线性代数经典教程ppt 11

Ⅰ
x1 − 2 x 2 + x3 = 0 =1 x1 − 2 x 2 2 x − 4 x + x = 1 2 3 1
(1) ( 2) ( 3)
x1 − 2 x 2 + x 3 = 0 ( 2) + ( −1)(1) − x3 = 1 ( 3) + ( −2)(1) − x3 = 1
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（4.1），（4.2），（4.3）表示的是同一个 4.1），（ ），（4.2），（ ），（4.3） 线性方程组，在今后的讨论中， 线性方程组，在今后的讨论中，可以视需要和 方便互相替代。 方便互相替代。 解向量： 解向量： 如果未知量 x1 , x2 ,⋯ xn 的一组值 (0) (0) (0) x1 , x 2 , ⋯ x n 满足线性方程组 AX = B ，则 称这组数为线性方程组 AX = B 的解，由它 的解， 们组成的向量记为： 们组成的向量记为：
§4.1
b1 a11 a12 ⋯ a1n 线性方程组的相容性与解的判定
(4.1)
(2) 矩阵式： 矩阵式：
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AX = B
(4.2)
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向量式： (3) 向量式：
α1 x1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n = β
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x + ⋯+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x1 + a m 2 x1 + ⋯ + a mn x n = bm
（ 即 k1 , k 2 ,⋯, k n）是线性方程组的一个解. 是线性方程组的一个解.
T
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例2
判断下列线性方程组是否有解
2 x1 + x 2 − x 3 − x 4 − x 5 = 2 x1 + 3 x 2 − 2 x 3 − 2 x 4 = 4 x − 2x + x + x − x = 1 2 3 4 5 1 − 2 x5 = 3 3 x1 − x 2
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b2 a21 a22 ⋯ a2 n 系数矩阵A = 元线性方程组相容性（有解） B = 一、n元线性方程组相容性（有解）的判定 ⋮ 常数列 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ b a am 2 ⋯ ：mn a 线性方程组的表达形式： 线性方程组的表达形式 m m1
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我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、 我们知道，对于方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不为零这一类特殊的线性方程组 可以用克莱姆法则求解。除此之外， ，可以用克莱姆法则求解。除此之外，在实际 应用中存在的一般形式的线性方程组， 应用中存在的一般形式的线性方程组，不能用 克莱姆法则求解， 克莱姆法则求解，求解方法与理论必须进一步 加以研究。本章将以向量和矩阵为主要工具， 加以研究。本章将以向量和矩阵为主要工具， 探讨一般形式的线性方程组的相容性、 探讨一般形式的线性方程组的相容性、解的结 构和求解问题。 构和求解问题。
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x2 = c x = −1 3
c∈ R
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定理4.1 定理4.1
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 a x + a x +⋯+ a x = b 2n n 2 线性方程组 21 1 22 2 ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x1 + a m 2 x1 + ⋯ + a mn x n = bm
( X ( 0 ) = x10 ) ,(Leabharlann ( x 20 ) , ⋯ ,
( x n0 )
)
T
并且称 X ( 0 ) 为线性方程组 AX = B 的解向量。 的解向量。
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相容性： 如果线性方程组 AX = B 有解，则称 有解， 相容性： 相容，否则称为不相容。 线性方程组 AX = B 相容，否则称为不相容。 一个线性方程组是否相容，完全由这个线性 一个线性方程组是否相容， 方程组的系数和常数项决定， 方程组的系数和常数项决定，为了讨论和求 解的需要， 解的需要，我们将线性方程组的系数和常数 项构成一个矩阵， 项构成一个矩阵，记为
α1 , α 2 , ⋯ ,α n , β 的一个极大线性无关组， 所以, 的一个极大线性无关组， 所以,
β 可由 α i1 , α i 2 , ⋯ , α ir 线性表示，当然也能由 线性表示，
AX = B相容 ⇔ R( A) = R( A)
α1 , α 2 , ⋯ ,α n 线性表示, 因此,存在一组数 线性表示, 因此, k1 , k 2 ,⋯ , k n 使 k1α1 + k 2α 2 + ⋯ + k nα n = β
