北京市昌平区19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)

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北京市西城区2022-2023学年高一上学期数学期末试题(含答案解析)

北京市西城区2022-2023学年高一上学期数学期末试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x （单位：米）是影响疏散的重要因素．在
特定条件下，疏散的影响程度k 与能见度x 满足函数关系：0.2,
0.11.4,0.110
1,10b
x k ax x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩
（,a b 是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b 的值是（参考数据：lg 30.48≈）（
）
A ．0.24-
B ．0.48-
C ．0.24
D ．0.48
二、填空题
13．写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x ①对12,(0,)x x ∀∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+
②当(4,)x ∈+∞时，()1f x >恒成立．
三、双空题
四、填空题
五、解答题
参考答案：
2|2|(2AB AD AB +=+ 25
AB AD ∴+=
故选：D.7．A
【分析】根据均值不等式求解即可【详解】因为800C s =当且仅当
800
2s s
=，即所以当C 最小时，s 的值为故选：A 8．D
【分析】计算22log a =【详解】2log 3a =，则22log 9
122a a
+=⨯
=⨯
故选：D.。

北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题数学含解析

通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷（答案在最后）2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤ B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc> B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x= B.ln e xy = C.y = D.y=5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c >> D.a c b>>6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π- B.2π-C.4π D.2π8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.110.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．13.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集U =R ，{}21A x x =-<≤，所以{}U |21A x x x =≤->或ð.故选：C2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【详解】对于A ：因为函数y =(1,)-+∞上是增函数，所以满足条件，故A 正确；对于B ：因为函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，所以不满足条件，故B 错误；对于C ：因为函数2xy -=在R 上为减函数，所以不满足条件，故C 错误；对于D ：因为函数()ln f x x =-在(0,)+∞上为减函数，所以不满足条件，故D 错误.3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc >B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >【答案】C 【解析】【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】因为,,a b c ∈R 且a b >，对于A 选项：当0c =时不成立；对于B 选项：1()2xy =单调递减，所以不成立；对于C 选项：3y x =在(,)-∞+∞单调递增，成立；对于D 选项：举反例1,2a b =-=-，不成立．故选：C ．4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x =B.ln e xy = C.y = D.y=【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知()ln exf x x ==，且0x >，ln e 0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+.显然A 选项定义域与值域均为R ，故A 错误；因为ln e x y x ==，且e 0x >恒成立，即其定义域与值域均为R ，故B 错误；0y x ==≥，即其定义域为R ，值域为[)0,∞+，故C 错误；0y=>，且0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+，即D 正确.故选：D5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>【分析】先判断出a b c 、、的范围，再比较大小即可.【详解】因为0.30221a =>=，所以1a >；0.30.3log 2log 10b =<=，0b <；0.3000.50.51c <=<=，01c <<；所以a c b >>.故选：D6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，23y x =-在R 上单调递增，所以2()log 23f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，因为()110f =-<，()22log 222320f =+⨯-=>，故函数()f x 零点的区间是(1,2).故选：C7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.2π【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出ϕ的取值，从而解得.【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知()π212k ϕ=-⋅，Z k ∈，令0k =，可得ϕ的一个值为π2-.故选：B8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】分别解出cos 0x =、sin 1x =，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由cos 0x =，得ππ,Z 2x k k =+∈，由sin 1x =，得π2π,Z 2x k k =+∈，又ππ2π,Z π,Z 22x x k k x x k k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊆=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以“cos 0x =”是“sin 1x =”的必要不充分条件.故选：B.9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.1【答案】A 【解析】【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.【详解】由题意可知4.0lg 0.14lg 0.15K K =+⇒=-=，所以5lg L V =+，故()5lg 0.65lg3lg55lg31lg 2 4.78 4.8+=+-=+--≈≈，故A 正确.故选：A10.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 和()g x 的图象，结合函数图象即可判断A B ；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C ；根据当1k a =时，函数()log (1)a m x x a =>和1()n x kx x a==的图象都过过点(),1a ，即可判断D.【详解】对于A ，如图所示，作出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有三个公共点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知，当>4x 时，()()f x g x >，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立，故B 错误；对于C ，如图，作出函数()2x f x =，()log (1)a m x x a =>的图象，由图可知，函数()2x f x =的图象在y x =的图象的上方，函数()log (1)a m x x a =>的图象在y x =的图象的下方，所以()0,x ∞∀∈+，()()f x m x >，所以不存在0(0,)x ∈+∞，使得()()00f x m x <成立，故C 错误；对于D ，因为1,0a k >>，1ak ≤，当1k a=时，函数()log (1)a m x x a =>的图象过点(),1a ，函数1()n x kx x a==的图象过点(),1a ，即直线与函数图象有交点，当1k a<时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，所以当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解，故D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】利用对数的限制条件可得答案.【详解】由题意得，20x ->得2x <，所以定义域是(,2)-∞.故答案为：(,2)-∞12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．【答案】1【解析】【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可【详解】124(lg2lg5)2lg10211-+=-=-=.故答案为：113.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.【答案】1【解析】【分析】令()0f x =，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.【详解】()2()1ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，令()2()1ln 0f x x x =-=，则210x -=或ln 0x =，解得1x =或=1x -（舍）.故答案为：114.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.【答案】①.3-②.π6【解析】【分析】当0=t 时，求出点P 对应的1P 坐标，即可求得tan α的值，当π6t =时，求出点P 对应的2P 坐标，即可确定扇形12O P P 的圆心角，从而可以求得线段OP 扫过的面积.【详解】当0=t 时，ππ3cos cos 662⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin sin 662⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点11,22P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以132tan 332α-==-，此时，1π6xOP ∠=-，当π6t =时，πππcos 2cos 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ1sin 2sin 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点21,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，此时，2π6xOP ∠=，所以12πππ663POP ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭，且1OP =，所以 12ππ133PP =⨯=，所以当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积就是扇形12O P P 的面积，即121ππ1236OP P S =⨯⨯=扇形，故答案为：33-，π6.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.【详解】当2a =时，()2,222,2x x f x x ≥=-<⎪⎩，则方程()2f x =，若2,222x x ≥∴=⇒=，若2,222242xxx x <∴=-⇒=⇒=，与前提矛盾，舍去，所以当2a =时，方程()f x a =有唯一解2x =，故①正确；当(0,1)a ∈时，若2,2x a a x ≥∴=⇒=，若2,2xx a a <∴=-，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，则当log 2a x ≤时,20x y a =-≥，且2x y a =-在(),2∞-上单调递减，当log 22a x <<时，20x y a =-<，则2(2)2x f x a a =-<-，此时()()()222222102a aaa a a a a --=+-=-+<⇒<-，作出函数()f x 与y a =的草图如下，可知当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解，故②正确；因为0a >且1a ≠，可知0y a =+>恒成立，若()0,1a ∈，由上可知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，且()log 2log 20a a x =<时，20x y a =-=，此时20xy a =-≥；若1a >，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递增，即222x y a a =-<-，（i 1a ≥>时，20x y a =-<，则20xa ->，（ii ）当a >()log 2log 22a a x =<时，20xy a =-=，此时20x y a =-≥；1a ≥>时，()f x 取不到最小值0，故③错误；由上可知()0,1a ∈和)∞+时，()f x 在(),log 2a ∞-上单调递减，1a ≥>时，()f x 在(),2∞-上单调递减，故④错误.故答案为：①②【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.【答案】（1）3sin 5α=，5sin 5β=.（2）5-【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；（2）利用余弦的差角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可知：1sin 0y α=>，4cos 5α=，则3sin 5α==，同理2sin 0y β=>，cos 5β=-，则sin 5β==；【小问2详解】易知POM βα∠=-，所以()cos cos cos cos sin sin POM βαβαβα∠=-=+4355555=-⨯+⨯=-.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出ω，代点求出ϕ，从而求出()y f x =的解析式.（2）根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.【小问1详解】由表格知，2A =且4πππ233T =-=，即2πT =，故2π1T ω==，由ππ32+=ωϕ，则ππ32ϕ+=，故π6ϕ=，则π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知ππ()2sin 36⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x f x x ，由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，所以π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数()y g x =的单调增区间为π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πT =（2；最小值1-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x ，若选条件①可推得函数()f x 不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，借助正弦函数性质可求出最值.【小问1详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-，04ω<<，所以π()sin 2cos 224f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若选条件①：因为π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为.所以π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 存在.若选条件②：因为x ∀∈R ，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.故()f x 在π8x =处取最大值，即πππ2π442k ω+=+，k ∈Z ，所以18k ω=+，因为04ω<<，故1ω=，所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.若选条件③：因为函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.ππ044ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππ44k ω-+=，k ∈Z ，即14k ω=-，k ∈Z ，因为04ω<<，故1ω=.所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x +=，即π8x =时，()f x ；故当π5π244x +=，即π2x =时，()f x 取最小值1-.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，2-（2）(4,)m ∈+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数()e e 4x x f x m -=+-计算m ，利用换元法e 0x u =>，结合基本不等式进行最小值的求解即可.（2）由于函数()f x 图像恒在x 轴上方，所以函数()0f x >，进行参数分离，得到24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立，结合换元法进行讨论即可.【小问1详解】因为函数()e e 4x x f x m -=+-为偶函数.所以()()f x f x -=恒成立，即e e 4e e 4x x x x m m --+-=+-恒成立.即()(1)ee 0xx m ---=恒成立，解得1m =，所以1()e e 4e 4exxx x f x -=+-=+-，令e 0x u =>，1442y u u =+-≥-=-，当且仅当1u =，即0x =时，等号成立.所以函数()f x 的最小值为2-.【小问2详解】当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，故当[1,1]x ∈-时()e e 40x x f x m -=+->恒成立.即24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立.令2()4e e x x h x =-，令e x t =，1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为24y t t =-，对称轴为2t =，故当2t =即ln 2x =时，()h x 取最大值4，故(4,)m ∈+∞.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.【答案】20.()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ 21.这一天在1014x -≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()f x 的解析式，分类讨论解不等式()101f x ≥即可得结果.【小问1详解】当[0,12]x ∈时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(10,106)，且过()8,102，()12,102，可设2()(10)106f x b x =-+，0b <，代入点(8,102)可得2(810)106102b -+=，解得1b =-，故当[0,12]x ∈时，2()(10)106f x x =--+；点(12,102)代入log (10)103a y x =--+，解得2a =，故当(12,24]x ∈时，2()log (10)103f x x =--+；()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ .【小问2详解】当[0,12]x ∈时，令2()(10)106101f x x =--+≥，解得1012x ≤≤，当(12,24]x ∈时，令2()log (10)103101f x x =--+≥，解得1214x <≤，所以1014x -≤≤，综上所述：这一天在1014x ≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用m 元完备数对的定义推理判断即得.（2）令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，根据m 元完备数对的定义确定k b 的所有可能情况，再导出矛盾即可.【小问1详解】当3m =时，由12(1,2)+-≤=i i a a i ，得12235-+-<a a a a ，不符合题意，所以不存在3元完备数对；当4m =时，当13a =，22a =，34a =，41a =时，满足122331a a a a a a -≤-≤-且1223346-+-+-=a a a a a a ，符合题意，所以(3,2,4,1)A =为4元完备数对.【小问2详解】假设存在8元完备数对，当8m =时，令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，则1211b b b ≤≤≤≤ ，且12710b b b +++= ，则k b 有以下三种可能：①()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ；②()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩；③()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，于是126b b b === ，即1223671a a a a a a -=-==-= ，由112|(1,2,,7)|||k k k k a a a a k +++--== ，得112k k k k a a a a +++-=-或121k k k k a a a a +++--=，而,{1,2,3,4,5,6,7,8},,i j i j i j a a ∈≠≠，则有112k k k k a a a a +++-=-，因此1a ，2a ，…，7a ，8a 分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由74b =得874a a =+或874a a =-，与已知矛盾，则当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，不存在8元完备数对；当()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩或()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，同理不存在8元完备数对，所以不存在8元完备数对.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。

2019-2020学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷及答案

2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6} 2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．55．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2 s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝．15．（5分）已知函数，则f（0）＝；能说明“方程f （x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．2019-2020学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则（）A．A∪B＝U B．A∩B＝{1，2}C．∁U A＝{3，4，5}D．∁U B＝{4，5，6}【分析】直接根据交并补的定义即可求出．【解答】解：集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝{0，1，2，3}，A∩B＝{1，2}，∁U A＝{3，4，5，6}，∁U B＝{0，4，5，6}，故选：B．【点评】本题考查了集合的交并补的运算，属于基础题．2．（5分）已知二次不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】先分解因式，解出不等式即可求解结论．【解答】解：因为x2﹣2x﹣3≤0⇒（x﹣3）（x+1）≤0⇒﹣1≤x≤3；故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了因式分解的应用问题，是基础题目．3．（5分）下列各式正确的是（）A．π2•π3＝π6B．C．lg2+lg5＝1D．【分析】由已知结合指数与对数的运算性质及对数的换底公式分别检验各选项即可．【解答】解：根据指数的运算性质可知，π2•π3＝π5，A错误；根据分数指数幂可知，＝，B错误；由对数的运算性质可得，lg2+lg5＝lg10＝1，C正确；由对数的换底公式可得，＝log36≠ln2，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查指数与对数的运算性质，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题．4．（5分）已知向量＝（2，﹣1），＝（﹣1，3），则|﹣|＝（）A．1B．C．D．5【分析】根据向量的坐标即可求出的坐标，进而求出的值．【解答】解：∵，∴．故选：D．【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．C．D．log2a＜log2b【分析】直接利用不等式的性质求出结果．【解答】解：对于A，D：当a＜b＜0时，不等式不成立．对于B：a＝0或b＝0，关系式没有意义．故错误．对于C：由于b＜a，且y＝（）x为单调递减函数，则：（）b＜（）b，故C正确．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．（5分）为了丰富学生的寒假生活，某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，那么选择的2部名著中包括外国名著的概率为（）A．B．C．D．【分析】小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，由此能求出选择的2部名著中包括外国名著的概率．【解答】解：某学校为了学生推荐了《论语》、《红楼梦》、《乡土中国》和《巴黎圣母院》4部名著．小明准备从中任意选择2部进行阅读，基本事件总数n＝＝6，选择的2部名著中包括外国名著包含的基本事件个数m＝＝3，∴选择的2部名著中包括外国名著的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）已知函数f（x）＝mx2+x+1有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】条件转化为方程mx2+x+1＝0有两个不等根，结合根的判别式列出不等式即可【解答】解：函数有两个零点等价于关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有两个不等根，则，解得m＜且m≠0，即m∈（﹣∞，0）∪（0，），故选：B．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及二次函数根的判别式，属于中档题．8．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，y＝f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．f（1）＞f（﹣2）＞f（3）B．f（3）＞f（1）＞f（﹣2）C．f（1）＞f（3）＞f（﹣2）D．f（﹣2）＞f（1）＞f（3）【分析】根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣2）＝f（2），由函数的图象分析函数的单调性，可得f（1）＞f（2）＞f（3），综合可得答案．【解答】解：根据题意，y＝f（x）是定义在R上的偶函数，则f（﹣2）＝f（2），又由函数图象可得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，即有f（1）＞f（2）＞f（3），则有f（1）＞f（﹣2）＞f（3），故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意偶函数的性质，属于基础题．9．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．【解答】解：“|+|＝||+||”⇒“，共线”，反之不成立，例如．∴，是非零向量，则“，共线”是“|+|＝||+||”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）“里氏震级”反映的地震释放出来的能量大小的一种度量．里氏震级M地震释放的能量E（单位：焦耳）之间的关系为：.1988年云南澜沧发生地震为里氏7.6级，2008年四川汶川发生的地震为里氏8级．若云南澜沧地震与四川地震释放的能量分别为E1，E2，则的值为（）A．10﹣0.6B．10﹣0.4C．100.4D．100.6【分析】分别把云南澜沧发生地震的里氏等级与四川汶川发生的地震的里氏等级代入，然后利用对数的运算性质求解的值．【解答】解：∵云南澜沧发生地震为里氏7.6级，∴7.6＝，即；①∵四川汶川发生的地震为里氏8级，∴，即．②①﹣②得：，即，∴．故选：A．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，￢p为∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则￢p是：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．故答案为：∃x0∈R，x02+x0+1＜0．【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，注意量词的变化．12．（5分）已知幂函数f（x）＝xα（α为常数）的图象经过点（4，2），则f（x）＝（x ≥0）．【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，求出α的值．【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（4，2），则4α＝2，解得α＝，所以f（x）＝（x≥0）．故答案为：（x≥0）．【点评】本题考查了幂函数的定义与解析式的求法问题，是基础题．13．（5分）在某社区举行的“讲文明，树新风”答题竞赛中，根据甲、乙两组选手的成绩，绘制的茎叶图如图所示，甲组成绩的25%分位数为70；设甲、乙两组成的方差分别为s甲2，s乙2，那么s甲2＞s乙2．（填“＞”或“＜”或“＝”）【分析】由茎叶图得甲组成绩从小到大排列，由25%×12＝3，得到甲组成绩的25%分位数为第3个数和第4个数的平均数，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，从而s甲2＞s乙2．【解答】解：由茎叶图得甲组成绩从小到大为65，67，69，71，75，77，80，83，85，89，93，95，25%×12＝3，∴＝70，由茎叶图得甲组成绩相对分散，乙组成绩相对集中，∴s甲2＞s乙2．故答案为：70，＞．【点评】本题考查25%分位数的求法，考查方差的求法及应用，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ＝0．【分析】建坐标系，可得，，的坐标，由＝λ+μ可得关于λμ的方程组，解之相加可得．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得＝（3，0），＝（0，4），可得＝（3，﹣4）∵＝λ+μ，∴，解之得λ＝1，μ＝﹣1，∴λ+μ＝0．故答案为：0．【点评】本题考查平面向量基本定理及其意义，建系是解决问题的关键，属中档题．15．（5分）已知函数，则f（0）＝1；能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的一个值为1（答案不唯一）．【分析】直接把变量代入对应的解析式求出第一个空，结合图象求解第二个空．【解答】解：因为函数，则f（0）＝e0＝1；函数的大致图象为：故能说明“方程f（x）﹣a＝0有两个实根”为真命题的实数a的取值范围是（0，1]；故答案为：1，1（答案不唯一）．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，以及数形结合思想的应用，属于基础题．16．（5分）若函数f（x）满足下面三个条件：①f（x）在其定义域上图象不间断；②f（x）是偶函数；③f（x）恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．【分析】由题意同时满足3个条件的函数可得为f（x）＝（x2﹣1）|x|．【解答】解：由题意可得满足条件的函数f（x）＝（x2﹣1）|x|．故答案为：f（x）＝（x2﹣1）|x|．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，及函数的奇偶性的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17．（14分）某校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从2000名高一学生中随机抽取100名学生，收集了他们周平均锻炼时间（单位：小时），将数据按照[3，5），[5，7）[7，9），[9，11），[11，13]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数；（Ⅲ）假设同组中的每个数据可用该区间的中点值代替，试估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在哪一个区间．（只需写出结论）【分析】（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，即为频率之和为1，解得a．（Ⅱ）先从抽取的100人中，算出周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例，再估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数2000×60%＝1200．（Ⅲ）每条的中点横坐标乘以面积，全加一起．【解答】解：（Ⅰ）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以（0.02+0.05+0.1+a+0.18）×2＝1，解得a＝0.15．（Ⅱ）抽取的100人中，周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例为（a+0.1+0.05）×2＝0.6＝60%．因此估计高一年级全体学生周平均锻炼时间不低于7小时的人数所占比例也为60%．估计所求人数为2000×60%＝1200．（Ⅲ）4×0.02×2+6×0.18×2+8×0.15×2+10×0.1×2+12×0.05×2＝7.92，所以估计高一年级全体学生周平均锻炼时间的平均数落在[7，9）内．【点评】本题考查频率分布直方图中频率，平均数的求法，属于基础题．18．（14分）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设＝．（Ⅰ）试用基底{，}，表示；（Ⅱ）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平面向量的线性运算法则即可用基底{，}，表示；（Ⅱ）考虑三点共线时，＝+（1﹣λ），经检验═+，∵，∴E，G，F三点共线．【解答】解：（Ⅰ）由题，＝+＝+＝+＝，＝+＝+＝﹣＝﹣．（Ⅱ）＝+＝+＝+，＝（）+（+）＝+，∵，∴E，G，F三点共线．【点评】本题考查平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．19．（14分）为了解甲、乙两名运动员的射击成绩，从两人近一年的射击成绩中各随机抽取一个容量为20的样本，经过处理，得到两人击中环数的频数如图所示．（Ⅰ）试估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率；（Ⅱ）从上述两个样本中各随机抽取一次，求甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【分析】（Ⅰ）由两人击中环数的频数折线图得甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，由此能估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率．【解答】解：（Ⅰ）由两人击中环数的折线图得：甲2次击中7环，2次击中8环，10次击中9环，6次击中10环，∴估计甲射击一次，击中环数不低于8环的概率p＝1﹣＝．（Ⅱ）由两人击中环数的频数统计图得：甲在20次射击有6次击中10环，乙在20次射击有8次击中10环，从上述两个样本中各随机抽取一次，基本事件总数n＝20×20＝400，甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环包含的基本事件个数m＝6×12+14×8＝184，∴甲、乙两人中恰有1人击中环数为10环的概率为：P＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考査折线图、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（14分）为了节能减排，某农场决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备．使用这种供电设备后，该农场每年消耗的电费C（单位：万元）与太阳能电池面积x（单位：平方米）之间的函数关系为（m为常数）．已知太阳能电池面积为5平方米时，每年消耗的电费为12万元．安装这种供电设备的工本费为0.5x（单位：万元）．记F（x）为该农场安装这种太阳能供电设备的工本费与该农场10年消耗的电费之和．（Ⅰ）写出F（x）的解析式；（Ⅱ）当x为多少平方米时，F（x）取得最小值？最小值是多少万元？【分析】（Ⅰ）把x＝5，C（x）＝12代入C（x）＝，求得m值，可得C（x）的解析式，再由题意写出F（x）的解析式；（Ⅱ）分段求解（Ⅰ）中函数的最小值，取最小值得答案．【解答】解：（Ⅰ）当0≤x≤5时，C（x）＝，由题意，12＝，即m＝80．∴C（x）＝．则F（x）＝＝；（Ⅱ）当0≤x≤10时，F（x）＝160﹣7.5x（0≤x≤10），当x＝10时，F（x）min＝85；当x＞10时，F（x）＝＝40，当且仅当，即x＝40平方米时上式等号成立，故当x为40平方米时，F（x）取得最小值，最小值是40万元．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．21．（14分）对于任意的有限集合P，Q定义：①；②P*Q＝{x|f p（x）•f Q（x）＝1}；③card（P）表示集合P的元素个数．已知集合A＝{x|x＝k，k∈N*，1≤k≤2020}，B＝{x|x＝2k，k∈N*，1≤k≤2020}．（Ⅰ）求f A（2019），f B（2019）的值；（Ⅱ）求card（A*B）的值；（Ⅲ）对于任意的有限集合M，设n＝card（M*A）+card（M*B），求n的最小值．【分析】（Ⅰ）直接根据定义，写出f A（2019），f B（2019）．的值．（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}，分两种情况当f A（x）＝2且f B（x）＝时，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，x取值，即可得出答案．（Ⅲ）列举法写出A∪B，A∩B＝{2，4，6，…2020}，所以M中的元素a∈A∪B且a∉A ∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n的值最小．【解答】（Ⅰ）f A（2019）＝2，f B（2019）＝，（Ⅱ）card（A*B）＝{x|f A（x）•f B（x）＝1}当f A（x）＝2且f B（x）＝时，所以x∈A且x∉B，那么x取值为：1，3，5，…，2019，共有＝1010个，当f A（x）＝且f B（x）＝2时，所以x∉A且x∈B，那么x取值为：2022，2024，…4040，共有＝1010个，所以card（A*B）＝1010+1010＝2020个．（Ⅲ）A＝{1，2，3，4，…，2020}，B＝{2，4，6，…，2020，2022，…4040}，A∪B＝{1，2，3，…，2020，2022，…4040}，A∩B＝{2，4，6，…2020}共1010个元素所以M中的元素a∈A∪B且a∉A∩B，所以当集合M为A∪B的子集与集合A∩B的并集时，n＝card（M*A）+card（M*B）的值最小，最小值为1011．【点评】本题属于新定义题，结合集合的交集并集，即可分析出答案，属于中档题．。

