高三第一轮复习高考试题大盘点——映射与函数-人教版[原创]

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高三数学第一轮复习函数与映射专题

第2讲函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

高考数学第一轮总复习100讲1008映射与函数

高考数学第一轮总复习100讲1008映射与函数一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：〔1〕了解映射的概念，明白得函数的概念．〔2〕了解函数的单调性、奇偶性的概念，把握判定一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．〔3〕了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．〔4〕明白得分数指数幂的概念，把握有理指数幂的运算性质．把握指数函数的概念、图像和性质．〔5〕明白得对数的概念，把握对数的运算性质．把握对数函数的概念、图像和性质．〔6〕能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际咨询题．映射与函数一、知识回忆： 1、映射的定义： 2、函数的定义：函数的三要素：二、差不多训练：1、设B A f →:是集合A 到B 的映射，以下讲法正确的选项是〔〕 A 、A 中每一个元素在B 中必有象 B 、B 中每一个元素在A 中必有原象 C 、B 中每一个元素在A 中的原象是唯独的 D 、B 是A 中所在元素的象的集合2、以下各对函数中，相同的是〔〕 A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,11lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 vvv g u u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f 〔x 〕=x ，2)(x x f = 3、}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出以下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有〔〕 A 、 0个 B 、 1个 C 、 2个 D 、3个4.〔05江西卷〕函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为〔〕A ．〔1，2〕∪〔2，3〕B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．〔1，3〕D ．[1，3]5、〔05广东卷〕函数()f x =6.〔05江苏卷〕函数y =三、例题分析： 1、〔1〕假设集合}1,0,1{-=A ，}2,1,0,1,2{--=B ，f ：A →B 表示A 到B 的一个映射，且满足对任意Ax ∈都有x + f 〔x 〕为偶数，那么如此的映射有_______ 个。

高考数学一轮复习 2.1 映射、函数及反函数课时闯关理

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.1 映射、函数及反函数课时闯关理（含解析）人教版一、选择题1．(2012·高考大纲全国卷)函数y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为( )A ．y ＝x 2－1(x ≥0)B ．y ＝x 2－1(x ≥1)C ．y ＝x 2＋1(x ≥0)D ．y ＝x 2＋1(x ≥1) 解析：选A.∵y ＝x ＋1(x ≥－1)，∴x ＋1＝y 2，∴x ＝y 2－1.又∵x ≥－1，∴x ＋1≥0，∴y ≥0.∴y ＝x ＋1(x ≥－1)的反函数为y ＝x 2－1(x ≥0)．2．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的反函数的图象大致是( )解析：选A.当x <0时，－x >0，∴f ()－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＋1＝2x＋1.又f (x )是奇函数，∴f ()－x ＝－f (x )，∴当x <0时，f (x )＝－2x－1，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x >0，－2x －1，x <0，f (x )的图象如图．由函数及其反函数图象之间的关系可知其反函数的图象应为A.3．(2012·高考江西卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ， x ＞1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0 解析：选B.f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2.4．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)：则与f [g (1)]相同的是( A ．g [f (1)] B ．g [f (2)] C ．g [f (3)] D ．g [f (4)] 解析：选A.g (1)＝4，f [g (1)]＝f (4)＝1， f (1)＝3，g [f (1)]＝g (3)＝1. 5．(2011·高考天津卷)对实数a和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 B ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞解析：选B.由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2－1≤x ≤32，x －x2x <－1或x >32，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2， x <1，x 2＋ax ， x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝__________.解析：∵f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，∴4＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 答案：27．函数f (x )＝log 3(x ＋3)的反函数的图象与y 轴的交点坐标是__________．解析：法一：函数f (x )＝log 3(x ＋3)的反函数为y ＝f －1(x )＝3x－3，所以与y 轴相交于(0，－2)点．法二：设所求交点为(0，b )．由反函数的定义知(b,0)即为函数y ＝log 3(x ＋3)与x 轴的交点，所以有log 3(b ＋3)＝0，所以b ＝－2.故所求交点为(0，－2)．答案：(0，－2)8．设S 是至少含有两个元素的集合．在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)．若对任意的a ，b ∈S 有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，有①(a *b )*a ＝a ；②b *(b *b )＝b ；③[a *(b *a )]*(a *b )＝a ；④(a *b )*[b *(a *b )]＝b .则上述等式中不恒成立的是________．解析：法一：∵a *(b *a )＝b ，∴①不成立∴b *(b *b )＝b ，∴②恒成立；[a *(b *a )]*(a *b )＝b *(a *b )＝a ，∴③恒成立；设a *b ＝x ，则(a *b )*[ b *(a *b )]＝x *(b *x )＝b ， ∴④恒成立．法二：∵a *(b *a )＝b ，∴(a *b )*a ＝(a *b )*[b *(a *b )]＝b ， ∴当a ＝b 时，(a *b )*a ＝b ＝a 成立，当a ≠b 时，(a *b )*a ＝b ≠a . 答案：① 三、解答题9．若点(1,2)既在函数f (x )＝ax ＋b 的图象上，又在其反函数f －1(x )的图象上，试确定f (x )的解析式．解：依题意，有⎩⎨⎧a ·1＋b ＝2，a ·2＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝7.所以f (x )＝－3x ＋7.10．已知函数y ＝f (x )在定义域(－∞，0)内存在反函数，且f (x －1)＝x 2－2x ，求f －1(－14)的值．解：∵f (x －1)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴y ＝f (x )＝x 2－1(x <0)．由x 2－1＝－14及x <0得x ＝－32，故f －1(－14)＝－32.11．(探究选做)函数f (x )的定义域为R ，且满足下面两个条件：①存在x 1≠x 2，使f (x 1)≠f (x 2)；②对任意的x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．(1)求f (0)；(2)证明：对任意的x ∈R ，f (x )>0恒成立．解：(1)∵f (0＋0)＝f (0)·f (0)，∴f (0)＝0或f (0)＝1.若f (0)＝0，则存在x ≠0，使对任意的x ∈R 都有f (x ＋0)＝f (x )·f (0)＝0，即f (x )＝0，与条件矛盾．∴f (0)＝1.(2)证明：f (x )＝f (x 2＋x 2)＝[f (x2)]2≥0，若存在x 0使f (x 0)＝0，则对任意的x ∈R ，f (x )＝f [(x －x 0)＋x 0]＝f (x 0)·f (x －x 0)＝0，与条件矛盾，∴f (x )>0恒成立．。