a11 a12 a21 a22 A = ( A B) = ⋯ ⋯ a m1 am 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1n a2n ⋯ amn b1 b2 ⋮ bm
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a11 a12 a21 a22 A = ( A B) = ⋯ ⋯ a m1 am 2
(4.1)
相容的充要条件是： 相容的充要条件是： 的秩相等， 它的系数矩阵A 它的系数矩阵A和增广矩阵 A 的秩相等，即
R ( A ) = R ( A)
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证明: 证明:必要性 AX = B
α1 x1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n = β
设线性方程组相容, 设线性方程组相容,则存在一组解 k1 , k 2 ,⋯ , k n k1α1 + k 2α 2 + ⋯ + k nα n = β 使 这表明β 可由A的列向量组 α1 ,α 2 ,⋯,α n线性表 可由A 示. 而α1 ,α 2 ,⋯,α n 显然可由 α1 ,α 2 ,⋯,α n , β 线性表 等价. 示,所以 α1 ,α 2 ,⋯,α n 与 α1 ,α 2 ,⋯,α n , β 等价. 故
1 − 2 1 0 A = 1 − 2 0 1 2 − 4 1 1
x1 − 2 x 2 + x 3 = 0 x 3 (1)−1 x1 − 2 x 2 = 1 (1) = ( 3) + ( −1)( 2) (1) + ( 2) x 3 = −1 ( 2) − x 3 = 1 ( 2) x1 = 2c + 1 0 = 0 ( 3) 0= c0 ( 3) = 令x
(4.3)
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 α1 = α2 = ⋯ αn = ⋯ β = ⋯ ⋯ ⋯ a a a b m1 m2 mn m
1 − 2 0 1 1 − 2 1 0 r3 + (−1)r20 0 −1 1 (B) r1 + r2 0 0 1 − 1 (C ) 0 0 0 0 x − 2 x = 1 0 0 0 0 1 2
R ( A) = R ( A) = 2
R( A) = R( A)
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A 充分性 设 R( A) = R( A) = r ,则 A， 的列向量组的 秩 R(α1 ,α 2 ,⋯,α n ) = R(α1 ,α 2 ,⋯,α n , β ) = r 不妨设α i1 ,α i 2 ,⋯,α ir 为α1 ,α 2 ,⋯,α n 的一个极大 线性无关组， 线性无关组， 从而 α i1 ,α i 2 ,⋯,α ir 也是
(1)
(1) ( 2) ( 3)
x1 − 2 x 2 + x 3 = 0 ( 3) + ( −1)( 2) − x3 = 1 0=0
Ⅱ
令 x2 = c
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x1 − 2 x 2 = 1 (1) ( 2) (1) + ( 2) x 3 = −1 ( 2) ( 3) 0 = 0 ( 3) x1 = 2c + 1 x2 = c x = −1 10 3
2 1 − 1 − 1 − 1 2 2 1 3 − 2 − 2 0 4 行 0 A = (A B ) = → 0 1 − 1 1 1 − 2 1 3 −1 0 0 0 − 2 3 1 − 1 − 1 − 1 1 5 − 3 − 3 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0
线性代数
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第十一次课 十一次课 第四章 线性方程组
§4.1 线性方程组的相容性与解的判定 §4.2 齐次线性方程组解的结构
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目的要求
（1）掌握线性方程组解的判定定理，会应用 掌握线性方程组解的判定定理，
判定定理判别线性方程组解的数目； 判定定理判别线性方程组解的数目； （2）理解齐次线性方程组基础解系的概念， 理解齐次线性方程组基础解系的概念， 会求齐次线性方程组的基础解系和通解。 会求齐次线性方程组的基础解系和通解。
β = ( b1 , b2 ,⋯, bm )T
下面我们讨论线性方程组的相容性问题
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2.线性方程组Ⅲ中只有两个有效方程，故有3-2=1个 2.高斯消元法采用了线性方程组同解变形 线性方程组Ⅲ 解三元线性方程组 消元法解三元线性方程组 用消元法 例1 3.观察求解过程中只有两个有效方程，故有3 2=1个 3.高斯消元法采用了线性方程组同解变形， 观察求解过程， 观察求解过程 1.高斯消元法采用了线性方程组同解变形，Ⅲ是Ⅰ同 1.线性方程组 ，运算只涉及线性方程组的系数和常 未知量可以自由取值，称其为自由未知量， 未知量可以自由取值0 称其为自由未知量，一般取 x1 − 2 x 2 + x 3 = ， (1) 数项，因而可用对该线性方程组的增广矩阵做初等行 数项中各方程中第 各方程的第一个未知数系数均为1 ， 解最简方程组。（各方程的第一个未知数系数均为1 。（各方程的第一个未知数系数均为 解最简方程组− 2 x 1个未知量为非自由未知量，后面 。（ Ⅲ中各方程中第1个未知量为非自由未知量， x1 ( 2) =1 2 的为自由未知量。 的为自由未知量 2 x 变换来代替高斯消元法。 变换来代替高斯消元法 1 且互不包含） 且互不包含）1 − 4 x2 。 3 =。 ( 3) +x 解: