2017-2018学年高中数学北师大版必修2同步练习：1.4空间图形的基本关系与公理(含答案)

第一章§4
一、选择题
1．已知点A，直线a，平面α：
①A∈a，a⃘α⇒A∉α②A∈a，a∈α⇒A∈α
③A∉a，aα⇒A∉α④A∈a，aα⇒Aα
以上命题表述正确的个数是()
A．0B．1
C．2D．3
[答案] A
[解析]①中若a与α相交，且交点为A，则不正确；②中“a∈α”符号不对；③中A 可以在α内，也可以在α外，故不正确；④符号“Aα”错．
2．在空间中，下列命题成立的有________个()
①两组对边都平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形
④对角线互相平分的四边形是平行四边形
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析]②错误．
3．在空间中，可以确定一个平面的条件是()
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
[答案] D
[解析]A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，因此，排除C；只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面．
4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1和BC的中点分别是E，F，各棱所在的直线与直线EF互为异面直线的条数是()
A．4 B．6
C．8 D．10
[答案] C
[解析]AB，AD，AA1，A1B1，A1D1，D1D，D1C1，DC与直线EF都是异面直线．5．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．
其中真命题是()
A．②③④B．①③④
C．①②④D．①②③
[答案] C
[解析]①若还能作一条线，则两相交线确定一平面，从而证明AB，B1C1共面与它们异面矛盾，从而假设不正确，①正确，②④也是同样的方法证明．将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误．故选C.
6．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒aβ
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合
[答案] C
[解析]∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A写法错误．
二、填空题
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线CC1平行的棱的条数是________．
[答案] 3
[解析]与CC1平行的棱有AA1，BB1，DD1.
8．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有________个．
[答案]1或4
[解析]四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面．
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线．
[解析]如图
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.∴EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面．
(2)正方体AC1中，
设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α，又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，
同理，P点也是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，
故R∈PQ.所以P、Q、R三点共线．
一、选择题
1．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()
A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行
B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直
C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交
D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面
[答案] B
[解析]对于A，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A.对于B，由于l和m有且只有一条公垂线a，而过P有且只有一条直线与直线a平行，故B正确．2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()
A．45°B．60°
C．90°D．120°
[答案] B
[解析]取A1B1的中点M，连接GM，HM.
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，H，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，
∴△GMH为正三角形，EF∥MG.于是∠MGH为异面直线EF与GH所成的角，即为60°角．
二、填空题
3．如图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
[答案] 3
[解析]将展开图恢复成正方体后，得到AB与CD，EF与GH，AB与GH三对异面直
线．
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
[答案]③④
三、解答题
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．
[解析]因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上．同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上．因此，P A1就是平面α与平面AB1的交线．
同理可得：交线A1C1与交线PC1.
所以由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线如图所示．
6．如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线．
[解析] ∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β.
又∵AB ∩α＝E ，AB β，∴E ∈α，E ∈β，
即E 为平面α与平面β的一个公共点．
同理可证，F ，G ，H 为平面α与平面β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．
7．如图，两个三角形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′、BB ′、CC ′交于同一点O ，且OA OA ′＝BO OB ′＝CO OC ′＝23.
(1)求证：A ′B ′∥AB ，A ′C ′∥AC ，B ′C ′∥BC ；
(2)求S △ABC
S △A ′B ′C ′的值． [解析] (1)证明：∵AA ′与BB ′交于点O ，
且AO OA ′＝BO OB ′＝23
，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.
(2)∵A ′B ′∥AB ，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′、AC 和A ′C ′方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.
∴同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′.
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且AB A ′B ′＝AO OA ′＝23
. ∴S △ABC
S △A ′B ′C ′＝(23)2＝49.。