∑10i ＝1t 2i 29.2121634.4表中t i ＝ln x i ，s i ＝ln y i .(1)根据经验，我们选择y ＝cx d 作为体内抗体数量y 关于抗体药物摄入量x 的经验回归方程，将y ＝cx d 两边取对数，得ln y ＝ln c ＋d ln x ，可以看出ln x 与ln y 具有线性相关关系，试根据参考数据建立y 关于x 的经验回归方程，并预测抗体药物摄入量为25mg 时，体内抗体数量y 的值；(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z 大幅提高，经试验统计得z 服从正态分布N (0.48，0.032)，那这种抗体药物的有效率z 超过0.54的概率约为多少？附：①对于一组数据(u i，v i)(i＝1，2，…，n)，其经验回归直线v^＝β^u＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni＝1u i v i－n u－v－∑ni＝1u2i－n u－2，α^＝v－－β^u－；②若随机变量Z～N(μ，σ2)，则有P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9974；③取e≈2.7.解(1)将y＝cx d两边取对数，得ln y＝ln c＋d ln x，由题知，s＝ln y，t＝ln x，则经验回归方程变为s＝ln c＋dt，由表中数据可知，s－＝110∑10i＝1s i＝1.6，t－＝110∑10i＝1t i＝1.2，所以d^＝∑10i＝1t i s i－10t－s－∑10i＝1t2i－10t－2＝29.2－10×1.2×1.634.4－10×1.22＝0.5，ln c^＝s－－d^t－＝1.6－0.5×1.2＝1，所以s^＝1＋0.5t，即ln y^＝1＋0.5ln x＝ln e＋ln x0.5＝ln e x0.5，故y关于x的经验回归方程为y^＝e x0.5，当x＝25mg时，y^＝e·250.5≈2.7×5＝13.5AU/mL.(2)因为z服从正态分布N(0.48，0.032)，其中μ＝0.48，σ＝0.03，所以P(μ－2σ≤z≤μ＋2σ)＝P(0.42≤z≤0.54)≈0.9545，所以P(z>0.54)＝1－P（0.42≤z≤0.54）2≈1－0.95452＝0.02275.故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为0.02275.题型4概率与独立性检验的综合问题例4(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：组别生活习惯不够良好良好病例组4060对照组1090(1)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”.P（B|A）P（B－|A）与P（B|A－）P（B－|A－）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(ⅰ)证明：R＝P（A|B）P（A－|B）·P（A－|B－）P（A|B－）；(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B－)的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），α0.0500.0100.001xα 3.841 6.63510.828解(1)零假设H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异．χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）＝200×（40×90－60×10）2100×100×50×150＝24＞6.635＝x0.010，依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)(ⅰ)证明：因为R ＝P （B |A ）P （B －|A ）·P （B －|A －）P （B |A －）＝P （AB ）P （A ）·P （A ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －）·P （A －）P （A －B ）＝P （AB ）P （A B －）·P （A －B －）P （A －B ），而P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝P （AB ）P （B ）·P （B ）P （A －B ）·P （A －B －）P （B －）·P （B －）P （A B －）＝P （AB ）P （A －B ）·P （A －B －）P （A B －），所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）.(ⅱ)由已知P (A |B )＝40100＝25，P (A |B －)＝10100＝110，又P (A －|B )＝60100＝35，P (A －|B －)＝90100＝910，所以R ＝P （A |B ）P （A －|B ）·P （A －|B －）P （A |B －）＝6.此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深小鼠均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．(1)设指定的两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)对照组：17．318.420.120.421.523.224.624.825.025.426．126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5．4 6.6 6.86.97.88.29.410.010.411.214．417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(ⅰ)求40只小鼠体重的中位数m ，并完成下面2×2列联表：＜m≥m对照组实验组(ⅱ)根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用？参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.050.010k 02.7063.8416.635解(1)依题意，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 020C 220C 240＝1978，P (X ＝1)＝C 120C 120C 240＝2039，P (X ＝2)＝C 220C 020C 240＝1978，所以X 的分布列为X 012P197820391978故E (X )＝0×1978＋1×2039＋2×1978＝1.(2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排好后第20位与第21位数据的平均数，由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝23.2＋23.62＝23.4，故列联表为＜m≥m对照组614实验组146(ⅱ)由(ⅰ)可得，K2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841，所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．。
分布列归类(原卷版)
专题30分布列归类目录【题型一】两点分布.........................................................................................................................1【题型二】二项分布.........................................................................................................................2【题型三】几何分布.........................................................................................................................3【题型四】超几何分布.....................................................................................................................5【题型五】正态分布.........................................................................................................................6【题型六】分布列综合应用.............................................................................................................8培优第一阶——基础过关练.............................................................................................................9培优第二阶——能力提升练...........................................................................................................10培优第三阶——培优拔尖练.. (11)【题型一】两点分布【典例分析】已知随机变量i ξ满足()0i i P p ξ==，()11i i P p ξ==-，且102i p <<，1,2i =．若()()12E E ξξ<，则（）．A ．12p p <，且()()12D D ξξ<B ．12p p >，且()()12D D ξξ>C ．12p p <，且()()12D D ξξ>D ．12p p >，且()()12D D ξξ<1.若随机变量X 服从两点分布，其中()103P X ==，()E X ，()D X 分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是（）A ．()()1P X E X ==B ．()324E X +=C ．()324D X +=D ．()49D X =2.若随机变量X 服从两点分布，其中()104P X ==，()E X ，()D X 分别为随机变量X 的均值与方差，则下列结论正确的是（）A ．()()1P X E X ==B ．()414E X +=C ．()316D X =D ．()414D X +=3.已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ>D ．()()D D ηξ<【题型二】二项分布【典例分析】在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p=．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n 的最小值为（）A ．6B ．18C ．36D ．371.已知随机变量X 服从二项分布()12,B p ，若()235E X -=，则()3D X 等于（）A ．83B ．8C ．12D ．242.若随机变量X 服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量Y 服从二项分布，且(10,0.8)~Y B ，则下列结果正确的有（）A ．()0.7,() 6.4==E X E Y B ．()0.21,() 1.6==D X D Y C ．(1)0.3P X ==D ．37310(3)0.80.3==⨯P Y C 3.