高三数学(理)一轮总复习(人教通用)试题：第二章函数、导数及其应用Word版含解析

1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题体验]1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案：D2．已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C ∵f (2x )＝2f (x )，且当1≤x <2时，f (x )＝x 2，∴f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()答案：B4．(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几个函数组成．[小题纠偏]1．函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D 若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.3．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝________. 解析：令t ＝1x ，∴x ＝1t .∴f (t )＝1t 2＋5t .∴f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)考点一函数的定义域 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域； (2)求抽象函数的定义域； (3)已知定义域确定参数问题．[题点全练]角度一：求给定函数解析式的定义域 1．(2015·德州期末)y ＝ x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2] 解析：选C要使函数有意义，必须⎩⎨⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．2．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎨⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]角度二：求抽象函数的定义域3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015]解析：选B 令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1,2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1＜x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 015]4．若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100]D ．[0，lg 2]解析：选C 因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．角度三：已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为______________________．解析：因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0][方法归纳]函数定义域的2种求法考点二求函数的解析式 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )； (4)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，求f (x )．解：(1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2. (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1，x >1.(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ，又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(4)在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x－1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.[由题悟法][即时应用]1．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1.2．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c ＝0，解得c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.考点三分段函数 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.2．(2015·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.[由题悟法]分段函数2种题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[提醒] 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0，3x 2，x <0，且f (x 0)＝3，则实数x 0的值为A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或－13解析：选C 由条件可知，当x 0≥0时，f (x 0)＝2x 0＋1＝3，所以x 0＝1；当x 0<0时，f (x 0)＝3x 20＝3，所以x 0＝－1，所以实数x 0的值为－1或1.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A ．－74B.74C.43 D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x .4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋1，x ≤1，a x －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 答案：145．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题意知f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)二保高考，全练题型做到高考达标 1．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg (x －1)的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg (x －1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)(x －10)≤0，①x >1，x ≠2，解①得，－1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．(2016·武汉调考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A 因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1.3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <a ，ca ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟，所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋∞)，|sin x |，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，解得a ＝－π6. 综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π67．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]8．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ，即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2， f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2， f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎣⎡⎭⎫－1，12 D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1， ∴－1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 2．(2015·北京二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：则f (3,5)＝解析：由表可知f (3,5)＝5＋3＝8. ∵∀x ∈N *，都有2x >x ，∴f (2x ，x )＝2x －x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)，当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x ≤x ＋4成立；当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x ≤x ＋4成立；当x ≥3(x ∈N *)时，2x >x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}．答案：8 {1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎨⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值 1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |答案：B2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12答案：D3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，则函数的最大值为________．答案：21．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1x.3．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [小题纠偏]1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减答案：C2．设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的增区间为________．答案：[－1,1]，[5,7]考点一函数单调性的判断 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1 ＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1) ＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )在(－1,1)上为减函数．法二(导数法)：f ′(x )＝a (x 2－1)－2ax 2(x 2－1)2＝－a (x 2＋1)(x 2－1)2.又a >0，所以f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数．[谨记通法]判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤 (1)定义法，其基本步骤：取值作差(商)变形确定符号(与1的大小)得出结论(2)导数法，其基本步骤：求导函数确定符号得出结论考点二求函数的单调区间 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1； (2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．解：(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．[由题悟法]确定函数的单调区间的3种方法[提醒] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．[即时应用]1．若将[典例引领](1)中的函数变为“y ＝|－x 2＋2x ＋1|”，则结论如何？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 解析：选B 令u ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18. 因为u ＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递减，函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在R 上单调递减．所以y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－3x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，34上单调递增．考点三函数单调性的应用 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析]高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．常见的命题角度有： (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．[题点全练]角度一：求函数的值域或最值1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2. 答案：2角度二：比较两个函数值或两个自变量的大小2．(2016·哈尔滨联考)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 因f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)， ∴b >a >c .角度三：解函数不等式3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 解析：选D 当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0, 且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －2>0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >2，a －2－1≤0，解得2<a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．答案：(2,3][方法归纳]函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法． (2)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·珠海摸底)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2 xD ．y ＝－1x解析：选B 由题知，只有y ＝2－x 与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数． 2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．3．(2016·长春市质量检测)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 4．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6. 答案：65．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________________．解析：函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图象可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．给定函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B ①是幂函数，在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合要求；②中的函数图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移1个单位得到的，函数y ＝log 12x 是(0，＋∞)上的减函数，所以函数y ＝log12(x ＋1)是(－1，＋∞)上的减函数，故此项符合要求；③中的函数在(－∞，1)上为减函数，(1，＋∞)上为增函数，符合要求；④中的函数在R 上为增函数，不符合要求．2．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．3．(2016·安徽师大附中第二次月考)函数f (x )＝x 1－x 在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数解析：选C 函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}．f (x )＝x 1－x ＝11－x －1，根据函数y ＝－1x 的单调性及有关性质，可知f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13D.⎣⎡⎭⎫17，1解析：选C 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a >0在x <1时恒成立，令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1<0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13.此时，log a x 是减函数，符合题意．6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14. 答案：147．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在 ⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2015·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0， 3 ]C ．[0,1]D ．[1， 3 ]解析：选D 因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2015·北京高考)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案：B2．若函数f (x )是周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (14)＝________. 答案：－13．(教材习题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________.答案：x (1－x )1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1考点一函数奇偶性的判断 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)(易错题)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函数的周期性(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f (x )的最小正周期为4. (2)f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0， f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 又∵f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f (x ＋2)＝－1f (x )”，求函数f (x )的最小正周期．解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式．解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2，又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)．又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 故x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化为已知区间上的相应问题，即把区间[2,4]转化为[－2,0]上．考点三函数性质的综合应用 (常考常新型考点——多角探明)[命题分析][破译玄机]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x －1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴当x <0时，－x >0. 由已知f (－x )＝(－x )2－(－x )－1＝x 2＋x －1＝f (x )， ∴f (x )＝x 2＋x －1. 答案：x 2＋x －12．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0，即(1＋1)(1＋a )1＋(－1＋1)(－1＋a )－1＝0，∴a ＝－1.答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．(2015·昆明统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x解析：选C 函数f (x )＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝2|x |是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f (x )＝sin x 是奇函数，不合题意．4．(2015·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得，f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则－1<1－a 2<a －1<1，由此解得1<a < 2.角度三：周期性与奇偶性结合5．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)解：选A ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·福建高考)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1D ．7 解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．(2015·石家庄一模)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.4．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选C ∵f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )为偶函数．∵f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |， ∴函数f (x )的周期为π.5．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －1二保高考，全练题型做到高考达标1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A 的函数为奇函数，不符合要求；选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C 符合要求．2．已知f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )·g (x )，则 “f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 一方面，若f (x )，g (x )均为偶函数，则f (－x )＝f (x )，g (－x )＝g (x )，因此，h (－x )＝f (－x )g (－x )＝f (x )g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数；另一方面，若h (x )是偶函数，但f (x )，g (x )不一定均为偶函数，事实上，若f (x )，g (x )均为奇函数，h (x )也是偶函数，因此，“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分不必要条件．。

高三数学一轮复习讲义专题4 映射与函数

专题4 映射与函数考纲导读：考纲要求: 了解映射的概念;理解函数的概念.考纲解读:映射fA B →中,A 中元素无剩余、一对一或多对一.函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集Ｂ的子集”.函数图像与x 轴垂线至多有一个交点,但于y 轴垂线的公共点可能没有,也可任意个.函数图像一定是坐标系中的曲线,但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.考点精析：考点1、映射的概念考查映射的概念类题目体现为对基本定义和概念的考查，一般为选择题或填空题，分析求解时，应从基础知识入手.【考例1】 (北京四中)设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的映射，如果B={1,2}，则A∩B 等于( )A. {1}B. ∅C. ∅或{1}D. ∅ 或{2}解题思路：本题考查了映射的概念及集合的交集运算,属基础知识考查.逆向思维,将所有可能出现的A 集合中的元素用列举法列出,求两个集合的交集即可.正确答案：由已知可得集合A 是集合{1,1-的非空子集, 则A∩B =∅或{1} ,应选C.回顾与反思：映射是一种特殊的对应，判断对应是否为映射，关键有两点：一是A 中元素必须都有象且惟一，二是B 中元素不一定有原象，且A 中不同的元素在B 中可以有相同的象.知识链接：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A 、B以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到集合B 的映射，记作A B f →：.如果A 中的元素a 对应的B 中的元素b ，则b 是a 的象，而a 叫做b 的原象.【考例2】 (湖北八校一联)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）：则与)]1([g f 相同的是（） A ．)]1([f gB ．)]2([f gC ．)]3([f gD ．)]4([f g解题思路：本题考查映射的对应法则，复合函数的关系式.通过原像与像之间的关系依据对应法则,从内向外依次代入可得各自的函数值.正确答案：由题意图表映射关系得：,1)]4([=g f 检验A 中.1)]1([=f g 故选A.① ②⑥⑦ ⑧ ⑨回顾与反思：注意映射的方向性，映射:f A B → 与映射:f B A →是两个不同的映射.知识链接：设A ，B 是两个集合，f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射. 所以，一一映射是特殊的映射，而且如果f ：A →B 是一一映射，那么g ：B →A 是映射.考点2、【考例1】 (浙江理10)函数:{1,2,3}{1,2,3}f →满足(())()f f x f x =，则这样的函数个数共有( )A ．1个B ．4个C ．8个D ．10个解题思路：本题考查了函数的概念及映射中元素与元素间的对应.用列举法,应用图示列出所有可能出现的映射实例,然后一一验证是否符合条件式(())()f f x f x =.正确答案：应用列举法可得出所有的对应,满足(())()f f x f x =的对应如下: 下面证明其中的两个函数,满足(())()f f x f x =. 函数①: ((1))(1)1(1)f f f f ===((2))(1)1(2)f f f f === ((3))(1)1(3)f f f f ===函数⑤: ((1))(1)1(1)f f f f ===((2))(2)2(2)f f f f ===((3))(2)2(3)f f f f ===. 故应选D.回顾与反思：函数是一种特殊的映射，:f A B →必须满足A 、B 都是非空数集，其象的集合是B 的子集,不同的函数，会有不同的对应法则.知识链接：函数定义,①设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数;②如果集合A 、B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作()y f x =.【考例2】 (南京二模)函数21sin(), 10,(), 0,x x x f x e x π-⎧-<<=⎨≥⎩若1)(=a f ，则a 的所有可能值组成的集合为 ( )（A ）{}1（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,1（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22（D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧22,1 解题思路：本题考查了分段函数解析式中自变量值的求解．由函数的概念可知1)(=a f 时,字母a 的值可以不唯一.因此只需令每一个解析式取值为1,解条件不等式下的方程即可得解.正确答案：当10x -<<时，2sin()1x π=，解得22x ππ=，即得x =．当0x ≥时，11x e-=，解得1x =，从而得a 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-22,1，故应选Ｂ．回顾与反思：分析求函数值所对应的自变量的值时,是一种逆向的思维方式,需要通过各个方面分别代入解方程,且解得的结论要符合各自的前提条件.知识链接：函数的构成：在A 到B 的函数()y f x =中，其中,x A y B ∈∈，原象的集合A 叫做函数()y f x =的定义域，象的集合,C(C B ⊆)叫做函数()y f x =的值域.函数符号()y f x =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数()f x ，其中f 表示对应法则.创新探究：【探究1】拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(0.5[]1)f m m =⨯+给出, 其中0m >, []m 是大于m 的最小整数(如[3]3=, [3.7]4=, [3.1]4=) , 则从甲到乙地通话5.5分钟的话费为( )A. 3.71B. 3.97C. 4.24D. 4.77 创新思路：本题考查了取整函数的性质及其应用,为竞赛题的改编题.解析: ∵[5.5]=6 , ∴() 1.06(0.5[5.5]1) 1.06(0.561) 4.24f m =⨯+=⨯+= ．故甲到乙地通话5.5分钟的话费为4.24元, 故应选C .【探究2】设集合N 为正整数集, A 为有限集合,且映射:f N A →具有性质:如果||i j -是质数,那么()()f i f j ≠. 则A 中的元素最少有( )A. 1B. 2C. 4D. 5创新思路：抽象命题是近年来高考中常出现的考题,此类问题以其条件的简洁及内含的丰富而吸引着越来越多的命题者.解析: 取1,3,6,8这4个数,其每两个数的差的绝对值均是质数,从而其对应的象互不相同.而如再取大于8的奇数,则它与1的差为大于2的偶数,如取大于8的偶数,则它与6的差为大于2的偶数,均不是质数,故集合A 中的元素大于等于4个.令A={0,1,2,3},设:f x x →被4除的余数, 则当||i j -是质数,必有()()f i f j ≠.D C B A 从而此映射满足条件,即A 中的元素最少为4,故应选C.方法归纳：1．一般地说，对应有三种方式：一对一、多对一、一对多．由函数的定义可知构成函数的对应包含一对一和多对一两种方式，由一对多构成的对应不能称作函数；函数的值域是由所有输出值构成的集合，因此它是非空数集B 的子集.2.在映射概念中，两个集合A 、B 中的元素的内涵更加广泛，可以是任意事物的集合，而函数概念中的两个集合A 、B 必须是非空的数集，这也是区分函数与映射的关键．会判断一个对应是否为映射或函数是一个基本要求．若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则可构成映射:f A B →有mn 个，映射:f B A →有nm 个.3．求函数的值域.此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.4.运用函数的值域解决实际问题.此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.过关必练：一、选择题:1. (人大附中模)设集合M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x +b sin2x ，x ∈R }，给出从M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x +b sin2x ，则点(1， 3 ) 的象f (x )的最小正周期为（）A ．πB ．2πC ．2π D ．4π 2. （天津模）已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝｛－3，－2，－1，1，2，3，4｝，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是｜a ｜，则集合B 中元素的个数是（）A.4B.5C.6D.73. (浙江模)设{|22},{|02}M x x N y y =-≤≤=≤≤,给出四个图形,其中以集合M 为定义域,N 为值域的函数数关系的是 ( )4. (广东10)对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q pA. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(-5. (陕西理12文12)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为A.7,6,1,4B.6,4,1,7C.4,6,1,7D.1,6,4,7 二、填空题:6. 在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是 .①. B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个;②. A 中的某一个元素a 的象可能不止一个;③. A 中的两个不同元素所对应的象必不相同;④ B 中的两个不同元素的原象可能相同 7. (陕西二模)若集合M={－1，0，1} ，N={－2，－1，0，1，2}，从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M ，恒使x ＋f (x ) 是偶数，则映射f 有__ __个.8. 若记号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b =2ba +，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_____.9.(厦门模)规定2⨯2数表的平方运算规则是2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b ad c b a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++22d bc cd ac bd ab bc a , 试计算20321⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=__________ . 10. (广州模)对于任意的x 、y ∈R ，有f (x ·y ) = f (x )+f (y )， ①f (1) = 0 ②f (1x) = －f (x ) ③ f (xy) = f (x )－f (y ) 则下列结论中正确的有 . 三、解答题:11. (1)21,,:,,21x A N B R f x y x A y B x -==→=∈∈+.在f 的作用下，1113的原象是多少? 14的象是多少?(2)设集合,A N B =={偶数}，映射:f A B →把集合A 中的元素a 映射到集合B 中的元素2a a -，则在映射f 下，象20的原象是多少？(3) :f A B →是从A 到B 的映射，其中,{(,)|,}A R B x y x y R ==∈,2:(1,1)f x x x →++,则A?B 中元素(2,2)的原象是多少?12. 从A 到B 的映射是ｆ：ｘ→ｙ＝３ｘ－１，从B 到C 的映射是：ｇ∶ｙ→ｚ＝121+y .试写出从A 到C 的映射ｈ.13.(山东模)对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点.过关必练参考答案：1. A 解析:由已知可得f (x )＝a cos2x +b sin2x=cos 222sin(2)6x x x π+=+,∴象f (x )的最小正周期为22T ππ==.故应选A. 2. A 解析:由映射的定义及给定法则知，对A 中元素取绝对值立即得结论，故选A. 3. B 解析:映射的概念可得答案为B.4. B 解析:本题通过新定义的运算,以一一映射的观点考查了方程思想在解决此类开放题. 由已知可得25,20,p q p q -=⎧⎨+=⎩解之得1,2.p q =⎧⎨=-⎩∴(1,2)(,)(1,2)(2,0)p q p q ⊕=++=,故应选B.5. B 解析:本题考查了明文与密文间的映射对应关系,考生了考生对新信息的处理过程中分析问题与解决问题的能力.本题为新课标中信息安全与密码内容,为新课程思想在高考中的渗透性考查.由已知条件可得明文与密文的对应关系为方程组214,29,2323,428,a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩解之得6,4,1,a b c d ====,从而得解密后得到的明文为6,4,1,7, 故应选B.6. ① 解析:①正确; ②（错，唯一）;③（错，可以相同）;④(错，一定不相同).7. 12解析:当x =-1时, f (x )可以取-1,1; 当x =1时, f (x )可以取-1,1;当x =0时, f (x )可以取-2,0,2;则可以作图或按照上述的要求画出其对应来,共有22312⨯⨯=个映射. 8. 解析：∵a +（b *c ）=a +222c b a c b ++=+，又（a +b ）*（a +c ）=()()2a b a c +++.22a b c++=因此答案成立. 同时：（a *b ）+c =（a *c ）+（b *c ）；a *（b +c ）=（a +b ）*c =（b +c ）*a =（a +c ）*b ；（a *b ）+c =（b *a ）+c 也符合题意.9. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--6327解析:20321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6327.10. ①②③解析: 令x = y = 1，f (1) = f (1) + f (1)f (1) = 0，f (x ·1x ) = f ( x )+f (1x)=0， ∴ f (1x ) = －f (x ) ， f (y ·x y ) = f (y )+f (x y ). ∴ f (xy)=f (x )－f ( y ) . 故①②③正确. 11. 解析：(1)由21112113x x -=+,解得6x =,故1113的原象是6;又214127214129⨯-=⨯+,故14的象是2729. (2)由220a a -=解得5a =或4a =-,又a N ∈,故5a =即20的原象是5.1,3),由21212x x +=⎧⎨+=⎩解得1x =,故(2,2)的原象是1． 12. 解析：由ｙ＝３ｘ－１，得ｚ＝121+y ＝1611)13(21-=+-x x故A 到C 的映射ｈ：ｘ→ｚ＝161-x . 13. 解析:f （x ）=x 2－x －3，因为x 0为不动点，因此有f （x 0）=x 02－x 0－3=x 0 所以x 0=－1或x 0=3，所以3和－1为f （x ）的不动点.。

