江苏省昆山市2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-，0），C（，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．19.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题10.【答案】（-∞，-]∪[，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，|PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB面积最小，则P为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x-y+5=0【解析】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．∴A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．代入两点式方程可得，故所求直线BC的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，）∪（，+∞）【解析】解：由于对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，故以MN为直径的圆与直线l：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．因为A（0，a），C（，0），故∠MAC=60°，AD=AC=a．△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=（a+b）．得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则，即，解得m=-1，n=2．即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y-3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．【解析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA⊥AD，CD⊥AD．又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，故CD⊥面PAD．又因为CD⊂面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）所求的点M即为线段PB的中点，证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1，四棱锥P-ABCD的高为h2当M为线段PB的中点时，=．所以=所以截面AMC把几何体分成的两部分V PDCMA：V M-ACB=2：1．（3）当M为线段PB的中点时，直线PD与面AMC不平行．证明如下：（反证法）假设PD∥面AMC，连接DB交AC于点O，连接MO．因为PD⊂面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．因为M为线段PB的中点时，则O为线段BD的中点，即．面AB∥DC，故，故矛盾．所以假设不成立，故当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD⊥面PAD；（2）已知V多面体PDCMA ：V三棱锥M-ACB体积之比为2：1，求出V M-ACB：V P-ABCD体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M点位置．（3）利用反证法证明当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，∴ ∴，∴2k（4k+3）=0∴k=0或者，∴所求圆C的切线方程为：y=3或者．即y=3或者3x+4y-12=0．（2）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，所以，设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，又∵MA=2MO，∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2=4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，∴，由5a2-12a+8≥0得a∈R，由5a2-12a≤0得，综上所述，a的取值范围为：，．【解析】（1）求出圆心C为（3，2），圆C的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k即可得到切线方程．（2）设圆心C为（a，2a-4），圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，设M为（x，y）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
2018-2019学年江苏省宿州市昆山市高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省宿州市昆山市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知倾斜角为45°的直线经过点A（2m，3），B（2，-3），则m的值为______．2.已知直线l1：2x+3y-2=0和直线l2：mx+（2m-1）y+1=0平行，则m的值为______．3.若长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，则长方体的对角线长度为______．4.直线x+2y-2=0被圆x2+y2-4x+2y+1=0截得的弦长等于______．5.圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y=1相切于点（2，-1）的圆的标准方程为______．6.半径为5cm的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm和4cm，则这两个平面之间的距离是______cm．7.过点P（3，0）作直线l，使它被两条相交直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段恰好被点P平分，则直线l斜率为______．8.如图，在棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，四面体DA1BC1的体积等于______cm3．9.如图，空间四边形ABCD中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC为1的等边三角形，∠CAD=30°，∠ACD=90°，P为棱AC上的一个动点，则BP+PD的最小值为______．10.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x，y），则√3PA+PB的最大值是______．11.关于异面直线a，b，有下列四个命题①过直线a有且只有一个平面α，使得b∥α②过直线a有且只有一个平面α，使得b⊥α③在空间存在平面β，使得a∥β，b∥β④在空间不存在平面β，使得a⊥β，b⊥β其中，一定正确的是______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x-a）2+（y-a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为______．13.已知P为平面内一点，且A（-1，0），B（1，0），若PA=√3PO，PB=√2PO，则点P的横坐标等于______．14.若实数x1，x2，y1，y2：满足x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=1，则2 |x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为______二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知直线l经过点P（2，3）且斜率为−3．2（1）求直线l的一般式方程；（2）求与直线l平行，且过点（-3，1）的直线的一般式方程；（3）求与直线l垂直，且过点（-3，1）的直线的一般式方程．16.如图一个圆锥的底面半径为1，高位3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的高h；（2）当x为何值时，圆柱的全面积忒大，最大全面积为多少．17.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AB中点，BC=BB1，在∠A1B1C1=90°．求证：（1）BC1∥平面A1DC；（2）BC1⊥A1C．18. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，△PAB为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F ． （Ⅰ）求证：AD ∥EF ；（Ⅱ）求证：PB ⊥平面AEFD ；（III ）记四棱锥P -AEFD 的体积为V 1，四棱锥P -ABCD 的体积为V 2，直接写出V 1V 2的值．19. 如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=5，过点P （0，1）的直线l 与圆O 交于点A 、B ，与x 负半轴交于点Q ．设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若λ=2，求出A 、B 两点坐标；（2）当直线l 绕点P 转动时，试探究λ+μ是否为定制．20.如图，已知圆C1：(x+2)2+(y−1)2=1和圆C2：(x−4)2+(y−4)2=4．（1）求两圆所有公切线的斜率；（2）设P为平面上一点，满足：若存在点P的无穷多条直线l与圆C1和圆C2相交，且直线l被圆C2截得的弦长是直线l被圆C1截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．答案和解析1.【答案】4【解析】解：由题意可得：，解得m=4．故答案为：4．由直线的斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】2【解析】解：∵直线l1：2x+3y-2=0和直线l2：mx+（2m-1）y+1=0平行，∴-=-，解得m=2，故答案为：2．根据两直线平行，且直线l2的斜率存在，故它们的斜率相等，解方程求得m的值．本题的考点是直线的一般式方程与直线的平行关系，主要考查两直线平行的性质，两直线平行，它们的斜率相等或者都不存在．3.【答案】√17【解析】解：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，∵长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，∴，∴a2+b2+c2=（9+16+9）=17，∴长方体的对角线长度为：=．故答案为：．设长方体的三条棱长分别为a，b，c，由长方体的三个面的对角线分别为3，4，3，求出a2+b2+c2=（9+16+9）=17，由此能求出长方体的对角线长度．本题考查长方体的对角线长的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想，是中档题．4.【答案】8√55【解析】解：化圆x2+y2-4x+2y+1=0为（x-2）2+（y+1）2=4，则圆心坐标为（2，-1），半径为2．圆心到直线x+2y-2=0的距离为d==．由垂径定理可得，直线x+2y-2=0被圆x2+y2-4x+2y+1=0截得的弦长为2．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．5.【答案】（x-1）2+（y+2）2=2【解析】解：设圆心Q为（a，-2a），P（2，-1）．根据题意得：圆心到直线x+y-1=0的距离d=|PQ|，即，解得：a=1，∴圆心Q（1，-2），半径r=，则所求圆方程为（x-1）2+（y+2）2=2．故答案为：（x-1）2+（y+2）2=2．根据圆心到直线2x+y=0上，设圆心Q为（a，-2a），由题意得到圆心到直线的距离等于|PQ|，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出圆心坐标与半径，写出圆的标准方程即可．此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判定，d＞r时，直线与圆相离；d＜r时，直线与圆相交；d=r时，直线与圆相切（其中d 为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．6.【答案】1或7【解析】解：半径为5cm的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm和4cm，∴圆心到两个平面的距离分别为：=4，=3，∴当两个平面位圆心同侧时，两平面间的距离为：4-3=1，当两个平面位圆心异侧时，两平面间的距离为：4+3=7．故答案为：1cm或7cm．故答案为：1或7．求出圆心到两个平面的距离分别为4，3，当两个平面位圆心同侧时，两平面间的距离为：4-3=1，当两个平面位圆心异侧时，两平面间的距离为：4+3=7．本题考查两个平面之间的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．7.【答案】8【解析】解：设直线l：y=k（x-3），联立方程组可得，解方程组可得A（，），同理联立方程组，解方程组可得B（，），由中点坐标公式得+=6，解得k=8，故答案为：8．设直线l：y=k（x-3），分别联立方程组可得A、B坐标，由中点公式可得k的方程，解之可得所求．本题考查直线的一般式方程，涉及待定系数法求直线的方程和中点公式，属基础题．8.【答案】83【解析】解：由题意可知四面体DA1BC1的体积V=×=（cm3）．故答案为：．利用正方体的体积减去4个三棱锥的体积，求解即可．本题考查几何体的体积的求法，考查计算能力．9.【答案】√213【解析】解：将空间四边形ABCD沿AC边展形，得到平面四边形ABCP，∵空间四边形ABCD中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC为1的等边三角形，∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴展开成平面后，BC=1，PC=，∠PCB=150°，∵P为棱AC上的一个动点，∴BP+PD的最小值为BD，BD===．∴BP+PD的最小值为．故答案为：．将空间四边形ABCD沿AC边展形，得到平面四边形ABCP，展开成平面后，BC=1，PC=，∠PCB=150°，由P为棱AC上的一个动点，得BP+PD的最小值为BD，由此能求出结果．本题考查空间中两线段和的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．10.【答案】2√5【解析】解：m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x，y），∴由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+2=0，经过点定点B（1，2），∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=5．故|PA|•|PB|≤=（当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”），设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2sin（θ+）取得最大值为2．∴的最大值是2．故答案为：2．先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB，三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB的最大值．本题考查了直线系、直线相互垂直与斜率的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】①③④【解析】解：由异面直线a，b，知：在①中，在a上任取一点A，过点A作b的平行线b′，b平行于a，b′确定的平面，故过直线a有且只有一个平面α，使得b∥α，故①正确；在②中，当直线a，b不垂直时，过直线a没有平面α，使得b⊥α，故②错误；在③中，在空间任取一点A，A不在直线a和直线b上，过点A分别作出直线a，b的平行线a′，b′，则a′，b′确定的平面即为β，使得a∥β，b∥β，故③正确；在④中，当a⊥β，b⊥β时，由线面垂直的性质定理得a∥b，不满足a，b异面的条件，故在空间不存在平面β，使得a⊥β，b⊥β，故④错误．故答案为：①③④．在①中，在a上任取一点A，过点A作b的平行线b′，b平行于a，b′确定的平面；在②中，当直线a，b不垂直时，过直线a没有平面α，使得b⊥α；在③中，在空间任取一点A，A不在直线a和直线b上，过点A分别作出直线a，b的平行线a′，b′，则a′，b′确定的平面即为β；在④中，当a⊥β，b⊥β时，由线面垂直的性质定理得a∥b，不满足a，b异面的条件．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想，是中档题．12.【答案】[2−√22，2+√22]【解析】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a-4）∴|PO|min=|MO|-1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】16【解析】解：设P（x，y），则|PA|==|PO|=，|PB|==PO=，故，解得：x=，故答案为：．设出P（x，y），根据，，得到关于x，y的方程组，求出x 的值即可．本题考查了两点间的距离公式，考查转化思想，是一道常规题．14.【答案】2+√6【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），∵实数x1，x2，y1，y2：满足，，∴A，B两点在圆x2+y2=1上，且=，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，AB=1，A到直线x+y-1=0的距离d1=，B到直线x+y-1=0的距离d2=，A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，∴d1+d2=≤，∴|x1+y1-1|+|x2+y2-1|≤2+∴|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值为2+．故答案为：2+．