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量(),Y B n p ~，当n 充分大时，二项随机变量Y 可以由正态随机变量X 来近似地替代，且正态随机变量X 的期望和方差与二项随机变量Y 的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗()16671754-在1733年证明了12p =时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯()17491827-在1812年证明了这个结论对任意的实数(]0,1p ∈都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（）(附：若()2,XN μσ，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈ ，()330.9973)P X μσμσ-+≈ A ．0.97725B ．0.84135C ．0.65865D ．0.02275【题型三】几何分布【典例分析】春节期间某网络支付平台开展集“福”字活动：共有5种不同的“福”字电子卡，每完成一笔网络支付交易就能随机获赠一张“福”字卡，集齐5张不同的“福”字卡即可获奖．某网购平台上购买一袋脆干面，内随赠一张水浒传一百单八将的好汉卡，集齐完整一套好汉卡将获得生产商颁发的大奖（好汉卡一套共108张，每张上画有一将，每将都有很多张）．（1）若每完成一笔网络支付交易获赠每种“福”字卡的可能性相同．①求获得第二种“福”字卡的概率；②平均要完成多少笔交易才能集齐5个不同的“福”字卡？（2）如果购买一袋脆干面随赠一张一百单八将的好汉卡中每一张的可能性是一样的，那么平均要购买多少袋脆干面才能获得生产商颁发的大奖？（结果保留到整数）参考信息：①．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在独立重复试验中，某事件第1次发生时所作试验的次数ξ的概率分本1()(1)(1,2,3,)k P k p p k ξ-==-=⋅⋅⋅，称ξ服从几何分布，记作~(,)G k p ξ；ξ的数学期望1()E pξ=；②．若干个相互独立、且是按先后次序依次连续发生的随机变量之和的数学期望等于这些随机变量数学期望的之和；③．11ln 0.577ni n i=≈+∑，ln108 4.68≈．1.几何分布（Geometric distribution ）是一种离散型概率分布，定义：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率，即前1k -次失败，第k 次成功的概率，因此实验次数k 服从几何分布．现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布，若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要申请______发子弹保证有98％的概率获得“通过”．（参考数据：lg 20.3≈）2.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p=．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n 的最小值为（）A ．6B ．18C ．36D ．37【题型四】超几何分布【典例分析】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．1.写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．2.．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．(1)记随机变量X 表示从甲盒取出的红球个数，求期望[]E X 的值；(2)求从乙盒取出2个红球的概率．上海市南汇中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题3.2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.（1）求该样本的中位数和方差；（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.【题型五】正态分布【典例分析】设()211~,X N μσ，()222~,Y N μσ，这两个正态分布曲线如图所示，下列结论中正确的是（）A ．()()21P Y P Y μμ≥≥≥B ．()()21P X P Y σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥1.某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布()2120,N σ，已(140)0.2P X >=，则[100,140]X ∈的学生人数为（）A ．5B ．10C ．20D ．302.已知随机变量X 服从正态分布()1,2N ，则()34E X +与()34D X +的值分别为（）A ．1318B ．136C ．718D ．763.4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4X N ，则下列说法错误的是（）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间不低于4h 的人数约占2.28%【题型六】分布列综合应用【典例分析】为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在[)80,90分内的市民获二等奖，成绩在[]90,100分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．(1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．(2)若该市所有市民的答题成绩X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中12σ≈，μ为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9973P X μσμσ-<≤+≈．【变式训练】1.宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG 动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n 个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为13.(1)求n 的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X ，求X 的分布列和数学期望.2.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数η的分布列及其期望.3.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．培优第一阶——基础过关练1．已知正态分布的密度函数22()2,()x x μσμσϕ--=，(,)x ∈-∞+∞，以下关于正态曲线的说法错误．．的是（）A ．曲线与x 轴之间的面积为1B ．曲线在x μ=C ．当σ一定时，曲线的位置由确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移D ．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”2．若随机变量的分布列如表，则()31P X -=的值为（）X1234P12a1416A ．16B ．512C ．14D ．133．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中0x >，0y >，则随机变量ξ的数学期望()E ξ=____．ix 123()i P x ξ=xyx4．若随机变量X 的分布列为则X 的数学期望为______________．X －1245P0.20.350.250.25．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并计算这200名市民评分的平均值；(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X 表示抽到的评分在90分以上的人数，求X 的分布列及数学期望()E X .培优第二阶——能力提升练1．袋子中有6个白球，8个黑球，现从袋子里有放回地取7次球，用X 表示取到白球的个数，则()E X =（）A ．8049B ．127C ．3D ．22．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A ．0.4B ．0.8C ．0.2D ．0.53．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______.4．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往,,A B C 三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往A 小区的条件下，乙派往B 小区的概率为____．5．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X 的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y 的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.培优第三阶——培优拔尖练1．已知随机变量ξ的分布列为：ξx y Py x 则下列说法正确的是（）A ．存在x ，(0,1)y ∈，1()2E ξ>B ．对任意x ，(0,1)y ∈，1()4E ξ≤C ．对任意x ，(0,1)y ∈，()()D E ξξ≤D ．存在x ，(0,1)y ∈，1()4D ξ>2．过正态分布曲线(),y x μσϕ=上非顶点的一点()00,x y 作切线，若切线与曲线仅有一个交点，则0x μ-=（）A ．σB ．πe σC ．e σD ．πσ3．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X 表示样本中黄球的个数．当()P X k =最大时，()E X k +=____________．4．现有n （2n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （=1k ，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是716，则=n ___________.5．某商场计划在国庆节开展促销活动，准备了游戏环节，主持人准备一枚质地均匀的骰子，掷到奇数和偶数的概率各为12，游戏要求顾客掷()*2n n N ∈次骰子，每次记录下点数为奇数还是偶数.(1)若正好有n 次的点数为偶数，则顾客获得一个价值50元的红包作为顾客，你认为1n =和2n =哪种情况更有利于你获得红包？(2)投掷2n 次骰子后，若掷出偶数的次数多于奇数，则顾客获得一张100元的消费券；掷出偶数的次数等于奇数，则顾客获得一张50元的消费券；掷出偶数的次数少于奇数，则顾客获得一张10元的消费券.（ⅰ）当2n =时，记顾客获得的消费券为X 元，求随机变量X 的数学期望；（ⅱ）记“掷2n 次骰子，掷出偶数的次数多于奇数”的概率为n P ，求n P （直接写出n P 表达式即可）6．三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600名员工中进行筛选，筛选方法如下：每位员工测试A ，B ，C 三项工作，3项测试中至少2项测试“不合格”的员工，将被认定为“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A ，B 两项，如果这两项中有1项以上（含1项）测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A ，B ，C 三项工作相互独立，每一项测试“不合格”的概率均为()01p p <<．(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为()f p ，求()f p ；(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150元，所有员工除测试费用外，其他费用总计为1万元，若该机构的预算为8万元，且600名员工全部参与测试，试估计上述方案是否会超出预算，并说明理由．。