2019年人教版高考数学(文)第一轮复习考案：第11课-映射与函数(含答案)

第三章函数第11课映射与函数1．（2018汕头一模）已知集合A是函数()f x =的定义域，集合B 是其值域，则A B 的子集的个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C 【解析】由2210100x x x ⎧-≥⎪-≥⎨⎪≠⎩，解得1x =±，∴{1,1}A =-，{0}B =，∴{1,0,1}A B =-，∴A B 的子集的个数为328=．2．(2018朝阳质检)已知x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，若(0, 1)a ∈，则{}a 与1{}2a +的大小关系是（）A ．不确定（与a 的值有关）B ．{}a <1{}2a + C ．{}a =1{}2a + D ．{}a >1{}2a + 【答案】A 【解析】当1(0,)2a ∈时，则{}0a a a =-=， 111{}0222a a a +=+-=+，∴1{}{}2a a <+．当1[,1)2a ∈时，则{}0a a a =-=， 111{}1222a a a +=+-=-，∴1{}{}2a a >+． 3．已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，则()f x = ．【答案】12x x- 【解析】12()()3132()()f x f x x f f x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴ 1()2f x x x=-．4．(2018嘉兴模拟)已知函数4()12f x x =-+的定义域是[,](,)a b a b Z ∈，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(,)a b 共有_______个．【答案】5【解析】由40112x ≤-≤+，即4122x ≤≤+，得2x ≤，满足整数数对的有(2,0)-，(2,1)-，(2,2)-，(0,2)，(1,2)-．5．已知函数0y a =<且a 为常数)在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围．【解析】函数0y a <且a 为常数)．∵10ax +≥，0a <，∴1x a≤-，即函数的定义域为1(,]a -∞-．∵函数在区间(,1]-∞-上有意义， ∴1(,1](,]a-∞⊆-∞-， ∴011a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，∴10a -≤<. 即a 的取值范围是[1,0)-．6．若函数()(0)x f x a ax b=≠+，(2)1f =，又方程()f x x =有唯一解，求()f x 的解析式．【解析】由(2)1f =，得212a b =+，即22a b +=；由()f x x =，得x x ax b =+，变形得1(1)0x ax b-=+，解此方程得0x =或1b x a -=，又因方程有唯一解，∴10b a-=，解得1b =1，代入22a b +=，得12a =， ∴2()2x f x x =+.。

映射与函数真题及答案解析

映射与函数真题及答案解析是数学中常见且重要的概念。

在解题过程中，对的理解和运用能力往往会直接影响到解答的准确性和效率。

本文将通过一些真题及答案解析，探讨的相关知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一主题。

一、函数的定义和性质在数学中，函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

它常用符号$f(x)$表示，其中$x$为输入，$f(x)$为对应的输出。

函数的定义域为输入可能的取值的集合，值域为输出可能的取值的集合。

对于函数的性质，有一些基本概念需要了解。

首先是函数的奇偶性质。

若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x) = f(x)$成立，则函数是偶函数；若对于定义域内的任意$x$，有$f(-x) = -f(x)$成立，则函数是奇函数。

其次是函数的单调性质。

若对于定义域内的任意$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$或$f(x_1) \geqf(x_2)$成立，则函数是单调增加或单调减少的。

二、映射和函数的题型在高考或其他数学竞赛中，映射和函数常常成为试题的重点。

以下将通过一些典型题目进行解析，以帮助读者更好地理解相关知识点。

1. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求函数的值域。

解析：首先，我们可以将函数写成标准形式$f(x) = (x-1)^2$。

显然，$(x-1)^2 \geq 0$对任意$x$都成立，因此函数值域的最小值为0。

而且，当$x - 1 = 0$时，$(x-1)^2 = 0$，所以函数的最小值为0。

因此，函数的值域为$[0, +\infty)$。

2. 已知函数$f(x) = \sqrt{3-x} - 2$，求函数的定义域。

解析：根据函数的定义，我们可以得到$\sqrt{3-x} - 2 \geq0$。

解这个不等式可以得到$3-x \geq 4$，即$x \leq -1$。

因此，函数的定义域为$(-\infty, -1]$。

高三数学一轮同步练习测试卷--映射与函数

二、映射、与函数（一）知识点1、映射、2、函数 (1)函数，函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