设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），A，B两点在圆x2+y2=1上，且AB=1，A，B到直线x+y-1=0的距离d1+d2=，由此利用两平行线的距离能求出|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值．本题考查代数式的蹑大值的求法，考查圆的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】解：（1）直线l过点P（2，3），且斜率为−3；2（x-2），则直线l的点斜式方程为y-3=-32化为一般式方程是3x+2y-12=0；（2）由所求直线与直线l平行，可设直线方程为3x+2y+m=0，将点（-3，1）代入可得：3×（-3）+2×1+m=0，解得m=7；∴所求直线的一般式方程为3x+2y+7=0；（3）由所求直线与直线l垂直，可设直线方程为2x-3y+n=0，将点（-3，1）代入可得2×（-3）-3×1+m =0，解得n =9； ∴所求直线的一般式方程为2x -3y +9=0． 【解析】（1）用点斜式写出直线方程，再化为一般式方程；（2）根据平行关系设出所求直线方程，再将点代入求得直线方程； （3）根据垂直关系设出所求直线方程，再将点代入求出直线方程． 本题考查了直线方程的求法与应用问题，是基础题． 16.【答案】解：（1）∵OA ∥O 1A 1，∴SO1SO =O 1A 1OA，即3−ℎ3=x1， 解得h =3（1-x ），其中0＜x ＜1； （2）记圆柱的全面积为S ， ∴S =2πrh +2πr 2=2πx •3（1-x ）+2πx 2 =2π(−2x 2+3x)=−4π(x −34)2+9π4．∵0＜x ＜1，∴当x =34时，S max =9π4．答：当x =34时，圆柱的全面积最大，最大全面积是9π4． 【解析】（1）利用平行线截线段成比例列式可得；（2）写出圆柱的全面积，整理后利用配方法求最值．本题考查圆柱面积的求法，考查函数与方程思想的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC 1交A 1C 于E ，连结DE ，∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，∴四边形ACC 1A 1为矩形， ∴AC 1与A 1C 互相平分，∴E 为AC 1的中点， 又点D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1， ∵BC 1⊄平面A 1DC ，DE ⊂平面A 1DC ， ∴BC 1∥平面A 1DC ． 解：（2）∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，∴四边形ACC 1A 1为矩形， ∴AB 1⊥BB 1， ∵∠A 1B 1C 1=90°，∴AB 1⊥B 1C 1， 又BB 1∩B 1C 1=B 1， ∴A 1B 1⊥平面B 1C 1CB ，∵BC 1⊂平面B 1C 1CB ，∴BC 1⊥A 1B 1，∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴四边形BCC1B1为矩形，又∵BB1=B1C1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，又∵A1B1∩B1C=B1，∴B1C⊥平面A1B1C，∵A1C⊂平面A1B1C，∴BC1⊥A1C．【解析】（1）连结AC1交A1C于E，连结DE，推导出DE∥BC1，由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）推导出AB1⊥BB1，AB1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面B1C1CB，进而四边形BCC1B1是正方形，BC1⊥B1C，由此能证明B1C⊥平面A1B1C，从而BC1⊥A1C．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵ABCD为正方形，∴AD∥BC．∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC．∵AD⊂平面AEFD，平面AEFD∩平面PBC=EF，∴AD∥EF；（Ⅱ）证明：ABCD为正方形，∴AD⊥AB．∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面PAB．∵PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．∵△PAB为等边三角形，E是PB中点，∴PB⊥AE．∵AE⊂平面AEFD，AD⊂平面AEFD，AE∩AD=A，∴PB⊥平面AEFD；（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，V1=V C-AEFD，V E-ABC=V F-ADC=23V C−AEFD=23V1，∴VBC−AEFD=53V1，则V P−ABCD=V1+53V1=83V1，∴V1 V2=38．【解析】（Ⅰ）由ABCD为正方形，可得AD∥BC．再由线面平行的判定可得AD∥平面PBC．再由面面平行的性质可得AD∥EF；（Ⅱ）由ABCD为正方形，可得AD⊥AB．结合面面垂直的性质可得AD⊥平面PAB ．从而得到AD ⊥PB ．再由已知证得PB ⊥AE ．由线面垂直的判定可得PB ⊥平面AEFD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，V 1=V C-AEFD ，利用等积法把V 2用V 1表示，则的值可求．本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 19.【答案】解：（1）设点Q （a ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1−1)． ∵λ=2，∴QA⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{y 1=2(y 1−1)x 1−a=2x 1， 解得：{y 1=2x 1=−a，∴A （-a ，2）．将点A （-a ，2）代入x 2+y 2=5，可得a =-1或a =1（舍去）． ∴点A 的坐标为（1，2）．又∵A （-1，2），P （0，1），∴直线AB 的方程为y =x +1． 联立{y =x +1x 2+y 2=5，解得{y 1=2x 1=1或{y 2=−1x 2=−2．∴点B 的坐标为（-2，-1）． （2）当λ变化时，λ+μ为定值52．∵QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a ，y 1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1，y 1−1)，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{y 1=λ(y 1−1)x 1−a=λx 1，解得{x 1=a 1−λy 1=−λ1−λ，则A （a 1−λ，−λ1−λ）， 又∵QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可得B （a1−μ，−μ1−μ），将A ，B 两点的坐标代入x 2+y 2=5可得：{(a1−λ)2+(−λ1−λ)2=5(a 1−μ)2+(−μ1−μ)2=5． 即{a 2+μ2=5(1−μ)2a 2+λ2=5(1−λ)2，两式作差可得：λ2-μ2=5[（1-λ）2-（1-μ）2]．∴（λ-μ）（λ+μ）=5（λ-μ）（λ+μ-2）． ∵点Q 在x 轴的负半轴，∴λ≠μ． ∴λ+μ=5（λ+μ-2），即λ+μ=52． 【解析】（1）设点Q （a ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得，的坐标，结合，求得A （-a ，2），把A 的坐标代入圆的方程求a ，则A 的坐标可求，再由P （0，1），可得直线AB 的方程为y=x+1，与圆的方程联立求解B 的坐标； （2）由，，，求得A （），同理可得B （），将A ，B 两点的坐标代入x 2+y 2=5，化简整理得，两式作差可得λ2-μ2=5[（1-λ）2-（1-μ）2]，进一步得到λ+μ=．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查向量相等的条件，体现了“整体运算”思想方法，是中档题． 20.【答案】解：（1）圆C 1：(x +2)2+(y −1)2=1和圆C 2：(x −4)2+(y −4)2=4，则圆心C 1（-2，1），半径r 1=1，圆心C 2（4，4），半径r 2=2； 且|C 1C 2|=√(4+2)2+(4−1)2=3√5＞r 1+r 2；∴两圆外离，两圆公切线的斜率必存在， 设公切线方程为y =kx +b ，即kx -y +b =0；则{|−2k−1+b|√1+k 2=1|4k−4+b|√1+k 2=2， {|2k +1−b|=√1+k 2…①|4k −4+b|=2√1+k 2…②∴|4k +2-2b |=|4k -4+b |；（i ）当4k +2-2b =4k -4+b 时，∴2-2b =-4+b ，解得b =2； 将b =2代入①得，|2k -1|=√1+k 2， ∴3k 2-4k =0，解得k =0或k =43；（ii ）当4k +2-2b =-（4k -4+b ）时，∴b =8k -2， 将b =8k -2代入①得，|6k -3|=√1+k 2，∴35k 2-46k +8=0，解得k =18±2√1135；综上所述，两圆的公切线斜率为k =0，k =43或k =18±2√1135； （2）设P 点坐标为（m ，n ），直线l 的斜率为k （依题意知k ≠0）， 则直线l 的方程为y -n =k （x -m ）， 即kx -y +n -km =0；因为直线l 被圆C 1截得的弦长的2倍与直线l 被圆C 2截得的弦长相等，即2√r 12−d 12=√r 22−d 22，∴4[1-(√k 2+1)2]=4-(√k 2+1)2，整理得：（3m +2）k +（4-3n ）=0或（m +6）k -n =0；由于关于k 的方程有无穷多解，所以3m +2=0且4-3n =0，或m +6=0且-n =0； 解得m =-23且n =43，或m =-6且n =0； ∴点P 的坐标为（-23，43）或（-6，0）． 【解析】（1）根据题意判断两圆外离，公切线有4条；设公切线方程为y=kx+b ，利用圆心到直线的距离d=r 列方程组求出斜率k 的值；（2）设P 点坐标为（m ，n ），直线l 的斜率为k ，写出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半径的关系求出直线被圆截得的弦长，结合题意列方程求出点P 的坐标．本题考查了点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系以及方程有无数解的应用问题，是难题．。
昆山市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
昆山市第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）A ．7B ．9C ．11D ．132． 如图，正六边形ABCDEF 中，AB=2，则（﹣）•（+）=（ ）A ．﹣6B ．﹣2C ．2D ．63． 设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α； 其中正确命题的序号是（ ） A ．①②③④ B ．①②③ C ．②④D ．①③4． 已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥βC ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥nD ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=17． 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）A ．B ．C ．1:D (18． 已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右两个焦点，且12PF PF ⊥，2PF 与两条渐近线相交于M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段2PF ，则双曲线的离心率是（ ）A.5B.2 D.2【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力. 9． 若，[]0,1b ∈，则不等式221a b +≤成立的概率为（ ）A ．16π B ．12π C ．8π D ．4π 10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）A ．0B ．0或C ．或D ．0或11．椭圆=1的离心率为（ ） A ． B ． C ．D ．12．函数f （x ）=有且只有一个零点时，a 的取值范围是（ ）A ．a ≤0B ．0＜a ＜C ．＜a ＜1D ．a ≤0或a ＞1二、填空题13．已知数列1，a 1，a 2，9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3，9是等比数列，则的值为 ．14．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．15．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 16．递增数列{a n }满足2a n =a n ﹣1+a n+1，（n ∈N *，n ＞1），其前n 项和为S n ，a 2+a 8=6，a 4a 6=8，则S 10= ． 17．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•=24，则△ABC 的面积是 ．三、解答题19．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．20．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．21．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．22．如图，A 地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(含精品解析)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+√3=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为√2a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-√3a，0），C（√3a，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；√5的圆的方程．（2）以O为圆心且被l截得的弦长为8519.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=√2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1 即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】√15a3【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题 10.【答案】（-∞，-43]∪[52，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a ， 如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB 有交点， 则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥． 故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）． 由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】2√65【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC 是半径，为定值1，要使三角形PAC 的面积最小，则PC 最小， |PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB 面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB 面积最小，则P 为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC ，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x -y +5=0【解析】解：∵∠B 、∠C 的平分线分别是x=0，y=x ，∴AB 与BC 对于x=0对称，AC 与BC 对于y=x 对称． ∴A （3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC 上， A 关于y=x 的对称点A''（-1，3）也在直线BC 上． 代入两点式方程可得，故所求直线BC 的方程：2x-y+5=0． 故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A 关于x=0，y=x ，的对称点的坐标，都在直线BC 上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，4−√3014）∪（4+√3014，+∞） 【解析】解：由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l ：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k 的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．AC=a．因为A（0，a），C（√3a，0），故∠MAC=60°，AD=12△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=3（a+b）．2得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），则{2(2−m)+(2−n)−6=0m−n+3=0，即{2m +n =0m−n=−3，解得m =-1，n =2．即A （-1，2），又l 过点P （1，1），用两点式求得AB 方程为y−12−1=x−1−1−1，即：x +2y -3=0． （2）圆心（0，0）到直线l 的距离d =|0+0−3|√1+4=3√5，设圆的半径为R ，则由R 2=d 2+(4√55)2， 求得R 2=5，故所求圆的方程为x 2+y 2=5．