2019-2020学年北京市昌平区九年级上学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年北京市昌平区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是，MN平移到PQ 扫过的阴影部分的面积是．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝°（）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00 y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00 y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．圆锥C．圆柱D．三棱柱【分析】根据三视图看到的图形的形状和大小，确定几何体的底面，侧面，从而得出这个几何体的名称．解：俯视图是三角形的，因此这个几何体的上面、下面是三角形的，主视图和左视图是长方形的，且左视图的长方形的宽较窄，因此判断这个几何体是三棱柱，故选：D．2．已知∠A是锐角，tan A＝1，那么∠A的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵∠A是锐角，tan A＝1，∴∠A的度数是：45°．故选：C．3．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，OC，OD，若∠A＝20°，则∠COD的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】先根据垂径定理得到＝，然后根据圆周角得到∠BOD和∠BOC的度数，从而得到∠COD的度数．解：∵弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝2∠A＝2×20°＝40°，∴∠COD＝40°+40°＝80°．故选：C．5．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（1，0），（3，2），连接AB，将线段AB 平移后得到线段A'B'，点A的对应点A'坐标为（2，1），则点B'坐标为（）A．（4，2）B．（4，3）C．（6，2）D．（6，3）【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得B′点的坐标；解：∵A（1，0）平移后得到点A′的坐标为（2，1），∴向右平移1个单位，向上平移了1个单位，∴B（3，2）的对应点坐标为（4，3），故选：B．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断．解：点A（0，y1）和B（﹣3，y2）在抛物线对称轴x＝﹣2的两侧，且点A比点B离对称轴要远，因此y1＞y2，故选：A．7．如图所示的网格是正方形网格，图中△ABC绕着一个点旋转，得到△A'B'C'，点C的对应点C'所在的区域在1区∼4区中，则点C'所在单位正方形的区域是（）A．1区B．2区C．3区D．4区【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，从而得出线段AB和点C是绕着P点逆时针旋转90°，据此可得答案．解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点P即为旋转中心，由图可知，线段AB和点C绕着P点逆时针旋转90°，∴点C逆时针旋转90°后所得对应点C′落在4区，故选：D．8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个结论：①点C的坐标为（0，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③若a＝﹣1，则b＝4；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中结论正确的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②③④【分析】①根据抛物线与y轴的交点坐标的求法即可判断；②当m＝0时，可得抛物线与x轴的两个交点坐标和对称轴即可判断；③根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断；④根据二次函数图象当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．解：①∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，m），∴C（0，m），故①正确；②当m＝0时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0），对称轴方程为x＝1，∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确；③当a＝﹣1时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∵对称轴x＝1，∴另一个交点坐标为（3，0），∴b＝﹣3，故③错误；④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．故④正确．故选：C．二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．已知抛物线y＝x2+c，过点（0，2），则c＝2．【分析】把点（0，2）代入y＝x2+c即可得到结论．解：∵抛物线y＝x2+c，过点（0，2），∴0+c＝2，∴c＝2，故答案为：2．10．如图，已知正方形OABC的三个顶点坐标分别为A（2，0），B（2，2），C（0，2），若反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，请写出一个符合条件的k值k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．【分析】把B（2，2）代入y＝即可得到结论．解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象与正方形OABC的边有交点，∴把B（2，2）代入y＝得，k＝4，∴满足条件的k值的范围是0＜k≤4，故k＝1（答案不唯一），故答案为：k＝1（满足条件的k值的范围是0＜k≤4）．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为6，则的长为3π．【分析】连接OB，CO，根据弧长公式即可求解．解：连接OB，OC，则OC＝OB＝6，∠BOC＝90°，∴的弧长为π×6＝3π，故答案为3π．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AC＝20，请用含α的式子表示BC的长20tanα．【分析】直接利用正切的定义求解．解：在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，所以BC＝AC tan A＝20tanα．故答案为20tanα．13．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为2．【分析】连接AB，根据切线长定理得到PA＝PB，根据等边三角形的性质得到AB＝PA ＝6，∠PAB＝60°，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据正切的定义计算即可．解：连接AB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝6，∠PAB＝60°，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，∴∠CAB＝30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan∠CAB＝6×＝2，故答案为：2．14．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为（1，2）．【分析】根据位似变换的性质解答．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为25m．【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．如图，抛物线y＝x2+2x+2和抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点分别为点M和点N，线段MN 经过平移得到线段PQ，若点Q的横坐标是3，则点P的坐标是（1，5），MN平移到PQ扫过的阴影部分的面积是16．【分析】由抛物线解析式求得点M、N的坐标，然后根据平移的性质来求点P的坐标；阴影部分的面积＝平行四边形PMNQ的面积．解：如图，连接PM，QN，MQ、PN．由y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，知M（﹣1，1），N（1，﹣3）．∵点Q的横坐标是3，点Q在抛物线y＝x2﹣2x﹣2上，∴y＝32﹣2×3﹣2＝1．∴Q（3，1）．∴线段MN先向上平移4个单位，然后向右平移2个单位得到线段PQ．∴点P的坐标是（1，5），∴PN⊥MQ，且PN与MQ相互平分，∴平行四边形PMNQ是菱形．根据平移的性质知，S阴影部分＝S菱形PMNQ＝PN•MQ＝×4×8＝16．故答案是：（1，5）；16．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）17．计算：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．解：sin30°+2cos60°×tan60°﹣sin245°＝，＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝2，求AB的长．【分析】根据直角三角形的边角关系，求出AC，再根据勾股定理求出AB．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝＝．∵BC＝2，∴＝，AC＝6．∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB＝．19．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．（1）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2﹣2x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出y＞0时x的取值范围．【分析】（1）利用配方法可把抛物线解析式化顶点式；（2）先解方程﹣x2﹣2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．解：（1）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）＝﹣（x+1）2+4；（2）抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；如图，（3）﹣3＜x＜1．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N；②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B；③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用圆周角定理证明∠OAP＝∠OBP＝90°即可．解：（1）补全图形如图．（2）完成下面的证明．证明：∵OP是⊙Q的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．故答案为90，直径所对的圆周角是直角．21．如图，A，B，C是⊙O上的点，sin A＝，半径为5，求BC的长．【分析】构造直径三角形，利用垂径定理，圆周角定理解决问题即可．【解答】证明：方法Ⅰ：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC，如图1∵OB＝OC，且OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，∵∠A＝∠BOC，∴∠BOD＝∠A，sin A＝sin∠BOD＝，∵在Rt△BOD中，∴sin∠BOD＝＝，∵OB＝5，∴＝，BD＝4，∵BD＝CD，∴BC＝8．方法Ⅱ：作射线BO，交⊙O于点D，连接DC，如图2．∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠A，∴sin A＝sin∠BDC＝，∵在Rt△BDC中，∴sin∠BDC＝＝．∵OB＝5，BD＝10，∴＝，∴BC＝8．22．课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图1所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）如图2在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．【分析】（1）按题意画出图形即可；（2）分两种情况，由勾股定理求出BC，AB，则可得出答案．解：（1）补全图形如图：（2）情况Ⅰ，如图1：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（+2）cm．情况Ⅱ，如图2：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°，∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝（﹣2）cm．四、解答题（共4道小题，每小题6分，共24分）23．材料1：如图1，昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构．此种桥梁各结构的名称如图2所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，主索几何形态近似符合抛物线．材料2：如图3，某一同类型悬索桥，两桥塔AD＝BC＝10m，间距AB为32m，桥面AB 水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为2m；为了进行研究，甲、乙、丙三位同学分别以不同方式建立了平面直角坐标系，如图4：甲同学：以DC中点为原点，DC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；乙同学：如图5，以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；丙同学：以点P为原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）请你选用其中一位同学建立的平面直角坐标系，写出此种情况下点C的坐标，并求出主索抛物线的表达式；（2）距离点P水平距离为4m和8m处的吊索共四条需要更换，则四根吊索总长度为多少米？【分析】（1）根据选择的坐标系，可以直接写出点C的坐标，然后设出主索抛物线的表达式，再根据点C和点P都在抛物线上，即可求得主索抛物线的表达式；（2）根据求出的抛物线解析式，将x＝4和8代入解析式中，即可求得四根吊索的长度，从而可以求得四根吊索总长度为多少米．解：当选择甲同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，0），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，﹣8），，解得，∴主索抛物线的表达式为y＝x2﹣8；（2）x＝4时，y＝×42﹣8＝，此时吊索的长度为10﹣＝（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82﹣8＝﹣6，此时吊索的长度为10﹣6＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择乙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，10），设抛物线的表达式为y＝ax2+c（a≠0），由题意可知，C点坐标为（16，10），P点坐标为（0，2），解得．∴主索抛物线的表达式为y＝x2+2；（2）x＝4时，y＝×42+2＝，此时吊索的长度为m，由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝x2+2＝4，此时吊索的长度为4m，x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．当选择丙同学的坐标系时，（1）由图可知，点C的坐标为（16，8），设抛物线的表达式为y＝ax2（a≠0）162×a＝8，解得a＝，∴主索抛物线的表达式为y＝x2；（2）x＝4时，y＝×42＝，此时吊索的长度为（m），由抛物线的对称性可得，x＝﹣4时，此时吊索的长度也为m，同理，x＝8时，y＝×82＝2，此时吊索的长度为2+2＝4（m），x＝﹣8时，此时吊索的长度也为4m，∵++4+4＝13（米），∴四根吊索的总长度为13米．24．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，tan A＝，求⊙O半径的长．【分析】（1）如图，连接OD．根据已知条件得到∠AOD＝∠BOD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD．推出FC⊥OC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵点D是半圆的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∴∠ODC+∠OED＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD．又∵CF＝EF，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠FEC＝∠OED，∴∠FCE＝∠OED．∴∠FCE+∠OCD＝∠OED+∠ODC＝90°，即FC⊥OC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵tan A＝，∴在Rt△ABC中，＝，∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A，∵△ACF∽△CBF，∴＝＝＝．∴AF＝10，∴CF2＝BF•AF．∴BF＝．∴AO＝＝．25．如图1，是直径AB所对的半圆弧，点P是与直径AB所围成图形的外部的一个定点，AB＝8cm，点C是上一动点，连接PC交AB于点D．小明根据学习函数的经验，对线段AD，CD，PD，进行了研究，设A，D两点间的距离为xcm，C，D两点间的距离为y1cm，P，D两点之间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 3.20 4.00 5.00 6.00 6.507.008.00y1/cm0.00 1.04 2.09 3.11 3.30 4.00 4.41 3.46 2.50 1.530.00y2/cm 6.24 5.29 4.35 3.46 3.30 2.64 2.00m 1.80 2.00 2.65补充表格；（说明：补全表格时，相关数值保留两位小数）（2）如图2，在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y2的图象：（3）结合函数图象解决问题：当AD＝2PD时，AD的长度约为 4.54．【分析】（1）通过取点、画图、测量可求解；（2）根据题意作图即可；（3）由题意可得PD＝AD，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．解：（1）通过取点、画图、测量，可得m＝1.73，（2）如图（3）∵当AD＝2PD，∴PD＝AD，在（2）中图象中作出y＝x的图象，并测量两个函数图象交点得：AD＝4.54，故答案为：4.54．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是直线x＝1；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）①A与B关于对称轴x＝1对称；②A（0，c）向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），代入解析式即可求得；（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有1个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．解：（1）①∵A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故答案为直线x＝1；②∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，∴A（0，c）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，c），∵点B在抛物线上，∴4a+2b+c＝c，∴b＝﹣2a．（2）方法一：如图1，若a＞0，∵A（0，c），B（2，c），∴区域内（不含边界）恰有1个整点D的坐标为（1，c﹣1），则理另一个整点E（1，c ﹣2）不在区域内，∵把x＝1代入抛物线y＝ax2+bx+c得y＝a+b+c＝﹣a+c，∴根据题意得，解得1＜a≤2，如图2，若a＜0，同理可得，解得﹣2≤a＜﹣1综上，符合题意的a的取值范围为﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．方法二：∵AB＝2，点A是整点，∴点C到AB的距离大于1并且小于等于2．∵点C到AB的距离表示为c﹣a，减去c的差的绝对值，∴1＜|c﹣a﹣c|≤2，即1＜|a≤2，∴﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤2．五、解答题（共2道小题，每小题7分，共14分）27．已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．【分析】（1）根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CBE，根据三角形的外角的性质得到∠APE ＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．根据旋转的性质得到AF＝AD，∠DAF＝120°．根据全等三角形的性质得到AQ＝QE，于是得到结论．【解答】（1）补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°；（2）补全图形图2，，证明：在△ABD和△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE＝∠BAD+∠ABP＝∠CBE+∠ABP＝∠ABC＝60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF＝AD，∠DAF＝120°．∵∠APE＝60°，∴∠APE+∠DAP＝180°．∴AF∥BE，∴∠1＝∠F，∵△ABD≌△BEC，∴AD＝BE．∴AF＝BE．在△AQF和△EQB中，△AQF≌△EQB（AAS），∴AQ＝QE，∴，∵AE＝AC﹣CE，CD＝BC﹣BD，且AE＝BC，CD＝BD．∴AE＝CD，∴．28．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是P2，P3；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一）．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．【分析】（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；分别判断点P1，P2，P3的位置即可求解；②观察图象可求解；（2）分别求出直线y＝x+b与圆C，圆D相切时，b的值，即可求解；（3）线段AB的正可视点的定义，可得线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点，将点的坐标代入可求解．解：（1）①如图1，以AB为直径作圆G，则点P在圆上，则∠APB＝90°，若点P在圆内，则∠APB＞90°，以C（，）为圆心，AC为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；以D（，﹣）为圆心，AD为半径作圆，在点P优弧上时，∠APB＝45°，点P 在优弧内，圆G外时，45°＜∠APB＜90°；∵点P1（3，6），P2（﹣2，﹣5），P3（2，2）∴P1C＝＞＝AC，则点P1在圆C外，则∠AP1B＜45°，P2D＝＝AC，则点P2在圆D上，则∠AP2B＝45°，P3G＝＝BG，点P3在圆G上，则∠AP3B＝90°，∴线段AB的可视点是P2，P3，故答案为：P2，P3；②由图1可得，点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标y p范围：≤y p≤6）．（2）如图2，设直线y＝x+b与圆C相切于点H，交x轴于点N，连接BH，∵∠HNB＝∠HBN＝45°，∴NH＝BH，∠NHB＝90°，且NH是切线，∴BH是直径，∴BH＝5，∴BN＝10，∴ON＝7，∴点N（﹣7，0）∴0＝﹣7+b，∴b＝7，当直线y＝x+b与圆D相切同理可求：b＝﹣8∴﹣8≤b≤7（3）如图3，作AB的中垂线，交⊙C于点Q，交⊙D于点W，∵直线y＝﹣x+m上存在线段AB的正可视点，∴线段CQ和线段DW上的点为线段AB的正可视点．∵点C（，），点D（，﹣），点Q（，+），点W（，﹣﹣）分别代入解析式可得：∴m＝3，m＝+3，m＝﹣2，m＝﹣2﹣，∴m的取值范围：或．。

