从能带理论到光子晶体
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3）用中心行限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，精确到二阶。
如此就町以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur边界条件, 使求解的冇限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征,无明显反射，
'在周体物理学中,布洛赫波（Blochwave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数,又名布 洛赫态（Bloch state）,由一个平而波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到.梵中与势场具冇相同周期性. 布洛輕波的具体形式为：
能带理论把一切晶体看成一个兴“分子”，分子由牛许多多个原子组成。由于原子之间的成 键作用，多个原子，同-•原子能级的电子轨道发生重叠、杂化，产成许多能量相差极小能级。 儿乎连续的能级形成能带，电子按泡利不相容原理和能最最低原理依次填入能带之中。最终形 成了晶体的稳定结构。我们按照能量大小顺序排列能带，可以形成一张能带排布图（如下所示）。 我们不关心电子在上面如何排布，但是我们知道电子一定不町能存在于两条能带之间的A区域, 这个处在两能带之间的区域是电子的禁区，于是被称为电子的禁带。
%〃=滸［矶-訴（以+於）胆
在光子透射带，x2+ y2=1，负折射率虎部为0
在光子禁帯，T«l,此时复有效折射率九〃就能很好的描述光在光子晶体中的传播行为。
町以把复有效折射率定义为真空中的光速，与光在介质中的有效相位速度员的比值。其K（3）
中KM=^neff,称为复有效波矢。所以，式⑤很好地表达了光子晶体一般的色散关系。
关键词：能带理论光子晶体有效折射率光学特性制备
摘要
1.从能带理论到光子晶体1
2.光子晶体的原理表示1
2.1有效折射率理论1
2.2平面波法3
2.3时域有限差分法3
2.4多极法4
3.光子晶体的特性描述4
3.1光子晶体能带带内特性一一色散效应导致负折射率4
3.2光子晶体能带带边特性5
4.光子晶体的制备方法5
HARBIN INSTITUDE OF TECHNOLOGY
论光子晶体的性质、制备及应用
Features, Preparing, and Applications of
哈尔滨工业大学英才学院
班级：1140005班
学号:7111100503
2012/11/4
摘要
人工制备光子晶体方兴未艾，这种晶体的存在依据于与晶体场类似的能带理 论。其周期型结构使得入射光发生色散现象。其中某些波长的入射光将不可能在 其中传播。研究光子晶体理论的方法有多种，其中最早的是有效折射率法，最经 典的是半面波法，但是核心都在于解释光子晶体的周期性结构以及光子禁带的形 成。按照空间结构光子晶体的制备分为一维光子晶体和二维、三维光子晶体的制 备。制备方法各有不同。光子晶体的特性包括在能带内部的可能使物质达到的负 折射率，能带边缘的超棱镜效应，以及能带间隙的禁带效应等等。每一种特性对 应着许多方面的应用，因此光子晶体很可能成为21世纪非常重要的研究课题。
i|r（r）=e-ifcru（r）
式中k为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数.当势场具有品格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程 的解屮存亦性质：
W（r+心）=e%%W（r）
这一结论称为布洛赫定理（Bloch-stheorem）,其中为晶格周期矢戢。可以看出，具有上式性质的波怖数可以写 成布洛赫函数的形式。
2.1
限于作者的数学物理水平，这里仅对有效折射率法进行讨论。但是其他方法也不是一笔带 过，我们要进行一些比较。这里以一维晶体为突破II。
i般说来，色散特性是指介质的折射率随频率变化的关系.为了描述光子晶体这种特殊结 构材料的色散关系，这里引入“有效折射率”的概念.对于有限长度、一维光子晶体的色散特 性，先从复透射系数开始，设复透射系数为
Abstract
Photonic Crystal, whose existence is based on the theory similar to the Energy band theory, has been becoming inaeasingly a well-developing issue for research. Its periodical stnictiire causes the dispersion among different liglit waves, some of wliich will not be propagated in this kind of crystal. Tliere are several theories to explain tlie feature of the photonic ciystal・ Tlie method of Effective Index of Refiaction Tlieoiy and the plain-wave method are mentioned in detail in this review, which are the most representative to clear out the periodic stnictiire of photoiiic crystal, and the emetgence of the Optics Band Gap・ Tliere are also several convenient means to prepare the multi・dimension crystals, photonic crystal will be used commonly in tliree different ways, the negative index of refiaction wliich emerged from tlie energy band inside, the super lensing efforts invented on the edge of the band, and the light gate using tlie band gap. Hence, the photoiiic aystal has the potential to be explored by tlie researchers.