(2)同一函数的概念、(3)分段函数、【求分段函数的函数值、分段函数的值域】 3、函数的表示方法; 4、函数三要素的求法（1）求函数解析式的常用方法：待定系数法、代换（配凑）法、方程的思想。

（2）函数定义域的求法：确定定义域的原则：当函数用表格给出时，函数定义域是指表格中实数x 的集合；当函数用图像给出时，函数三要域是指图像在x 轴上投影所覆盖的实数x 的集合；当函数用解析式给出时，函数定义域是指使解析式式有意义的实数x 的集合；当函数由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。

求函数定义域的依据：i 、分式的分母不为0，偶次根式的被开方数大于等于0，对数的真数大于0，三角形中的最大角、及最小角范围；ii 、复合函数的定义域。

（3）函数的值域： i 。

配方法 ii 。

换元法 iii 。

函数的有界性法 iiii 。

单调性法V ．数形结合的方法 vi 。

判别式法 vii 。

导数法（二）精选练习1．设2:f xx→是集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，那么A B = （）A ．B ．{1}C ．或{2}D ．或{1}2.下列各组函数中, f(x)与g(x)是同一函数的是( ) A. f(x) = x －1, g(x)= x2x －1B. f(x) = x 2 , g(x) = (x)4C . f(x) = x 2, g(x) = 3x 6 D. f(x) = |x| , g(x) = 3x 33.与函数)1lg(10-=x y是同一函数的是 ( )A.1-=x yB.1-=x yC.112+-=x x y D .211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y 4．函数()f x 由下表定义若115,(),1,2,3,,n n a a f a n +===则2009a 的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．55．若函数(2)(2)()2(2)xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则(3)f -的值为（）（A ）18 （B ）12（C ）2 （D ）8 6. 对于函数)]([)(,)],([)()],([)(11)(1232x f f x f x f f x f x f f x f x x x f n n ===+-=+ ，设 X 2 5 3 1 4f(x) 1 2 3 4 5)2*,(≥∈n N n 且，令集合},)(|{2007R x x x f x M ∈==，则集合M 为（）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集7．已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为( )A ． 9B ．91C ．9-D ．91-8．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是（） A.（1-，1） B.（1-，∞+）C.（∞-，2-）⋃（0，∞+） D .（∞-，1-）⋃（1，∞+）9．设21)(,)0(2)0(232)(≥⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-x f x x x x f x 则的解集是（）A.),1[]21,(+∞--∞ B ．]21,1[-C ．),21[]1,(+∞--∞ D ．]1,21[-10．如图所示，阴影部分的面积S 是h 的函数)0(H h ≤≤，则该函数的图象是（）11.函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为（）A ． [1，3]B ．),3()1,(+∞⋃-∞C ．（1，3）D ．（1，2）∪（2，3） 12．函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ a ）（二）填空题13．若从集合P 到集合Q={a ，b ，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同映射共有个. 14．函数y =的定义域为 . 15.则x,y 的对应关系的一个表达式为y= ; 16．已知函数2(3)log f x =(5)f 的值是17．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 值是_________18. 函数y=x x 5.0log 4+-的值域是（三）解答题19. （本小题满分18分）已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f（I ）求)(x f 的值域；（II ）设函数]2,2[,2)(-∈-=x ax x g ，若对于任意],2,2[1-∈x 总存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，求实数a 的取值范围.20.（本题满分14分）函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+=(Ⅰ)求函数)(x g 的解析式；(Ⅱ)解不等式|1|)()(--≥x x f x g ；（Ⅲ）若1)()()(+-=x f x g x h λ在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围21．函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （12分）22.(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())().f f x x x f x x x -+=-+（I ）若(2)3f =,求(1)f ；又若(0)f a =,求()f a ；（II ）设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式.23、(本小题满分14分）已知函数1()||f x a x =-．（1）若()2f x x <在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若函数],[)(n m x f y 在=上的值域是[,]()m n m n ≠，求实数a 的取值范围.1－5DCDDA 6---10ABDDC 11-13DA13..64；14..(32,1]；15. x x y 22+=；16.32；17.3；18.),2[∞+-19、解：（I ）当)1,2[--∈x 时，x x x f 1)(+= 在)1,2[--上是增函数，此时)125[)(--∈x f 当)21,1[-∈x 时，2)(-=x f当]2,21[∈x 时，x x x f 1)(-= 在]2,21[上是增函数，此时]23,23[)(-∈x f ∴)(x f 的值域为]23,23[]2,25[--- ……………………………6 分（II ）（1）若0=a ，,2)(-=x g 对于任意]2,2[1-∈x ，]23,23[]2,25[)(1---∈ x f ，不存在]2,2[0-∈x 使得)()(10x f x g = 成立……………………9分（2）若当0>a 时， 2)(-=ax x g 在[-2，2]是增函数，]22,22[)(---∈a a x g 任给]2,2[1-∈x ，]23,23[]2,25[)(1---∈ x f ，若存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立，则]22,22[]23,23[]2,25[---⊆---a a ………………………………12分 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤=-23222522a a 47≥∴a ……………………………………14分（3）若0<a ，2)(-=ax x g 在[-2，2]是减函数，]22,22[)(---∈a a x g⎪⎩⎪⎨⎧≥---≤=23222522a a 47-≤∴a …………………………………16分综上，实数a 的取值范围是),47[]47,(+∞--∞ ………………………………18分20解：(Ⅰ)设函数)(x f y =的图象上任意一点),(00y x Q 关于原点的对称点为),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+020200y y xx ，即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上,① ∴,22x x y -=-即x x y 22+-=，故x x x g 2)(2+-=.………………4分(Ⅱ)由|1|)()(--≥x x f x g ，可得0|1|22≤--x x ,当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解② 当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤………………………8分因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………………………9分（Ⅲ）()()()21211h x x x λλ=-++-+ ………………………10分①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，1λ∴=- ………………………11分②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）当1-<λ时，111-≤+-λλ，解得1-<λ ………………………12分 ⅱ）当1->λ时，111≥+-λλ，解得01≤<-λ ………………………13分综上所述，0≤λ. ………………………14分 21．解：（1）①若1,012±==-a a 即1）当a =1时，6)(=x f ，定义域为R ，适合； 2）当a =－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不合 ②若6)1(3)1()(,01222+-+-=≠-x a x a x g a ，为二次函数)(x f 定义域为R ，R x x g ∈≥∴对0)(恒成立，11150)511)(1(110)1(24)1(901222<≤-⇒⎩⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-∴a a a a a a a ；综合①、②得a 的取值范围]1,115[-（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，20112-=<-∴x a 且,12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根, ⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<∴4023*******)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a =2. 22.【解析】（I ）因为对任意x R ∈有22(())()f f x x x f x x x -+=-+,所以22((2)22)(2)22f f f -+=-+,又(2)3f =,从而(1)1f = …2分若(0)f a =,则22(00)00f a a -+=-+,即()f a a =… …4分（II ）因为对任意x R ∈,有22(())()f f x x x f x x x -+=-+又有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,故对任意x R ∈,有20()f x x x x -+= ………6分在上式中令0x x =,有20000()f x x x x -+= ……8分又因为00()f x x =,所以2000x x -=,故0x =0或0x =1 … ……10分若0x =0,则2()f x x x =-,但方程2x x x -=有两个不相同实根,与题设条件矛盾,故00x ≠. 若0x =1,则有2()1f x x x =-+,易验证该函数满足题设条件.综上,所求函数()f x 的解析表达式为2()1f x x x =-+…… ………12分 23、解：（1）由条件可得：),1(21+∞<-在x xa 上恒成立即12(1,)a x x <++∞在上恒成立设1()2h x x x =+时()a h x <时在(1,)+∞上恒成立．∵'21()2h x x=-在(1,)+∞上'()0h x >恒成立，∴),1()(+∞在x h 单调增。

高考数学一轮复习讲义映射与函数课件人教大纲版

第二十三页，编辑于星期五：七点五十四分。
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量（单位：千瓦时）
低谷电价 (单位:元/千瓦时)
50及以下的部分超过50至200的部分
超过200的部分
0.288 0.318 0.388
假设某家庭5月份的顶峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，那么按这种计费方式该家庭本月应付的电费为元〔用数字作答〕.
1)=2x+17，求f〔x〕.
解 (1) 令21t,则 x 2 ,
x
t1
〔 2〕f( 设t)f 〔1 x〕g=a2 x+b, 〔af≠(0x 〕) ，l那么g2,x (1 ,) . 3f〔x+1〕-2f〔tx -1 1〕=3ax+3a+3b-2x ax +1 2a-2b
=ax+b+5a=2x+17，
〔2〕象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，
且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，
我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素
b的原象 . 2.函数
〔1〕函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关
系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.x
即3x2-x<0.
［10分］
解得0<x< 1 ,适合0<x<1.
故为保证本3 年度利润比上年有所增加，投入本钱增加
的比例x的取值范围是0<x< .
［12分］
函数的实际应用问1 题，要准确构建数学模型

高三数学一轮复习2.1映射函数及反函数课件理大纲人教

3.函数y=lg(1-x)(x＜0)的反函数是（）
（A）y=1-10x(x＞0)
（B）y=1-10x(x＜0)
（C）y=101-x(x＞0)
（D）y=101-x(x＜0)
【解析】选A.函数y=lg(1-x)(x＜0)的值域是（0,+∞)，排除
B、D，定义域是(-∞,0)，排除C.
4. （ 2010· 北京模拟）已知函数 f(x)=|x-1|-|x+1|. 如果
20 5 此时P与t的函数关系式为P= 1 t+2,0＜t≤20,t∈N;
5 当20＜t≤30,t∈N时，(t,P)是斜率为 5-6 的= -线1段上的点.
30-20 10
此时的函数关系式为P=- t+8,20＜t≤30,t∈N. 1 10
(2)根据表中的数据，设Q与t的一次函数关系式为
Q=at+b(a≠0)，
二、填空题（每小题3分，共9分）
6.（2010·上海模拟）函数f(x)=( 1 )x+b的反函数的图象过 2
点(3,-1)，则b=____.
【解析】由题意知函数f(x)过点(-1,3)，故f(-1)=( 1)-1+b=3,∴b=1.
2 答案：1
7.设f:x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,2}，则A∩B 等于____. 【解析】由已知可得集合A是集合{- ,-12 ,1, }的非2 空子集，则 A∩B= {1}. 答案： {1}
（D）{-3,0}
【解析】选B.x=-3时,|x|=3,x=0时,|x|=0,x=3时,|x|=3,
由映射的概念可知，{0,3} B,
故A∩B={0,3}或{-3,0,3}.

高考数学考点3 映射、函数及反函数练习-人教版高三全册数学试题

考点3 映射、函数及反函数1.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln （x-1）(x>1)的反函数是( )（A ）y=1x e+-1(x>0) (B)y=1x e -+1(x>0) (C) y=1x e +-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法.【思路点拨】运用求反函数的方法求解.【规X 解答】选D.y=1+ln （x-1），ln （x-1）=y-1,x-1=e 1-y ,所以反函数为y=1x e -+1 (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x ，y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域.本题注意指数式与对数式的互化.2.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（）（A ）211(0)x y e x +=->（B ）211(0)x y e x +=+> （C ）211(R)x y e x +=-∈（D ）y=112+-x e (x ∈R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法.【思路点拨】运用求反函数的方法求解.【规X 解答】选D.2y=1+ln （x-1），ln （x-1）=2y-1,x-1=e 1-2y ,所以反函数为y=112+-x e (x ∈R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反解x,即用y 表示x.(2)把x ，y 互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域.本题注意指数式与对数式的互化.3.（2010·某某高考文科·Ｔ3）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（）（A ）4 （B ）14（C ）-4（D ）-14 【命题立意】本题主要考查考生对函数概念的理解，考查考生的基本运算能力．【思路点拨】根据函数()f x 的解析式先求1()9f ，再次利用()f x 的解析式求1(())9f f . 【规X 解答】选B.由题意1()9f 31log 29==-，故1(())9f f =(2)f -=2124-=. 【方法技巧】分段函数求函数值时，一定要根据所给自变量的取值X 围找准适合哪一段的函数解析式，然后再代值求解.4.（2010·某某高考理科·Ｔ8）对任意不等于1的正数a ，函数f(x)=log (3)a x +的反函数的图像都经过点P ，则点P 的坐标是【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线y=x 的对称点．【规X 解答】)2,0(-．因为函数)3(log )(+=x x f a 的图像过定点)0,2(-，由反函数的性质可知，反函数的图像过定点)2,0(-．【答案】（0，-2）5.（2010·某某高考文科·Ｔ9）函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是．【命题立意】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质．【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数与x 轴的交点，再由反函数的性质找到关于直线y=x 的对称点即是反函数与y 轴的交点坐标．【规X 解答】)2,0(-．因为函数3()log (3)f x x =+的图像与x 轴的交点坐标为)0,2(-，由反函数的性质可知，反函数的图像与y 轴的交点坐标为)2,0(-．【答案】（0，-2）。

高考第一轮复习第05讲映射与函数

第五讲映射与函数一、映射的概念性问题例1、已知集合A ={1、2、3}，集合B ={4、5、6}，映射f ：A →B 且满足1的象是4，则从A 到B 的映射的个数是。

例2、(1)设f ：A →B 是A 到B 的一个映射其中},,|),{(R y x y x B A ∈== {)},,(),(:y x y x y x f +-→求A 中的元素（31，-）的象与B 中的元素（31，-）的原象；(2)已知集合}1|).{(=+=y x y x A 映射f ：A →B 点f 作用下，点)(y x ，的象为（y x 22，），则集合B 为（）A 、}0,0,2|).{(>>=+y x y x y xB 、}0,0,1|).{(>>=y x xy y xC 、}0,0,2|).{(><=+y x y x y xD 、}0,0,2|).{(>>=y x xy y x 例3、设M={a 、b 、c }，N{-1、0、1}（1）问从M 到N 的映射最多几个？（2）从M 到N 的映射满足)()()(c f b f x f ≥>，确定这样的映射N M f →:的个数。

例4、已知集合A =Z ，R C z n n x x B =∈+==},,12|{且A 到B 的映射是,12:-=x y f 从B 到C 的映射是：131:+→y y g ，则从A 到C 的映射是。

例5、设集合A ={a 、b 、c 、d }，B ={1、2、3}，从A 到B 建立映射f ，使8)()()()(=+++d f c f b f a f ，则满足条件的映射f 共有个。

二、函数的定义与反函数的问题例6、（1）下列函数f (x )与g (x )是否为同一函数1）f (x )=lgx 2与x x g lg 2)(=2）x x f =)(与x x x g 2)(=3）x x f =)(与2)(x x g =4）⎩⎨⎧∈--∈+=)1.0(,1)0.1(,1)(x x x x x f 与)()(1x f x g -=（2）函数b ax y +=与它的反函数是同一函数，则系数b a ,满足条件（） A 、0,1==b a B 、0,1=-=b aC 、0,1=±=b aD 、R b a b a ∈-===,10,1或（3）已知函数m x x x f +-=25)(的图象关于直线x y =对称，求实数m ；（4）证明函数)1(11≠--=a ax x y 的图象关于直线y =x 对称。

高考数学一轮知能训练第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念(含解析)-人教版高三全册

第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念1．(2015年某某)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2015年某某)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( ) A ．(2, 3) B ．(2, 4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．给定集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤4}，下列从P 到Q 的对应关系f 中，不是映射的是( )A ．f ：x →y ＝2xB ．f ：x →y ＝x 2C ．f ：x →y ＝52x D ．f ：x →y ＝2x 4．(2019年某某某某模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( )A ．(－2,0)B ．(－2,2)C ．(0,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 5．(2011年某某)若f (x )12log (21)x +f (x )的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)6．函数f(x)＝10＋9x－x2lg x－1的定义域为____________________．7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当0<x<2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝________.8．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)．(1)若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值X围是________；(2)若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值X围是________．9．已知映射f：P(m，n)→P′(m，n)(m≥0，n≥0)．设点A(1,3)，B(2,2)，点M是线段AB上一动点，f：M→M′.当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为( )A.π12B.π6C.π4D.π310．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数的解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5,9}的孪生函数共有( )A．9个 B．7个 C．5个 D．3个11．(多选)已知函数f(x)的定义域是A，值域是B＝[a，b]；g(x)的定义域是C，值域是D＝[c，d]，且实数a，b，c，d满足a<b，c<d.下列命题中，正确的有( ) A．如果对任意x1∈A，存在x2∈C，使得f(x1)＝g(x2)，那么B⊆D；B．如果对任意x1∈A，任意x2∈C，使得f(x1)>g(x2)，那么a>d；C．如果存在x1∈A，存在x2∈C，使得f(x1)＝g(x2)，那么B＝D；D．如果存在x1∈A，任意x2∈C，使得f(x1)>g(x2)，那么b>c.12．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)求x的取值X围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.第二章函数、导数及其应用第1讲函数与映射的概念1．D2．C 解析：由函数y ＝f (x )的表达式，可知函数f (x )的定义域应满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －4≤x ≤4，x >2，x ≠3.即函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]．故选C.3．C4．C 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x 2<1，－1<x －1<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <2，0<x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f (x －1)的定义域为(0,2)，故选C. 5．A 解析：log 12(2x ＋1)>0，∴0<2x ＋1<1，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 6．(1,2)∪(2,10] 解析：要使函数f (x )有意义，则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－9x －10≤0，x >1，x ≠2，解得1<x <2或2<x ≤10，∴函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．7．－18．(1)a ≥3 (2)0＜a ≤12解析：(1)f (x )＝x 2－2x 在[－1,2]上的值域为[－1,3]，而g (x )＝ax ＋2(a ＞0)在[－1,2]上单调递增，则g (x )＝ax ＋2的值域为[2－a,2a ＋2]．由题意，得[－1，3]⊆[2－a,2a ＋2]，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≤－1，2a ＋2≥3.解得a ≥3.(2)由题意，得[－a ＋2,2a ＋2]⊆[－1,3]，有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.又a ＞0，故0＜a ≤12. 9．B 解析：线段AB ：x ＋y ＝4(1≤x ≤2)，f ：P (m ，n )→P ′(m ，n )(m ≥0，n ≥0)．设P ′(x ，y )，则P (x 2，y 2)．有x 2＋y 2＝4(1≤x ≤2，y >0)，点M 的对应点M ′所经过的路线长度为如图D115所示的一段圆弧的长，2×⎝⎛⎭⎪⎫π3－π4＝π6.故选B.图D11510．A 解析：孪生函数有y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2，2}， y ＝2x 2＋1，x ∈{0，－2，±2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2，2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，2，±2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，±2，－2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，±2，2}，y ＝2x 2＋1，x ∈{0，±2，±2}，共9个．11．ABD 解析：A 选项，如果对任意x 1∈A ，存在x 2∈C ，使得f (x 1)＝g (x 2)，可得B ⊆D ，A 正确；B 选项，如果对任意x 1∈A ，任意x 2∈C ，使得f (x 1)>g (x 2)，即f (x )的值域B ＝[a ，b ]的最小值大于g (x )值域D ＝[c ，d ]的最大值，可得a >d ，B 正确；C 选项，取f (x )的值域B ＝[1,3]，g (x )的值域D ＝[2,4]，此时满足存在x 1∈A ，存在x 2∈C ，使得f (x 1)＝g (x 2)，但B ≠D ，C 错误；D 选项，如果存在x 1∈A ，任意x 2∈C ，使得f (x 1)>g (x 2)，即f (x )的值域B ＝[a ，b ]的最大值大于g (x )的值域D ＝[c ，d ]的最小值，可得b >c ，D 正确．故选ABD.12．解：(1)∵当x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1(g (x ))＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。