2022-2023学年北京市昌平区第二中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

昌平二中2022—2023学年第一学期期中考试高一年级数学学科试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.y =，2y =B.y x =，y =C.211x y x -=-，1y x =+ D.y x =，2xy x=2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1y x =+ B.2y x =- C.1y x=D.y x x=3.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A .()3,0,0x x x ∀∈-∞+< B.()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C.[)30000,,0x x x ∃∈+∞+< D.[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥4.设x ∈R ，则“1122x -<”是“1x <”的（）条件．A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要5.在以下区间中，存在函数3()33f x x x =+-的零点的是（）A.[1,0]- B.[1,2]C.[0,1]D.[2,3]6.已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（）A.3- B.1- C.1D.37.设,a b ∈R ，下列命题中的真命题是（）A.若a b >，则||||a b >B.若a b >，则11a b >C.若a b >，则33a b > D.若a b >，则1>ab8.设奇函数()f x 的定义域为R ，当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，且(1)0f =，则不等式()0xf x ≥的解集是（）A.[1,0][1,)-⋃+∞ B.(,1][0,1]-∞-C.(,1][1,)-∞-+∞ D.以上结果都不对9.已知函数()f x 是定义在[]1,1-的奇函数，且()f x 在[]1,0-上单调递增，若(21)02t f t f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为（）A.2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，满分30分．11.函数y =的定义域为___________．12.已知函数()241f x x x =--的两个零点分别为1x 和2x ，则2212x x +的值为______．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21f x x =-，则当0x <时，()f x =______．14.函数()()411f x x x x =+>-+的最小值为______；对应的x 的取值是______．15.已知函数2()1f x x ax =-+，若()f x 满足：对于任意的1x ，(]2,1∈-∞-x ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是______．16.对于实数a ，b ，定义运算“*”：22a ab a ba b b ab a b ⎧-<*=⎨->⎩，，，设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则m 的取值范围是_____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知全集U =R ，若集合{}37A x x =<<，{2B x x =<或}4x >.（1）求A B ⋂，A B ⋃，()()U UA B ⋂痧；（2）若集合{}0P x x a =-≥且P A A =I ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()2bf x x c x=++(b ，c 为常数)，f (1)=4，f (2)=5.（1）求函数f (x )的解析式；.（2）用定义证明∶函数f (x )在区间(0，1)上是减函数.19.已知函数()()2f x x x =-．（1）画出此函数的图像；（2）求不等式()12f x <的解集；（3）若函数()()2h x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围．20.已知函数()2()22f x ax a x =+--.（1）若()0f x ≥的解集{1x x ≤-或}2x ≥，求a 的值；（2）分类讨论不等式()0f x ≥的解集.21.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始min x 时，学生注意力集中度的值()f x （()f x 的值越大，表示学生的注意力越集中）与x 的关系如下：20.1 2.643,010,()59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩（1）讲课开始5min 时和讲课开始20min 时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？（3）一道数学难题，需要讲解13min ，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.22.对于区间[a,b](a<b),若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a,b]上是单调函数，②函数()y f x =在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数()f x 的“保值”区间（1）求函数2y x =的所有“保值”区间（2）函数()2y x m m 0=+≠是否存在“保值”区间？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由昌平二中2022—2023学年第一学期期中考试高一年级数学学科试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.下列四组函数中，表示同一函数的是（）A.y =，2y =B.y x =，y =C.211x y x -=-，1y x =+ D.y x =，2xy x=【答案】B【分析】分别判断各个选项中两个函数的定义域和解析式是否相同，从而得到结果.【详解】对于A ，y =R ，2y =定义域为[)0,∞+，∴y =2y =不是同一函数，A错误；对于B ，y x =与y =定义域均为R x =，y x ∴=与2y =是同一函数，B 正确；对于C ，211x y x -=-定义域为{}1x x ≠，1y x =+定义域为R ，211x y x -∴=-与1y x =+不是同一函数，C 错误；对于D ，y x =定义域为R ，2x y x =定义域为{}0x x ≠，y x ∴=与2x y x=不是同一函数，D 错误.故选：B.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1y x =+ B.2y x =- C.1y x=D.y x x=【答案】D【分析】利用奇偶性和单调性的定义，结合基本函数的性质逐个分析判断即可.【详解】对于A ，函数的定义域为R ，因为()1()f x x f x -=-+≠且()1()f x x f x -=-+≠-，所以此函数为非奇非偶函数；对于B ，函数的定义域为R ，因为22()()()f x x x f x -=--=-=，所以此函数为偶函数；对于C ，函数的定义域为{}0x x ≠，因为11()()f x f x x x-==-=--，所以此函数为奇函数，而此函数在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数；对于D ，函数的定义域为R ，因为()||||()f x x x x x f x -=--=-=-，所以此函数为奇函数，当0x ≥时，2()||f x x x x ==为增函数，又函数为奇函数，所以函数在R 上单调递增.故选：D3.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A.()3,0,0x x x ∀∈-∞+< B.()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C.[)30000,,0x x x ∃∈+∞+< D.[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥【答案】C【详解】试卷分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.考点：全称命题与存在性命题.4.设x ∈R ，则“1122x -<”是“1x <”的（）条件．A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【分析】先求解1122x -<，再根据充分与必要条件的概念分析即可.【详解】解：因为111110122222x x x -<⇒-<-<⇒<<.所以“01x <<”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A5.在以下区间中，存在函数3()33f x x x =+-的零点的是（）A.[1,0]- B.[1,2]C.[0,1]D.[2,3]【答案】C【详解】分析：要判断函数f （x ）=x3+3x-3的零点的位置，我们可以根据零点存在定理，则该区间两端点对应的函数值，应异号，将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式，易判断零点的位置．解答：解：∵f （-1）=-7f （0）=-3f （1）=1f （2）=11f （3）=33根据零点存在定理，∵f （0）f （1）＜0故[0，1]存在零点故选C点评：要判断函数的零点位于哪个区间，可以根据零点存在定理，即如果函数f （x ）在区间（a ，b ）上存在一个零点，则f （a ）?f （b ）＜0，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，但要注意该定理只适用于开区间的情况，如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间，我们要分类讨论．6.已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若()()10f a f +=，则实数a 的值等于（）A.3- B.1- C.1D.3【答案】A【分析】首先求得()1f 的值，然后分类讨论确定实数a 的值即可，需要注意自变量的取值范围.【详解】()1212f =⨯=，据此结合题意分类讨论：当0a >时，()2f a a =，由()()10f a f +=得220a +=，解得1a =-，舍去；当0a ≤时，()1f a a =+，由()()10f a f +=得120a ++=，解得3a =-，满足题意.故选：A ．7.设,a b ∈R ，下列命题中的真命题是（）A.若a b >，则||||a b >B.若a b >，则11a b >C.若a b >，则33a b > D.若a b >，则1>ab【答案】C【分析】根据基本不等关系，结合具体实例对选项一一判断即可.【详解】对于A ，若1,2a b ==-，满足a b >，此时||||a b <，故A 错误；对于B ，若2,1a b ==，满足a b >，此时11a b<，故B 错误；对于C ，若a b >，则33a b >，故C 正确；对于D ，若1,2a b ==-，满足a b >，此时1ab<，故D 错误；故选：C8.设奇函数()f x 的定义域为R ，当(0,)x ∈+∞时，()f x 是增函数，且(1)0f =，则不等式()0xf x ≥的解集是（）A.[1,0][1,)-⋃+∞B.(,1][0,1]-∞-C.(,1][1,)-∞-+∞D.以上结果都不对【答案】C【分析】当0,1,1x =-时，不等式()0xf x ≥显然成立，再讨论当0,1,1x x x ≠≠-≠时不等式的解集，综合即得解.【详解】解：奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，f （1）0=，∴函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，且(1)f f -=-（1）0=，当0,1,1x =-时，不等式()0xf x ≥显然成立，当0,1,1x x x ≠≠-≠时，则不等式等价为0x >时，()0f x >，此时1x >；当0x <时，()0f x <，此时1x <-，综上不等式的解为1x ≤-或1x ≥，故不等式的解集为：(,1][1,)-∞-+∞ .故选：C9.已知函数()f x 是定义在[]1,1-的奇函数，且()f x 在[]1,0-上单调递增，若(21)02t f t f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为（）A.2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D.20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据奇函数将(21)02t f t f ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭化简一下，再根据()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，建立不等式组进行求解即可．【详解】()f x 是奇函数(21)02t f t f ⎛⎫∴-+< ⎪⎝⎭等价为(21)((22t t f t f f -<-=-，()f x 在[]1,0-上单调递增,且()f x 是奇函数，()f x ∴在[]1,1-上单调递增，∴1211112212t t t t ⎧⎪-≤-≤⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，即012225t t t ⎧⎪≤≤⎪-≤≤⎨⎪⎪<⎩解得：205t ≤<．故选：B10.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是A.()f x 为奇函数 B.()f x 为偶函数C.()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-，令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+，所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，满分30分．11.函数y =的定义域为___________．【答案】(]2,1-【详解】试卷分析：102xx -≥+21x ⇒-<≤，故定义域为(2,1]-．考点：函数的定义域．12.已知函数()241f x x x =--的两个零点分别为1x 和2x ，则2212x x +的值为______．【答案】18【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.【详解】因为函数()241f x x x =--的两个零点分别为1x 和2x ，所以1x 和2x 是2410x x --=的两个实根，所以124x x +=，121x x =-，所以2212222221()242(1)18x x x x x x =+-=--=+⨯.故答案为：18.13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21f x x =-，则当0x <时，()f x =______．【答案】21x -+【分析】当0x <时，根据奇函数的性质转到0x >时的解析式可求得结果.【详解】当0x <时，0x ->,()()()2211f x f x x x ⎡⎤=--=---=-+⎣⎦.故答案为：21x -+14.函数()()411f x x x x =+>-+的最小值为______；对应的x 的取值是______．【答案】①.3②.1【分析】由基本不等式积定求和的最小值，10x +>的条件下，当且仅当411x x +=+时取到最小值，即可求出此时的x 的取值【详解】因为1x >-，所以10x +>，所以44111311y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取到等号故答案为：3；115.已知函数2()1f x x ax =-+，若()f x 满足：对于任意的1x ，(]2,1∈-∞-x ，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,-+∞【分析】由单调性的定义可得()f x 在(],1-∞-上单调递减，再结合二次函数的图像性质可得对称轴大于等于1-即可【详解】不妨设12x x >，∵()()12120f x f x x x -<-，120x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在(],1-∞-上单调递减.2()1f x x ax =-+，对称轴为2a x =，开口向上，故有12a≥-，即2a ≥-.故答案为：[)2,-+∞16.对于实数a ，b ，定义运算“*”：22a ab a ba b b ab a b⎧-<*=⎨->⎩，，，设()(21)*(1)f x x x =--，且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则m 的取值范围是_____．【答案】1(0,)4【分析】根据代数式(21),(1)x x --之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数()f x 的解析式，画出函数的图象，利用数形结合求出m 的取值范围.【详解】由2x ﹣1≤x ﹣1可得x ≤0，由2x ﹣1＞x ﹣1可得x ＞0．∴根据题意得()()()()()()22212110()12110x x x x f x x x x x ⎧----≤⎪=⎨----⎪⎩，，＞．即2220()0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，，，画出函数的图象，从图象上观察当关于x 的方程为f （x ）＝m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线y ＝m 有三个不同的交点．当0x >时，函数的最大值为f （12）14=，可得m 的取值范围是1(0,)4，故答案为：1(0,4【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决已知方程根的个数求参数问题，考查了数学运算能力.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知全集U =R ，若集合{}37A x x =<<，{2B x x =<或}4x >.（1）求A B ⋂，A B ⋃，()()U UA B ⋂痧；（2）若集合{}0P x x a =-≥且P A A =I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}47A B x x ⋂=<<，{2A B x x ⋃=<或}3x >，()(){}23U U A B x x ⋂=≤≤痧；（2）{}3a a ≤.【分析】（1）根据交集、并集、补集的定义可求得结果；（2）分析可知A P ⊆，求出集合P ，利用集合的包含关系可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为全集U =R ，{}37A x x =<<，{2B x x =<或}4x >，所以，{}47A B x x ⋂=<<，{2A B x x ⋃=<或}3x >，{3U A x x =≤ð或}7x ≥，{}24U B x x =≤≤ð，则()(){}23U U A B x x ⋂=≤≤痧；（2）因为P A A =I ，则A P ⊆，{}{}0P x x a x x a =-≥=≥ ，故3a ≤.所以，实数a 的取值范围为{}3a a ≤.18.已知函数()2b f x x c x=++(b ，c 为常数)，f (1)=4，f (2)=5.（1）求函数f (x )的解析式；.（2）用定义证明∶函数f (x )在区间(0，1)上是减函数.【答案】（1）2()2f x x x=+（2）证明见解析【分析】(1)结合已知条件利用待定系数法求解即可；(2)首先设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <，然后利用作差法比较1()f x 和2()f x 大小，再结合函数单调性的定义即可证明.【小问1详解】由题意可知，(1)24(2)452f b c b f c =++=⎧⎪⎨=++=⎪⎩，解得2b =，0c =，故函数f (x )的解析式为：2()2f x x x =+.【小问2详解】设任意的1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <，则1212121212221()()2(22()(1)f x f x x x x x x x x x -=+-+=--，因为1x ，2(0,1)x ∈，且12x x <，所以120x x -<，1211x x >，即12110x x -<，从而12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数f (x )在区间(0，1)上是减函数.19.已知函数()()2f x x x =-．（1）画出此函数的图像；（2）求不等式()12f x <的解集；（3）若函数()()2h x f x a =-有三个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）图象见解析；（2）222226,,222⎛⎫⎛⎫+--∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）将函数写成分段函数的形式，再绘制图象即可；（2）根据（1）中所得函数解析式，分段求解即可；（3）根据()2,y a y f x ==的图象有三个交点，数形结合即可求得参数范围.【小问1详解】因为()()()()2,022,0x x x f x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，故其函数图象如下所示：.【小问2详解】当0x ≥时，令()12f x <，即()122x x -<，解得20,2x ⎡∈⎪⎢⎪⎣⎭，当0x <时，令()12f x <，即()122x x -+<，解得22,,022x ⎛⎫⎛⎫-+∈-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，不等式的解集为：222226,,222⎛⎫⎛⎫-++-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】若函数()()2h x f x a =-有三个零点，即()2,y a y f x ==的函数图象有三个交点，数形结合可知，121a -<<即可，解得11,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故实数a 的取值范围为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.20.已知函数()2()22f x ax a x =+--.（1）若()0f x ≥的解集{1x x ≤-或}2x ≥，求a 的值；（2）分类讨论不等式()0f x ≥的解集.【答案】（1）1（2）答案见解析【分析】（1）由题意可得方程2(2)20ax a x +--=的两个根为2和1-，从而可得2212,12a a a --+=-⨯=-，进而可求出a 的值，（2）分0a =，0a >，20a -<<，2a =-和2a <-五种情况讨论即可【小问1详解】因为()0f x ≥的解集{1x x ≤-或}2x ≥，所以方程2(2)20ax a x +--=的两个根为2和1-，所以2212,12a a a--+=-⨯=-，解得1a =【小问2详解】当0a =时，220x --≥，解得1x ≤-，当0a ≠时，由2(2)20ax a x +--≥，得(1)(2)0x ax +-≥，当0a >时，解得1x ≤-或2x a≥，当20a -<<时，21a<-，解得21x a ≤≤-，当2a =-时，解得=1x -，当2a <-时，210a-<<，解得21x a -≤≤，综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-，当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a -∞-+∞ ，当20a -<<时，不等式的解集为2[,1]a -，当2a =-时，不等式的解集为{}1-，当2a <-时，不等式的解集为[21,a-21.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始min x 时，学生注意力集中度的值()f x （()f x 的值越大，表示学生的注意力越集中）与x 的关系如下：20.1 2.643,010,()59,1016,3107,1630.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩（1）讲课开始5min 时和讲课开始20min 时比较，何时学生的注意力更集中？（2）讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？（3）一道数学难题，需要讲解13min ，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.【答案】（1）讲课开始后5min 学生注意力更集中（2）开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59)，能维持6分钟（3）不能，理由见解析【分析】（1）由题意得，(5)53.5,(20)47(5)f f f ==<，即可得到答案；（2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；（3）分别求解当010x <≤和1640x <≤时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论.【小问1详解】由题意得，()()()553.5,20475f f f ==<，所以讲课开始后5min 学生注意力更集中.【小问2详解】当010x <时，22()0.1 2.6430.1(13)59.9f x x x x =-++=--+，()f x 在010x <时单调递增，最大值为2(10)0.1(1013)59.959f =-⨯-+=．当1016x <时，()59f x =；当16x >时，函数()f x 为减函数，且()59f x <．因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为59)，能维持6分钟．【小问3详解】当010x <时，令()55f x =，解得6x =或20（舍去）；当16x >时，令()55f x =，解得1173x =，可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间11176111333=-=<，因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．22.对于区间[a,b](a<b),若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a,b]上是单调函数，②函数()y f x =在[a,b]的值域是[a,b]，则称区间[a,b]为函数()f x 的“保值”区间（1）求函数2y x =的所有“保值”区间（2）函数()2y x m m 0=+≠是否存在“保值”区间？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由【答案】（1）[]0,1；（2）31[1,)(0,)44--⋃.【分析】（1）由已知中的保值区间的定义，结合函数2y x =的值域是[0,)+∞，可得[,][0,)a b ⊆+∞，从而函数2y x =在区间[,]a b 上单调，列出方程组，可求解；（2）根据已知保值区间的定义，分函数2y x m =+在区间[,]a b 上单调递减和函数2y x m =+在区间[,]a b 单调递增，两种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】（1）因为函数2y x =的值域是[)0,+∞，且2y x =在[],a b 的最后综合讨论结果，即可得到值域是[],a b ，所以[][),0,a b ⊆+∞，所以0a ≥，从而函数2y x =在区间[],a b 上单调递增，故有22a a b b ⎧=⎨=⎩，解得0101a a b b ==⎧⎨==⎩或或.又a b <，所以01a b =⎧⎨=⎩.所以函数2y x =的“保值”区间为[]0,1.（2）若函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递减，所以22a m b b m a⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b b a -=-，整理得()()10a b a b -++=.因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--.又01b b b ≤⎧⎨--<⎩，所以102b -<≤.因为2221311(0)242m b a b b b b ⎛⎫=-+=--+=-+--<≤ ⎪⎝⎭，所以314m -≤<-.②若0b a >≥，此时函数2y x m =+在区间[],a b 上单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，整理得()()10a b a b -+-=.因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-.又01a a a≥⎧⎨<-⎩，所以102a ≤<.因为22111(0242m a a a a ⎛⎫=-+=-++≤< ⎪⎝⎭，所以104m <<.综合①、②得，函数()20y x m m =+≠存在“保值”区间，此时的取值范围是311,0,44⎡⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，函数的最值与值域等性质的综合应用，其中正确理解所给新定义，并根据新定义构造满足条件的方程（组）或不等式（组），将新定义转化为数学熟悉的数学模型求解是解答此类问题的关键，着重考查了转化思想和分类讨论思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试卷.。