【解析】（1）依题意可设A （m ，n ）、B （2-m ，2-n ），分别代入直线l 1 和l 2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l 的距离d ，设圆的半径为R ，则由，求得R 的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB 为等腰梯形，PB =3，DC =1，PA =1，则PA ⊥AD ，CD ⊥AD ．又因为面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ∩面ABCD =AD ，CD ⊂面ABCD ，故CD ⊥面PAD ．又因为CD ⊂面PCD ，所以平面PAD ⊥平面PCD ． （2）所求的点M 即为线段PB 的中点，证明如下： 设三棱锥M -ACB 的高为h 1，四棱锥P -ABCD 的高为h 2当M 为线段PB 的中点时，ℎ1ℎ2=MB PB =12．所以V M−ACBVp−ABCD=13S MCB ℎ113S ABCD ℎ2=13所以截面AMC 把几何体分成的两部分V PDCMA ：V M -ACB =2：1．（3）当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行．证明如下：（反证法）假设PD ∥面AMC ，连接DB 交AC 于点O ，连接MO ． 因为PD ⊂面PDB ，且面AMC ∩面PBD =MO ，所以PD ∥MO ． 因为M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即DOOB =11． 面AB ∥DC ，故DOOB =DCAB =12，故矛盾．所以假设不成立，故当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD ⊥面PAD ；（2）已知V 多面体PDCMA ：V 三棱锥M-ACB 体积之比为2：1，求出V M-ACB ：V P-ABCD 体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M 点位置．（3）利用反证法证明当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与平面AMC 不平行． 本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由{y =x −1y=2x−4得圆心C 为（3，2），∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：（x -3）2+（y -2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y =kx +3，即kx -y +3=0， ∴√k 2+1=1∴|3k +1|=√k 2+1，∴2k （4k +3）=0∴k =0或者k =−34，∴所求圆C 的切线方程为：y =3或者y =−34x +3．即y =3或者3x +4y -12=0．（2）∵圆C 的圆心在在直线l ：y =2x -4上， 所以，设圆心C 为（a ，2a -4），则圆C 的方程为：（x -a ）2+[y -（2a -4）]2=1， 又∵MA =2MO ，∴设M 为（x ，y ）则√x 2+(y −3)2=2√x 2+y 2整理得：x 2+（y +1）2=4设为圆D ， ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即：圆C 和圆D 有交点，∴1≤CD ≤3，∴|2−1|≤√a 2+[(2a −4)−(−1)]2≤|2+1|， 由5a 2-12a +8≥0得a ∈R ， 由5a 2-12a ≤0得0≤a ≤125，综上所述，a 的取值范围为：[0，125]． 【解析】（1）求出圆心C 为（3，2），圆C 的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k 即可得到切线方程．（2）设圆心C 为（a ，2a-4），圆C 的方程为：（x-a ）2+[y-（2a-4）]2=1，设M 为（x ，y ）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
2018-2019学年江苏省高二上学期期中考试数学试题(解析版18)
高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为__________．2．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________．3．已知函数()2log 1{1x x f x x c x ≥=+<，，，，则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的__________．4．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30︒角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________．5．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于____________.7．函数ln xy x=的单调增区间是__________． 8．一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为O ， F 为圆内一定点， 6OF cm =，M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M 与F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设CD 与OM 交于P 点（如图），以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程为__________．9．已知双曲线2216436x y -=的焦点1F 、2F ，点P 在双曲线上，且12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为__________．10．已知点P 在曲线sin y x =上， a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．11．过点()11-，与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．12．12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，若212MF F F =，则双曲线C 的离心率为_________.13．已知椭圆E 的方程为2212x y +=， T 为圆O ： 2223x y +=上一点，过点T 作圆O 的切线交椭圆E 于A 、B 两点，则AOB 面积的取值范围是__________．14．已知函数()2472x f x x-=-，函数()3232g x x a x a =--，（ 1a ≥），若对任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，则a 的取值范围是__________．二、解答题15．已知：命题p ：22113x y m m +=-+表示双曲线， 命题q ：函数()3211132f x x mx x =-+-在R 上单调递增.（1）若命题p 为真命题，求实数m 取值范围；（2）若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.16．已知函数()32f x x bx cx d =+++的图象经过点()02P ，，且在点()()11M f --，处的切线方程为670x y -+=.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间.17．若椭圆221ax by +=与直线1x y +=交于点A ， B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为2. （1）求ab的值； （2）若OA OB ⊥，求a 、b 的值.18．如图，江的两岸可近似地看出两条平行的直线，江岸的一侧有A ， B 两个蔬菜基地，江岸的另一侧点C 处有一个超市.已知A 、B 、C 中任意两点间的距离为20千米，超市欲在AB 之间建一个运输中转站D ， A ， B 两处的蔬菜运抵D 处后，再统一经过货轮运抵C 处，由于A ， B 两处蔬菜的差异，这两处的运输费用也不同.如果从A 处出发的运输费为每千米2元.从B 处出发的运输费为每千米1元，货轮的运输费为每千米3元.（1）设ADC α∠=，试将运输总费用S （单位：元）表示为α的函数()S α，并写出自变量的取值范围；（2）问中转站D 建在何处时，运输总费用S 最小？并求出最小值. .19．已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程； （3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 20．已知()3231f x ax x =-+（0a >），定义()()(){}()()()()()()max {f x f xg xh x f x g x g x f x g x ≥==<，，，.（1）求函数()y f x =的极值（2）若()()g x xf x ='，且存在[]12x ∈，使()()h x f x =，求实数a 的取值范围；（3）若()ln g x x =，试讨论函数()y h x =（0x >）的零点个数.高二上学期期中考试数学试题【解析】一、填空题1．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为__________．【答案】存在0x R ∈，使得20x < 【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为存在0x R ∈，使得20x <. 2．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________． 【答案】e【解析】若x y e =，则'x y e =，设曲线x y e =上点的坐标为()00,x x e ， 则切点处切线的斜率00'|x x x k y e ===， 此时切线方程为： ()000x x x y e e x e -=-，切线为y kx =，则切线过坐标原点，即： ()00000x x e e x -=-, 解得： 01x =，则： 01'|x x k y e e ====. 3．已知函数()2log 1{ 1x x f x x c x ≥=+<，，，，则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的__________．【答案】充分不必要条件【解析】若函数()f x 是单调增函数，则应满足： 2log 11c ≥+，解得： 1c ≤-， 则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的充分不必要条件.点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．4．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30︒角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________．【答案】1 2【解析】如图所示，∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，∴cos30°=82a,得833a=.以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为：221 64163x y+=.c2=a2−b2=64161633-=,∴c=433.∴椭圆的离心率为：43132833cea===.5．双曲线2214xy-=的顶点到其渐近线的距离等于____________.【答案】25 5【解析】试题分析：不妨设顶点为(2,0) ,一条渐近线为12y x=即20x y-=,点直线的距离为22555d==.【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.6．已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．【答案】【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.7．函数ln xy x=的单调增区间是__________． 【答案】()0e ，【解析】函数的定义域为0x >，且： 221ln 11ln 'x x x x y x x ⨯-⨯-==， 求解不等式'0y >可得： 0x e <<， 则函数ln xy x=的单调增区间是()0e ，. 8．一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为O ， F 为圆内一定点， 6OF cm =，M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M 与F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设CD 与OM 交于P 点（如图），以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程为__________．【答案】2212516x y += 【解析】以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系。
2018-2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A ＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P（0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°== km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的．）1.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )A. 9B. 12C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项性质即可得出．【详解】解：∵{an}是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．故选D．【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2.若，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用实数的运算性质和作差比较，结合不等式的基本性质，即可求解.【详解】对于A中，，所以，所以不正确；对于B中，根据实数的运算性质，当时，是正确的；对于C中，，可得，所以不正确；对于D中，，所以是正确的，是不正确的，故选：B【点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，利用实数的运算性质和作差比较法，结合不等式的基本性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.3.在△ABC中,已知，则角A=（）A. 30°或150°B. 60°或120°C. 60°D. 30°【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得，解之可求得，再根据三角形的大边对大角，可得选项.【详解】根据正弦定理得：，因为,所以.故选:D.【点睛】本题考查三角形的正弦定理，在运用时注意三角形中的大边对大角的性质，属于基础题.4.在三角形中，，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A考点：余弦定理5.已知单调递增的等比数列中，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，可得到是方程的实数根，求得，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等比数列中，，，根据等比数列的性质，可得，，所以是方程的实数根，解得或，又因为等比数列为单调递增数列，所以，设等比数列的首项为，公比为可得，解得，所以数列的前项和.故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形【解析】【详解】因为，所以，所以，所以，所以，即，所以是等腰三角形．故选A．7.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，求得公比，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，等比数列中，，可得，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8.不等式的解集是（）A. B.C. 或D. 或【答案】B【解析】把不等式化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可转化为，根据一元二次不等式的解法，可得不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了计算能力.9.已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：根据正弦定理由可得,,在中,,为边长为1的正三角形,.故B正确.考点：正弦定理.【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求.10.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1 =an+3，若an＝2014，则n＝（）A. 667B. 668C. 669D. 672【答案】D【解析】试题分析：因为，所以数列是等差数列，，所以考点：1．等差数列定义；2．等差数列的通项．11.已知是坐标原点，点，若点为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A. [﹣1，0]B. [0，1]C. [0，2]D. [﹣1，2]【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得的取值范围．【详解】满足约束条件的平面区域如图所示：联立，解得S（1，1），P （0,2）.∵，，∴，令，化为，作出直线，由图可知，平移直线至S时，目标函数有最小值0；平移直线至P时，目标函数有最大值2．∴的取值范围是[0，2]．故选C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．12.