高考数学(全国文理通用)一轮复习：大纲版考点3 映射、函数及反函数

考点3 映射、函数及反函数一、选择题1.（2011·全国高考理科·Ｔ2）函数0)y x =≥的反函数为（）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解，用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域.【精讲精析】选B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.2．（2011·全国高考文科·Ｔ2）函数0)y x =≥的反函数为（）（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解，用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域.【精讲精析】选B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥. 二、填空题3.（2011·上海高考理科·T1）函数1()2f x x =-的反函数为1()f x -= .【思路点拨】本题主要考查求已知函数的反函数问题，解决此类问题的关键是理解原函数与其反函数的性质与图像之间的关系，准确求出原函数的反函数.【精讲精析】由已知函数1()2y f x x ==-，整理得(2)1,21,12,y x yx y yx y -=-==+即两边同除以(0)y y ≠，得1+2y x y=，即112()(0)xf x x x-+=≠. 【答案】112()(0)xfx x x-+=≠ 4.（2011·上海高考文科·T3）若函数()21f x x =+的反函数为1()fx -，则1(2)f --= .【思路点拨】本题主要考查求已知函数的反函数问题，解决此类问题的关键是理解原函数与其反函数的性质与图像之间的关系，准确求出原函数的反函数.【精讲精析】方法一：13((2))221,2f f x x --=-=+⇒=-故13(2)2f --=-；方法二：11()2x f x --=，故13(2)2f --=-.【答案】32-5.（2011·四川高考理科·Ｔ16）函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如，函数()()21f x x x R =+∈是单函数.下列命题： ①函数()()2f x xx R =∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则()()12f x f x ≠； ③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈,它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数. 其中的真命题是_________.（写出所有真命题的编号）. 【精讲精析】【答案】②③6.（2011·四川高考文科·Ｔ16）函数()f x 的定义域为A,若12,x x ∈A ，且()()12f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数.例如()()21f x x x R =+∈是单函数，下列命题： ①函数2()f x x=()x R ∈是单函数；②指数函数()2()xf x x R =∈是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是（写出所有真命题的编号）. 【精讲精析】【答案】②③④关闭Word文档返回原板块。

高三第一轮复习数学函数同步和单元试题11套

2.1 映射与函数、函数的解析式一、选择题：1．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是（）A ．2:x y x f =→ B ．23:-=→x y x f C ．4:+-=→x y x f D ．24:x y x f -=→2．若函数)23(x f -的定义域为[－1，2]，则函数)(x f 的定义域是（）A ．]1,25[--B ．[－1，2]C ．[－1，5]D ．]2,21[3，设函数⎩⎨⎧<≥-=)1(1)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（）A ．0B ．1C ．2D ．24．下面各组函数中为相同函数的是（） A ．1)(,)1()(2-=-=x x g x x fB ．11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f C ．22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f D ．21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f5. 已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是( )(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 6．有下述对应：①集合A=R ，B=Z ，对应法则是⎩⎨⎧<-≥=→)0(1)0(1:x x y x f ，其中A x ∈，B y ∈.②集合A 和B 都是正整数集N *，对应法则是|1|:-=→x y x f ，A x ∈，B y ∈.③集合},2|{},|{Z k k y y B Z x x A ∈==∈=，对应法则是x y x f 2:=→. ④集合x x A |{=是三角形}，}0|{>=y y B ，对应法则是x y x f =→:的面积.则其中是集合A 到集合B 的映射的是，是集合A 到集合B 的一一映射的是7．已知定义在),0[+∞的函数⎩⎨⎧<≤≥+=)20()2( 2)(2x xx x x f 若425)))(((=k f f f ，则实数=k 8．已知)(x f 是二次函数，且满足)(,2)]([24x f x x x f f 求-=.9．已知b a a x bx x f ,(21)(++=是常数，2≠ab ），且k xf x f =)1()(（常数），（1）求k 的值；（2）若a kf f 求,2))1((=、b 的值.10．如图，在单位正方形内作两个互相外切的圆，同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切，记其中一个圆的半径为x ，两圆的面积之和为S ，将S 表示为x 的函数，求函数)(x f S =的解析式及)(x f 的值域.2.2函数的定义域和值域1．已知函数xxx f -+=11)(的定义域为M ，f[f(x)]的定义域为N ，则M ∩N= . 2.如果f(x)的定义域为(0,1)，021<<-a ，那么函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域为 .3. 函数y=x 2-2x+a 在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= .4．已知函数f(x)=3-4x-2x 2,则下列结论不正确的是（） A ．在（-∞，+∞）内有最大值5，无最小值 B ．在[-3，2]内的最大值是5，最小值是-13C ．在[1，2）内有最大值-3，最小值-13D ．在[0，+∞）内有最大值3，无最小值5．已知函数1279,4322+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（）A ．p ⊂QB ．P=QC ．P ⊃QD ．以上答案都不对6．若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．]43,0(B ．)43,0( C ．]43,0[ D ．)43,0[7．函数])4,0[(422∈+--=x x x y 的值域是（）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，2]8.若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=的定义域是( )A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]31,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)9．求下列函数的定义域：①12122---=x x x y ②5)4)(3)(2)(1(-----=x x x x x y③xy ++++=111111110．求下列函数的值域： ①)1(3553>-+=x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y④x x y 21-+= ⑤422+-=x x xy11．设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值. 12．若函数12)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，求a 的值.2.3函数的单调性1．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（）A ．y=x 2－2B ．y=x3 C ．y=x --21 D ．2)2(+-=x y2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（）A ．y=－x1 B ．y=－(x －1) C ．y=x 2－2D ．y=－|x |3．函数)(2∞+-∞-=，在x y 上是（）A ．增函数B ．既不是增函数也不是减函数C ．减函数D ．既是减函数也是增函数 4．若函数f(x)是区间[a,b]上的增函数，也是区间[b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,b]上是（）A ．增函数B ．是增函数或减函数C ．是减函数D ．未必是增函数或减函数5．已知函数f(x)=8+2x-x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( )A.在区间（-1，0）上单调递减B.在区间（0，1）上单调递减C.在区间（-2，0）上单调递减D 在区间（0，2）上单调递减6．设函数),2(21)(+∞-++=在区间x ax x f 上是单调递增函数，那么a 的取值范围是（）A ．210<<aB ．21>a C ．a<-1或a>1 D ．a>－27．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（）A ． [－8，+∞）B ．[8，+∞）C ．（－∞，－ 8]D ．（－∞，8] 8．如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(4-t)=f(t),那么（）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1)9．若函数34)(3+-=ax x x f 的单调递减区间是)21,21(-，则实数a 的值为 . 10．(理科)若a >0，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.11．设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，（I ）求证：当且仅当a ≥1时，f (x )在),0[+∞内为单调函数；（II ）求a 的取值范围，使函数f (x )在区间),1[+∞上是增函数.2.4 函数的奇偶性1．若)(),()(12x f N n x x f n n则∈=++是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数或偶函数D ．非奇非偶函数2．设f(x)为定义域在R 上的偶函数，且f(x)在)3(),(),2(,)0[f f f π--∞+则为增函数的大小顺序为（）A ．)2()3()(->>-f f f πB ．)3()2()(f f f >->-πC ．)2()3()(-<<-f f f πD ．)3()2()(f f f <-<-π3．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是（） A ．)1()43(2+-≥-a a f fB ．)1()43(2+-≤-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不成立4．函数f (x )、f (x +2)均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设),21(log 8f a =b=f (7.5)，c= f (－5)，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a >b>c B ．a > c > b C ．b>a > cD ．c> a >b5．下列4个函数中：①y=3x －1，②);10(11log ≠>+-=a a xx y a 且 ③123++=x x x y ， ④).10)(2111(≠>+-=-a a a x y x 且其中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A ．①B ．②③C ．①③D ．①④6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足：)(1)2(x f x f -=+，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（）A ．5.5B ．－5.5C ．－2.5D ．2.57．设偶函数f (x )在),0[+∞上为减函数，则不等式f (x )> f (2x+1) 的解集是 8．已知f (x )与g (x )的定义域都是{x|x ∈R ，且x ≠±1}，若f (x )是偶函数，g(x )是奇函数，且f (x )+ g(x )=x-11，则f (x )= ，g(x )= . 9．已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数f (x )是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若f (－3)=0，则不等式)(x f x<0的解集是 . 10．设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足f (－a 2+2a －5)<f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围.2.5 反函数1、下列函数中，有反函数的是（） A ．y =3 +52+xB ．y =2123+-xC ．y =112+xD ．y= ⎪⎩⎪⎨⎧<≥-)0(3)0(32x x x x2、设点(a ，b)在函数y=f(x)的图象上，那么y= f －1(x)的图象上一定有点（）A ．(a, f －1(a) )B ．(f －1(b)，b)C ．( f －1(a)，a)D ．(b, f －1(b))3、若f(x －1)= x 2－2x+3 (x ≤1)，则f －1(4)等于（） A ．2B ．1－2C ．－2D ．2－24、与函数y=f(x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（）A ．y=－f(x)B ．y= f －1(x)C ．y =－f －1(x)D ．y =－f －1(－x)5、函数f(x)=1-x +2 (x ≥1)的反函数是（）A ．y= (x －2)2+1 (x ∈R) B ．x= (y －2)2+1 (x ∈R)C ．y= (x －2)2+1 (x ≥2)D ．y=(x －2)2+1 (x ≥1) 6．函数)(x f y =有反函数)(1x fy -=，将)(x f y =的图象绕原点顺时针方向旋转90°后得到另一个函数的图象，则得到的这个函数是（）A ．)(1x fy -= B ．)(1x fy --= C ．)(1x fy -=- D ．)(1x fy --=-7．若点（4，3）既在函数b ax y ++=1的图象上，又在它的反函数的图象上，则函数的解析式8、若函数f(x)存在反函数f －1(x)，则f －1(f(x))=____ ； f(f －1(x))=______. 9．关于反函数给出下述命题：① 若)(x f 为奇函数，则)(x f 一定有反函数. ② 函数)(x f 有反函数的充要条件是)(x f 是单调函数.③ 若)(x f 的反函数是)(x g ，则函数)(x g 一定有反函数，且它的反函数是)(x f ④ 设函数)(x f y =的反函数为)(1x fy -=，若点P （a ，b ）在)(x f y =的图象上，则点),(a b Q 一定在)(1x fy -=的图象上.⑤若两个函数的图象关于直线x y =对称，则这两个函数一定互为反函数. 则其中错误的命题是 10、己知f(x)=2)11(+-x x (x ≥1) ①求f(x)的反函数f －1(x)，并求出反函数的定义域； ②判断并证明f －1(x)的单调性. 11．已知函数(),,y f x x A y C =∈∈存在反函数1()y f x -=，（1）若()y f x =是奇函数，讨论1()y fx -=的奇偶性；（2）若()y f x =在定义域上是增函数，讨论1()y f x -=的单调性．2.6 .指数式与对数式1．若∈n N *，则=+-+++----12412411n n n n （）A ．2B ．n-2C ．n-12D ．n22-2．若)3log 4log 4log 3log ()3log 4(log 3log log 433424349+-+=⋅x ，则=x （）A ．4B ．16C ．256D ．813. 已知2lg(x －2y)=lgx+lgy ，则y x 的值为（）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-14．已知13x x -+=，A =1122x x -+，B =3322x x -+，则,A B 的值分别为（）A．±B．±C．D，5．设1643>===t zyx，则11z x -与12y的大小关系为（） A ．1112z x y-< B ．1112z x y-= C ．1112z x y-> D ．11z x -与12y的大小关系不确定 6．计算：()0.7522310.25816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_____________7．计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++= .8．已知18log 9a =，185b=，则36log 45用 a , b 表示为 . 9．计算=+⋅+3log 22450lg 2lg 5lg .10．已知44221)31)(21(,31aa a a aa a a aa +++++=+求的值.2.7 .指数函数与对数函数1．当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是（）A ．a a aaa a >> B ．a aa aa a >>C ．aa a a aa>>D ．aa aaa a>>2．已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（）A ．11()(2)()43f f f >>B ．11(2)()()34f f f >>C ．11()()(2)43f f f >>D ．11()(2)()34f f f >>3．函数)2(xf y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[2，4]D ．[4，16]4．若函数)2,3()(log )(321---=在ax x x f 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[9，12]B ．[4，12]C ．[4，27]D ．[9，27]5．若()()25log 3log 3xx-≥()()25log 3log 3yy---，则（）A ．x y -≥0B ．x y +≥0C ．x y -≤0D ．x y +≤06．若定义在(—1，0)内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足)(x f ＞0，则a 的取值范围是 7．若1)1(log )1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 . 8．已知函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a xax x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是 . 9．已知函数)10,1)(lg()(<<>-=b a b a x f x x ，（1）求)(x f 的定义域；（2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？（3）当a 、b 满足什么条件时)(x f 恰在),1(+∞取正值.10．求函数)(log )1(log 11log )(222x p x x x x f -+-+-+=的值域.11．在函数)1,1(log >>=x a x y a 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m 、2+m 、4+m ，若△ABC 的面积为S ，求函数)(m f S =的值域.12．已知函数)10)(1(log )1(log )(≠>--+=a a x x x f a a 且（1）讨论)(x f 的奇偶性与单调性；（2）若不等式2|)(|<x f 的解集为a x x 求},2121|{<<-的值；（3）求)(x f 的反函数)(1x f-；（4）若31)1(1=-f，解关于x 的不等式∈<-m m x f ()(1R ）.2.8 .二次函数1．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（）A ．34B ．43 C ．98 D ．89 2．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两个实数根，则2221x x +的最大值为（）A ．19B ．18C ．955D ．不存在3．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)4．设二次函数f (x )，对x ∈R 有)21()(f x f ≤=25，其图象与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f (x )的解析式为5．已知二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为 6．一元二次方程02)1(22=-+-+a x a x的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是7．已知二次函数∈++=c b a c bx ax x f ,,()(2R ）满足,1)1(,0)1(==-f f 且对任意实数x 都有)(,0)(x f x x f 求≥-的解析式. 8．a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2)(的最小值是－1，最大值是1. 求使函数取得最大值和最小值时相应的x 的值. 9．已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]上的最大值是－5，求a 的值.10．函数)(x f y=是定义在R 上的奇函数，当22)(,0x x x f x -=≥时，（Ⅰ）求x <0时)(x f 的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当)(,],[x f b a x 时∈的值域为]1,1[ab ？若存在，求出所有的a ，b 的值；若不存在，说明理由.11．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示。