2022-2023北京人大附中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同，故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0，当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立；当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足；当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ，当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10，根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x，所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的充分必要条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2，即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1．实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1，解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4，故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）．所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数；（2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0，所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小，此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74．故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞）．解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n，所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0；若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1，若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18，所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1，当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意，综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1，令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ，因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ，设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷含答案

石景山区2023—2024学年第一学期高一期末试卷数学（答案在最后）本试卷共5页，满分为100分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，则A B = （）A.{}2x x < B.{}02x x << C.{}12x x << D.{}12x x -<<【答案】B 【解析】【分析】根据交集的定义，即可判断选项.【详解】集合{}0A x x =>，{}12B x x =-<<，由交集的定义可知，{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，则p ⌝为（）A.2,10x R x x ∃∈-+≥ B.2,10∃∉-+≥x R x x C.2,10x R x x ∀∈-+≥ D.2,10x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题p ：“2,10x R x x ∃∈-+<”，的否定为：2,10x R x x ∀∈-+≥．故选：C ．3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1()2xy = B.()21y x =- C.1y x =-+ D.3y x =【答案】D【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.【详解】函数1()2xy =在R 上单调递减，A 不是；函数()21y x =-在(,1)-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则在(0,)+∞上不单调，B 不是；函数1y x =-+的R 上单调递减，C 不是；函数3y x =在R 上单调递增，在(0,)+∞上单调递增，D 是.故选：D4.已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集是()2,1-则a b +=（）A.0B.1- C.1D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．【详解】由题意2-和1是方程20x ax b ++=的两根，所以21a -+=-，1a =，212b -⨯==-，∴1a b +=-．故选：B ．5.“21x <”是“1x <”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解21x <的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】由21x <，得0x <，因为{}0x x <{}1x x <，所以“21x <”是“1x <”的充分不必要条件.故选：A6.某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（）人A.220B.225C.580D.585【答案】C【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.【详解】依题意，设高三男生人数为n 人，则高三女生人数为()800n -人，由分层抽样可得8001180040n -=，解得580n =.故选：C.7.若0a b <<则（）A.22a b <B.2ab b < C.22a b> D.2a bb a+>【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.【详解】A.因为0a b <<，则a b >，则22a b >，故A 错误；B.因为0a b <<，所以2ab b >，故B 错误；C.2x y =在R 上单调递增，当0a b <<时，22a b <，故C 错误；D.因为0a b <<，所以b a 和a b都大于0，则2a b b a +≥=，当b aa b =时，即0a b =<时等号成立，所以“=”不能取到，所以2a b b a+>，故D 正确.故选：D8.已知函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.1-B.0C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.【详解】函数()22log ,14,1x x x f x x -≥⎧=⎨<⎩，则()1221422log 212f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C9.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x <的解集是（）A.()0,1 B.()(),12,-∞+∞ C.()1,2 D.()()0,12,⋃+∞【答案】D【分析】由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-图象，即可得出答案.【详解】因为()2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，因为()21log 1110f =-+=，()22log 2210f =-+=，由()0f x <可得2log 1x x <-，即1y x =-的图象在2log y x =图象的上方，画出2log ,1y x y x ==-的图象，如下图，由图可知：不等式()0f x <的解集是()()0,12,∞⋃+.故选：D .10.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5,6A B = ，A B ⋂=∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（）A.12B.10C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】首先讨论集合,A B 中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.【详解】若集合A 中只有1个元素，则集合B 只有5个元素，1A ∉，5B ∉，即5A ∈，1B ∈，此时有04C 1=个；若集合A 中只有2个元素，则集合B 只有4个元素，2A ∉，4B ∉，即4A ∈，2B ∈，此时有14C 4=个；若集合A 中只有3个元素，则集合B 只有3个元素，3A ∉，3B ∉，不满足题意；若集合A 中只有4个元素，则集合B 只有2个元素，4A ∉，2∉B ，即2A ∈，4B ∈，此时有34C 4=个；若集合A 中只有5个元素，则集合B 只有1个元素，5A ∉，1B ∉，即1A ∈，5∈B ，此时有44C 1=个；故有序集合对(),A B 的个数是144110+++=.故选：B第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.函数()1lg 2y x x=-+的定义域为______.【答案】(2,)+∞【解析】【分析】利用函数有意义列式求解即得.【详解】函数()1lg 2y x x=-+有意义，则20x ->且0x ≠，解得2x >，所以函数()1lg 2y x x=-+的定义域为(2,)+∞.故答案为：(2,)+∞12.已知()2240x x y x x++=>，则当x =______时，y 取得最小值为______.【答案】①.2②.6【解析】【分析】由基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，40x >，所以224422x x y x x x ++==++≥+426=+=，当且仅当4x x=，即2x =时取等，所以当2x =时，y 取得最小值为6.故答案为：2；6.13.不等式212xx ≤-的解集为__________.【答案】[)2,2-【解析】【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.【详解】根据不等式212x x ≤-整理可得2102xx -≤-，即202x x +≤-，等价于()()22020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得22x -≤<；所以不等式212xx ≤-的解集为[)2,2-故答案为：[)2,2-14.写出一个值域为[)1,+∞的偶函数()f x =______.【答案】2x （答案不唯一）【解析】【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解()f x 的解析式.【详解】设()2xf x =，函数的定义域为R ，且()()f x f x -=，即函数为偶函数，0x ≥，所以()21x f x =≥，即函数的值域为[)1,+∞,所以满足条件的一个函数()2xf x =.故答案为：2x15.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若0a =，则()f x 的最大值是______；（2）若()f x 存在最大值，则a 的取值范围为______.【答案】①.1②.(],0-∞【解析】【分析】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，由二次函数的性质可得出答案；（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，即可得出答案.【详解】（1）若0a =，则()21,10,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当1x ≤时，()f x =21x -+，所以()(],1f x ∞∈-，则()f x 的最大值是1.（2）当0a =时，由（1）知，()f x 存在最大值，当0a ≠时，若()f x 存在最大值，()f x ax =在()1,∞+应单调递减，所以a<0，且当1x >时，()0f x ax a =<<，无最大值，当1x ≤时，()f x =2221124a a x ax x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭，则()f x 在,2a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x 存在最大值为2124a af a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.故a 的取值范围为：(],0-∞.故答案为：1；(],0-∞.三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知集合{}2340A x x x =-->，集合{}0B x a x =-≤（1）当2a =时，求A B ⋃；（2）若R B A ⋂≠∅ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；（2）4a ≤【解析】【分析】（1）分别求集合,A B ，再求A B ⋃；（2）根据（1）的结果，首先求R A ð，再根据集合的运算结果，求实数a 的取值范围.【小问1详解】当2a =时，{}2B x x =≥，2340x x -->，得>4x 或1x <-，即{1A x x =<-或4}x >，所以{1A B x x ⋃=<-或2}x ≥；【小问2详解】由（1）可知，{}R 14A x x =-≤≤ð，{}B x x a =≥，若R B A ⋂≠∅ð，则4a ≤.17.已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.（1）求丙投篮命中的概率；（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.【答案】（1）0.5（2）0.21（3）0.29【解析】【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件,,A B C ，根据独立事件概率公式，即可求解；（2）根据（1）的结果，根据公式()()()()P ABC P A P B P C =，即可求解；（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.【小问1详解】设甲投篮命中为事件A ，乙投篮命中为事件B ，丙投篮命中为事件C ，由题意可知，()0.6P A =，()0.3P B =，()()()0.35P BC P B P C ==，则()()10.7P B P B =-=，()0.350.50.7P C ==,所以丙投篮命中的概率为0.5；【小问2详解】甲和乙命中，丙不中为事件D ，则()P D =()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=，所以甲和乙命中，丙不中的概率为0.21；【小问3详解】甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件E ，则()()P E P ABC ABC ABC =++,()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.60.30.50.40.70.50.40.30.5=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.29=18.已知函数()322x mf x x -=+的图像过点()1,1．（1）求实数m 的值；（2）判断()f x 在区间(),1-∞-上的单调性，并用定义证明；【答案】（1）1m =-（2）()f x 在区间(),1-∞-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）将()1,1代入解析式，得到m 的值；（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【小问1详解】将点()1,1代入函数()322x m f x x -=+中，可得3122m-=+，解得1m =-．【小问2详解】单调递增，证明如下．由（1）可得()()()3123131222121x x f x x x x +-+===-+++，任取()12,1x x <∈-∞-，则()()121231312121f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()122112111111x x x x x x -=-=++++，因为()12,1x x <∈-∞-，则120x x -<，110x +<，210x +<，即()()12110x x ++>，所以()()1212011x x x x -<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在区间(),1-∞-上单调递增．19.甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：甲队88919396乙队89949792（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为21S ，22S ，试判断21S 与22S 的大小（结论不要求证明）【答案】（1）92（2）516（3）2212S S =【解析】【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；（3）结合方差的定义和公式，即可判断.【小问1详解】设甲队的平均分为1x ，则188919396924x +++==所以甲队的平均分为92；【小问2详解】分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有()()()()88,89,88,94,88,97,88,92,()()()()91,89,91,94,91,97,91,92,()()()()93,89,93,94,93,97,93,92,()()()()96,89,96,94,96,97,96,92，共包含16个基本事件，这2个比赛得分之差的绝对值为1包含()()()()()88,89,91,92,93,94,93,92,96,97，共5个基本事件，所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率516P =;【小问3详解】乙队的平均分为289949792934x +++==，则()()()()22222188929192939296928.54S -+-+-+-==,()()()()22222289939493979392938.54S -+-+-+-==2212S S =20.已知函数()e e x xf x a -=+，其中e 为自然对数的底数，R a ∈.（1）若0是函数()f x 的一个零点，求a 的值并判断函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 同时满足以下两个条件，求a 的取值范围.条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >；条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤.【答案】20.1a =-；奇函数.21.[]0,4【解析】【分析】（1）由()00f =可求出1a =-；再由奇偶函数的定义即可判断；（2）条件①，x ∀∈R ，都有()0f x >，即2e x a -<在R 上恒成立，由2e 0x >，即可求出a 的取值范围，条件②，[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出a 的取值范围.【小问1详解】因为0是函数()f x 的一个零点，所以()000e e 10f a a =+=+=，解得：1a =-，所以()e e x x f x -=-，因为()f x 的定义域为R ，()()ee x xf x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】条件①：x ∀∈R ，都有()0f x >，即e e 0x x a -+>，所以()2e 0e x x a+>，即()2e 0x a +>，则2e x a -<在R 上恒成立，因为2e 0x >，所以0a -≤，则0a ≥.故a 的取值范围为[)0,∞+.条件②：[]01,1x ∃∈-，使得()04f x ≤，即00e e 4x x a -+≤，即()002e 4e 0x x a -+≤，即()0024e e x x a ≤-，令0e x t =，[]01,1x ∈-，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()()22424g t t t t =-=--+，1,e et ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当2t =时，()()max 24g t g ==，所以4a ≤.若函数()f x 同时满足两个条件①②可得：故a 的取值范围为[]0,4.。

2021北京昌平区高三期末考试数学试题及答案

D
C
A
B
17. (本小题满分 13 分)
在 △ ABC 中， b 7 ， c 5 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ） B 的值；
（Ⅱ） △ ABC 的面积.
条件①： sin2B = sinB ；
条件②： cos2B = cosB .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
的人数，求 X 的分布列与数学期望；
(Ⅲ) 医学上通常认为，人的体温在不低于 37.3 C 且不高于 38 C 时处于“低热”状态. 该社区某一天
用智能体温计测温的结果显示，有 3 人的体温都是 37.3 C ，能否由上表中的数据来认定这 3 个人中至少有 1 人处于“低热”状态？说明理由.
4
19.（本小题满分 15 分）已知函数 f (x) a ln x 1 x2 (a 1)x 1.
3
18. (本小题满分 14 分) 智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差. 对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”. 现在某社区随机抽取了 20 人用两种体温计进行体温检测，数据如下：
个新数列{bn} ，则 b2021
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11. 已知{an} 是等差数列，若 a1 1， a7 13 ，则 a4 ______.

昌平2014高一上期末考试

昌平区2013－2014学年第一学期高一年级期末质量抽测数学试卷（150分，120分钟） 2014.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）设集合{2,0,2},{0}M N =-=，则下列结论正确的是A ．N =∅B ．N M ∈C ．NM D ．M N（2）下列各角中，与角43π终边相同的角是A. 3π-B. 23π- C. 3π D. 73π （3）函数12()log (23)f x x =-的定义域为A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3(,)2+∞D ．3[,)2+∞(4) 已知向量(2,1), (,2)m ==a b ，若1×a b =，则实数m 等于 A ．12-B ．12C ．1-D ．1 (5)下列函数中，在区间(0，+∞)上是增函数的是A. xy 1=B. y =23--=x y D. x y )21(=(6) 在△ABC 中，如果D 是BC 的中点，那么AB AC +u u u r u u u r等于A. BD uu u rB. AD uuu rC. 2BD uu u rD. 2AD uuu r（7）在平面直角坐标系中，已知单位圆的圆心与坐标原点重合，且与x 轴正半轴交于点A ，圆上一点1()2P ，则劣弧»AP 的弧长为 A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π（8）要想得到函数()sin(2)6f x x π=+的图象，只需把函数()sin 2f x x =的图象上的所有的点A.向左平移π6个单位 B.向左平移π12个单位 C.向右平移π6个单位 D.向右平移π12个单位（9）设3.0log ,3.0,2223.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<(10)已知函数e e ()e ex xx x f x --+=-，下列命题：① 函数()f x 的零点为1；② 函数()f x 的图象关于原点对称；③ 函数()f x 在其定义域内是减函数；④ 函数()f x 的值域为(,1)(1,)-∞-+∞U . 其中所有正确的命题的序号是A ① ② B. ② ③ C. ② ④ D ． ③ ④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）已知3cos 5α=-，且角α是第二象限的角，则sin α=_______;tan()πα-=_______. (12)若幂函数()f x 的图象过点1(2,)4，则f =____________．（13）某班有40名学生，现有25名学生选修了数学建模课程，有18名学生选修了物理实验探究课程.如果有5名学生这两门选修课程都没参加，则这个班同时选修了这两门课程的同学有_______名.(14) 以12{,}e e 为基底的向量,AB CD u u u r u u u r在网格中的位置如图所示，若12,AB CD λμ=+=+uu u r uu u ra e e则λμ+=________.（15）如图是函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<，R x ∈的部分图象，则函数()f x 的最小正周期为_______；函数()f x 的解析式为____(16) 已知函数2()3,f x x x =-11[,]22x a a ∈-+，R a ∈. 设集合11{(,())|,[,]}22M m f n m n a a =∈-+，若M 中的所有点围成的平面区域面积为S ，则S 的最小值为_______________. （17）（本小题满分14分）已知全集R U =，若集合{|310}A x x =≤≤，{|2B x x =<或7}x >.（I ）求,,A B A B I U U U AB I （）（）痧；（II ）若集合{|20},M x x a =+≥M A ≠∅I ，求实数a 的取值范围.（18）（本小题满分14分）已知,a,b c 是同一平面内的三个向量，其中(2,2)=a ，(3,4)=-b . （I ）若(8,1)=c ,且(2)a b -∥(+)k a c .求实数k 的值；（II ）若|c |=2，且a 与c 的夹角为45︒.求证：1()2-⊥a c a .（19）（本小题满分14分）已知函数()2sin(2)3f x x π=-.(I)请你用“五点法”画出函数()f x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；(II) 若[,]2x ππ∈时，求函数()f x 的最值以及取得最值时的x 的值.（20）（本小题满分14分）近年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势.为了获得更多的利润，某网店在国庆节前后搞了一次长达50天的促销活动.在这50天内，网店的销售额(单位：万元）与促销时间（单位：天)的关系满足1()(60),05010f t t t t =--≤≤;网店的投资额()g t 与促销时间t 的关系如下图所示.（利润=销售额-投资额）（Ⅰ）促销活动的第30天，网店获得的利润为多少万元？（Ⅱ）请你写出网店的投资额()g t 与促销时间t 之间的关系式；（Ⅲ）在促销活动的前30天内，哪一天的销售利润最大？最大利润是多少万元？（21）（本小题满分14分）若对于定义在R 上的连续函数()f x ，存在常数a （a ÎR ），使得()()0f x a af x ++=对任意的实数x 都成立，则称()f x 是回旋函数，且阶数为a .（Ⅰ）试判断函数()2sin π,()f x x g x x ==是否为阶数为1的回旋函数，并说明理由；（Ⅱ）证明：函数()2x h x =是回旋函数；（Ⅲ）证明：若函数()f x 是一个阶数为(0)a a >的回旋函数，则函数()f x 在[0,2014]a 上至少存在2014个零点.。

