常用分布函数
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
分布函数与正态分布
分布函数与正态分布分布函数是概率论和统计学中常用的一种工具，用来描述随机变量在一定范围内取值的概率分布情况。
正态分布是常用的概率分布之一，也称为高斯分布，由于其在自然界和社会科学中广泛存在，因此备受重视。
本文将介绍分布函数与正态分布的概念、公式及其应用。
一、分布函数1.1 概念分布函数是一种数学函数，用来描述随机变量 X 取值的概率分布情况。
分布函数F(x) 是 X 的一个实函数，表示X ≤ x 的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)P(X ≤ x) 表示随机变量 X 在取值范围内小于等于 x 的概率。
1.2 性质（1）0 ≤ F(x) ≤ 1，对所有 x 成立。
（3）右连续：F(x) 在任何 x 的右端点连续。
（4）左极限存在：F(x-) = lim(x→x-)(F(x)) 存在。
1.3 应用分布函数在实际应用中非常重要，可以用来计算概率密度函数、求期望、方差以及其他与随机变量有关的概率和统计量。
在统计学和概率论中，经常使用分布函数来描述数据的分布情况，例如正态分布、伽马分布、泊松分布等。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布，其分布函数呈钟形曲线。
正态分布是指具有均值μ 和标准差σ 的随机变量 X 的概率分布函数，记作N(μ, σ2)。
μ 表示分布的中心位置，σ2 表示分布的离散程度，即方差。
2.2 公式正态分布的概率密度函数可以根据上述定义得到，即：e 为自然常数，π 为圆周率。
（1）其分布函数呈钟形曲线，在μ 处取得最大值。
（2）根据 68-95-99.7 规则，约有 68% 的值在μ ± σ 的范围内，约有 95% 的值在μ ± 2σ 的范围内，约有 99.7% 的值在μ ± 3σ 的范围内。
（3）正态分布在很多自然界和社会科学现象中得到应用，例如身高、体重、智力、月收入、股票价格等。
（1）统计学：正态分布可以用来描述样本数据的分布情况，例如 t 分布、F 分布、卡方分布等。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，则数学期望为p，方差为(1)p p-，概率密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)-，记为~(,)np pX B n p。
概率密度分布图如下所示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
分布函数-
分布函数概述分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念。
它描述了随机变量取某个值时，其概率是多少。
在实际应用中，我们经常需要求出随机变量的概率分布函数，以便通过它来计算一些重要指标，比如均值、方差等。
在概率论中，分布函数是指随机变量取某个值的概率累积值，即随机变量小于等于某个值的概率，它通常被表示为F(x)。
分布函数的定义随机变量X的累积分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X <= x)其中，X是一个随机变量，x是实数。
F(x)表示的是随机变量小于等于x的概率。
根据定义，可以得到以下性质：1. F(x)是单调不降的。
2. F(x)的值域是[0,1]。
3. F(x)具有右连续性，即：lim F(x) = F(x+)x--> x+其中，F(x+)表示x的右极限。
分布函数的性质除了上述基本性质外，分布函数还具有以下重要性质：1. F(x)在x处的导数就是随机变量X在x时的概率密度函数f(x)。
即：F'(x) = f(x)2. 当x趋近于负无穷时，分布函数逼近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数逼近于1。
3. 如果子集A包含在子集B中，则F(A)<=F(B)。
分布函数的分类分布函数按照性质和应用范围可以分为以下几类：1. 连续型分布函数如果随机变量X的取值属于某个区间上，那么X的分布函数为：$F(x)=\\int\\limits_{-\\infty}^{x} f(u)du$其中，f(x)是X的概率密度函数。
连续性分布函数通常表示为一个可导的曲线，而概率密度函数通常表示为函数图形下的面积。
常见的连续型分布函数有：(1) 均匀分布函数此型分布函数指随机变量在[a,b]之间取值相等的概率分布。
(2) 正态分布函数这是应用最广泛的分布函数之一。
正态分布函数由数学家德国心理学家阿多夫·奥古斯特·斯蒂度特在公元1805年提出。
它的图形呈现出一个钟形曲线。
2. 离散型分布函数如果随机变量只能取离散值，那么它的分布函数如下：$F(x)=P(X\\leq x)=\\sum\\limits_{x_i\\leq x}^{} p(x_i)$其中，p(x_i)表示随机变量X取到x_i时的概率。
常见的分布函数
常见的分布函数常见的分布函数包括：1. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：也称为高斯分布函数，是最常见的概率分布函数之一，用于描述一组数据在平均值附近的分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$。
2. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：是一种简单的概率分布函数，表示在一个区间内随机抽取数据的均匀分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\frac{1}{b-a} & a\leq x \leq b \\。
0 & \text{其他}。
\end{cases}$$。
3. 伽马分布函数（Gamma Distribution Function）：适用于描述正值的数据分布情况，常用于计算无线电信号的强度、生物统计学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}$$。
4. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）：是一种描述随机事件发生时间间隔的概率分布函数，常用于生物学、金融等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\。
0&x<0。
\end{cases}$$。
5. 泊松分布函数（Poisson Distribution Function）：用于描述事件的随机发生次数，常用于工业、生物学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$。
常见分布的概率密度函数
常见分布的概率密度函数概率密度函数是描述随机变量概率分布的数学函数，表示了随机变量取某个值的概率密度。
常见的概率密度函数包括正态分布、均匀分布、指数分布、伽马分布等。
正态分布是最为常见的分布，其概率密度函数为：$$f(x) =frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$$ 其中，$mu$ 和 $sigma$ 分别表示均值和标准差。
正态分布的图像呈钟形曲线，具有以下特点：对称性、均值、中位数和众数相等、标准差越小峰越尖等。
均匀分布是另一种常见的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases} frac{1}{b-a}, & aleq xleq b 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$a$ 和 $b$ 分别表示区间的起始值和终止值。
均匀分布的图像呈矩形，特点是各点概率密度相等。
指数分布是描述等待时间的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases} lambda e^{-lambda x}, & xgeq 0 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$lambda$ 表示事件发生的速率。
指数分布的图像呈指数下降曲线，特点是随着时间的增加，事件发生的概率逐渐减小。
伽马分布是描述正随机变量的分布，其概率密度函数为：$$f(x) = begin{cases}frac{1}{Gamma(k)theta^k}x^{k-1}e^{-frac{x}{theta}}, & xgeq 0 0, & text{otherwise} end{cases}$$其中，$k$ 和 $theta$ 分别表示形状参数和尺度参数。
伽马分布的图像呈现出右偏斜的形态，具有长尾性质。
概率论常见分布性质及应用
概率论常见分布性质及应用概率论是研究随机现象的规律性及概率性问题的数学分支。
常见的概率论分布有离散分布和连续分布两种。
下面将对常见的概率论分布性质及其应用进行详细阐述。
一、离散分布：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的离散分布，它只有两个取值0和1，其中0发生的概率为p，1发生的概率为q=1-p。
伯努利分布通常用来表示只有两个可能结果的试验，如掷硬币的结果。
应用：伯努利分布可以用于模拟二项分布的单次试验结果，也可以用于描述二分类问题的概率分布。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布描述了一系列独立重复的伯努利试验，在每次试验中，都有成功的概率p，失败的概率q=1-p。
将n次伯努利试验的成功次数定义为X，X的取值为0到n。
二项分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)。
应用：二项分布可以用于模拟多次试验的结果，如投掷硬币、扔骰子等。
在实际应用中，二项分布也可以用于描述二分类问题的概率分布，如判断客户是否购买某个产品。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布描述了在一个固定时间间隔内某个事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为P(X=k) = (lambda^k * e^(-lambda)) / k!，其中lambda为事件发生的平均次数。
应用：泊松分布广泛应用于描述实际生活中的随机事件，如交通事故发生的次数、电话呼叫的次数等。
此外，泊松分布还可以用于模拟排队论中的到达与服务过程。
二、连续分布：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的连续分布，它的概率密度函数在一个有限区间内是常数，而在区间外为零。
均匀分布的概率密度函数可以表示为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b为区间的起始和结束点。
常用分布函数公式正态分布指数分布的概率密度函数计算
常用分布函数公式正态分布指数分布的概率密度函数计算常用分布函数公式——正态分布与指数分布的概率密度函数计算在概率论与数理统计中，概率密度函数（Probability Density Function, PDF）是描述随机变量概率分布的一种函数。
正态分布和指数分布是常用的分布函数，在许多领域中被广泛应用于数据分析和模拟等方面。
本文将介绍正态分布和指数分布的概念，并详细讨论它们的概率密度函数及其计算方法。
1. 正态分布的概率密度函数计算正态分布在统计学中占有重要地位，它以其钟形曲线的特点而闻名。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可以用如下的数学公式表示：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，f(x)表示在计算点x上的概率密度，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。
e是自然对数的底数。
对于给定的μ和σ的值，我们可以通过代入具体的x值来计算概率密度函数f(x)的数值。
例如，对于一个均值为2，标准差为1的正态分布，我们可以计算在x=3的概率密度函数的值如下：f(3) = (1/(1√(2π))) * e^(-((3-2)²/(2*1²)))计算得到f(3) ≈ 0.242。