以上思路是从光的复透射系数入手，根据禁带现象，经过介理的光衰减假设得到“有效波 矢”和“有效折射率”的表达式。
等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把光子晶体等效为 传统的阶跃折射率光纤。因此应用具有一定的局限性。
2.2
平面波法是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。它应用Bloch定理-将电磁波在倒格矢空何以半閒波叠加的形式展开；将Maxwell方程组化成本征方程，然后求解 得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。这种方法的优点：思路清晰，易于编程：缺点 是计算精度和计算鼠决定于平面波的数最，尤其是肖结构复杂且有缺陷时使用的平面波数最太 多，计算量太人而无法完成。当介电常数非恒定时，没有一个明确的本征方程，展开时町能发 散，根本无解。
2.3
时域冇限差分法主要用于电磁场计算，亦可用來解决光子晶体中的电磁场问题并且取得了 成功。
用时域有限差分法來求解Maxwell方程的主要步骤是
1）将Maxwell方程分解成6个分鼠的标駅方程，
2）将空间沿轴向分割为Ax,Ay,Az表示的小单尤一Yee格点，At为时间变元，则 时空点用（iZkx,j△y,kA z,nA t）表示，简单地用（i,j,k , n）表示，
能带理论最成功之处在于解释晶体的导电性。根据禁带宽度的不同以及电子排布，町以把 晶体分为导体、半导体及绝缘体。如果电子未充满某一能带，晶体将表现为晶格原子被“电子 海洋”所笼罩，这就是典型的导体一一金属晶体的导电性来源。如果能带表现为全满或全空， 但是禁带非常宽，晶体电子便非常不容易被激发，表现为绝缘体的性质。显然，如果禁带不是 很宽，晶体电子便町能在被赋予能量的前提卜•穿越禁带，达到上一个能带，使上一个能带成为 不完全充满的能带。这种现级在宏观世界中的表现，就是绝缘材料在某些条件之卜（高温、压 力、光照）具备了良好的导电性，而这种材料通常被称为半导体。
(4)操作时间短。
它的缺点是计算最人，对计算机的性能要求比较高。
2.4
多极法是一种较新的数值计算方法，最早由White和Kuhlmey等人提出，适合于快速计算由 岡柱形空气孔构成的微结构比纤。其主要思想是把每个空气孔周国的场分量用傅里叶-贝塞尔 函数展开，然后把这些函数联立,加入边界条件，组成一个方程组。通过寻找系统矩阵行列式的零 点来确定传播常数，利用其实部就口J以计算色散。
负折射率的出现，是通过光子晶体结构的变化实现群速度的调制，某些光子晶体中的衍射 町以激发相速度和群速度方向相反的波，光子晶体的等效折射率小于零，类似于左手材料，即 町以出现负折射现象。⑶
由于光子晶体结构设计多种参样，利用光子晶体实现负折射可以有多种选择，比如2002年Lu。等证明在二维正方需格光子晶体的最低阶能带町以实现全角负折射o[4]2004年,XWang等发现二维三角晶格光子晶体也可实现负折射效应。[5]
4.1微加工方法6
4.2全息光刻方法6
4.3胶体晶体自组装方法6
4.4双光子聚合方法6
5.光子晶体的潜在应用7
应用17
应用27
应用38
应用48
6.总结8
7.参考文献7
1.
光子晶体，根据全国科学技术名词审定委员会的定义，是在介电常数（折射率）随光波长大 小周期性巨人变化的人工晶体。光子晶体是相对于电子晶体而言，它们具有共同的理论基础： 晶体的能带理论。
3.
3.1
比子晶体能帯复杂的帯内色散特性，使得光子晶体只有许多奇异的现象，比如光子晶体町 以和左手材料一样，有负的折射率。
Veselagoo于196S年苒次提出了负折射概念，直到1996年英国臭家学院的Pendiy等从理 论证明利用•种共振环和金属丝组成的周期结构可以实现负折射效应，才引起广泛关注，这种 新型人工电磁介质材料成为前沿和热点研究领域，2003年被《Science》杂志列为十人科技突破 之一。
根据复透射系数的表达式①，t=e/nvTe,01==x+iy，因此10 = i0t+Iny/To
我们假定单位振幅的入射光场H fe-YD,其中丫 =打（
因此，
Vr= 11|=e-Y°=
r—3
ln\JT =h（D=i （0—0^）
令
i0 = i（a）c^1ngffD）
几〃被称为复有效折射率，其表达式根据上述推导叮知为
不会引起内部空间场的畸变。这样处理后就町求解Maxwell方程了。
对于二维光子晶体的理论研究，FDTD方法有以卜优点：
(1)它町以处理任意几何形状和复杂媒质的光子晶体。
C)它能够实时再现场的空间分布，精确模拟出光在光子晶体中的传输行为。
(3)它可以通过一次时域分析计算，借助傅立叶变换町以计算出很大频率范闱的结果。
由上述理论町以说明，电子也受到晶格的影响而改变其行进方式，表现为电子轨道的改变。 相应地，光子会受到光子晶体“晶格”的影响，引起许多令人振奋的ຫໍສະໝຸດ Baidu象。
2.