北京市2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

北京市东城区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x33．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是．12．（5分）sin的值为．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为．（写出符合条件的一个函数即可）14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．2020-2021学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，那么下列结论正确的是（）A．M＝∅B．M∈N C．M⫋N D．N⫋M【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合M＝{0}，N＝{﹣1，0，1}，∴M⫋N．故选：C．【点评】本题考查集合的关系的判断，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝|x| B．y＝lnx C．y＝e x D．y＝x3【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|，是偶函数，符合题意；对于B，y＝lnx，是对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于C，y＝e x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y＝x3，是幂函数，不是偶函数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题．3．（5分）已知函数y＝sin x在区间M上单调递增，那么区间M可以是（）A．（0，2π）B．（0，π）C．D．【分析】直接利用函数的单调性和子区间之间的关系求出结果．【解答】解：根据函数y＝sin x的单调递增区间：[]（k∈Z），当k＝0时，单调增区间为[]，由于为[]的子区间，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．（5分）命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为（）A．∃x∈A，2x∉B B．∃x∉A，2x∈B C．∀x∈A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题”∀x∈A，2x∈B”的否定为∃x∈A，2x∉B，故选：A．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．a D．【分析】直接利用不等式的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：由于a＞b，且a和b的正负号不确定，所以选项ACD都不正确．对于选项：B由于函数y＝2x为单调递增函数，且a＞b，故正确故选：B．【点评】本题考查的知识要点：函数的单调性的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．（5分）下列各式正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式直接求解．【解答】解：在A中，sin＞0＞sin＝﹣sin，故A错误；在B中，＜cos，故B正确；在C中，＞，故C错误；在D中，＞cos＝sin，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性和诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数''的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．8．（5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A．8100 B．900 C．81 D．9【分析】由题意令V＝2m/s，0m/s，则可求出耗氧量，求出之比．【解答】解：鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量为：令v＝2＝，即，即，即o＝8100，鲑鱼静止时耗氧量为：令v＝0＝，即，即o'＝100，故鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为，故选：C．【点评】本题考查对数求值，属于中档题．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．（5分）关于函数f（x）＝1+cos x，x∈（，2π）的图象与直线y＝t（t为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A．当t＜0或t≥2时，有0个交点B．当t＝0或时，有1个交点C．当时，有2个交点D．当0＜t＜2时，有2个交点【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当t＜0或t≥2时，有0个交点，故正确．②对于选项B：当t＝0或时，有1个交点，故正确．③对于选项C：当t＝时，只有一个交点，故错误．④对于选项D：当，只有一个交点，故错误．故选：AB．【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的应用，利用函数的图象求参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10．（5分）已知函数f（x）＝4|x|+x2+a，下列命题正确的有（）A．对于任意实数a，f（x）为偶函数B．对于任意实数a，f（x）＞0C．存在实数a，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝4|x|+x2+a，①对于选项A：由于x∈R，且f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：由于x2≥0，所以，故4|x|+x2≥1所以当x＝0时a＝﹣2时，f（x）＜0，故选项B错误．③对于选项C：由于函数f（x）的图象关于y轴对称，在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y轴对称，且在x＞0时，函数为单调递增函数，在x＜0时，函数为单调递减函数，故存在实数a＝0时，当x∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）时，不等式成立，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．11．（5分）函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【分析】解不等式1﹣x2＞0即可．【解答】解：令1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．12．（5分）sin的值为﹣．【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．【解答】解：sin＝sin（2π﹣）＝﹣sin＝﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．13．（5分）函数f（x）的值域为（0，+∞），且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f （x）可以为f（x）＝．（写出符合条件的一个函数即可）【分析】由函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，即是符合要求的一个函数．【解答】解：∵函数f（x）＝（）x的值域为（0，+∞），且在定义域R内单调递减，∴函数f（x）＝（）x即是符合要求的一个函数，故答案为：f（x）＝（）x．【点评】本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．14．（5分）在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．【分析】①利用交集定义直接求解．②利用并集定义直接求解．【解答】解：①设A＝{x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B＝{x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C＝{x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．故答案为：A∩B．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．故答案为：A∪C．【点评】本题考查并集、交集的求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝则f（﹣2）＝；若f（t）＝1，则实数t＝0或1 ．【分析】结合已知函数解析式，把x＝﹣2代入即可求解f（﹣2），结合已知函数解析式及f（t）＝1，对t进行分类讨论分别求解．【解答】解：f（x）＝则f（﹣2）＝2﹣2＝，∵f（t）＝1，①当t≥1时，可得＝1，即t＝1，②当t＜1时，可得2t＝1，即t＝0，综上可得t＝0或t＝1．故答案为：；0或1【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．（5分）某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t﹣1（a＞0且a≠1），它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是0.5平方米；②第8个月浮草的面积超过60平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到10平方米，20平方米，30平方米所经过的时间分别为t1，t2，t3，则2t2＞t1+t3．其中正确命题的序号有①②④．（注：请写出所有正确结论的序号）【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式，进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【解答】解：浮草蔓延后的面积y（平方米）与时间t（月）之间的函数关系式是y＝a t ﹣1（a＞0且a≠1），函数的图象经过（2，2）所以2＝a2﹣1，解得a＝2．①当x＝0时y＝，故选项A正确．②当第8个月时，y＝28﹣1＝27＝128＞60，故②正确．③当t＝1时，y＝1，增加0.5，当t＝2时，y＝2，增加1，故每月的增加不相等，故③错误．④根据函数的解析式，解得t1＝log210+1，同理t2＝log220+1，t3＝log230+1，所以2t2＝2log220+2＝log2400+2＞t1+t2＝log2300+2，所以则2t2＞t1+t3．故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，定义性函数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（12分）已知集合A＝{x|x2+3x+2＜0}，全集U＝R．（1）求∁U A；（2）设B＝{x|m﹣1≤x≤m}，若B⊆∁U A，求m的取值范围．【分析】（1）根据题意，求出集合A，进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意，结合集合间的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，因为A＝{x|x2+3x+2＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}．因为全集U＝R，所以∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，（2）根据题意，∁U A＝{x|x≤﹣2或x≥﹣1}，若B⊆∁U A，当m﹣1≥﹣1或m≤﹣2，即m≥0或m≤﹣2，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【点评】本题考查集合的补集运算，涉及集合的子集关系，属于基础题．18．（13分）已知函数，f（0）＝．（1）求f（x）的解析式和最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，2π]上的最大值和最小值．【分析】（1）利用函数值，转化求解函数的解析式，推出函数的周期；（2）利用函数的自变量的范围，求出相位的范围，然后求解正弦函数的最值．【解答】解：（1）因为，所以．又因为φ∈，所以φ＝．所以．所以f（x）最的小正周期．（2）因为x∈[0，2π]，所以．当，即时，f（x）有最大值2，当，即x＝2π时，f（x）有最小值．【点评】本题考查函数的周期以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为．（1）求tanβ的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得tanβ的值．（2）由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：（1）因为β的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，所以．因为，所以．所以．（2）因为α的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，所以．因为，所以，故＝＝＝．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．20．（16分）已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）判断f（x）的单调性并说明理由；（3）若f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，求x的取值范围．【分析】（1）定义域为R，然后求出f（﹣x），得f（﹣x）＝﹣f（x），所以为奇函数；（2）直接由指数函数的单调性可判断函数f（x）的单调性；（3）不等式变形，由奇函数的性质得出ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立，令关于a的函数g（a）＝xa+1﹣x＞0在（﹣∞，2]上恒成立，g（a）一定单调递减，所以满足则只需解出x的范围．【解答】解：（1）f（x）为奇函数．因为f（x）定义域为R，，所以f（﹣x）＝﹣f（x）．所以f（x）为奇函数；（2）在（﹣∞，+∞）是增函数．因为y＝3x在（﹣∞，+∞）是增函数，且y＝3﹣x在（﹣∞，+∞）是减函数，所以在（﹣∞，+∞）是增函数，（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且f（x）（﹣∞，+∞）是增函数．又因为f（ax﹣1）+f（2﹣x）＞0，所以f（ax﹣1）＞﹣f（2﹣x）＝f（x﹣2）．所以ax﹣1＞x﹣2对任意a∈（﹣∞，2]恒成立．令g（a）＝xa+（1﹣x），a∈（﹣∞，2]．则只需，解得所以﹣1＜x≤0．所以x的取值范围为（﹣1，0]．【点评】考查函数的奇函数的判断即函数的单调性，使用中档题．21．（15分）对于集合A，定义函数f A（x）＝对于两个集合A，B，定义运算A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．（1）若A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，写出f A（1）与f B（1）的值，并求出A*B；（2）证明：f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）证明：*运算具有交换律和结合律，即A*B＝B*A，（A*B）*C＝A*（B*C）．【分析】（1）由新定义的元素即可求出f A（1）与f B（1）的值，再分情况求出A*B；（2）对x是否属于集合A，B分情况讨论，即可证明出f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【解答】解：（1）∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴f A（1）＝﹣1，f B（1）＝1，∴A*B＝{1，4，5}；（2）①当x∈A且x∈B时，f A（x）＝f B（x）＝﹣1，所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），②当x∈A且x∉B时，f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1，所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x），③当x∉A且x∈B时，f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1．所以x∈A*B．所以f A*B（x）＝﹣1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．④当x∉A且x∉B时，f A（x）＝f B（x）＝1．所以x∉A*B．所以f A*B（x）＝1．所以f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）．综上，f A*B（x）＝f A（x）•f B（x）；（3）因为A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，B*A＝{x|f B（x）•f A（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为（A*B）*C＝{x|f A*B（x）•f C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，A*（B*C）＝{x|f A（x）•f B*C（x）＝﹣1}＝{x|f A（x）•f B（x）•f C（x）＝﹣1}，所以（A*B）*C＝A*（B*C）．【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了新定义问题，是中档题．。

2022-2023学年北京市昌平区高二年级上册学期数学期末模拟测试(一)试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区第二中学高二上学期数学期末模拟测试（一）试题一、单选题1．已知点，则线段的中点坐标为（）(1,1),(2,5)M N -MN A ．B ．C ．D ．(3,4)3(,2)2(1,6)1(,3)2【答案】B【解析】利用中点坐标公式即可求解.【详解】由点，(1,1),(2,5)M N -则线段的中点坐标为，即.MN 1215(,)22+-+3(,2)2故选：B2．圆心为，半径为的圆的方程为（）(1,2)-5A ．B ．22(1)(2)5x y -++=22(1)(2)5x y ++-=C ．D ．22(1)(2)25x y -++=22(+1)(2)25x y +-=【答案】D【解析】根据圆的标准方程的形式，由题中条件，可直接得出结果.【详解】圆心为，半径为的圆的方程为.(1,2)-522(+1)(2)25x y +-=故选：D.3．已知直线和互相平行，则（）1:70l x ay ++=2:(2)310l a x y -++=A ．B ．C ．或D ．或3a =1a =-1a =-3a =1a =3a =-【答案】C【解析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，时，则，解得或．0a =0a ≠12231//17a l l a -⇔=≠1a =-3a =故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查由直线平行求参数值，解题时要注意在由条件求参数12210A B A B -=时，求得的参数值一般需代入直线方程检验，去除两直线重合的可能，否则易出错．如果采取分类讨论方法：先考虑系数为0，然后在一个方程中系数全不为0时，用比值进行求解，一般不会出4．在的展开式中，的系数为（）4(x 2x A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】B【分析】由展开式的通项，由得出的系数.4(x 2r =2x【详解】展开式的通项为4(x (44rr rC x-由，解得，则的系数为42-=r 2r =2x (2246212C =⨯=故选：B5．如图所示,在正方体中,点F 是侧面的中心,设,则1111ABCD A B C D -11CDD C 1,,AD a AB b AA c ===（）AF =A ．B ．C ．D ．1122a b c++ 1122a b c++1122a b c-++1122a b c ++【答案】A【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.AF,,a b c 【详解】解:由题知, 点F 是侧面的中心,11CDD C 为中点,F ∴1DC 则AF AD DF=+112AD DC += ()11112AD DD D C =++ ()112AD AA AB=++ ,1122a b c=++6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．72【答案】D【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.44A 44372A =【解析】排列、组合【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．7．设，则“”是“直线与直线垂直”的（）R a ∈3a =-1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．重要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先根据直线垂直求出的值，再根据充分性和必要性的概念得答案.a 【详解】直线与直线垂直1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=则，解得或，()120a a a ++=0a =3a =-则“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.3a =-1:210l ax y +-=2:(1)20l a x ay ++-=故选：A.8．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则（）2221(0)x y a a -=>22183x y +==aA B ．C ．2D ．4【答案】C【解析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出．a【详解】椭圆的半焦距为，22183x y +=c ==∴双曲线中，∴（∵）．215a +=2a =0a >故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数，但它们的关系不相同：椭圆中，,,a b c 222a b c =+双曲线中，不能混淆．这也是易错的地方．222+=a b c 9．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（）10l kx y k -+-=：C 2240x y x +-=l C A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【解析】求出直线过的定点坐标，确定定点在圆内，则可判断．P 【详解】直线方程整理为，即直线过定点，(1)10k x y --+=(1,1)P 而，在圆内，22114120+-⨯=-<P C ∴直线与圆相交．l C 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆的一般方程为，点，C 22(,)0f x y x y Dx Ey F =++++=00(,)P x y 则点在圆内，点在圆上，00(,)0f x y <⇔P C 00(,)0f x y =⇔P C 点在圆外．00(,)0f x y >⇔P C 10．如图，P 是边长为1的正方体对角线上一动点，设的长度为x ，若1111ABCD A B C D -1AC AP 的面积为，则的图象大致是（）PBD △()f x ()f xA ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】设正方体的棱长为，连接交于，连接，则是等腰的高，1AC BD O PO PO PBD △的面积为，代入，即可PBD △1()2f x BD PO =⨯PO =PO 得到函数解析式，即可得到答案.【详解】设正方体的棱长为，连接交于，连接，则是等腰的高，1AC BD O PO PO PBD △故的面积为PBD △1()2f x BD PO =⨯在中，PAOPO ==()102f x x ∴==≤≤画出其图象如图所示故选：A.二、填空题11．的二项展开式中的常数项为_______．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】160-【分析】先求出展开式的通项公式，令可得答案.()62162C rrrr T x -+-=620r -=【详解】的二项展开式的通项为．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()6621662C 2C rr r rr r r T x x x --+⎛⎫=-= -⎪⎝⎭令得．所以的二项展开式的常数项为．620r -=3r =62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()336216C 0-=-故答案为：160-12．若空间向量，，共面，则______________.()5,3,a m =()1,1,2b =--()0,2,3c =-m =【答案】22-【解析】设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数a xb yc =+x y m 的值.m 【详解】由于、、共面，设，a b ca xb yc =+ 因为空间向量，，，()5,3,a m =()1,1,2b =--()0,2,3c =-则，解得，52323x x y x y m =⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩5422x y m =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故答案为：.22-13．如图，在正方体中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异1111ABCD A B C D -面直线EF 与GH 所成的角等于_________．【答案】##60︒3π【分析】根据中点，得到∥，∥，然后根据平行得到为异面直线与所EF 1A B GH 1BC 11A BC ∠EF GH 成角或其补角，最后求角即可.【详解】如图，连接，，，1A B 1BC 11A C 因为，，，分别为，，，的中点，所以∥，∥，为E F G H 1AA AB 1BB 11B C EF 1A B GH 1BC 11A BC ∠异面直线与所成角或其补角，EF GH 因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.1111ABCD A B C D -11A BC 1160A BC ∠=︒故答案为：.60︒14．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．24y x =1【答案】1【解析】设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即()00,x y 0x0y 可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，()00,x y 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.24y x ==1x -011x +=00x =00y =因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.24y x =11故答案为：.1【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.15．已知曲线，，其中.2221:+=W x y m 4222:+=W x y m 0m >①当时，曲线与有4个公共点；1m =1W 2W ②当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积；01m <<1W 2W ③，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；1∃>m 1W 2W ④，曲线围成的区域内整点（即横、坐标均为整数的点）个数不少于曲线围成的区域0m ∀>1W 2W 内整点个数.其中，所有正确结论的序号是________.【答案】①③④【解析】当时，由可解得交点坐标，即可判断①；当时，可知1m =2224x y x y +=+01m <<，当取同一个值时，即可判断②；当时，，当与的方(),0,1x y ∈x 2212y y <1m >(),0,x y m ∈1W 2W 程中取同一个大于的数，可得即可判断③；分别讨论当和时的整数点比x 12212y y >01m <≤1m >较可判断④，进而可得正确答案.【详解】对于①：当时，曲线，，令可得1m =2211:W x y +=4222:+=W x y m 2224x y x y +=+，当时，，当时，，所以与有4个公共点分别为，()2210x x -=0x =1y =±1x =±0y =1W 2W ()0,1，，，共个，故①正确；()0,1-()1,0()1,0-4对于②：当时，由与的方程可知，当取同一个值时，01m <<1W 2W (),0,1x y ∈x ，，当时，，所以，22211:W y m x =-24222:W y m x =-01x <<24x x >2212y y <所以曲线围成的区域面积小于曲线围成的区域面积；故②不正确；1W 2W 对于③：当时，，当与的方程中取同一个大于的数，可得，所1m >(),0,x y m ∈1W 2W x 12212y y >以，曲线围成的区域面积等于围成的区域面积；故③正确；1∃>m 1W 2W 对于④：当时，曲线围成的区域内整点个数等于曲线围成的区域内整点个数，当01m <≤1W 2W 时，取同一个大于的数，可得，此时曲线围成的区域内整点个数较多，所以1m >x 12212y y >1W 曲线围成的区域内整点个数不少于曲线围成的区域内整点个数，故④正确；1W 2W 故答案为：①③④【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分情况讨论和时，当取同一个值时，01m <≤1m >x 两个曲线方程中的大小的比较，此类多采用数形结合的思想.y 三、双空题16．已知双曲线（其中）的渐近线方程为，则________，的右焦222:14-=x y W a 0a >y x =±=a W 点坐标为________.【答案】 2()【分析】由双曲线的渐近线方程为可得：a =b ，再求出焦点坐标.y x =±【详解】∵双曲线（其中）的渐近线方程为222:14-=x y W a 0a >y x=±∴，∴24a =2a =∴，∴2228c a b =+=c =即的右焦点坐标为W ()故答案为：2，.()四、解答题17．已知圆的圆心坐标为，且与轴相切，直线过与圆交于、两点，且C ()2,0y l ()0,4C M NMN =(1)求圆的标准方程；C (2)求直线的方程．l 【答案】(1)()2224x y -+=(2)或40x y +-=740x y +-=【分析】（1）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；C C （2）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为C l l l ，利用点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.4y kx =+k k l 【详解】（1）解：由题意可知，圆的半径为，故圆的标准方程为.C 2C ()2224x y -+=（2）解：设圆心到直线的距离为，则.C ld d ==若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意.l l 0x =C l 2所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，l l 4y kx =+40kx y -+=由点到直线的距离公式可得，解得或，d 1k =-7k =-所以，直线的方程为或，即或.l 4y x =-+74y x =-+40x y +-=740x y +-=18．如图长方体中，，，点为的中点.1111ABCD A B C D -1AB AD ==12AA =E 1DD （1）求证：平面；1//BD ACE （2）求证：平面；1EB ⊥ACE（3）求二面角的余弦值.1--A CE C 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【分析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；1//OE BD （2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即11, B O AB 1EB OE ⊥1EB AE ⊥可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接BD AC O OE四边形为正方形，点为的中点ABCD ∴O BD 又点为的中点，E 1DD ∴1//OE BD 平面，平面OE ⊂ ACE 1BD ⊄ACE平面1//BD ∴ACE（2）连接11, B O AB 由勾股定理可知，1EB1B O =OE ==22211B O OE EB =+1EB OE∴⊥同理可证，22211B E AE AB +=1EB AE ∴⊥平面,,AE OE E AE OE ⋂=⊂ACE平面1EB ∴⊥ACE（3）建立如下图所示的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,1,0)(0,0,1)(0,1,2),(1,1,,,2)A C E CB 显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为1CC E yDz (1,0,0)m =由（2）可知平面，即平面的法向量为1EB ⊥ACE ACE 1(1,1,1)nEB ==cos ,||m n m n m n ⋅==⋅又二面角是钝角1--A CE C 二面角的余弦值为∴1--A CEC【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.19．已知直线l 过，且与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原(0,3)-2:8C x y =-||AB =点．(1)求直线l 的方程以及线段的中点坐标；AB (2)判断与是否垂直，并说明理由．OA OB【答案】(1)直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =-AB ()4,7--直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =--AB ()4,7-(2)不垂直于，理由见解析OA OB 【分析】（1）讨论直线的斜率存在或不存在，当直线的斜率不存在时，直线的方程为与抛l l l 0x =物线只有一个交点，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，C l l 3y kx =-，，联立直线和抛物线的方程得到，利用韦达定理和弦长公()11,A x y ()22,B x y l C 28240x kx +-=式得到关于的方程，即可求解；k （2）结合（1）的韦达定理得到，从而得到，即可判断.129y y =0OA OB ⋅≠【详解】（1）当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个交l l 0x =l C 点，不满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，l l 3y kx =-()11,A x y ()22,B x y 联立直线和抛物线的方程，得，l C 238y kx x y =-⎧⎨=-⎩28240x kx +-=又，()()22842464960k k ∆=-⨯-=+>则，，128x x k +=-1224x x =-，==解得：或，1k =1k =-当时，直线的方程为，1k =l 3y x =-此时，，128x x +=-()12121233614y y x x x x +=-+-=+-=-所以线段的中点坐标为，即，AB 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭()4,7--当时，直线的方程为；1k =-l 3y x =--此时，，128x x +=()12121233614y y x x x x +=----=-+-=-所以线段的中点坐标为，即，AB 1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭()4,7-综上：直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =-AB ()4,7--直线l 的方程为，线段的中点坐标为；3y x =--AB ()4,7-（2）不垂直于，理由如下：OA OB 由（1）得：，()()()()22121212123339243899y y kx kx k x x k x x k k k =--=-++=--⨯-+=又，，()11,OA x y =()22,OB x y=则，1212249150OA OB x x y y ⋅=+=-+=-≠所以不垂直于.OA OB 20．在四棱锥中，为正三角形，平面平面，E 为的中点，P ABCD -PAD PAD ⊥ABCD AD ，，．//AB CD AB AD ⊥224CD AB AD ===（Ⅰ）求证：平面平面；PCD ⊥PAD （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；PB PCD （Ⅲ）在棱上是否存在点M ，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明CD AM ⊥PBE DMDC 理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（ⅡⅢ）在棱上存在点M 满足题意，．CD 14DM DC =【分析】（Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可证得平面，由面面垂直的判定定理证得结论；CD ⊥PAD （Ⅱ）取中点，可证得两两互相垂直，由此以为坐标原点建立空间直角坐标系，BC E ,,PE DE EF E 根据线面角的向量求法可求得结果；（Ⅲ）假设存在点满足题意，由线面垂直的性质可知，，由此得到(),1,0M m AM PB ⊥AM PE ⊥，解出后即可得到结果.00AM PB AM EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m 【详解】（Ⅰ），，，//AB CD AB AD ⊥CD AD ∴⊥平面平面，平面底面，平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =CD ⊂ABCD平面，又平面，平面平面.CD \^PAD CD ⊂PCD ∴PCD ⊥PAD （Ⅱ）取中点，连接，BC F EF 分别为中点，，平面；,E F ,AD BC //EF CD ∴EF ∴⊥PAD 为等边三角形，为中点，，PAD E AD PE AD ⊥∴平面平面，平面底面，平面，PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =PE ⊂PAD 平面，PE ∴⊥ABCD 则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如下图所示空间直角坐标系，E ,,EF DE PE ,,x yz 则，，，，(P ()0,1,0D ()4,1,0C ()2,1,0B -，，，(2,1,PB →∴=-(0,1,PD →=()4,0,0DC →=设平面的法向量，PCD (),,n x y z →=则，令，则，，040n PD y n DC x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩1z =0x=y =()n →∴=设直线与平面所成角为，.PB PCDθsin θ∴=即直线与平面PB PCD （Ⅲ）假设在棱上存在点，使得平面，则，，CD M AM ⊥PBE AM PB ⊥AM PE ⊥设，又，，(),1,0M m ()0,1,0A -(),2,0AM m →∴=，，(2,1,PB →=- (EP →=，解得：，即，2200AM PB m AM EP ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=⎪⎩1m =1DM =在棱上存在点，使得平面，此时.∴CD M AM ⊥PBE 14DM DC =【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、空间向量法求解线面角和存在性问题；利用空间向量法求解存在性问题的关键是首先假设存在，采用待定系数法的方式得到所求点所满足的方程，解方程求得系数即可.21．已知椭圆的各顶点均在椭圆上，且对()2222:10x y E a b a b +=>>ABCD E 角线、均过坐标原点，点，、的斜率之积为．AC BD O ()2,1D AC BD14-(1)求椭圆的方程；E (2)过作直线平行于．若直线平行于，且与椭圆交于不同的两点、，与直线D l AC l 'BDE M N 交于点．l P ①证明：直线与椭圆有且只有一个公共点；l E ②证明：存在常数，使得，并求出的值．λ2PM PN PD λ=⋅λ【答案】(1)22182x y +=(2)①证明见解析；②存在，且1λ=【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆a b c 的标准方程；E （2）①求出直线的方程，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由可证得结论成立；l l E Δ0=②设直线的方程为，其中、，将直线的方程与椭圆的方程，列l '12y x m =+()11,M x y ()22,N x y l 'E 出韦达定理，求出点的坐标，利用弦长公式并结合韦达定理可求得的值.P λ【详解】（1）解：由已知可得，解得，22411c aabc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩因此，椭圆的标准方程为.E 22182x y +=（2）解：①，又因为，则，12BD DO k k ==14AC BD k k =-12AC k =-因为，且直线过点，则直线的方程为，即，//l AC l ()2,1D l ()1122y x -=--122y x =-+联立可得，，2212248y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=因此，直线与椭圆有且只有一个公共点；l E ②，不妨设直线的方程为，其中、，//l BD ' l '12y x m =+()11,M x y ()22,N x y 联立可得，，221248y x mx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩222240x mx m ++-=()22244241640m m m '∆=--=->由已知不与直线重合，则，所以，，l 'BD 0m ≠()()2,00,2m ∈- 由韦达定理可得，，122x x m +=-21224x x m =-联立可得，即点，12212y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2112x m y m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩12,12P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以，，()2221512244m PD m ⎛⎫=+⋅--=⎪⎝⎭()()()()()2121212151222244PM PM x m x m x x m x x m ⎛⎫⋅=+⋅--⋅--=+-++- ⎪⎝⎭，()()222552422244m m m m m =---+-=由可得，解得，2PM PN PD λ=⋅225544m m λ=⋅1λ=综上所述，存在使得.1λ=2PD PM PN=⋅【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。