已知不等式的解集为，若，则“”的概率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：解分式不等式得集合P，再根据几何概型概率公式（测度为长度）求结果.详解：，∴，，∴．选．点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知数列前项和，则的通项公式为________．【答案】【解析】【分析】根据的关系式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，数列前项和，当时，，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的前n项和求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的和的关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14.太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.【答案】【解析】如图所示，过C作CD⊥AB，垂足为D，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km，△ABC中，BC=，△CBD中，CD=BCcos15°==km．故填．15.已知函数，那么当取得最小值时，的值是________．【答案】【解析】【分析】直接利用基本不等式，确定等号成立的条件，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，根据基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立.故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.16.设的内角所对的边分别为，若，则角=__________.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理到，，再利用余弦定理得到，得到答案.【详解】，则，，故.根据余弦定理：，故.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的前项和为，若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；（Ⅱ）利用等差数列的求和公式，求得，再偶，即可求解.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可得数列的前n项和为，令，即，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了方程思想，以及运算能力.18.在中，分别为角所对的边，已知.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求的最大值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)18.【解析】试题分析：(Ⅰ)由正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得；(Ⅱ)有(I)的结论结合均值不等式的结论可得的最大值是18.试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，由余弦定理，得，解得，所以（Ⅱ）由余弦定理，得，又，所以即，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为18.另解（Ⅱ）：由（Ⅰ）和正弦定理知：,且,所以，所以的最大值为18.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低（）个百分点，预测收购量可增加个百分点.（1）写出税收（万元）与的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的，试确定的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，可知降低税率后的税率为（10-x）%，农产品的收购量为a（1+2x%）万担，收购总金额 200a（1+2x%），从而可求税收y（万元）与x的函数关系式；（Ⅱ）利用税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，可建立不等关系，从而可得x的取值范围．试题解析：（1）降低税率后的税率为，农产品的收购量为万担,收购总金额为万元.依题意有（2）原计划税收为万元依题意有化简得.取范围是.点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．20.已知函数．（Ⅰ）试求的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，试求的面积【答案】（Ⅰ）最小正周期为，递减区间为；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用倍角公式、诱导公式和降幂公式，化简得到函数的，再结合三角函数的图象与性质，即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ）及，求得，利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意，函数，所以函数的的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，可得，即，又因为，所以，又由，由余弦定理可得，即，即，解得所以的面积，即的面积为.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.21.已知数列为等差数列，且，．(1) 求数列的通项公式； (2) 令，求证：数列是等比数列．（3）令，求数列的前项和.【答案】解: (1)∵数列为等差数列,设公差为,由,得,,∴，.(2)∵,∴∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 .（3）∵，，∴∴…【解析】试题分析：(1)∵数列为等差数列,设公差为, …………………… 1分由,得,,∴，…………………… 3分. …………………… 4分(2)∵, …………………… 5分∴，…………………… 6分∴数列是首项为9，公比为9的等比数列 . …………………… 8分（3）∵，，∴………………… 10分∴………… 12分考点：等差数列的性质；等比数列的性质和定义；数列前n项和的求法．点评：裂项法是求前n项和常用的方法之一．常见的裂项有：，，，，，22.已知函数，其中．（I）若，求在区间上的最大值和最小值；（II）解关于x不等式【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）见解析【解析】【详解】(Ⅰ)最小值为，最大值为；(Ⅱ)当时，不等式解集为当时，不等式解集当时，不等式解集为当时，不等式解集为。
【精品】2018年江苏省苏州市昆山市高二上学期期中数学试卷带解析答案
2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷一、填空题 1．（3分）直线的倾斜角是 ．2．（3分）圆x 2+y 2﹣2x +4y=0的面积等于 ． 3．（3分）已知正方体，则异面直线AC 与A 1B 所成的角为 ．4．（3分）已知M （2，0），N （0，4），则MN 的中垂线所在直线方程为 ． 5．（3分）若长方体的三个面的面积分别为2cm 2，3cm 2，6cm 2，则长方体体积为 ．6．（3分）自点A （﹣1，4）作圆（x ﹣2）2+（y ﹣8）2=9的切线，则切线长为 ．7．（3分）三个平面最多可以将空间分成几个部分 ．8．（3分）已知直线l 1：x +my +6=0，l 2（m ﹣2）x +3y +2m=0，若l 1∥l 2，则实数m= ．9．（3分）直线l 被两直线l 1：3x +2y ﹣7=0，l 2：x ﹣y ﹣1=0截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线l 的方程是 ．10．（3分）将半径为2cm 的半圆卷成圆锥的侧面，则该圆锥的体积为 cm 3． 11．（3分）在平面直角坐标系中，A （3，﹣1），B （﹣1，3），点C 在坐标轴上，若∠ACB=90°，则满足条件的C 的点共有 个．12．（3分）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：y=k （x +2）与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形，若点M 在圆O 上，则实数k= ．13．（3分）设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，则下列四个命题中，正确的命题是①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若α∥β，l ⊂α，则l ∥β③若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n ④若α∩β=l ，m ∥α，m ∥β，则m ∥l ． 14．（3分）如果圆（x ﹣2a ）2+（y ﹣a ﹣3）2=18，上 总存在两个点到原点与到点A （2，0）的距离之为，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（4，3）（1）求BC边的中线AD所在直线方程（2）求△ABC的面积．16．已知正三棱锥S﹣ABC（1）求证：SA⊥BC（2）若正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为3，底面边长为，求正三棱锥S﹣ABC 的体积．17．已知半径为5的圆过点P（﹣4，3）且圆心C在直线2x﹣y+1=0上（1）求圆C的标准方程（2）若圆C的圆心在第一象限，过点Q（1，0）作直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=，求直线l的方程．18．如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，点E 是BC的中点（1）求证：D1B∥平面C1DE（2）求证：平面DEC1⊥平面BB1C1C．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点（1）若AB中点坐标M（0，1），求直线l的方程及实数a的取值范围（2）若a=﹣4，问是否存在斜率为1的直线l，使得以AB为直径的圆经过原点，若存在求出．20．如图，在直角坐标系xOy中，已知F1（﹣4，0），F2（4，0），A（0，4），直线y=t（0＜t＜4）与线段AF 1，AF2分别交于P，Q两点，过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF的外接圆为圆C（1）求证：圆心C在定直线2x+y+4=0上（2）圆C是否恒定过异于F 1的一个定点？若过，求出该点的坐标，若不过，请说明．2017-2018学年江苏省苏州市昆山市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）直线的倾斜角是30°．【解答】解：直线方程可化为：∴直线的倾斜角的正切值为∴直线的倾斜角为30°故答案为：30°2．（3分）圆x2+y2﹣2x+4y=0的面积等于5π．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y=0，即为（x﹣1）2+（y+2）2=5，可得圆心为（1，﹣2），半径为，则圆的面积为5π．故答案为：5π．3．（3分）已知正方体，则异面直线AC与A1B所成的角为60°．【解答】解：∵正方体中，AC∥A1C1，∴∠BA1C1是异面直线AC与A1B所成的角（或所成角的补角），∵A1C=BC1=A1C1，∴△A1BC1是等边三角形，∴∠A1BC1=60°，∴异面直线AC与A1B所成的角为60°．故答案为：60°．4．（3分）已知M（2，0），N（0，4），则MN的中垂线所在直线方程为x﹣2y+3=0．【解答】解：已知M（2，0），N（0，4），则：中点A（1，2），且：，则：中垂线的斜率k=，所以MN的中垂线所在的直线方程为：y﹣2=，整理得：x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．5．（3分）若长方体的三个面的面积分别为2cm2，3cm2，6cm2，则长方体体积为6cm3．【解答】解：如图，不妨设长方形ABCD、ABB1A1、ADD1A1的面积分别为2cm2，3cm2，6cm2，再设AB=xcm、AD=ycm、AA1=zcm，则，得（xyz）2=36，即xyz=6（cm3）．∴长方体体积为6cm3．故答案为：6cm3．6．（3分）自点A（﹣1，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣8）2=9的切线，则切线长为4．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣8）2=9，的圆心M为（2，8），半径r为3，A（﹣1，4）代入圆方程左边为9+16＞9，则A在圆外，|AM|==5，设切点为T，切线长|PT|===4．故答案为：4．7．（3分）三个平面最多可以将空间分成几个部分8．【解答】解：三个平面互相平行，将空间分成4部分两个平面平行，另一个平面与这两个平面相交，则将空间分成6部分三个平面两两相交，则将空间分成7部分两个面成十字，第三个面与两个面的交线垂直，则将空间分成八个部分，∴三个平面最多可以将空间分成8个部分．故答案为：8．8．（3分）已知直线l1：x+my+6=0，l2（m﹣2）x+3y+2m=0，若l1∥l2，则实数m=﹣1．【解答】解：由m（m﹣2）﹣3=0，解得：m=﹣1或3．m=3时，两条直线重合，舍去．∴m=﹣1．故答案为：﹣1．9．（3分）直线l被两直线l1：3x+2y﹣7=0，l2：x﹣y﹣1=0截得的线段中点恰好是坐标原点，则直线l的方程是2x﹣y=0．【解答】解：设所求直线与l1、l2的交点分别是A、B，设A（x0，y0）．∵A、B关于原点对称，∴B（﹣x0，﹣y0）．又∵A、B分别在l1、l2上，则：，解得：10x0﹣5y0=0，即：2x﹣y=0，直线经过原点．所以所求的直线方程为：2x﹣y=0．故答案为：2x﹣y=010．（3分）将半径为2cm的半圆卷成圆锥的侧面，则该圆锥的体积为cm3．【解答】解：半径为2的半圆以及将该半圆卷成的圆锥如下图所示：设圆锥的底面半径是r，高是h，则2πr=2π，解得r=1，h=，∴该圆锥的体积：V==．故答案为：．11．（3分）在平面直角坐标系中，A（3，﹣1），B（﹣1，3），点C在坐标轴上，若∠ACB=90°，则满足条件的C的点共有4个．【解答】解：①设点C的坐标在x轴上，坐标为C（x，0），由于∠ACB=90°，则：AC⊥BC，所以：k BC•k AC=﹣1，即：，整理得：x2﹣2x﹣6=0，解得：．故点C（）或C（）．②当点C在y轴上，设C（0，y），由于∠ACB=90°，则：AC⊥BC，所以：k BC•k AC=﹣1．即：，整理得：y2﹣2y﹣6=0，解得：，故：点C（）或C（）．故符合条件的点有4个．故答案为：412．（3分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形，若点M在圆O上，则实数k=．【解答】解：由题意，直线l：kx﹣y+2k=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点．以OA，OB为邻边作平行四边形，若点M在圆O上．可得：四边形OAMB是锐角为600的菱形．∴OM=2．即点O到AB距离为1．由d==1，解出：k=±．故答案为．13．（3分）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，则下列四个命题中，正确的命题是②③④①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β②若α∥β，l⊂α，则l∥β③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n④若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥l．【解答】解：由α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，知：在①中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若α∥β，l⊂α，则由面面平行的判定定理得l∥β，故②正确；在③中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由面面平行、线面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中，若α∩β=l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥l，故④正确．故答案为：②③④．14．（3分）如果圆（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2=18，上总存在两个点到原点与到点A（2，0）的距离之为，则实数a的取值范围是（1﹣，1+）．【解答】解：设动点P（x，y）到原点与到点A（2，0）的距离之为，则⇒（x﹣4）2+y2=8，表示圆心为（4，0），半径为2的圆，圆（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2=18上总存在两个点到原点与到点A（2，0）的距离之为⇔圆（x﹣2a）2+（y﹣a﹣3）2=18⇒（x﹣4）2+y2=8有两个交点，∴解得1﹣＜a＜1+故答案为：（1﹣，1）．二、解答题（共6小题，满分0分）15．已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（4，3）（1）求BC边的中线AD所在直线方程（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（4，3），则：BC的中点坐标D（1，1），AD的直线方程为：，整理得：3x+2y﹣5=0．（2）由于B（﹣2，﹣1），C（4，3）所以求出BC的直线方程为：2x﹣3y+1=0．由于A（﹣1，4），所以点A到直线BC的距离d=．|BC|=，则：．16．已知正三棱锥S﹣ABC（1）求证：SA⊥BC（2）若正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为3，底面边长为，求正三棱锥S﹣ABC 的体积．【解答】（1）证明：作SO⊥平面ABC，垂直为O，连接AO交BC于D，∵S﹣ABC为正三棱锥，∴O为正三角形ABC的中心，则BC⊥AO．又∵SO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥SO，∵AO∩SO=O，且AO，SO⊂平面ASO，∴BC⊥平面SAO．