高中数学高三分布列知识点
高中数学高三分布列知识点在高中数学的学习中，分布列是一个重要的概念和技巧，它用于描述随机试验中各个可能结果的概率分布。
分布列的研究可以帮助我们理解概率论的基本原理，并且可以应用于实际问题的解决。
一、概念和基本性质分布列是指随机试验的所有可能结果及其对应的概率。
在计算分布列时，我们需要确定试验的所有可能结果，并且计算每个结果出现的概率。
分布列具有以下基本性质：1. 概率的非负性：每个结果的概率都是非负数，不会出现负值。
2. 概率的和为1：所有结果的概率之和等于1，表示必然事件的发生。
3. 互斥性：不同结果之间是互斥的，即只能发生其中一个结果。
4. 可列性：试验的所有可能结果是可列的，即可以一一列举。
二、常见的分布列1. 二项分布：二项分布是一种离散的概率分布，适用于只有两个可能结果的试验。
二项分布的概率计算公式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。
2. 泊松分布：泊松分布是一种离散的概率分布，适用于描述单位时间（或空间）内某事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率计算公式为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，其中λ表示单位时间（或空间）内事件的平均发生次数。
3. 几何分布：几何分布是一种离散的概率分布，适用于描述在独立重复试验中，试验成功之前所需的失败次数的概率分布。
几何分布的概率计算公式为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p，其中p表示每次试验成功的概率。
4. 正态分布：正态分布是一种连续的概率分布，适用于描述大部分事物的分布情况。
正态分布的概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ表示均值，σ表示标准差。
三、应用实例分布列的应用非常广泛，下面我们通过几个实例来说明其实用性。
1. 投掷硬币问题：假设我们进行10次硬币的正反面投掷试验，每次成功的概率都是0.5。
高考数学总复习考点知识专题讲解11 离散型随机变量及其分布列
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题11离散型随机变量及其分布列知识点一 随机变量的概念、表示及特征1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量．2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X ，Y ，Z ；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x ，y ，z .3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：(1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点二 离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为() ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数1X ；②一个沿直线2y x 进行随机运动的质点离坐标原点的距离X；③某同学射击3次，命中的次数3X；④某电子元件的寿2命X；4A．①②B．③④C．①③D．②④【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A．25B．10C．9D．5知识点三离散型随机变量的分布列及其性质1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，x n，我们称X取每一个值x i的概率P(X＝x i)＝p i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．2．分布列的性质(1)p i≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋p n＝1.分布列的性质及其应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例3】（2023•辽宁期末）随机变量X的分布列如下表所示，则(2)(…)P XA ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【例4】（2022•朝阳区开学）设随机变量X 的分布列为()(1P X k k k λ===，2，3，4)，则λ的值为() A ．10B ．110C ．10-D ．110-【例5】（2023•珠海期末）已知某离散型随机变量ξ的分布列为：则(q =)A ．13和1-B ．13C ．12D ．1-【例6】（2022•多选•天津模拟）设随机变量ξ的分布列为()(15kP ak k ξ===，2，3，4，5)，则()A ．115a =B ．141()255P ξ<<= C ．112()10215P ξ<<=D ．23()510P ξ=…【例7】（2023•湖北模拟）设随机变量ξ的分布列如表：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a += B ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+C ．当数列{}n a 满足1(1,2,9)2n na n ==时，10912a =D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，10)时，1110(1)n a n n =+知识点四 两点分布如果P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，那么X 的分布列为我们称X 服从两点分布或0－1【例8】（多选）若离散型随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法错误的是()A ．常数c 的值为23或13B ．常数c 的值为23C ．1(0)3P X ==D ．2(0)3P X ==【例9】（2023•阜南县期末）从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【例10】（2023•崂山区期末）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是2 3，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率．同步训练1.（2022•多选•临朐县开学）下列X是离散型随机变量的是()A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数XB ．一天内的温度为XC ．某网页一天内被点击的次数XD ．射击运动员对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X 表示该运动员在一次射击中的得分2.（2023•上蔡县校级月考）设随机变量ξ的概率分布列如下表：则(|2|1)(P ξ-==) A ．712B ．12C ．512D ．163.（2023•周至县期末）设随机变量X 的分布列为()(1,2,3,4,5,6)2kcP X k k ===，其中c 为常数，则(2)P X …的值为() A ．34B ．1621C ．6364D ．64634.（2023•多选•宝安区期中）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a 的值为()A ．12-B ．12C ．14D ．14-5.（2023•和平区校级期末）设随机变量与的分布列如下：则下列正确的是()A ．当{}n a 为等差数列时，5615a a +=B ．当数列{}n a 满足1(12n na n ==，2，⋯，9)时，10912a = C ．数列{}n a 的通项公式可以为109(1)n a n n =+D ．当数列{}n a 满足2()(1k P k k a k ξ==…，2，⋯，10)时，1110(1)n a n n =+6.（2023•郫都区模拟）甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．。
随机变量及其分布列 复习学案
10.4 随机变量及其分布列 复习学案一 离散型随机变量及其分布列、数字特征1.（22.浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)=__________，E(ξ)=_________．2．（19.课标Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.3．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量X 和任意的正数a ，都有()()(),P X a f E X a ≥≤，其中()(),f E X a 是关于数学期望()E X 和a 的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定()(),f E X a 的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（ ）A ．()aE XB ．()1aE XC ．()a E XD ．()E X a4.某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共有一次机会）.已知某个选手前三关每关通过的概率都是32，后两关每关通过的概率都是21. （1）求该选手获得奖金的概率.（2）设该选手通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.5.袋中装有若干个质地均匀、大小相同的红球和白球，白球的数量是红球数量的两倍.每次从袋中摸出一个球，然后放回，若摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束.记结束时摸球的次数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望.6．（16.课标I ）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？7．（13.课标I）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为50%，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．8.（22.甲）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．9．（21.新Ⅱ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.二 二项分布1．（17.课标II ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________．2．Poisson 分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Poisson 分布的概率分布列为()()e 0,1,2,!kP X K k k λλ-===⋅⋅⋅，其中e 为自然对数的底数，λ是Poisson 分布的均值．当二项分布的n 很大()20n ≥而p 很小()0.05p ≤时，Poisson 分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用20.05/J m 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）A ．31e --B ．3e -C ．313e --D ．314e --3．（18.课标Ⅱ）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.34．（18.课标I ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？5．大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久．