2020年高考数学一轮复习《映射与函数》

2020年高考数学一轮复习第二章函数《映射与函数》函数八字图方程不等式函数性质图像本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.第一节映射与函数考纲解读1、了解函数的构成要素，了解映射的概念.2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.3、了解简单的分段函数，并能简单应用.命题趋势探究有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2020年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主.知识点精讲1、映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f，对A中的任何―个元素x，在B中有且仅有一个元素y与之对应，则称f是集合A到集合B的映射.注由映射的定义可知，集合A到集合B的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素，即可以一对一，也可多对一，但不可一对多.注象与原象如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫a的象．记作b＝f(a),a叫b的原象．A的象记为f(A)2、一一映射设A，B是两个集合，f是A到B的映射，在这个映射下，对应集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，且集合B中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f为A→B 的一一映射.注由一一映射的定义可知，当A，B都为有限集合时，集合A到集合B的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A与集合B 中的元素个数相等.3、函数设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注函数即非空数集之间的映射注构成函数的三要素构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.题型归纳及思路提示题型10 映射与函数的概念思路提示判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射. 例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合BA ①②B .③④C .①③D .②③④解析由映射的定义可知, ①集合A 中任一元素在B 中必须有象且唯―是正确的；集合A 中元素的任意性与集合B 中元素的唯一性构成映射的核心，显然②不正确，“一对多”不是映射；③因A 在对应法则f 下的值域C 是B 的子集，所以③正确；④不正确，象的集合是集合B 的子集，并不一定为集合B ．故选C变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应[]2(1):1,2,0;p x x a ∀∈-≥(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f ：:x →y 是x 的外接圆；（4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :：x →y 是x 的内接矩形其中能构成映射的是_______分析判断一个对应是不是映射，应紧扣映射定义，即在对应法则下，对应集合A 中的任一元素在B 中能否都有唯一的象.解析在（1）中，元素0在B 中没有象，不满足“任意性”，因此，（1）不能构成映射。