和电子晶体相似，光子晶体的第一个作用是引起入射光的能量发生重新分配，激发散射现 象。分析这种散射现象的方法很参，包括有效折射率法、有限元法、矢最边界元素法、时域有 限差分法、平面波展开法、全矢量法、超格子法、多重散射法、边界尤法等等。
t（3）= X（3）+iy（co）=y/fe"①
式中，
0f=arctan（乂） +mn②
Q是光透过介质传皤时，总的柑位移动。复透射率t（3）可以用传输矩阵的方法计算。Q这 个参量包含了分层介质结构的所科的信息，如齐层介质的折射率、各层的厚度、总的层数等等.整 数m的选取应使0（e）是单调递增怖数，并且当3->0时，m=0.
仿照光在均匀介质中的传播，町以把透射场屮总的相位积累表示为
0t=K（3）D=（夕）ngff（3）D③
式中，D是一维光子品体总的几何长度，c是真空中的光速，K（Q）是有效波矢，而心“（3）是 与晶体结构冇关的冇效折射率。
根据能带理论的原理表述，在某些频率范鬧内的光子不能在光子晶体中传播•因此，光子 晶体的有效折射率应该是复数，并且在光子禁带有很人的虎部分量，以至于在光子禁帯令接近100%的散射衰减，或者光被全部反射，形成消散场模式。
如此就町以得到Maxwell方程的FDTD形式，然后再附加稳定性条件和Mur边界条件, 使求解的冇限空间与无限空间等效，向边界行进的波在边界处保持外向行进特征,无明显反射，
'在周体物理学中,布洛赫波（Blochwave）是周期性势场（如晶体）中粒子（一般为电子）的波函数,又名布 洛赫态（Bloch state）,由一个平而波和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到.梵中与势场具冇相同周期性. 布洛輕波的具体形式为：
能带理论把一切晶体看成一个兴“分子”，分子由牛许多多个原子组成。由于原子之间的成 键作用，多个原子，同-•原子能级的电子轨道发生重叠、杂化，产成许多能量相差极小能级。 儿乎连续的能级形成能带，电子按泡利不相容原理和能最最低原理依次填入能带之中。最终形 成了晶体的稳定结构。我们按照能量大小顺序排列能带，可以形成一张能带排布图（如下所示）。 我们不关心电子在上面如何排布，但是我们知道电子一定不町能存在于两条能带之间的A区域, 这个处在两能带之间的区域是电子的禁区，于是被称为电子的禁带。
%〃=滸［矶-訴（以+於）胆
在光子透射带，x2+ y2=1，负折射率虎部为0
在光子禁帯，T«l,此时复有效折射率九〃就能很好的描述光在光子晶体中的传播行为。
町以把复有效折射率定义为真空中的光速，与光在介质中的有效相位速度员的比值。其K（3）
中KM=^neff,称为复有效波矢。所以，式⑤很好地表达了光子晶体一般的色散关系。
关键词：能带理论光子晶体有效折射率光学特性制备
摘要
1.从能带理论到光子晶体1
2.光子晶体的原理表示1
2.1有效折射率理论1
2.2平面波法3
2.3时域有限差分法3
2.4多极法4
3.光子晶体的特性描述4
3.1光子晶体能带带内特性一一色散效应导致负折射率4
3.2光子晶体能带带边特性5
4.光子晶体的制备方法5
HARBIN INSTITUDE OF TECHNOLOGY
论光子晶体的性质、制备及应用
Features, Preparing, and Applications of
哈尔滨工业大学英才学院
班级：1140005班
学号:7111100503
2012/11/4
摘要
人工制备光子晶体方兴未艾，这种晶体的存在依据于与晶体场类似的能带理 论。其周期型结构使得入射光发生色散现象。其中某些波长的入射光将不可能在 其中传播。研究光子晶体理论的方法有多种，其中最早的是有效折射率法，最经 典的是半面波法，但是核心都在于解释光子晶体的周期性结构以及光子禁带的形 成。按照空间结构光子晶体的制备分为一维光子晶体和二维、三维光子晶体的制 备。制备方法各有不同。光子晶体的特性包括在能带内部的可能使物质达到的负 折射率，能带边缘的超棱镜效应，以及能带间隙的禁带效应等等。每一种特性对 应着许多方面的应用，因此光子晶体很可能成为21世纪非常重要的研究课题。
i|r（r）=e-ifcru（r）
式中k为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数.当势场具有品格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程 的解屮存亦性质：
W（r+心）=e%%W（r）
这一结论称为布洛赫定理（Bloch-stheorem）,其中为晶格周期矢戢。可以看出，具有上式性质的波怖数可以写 成布洛赫函数的形式。
2.1
限于作者的数学物理水平，这里仅对有效折射率法进行讨论。但是其他方法也不是一笔带 过，我们要进行一些比较。这里以一维晶体为突破II。
i般说来，色散特性是指介质的折射率随频率变化的关系.为了描述光子晶体这种特殊结 构材料的色散关系，这里引入“有效折射率”的概念.对于有限长度、一维光子晶体的色散特 性，先从复透射系数开始，设复透射系数为
Abstract