某种子实验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A ，B 两块试验田上进行实验（两地块的土质等情况一致）.6月25日在A 试验田播种该品种大豆，7月10日在B 试验田播种该品种大豆．收获大豆时，从中各随机抽取20份（每份1千粒），并测量出每份的质量（单位：克），按照[)100,150，[)150,200，[]200,250进行分组，得到如下表格：把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满．(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？(2)从A ，B 两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；(3)用样本估计总体，从A 试验田随机抽取100份（每份千粒）大豆，记籽粒饱满的份数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．三超几何分布1.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，P X≤________．求()1=2.为了提高我市的教育水平，市教育局打算从杏花岭区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动.这10名教师中，语文教师有3人，数学教师有4人，英语教师有3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率.（2）求选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望.3.甲乙去某公司面试，该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应2，且每道题正确完成与否互不影响.聘者乙每道题正确完成的概率都是3（1）分别求甲乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望.（2）请分析比较甲乙两人谁面试通过的可能性大.四 正态分布1．（21·新II ）某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（ ）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等2.已知随机变量X 服从正态分布N (1,4)，若且Y=2X+1，则Y 服从正态分布___________．3．（22.新II ）随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)，且P(2<X ≤2.5)=0.36，则P(X >2.5)=__．4．已知随机变量X 服从正态分布N (2,σ2)，且P(2<X <4)=0.3，则P(X <0)=_________．5．某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量(20,4)X N ，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．A ．254人B ．127人C ．18人D ．36人6．为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：（1）求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分x 和方差2s （同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；（2）以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本成绩平均分x ，2σ近似为样本成缋方差2s ，若2μσμσ-<≤+X ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若2μσ>+X ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，Ⅱ若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；Ⅱ试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．7．（14.课标Ⅱ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX . 15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．8．（17.课标I ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ.（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)u u σσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （Ⅱ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （Ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =.用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()–330.9974P Z μσμσ<<+=，160.99740.9592≈0.09≈.五 综合应用1．柯西分布(Cauchy distribution)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ～，其中当1γ=，00x =时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+．已知()1,0X C ～，(23P X ≤= ，(1112P X <≤= ，则()1P X ≤= A ．16B ．23C ．14D ．122．（多选）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A 表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B 表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C 表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A ．事件B 与事件C 互斥 B ．()34P A =C ．事件A 与事件B 独立D ．记C 的对立事件为C ，则()37P B C =3．（多选）设随机变量X 服从正态分布(1,4)N -，随机变量Y 服从正态分布12,4N ⎛⎫⎪⎝⎭，下列判断正确的是（ ） A ．(0)(0)P X P Y ≥>≥B ．(0)(0)P X P Y ≤>≤C ．存在0t >，满足()()P X t P Y t ≤=≤D ．存在0t <，满足()()P X t P Y t ≥=≥4．（多选）下列说法正确的是（ ）A ．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为12，则游戏者闯关成功的概率为3132B ．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为13514415C CCC ．已知随机变量X 的分布列为()()()1,2,31aP X i i i i ===+，则()229P X == D ．若随机变量()22,N ησ，且31δη=+.则()20.5P η=＜，()6E δ=5．（19.课标Ⅱ）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． （i ）证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．6．某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图： (1)估计这100辆汽车的单次最大续航 里程的平均值（同一组中的数据用该组 区间的中点值代表）；(2)经计算第（1）问中样本标准差S 的 近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ（用样本平均数x 和标准差s 分别作为μσ､的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程[]250,400X ∈的概率； （参考数据：若随机变量()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-+≈，()()220.9545,330.9973)P X P X μσμσμσμσ-+≈-+≈(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0､1､2､3､……､20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正､反面的概率都是12，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1)k +；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第()119n n 格的概率为n P ，试证明{}1n n P P --是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到0.1万元）.。
分布列高三知识点
分布列高三知识点第一点：数列与函数数列是指按照一定规律排列的一组数值，常见的数列有等差数列和等比数列。
在高三数学中，数列被广泛应用于函数的研究和分析。
数列可以看作是函数在自然数集上的取值，而函数是以自变量和因变量之间的关系表示的规律。
通过研究数列，可以深入理解函数的性质和变化规律。
第二点：等差数列与等比数列的性质和应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列，等差数列的通项公式为An=A1+(n-1)d，其中An表示第n项，A1表示首项，d表示公差。
等差数列的性质包括公差d的求解、前n项和的计算以及特殊等差数列的应用等。
类似地，等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，等比数列的通项公式为An=A1*r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示首项，r表示公比。
等比数列也有特定的性质和应用，如求和公式、求解指数方程等。
第三点：数列极限的概念和计算方法在数列中，当数列中的项随着项数的增加而趋于无穷大或无穷小时，我们可以称该数列具有极限。
数列的极限可以理解为数列趋于某个固定值或趋于无穷的过程。
计算数列的极限时，可以运用数列极限的性质，如等差数列与等比数列的极限等。
第四点：数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高三数学中常用的证明方法。
通过数学归纳法，我们可以证明数列的某些性质在整个数列范围内都成立。
数学归纳法的基本思想是：当证明某个性质在第一个数值成立时，假设它在第k个数值成立，通过推理证明它在第k+1个数值也成立，从而推断该性质在所有自然数上成立。
第五点：递推数列及其应用递推数列是一种特殊的数列，它的每一项都由前一项确定。
递推数列的通项公式可以通过观察递推关系和数列的前几项进行求解。
递推数列在高三数学中有广泛的应用，如斐波那契数列、简单利息和复利计算等都可以用递推数列的思想来解决。
第六点：数列的应用数列在高三数学中还有许多其他的应用，如排队问题、贝尔数与柏杨三角形、舍利数等。
通过了解和应用不同类型的数列，可以提高解决实际问题的能力和数学思维能力。
新高考数学复习考点知识讲解5---离散型随机变量及其分布列
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则
212离散型随机变量的分布列修改
分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝5)＝0.6变换为两点分
布？
令Y
0, X 1, X
52，，则Y服从两点分布.
例2 在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：
（1）取到的次品数X的分布列；
（2）至少取到1件次品的概率.
解：（1）因为从100件产品中任取3件的结果数为
C130从0 , 100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结
解：设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，
其中N=30,M=10,n=5.于是中奖的概率
P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
=
C C 3 53 10 3010 C530
பைடு நூலகம்
C140CC≈353500041.0191C150CC353500510
思考：若将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那 么应该如何设计中奖规则？
果数为 C5k ,•那C么935从k 100件产品中任取3件， 其中恰好
有k件次品的概率为
P(X
k)
C5k
•
C3 95
k
C3 100
,k
0,1, 2, 3.
因此随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
C50C935 C3
100
C15C925 C3
100
C52C195 C3
100
C35C905 C3
100
（2）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X
的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
高二概率分布列知识点总结
高二概率分布列知识点总结概率分布列是概率论中的一种重要工具，用于描述离散型随机变量的取值与其概率之间的关系。
在高二阶段，学生需要掌握概率分布列的概念、性质以及计算方法等知识点。
本文将从这些方面逐一进行总结。
一、概率分布列的概念概率分布列是指将随机变量的所有可能取值及其对应的概率按照一定的格式列出来，以便于统计和分析。
对于一个离散型随机变量X，概率分布列的一般形式为：X | x1 | x2 | ... | xnP(X) | p1 | p2 | ... | pn其中，x1、x2、...、xn 表示随机变量X的所有可能取值，p1、p2、...、pn 表示对应取值的概率。
二、概率分布列的性质1. 概率非负性：对于所有可能取值xi，其对应的概率pi必须大于等于零，即pi ≥ 0。
2. 概率和为1：概率分布列中的所有概率之和必须等于1，即p1 + p2 + ... + pn = 1。
三、概率分布列的计算方法1. 等可能事件的概率分布列：当随机变量的各个取值具有相同的概率时，可以使用等可能事件的概率分布列。
例如，抛硬币的结果是正面或反面，它们的概率都是1/2。
2. 频率概率的概率分布列：当通过实验或观察来确定随机变量的各个取值及其对应的概率时，可以使用频率概率的概率分布列。
例如，通过调查某班同学身高的分布情况，可以得到相应的概率分布列。
3. 几何概率的概率分布列：当随机变量的取值来自于几何概率的实验，如抽奖、投掷骰子等时，可以使用几何概率的概率分布列。
例如，抛硬币出现正面的次数，它的概率分布列为：X | 0 | 1 | 2P(X) | 1/2 | 1/2 | 0四、常见概率分布列1. 二项分布：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数满足概率分布列。
例如，n次抛硬币的正面次数，其概率分布列可以通过二项分布计算得出。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一段时间或一定区域内，独立事件发生的次数满足概率分布列。
分布数列知识点归纳总结
分布数列知识点归纳总结分布数列是数列的一种特殊形式，其中每个元素与其前后的元素之间有一定的关系。
分布数列经常在数学和统计学中使用，用于描述和分析数据的频率和模式。
本文将对分布数列的相关知识点进行归纳总结，包括常见的分布数列类型、计算相关指标的方法以及应用场景等。
一、等差数列等差数列是最常见的一种分布数列，其中每个元素与前一个元素之间的差值保持不变。
等差数列可以通过以下公式来表示：an = a1 + (n - 1) * d其中，an为数列的第n个元素，a1为首项，d为公差，n为元素的位置。
等差数列中的相关知识点包括首项、公差、通项公式、前n项和公式等。
通过这些知识点，我们可以计算等差数列的各项数值以及前n项的和。
二、等比数列等比数列是另一种常见的分布数列，其中每个元素与前一个元素之间的比值保持不变。
等比数列可以通过以下公式来表示：an = a1 * r^(n-1)其中，an为数列的第n个元素，a1为首项，r为公比，n为元素的位置。
等比数列中的关键概念包括首项、公比、通项公式以及前n项和公式等。
类似于等差数列，我们可以通过这些概念计算等比数列的各项数值以及前n项的和。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的分布数列，其中每个元素都是前两个元素之和。
斐波那契数列可以通过以下公式来表示：Fn = Fn-1 + Fn-2其中，Fn为数列的第n个元素，F0为0，F1为1。
斐波那契数列在自然界中广泛存在，尤其在植物生长、动物繁殖等方面具有重要的应用价值。
同时，斐波那契数列还有一些有趣的性质和应用，例如黄金分割、优化问题等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的等比数列，其中公比r是不等于零的常数。
几何数列可以通过以下公式来表示：an = a1 * r^(n-1)其中，an为数列的第n个元素，a1为首项，r为公比，n为元素的位置。
几何数列与等比数列类似，也有首项、公比、通项公式以及前n项和公式等概念。
我们可以通过这些概念计算几何数列的各项数值以及前n项的和。
分布列高考知识点讲解
分布列高考知识点讲解高考知识点是每一位学生备战高考所必须掌握的基础。
在高中三年的学习中，我们学习了大量的知识点，包括语文、数学、英语、物理、化学等各个科目。
在这篇文章中，我将会以科目为单位，分别讲解一些高考知识点。
1. 语文知识点讲解语文是我们学习和交流的基础，也是高考中最重要的科目之一。
在语文考试中，阅读理解是一个重要的题型。
在解答阅读理解题时，我们需要仔细阅读文章，理解文章的主旨和作者的观点。
同时，我们还需要掌握一些解题方法，比如寻找关键词、综合归纳等。
2. 数学知识点讲解数学是一个考察逻辑思维和解题能力的科目。
在高考数学中，要注意拓宽思维的边界，培养多角度思考问题的能力。
例如，在解决代数方程题时，可以运用恒等变形、因式分解等方法。
而在几何题中，我们要善于利用几何性质解决问题。
3. 英语知识点讲解英语作为一门外语，对于我们来说可能较为陌生。
但是通过学习一些英语知识点，我们可以提高听、说、读、写的能力。
在高考中，阅读理解和写作是两个重要的方面。
我们可以通过阅读英文文章、听英语音频等方式来提高自己的英语水平。
4. 物理知识点讲解物理是一门实践性很强的科学，需要我们具备实验操作和计算分析的能力。
在高考物理中，我们需要掌握一些基本的物理概念和公式，并能够灵活运用。
例如，在解决动力学问题时，我们可以运用牛顿定律、动能定理等。
5. 化学知识点讲解化学是一门关于物质变化和反应的科学，需要我们了解元素、化合物等基本概念。
在高考化学中，我们需要掌握一些基础的化学反应方程式，并能够应用到实际生活中。
例如，在进行酸碱中和反应时，我们可以根据酸碱的性质来选择合适的指示剂。
以上只是对高考知识点的一些简单讲解，每一门科目都涉及到更多的知识点和技巧。
在备战高考的过程中，我们应该注重理解和掌握知识点，同时也要提高自己的解题能力和方法。
只有全面掌握了知识点，才能在高考中取得好成绩。
洞悉高考知识点的深度和长度，是我们在备考中不可忽视的一部分。
高二教学数学分布列总结复习计划