北京昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题含答案

昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 A ．{|2}x x > B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<（2）“2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件（3）已知函数()=ln f x x ，则函数()=()'()g x f x f x -的零点所在的区间是A.（0,1）B. （1,2）C. （2,3）D. （3,4）（4）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（5）设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于A.1B. 2C. 3D. 4连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A. 24B. 36C. 48D.60 （7）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这A. 10+B ．10+C. 14+D. 14+（8）已知函数：①2()2f x x x =-+，②()cos()22x f x ππ=-，③12()|1|f x x =-.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是命题:p ()f x 是奇函数；命题:q (1)f x +在(0)，1上是增函数；命题:r 11()22f >；命题:s ()f x 的图像关于直线1x =对称A ．命题p q 、B ．命题q s 、C ．命题r s 、D ．命题p r 、第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）若221ai i i=-+-，其中i是虚数单位，则实数a 的值是____________.（10）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.（11）在A B C △中，若b =1c =，tan B =，则a = .（12）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为． (13)在R t A B C ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是B C 的中点，那么()AB AC AD -∙=uu u r uuu r uuu r____________;若E 是A B 的中点，P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uur的取值范围是___________.（14）在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”. 则① 到坐标原点O 的“折线距离”不超过2的点的集合所构成的平面图形面积是_________;OFEDCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15）（本小题满分13分）已知函数1sin cos )2sin sin32()(2+⋅-=xx x x x f .（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于点ECABCD F 底面，^为B E 的中点. （Ⅰ）求证：D E ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ^；（Ⅲ）若,A B E =在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出E G E O的值，若不存在，请说明理由．（17）（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品的质量，从两厂生产的产品中随机抽取各10件，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：甲厂乙厂93 9 6 5 8 18 4 5 6 9 0 31 5 0 32 1 0 3规定：当产品中的此种元素含量满足≥18毫克时，该产品为优等品. （Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率；（Ⅱ）从乙厂抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优等品数ξ的分布列及其数学期望()E ξ；（Ⅲ）从上述样品中，各随机抽取3件，逐一选取，取后有放回，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（19）（本小题满分13分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴, 离心率为2且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．（20）（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列1231,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50，比较(),(1)g m g m +的大小；（Ⅲ）若12100200a a a +++= ，求函数)(m g 的最小值．G ABCDEFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（理科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）4 （10）22(5)16x y -+= （11） 3（12）4 （13） 2; [-9,9] （14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由sin 0x ≠得πx k ≠(k ∈Z )，故()f x 的定义域为{x ∈R |π,x k ≠k ∈Z }． (2)分因为1sin cos )2sin sin32()(2+⋅-=xx x x x f 2cos )cos 1x x x =-⋅+2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-，……………6分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为B D 中点.又F 为B E 的中点，所以OF ∥D E ……….2分又,,OF ACF DE ACF 平面平面趟所以D E ∥平面ACF …….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^y又AE ACE 平面，Ì 所以BD AE ^…………………..9分 (III)解法一：在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下：如图，取E O 中点G ，连接C G . 在四棱锥E A B C D -中，,2AB E C O AB C E ===，所以C G E O ^.…..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDEEO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^ 所以CG BDE 平面^……………. 13分故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为E O 中点，得1.2E G E O=…………………………………………… 14分解法二：由EC ABCD 底面，^且底面A B C D 是正方形，如图，建立空间直角坐标系,C DBE -由已知,AB E =设(0)CE a a =>，则(0,0,0),,0,0),,0),(0,0,),C D B E a(,,0),,,0),(0,,),(,,).2222O a a BD BE a EO a a uuu ruuruuu r =-=-=-设G 为线段E O 上一点，且(01)E GE O λλ=<<，则,),22EG EO a a a λλuuu r uuu r ==-,,(1)),22C G C E EO a a a λλλλuuu r uur uuu r =+=-…………………………..12分由题意，若线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^，则C G BD^uuu r uuu r，C G BE ^uuu r uur .所以，221(1)0,0,12a a λλλ解得，（）-+-==，故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^，且1.2E G E O=…………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为63.=乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为51.102=………………..2分（II ）ξ的取值为0，1，2，3.312555533101015(0),(1),1212C C C C P P C C ξξ⋅⋅======21355533101051(2),(3)1212C C C P P C C ξξ⋅======所以ξ的分布列为故155130123.121212122E ξξ=⨯+⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）……………………9分(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件”2200333321127()()()()()5522500P A C C =⨯= 331123331181()()()()5221000P B C C =⨯=抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为278127()().5001000200P A P B +=+=…13分（18）(本小题满分13分)解：（I ）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-,则2()34f x x x '=-+. 令124'()00,.f x x x ===，得分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（II ）).32(3)(a x x x f --='①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减.又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时 000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使………..10分②若220,0,()0;,()0.33a a a x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max -=-+-==+∞∈∴a a aa f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27aa a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞. （19）(本小题满分13分)解：（I ）由已知抛物线的焦点为0),故设椭圆方程为22221(0)x y a b ab +=>>，则22, 2.2c e a b ====由得所以椭圆M的方程为221.42xy+=……5分（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，则由22,1.42y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x km x m +++-=， …………………6分222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122242,()21212km m x x x y y y k x x m kk =+=-=+=++=++，…………8分由于点P 在椭圆M 上，所以2200142x y +=. ……… 9分222又点O 到直线l 的距离为：||2m d ===≥=……11分当且仅当0k =时等号成立 ………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为(2,0)(2,0)-或，直线l 的方程为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 .所以点O 到直线l的距离最小值为2. ………13分（20）(本小题满分14分)解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =，所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- …………………4分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据jb 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ①当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>=== 即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+；当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ …9分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值. 由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M .根据题意，123100,M M b k k k k =++++=L 1231231023....M k k k M ka a a a ++++=++++L 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++- 1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k M k k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++ ，∵200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-∴()g m 最小值为100 . ……………………………….14分。