Photonic Crystal, whose existence is based on the theory similar to the Energy band theory, has been becoming inaeasingly a well-developing issue for research. Its periodical stnictiire causes the dispersion among different liglit waves, some of wliich will not be propagated in this kind of crystal. Tliere are several theories to explain tlie feature of the photonic ciystal・ Tlie method of Effective Index of Refiaction Tlieoiy and the plain-wave method are mentioned in detail in this review, which are the most representative to clear out the periodic stnictiire of photoiiic crystal, and the emetgence of the Optics Band Gap・ Tliere are also several convenient means to prepare the multi・dimension crystals, photonic crystal will be used commonly in tliree different ways, the negative index of refiaction wliich emerged from tlie energy band inside, the super lensing efforts invented on the edge of the band, and the light gate using tlie band gap. Hence, the photoiiic aystal has the potential to be explored by tlie researchers.
以上思路是从光的复透射系数入手，根据禁带现象，经过介理的光衰减假设得到“有效波 矢”和“有效折射率”的表达式。
等效折射率模型，主要用于解释全反射型光子晶体光纤的单模特性，是把光子晶体等效为 传统的阶跃折射率光纤。因此应用具有一定的局限性。
2.2
平面波法是光子晶体能带计算中用得比较早也是用得最多的一种方法。它应用Bloch定理-将电磁波在倒格矢空何以半閒波叠加的形式展开；将Maxwell方程组化成本征方程，然后求解 得到本征频率，本征频率的集合即为光子能带。这种方法的优点：思路清晰，易于编程：缺点 是计算精度和计算鼠决定于平面波的数最，尤其是肖结构复杂且有缺陷时使用的平面波数最太 多，计算量太人而无法完成。当介电常数非恒定时，没有一个明确的本征方程，展开时町能发 散，根本无解。
2.3
时域冇限差分法主要用于电磁场计算，亦可用來解决光子晶体中的电磁场问题并且取得了 成功。
用时域有限差分法來求解Maxwell方程的主要步骤是
1）将Maxwell方程分解成6个分鼠的标駅方程，
2）将空间沿轴向分割为Ax,Ay,Az表示的小单尤一Yee格点，At为时间变元，则 时空点用（iZkx,j△y,kA z,nA t）表示，简单地用（i,j,k , n）表示，
能带理论最成功之处在于解释晶体的导电性。根据禁带宽度的不同以及电子排布，町以把 晶体分为导体、半导体及绝缘体。如果电子未充满某一能带，晶体将表现为晶格原子被“电子 海洋”所笼罩，这就是典型的导体一一金属晶体的导电性来源。如果能带表现为全满或全空， 但是禁带非常宽，晶体电子便非常不容易被激发，表现为绝缘体的性质。显然，如果禁带不是 很宽，晶体电子便町能在被赋予能量的前提卜•穿越禁带，达到上一个能带，使上一个能带成为 不完全充满的能带。这种现级在宏观世界中的表现，就是绝缘材料在某些条件之卜（高温、压 力、光照）具备了良好的导电性，而这种材料通常被称为半导体。
(4)操作时间短。
它的缺点是计算最人，对计算机的性能要求比较高。
2.4
多极法是一种较新的数值计算方法，最早由White和Kuhlmey等人提出，适合于快速计算由 岡柱形空气孔构成的微结构比纤。其主要思想是把每个空气孔周国的场分量用傅里叶-贝塞尔 函数展开，然后把这些函数联立,加入边界条件，组成一个方程组。通过寻找系统矩阵行列式的零 点来确定传播常数，利用其实部就口J以计算色散。
负折射率的出现，是通过光子晶体结构的变化实现群速度的调制，某些光子晶体中的衍射 町以激发相速度和群速度方向相反的波，光子晶体的等效折射率小于零，类似于左手材料，即 町以出现负折射现象。⑶
由于光子晶体结构设计多种参样，利用光子晶体实现负折射可以有多种选择，比如2002年Lu。等证明在二维正方需格光子晶体的最低阶能带町以实现全角负折射o[4]2004年,XWang等发现二维三角晶格光子晶体也可实现负折射效应。[5]
4.1微加工方法6
4.2全息光刻方法6
4.3胶体晶体自组装方法6
4.4双光子聚合方法6
5.光子晶体的潜在应用7
应用17
应用27
应用38
应用48
6.总结8
7.参考文献7
1.