适用标准第二章随机变量及散布列知识点梳理1． 失散型随机 量的散布列(1) 随机 果 化而 化的量叫做 ；随机 量一般用表示，全部取 能够一一列出的随机 量叫做．(2) 失散型随机 量 X 可能取的不一样 x 1，x 2 ，⋯，x i ，⋯，x n ，X 取每一个 x i (i ＝ 1,2，⋯， n)的概率 P(X ＝ x i )＝ p i ， 称表 随机 量 X 的概率散布列， 称X 的散布列，拥有性 ：（ 1）p i ______0， i ＝ 1,2，⋯， n ；x 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n （ 2） p 1＋p 2＋⋯＋ p i ＋⋯＋ p n ＝ ______. X Pp 1p 2⋯p i⋯p n失散型随机 量在某一范 内取 的概率等于 它取 个范 内各个 的 __________ ．2．假如随机 量 X 的散布列X 1 0Ppq此中 0<p<1， q ＝ 1－ p ， 称失散型随机 量 X 听从参数 p 的________．3． 超几何散布列在含有 M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，此中恰有 X 件次品， 事件 { X ＝ k} 生的概率：P(X ＝ k)＝ __________________________( k ＝ 0,1,2，⋯，m)，此中 m ＝ min{ M ，n} ，且 n ≤ N ，M ≤ N ， n 、 M 、 N ∈ N*， 称散布列X0 1 ⋯m．0n －1 n －1m n －mP C M ·C N－MC M C N－M⋯C M C N－M4． 条件概率及其性nnnC N C NC N(1) 于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 生的条件下，事件 B 生的概率叫做 ______________ ，用符号 __________ 来表示，其公式P(B|A)＝ __________.在古典概型中，若用n(A)表示事件 A 中基本领件的个数， P( B|A)＝ .(2) 条件概率拥有的性 ： ① ____________；②假如 B 和 C 是两互斥事件， P(B ∪ C|A) ＝__________________________________.5． 互相独立事件(1) 于事件 A 、 B ，若 A 的 生与 B 的 生互不影响， 称 _______________ ． (2) 若事件 A 、 B 互相独立， P(AB )＝．(3) 若 A 与 B 互相独立， ________ ，________， ________也都互相独立． 6． 二 散布(1) 独立重复 是指在同样条件下可重复 行的， 各次之 互相独立的一种 ， 在 种中每一次 只有 ______种 果，即要么 生，要么不 生，且任何一次 中 生的概率都是一 的．(2) 在 n 次独立重复中，事件 A 生 k 次的概率 ________________________( p 事件 A生的概率 ) ，事件 A生的次数是一个随机量X ，其散布列____________ ，____________ ．7．失散型随机量的均与方差若失散型随机量X 的散布列X x1x2⋯x i⋯x nP P1p2⋯p i⋯p n(1) 均称 E(X)＝ ________________________ 随机量X 的均或 __________________，它反应了失散型随机量取的____________ ．性： E(aX＋ b)＝ __________.(a，b 常数 )(2)方差称 D(X)＝ ________________随机量X 的方差，它刻画了随机量X 与其均E(X)的 ___________________ ，并称其 _________________ 随机量X 的准差．性： D (aX＋b)＝ __________.( a， b 常数 )8．两点散布与二散布的均、方差(1)若 X 听从两点散布， E( X) ＝______，D (X)＝ ______________________________.(2)若 X～ B(n， p)， E(X)＝ ________， D(X)＝ __________________________________.9．正曲及性(1)正曲的定函数，x，x∈ (-∞，+∞ )，此中数μ和σ(σ>0)参数，我称，x 的象(如)正散布密度曲，称正曲．(2)正曲的性：①曲位于x，与x不订交；② 曲是的，它对于直称；③曲在 ________达到峰；④曲与 x 之的面；⑤当σ必定，曲跟着的化而沿x 平移；⑥当μ必定，曲的形状由σ确立，σ________，曲越“瘦高”，表示体的散布越集中；σ，曲越“矮胖”，表示体的散布越分别．10．正散布(1)正散布的定及表示假如于任何数a，b (a<b)，随机量X 足 P(a<X≤ b)＝ba,x dx ，称随机量 X 听从正散布，作 __________ ．(2)正体在三个特别区内取的概率① P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ ________；② P(μ－2σ<X≤μ＋ 2σ)＝ ________；③ P(μ－3σ<X≤μ＋ 3σ)＝ ________.专题一：条件概率例 1、投掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求 P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于8 的概率．专题二：互相独立事件的概率例 2、甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一1131人被选中的概率为20，两人都被选中的概率为10，丙被选中的概率为3，且各自可否被选中互不影响．(1)求 3 人同时被选中的概率；(2)求恰巧有 2 人被选中的概率；(3)求 3 人中起码有 1 人被选中的概率．专题三：失散型随机变量的散布列、均值和方差例 3、甲、乙、丙三支足球队进行比赛，依据规则：每支队伍比赛两场，共赛三1场，每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，没有平手．已知乙队胜丙队的概率为5，甲队获取第一名的概率为16，乙队获取第一名的概率为151.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1， P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的散布列及数学希望、方差．专题 4：正态散布的实质应用例 4、某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩听从正态散布N(500,502 )，请您判断考生成绩X 在 550～600 分的人数．专题五：分类议论的思想方法例 5、某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，此中前两个问题回答正确各得 10 分，回答不正确各得 0 分，第三个题目，回答正确得 20 分，回答不正确得－ 10 分．假如一个挑战者回答前两题正确的概率都是 0.8，回答第三题正确的概率为 0.6，且各题回答正确与否互相之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的散布列和数学希望；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．随机变量及散布列练习一、选择题1．设失散型随机变量X 的散布列为： X12 3 4 则 p 的值为 ()1 1 1 pP361C.116B.A. 23 D.62． 10 件产品，此中3 件是次品，任取 2 件，若 ξ表示取到次品的个数，则 E(ξ)等于 ()38C.14D ． 1A. 5B.15153．如图，用 K ， A 1， A 2 三类不一样的元件连结成一个系统．当 K 正常工作且 A 1， A 2 起码有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K ， A 1， A 2 正常工作的概率挨次为0.9,0.8,0.8.则系统正常工作的概率为 ()A ． 0.960B ． 0.864C ． 0.720D ． 0.5764．已知箱子中共有6 个球，此中红球、黄球、蓝球各 2 个．每次从该箱子中取 1 个球 (有放回，每球取到的时机均等 )，共取三次．设事件 A ：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色同样”，事件 B ：“三次取到的球颜色都同样”，则P(B|A)＝()1 1 2A.6B.3C.3D ．15．已知随机变量ξ听从正态散布 2)N(2， σ)．且 P(ξ<4) ＝ 0.8，则 P(0< ξ<2) 等于 (A ．0.6B ．0.4C ． 0.3D ．0.26．已知随机变量X 听从二项散布，且 E(X)＝ 2.4，D (X)＝ 1.44，则二项散布的参数 n ， p 的值为 ( )A ． n ＝4， p ＝ 0.6B ． n ＝ 6， p ＝ 0.4C ． n ＝8， p ＝ 0.3D ． n ＝ 24， p ＝ 0.17．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，假如三人分别达成的概率挨次是 P 1，P 2，P 3，那么起码有一人解决这道题的概率是 ()A ． P 1 ＋P 2＋ P 3B ． 1－ (1－ P 1)(1－ P 2)(1－ P 3)C ． 1－P 1P 2P 3D ． P 1P 2P 38．节日时期，某种鲜花进货价是每束2.5 元，销售价是每束 5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价钱办理．依据前五年销售状况展望，节日时期这类鲜花的需求量X 听从如表所示的散布列：X 200 300 400 500P0.200.350.300.15若进这类鲜花 500 束，则收益的均值为 ()A ．706元B ．690 元C ． 754 元D ．720 元适用标准9．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生成绩X～ N(110,52)，据此预计，大概有 57 人的分数所在的区间为 ()A ． (90,100]B． (95,125]C． (100,120]D． (105,115]10．已知盒中装有 3 只螺口灯泡与7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都同样且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只其实不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为()3 B. 2C.77A. 1098 D.9二、填空题ξ－ 10111．已知随机变量ξ的散布列为：P 113又变量η＝ 4ξ＋ 3，则η的希望是28812．某灯泡厂生产大量灯泡，其次品率为 1.5%，从中随意地陆续拿出100 个，则此中正品数X 的均值为 ________个，方差为 ________．13．某种电路开封闭合后，会出现红灯或绿灯闪耀，已知开关第一次闭合后出现红灯闪耀的概率是1，21两次闭合后都出现红灯闪耀的概率为6.则在第一次闭合后出现红灯闪耀的条件下，第二次出现红灯闪耀的概率是 ________．14．接种某疫苗后，经过大量的试验发现，出现发热反响的概率为1，现有 3 人接种该疫苗，恰有一5人出现发热反响的概率为________．15．一袋中有大小同样的 4 个红球和 2 个白球，给出以下结论：①从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是3；5②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为4；3③从中不放回的取球2次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2；5④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则起码有一次取到红球的概率为26 27 .此中全部正确结论的序号是________．三、解答题16、一批产品分一、二、三级，此中一级品的数目是二级品的两倍，三级品的数目是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其等级，用随机变量描绘查验的可能结果，写出它的散布列．17、某迷宫有三个通道，进着迷宫的每一个人都要经过一扇智能门．初次抵达此门，系统会随机(即等可能 )为你翻开一个通道，假如 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；假如 2 号、 3 号通道，则分别需要 2 小时、 3 小时返回智能门．再次抵达智能门时，系统会随机翻开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的散布列； (2)求ξ的数学希望．18、某同学参加科普知识比赛，需回答 3 个问题，比赛规则规定：答对第1、2、3 个问题分别得 100 分、 100 分、 200 分，答错得零分．假定这名同学答对第1、 2、3 个问题的概率分别为 0.8、0.7、0.6.且各题答对与否互相之间没有影响．(1)求这名同学得 300 分的概率； (2)求这名同学起码得300 分的概率．19、张华同学上学途中一定经过A， B，C， D 四个交通岗，此中在 A，B 岗碰到红灯的概率均为1，在 C， D 岗碰到红灯的概率均为1．假定他在4个交通岗碰到红灯的事件是互相23独立的， X 表示他碰到红灯的次数．（ 1）若x≥3，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求 EX．20、为回馈顾客，某商场拟经过摸球兑奖的方式对1000 位顾客进行奖赏，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖赏额．(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为50 元，其他 3 个均为 10 元．求：①顾客所获的奖赏额为60 元的概率；②顾客所获的奖赏额的散布列及数学希望；(2)商场对奖赏总数的估算是60000 元，并规定袋中的 4 个球只好由标有面值10 元和 50 元的两种球构成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球构成．为了使顾客获取的奖赏总数尽可能切合商场的估算且每位顾客所获的奖赏额相对平衡．请对袋中的 4 个球的面值给出一个适合的设计，并说明原因．。
分布列知识点与应用举例
1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x 1，x 2，…，xi ，…，xn X 取每一个xi (i =1，2，…，n )的概率P (X =xi )=Pi ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列. 2、分布列的构成：（1）列出了离散型随机变量X 的所有取值； （2）求出了X 的每一个取值的概率； （3）列表小结：定值 求概率 列表3、分布列的性质: 4.两点分布列 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P(X =1)为成功概率。
5.超几何分布列:(离散型分布列的一种)一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为：,,.....,2,1,0,)(m k C C C k X P nNk n MN k M ===--则称分布列 为超几何分布列6.独立重复试验与二项分布列（1）独立重复试验：在相同条件下重复做n 次的试验（2）二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：n k p p C k X P k n kk n ,.....,2,1,0,)1()(=-==-，此时称随机变量X 服从二项分布，记为：),(p n B X --0,1,2,i p i ≥=⋅⋅⋅（1）1211ni n i p p p p ==++⋅⋅⋅+=∑（2）（1）一般地,若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n ini i p x p x p x px X E +++==∑=.......)(22111为X 的数学期望或均值即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
（1）若离散型随机变量Y=aX+b,则E(Y)=E(aX+b)=b X aE +)( （2）两点分布列的期望：p X E =)( （3）二项分布列的期望：np X E =)(8.方差标准差：若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n i ni i p EX x p EX x p EX x p EX x X D 222212121)(.......)()()()(-++-+-=-=∑=为随机变量的方差。