2022-2023学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={−2,−1,0,2}，B ={x||x|<2}，则A ∩B =( ) A. {−1}B. {−1,0}C. {−2,−1,0}D. {−2,−1,0,2}2. 命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定为( )A. ∃x ∈R ，e x ≤0B. ∃x ∈R ，e x <0C. ∀x ∈R ，e x ≤0D. ∀x ∈R ，e x <03. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，则下列各式一定成立的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 4. 为响应“健康中国2030”的全民健身号召，某校高一年级举办了学生篮球比赛，甲、乙两位同学在6场比赛中的得分茎叶图如图所示．下列结论正确的是( )A. 甲得分的极差比乙得分的极差小B. 甲得分的平均数比乙得分的平均数小C. 甲得分的方差比乙得分的方差大D. 甲得分的25%分位数比乙得分的25%分位数大5. 已知a =log 23，b =log 123，c =3−12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a6. 已知射击运动员甲击中靶心的概率为0.8，射击运动员乙击中靶心的概率为0.9，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响．若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为( )A. 0.98B. 0.8C. 0.72D. 0.267. “0<x <1”是“lnx <0”成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 设函数f(x)=xx+1，则下列函数中为奇函数的是( ) A. f(x +1)+1B. f(x −1)+1C. f(x +1)−1D. f(x −1)−19. 某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度(x)(单位：米/分钟)与飞行时间x(单位：分钟)的关系如图所示．若定义“速度差函数”u(x)(单位：米/分钟)为无人机在[0,x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为( )A.B.C.D.10. 已知集合A ，B 都是N ∗的子集，A ，B 中都至少含有两个元素，且A ，B 满足：①对于任意x ，y ∈A ，若x ≠y ，则xy ∈B ； ②对于任意x ，y ∈B ，若x <y ，则y x∈A.若A 中含有4个元素，则A ∪B 中含有元素的个数是( )A. 5B. 6C. 7D. 811. 某学校有教师志愿者80人，其中小学部有24人，初中部有32人，高中部有24人．现采用分层抽样的方法从全校教师志愿者中抽出20人参加周末社区服务活动，那么应从初中部抽出的人数为______.12. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则|4a ⃗ −3b ⃗ |=______.13. 已知函数f(x)={(12)x ,x <12,log 2x,x ≥12，则f(−2)=______；f(x)的最小值为______.14. 某学校为了调查高一年级600名学生年平均阅读名著的情况，通过抽样，获得了100名学生年平均阅读名著的数量(单位：本)，将数据按照[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图，则图中a 的值为______；估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为______.15. 已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是f(x)=______.(写出一个即可)16. 已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=|x +4x −5|，则f(x)的零点是______；若关于x 的方程f(x)=m(m >0)有四个不等实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4=______.17. 如图，在△ABC 中，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . (Ⅰ)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (Ⅰ)若P 为△ABC 内部一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =512a ⃗ +14b ⃗ .求证：M ，P ，N 三点共线．18. 已知集合A ={x|x 2−5x +6>0}.(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅰ)若集合B ={x|a <x <2a}，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围．19. 为了践行“节能减排，绿色低碳”的发展理念，某企业加大了对生活垃圾处理项目的研发力度．经测算，企业每月平均处理生活垃圾的增量y(单位：吨)与每月投入的研发费用x(单位：万元)之间的函数关系式为y =6000xx 2+10x+400.(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则每月投入的研发费用应该在什么范围？(Ⅰ)当每月投入的研发费用x 为多少时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值？最大值是多少？20. 2022年11月29日23时08分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号F 遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组首次太空“会师”．如表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长．据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”．(Ⅰ)绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；(Ⅰ)海报组成员从飞行时长(包括预计飞行时长)大于30天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，求选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月的概率；(Ⅰ)数据统计组成员在2022年5月计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为μ0.2022年12月30日又计算了已经完成飞行任务的神舟飞船的飞行时长平均值，记为μ1.试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明)21. 设有限集合E={1,2,3,⋯,N}，对于集合A⊆E，A={x1,x2,x3,⋯,x m}，给出两个性质：①对于集合A中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k= x i+x j，则称A为E的封闭子集；②对于集合A中任意两个元素x i，x j(i≠j)，都有x i+x j∉A，则称A为E的开放子集．(Ⅰ)若N=20，集合A={1,2,4,6,8,10}，B={x|x=3k+1,k≤6,k∈N∗}，判断集合A，B为E的封闭子集还是开放子集；(直接写出结论)(Ⅰ)若N=100，1∈A，100∈A，且集合A为E的封闭子集，求m的最小值；(Ⅰ)若N∈N∗，且N为奇数，集合A为E的开放子集，求m的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0,2}，B ={x||x|<2}={x|−2<x <2}， ∴A ∩B ={−1,0}，故选：B.根据交集的定义直接写出A ∩B 即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：命题的否定，将量词与结论同时否定，所以命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是“∃x ∈R ，e x ≤0”．故选：A.命题的否定，将量词与结论同时否定，按照此规则，我们可以得出结论．命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性命题，特称性命题变为全称命题．3.【答案】D【解析】解：A ，∵矩形ABCD ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵A 错误， B ，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不相同，∴B 错误， C ，∵O 为对角线AC ，BD 的交点，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴C 错误，D ，∵O 为对角线AC ，BD 的交点，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴D 正确，故选：D.利用平行四边形的性质，平面向量的线性运算求解即可．本题考查平行四边形的性质，平面向量的线性运算，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由茎叶图可知，甲同学所得分数为14、16、23、27、32、38；乙同学所得分数为13、22、24、26、28、37；甲同学所得分数的极差为38−14=24，乙同学所得分数的极差为37−13=24，故选项A 不符合题意；甲同学所得分数的平均数为16×(14+16+23+27+32+38)=25，乙同学所得分数的平均数为16×(13+22+24+26+28+37)=25，故选项B不符合题意；甲同学所得分数的方差为16×[(14−25)2+(16−25)2+(23−25)2+(27−25)2+(32−25)2+(38−25)2]=16×(112+92+22+22+72+132)=2143，乙同学所得分数的平均数为16×[(13−25)2+(22−25)2+(24−25)2+(26−25)2+(28−25)2+(37−25)2]=16×(122+32+12+12+32+122)=1043，故选项C符合题意；，∵6×25%=1.5，∴甲同学得分的25%分位数为16，乙同学得分的25%分位数为22；故选项D不符合题意；故选：C.由茎叶图可知，甲同学所得分数为14、16、23、27、32、38；乙同学所得分数为13、22、24、26、28、37；分别求甲、乙同学所得分数的极差、平均数、方差、百分位数，从而依次判断即可．本题考查了茎叶图及样本数字特征的应用，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：∵a=log23>1，b=log123<0，0<3−12<1，即0<c<1，故a>c>b，故选：B.利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设甲击中靶心为事件A ，射击运动员乙击中靶心为事件B ，则P(A)=0.8，P(B)=0.9，且A ，B 相互独立，若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率P =1−P(A −⋅B −)=1−P(A −)P(B −)=1−0.1×0.2=0.98. 故选：A.由已知结合相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率公式可求．本题主要考查了相互独立事件同时发生的概率公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵lnx <0，∴0<x <1， ∴0<x <1是lnx <0成立的充要条件，故选：C.先解对数不等式，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了对数不等式的解法，充要条件的判定，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f(x +1)+1=x+1x+2+1，其定义域为{x|x ≠−2}，不是奇函数；对于B ，f(x −1)+1=x−1x +1=2−1x ，不满足f(−x)=−f(x)，不是奇函数；对于C ，f(x +1)−1=x+1x+2−1，其定义域为{x|x ≠−2}，不是奇函数；对于D ，f(x −1)−1=x−1x−1=−1x，其定义域为{x|x ≠0}，满足f(−x)=−f(x)，是奇函数；故选：D.根据题意，依次分析选项，先求出其解析式，再分析是不是奇函数，即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的解析式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，当x ∈[0,6]时，无人机做匀加速运动，速度V(x)从80增加到160，对应的x ∈[0,6]时，u(x)递增，且从0增大到80，当x ∈[6,10]时，无人机做匀减速运动，速度V(x)从160下降到80，对应的x ∈[6,10]时，u(x)=160−80=80，保持水平，当x ∈[10,12]时，无人机做匀减速运动，V(x)从80下降，V(x)=180−10x ，对应的x ∈[10,12]时，u(x)=160−(180−10x)=10x −20，则u(x)递增，且从80增大到100，当x ∈[12,15]时，无人机做匀加速运动，对应的x ∈[0,15]时，“速度差函数”u(x)=160−60=100，保持水平，结合所给的图象，可知C正确；故选：C.根据题意，由“速度差函数”u(x)的定义，分x∈[0,6]、x∈[0,10]、x∈[0,12]、x∈[0,15]四种情况，分别求得函数的图象，综合可得答案．本题考查函数的图象分析，注意“速度差函数”的定义，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：若取A={2,4,8,16}，则B={8,16,32,64,128}，此时A∪B={2,4,8,16,32,64,128}，包含7个元素．下面推导其正确性：设A={a,b,c,d}且a<b<c，d，a，b，c，d∈N∗，集合B的元素如下：此时要满足x<y，有yx∈A，如下表：当bc>ad，上表第一列有ab >a>a>b>b且均属于集合A，而A={a,b,c,d}，矛盾；当bc<ad，上表第一列有cdab >da>ca>cb，且均属于集合A，而S={a,b,c,d}，矛盾；当bc=ad时，则cdab >da>max{bdac,db,ca}>min{bdac,bd}>dc=ba，且均属于集合A，而A ={a,b,c,d}，此时只需满足bd ac =d b =c a ，则bd ac =d b =c a =b ，d b =c ，cd ab =d ，可得S ={a,a 2,a 3,a 4}，且T ={a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}，注意a =1，所以A ∪B ={a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7}，故共有7个元素．故选：C.分别给出具体的集合A 和集合B ，然后证明正确性即可．本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．11.【答案】8【解析】解：由题意可得应从初中部抽出的人数为3224+32+24×20=8.故答案为：8.直接根据分层抽样的方法即可求出．本题考查了分层抽样的方法，属于基础题．12.【答案】√10【解析】解：∵网格纸上小正方形的边长为1，∴|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，<a ⃗ ，b ⃗ >=π4， ∴|4a ⃗ −3b ⃗ |=√16a ⃗ 2−24a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=16−24×1×√2×√22+9×2=√10，故答案为：√10. 利用平面向量的求模公式求解即可．本题考查平面向量的求模公式，属于基础题．13.【答案】4−1【解析】解：函数f(x)={(12)x ,x <12log 2x,x ≥12，则f(−2)=(12)−2=4； x <12，f(x)=(12)x 为减函数，故f(x)>(12)12=√22， x ≥12，f(x)=log 2x 为增函数，故f(x)≥f(12)=−1，∵−1<√22，∴f(x)的最小值为−1.故答案为：4；−1.根据函数解析式，将x=−2，代入即可求解第一空，分x<12和x≥12两种情况，求出最小值，最后比较，即可求得第二空．本题考查分段函数的应用，属于中档题．14.【答案】0.030150【解析】解：由题意得，a=15−0.006−0.014−0.080−0.070=0.030，估计高一年级年平均阅读名著的数量不少于10本的人数为600×(0.014+0.006+0.030)×5= 150人；故答案为：0.030，150.利用频率分布直方图的面积和为1求a，再利用样本估计总体即可．本题考查了频数分布直方图的应用，同时考查了样本估计总体的应用，属于基础题．15.【答案】1x2【解析】解：因为函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又满足f(−x)=f(x)，即函数为偶函数，且f(x)在(0,+∞)上是减函数，则符合条件的函数的解析式可以是f(x)=1x2(答案不唯一).故答案为：f(x)=1x2(答案不唯一).由已知结合基本初等函数的奇偶性及单调性即可求解．本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性，属于基础题．16.【答案】1或4 16【解析】解：(1)令f(x)=0，x>0，解得x=1或x=4，(2)证明：如图，要使f(x)=m有四个根，则0<m<1，令g(x)=x +4x −5，当g(x)=m ，则x 2−(5+m)x +4=0，∴x 1x 4=4，当g(x)=−m ，则x 2−(5−m)x +4=0，∴x 2x 3=4，∴x 1x 2x 3x 4=16.故答案为：1或4；16.令f(x)=0，求x 的值，即可求出第一空，画出函数y =f(x)的图象，f(x)=m 有四个根，则0<m <1，设g(区)=x +4x −5，由g(x)=m 或g(x)=−m ，化简后，分别求两根之积，相乘即可求出第二空．本题考查函数零点和取值范围问题，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ . BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +b ⃗ ；MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b ⃗ −12a ⃗ +23a ⃗ =12b ⃗ +16a ⃗ ；证明：(Ⅰ)因为P 为△ABC 内部一点，且AP⃗⃗⃗⃗⃗ =512a ⃗ +14b ⃗ . 则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ +512a ⃗ +14b ⃗ =112(a ⃗ +3b ⃗ )=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且有公共点M ，所以M ，P ，N 三点共线．【解析】(I)由已知结合向量的线性表示即可求解；(Ⅰ)由已知只要证明MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，结合向量的线性表示及向量共线定理即可证明．本题主要考查了向量的线性表示及向量共线定理，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为集合A ={x|x 2−5x +6>0}={x|x <2或x >3}，则∁R A ={x|2≤x ≤3}，(Ⅰ)因为集合B ={x|a <x <2a}，且B ⊆A ，当B =⌀时，则a ≤0.符合题意，当B ≠⌀时，则a >0，若B ⊆A ，则a ≥3或2a ≤2，得0<a ≤1或a ≥3，综上，a 的取值范围为：(−∞,1]∪[3,+∞).【解析】(Ⅰ)根据集合的运算可解；(Ⅰ)分B 是否为⌀两种情况进行讨论；本题考查集合的运算以及集合间的包含关系，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则y =6000xx 2+10x+400≥100，整理得 2−50x +400≤0，解得10≤x ≤40，故每月投入的研发费用应该在10万元到40万元之间；(Ⅰ)y =6000xx 2+10x+400=6000x+400x +10⩽2√x⋅400x +10=120，当且仅当x =400x ，即x =20时，等号成立，故当每月投入的研发费用x 为20万元时，每月平均处理生活垃圾的增量达到最大值，最大值是120吨．【解析】(Ⅰ)若要求每月平均处理生活垃圾的增量不低于100吨，则y =6000x x 2+10x+400≥100，整理求解即可；(Ⅰ)整理y =6000x x 2+10x+400=6000x+400x +10，利用基本不等式求解即可．本题考查函数模型的实际应用和基本不等式，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，共有15艘神舟飞船，其中发射时间恰好是在10月份的有4艘，所以选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率为415.(Ⅰ)由表可知，飞行时长(包括预计飞行时长)大于30天的神舟飞船共有5艘，其中飞行时长(包括预计飞行时长)均为6个月的有3艘，故所求的概率为P =C 32C 52=310. (Ⅰ)结论：μ0<μ1.理由如下：2022年6月5日和2022年11月29日的神舟飞船的飞行时长等于或远大于2022年5月之前的，所以2022年12月30日计算的已经完成飞行任务的神舟飞船的总时长远大于2022年5月计算的总时长，故μ0<μ1.【解析】(Ⅰ)直接根据古典概型，得解；(Ⅰ)结合组合数与古典概型，即可得解；(Ⅰ)根据平均数的计算方法，进行估计即可．本题考查统计与概率，熟练掌握古典概型，平均数的含义是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)对于A，∵2=1+1，4=2+2，6=2+4，8=2+6，10=2+8，且A⊆E，则A为E的封闭子集．对于B，由题可得B={4,7,10,13,16,19}，其中任意两个元素相加之和都不在集合B中，任意元素也不是其他两元素之和，且B⊆E，∴B是E的开放子集．(Ⅰ)由题意，A={1,x2,x3,⋅⋅⋅,x m−1,100}，设1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，∵集合A中任意一个元素中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k=x i+x j，则x n−1+1≤x n≤2x n−1，其中n∈[2,m]，n，x n∈N∗，得x2=2，3≤x3≤4，4≤x4≤8，5≤x5≤16，6≤x6≤32，7≤x7≤64，∵7≤x7≤64<100，则m>7，若m=8，则x8=100，则在A中存在元素x i，x j(i≤j)，使它们的和为100，又1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，则当i<j时，x i+x j≤x6+x7≤96<100，得x8=2x7，解得x7=50，∴在A中存在元素x i，x j(i≤j)，使它们的和为50，又当i<j时，x i+x j≤x4+x5≤24<25，∴不存在元素x i，x j(i≤j)，使x6=x i+x j，这与集合A为E的封闭子集矛盾，故m≠8，当m=9，取A={1,2,4,8,16,32,64,96,100}，∴其符合E的封闭子集的定义，∴m的最小值为9.(Ⅰ)∵N∈N∗，且N为奇数，当N=1时，得m=1，当N≥3时，将E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}里面的奇数组成集合A，则A={1,3,5,7,⋅⋅⋅,N}，∵A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且A⊆E，，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为N+12为m最大值，下面说明N+12N=1，成立；当N≥3时，若m>N+1，则A中至少有一个属于E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}的偶数，2设为a t，则2≤a t≤N−1，得a t+1为属于集合{1,3,5,7,⋅⋅⋅,N,a t}中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故m≤N+1，2.综上，m的最大值为N+12【解析】(Ⅰ)利用封闭子集，开放子集定义可得答案；(Ⅰ)A={1,x2,x3,⋅⋅⋅,x m−1,100}，设1<x2<x3<⋅⋅⋅<x m−1<100，因集合A中任意一个元素x k，当x k≠1时，在集合A中存在元素x i，x j(i≤j)，使得x k=x i+x j，则x n−1+1≤x n≤2x n−1，其中2≤n≤m，n∈N∗，据此可得7≤x7≤64<100，得m>7，后排除m=8，再说明m=9符合题意即可；(Ⅰ)因为N∈N∗，且N为奇数，当N=1时，得m=1，当N≥3，将E={1,2,3,⋅⋅⋅,N}里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且m=N+1为最大值即可．2本题考查封闭子集、开放子集的定义及应用等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2020-2021学年北京市昌平区新学道临川学校高一(上)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年北京市昌平区新学道临川学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．下列函数中与函数y＝x是同一函数的是（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝（）2D．y＝3．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）4．幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．0B．1C．2D．1或25．计算log225•log32•log59的结果为（）A．3B．4C．5D．66．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]7．已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）8．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣19．函数f（x）＝log2|x|，g（x）＝﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．10．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）11．已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．（，]C．[，+∞）D．[1，+∞）12．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是．15．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是．16．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是.（请在横线上写出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，2a﹣1}．（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的值．18．化简下列各式：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；（2）．19．设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）f（y）．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在R上是减函数．20．已知函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当x∈[0，4]时，f（x）＝．（1）平面直角坐标系中，画出函数f（x）的图象；（2）根据图象，直接写出f（x）的单调增区间，同时写出函数的值域．21．已知指数函数y＝g（x）满足：g（3）＝8，定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）确定y＝f（x）和y＝g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．22．如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）判断函数f（x）＝log2（x+1）是不是“和谐函数”，并说明理由；（2）若函数是“和谐函数”，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．解：集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝{3，5}．故选：B．2．下列函数中与函数y＝x是同一函数的是（）A．y＝|x|B．y＝C．y＝（）2D．y＝【分析】逐一分析给定函数的定义域和解析式是否一致，进而根据同一函数的定义，可得答案．解：y＝|x|与函数y＝x解析式不同，不是同一函数；y＝＝|x|与函数y＝x解析式不同，不是同一函数；y＝（）2＝x，（x≥0）与函数y＝x定义域不相同，不是同一函数；y＝＝x与函数y＝x定义域解析式均相同，是同一函数；故选：D．3．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，0）【分析】根据a0＝1（a≠0），因此令x+1＝0即可求出函数f（x）＝a x+1﹣1的图象所过的定点坐标．解：当x+1＝0，即x＝﹣1时，a x+1﹣1＝0恒成立，故函数f（x）＝a x+1﹣1的图象一定过点（﹣1，0），故选：C．4．幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为（）A．0B．1C．2D．1或2【分析】利用幂函数的定义及性质列出方程组，由此能求出实数m的值．解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴，解得m＝2．故选：C．5．计算log225•log32•log59的结果为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由换底公式我们可将log225•log32•log59转化为以一个以10为底的对数，再利用对数运算性质log（an）Nm＝log aN，易求结果．解：原式＝••＝••＝6．故选：D．6．已知函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，则y＝f（2x﹣1）的定义域是（）A．B．[﹣1，4]C．D．[﹣5，5]【分析】根据复合函数定义域之间的关系即可得到结论．解：∵函数y＝f（x）定义域是[﹣2，3]，∴由﹣2≤2x﹣1≤3，解得﹣≤x≤2，即函数的定义域为[﹣，2]，故选：C．7．已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【分析】根据对数，指数的转化得出f（x）＝（log23）x+x﹣log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f（0）＝1﹣log32＞0，f（﹣1）＝log32﹣1﹣log32＝﹣1＜0，判定即可．解：∵实数a，b满足2a＝3，3b＝2，∴a＝log23＞1，0＜b＝log32＜1，∵函数f（x）＝a x+x﹣b，∴f（x）＝（log23）x+x﹣log32单调递增，∵f（0）＝1﹣log32＞0f（﹣1）＝log32﹣1﹣log32＝﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f（x）＝a x+x﹣b的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B．8．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x﹣1B．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x﹣1C．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1D．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x﹣1【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项A，B①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除C故选：D．9．函数f（x）＝log2|x|，g（x）＝﹣x2+2，则f（x）•g（x）的图象只可能是（）A．B．C．D．【分析】要判断f（x）•g（x），我们可先根据函数奇偶性的性质，结合f（x）与g（x）都是偶函数，则f（x）•g（x）也为偶函数，其函数图象关于Y轴对称，排除A，D；再由函数的值域排除B，即可得到答案．解：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）•g（x）也是偶函数，由此可排除A、D．又由x→+∞时，f（x）•g（x）→﹣∞，可排除B．故选：C．10．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（1，+∞）【分析】根据题意，由函数的单调性的性质列出不等式组，求解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数在R上单调递减，必有，化简可得，解可得≤a＜1，即a的取值范围是[，1）；故选：C．11．已知方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根，则实数k的取值范围为（）A．[，1]B．（，]C．[，+∞）D．[1，+∞）【分析】将指数方程的解的问题，转化为二次方程的区间根的问题，即方程9x﹣2•3x+3k ﹣1＝0有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0有两个正根，结合韦达定理有，求解即可，解：设t＝3x，则t＞0，则方程9x﹣2•3x+3k﹣1＝0有两个实根可转化为t2﹣2t+3k﹣1＝0有两个正根，则有，解得：，故选：B．12．已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．D．【分析】利用复合函数的单调性以及二次函数的单调性，列出不等式组，求解即可．解：由题意可知u＝x2﹣ax﹣a在上单调递减，且u＝x2﹣ax﹣a＞0在上恒成立，所以，解得．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若幂函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是m ＝3．【分析】根据给出的函数为幂函数，由幂函数概念知m2﹣m﹣1＝1，再根据函数在（0，+∞）上为减函数，得到幂指数应该小于0，求得的m值应满足以上两条．解：因为函数y＝（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2既是幂函数又是（0，+∞）的减函数，所以，⇒，解得：m＝3．故答案为：m＝3．15．函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上递减，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【分析】f（x）是二次函数，所以对称轴为x＝1﹣a，所以要使f（x）在区间（﹣∞，4]上递减，a应满足：4≤1﹣a，解不等式即得a的取值范围．解：函数f（x）的对称轴为x＝1﹣a；∵f（x）在区间（﹣∞，4]上递减；∴4≤1﹣a，a≤﹣3；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：（﹣∞，﹣3]．16．如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有∈A，那么称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1＝0}；②{x|x2﹣6x+1≤0}；③{y|y＝，x∈[1，4]}；其中“互倒集”的是②③.（请在横线上写出所有正确答案的序号）【分析】由互倒集的定义知，需判断集合满足三个条件：非空数集、0∉A、若∀x∈A，有∈A．依次判断即可．解：对于①{x∈R|x2+ax+1＝0}，当a＝3时，{x∈R|x2+ax+1＝0}＝∅，故不是互倒集；对于②{x|x2﹣6x+1≤0}；∵△＝36﹣4＝32＞0，∴{x|x2﹣6x+1≤0}是非空数集，且0∉{x|x2﹣6x+1≤0}，若x1∈{x|x2﹣6x+1≤0}，即x12﹣6x1+1≤0，则﹣6+1＝≤0，故∈{x|x2﹣6x+1≤0}，故是互倒集；对于③{y|y＝，x∈[1，4]}＝[，2]，若x1∈[，2]，易知∈[，2]，故是互倒集；故答案为：②③．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{a，2，2a﹣1}．（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的值．【分析】（1）利用一元二次方程的解法能求出集合A．（2）由A⊆B，得{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}，由此能求出a的值．解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{x|（x﹣2）（x﹣3）＝0}＝{2，3}．（2）若A⊆B，即{2，3}⊆{a，2，2a﹣1}．所以a＝3，或2a﹣1＝3．当a＝3时，2a﹣1＝5，B＝{3，2，5}，满足A⊆B．当2a﹣1＝3时，a＝2，集合B不满足元素的互异性，故舍去．综上，a＝3．18．化简下列各式：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；（2）．【分析】直接根据指数幂以及对数的运算性质求解即可．解：（1）（2）0+2﹣2•（2）﹣（0.01）0.5；＝1+•﹣[（0.1）2]0.5＝1+×﹣＝；（2）因为：1﹣log63＝log66﹣log63＝log62；所以：＝＝＝＝1．19．设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）＝f（x）f（y）．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在R上是减函数．【分析】（1）根据条件，通过赋值法求f（0）；（2）用单调性定义进行证明．解：（1）因为对任意x，y∈R，f（x+y）＝f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1，令x＝−1，y＝0，则f（−1）＝f（−1）f（0），因为f（−1）＞1，所以f（0）＝1；（2）证明：若x＞0，则﹣x＜0，所以f（x−x）＝f（0）＝f（x）f（−x），所以，故x∈R，f（x）＞0，任取x1＜x2，则f（x2）＝f（x1+x2−x1）＝f（x1）f（x2−x1），因为x2−x1＞0，所以0＜f（x2﹣x1）＜1，所以f（x2）＜f（x1），故f（x）在R上是减函数．20．已知函数f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，且当x∈[0，4]时，f（x）＝．（1）平面直角坐标系中，画出函数f（x）的图象；（2）根据图象，直接写出f（x）的单调增区间，同时写出函数的值域．【分析】（1）根据解析式作图即可；（2）根据图象可直接得出单调增区间和函数的值域．解：（1）f（x）的图象如图所示，（2）由图象可知，函数的增区间为：（﹣4，﹣2），（﹣1，1），（2，4），函数的值域为：[﹣4，4]．21．已知指数函数y＝g（x）满足：g（3）＝8，定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）确定y＝f（x）和y＝g（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．【分析】（1）设g（x）＝a x（a＞0且a≠1），由a3＝8解得a＝2．故g（x）＝2x．再根据函数是奇函数，求出n的值，得到f（x）的解析式；（2）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切x∈[1，4]，有3tx﹣3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．解：（1）设g（x）＝a x（a＞0且a≠1），∵g（3）＝8，∴a3＝8，解得a＝2．∴g（x）＝2x．∴f（x）＝，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，∴n＝1，∴f（x）＝，（x∈R）；（2）由（Ⅰ）知f（x）＝，易知f（x）在R上为减函数，又f（x）是奇函数，∴f（2x﹣3）+f（x﹣k）＞0，∴f（2x﹣3）＞﹣f（x﹣k）＝f（k﹣x），∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x﹣3＜k﹣x，即对一切x∈（1，4），有3x﹣3＜k恒成立，令m（x）＝3x﹣3，x∈[1，4]，易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）≤3×4﹣3＝9，∴k＞9，即实数k的取值范围是（9，+∞）．22．如果函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得该函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，则称函数f（x）是该定义域上的“和谐函数”．（1）判断函数f（x）＝log2（x+1）是不是“和谐函数”，并说明理由；（2）若函数是“和谐函数”，求实数t的取值范围．【分析】本题（1）根据题目所给的定义构造出函数F（x）＝f（x）﹣x2验证特殊值确定a，b从而判断f（x）＝log2（x+1）是“和谐函数”，（2）将函数是“和谐函数”，转化为g（x）＝x2在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根求解．解：（1）函数f（x）＝log2（x+1）的定义域为（﹣1，+∞），且在（﹣1，+∞）上单调递增；考察函数F（x）＝f（x）﹣x2＝log2（x+1）﹣x2，x∈（﹣1，+∞）；因为F（0）＝log2 1﹣0＝0，取a＝0，则F（a）＝0，即f（a）＝a2；F（1）＝log2 2﹣1＝0，取b＝1，则F（b）＝0，即f（b）＝b2；因为f（x）在[a，b]上单调递增；所以f（x）在区间[a，b]上的值域为[f（a），f（b）]，即为[a2，b2]；所以函数f（x）＝log2（x+1）是（﹣1，+∞）上的“和谐函数”；（2）因为g（x）在[1，+∞）单调递增；因为函数g（x）＝+t（x≥1）是“和谐函数”；所以存在[a，b]⊆[1，+∞），使得函数在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]；即g（a）＝a2，g（b）＝b2．因此g（x）＝x2，即+t＝x2在[1，+∞）上至少有两个不相等的实数根；令＝u，u≥0，方程可化为u2+1＝u+t；即u2﹣u+1﹣t＝0在[0，+∞）上至少有两个不相等的实数根；记h（u）＝u2﹣u+1﹣t，h（u）的对称轴为直线u＝；所以；解得＜t≤1，即t的取值范围为（，1]．。