2. 指数分布的概率密度函数计算指数分布是一种描述事件发生时间间隔的概率分布函数，经常在可靠性工程、队列理论和生存分析等领域中使用。
指数分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）可以用如下的数学公式表示：f(x) = λ * e^(-λx)其中，f(x)表示在计算点x上的概率密度，λ表示指数分布的参数，它是一个正实数。
对于给定的λ的值，我们可以通过代入具体的x值来计算概率密度函数f(x)的数值。
例如，对于一个参数λ=0.5的指数分布，我们可以计算在x=2的概率密度函数的值如下：f(2) = 0.5 * e^(-0.5*2)计算得到f(2) ≈ 0.090。
常见分布的概率密度函数
常见分布的概率密度函数在概率统计学中，常见分布的概率密度函数是非常重要的一部分。
它们被广泛地应用于各种领域，如工程、医学和金融学等。
在本文中，我们将讨论几个常见的概率密度函数以及它们的特点。
一、正态分布正态分布是一种非常重要的分布，因为它在自然界和社会科学中出现的频率非常高。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$其中，$\mu$是正态分布的平均值，$\sigma$是标准差。
正态分布具有对称性，即左右两侧的概率密度相等。
此外，它的均值、中位数和众数均相等。
二、指数分布指数分布是描述等待时间的分布，它的概率密度函数可以用以下公式表示：$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$其中，$\lambda$是指数分布的参数，表示等待时间的平均值。
指数分布具有无记忆性，即它的概率密度不受过去等待时间的影响。
三、t分布t分布是应用到小样本情况下的一种分布，它较正态分布更为宽平，有更多的尾部。
t分布的概率密度函数可以用以下公式表示：$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\nu\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}(1+\frac{x^2}{\nu})^{-\frac{\nu+1}{2}}$其中，$\nu$是t分布的自由度，它决定了t分布的形状。
当自由度越大时，t分布趋向于正态分布。
四、卡方分布卡方分布是应用到两个或多个正态分布之和的分布，它也是一种重要的分布。
卡方分布的概率密度函数可以用以下公式表示：$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\frac{\nu}{2})2^{\frac{\nu}{2}}}\c dot x^{\frac{\nu}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}$其中，$\nu$是卡方分布的自由度，它决定了卡方分布的形状。
常用的连续型分布
P{X196}0(196) 0975
根据0(x)的对称性 有
P{X196}0(196)10(196)109750025
P{|X|196}P{196X196} 0(196)0(196)
20(196)1 209751095
P{1X2}0(2)0(1)0(2)[10(1)]
0(2)0(1)1
097725084131081855
则
X
~
N(0.1)
推论2
X~N( 2)的充要条件是存在一个随机变量~N(0 1) 使
得X
提示
通常称为X的标准化
18
推论3
设X~N( 2) (x) (x)分别为其分布函数与密度函数
0(x) 0(x)是标准正态分布的分布函数和密度函数 则有
(x)
0(
x
)
(287)
(x)
1
0(
x
)
(288)
4 一般正态分布的概率计算
0.9621
查表即得 b178
由于P{Xc}0298105 所以c0 根据对称性 有
0(c)10(c)07019
查表得c053 c053
17
3 一般正态分布与标准正态分布的关系
定理26(正态分布的线性变换)
设X~N( 2) YaXb a b为常数 且a0 则
Y~N(ab a2 2)
推论1
如果 X~N( 2)
X
|
x
}
20(x
)1
0.9
即0(x
)
1.9 2
0.95
查表得x 1.645
于是 x1645355758
23
16
例223 设X~N(0 1) (1)求P{X196} P{X196} P{|X|196} P{1X2} (2)已知P{Xa}07019 P{|X|b}09242 P{Xc}02981 求a b c
概率分布函数的常用公式整理
概率分布函数的常用公式整理概率分布函数是描述随机变量在不同取值下的概率分布的函数，是统计学中重要的概念。
在实际应用中，我们常常需要计算或查阅各种概率分布函数的公式，以便进行数据分析和决策。
下面是一些常用的概率分布函数和相关公式的整理。
1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立实验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）和累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）分别为：PMF: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)CDF: P(X ≤ k) = Σ(C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i)), 0 ≤ i ≤ k其中，X表示成功次数，k表示取值，n表示实验次数，p表示单次实验的成功概率，C(n, k)表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种描述单位时间或空间内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数和累积分布函数为：PMF: P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!CDF: P(X ≤ k) = Σ(λ^i * e^(-λ)) / i!, 0 ≤ i ≤ k其中，X表示事件发生次数，k表示取值，λ表示事件发生的平均次数。
3. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种连续型概率分布，以钟形曲线来描述数据分布。
正态分布的概率密度函数（Probability Density Function, PDF）和累积分布函数为：PDF: f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))CDF: P(X ≤ x) = (1 / 2) * (1 + erf((x-μ) / (σ√2)))其中，X表示随机变量取值，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，erf表示高斯误差函数。
常见分布的特征函数
常见分布的特征函数特征函数概述特征函数是概率论和数理统计中的常用概念，它是一个复数函数，描述了随机变量的特征信息。
对于一个随机变量X，它的特征函数f(t)定义为：f(t) = E[e^(itX)]，其中i为虚数单位，E为期望运算符。
特征函数不仅对概率密度函数具有很好的描述和表达作用，还可以描述随机变量的各种性质，比如分布、矩和相关系数等。
下面将具体介绍几种常见的分布的特征函数。
1.正态分布正态分布是自然界中多种现象的分布模式，其概率密度函数在数学上也能很好地描述为高斯函数。
其特征函数如下：f(t) = e^(-t^2/2)该特征函数具有良好的解析性质和奇偶性质，能很好地反映正态分布的对称性和峰态。
2.泊松分布泊松分布是描述单位时间内某个随机事件发生次数的概率分布，例如单位时间内打进一个电话亭电话而来的电话数量、在网球场内接到的球的数量等。
其特征函数如下：f(t) = e^(λ(e^(it)-1))其中λ为单位时间内事件发生的平均次数。
3.指数分布指数分布是描述随机事件发生的时间间隔的概率分布，例如寿命、等待时间、顾客到达时间等。
其特征函数如下：f(t) = 1 / (1-it/λ)，其中λ为事件发生的平均速率。
4.卡方分布卡方分布是应用最广泛的概率分布之一，常用于分析样本差异性和偏离程度，例如方差分析、偏度分析、正态性检验等。
其特征函数如下：f(t) = (1-2it)^(-k/2)其中k为自由度。
5. beta分布beta分布是应用广泛的概率分布之一，常用于贝叶斯统计、假设检验、数据挖掘等领域。
其特征函数如下：f(t) = B(a+it,b-it) / B(a,b)其中B(a,b)表示beta函数，a,b为形状参数。
上述几种分布是常见的概率分布，它们的特征函数形式各不相同，但都能很好地反映分布的各种性质和特点，为进一步分析和研究提供了便利。
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1常用分布函数1
1常用分布函数
1.1均匀分布X∼U(a,b)
U(x|a,b)=
x
a
1
b−a
dt(a≤x≤b),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=a+b 2
Var(X)=(b−a)2
12
1.2正态分布X∼N(µ,σ2)
标准正态分布X∼N(0,1)：
Φ(x)=
x
−∞
φ(t)dt
=
1
√
2π
x
−∞
e−t22dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0
Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：
F(x)=
x
−∞
f(t)dt
=
1
√
2πσ2
x
−∞
e−(t−µ)2
2σ2dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ
Var(X)=σ2
1常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)
E(x|µ,λ)=
x
µ
λe−λ(t−µ)dt(x≥µ)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ+1λ
Var(X)=1λ2
1.4Gamma分布X∼Γ(a,b)
G(x|a,b)=
b a
Γ(a)
x
t a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)
其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞
t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分
别为：
E(X)=a b
Var(X)=a b2
1.5Beta分布X∼β(a,b)
I x(a,b)=
1
B(a,b)
x
t a−1(1−t)b−1dt
其中，B(a,b)为Beta函数：
B(a,b)=
1
t a−1(1−t)b−1dt
=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)
1.6χ2分布X∼χ2(n)
H(x|n)=
1
2n2Γ
n
2
(n为正整数;x>0)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=n
Var(X)=2n
1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)
T(x|n)=
1
√
nB
1
2
,n
2
X
−∞
1+
t2
n
−n+12
dt
(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0(n>1时),
Var(X)=
n
n−2
(n>2时).
1.8F分布X∼F(m,n)
F(x|m,n)=
m
n
m2
B
m
2
,n
2
x
t m2−1
1+
mt
n
−m+n2
dt (n,n为正整数;x>0),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=
n
n−2
(n>2),
Var(X)=
2n2(m+n−2)
m(n−2)2(n−4)
(n>4).。