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随机变量及其分布---章末小结知识点自我梳理：相关知识点:1、概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为______．(2)_________的概率为1，___________的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝___________．特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝________．P(A∪B)＝__，P(A∩B)＝__.2、古典概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝_____________________.3、几何概型的概率公式对于任何事件A，P(A)＝_________________________________________选修2-3第二章:随机变量及分布:1、特殊事件的概率：A、条件概率(1)条件概率的定义：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作发生的条件下发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P(B|A)≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P()＋P()．（3）条件概率的求法：(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝.(2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.B、相互独立事件的概率（1）相互独立事件的定义：设A, B为两个事件，如果则称事件A与事件B相互独立即：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率，这样的两个事件叫做相互独立事件一般地：若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也（2）相互独立事件同时发生的概率：P（AB）=一般地，如果事件12,,,nA A A相互独立，那么1212()()()()n nP A A A P A P A P A⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．（3）求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提(1)若A，B，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)若A，B，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．2、随机变量及分布列（1）离散型随机变量的分布列及性质：性质：期望E(X)= E(a X+b)=方差D(X)= D(a X+b)=（2）常见的分布及分布列：A、两点分布：X服从两点分布，则：期望E(X)=方差D(X)=B、超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，即min{ ，}有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．期望E(X)= 方差D(X)=C、二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，n．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(，)，并称p为．两点分布是当n＝时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．期望E(X)= 方差D(X)=D、正态分布(1)正态曲线与正态分布：①正态曲线：我们把函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是，σ是)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．②正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N( ，)．(2)正态曲线的特点：(3)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ) 之间的值，并简称之为3σ原则思考1：完成了知识点的梳理，你能绘出本章知识网络结构吗？思考2：列“分布列”的关键是求随机事件的概率，而我们已学习了几种概率类型及公式，你能总结一下求概率的步骤吗？课后作业: 课后先独立完成第二课时的习题，标记出自己不能完成的题目及自己的困惑，下节课先组内合作交流，然后展示。
自己的困惑是：（第二课时）典型例题：例1：设A、B为两个事件，若P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0．7，P(B)＝x，试分别求满足下列条件的x的值：(1)A与B为互斥事件；(2)A与B为独立事件练习1：某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率为0.12，至少选修一门的概率是0.88，用X表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.(1)记“函数f(x)=x3+X为R上的奇函数”为事件A，求事件A的概率；(2)求随机变量X的分布列和数学期望.练习2：某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需补种2粒，设补种的种子数为X，求X的期望与方差.例2：（1）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，求P(B|A).(2)某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率（3）某公司一次应聘需进行两轮面试，某人分别通过第一轮、第二轮面试的概率分别为0.8、0.6，两轮面试相互独立，求：①求此人通过此次应聘的概率；②已知此人已通过第一轮面试，求此人通过第二次面试的概率.（4)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.(5)据以往经验，估计某家庭电话在某段时间内，打进的电话响第一声时被接的概率是101，响第二声时被接的概率是，103响第三声时被接的概率是，52响第四声时被接的概率是，101求：（1）电话在响前四声内被接的概率；（2）已知响第一声未接的条件下，第二声响时被接的概率.当堂小结：【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？第三课时：例3：小王参加年度某项劳动技能考试．考试按科目A ，B 依次进行，只有科目A 合格后才能继续参加科目B 的考试．每个科目本年度只有一次补考机会，只有两个科目都合格才能获得该项劳动技能合格证，已知他每次参加科目A 考试合格的概率均为12，每次参加科目B考试合格的概率均为23，且各次考试是否合格互不影响．(1)求小王不用补考就顺利获得本年度该项劳动技能合格证的概率．(2)试计算小王参加本年度该项劳动技能考试的次数为3(含可能的补考次数)的概率练习：（1） 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．(1)求该学生考上大学的概率；(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．（2）袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1,7现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的。
(Ⅰ)求袋中原有的白球的个数； (Ⅱ)求取球两次终止的概率； (Ⅲ)求甲取到白球的概率.例4：某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望； (2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：该种植哪一品种？练习：1、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：3件，当天营业结束后检查存货．若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货．将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数．求X 的分布列和数学期望．例5：某一部件由三个电子元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________练习：假设每天从甲地去乙地的旅客人数()2800,50X N 是服从正态分布的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.n P （I ）求n P 的值；（II ）某客运公司用A B 、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每年每天往返一次，A B 、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。
若每天要以不小于0P 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本 最小，那么应配备A B 型车、型车各多少辆？当堂小结：【课后反思】1.今天你的收获是什么？2.你有哪些方面需要努力？。