∵SA⊂平面SAO，∴SA⊥BC；（2）∵SO⊥平面ABC，且AO⊂平面ABC，∴SO⊥AO，由（1）可知，O为正三角形ABC得中心，且底面边长为，∴AO=2．又∵正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为3，∴在直角三角形ASO中，有SO=．∵正三棱锥S﹣ABC的底面边长为，∴正三角形ABC得面积为．∴正三棱锥S﹣ABC的体积V=．17．已知半径为5的圆过点P（﹣4，3）且圆心C在直线2x﹣y+1=0上（1）求圆C的标准方程（2）若圆C的圆心在第一象限，过点Q（1，0）作直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，b），由已知得解得a=1，b=3，或a=﹣1，b=﹣1∴（x﹣1）2+（y﹣3）2=25或（x+1）2+（y+1）2=25为所求．（2）圆C的圆心在第一象限，∴圆C的方程：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，若直线l的斜率不存在时，直线l过原点，AB=10不符合题意；若直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．圆心到直线l的距离为d=．∵=，∴，∴k=±1，直线l的方程：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．18．如图，在直棱柱中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，点E 是BC的中点（1）求证：D1B∥平面C1DE（2）求证：平面DEC1⊥平面BB1C1C．【解答】证明：（1）连结CD1，交C1D于O，连结OE，∵直棱柱中，四边形CDD1C1是矩形，∴O为CD1中点，又∵点E是BC的中点，∴OE∥BD1，又∵OE⊂平面C1DE，∴D1B∥平面C1DE．（2）连结BD，∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴△BCD是等边三角形，又∵点E是BC的中点，∴DE⊥BC，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面B1C1CB⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ABCD，平面B1C1CB∩平面ABCD=BC，∴DE⊥平面BB1C1C，又∵DE⊂平面DEC1，∴平面DEC1⊥平面BB1C1C．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点（1）若AB中点坐标M（0，1），求直线l的方程及实数a的取值范围（2）若a=﹣4，问是否存在斜率为1的直线l，使得以AB为直径的圆经过原点，若存在求出．【解答】解：（1）因为22+42﹣4a＞0，所以a＜5．因为M（0，1）在圆C内，所以12﹣4+a＜0，所以a＜3．综上知a＜3．因为弦AB的中点为M（0，1），所以直线l⊥CM．因为k CM=﹣1，所以k l=1．所以直线l的方程为y=x+1．（2）a=﹣4时：圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=9，假设存在直线l：y=x+m满足题设要求，点A（x1，y1），B（x2，y2），以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，有x1x2+y1y2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣①得2x2+2（m﹣1）x+m2﹣4m﹣4=0，由于△＞0，得m2﹣6m﹣9＜0x1+x2=m﹣1，…②所以x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）==0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③由①②③解得m=﹣1或m=4，均符合△＞0，故存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点，其方程为y=x﹣1或y=x+4．20．如图，在直角坐标系xOy中，已知F1（﹣4，0），F2（4，0），A（0，4），直线y=t（0＜t＜4）与线段AF1，AF2分别交于P，Q两点，过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF的外接圆为圆C（1）求证：圆心C在定直线2x+y+4=0上（2）圆C是否恒定过异于F1的一个定点？若过，求出该点的坐标，若不过，请说明．【解答】证明：（1）∵F1（﹣4，0），F2（4，0），A（0，4），∴直线AF1：y=x+4，直线AF2：y=﹣x+4，令y=t，得P（t﹣4，t），Q（4﹣t，t），∵QR∥AF1，则直线RQ的方程为y=x+2t﹣4，∴R（4﹣2t，0），设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=2t，E+8﹣4t，F=8t﹣16，∴圆心坐标为（﹣t，2t﹣4），经验证，该圆心在定直线2x+y+4=0上．解：（2）由（1）得圆C的一般方程为x2+y2+2tx+4（2﹣t）y+8t﹣16=0，将方程整理为x2+y2+8y﹣16+t（2x﹣4y+8）=0，联立，解得或，∴圆C恒过异于上F1的一个定点，该定点坐标为（﹣，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
江苏省七校联盟2018_2019学年高二数学上学期期中联考试卷(含解析)
“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1.命题“，”的否定是___________.【答案】【解析】【分析】由命题的否定即可得出.【详解】由非命题的意义可得：命题“，”的否定是“”，正确. 【点睛】命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．2.抛物线的焦点坐标为_______．【答案】【解析】试题分析：由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．解：抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向上，且2p=4，∴∴抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）考点：抛物线的简单性质．3.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差_______________.【答案】【解析】4.已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．【答案】必要不充分【解析】【分析】分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．【详解】由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，∴﹣1＜x＜3，由，得0＜x＜3．∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．5.下图给出的伪代码运行结果是_________ .【答案】16【解析】【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的x，i的值，当i=10时不满足条件，退出循环，输出x的值为16．【详解】模拟程序的运行，可得i=1，x=4满足条件i＜10，执行循环体，x=5，i=4满足条件i＜10，执行循环体，x=9，i=7满足条件i＜10，执行循环体，x=16，i=10此时，不满足条件i＜10，退出循环，输出x的值为16．故答案为：16．【点睛】本题主要考查了程序代码和循环结构，依次写出每次循环得到的x，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6.椭圆的焦距是2，则m的值是________.【答案】3或5【解析】试题分析：当焦点在x轴时，当焦点在y轴时5或3考点：椭圆方程与性质点评：求解本题要注意分焦点在x轴y轴两种情况，当焦点在x轴时方程为，当焦点在y轴时方程为7.某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，则A，B两名老师都被选中的概率是___________．【答案】【解析】【分析】基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，由此能求出A，B两名老师都被选中的概率．【详解】某学校要从A，B，C，D这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教，基本事件总数n==6，A，B两名老师都被选中包含的基本事件个数m=，∴A，B两名老师都被选中的概率是p=．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.设z＝2x+y，其中x，y满足条件，则z的最大值为__________．【答案】6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最值即可．【详解】作出可行域，如图，作出直线y=﹣2x，并平移，当直线经过点A时z取最大值，解方程组，得A（3，0），此时最大值z=2×3+0=6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9.若正实数a，b满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得=≥2=2，由不等式的性质变形可得．【详解】∵正实数a，b满足，∴=≥2=2，∴ab≥2当且仅当=即a=且b=2时取等号．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，属基础题．10.记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是_______________．【答案】【答案】【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算.11.经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】【解析】【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【详解】与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（2，-2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．比较基础．12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，为左准线，，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】设P（x，y），根据PQ⊥l且四边形PQFA为平行四边形，得|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣．利用点P的横坐标满足x∈（﹣a，a），建立关于a、c的不等式组，再化成关于离心率的一元二次不等式，解之即可得到椭圆的离心率e的取值范围．【详解】设P（x，y），则∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，∴|PQ|=x+=a+c，可得x=a+c﹣∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[﹣a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上∴﹣a＜a+c﹣＜a，即2a+c﹣＞0且c﹣＜0化简得2+e﹣＞0，即e2+2e﹣1＞0解之得e或e＞∵椭圆的离心率e∈（0，1）∴椭圆的离心率e的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点睛】本题给出椭圆上一点P在左准线上的射影点为Q，P、Q与左焦点F和右顶点A构成平行四边形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．13.若方程有实根，则实数的取值范围是 _________．【答案】【解析】【分析】利用数形结合来求解，方程的解，可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，在同一坐标系中，做出函数y=与y=x+m的图象，判断x取何值时，两函数图象有交点即可．【详解】的解可看作函数y=与y=x+m的图象的交点的横坐标，∵函数y=的图象为椭圆在x轴上方的部分，函数y=x+m的图象为斜率是1的直线∴借助图象可知，直线与椭圆有交点时，如图m的取值范围是故答案为.【点睛】本题主要考查了利用直线与圆的位置关系判断方程的解的情况．14.已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1，2]，且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】将a分离出来得a≥﹣2（）2，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出的范围，令t=，则a≥t ﹣2t2在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t﹣2t2的最大值，即可求出a的范围．【详解】由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，令t=，根据下图可知则1≤t≤3，∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，∵y=﹣2t2+t=﹣2（t﹣）2+，1≤t≤3，∴y max=﹣1，∴a≥﹣1故答案为：．【点睛】本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤．15.已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【详解】（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．16.某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示），（1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．【答案】（1）30；（2）2；（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图先求出分数在[70，80）内的概率，由此能求出分数在[70，80）中的人数．（2）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，由此能求出用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人数．（3）用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人分数在[50，60）的有3人，由此利用等可能事件概率计算公式能求出分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．【详解】（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为：1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人．（2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人，分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的人有：（3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为，分数在[50，60）的有3人，设为，，5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：，，，，，，，，，分别在不同区间上有m=6种可能．，，，，，所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率P==．【点睛】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17.已知命题：二次函数在区间是增函数；命题：双曲线的离心率的范围是.（1）分别求命题“” .命题“”均为真命题时m的取值范围.（2）若“p且q” 是假命题，“p或q”是真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对于p：求出二次函数f（x）=x2﹣7x+6的对称轴为，由题意知，若p真，求出m的取值范围，对于q：由是双曲线，可得（4﹣m）（m﹣1）＞0，得1＜m＜4，由，得m＞3，若q真，取交集即可求出m的取值范围；（2）由题意知：p，q一真一假，若p真q假，则m∈[4，+∞）；若p假q真，则，从而可求出实数m的取值范围．【详解】(1)对于：因为二次函数的对称轴为，由题意知，若真，则；对于：∵双曲线，∴（4-m）(m-1)>0,得∴得，故，即若真，则(2)由题意知：，一真一假，若真假，则；若假真，则；综合得实数的取值范围为【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数的单调性以及双曲线的性质，属于中档题．18.设函数（1）若不等式的解集为(-1,3),求a,b的值；（2）若求的最小值．(3)若,求不等式的解集.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据二次不等式与二次方程的关系可求a，b；（2）由已知可得，a+b=1，然后根据基本不等式的应用条件进行配凑后，进行1的代换即可求解；（3）把已知条件代入，然后进行分类讨论进行求解．【详解】（1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程的两根为且由根与系数的关系可得：（2）若，则，，所以的最小值为（当且仅当时式中等号成立）(3) 当，不等式即即①，不等式可化为，原不等式的解集为② ，原不等式可化为∴当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为【点睛】本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系，一元二次不等式的解法及分类讨论思想的应用．19.如图，在C城周边有两条互相垂直的公路，在点O处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC＝4 km，OC与公路夹角为60°.现规划在公路上分别选择A，B两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C城，设OA＝x km，OB＝y km.(1) 求出y关于x的函数关系式并指出它的定义域；(2) 试确定点A，B的位置，使△AOB的面积最小．【答案】（1）见解析；（2）【解析】面积相等法，建立的关系式，，根据得；，分子分母的x的次数不等，要转化为x的次数相等，然后用均值定理。