2022-2023学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题(解析版)

2022-2023学年北京市朝阳区高一上学期数学期末试题一、单选题1．若a b >，则下列各式一定成立的是（） A ．22a b > B ．22ac bc > C ．33a b > D ．2211a b < 【答案】C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD 选项，1,1a b ==-，则a b >，但222211,a b a b==，所以AD 选项错误. B 选项，若0c ，则22ac bc =，所以B 选项错误.C 选项，若a b >，由于3y x =在R 上递增，所以33a b >，所以C 选项正确. 故选：C2．若角θ满足cos 0,tan 0θθ<<，则角θ是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】B【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】cos 0,θθ<∴为第二，三象限角或者x 轴负半轴上的角；又tan 0,θθ<∴为第二，四象限角所以θ为第二象限角. 故选：B3．下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为R 的是（） A ．2x y = B ．3(1)y x =- C ．1y x x=+D ．|ln |y x =【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A ，2x y =在定义域上单调递增且值域为()0,∞+，故A 不正确；对于B ，3(1)y x =-在定义域上单调递增值域为R ，故B 正确；对于C ，由双勾函数的图象知，1y x x=+在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故C 不正确；对于D ，|ln |y x =的值域为[)0,∞+，故D 不正确.故选：B.4．设集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则A 与B 的关系为（）A ．AB = B ．A BC ．B AD ．A B ⋂=∅【答案】A【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合ππ,Z 2A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，所以集合A 表示终边落在y 轴上的角的集合；由于集合π2π,Z 2B k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，所以集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合；所以A B =. 故选：A5．声强级1L （单位：dB ）出公式11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W /m ）．若平时常人交谈时的声强约为6210W /m -，则声强级为（） A ．6dB B ．12dBC ．60dBD ．600dB【答案】C【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意661121010lg 10lg1060dB 10L --⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：C6．已知0a >，0b >，则“2a b +≤”是“1ab ≤”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当0a >，0b >时，a b +≥则当2a b +≤时，有2a b ≤+≤，解得1ab ≤，充分性成立；当2a =，12b =时，满足1ab ≤，但此时522a b +=>，必要性不成立，综上所述，“2a b +≤”是“1ab ≤”的充分不必要条件. 故选：A.7．已知函数31()31x x f x -=+，有如下四个结论：①函数()f x 在其定义域内单调递减； ②函数()f x 的值域为()0,1； ③函数()f x 的图象是中心对称图形； ④方程()1f x x =-+有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④【答案】D【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案. 【详解】31()31x x f x -=+的定义域为R ，3122()13131x x xf x +-==-++，所以()f x 在R 上递增，①错误.由于1311,0131xx +><<+，22202,20,111313131x x x <<-<-<-<-<+++，所以()f x 的值域为()1,1-.由于()()31133113x xxxf f x x ----+-==-+=，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，③正确. 由()1f x x =-+得2211,03131xx x x -=-+-=++ 构造函数()231x g x x =-+，()g x 在R 上单调递增， ()()2210010,1101142g g =-=-<=-=>+，所以()g x 在R 上存在唯一零点，也即方程()1f x x =-+有且只有一个实根，④正确. 所以正确结论的序号是③④. 故选：D8．已知角α为第一象限角，且sin cos22αα>，则sin2α的取值范围是（）A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．1,⎛- ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【分析】先确定2α的取值范围，由此求得sin 2α的取值范围.【详解】由于角α为第一象限角，所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈，所以πππ,Z 24k k k α<<+∈，由于sin cos22αα>，所以5π2ππ2π,Z 24l lk l α+<<+∈，所以sin 02α<<. 故选：A9．某厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润210031x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A ．2千克/小时B ．3千克/小时C ．4千克/小时D ．6千克/小时【答案】C【分析】生产100千克该产品获得的利润为()100210031f x x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭，令1t x =，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为()2210021211100311000031000023f x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，110x ≤≤，令1t x =，1110t ≤≤，则()()22251000023200010641f t t t t ⎡⎤⎛⎫=-++=--⎢⎥ ⎪⎝⎢⎣-⎭⎥⎦，故当14t =时，()f t 最大，此时4x =. 故选：C10．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵10ln 2ln e 2，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A二、填空题11．已知集合{20}A x x =-<<，集合{}01B x x =≤≤，则A B ⋃=____________．【答案】{}21x x -<≤【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为{20}A x x =-<<，{}01B x x =≤≤，所以{}21A B x x ⋃=-<≤，故答案为：{}21x x -<≤12．设1a >且1b >，22log log 1a b ⋅=，则2log ()ab 的最小值为__________. 【答案】2【分析】对2log ()ab 利用对数运算公式，得到22log log a b +，再由基本不等式以及条件中的22log log 1a b ⋅=，得到答案.【详解】因为1a >且1b >，所以2log 0a >且2log 0b >而()222log log log ab a b =+，且22log log 1a b ⋅= 所以由基本不等式可得()222log log log 2ab a b =+≥，当且仅当22log log a b =，即2a b ==时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.13．设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，已知函数()f x 的最大值为2，则()f x 可以是___________．【答案】()2cos f x x =（答案不唯一）【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的()f x .【详解】依题意可知()f x 是偶函数，且最大值为2，所以()2cos f x x =符合题意.故答案为：()2cos f x x =（答案不唯一） 14．已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．【答案】1e xx+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式. 【详解】由已知()()()F x f x g x =+， ()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x≠+，所以21()F x x x =+或1()e xF x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e xF x x=+，故答案为：1e xx+.15．已知函数()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，给出以下四个结论：①存在实数a ，函数()f x 无最小值； ②对任意实数a ，函数()f x 都有零点； ③当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；④对任意(0,1)a ∈，都存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．【答案】①②④【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当1a =-时，()3,1,1x x f x x x ⎧>-⎪=⎨≤-⎪⎩，()f x 的图象如下图所示，由图可知，()f x 没有最小值，①正确.②，由于()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当a<0时，()3000f ==；当0a ≥时，()000f ==，所以对任意实数a ，函数()f x 都有零点，②正确. ③当12a =时，()31,21,2x x f x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩，311112822⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，即函数()f x 在(0,)+∞上不是单调递增函数，③错误. ④，当01a <<时，()3,,x x af x x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，当01x <<时，()32310,x x x x x x -=-<<，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知存在实数m ，使方程()f x m =有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④三、双空题16．已知角3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若1sin(π)2α+=，则α=__________；πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】7π6##7π6【分析】由条件结合诱导公式求sin α，根据特殊角三角函数值求出α， πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可.【详解】因为1sin(π)2α+=，所以1sin 2α-=，故1sin 2α=-，又3π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以7π6α=，所以ππ7π5πππsin sin sin sin 2πsin 2263332α⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：7π6，.四、解答题17．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin cos αα+和sin 2α的值； (2)求πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)124sin cos ,sin 2525α+α=α=-(2)1731【分析】（1）根据三角函数的定义求出sin ,cos αα，再根据二倍角的正弦公式即可求得sin 2α；（2）先根据二倍角的余弦公式求出cos2α，再根据商数关系求出tan2α，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）解：由题意得43sin ,cos 55αα==-，所以14324sin cos ,sin 2255525⎛⎫α+α=α=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）解：227cos 2cos sin 25ααα=-=-，所以sin 224tan 2cos 27ααα==，所以241π177tan 22443117α-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+. 18．已知函数2()21,R f x ax ax a =--∈． (1)当1a =时，解不等式()0f x <；(2)若命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)8a ≤-或0a >【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式()0f x <的解集. （2）结合开口方向以及判别式求得a 的取值范围.【详解】（1）当=1a 时，()221f x x x =--，()0f x <即2210x x --<，()()2110x x +-<，解得112x -<< 所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）当()2210f x ax ax =--<恒成立，当a 不为0时，a<0且280a a ∆=+<，即80a -<<，当0a =时,()10f x =-<成立，所以80a -<≤命题“R x ∀∈，不等式()0f x <恒成立”是假命题所以a 的取值范围为：8a ≤-或0a >．19．已知函数2π()2cos 2,0,2f x x x a x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． (1)求a 的值；(2)求()f x 的最小值，以及取得最小值时x 的值．条件①：()f x 的最大值为6；条件②：()f x 的零点为π2．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)若选条件①，则3a =；若选条件②，则0a =(2)若选条件①，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值2；若选条件②，则当ππ,Z 3x k k =-∈时，()f x 取得最小值1-【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据条件①或②求得a 的值. （2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【详解】（1）2()2cos 2f x x x a =+ π1cos 222sin 216x x a x a ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭.若选条件①，则216,3a a ++==. 若选条件②，则ππ12sin π1210262f a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-++== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）若选条件①，由（1）得()π2sin 246f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为242-+=. 若选条件②，由（1）得()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则当πππ22π,π,Z 623x k x k k +=-=-∈时，()f x 取得最小值为211-+=-.20．已知函数()12()log 21,xf x mx m =+-∈R ． (1)当0m =时，解不等式()1f x >-； (2)若函数()f x 是偶函数，求m 的值；(3)当1m =-时，若函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)(),0∞- (2)12-(3)(),0∞-【分析】（1）()1f x >-即()11222log 21log x+>，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-，即可由数形结合判断b的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()1f x >-即()11222log 211log x+>-=，即212x +<，解得(),0x ∈-∞；（2）函数()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即()()1122log 21log 21xxmx mx -+-=++，即1221log 221xxmx -+=+，即12log 22xx mx =-=， ∵x ∈R ，故12m =-；（3）当1m =-时，()()1111122222211()log 21log 21log log lo 2g 221x xxxx x f x x -⎪++⎛⎫=++=++== ⎝⎭，x ∈R . ∵112xy =+为减函数，故121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞- ∵函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，故实数b 的取值范围为(),0∞-. 21．设全集(){1,2,,}U n n *=∈N ，集合A 是U 的真子集．设正整数t n ≤，若集合A 满足如下三个性质，则称A 为U 的()R t 子集： ①t A ∈；②,U a A b A ∀∈∀∈，若ab U ∈，则ab A ∈； ③,U a A b A ∀∈∀∈，若a b U +∈，则a b A +∉．(1)当6n =时，判断{1,3,6}A =是否为U 的(3)R 子集，说明理由； (2)当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，求证：2A ∉； (3)当23n =时，若A 为U 的(7)R 子集，求集合A ．【答案】(1){1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集； (2)证明见解析； (3)集合{}7,14,21A =.【分析】（1）取1,2a b ==，由2ab A =∉不满足性质②可得A 不是U 的(3)R 子集；（2）通过反证法，分别假设1A ∈，2A ∈的情况，由不满足(7)R 子集的性质，可证明出2A ∉；（3）由（2）得，1UA ∈，2UA ∈，7A ∈，再分别假设3A ∈，4A ∈，5A ∈，6A ∈四种情况，由不满足(7)R 子集的性质，可得出3,4,5,6A ∉，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【详解】（1）当6n =时，{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,6}A =，{}2,4,5UA =，取1,2a b ==，则2ab U =∈，但2ab A =∉，不满足性质②，所以{1,3,6}A =不是U 的(3)R 子集. （2）当7n ≥时，A 为U 的(7)R 子集，则7A ∈；假设1A ∈，设Ux A ∈，即x A ∉取1,a b x ==，则ab x U =∈，但ab x A =∉，不满足性质②，所以1A ∉，1UA ∈；假设2A ∈，取2,1a b ==，3a b U +=∈，且3a b A +=∉，则3UA ∈，再取2,3a b ==，6ab U =∈，则6ab A =∈，再取6,1a b ==，7a b U +=∈，且7a b A +=∉，但与性质①7A ∈矛盾，所以2A ∉.（3）由（2）得，当7n ≥时，若A 为U 的(7)R 子集，1UA ∈，2UA ∈，7A ∈，所以当23n =时，{1,2,,23}U =，若A 为U 的(7)R 子集，1UA ∈，2UA ∈，7A ∈；若3A ∈，取3,1a b ==，4a b U +=∈，则4A ∉，4UA ∈，再取3,4a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则3A ∉，3UA ∈；若4A ∈，取4,3a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则4A ∉，4UA ∈；若5A ∈，取5,2a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则5A ∉，5UA ∈；若6A ∈，取6,1a b ==，7a b U +=∈，则7A ∉，与7A ∈矛盾，则6A ∉，6UA ∈；取7,1,2,3,4,5,6a b ==，8,9,10,11,12,13a b U +=∈，则8,9,10,11,12,13A ∉，,8,9,10,1112,13UA ∈；取7,2a b ==，14ab U =∈，则14A ∈；取14,1,2,3,4,5,6a b ==，15,16,17,18,19,20a b U +=∈，则15,16,17,18,19,20A ∉，81,16,17,1,0519,2UA ∈；取7,3a b ==，21ab U =∈，则21A ∈；取21,1,2a b ==，22,23a b U +=∈，则22,23A ∉，22,23UA ∈；综上所述，集合{}7,14,21A =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。