光子晶体，根据全国科学技术名词审定委员会的定义，是在介电常数（折射率）随光波长大 小周期性巨人变化的人工晶体。光子晶体是相对于电子晶体而言，它们具有共同的理论基础： 晶体的能带理论。
3.
3.1
比子晶体能帯复杂的帯内色散特性，使得光子晶体只有许多奇异的现象，比如光子晶体町 以和左手材料一样，有负的折射率。
Veselagoo于196S年苒次提出了负折射概念，直到1996年英国臭家学院的Pendiy等从理 论证明利用•种共振环和金属丝组成的周期结构可以实现负折射效应，才引起广泛关注，这种 新型人工电磁介质材料成为前沿和热点研究领域，2003年被《Science》杂志列为十人科技突破 之一。
根据复透射系数的表达式①，t=e/nvTe,01==x+iy，因此10 = i0t+Iny/To
我们假定单位振幅的入射光场H fe-YD,其中丫 =打（
因此，
Vr= 11|=e-Y°=
r—3
ln\JT =h（D=i （0—0^）
令
i0 = i（a）c^1ngffD）
几〃被称为复有效折射率，其表达式根据上述推导叮知为
不会引起内部空间场的畸变。这样处理后就町求解Maxwell方程了。
对于二维光子晶体的理论研究，FDTD方法有以卜优点：
(1)它町以处理任意几何形状和复杂媒质的光子晶体。
C)它能够实时再现场的空间分布，精确模拟出光在光子晶体中的传输行为。
(3)它可以通过一次时域分析计算，借助傅立叶变换町以计算出很大频率范闱的结果。
由上述理论町以说明，电子也受到晶格的影响而改变其行进方式，表现为电子轨道的改变。 相应地，光子会受到光子晶体“晶格”的影响，引起许多令人振奋的ຫໍສະໝຸດ Baidu象。
2.
和电子晶体相似，光子晶体的第一个作用是引起入射光的能量发生重新分配，激发散射现 象。分析这种散射现象的方法很参，包括有效折射率法、有限元法、矢最边界元素法、时域有 限差分法、平面波展开法、全矢量法、超格子法、多重散射法、边界尤法等等。
t（3）= X（3）+iy（co）=y/fe"①
式中，
0f=arctan（乂） +mn②
Q是光透过介质传皤时，总的柑位移动。复透射率t（3）可以用传输矩阵的方法计算。Q这 个参量包含了分层介质结构的所科的信息，如齐层介质的折射率、各层的厚度、总的层数等等.整 数m的选取应使0（e）是单调递增怖数，并且当3->0时，m=0.
仿照光在均匀介质中的传播，町以把透射场屮总的相位积累表示为
0t=K（3）D=（夕）ngff（3）D③
式中，D是一维光子品体总的几何长度，c是真空中的光速，K（Q）是有效波矢，而心“（3）是 与晶体结构冇关的冇效折射率。
根据能带理论的原理表述，在某些频率范鬧内的光子不能在光子晶体中传播•因此，光子 晶体的有效折射率应该是复数，并且在光子禁带有很人的虎部分量，以至于在光子禁帯令接近100%的散射衰减，或者光被全部反射，形成消散场模式。