昆山市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
昆山市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A．B．C．D．2．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．4．若，则下列不等式一定成立的是（）A ．B．C．D．5．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？6．（2015秋新乡校级期中）已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于（）A．7 B．9 C．11 D．137．已知f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），若f（2016）=k，则f（﹣2016）=（）A．k B．﹣k C．1﹣k D．2﹣k8．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．9．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（）A．B．C．D．10．复数的虚部为（）A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i11．已知直线34110m x y+-=：与圆22(2)4C x y-+=：交于A B、两点，P为直线3440n x y++=：上任意一点，则PAB∆的面积为（）A． B. C. D.12．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α，使②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ其中正确命题的序号是 ．14．已知函数f （x ）=，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写出你认为正确的所有结论的序号）①k=0时，F （x ）恰有一个零点．②k ＜0时，F （x ）恰有2个零点．③k ＞0时，F （x ）恰有3个零点．④k ＞0时，F （x ）恰有4个零点．15．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．16．已知直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1），则ab 的最大值是 ．17．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．18．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．三、解答题19．已知函数f （x ）=，求不等式f （x ）＜4的解集．20．（本小题满分13分）如图，已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，（1）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （2）求线段MN 的长的最小值；（3）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.21．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n b }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的 最小正整数n ．【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n 项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.22．如图，过抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 的直线交C 于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，且x 1x 2=﹣4．（Ⅰ）p 的值；（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．23．（本小题满分12分）成都市某中学计划举办“国学”经典知识讲座.由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示.（1）根据这10名同学的测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.（注：成绩大于等于75分为优良）24．对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B，求n的最大值．昆山市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得P（A）=，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C．【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．2．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．3．【答案】C【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C4．【答案】D【解析】因为，有可能为负值，所以排除A，C，因为函数为减函数且，所以，排除B，故选D答案：D5．【答案】B【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：∵x+x﹣1=3，则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．故选：A．【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【答案】D【解析】解：∵f（x）=ax3+bx+1（ab≠0），f（2016）=k，∴f（2016）=20163a+2016b+1=k，∴20163a+2016b=k﹣1，∴f（﹣2016）=﹣20163a﹣2016b+1=﹣（k﹣1）+1=2﹣k．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．【答案】B【解析】解：因为F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=x0（x0+2）+=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值=，故的取值范围是，故选B．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．9．【答案】C【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，底面是一个边长是的等边三角形，侧棱长是，∴三棱柱的面积是3××2=6+，故选C．【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．10．【答案】C【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．故选；C．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．11．【答案】 C【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.圆心C 到直线m 的距离1d =，||AB ==m n 、之间的距离为3d '=，∴PAB ∆的面积为1||2AB d '⋅=，选C ． 12．【答案】D【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，可得准线方程为x=．故选：D ．二、填空题13．【答案】 ②③ ．【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，②函数=cosx 是偶函数，故②正确，③当时，=cos （2×+）=cos π=﹣1是函数的最小值，则是函数的一条对称轴方程，故③正确，④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，故答案为：②③．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．14．【答案】 ②④【解析】解： ①当k=0时，，当x ≤0时，f （x ）=1，则f （f （x ））=f （1）==0，此时有无穷多个零点，故①错误；②当k ＜0时，（Ⅰ）当x ≤0时，f （x ）=kx+1≥1，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，令f（f（x））=0，可得：，满足；（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=＞1，满足；综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．故答案为：②④．【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．15．【答案】锐角三角形【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．16．【答案】．【解析】解：∵直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1）， ∴a+b ﹣1=0，即a+b=1，∴ab ≤=当且仅当a=b=时取等号，故ab 的最大值是故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．17．【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-， 对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.18．【答案】 2 ．【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，∴=，∴S 2= [（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，故答案为2；【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据，x1，x 2，…x n 的平均数，是一道基础题；三、解答题19．【答案】【解析】解：函数f （x ）=，不等式f （x ）＜4，当x ≥﹣1时，2x+4＜4，解得﹣1≤x ＜0； 当x ＜﹣1时，﹣x+1＜4解得﹣3＜x ＜﹣1． 综上x ∈（﹣3，0）．不等式的解集为：（﹣3，0）．20．【答案】【解析】（1）易知()()0,1,0,1A B -，设()00,P x y ，则由题设可知00x ≠ ，∴ 直线AP 的斜率0101y k x -=，BP 的斜率0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以 20014x y +=，()00x ≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===-.（4分）21．【答案】【解析】（1）当111,12n a a =+=时，解得11a =. （1分）当2n ≥时，2n n S n a +=，① 11(1)2n n S n a --+-=，②①-②得，1122n n n a a a -+=-即121n n a a -=+， （3分） 即112(1)(2)n n a a n -+=+≥，又112a +=.所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列. 即12n n a +=故21n n a =-（*n N ∈）.（5分）22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN ：y=kx+，由，消去y 得，x 2﹣2pkx ﹣p 2=0（*）由题设，x 1，x 2是方程（*）的两实根，∴，故p=2；（Ⅱ）设R （x 3，y 3），Q （x 4，y 4），T （0，t ）， ∵T 在RQ 的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．得，又，∴，即4（y 3﹣y 4）=（y 3+y 4﹣2t ）（y 4﹣y 3）．而y 3≠y 4，∴﹣4=y 3+y 4﹣2t ．又∵y 3+y 4=1，∴，故T （0，）．因此，．由（Ⅰ）得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，=．因此，当k=0时，S△MNT有最小值3．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题考查茎叶图的制作与读取，古典概型的概率计算，是概率统计的基本题型，解答的关键是应用相关数据进行准确计算，是中档题.24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．…..证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．…..【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．。
8—19学年上学期高二期中联考数学试题(附答案)
“七校联盟”2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题（盐城卷）（考试时间：120分钟，总分160分） 命题人：花 梅 审核人：冯小飞注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、班级、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．参考公式：样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅L 的方差s 2=n121)(x x ni i-∑=，其中x =n 1∑=ni i x 1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 ▲ .2、抛物线24x y =的焦点坐标为 ▲ ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,8，则该组数据的方差为 ▲ ．4、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 ▲ 条件．（请在“充分不必要、必要不充分、充分必要”中选择一个合适的填空）．5、右图给出的伪代码运行结果x 是 ▲ .6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ▲ .7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ▲ ．8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 ▲ ．9、若正实数a ，b满足12a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是 ▲11、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为 ▲ ． 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 ▲ ．13x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人？（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的范围是)+∞. （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．18、(本题满分16分)设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，( （1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°.已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值； （3）求线段MN 的长度的最小值七校联盟2018-2019学年度第一学期期中联合测试高二数学试题参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，） 1、命题“0x ∀≥，20x ≥”的否定是 200x x ∃≥<，. 2、抛物线24x y =的焦点坐标为 (0,1) ．3、已知某人连续5次投掷飞镖所得环数依次是8,9,10,10,84、已知x R ∈ ,则“2|1|<-x 成立”是“03xx <-成立”的 必要不充分 条件．（请在“充分必要、充分不必要、必要不充分”中选一个合适的填空）．5、 右图给出的伪代码运行结果x 是 16 ．6、焦点在x 轴上的椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距是2，则m 的值是___5_____．7、某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中等可能的选择两名去新疆支教， 则A ，B 两名老师都被选中的概率是 ． 8、设z ＝2x+y ，其中x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥03010y x y x y ，则z 的最大值为 6 ．9、若正实数a ，b 满足ab ba =+21，则ab 10、记函数()f x =的定义域为D ，在区间[]5,4-上随机取一个数x ，则x ∈ D的概率是5911、经过点(2,2)A -且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程为22124y x -= 12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q.若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 -,1（1）．13x m =+有实根，则实数m 的取值范围是 ． 14、已知不等式xy≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]，该不等式恒成立， 则实数a 的取值范围是 [－1，＋∞)．解析：由题意得，当x ∈[1，2]，且y ∈[2，3]时，不等式xy≤ax 2＋2y 2，即a≥xy －2y 2x 2＝y x －2⎝⎛⎭⎫y x 2＝－2⎝⎛⎭⎫y x －142＋18.在坐标平面内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x≤2，2≤y ≤3表示的平面区域，注意到y x 可设为该区域内的点(x ，y)与原点连线的斜率，结合图形可知，yx 的取值范围是[1，3]，此时－2(y x －14)2＋18的最大值是－1，因此实数a 的取值范围是a≥－1. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、（本小题满分14分）已知中心在坐标原点的椭圆C ，F 1，F 2 分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 在椭圆C 上，且PF 1=4，求点P 到右准线的距离．解：（1）根据题意：，解得，.............4分∴b 2=a 2﹣c 2=4， .............6分∴椭圆C 的标准方程为； .............7分 （2）由椭圆的定义得：PF 1+PF 2=6，可得PF 2=2， .............10分设点P 到右准线的距离为d ，根据第二定义，得， .............13分解得：． ..............14分16、（本小题满分14分）某校从高二年级学生中随机抽取100名学生，将他们某次考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）， （1）求分数在[70，80）中的人数；（2）若用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人，该5 人中成绩在[40，50）的有几人；（3）在（2）中抽取的5人中，随机选取2 人，求分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率．解：（1）由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率， 所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为： 1﹣（0.005+0.010+0.015×2+0.025）×10=0.3，∴分数在[70，80）中的人数为：0.3×100=30人． ……………4分 （2）分数在[40，50）的学生有：0.010×10×100=10人， 分数在[50，60）的学生有：0.015×10×100=15人，用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的人有：10=210+155 人 ……………8分 （3）分数在[40，50）的学生有10人，分数在[50，60）的学生有15人， 用分层抽样的方法从分数在[40，50）和[50，60）的学生中共抽取5 人， 抽取的5人中分数在[40，50）的有2人，设为1a ，2a分数在[50，60）的有3人，设为1b ，2b ，3b5人中随机抽取2 人共有n=10种可能，它们是：),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(21b b ， ),(31b b ，),(32b b分别在不同区间上有m=6种可能．),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a所以分数在[40，50）和[50，60）各1 人的概率． …………… 14分．17、（本小题满分14分）已知命题p ：二次函数2()76f x x x =-+在区间[,)m +∞是增函数；命题q ：双曲线22141x y m m -=--的离心率的取值范围是)+∞， （1）分别求命题“p ” 、命题“q ”均为真命题时m 的取值范围. （2）若“p 且q ” 是假命题，“p 或q ”是真命题，求实数m 的取值范围．解：(1)对于p ：因为二次函数2()76f x x x =-+的对称轴为72x =，由题意知72m ≥， 若p 真，则7[,)2m ∈+∞； …………4分对于q ：∵22141x y m m -=--双曲线，∴（4-m ）(m-1)>0,得14m <<∴2413344m m e m m-+-==>--得3m >，故34m <<，即若q 真，则(3,4)m ∈ ………………8分 (2)由题意知：p ，q 一真一假， ………………10分 若p 真q 假，则[4,)m ∈+∞； 若p 假q 真，则7(3,)2m ∈； 综合得实数m 的取值范围为7(3,)[4,)2+∞ ………………14分18、（本小题满分16分）设函数()=f x 2(2)30)ax b x a +-+≠，(（1）若不等式()0f x >的解集为(-1,3),求a,b 的值； （2）若(1)2,0,-1,f a b =>>求的最小值． (3)若b a =-,求不等式()1f x ≤的解集.解 （1）由不等式f(x)>0的解集为(-1,3)可得：方程2(2)30ax b x +-+=的两根为1,3-且0a < .............2分由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧=-=41b a .............4分（2）若(1)2,00f a b =>>、，则1a b +=， .............5分 +12a b +=（），1[+112a b +=（）] 所以141141+149[+1)]()[5]+12+12+12b a a b a b a b a b +=++=++≥（ ………………8分14-,33a b ==时式中等号成立）…………9分(3) 当b a =- ，不等式()1f x ≤即2(2)200)ax a x a -++≤≠，(即(2)(1)00)ax x a --≤≠，( ……………………… 10分①0a <时，不等式可化为2()()0x x a ≥－1－， 原不等式的解集为2{|1}x x x a≤≥或 …………………… 12分② 0a >时，原不等式可化为2()()0x x a≤－1－ ∴当02a <<时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤………………………………… 14分当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x =………………………………………… 15分当2a >时，原不等式的解集为2{|1}x x a≤≤…………………………………… 16分 19、(本题满分16分）如图，在C 城周边有两条互相垂直的公路12l l 、，在点O 处交汇，且它们的夹角为90°. 已知OC ＝4 km ，OC 与公路1l 夹角为60°.现规划在公路12l l 、上分别选择A ，B 两处作为交汇点(异于点O)直接新建一条公路通过C 城，设OA ＝x km ，OB ＝y km. (1) 求出y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2) 试确定点A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小．解：(1) ∵ S △AOC ＋S △BOC ＝S △AOB ，∴ 12x·4sin60°＋12y ·4sin30°＝12xy ， …………………4分 整理得y ＝23xx －2，…………………6分过C 作OB 平行线与OA 交于D ，OA>OD ，故x>2.定义域为{x|x>2}．…………………7分(2) S △AOB ＝12xy ＝3x 2x －2，(x>2)，S △AOB ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋4（x －2）＋4x －2＝3⎣⎡⎦⎤（x －2）＋4x －2＋4. ∵ x －2>0，∴ x －2＋4x －2≥4， 当且仅当()x －22＝4即x ＝4时取等号．所以当x ＝4时，S △AOB 有最小值为8 3.…………………15分答：当OA ＝4 km ，OB ＝4 3 km 时，使△AOB 的面积最小．…………………16分20、(本小题满分16分)已知直线220x y -+=经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：直线AS 与BS 的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN 的长度的最小值解：（I ）由已知得，椭圆C 的左顶点为(2,0),A -上顶点为(0,1),2,1D a b ∴== 故椭圆C 的方程为2214x y +=…………………4分 （Ⅱ）设2222000000(,),1144x x S x y y y +=∴=-得 2000200012244SA SB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--故……………………9分 （Ⅲ）（常规方法，函数思想）直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+，从而1016(,)33k M ………………11分 由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)16164k x k x k +++-=0 设11(,),S x y 则212164(2),14k x k --=+得2122814k x k-=+，从而12414k y k =+即222284(,),1414k k S k k -++又(2,0)B 由1(2)4103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩101(,)33N k ∴-……13分 故161||33k MN k =+又16180,||333k k MN k >∴=+≥= 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立14k ∴=时，线段MN 的长度取最小值83………16分 （Ⅲ）方法二：利用第2问结论设1010(,),(,),0,033M N M N M y N y y y ><则 9116,()64492233N M N M SA SD M N y y y y k k y y ⋅=⋅==-∴⋅-=+-则………13分故8,3M N MN y y =+≥=当且仅当4()3M N y y =-=时等号成立 即M,N 的长度的最小值为83……………16分。
江苏省昆山市2018_2019学年高二数学上学期期中试题(含解析)
江苏省昆山市2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.【答案】1【解析】【分析】.【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.__________【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.______________【解析】，所以【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4._______________【解析】【分析】根据垂径定理求弦长.【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.相切于点_____________【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.,，解得.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.间的距离是【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7._______________【答案】8【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,AB中点,【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体的体积等于【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，，1的等边三角形，AC_____________【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.A B的动直线________________【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角的最大值．【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则θ，θ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ，θθθθ）（θ，∵θ，∴θ，∴当θ（θ故答案为：2【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．11.其中，一定正确的是______________【答案】①③④【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.PP则直线点Q即确定一个平面，使得综上，正确的是①③④【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，则实数_____________【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.13.已知P P的横坐标等于________【解析】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.，则由【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.，最大值为_____________【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.上，其中为AB中点.【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线（1）求直线（2（3【答案】（123【解析】【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(2)设所求方程为因为过点(3) ，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为（1（2【答案】（12【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1（2时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱D为AB求证：（1（2【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）.DE,（2【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.（III的体积为，四棱锥.【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】【分析】．再由线面平行的判定可得平面．再由面面表示，则【详解】（I平面（II（III．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆O的方程为O，与（1（2）当直线.【答案】（12【解析】【分析】(1)设Q坐标表示A点坐标，代入圆方程解得Q坐标，即得直线AB方程，与圆方程联立解得A,B坐标，(2) 设Q坐标表示A、B【详解】（1（2）设,【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.20..（1）求两圆所有公切线的斜率（2的无穷多条直线2倍，试求所有满足条件的点P的坐标【答案】【解析】【分析】（1）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（2）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，最后根据恒成立解得P点坐标.【详解】（1（2和圆的圆心到过P直线距离分别为P或【点睛】定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，然后利用条件建立借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．。
江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学
昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学1.已知倾斜角为45°的直线经过点(2,3)A m ，(2,3)B -，则m 的值为___________2.已知直线1:2320l x y +-=和直线2:(21)10l mx m y +-+=平行，则m 的值为__________3.若长方体的三个面的对角线分别为3,4,3，则长方体的对角线长度为______________4.直线220x y +-=被圆224210x y x y +-++=截得的弦长等于_______________5.圆心在直线20x y +=上，且与直线1x y +=相切于点(2,1)-的圆的标准方程为_____________6.半径为5cm 的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3cm 和4cm ，则这两个平面之间的距离是______________cm7.过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 斜率为_______________8.如图，在棱长为2cm 的正方体1111ABCD A BC D -中，四面体1111A B C D D 的体积等于________3cm9.如图，空间四边形ABCD 中，平面ACD ABC ⊥平面，ABC 为1的等边三角形，30CAD ∠=，90ACD ∠=，P 为棱AC 上的一个动点，则BP PD +的最小值为_____________10.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PB +的最大值是________________11.关于异面直线,a b ，有下列四个命题①过直线a 有且只有一个平面α，使得b α ②过直线a 有且只有一个平面α，使得b α⊥ ③在空间存在平面β，使得a β，b β ④在空间不存在平面β，使得a β⊥，b β⊥ 其中，一定正确的是______________12.已知圆22:1O x y +=，圆22:()(4)1M x a y a -+--=，若圆M 上存在点P ，过点P 做圆O 的两条切线，切点为A 、B ，使得60APB ∠=︒，则实数a 的取值范围是_____________13.已知P 为平面内一点，且(1,0),(1,0)A B -，若P A ，PB ，则点P 的横坐标等于________14.若实数1212,,,x x y y ：满足222211221 ,1x y x y +=+=，121212x x y y +=，则112211x y x y +-++-的最大值为_____________15.已知直线l 经过点(2,3)P 且斜率为32-（1）求直线l 的一般式方程（2）求与直线l 平行，且过点(3,1)-的直线的一般式方程（3）求与直线l 垂直，且过点(3,1)-的直线的一般式方程16.如图一个圆锥的底面半径为1，高位3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱（1）试用x 表示圆柱的高h（2）当x 为何值时，圆柱的全面积忒大，最大全面积为多少17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D 为AB 中点，1BC BB =，在11190A B C ∠=︒求证：（1）11BC A DC 平面 （2）11BC AC ⊥18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ABCD ⊥平面平面，四边形ABCD 为正方形，PAB 为等边三角形，E 是PB 中点，平面AED 与棱PC 交于点F（1）求证： AD EF //（2）求证：PB AEFD ⊥平面（3）记四棱锥P AEFD -的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V19.如图，已知圆O 的方程为225x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于点A 、B ，与x 负半轴交于点Q 。
江苏省昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学(解析版)
昆山市2018-2019学年第一学期期中考试高二数学一、填空题1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.【答案】1【解析】【分析】根据直线倾斜角的定义可得，解出即可.【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点，，∴，解得，故答案为1.【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．2.已知直线和直线平行，则的值为__________【答案】2【解析】【分析】根据直线平行的等量关系，解得结果.【详解】由题意得，所以，（-1舍）.【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.3.若长方体的三个面的对角线分别为，则长方体的对角线长度为______________【答案】【解析】【详解】设长方体长宽高为，则，所以，即对角线长为.【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.4.直线被圆截得的弦长等于_______________【答案】【解析】根据垂径定理求弦长.【详解】因为，所以，因此圆心到直线距离为，弦长为【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.5.圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为_____________【答案】【解析】【分析】设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.【详解】设,则，解得，所以圆的标准方程为.【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.6.半径为的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为和，则这两个平面之间的距离是______________【答案】1或7【解析】【分析】先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.【详解】由题意得球心到两平面距离分别为，因此这两个平面之间的距离是或【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.7.过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，则直线斜率为_______________【答案】8【解析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则，因为点为AB中点,所以，从而直线斜率为【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.8.如图，在棱长为的正方体中，四面体 D 的体积等于________【答案】【解析】【分析】根据割补法得结果.【详解】四面体 D 的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即.【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.9.如图，空间四边形中，平面，为1的等边三角形，，，为棱AC上的一个动点，则的最小值为_____________【答案】【解析】【分析】先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时BD,.【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.10.设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是________________【答案】【解析】【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB 的最大值．【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2[sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，2sin（θ+）取得最大值为 2，故答案为：2．【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．11.关于异面直线，有下列四个命题①过直线有且只有一个平面，使得②过直线有且只有一个平面，使得③在空间存在平面，使得，④在空间不存在平面，使得，其中，一定正确的是______________【答案】①③④【解析】【分析】根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.【详解】①过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因为若存在平面，使得，则，与为异面直线矛盾，故过直线有且只有一个平面，使得；②当时可得，这与不一定垂直矛盾，所以②错；③过直线上任一点P作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，过直线上任一点Q作直线平行线,则直线必相交，即确定一个平面，因此平面平面，再任作平面，使得，，即得，；④若，，则,与为异面直线矛盾，所以不存在平面，使得，；综上，正确的是①③④【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.12.已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，使得，则实数的取值范围是_____________【答案】【解析】设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.13.已知P为平面内一点，且，若，，则点P的横坐标等于________【答案】【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.【详解】设，则由，得，即，解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.14.若实数：满足，，则的最大值为_____________【答案】【解析】【分析】根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.【详解】因为，，所以在单位圆上，且因为，所以，因为,其中为AB中点.又因为,所以,即的最大值为【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.二、解答题15.已知直线经过点且斜率为（1）求直线的一般式方程（2）求与直线平行，且过点的直线的一般式方程（3）求与直线垂直，且过点的直线的一般式方程【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.【详解】(1)(2)设所求方程为因为过点，所以(3) 设所求方程为因为过点，所以【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为的内接圆柱（1）试用表示圆柱的高（2）当为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.【详解】（1）（2）圆柱的全面积当时，答：当时，圆柱的全面积最大，最大全面积为【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.17.如图，在直三棱柱中，点D为AB中点，，若,求证：（1）（2）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）连接交于，则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）根据线面垂直判定定理依次证得即得结论.【详解】连接交于，连接DE,因为直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为的中点，又因为为的中点，所以,因为，所以（2）因为四边形为矩形，所以,又,所以,因为所以，因为四边形为矩形，，所以四边形为正方形，,因为所以.【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．【详解】（I）证明：因为正方形，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面平面，所以.（II）证明：因为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.因为为等边三角形，是中点，所以.因为平面，平面，，所以平面.（III）解：由（Ⅰ）知，则．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点。
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江苏省昆山市2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）
一、填空题
1.已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m,3)，B(2，－1)，则m的值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
.
【详解】∵倾斜角为90°的直线经过点
1.
【点睛】本题考查了倾斜角的应用，考查了基本概念，属于基础题．
2.__________
【答案】2
【解析】
【分析】
根据直线平行的等量关系，解得结果.
（-1舍）.
【点睛】本题考查直线平行，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.______________
【解析】
，所以
【点睛】本题考查长方体对角线长，考查基本分析求解能力，属基础题.
4._______________
【解析】
【分析】
根据垂径定理求弦长.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
5.相切于点_____________
【解析】
【分析】
设圆标准方程形式，根据条件列方程组，解得结果.
,，解得
.
【点睛】本题考查圆得标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
6.
间的距离是
【答案】1或7
【解析】
【分析】
先根据条件得球心到两平面距离，再根据两平面位置关系得结果.
【点睛】本题考查球相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.
_______________
【答案】8
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.
【详解】设截得的线段AB,
AB中点,
【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.如图，在棱长为的正方体的体积等于
【解析】
【分析】
根据割补法得结果.
【详解】四面体的体积等于正方体体积减去四个小三棱锥体积，即
【点睛】本题考查锥体体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.如图，，1的等边三角形，
AC_____________
【解析】
【分析】
先展开，再在平面内利用余弦定理得结果.
【详解】先将平面展开到平面,则的最小值为此时
【点睛】本题考查利用展开图求距离最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.A B的动直线
________________
【解析】
【分析】
可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角
的最大值．
【详解】由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
设∠ABP=θ，则θ，θ．
∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ，
θθθθ）（θ，
∵θ，∴θ，∴当θ（θ
故答案为：2
【点睛】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．
11.
其中，一定正确的是______________
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据异面直线定义说明命题正确①③④，举反例说明命题②错误.
P
P则直线
点Q即确定一个平面
，使得
综上，正确的是①③④
【点睛】本题考查线面位置关系，考查基本分析判断与论证能力，属中档题.
12.M上存在点P，过点P做圆O的两条切线，切点为A、B，则实数_____________
【解析】
设P(x，y)，sin∠OPA＝sin30°＝，则x2＋y2＝4 ①.又P在圆M上，则(x－a)2＋(y －a＋4)2＝1 ②.由①②得1≤≤3，所以≤a≤.
13.已知P P的横坐标等于________
【解析】
【分析】
先根据条件化简得方程组，解得点P的横坐标.
，则由
【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.，
最大值为_____________
【解析】
【分析】
根据条件结构特征，转化为单位圆上两点到定直线距离和的关系，再根据圆的几何性质求最值.
上，
其中为AB中点.
【点睛】本题考查向量数列积、点到直线距离公式、以及圆的性质，考查综合分析转化求解能力，属难题.
二、解答题
15.已知直线
（1）求直线
（2
（3
【答案】（123
【解析】
【分析】
（1）先写点斜式方程，再化一般式，（2）根据平行设一般式，再代点坐标得结果，（3）根据垂直设一般式，再代点坐标得结果.
【详解】
(2)设所求方程为因为过点
(3) ，所以
【点睛】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为
（1
（2
【答案】（12
【解析】
【分析】
（1）根据比例关系求结果，（2）先列圆柱的全面积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.
【详解】（1
（2
时，圆柱的全面积最大，最大全面积为
【点睛】本题考查圆柱全面积以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
17.如图，在直三棱柱D为AB求证：
（1（2
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）则根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（2）
.
DE,
（2
【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
18.
（III的体积为，四棱锥.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3
【解析】
【分析】
．再由线面平行的判定可得平面．再由面面
表示，则
【详解】
（I
平面
（II
（III
．
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19.如图，已知圆O的方程为O，与
（1
（2）当直线.
【答案】（12
【解析】
【分析】
(1)设Q坐标表示A点坐标，代入圆方程解得Q坐标，即得直线AB方程，与圆方程联立解得
A,B坐标，(2) 设Q坐标表示A、B
【详解】（1
（2）设,
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用
推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
20..
（1）求两圆所有公切线的斜率
（2的无穷多条直线
2倍，试求所有满足条件的点P的坐标
【答案】
【解析】
【分析】
（1）先设公切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列方程，解得结果，（2）设直线点斜式方程，再根据垂径定理将弦长关系转化为圆心到直线距离关系，利用条件列等量关系，最后根据恒成立解得P点坐标.
【详解】（1
（2和圆的圆心到过P直线距离分别为
P
或
【点睛】定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，然后利用条件建立借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．。