高三数学高考知识点映射复习题

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.高三数学高考知识点映射复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下图分别为集合到集合的对应，其中，是从到的映射的是（）．A. （）（）B. （）（）（）C. （）（）（）D.（）（）（）（）2．设集合 P {x | 0 x 6} ， M {y | 0 y 3} ，则下列表示 P 到 M 的映射的是（）A. f : x y 2 x 3B. f : x y x2 x 2x 2C. f : x y x 10 1D. f : x y 1 x 2253．已知集合 A 到 B 的映射 f : x y x2 1 ，那么集合 B 中象 5 在 A 中对应的原象是( )A. 26 B. 2 C. 2 D. 24．下列各图表示两个变量 x、y 的对应关系，则下列判断正确的是 A. 都表示映射，都表示 y 是 x 的函数 B. 仅③表示 y 是 x 的函数 C. 仅④表示 y 是 x 的函数 D. 都不能表示 y 是 x 的函数 5．给出下列四个对应，其中构成映射的是(1) A. (1)、（2）(2) B. （1）、（4）(3)(4)C. （1）、（3）、（4）D. (3) 、(4)6．已知集合，，则从到的映射满足（）A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个7．下列对应不是映射的是（）．，则这样的映射共有A.B.C.D.1word 版本可编辑.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.8．已知映射 f : A B ，其中 A a,b, B 1, 2 ，已知 a 的象为 1，则 b 的象为（）A. 1 或 2 B. 1 和 2 C. 2 D. 无法确定9．若点 x, y 在映射 f 下对应的点是 2x y, x 2y ，则在映射 f 下对应的点为 5,5 的点是（） A. 1,3 B. 3,1 C. 5,15 D. 15,510．设集合（）．，集合，下列对应关系中是从集合到集合的映射的是A.B.二、解答题C.D.11．已知 A a,b,c ， B 2,0,2 ，映射 f : A B 满足 f a f b f c ，求满足条件的映射的个数． 12．已知 A＝B＝R，x∈A，y∈B 对任意 x∈A，x→y＝ax＋b 是从 A 到 B 的函数，若输出值 1 和 8 分别对应的输入值为 3 和 10，求输入值 5 对应的输出值. 13．已知(x，y)在映射 f 的作用下的像是(x＋y，xy)． (1)求(－2,3)在 f 作用下的像； (2)若在 f 作用下的像是(2，－3)，求它的原像． 14．已知集合 A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射 f：A→B 使 A 中元素 x 和 B 中元素 y＝2x 对应，求实数 m 的值．15．已知 (x, y) 在映射 f 的作用下的像是 (x+y, xy) ，求 (3,5) 在 f 作用下的像和(3, -4) 在 f 作用下的原像.（12 分）16．设 f 是从集合 M {a, b, c, d} 到 N {0,1,2} 的映射：（1）不同的映射 f 有多少个；（2）若 f (a) f (b) f (c) f (d) 4 ，2word 版本可编辑.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.（3）如果 N 中的每一个元素在 M 中都有原象，则这样的映射 f 有多少个？三、填空题17．已知对应 A=_______．是集合 A 到集合 B 的映射，若集合，则集合18．已知函数 y f (x) ( x R )的图象如图所示，则不等式 xf ' (x) 0 的解集为________.19．已知 f : x x2 是集合 A 到集合 B={0,1,4}的一个映射，则集合 A 中的元素最多有_______个．20．已知集合 A 1,0,1 ， B 0,1 ，那么从 A 到 B 的映射共有__________个．3word 版本可编辑.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.1．A参考答案【解析】（）（）中的每一元素满足在中有唯一确定的元素和它们相对应，故（）是映射，（）中元素在中有两个元素和它对应，不满意映射定义，故（）不是映射，（）中元素在中有两个元素和它对应，且元素无元素和它对应，故（）不是映射．故选．2．C【解析】当 0 x 6 时，所以 y 2 x0, 4 ；x2 x y x 0,1 1,3 ；32x 2 2yx 10 10,3 ，y 1 x 2250,16 5 ，所以选 C.3．D【解析】 x2 1 5 ，解得 x 2 ，故选 D.4．C 【解析】根据函数的定义可知，仅④表示 y 是 x 的函数．故选 C． 5．B【解析】映射是一一对应或者多对一对应,(1),(4)符合,故选 . 6．B 【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中 f（3）=3，可得 f（1）和 f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若 f（3）=3，则 f（1）=3 或 f（1）=4； f（2）=3 或 f（2）=4；故这样的映射的个数是 2×2=4 个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题 7．D1word 版本可编辑.欢迎下载支持.文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【解析】选项 A,B,C 中的对应满足映射的条件，即集合 M 中的元素具有任意性、集合 N 中的元素具有唯一性。

高考第一轮复习经典题型映射与函数 (含祥细解答)

映射与函数内容提要：一、你对映射的概念了解了吗？映射 f ：A → B 中，你是否注意到了A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性？哪几种对应能够成映射？注：映射是一种特殊的对应，映射中的集合A 、B 可以是数集，也可以是点集或其它集合；映射包括集合A 、B以及从A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可，对于一个从A 到B 的映射来说，A 中的每一个元素必有唯一的象，但B 中的每一个元素却不一定有原象，如果有，也不一定只有一个，亦即映射可以“多对一”，但不能“一对多”.二、函数的有关概念你理解了吗？，什么是函数的定义域？求函数的定义域的思路怎么样？你按要求把函数的定义域写成集合（或区间）的形式了吗？1、设B ,A 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称 B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 A x ,x f y ∈=)(（其中A 为函数的定义域，B 或B 的某一子集为函数的值域）．2、求函数的定义域要注意如下思路与方法 ( 注：函数的定义域与值域都要写成集合或区间的形式. )：⑴ 如果只给出函数的解析式（不注明定义域）其定义域应指的是：使解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常可以通过解不等式（或不等式组）求得函数的定义域 .⑵ 如果函数是由实际题问确定的，这时应根据自变量的实际意义确这其取值范围 . ⑶ 对于含有字母参数的函数，求其定义域，必须对字母参数分类讨论 .⑷ 对于复合函数求定义域问题，其一般步骤是：先确定()f x 的定义域 [ a ，b ]，则复合函数 f [g ( x ) ] 的定义域应由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 解出x 即得 . 三、求函数值域和最值有那些基本方法？你都掌握了吗？注：函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域均应考虑其定义域；求函数值域和最值的基本方法有：⑴ 配方法：这是求二次函数类值域最基本的方法，一般地，象 F ( x ) = a [f ( x )] 2 + b f ( x ) + c 的函数的值域问题，均可用配方法 .⑵ 分离常数法：求形如 (0)c x dy a a x b+=≠+的函数的值域可用此法 .⑶ 判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程 F ( x ，y ) = 0，通过方程有实根，判别式 △ ≥ 0 ，从而求得原函数的值域；形如 211122222(,1a x b x c y a a a x b x c ++=++不同时为0 ）的函数的值域常用此法⑷ 换元法：运用代数或三角代换，将所给函数转化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域；形如 ( , , , 0 )y a x b c x d a b c d ab =+±+≠均为常数,且的函数常用此法求值域 .⑸ 不等式法：利用基本不等式：32, 3a b a b a b c abc +≥++≥，求函数的值域；用此法求函数值域时，要注意条件“一正、二定、三相等 ”.⑹ 函数单调性法：确定函数在定义域（或定义域某个子集上）的单调性质求出函数的值域；如：求函数 2254x y x +=+的值域可用此法 .⑺ 数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法来求函数的值域 .四、求函数的解析式有那些类型与方法？求出一个函数的解析式后你注明函数的定义域了吗？函数的解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁，求函数的解析式主要有如下五种基本类型：⑴ 已知 f ( x ) 和 g ( x )，求 f [ g ( x ) ]；常用“代入法”.⑵ 已知 f [ g ( x ) ] 和 g ( x )，求 f ( x )；常用 “配凑法”或“换元法”. ⑶ 已知 f ( x ) 的形式，求 f ( x )；常用“待定系数法”. ⑷ 在实际问题中，根据函数的定义求函数的解析式 . ⑸ 已知 f ( x ) 所满足的部分性质，确定 f ( x ) 的解析式 .一、基础过关1、已知集合 A = { x | 0 ≤ x ≤ 6 }，B = { y | 0 ≤ y ≤ 3 }，则下列对应关系中，不能．．看作从A 到B 的映射的是：111.:.:.:.:236A f x y xB f x y xC f x y xD f x y x →=→=→=→=2、给出：（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=±．上述三个对应中是A 到B 的映射．3、设 f ：x → x 2 是集合A 到集合B 的映射，如果B = { 1，2 }，则A ∩B 只可能是：A ． φB ． { 1 }C ． φ 或 { 1 }D ． φ 或 { 2 }4、给出下列3个命题：① 映射：B A f →:是函数，则A 叫做函数的定义域，B 叫做函数的值域； ②x x x f -+-=34)( 是函数；③ 函数3 ()y x x Z =∈的图象是一条直线。

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高三第一轮复习高考试题大盘点——映射与函数
1.(99年全国理农医)已知映射f ：B A →，其中，集合{},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是A A .. 4 B . 5 C. 6 D . 7
2.(04年湖北理)已知)(,11)11(22x f x
x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ C ） A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x
x +- 3.( 04浙江理)若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程
0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．
是D A.512-
+x x B.512++x x C.512-x D.512+
x 4.（03年全国文史）已知==)2(,lg )(5f x x f 则（ D ）
A ．2lg
B ．32lg
C ．32
1lg D ．2lg 51 5.若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是 A
A ．（０，21）Ｂ．（０，21] Ｃ．（2
1，＋∞）Ｄ．（０，＋∞） 6.（01年春招理农医）函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y
x ,都有C
A .)()()(y f x f xy f = B.)()()(y f x f xy f += C .)()()(y f x f y x f =+ D .)()()(y f x f y x f +=+
7.（01年春招理农医）已知x x f 26log )(=，那么)8(f 等于D
A.34
B.8 C .18 D.2
1
8.(02年天津理农医)已知10<<<<a y x ，则有D
A.0)(log <xy a
B.1)(log 0<<xy a
C.2)(log 1<<xy a
D.2)(log >xy a
9.( 03春招理农医)若x x x f 1)(-=
，则方程x x f =)4(的根是( A ) A ．21 B ．－2
1 C ．
2 D ．－2 10.(04年重庆文史)函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2
f f =（ B ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．35
- 11.(04年全国理)设函数))((R x x f ∈为奇函数，),
2()()2(,21
)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ C ）
A ．0
B ．1
C ．2
5 D ．5 12.（04年北京理）函数f x x x P x x M
(),,=∈-∈⎧⎨⎩，其中P 、M 为实数集R 的两个空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：
①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅
②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅
③若P M R ⋃=，则f P f M R ()()⋃=
④若P M R ⋃≠，则f P f M R ()()⋃≠
其中正确判断有（ B ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
13.(04年理农医)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1
,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ A ）
A ．(][]10,02, -∞-
B ．(][]1,02, -∞-
C ．(][]10,12, -∞-
D ．[]10,1]0,2[ -
14.（04年湖南理）设函数,2)2(),0()4(.
0,2,0,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
15.（04年湖北文）若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x
、
三、四象限，则一定有（ C ）
A ．010><<b a 且
B ．01>>b a 且
C ．010<<<b a 且
D ．01<>b a 且 16.（04年江苏）若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（ A ）
A ．a =2,b=2
B ．a = 2 ,b=2
C ．a=2,b=1
D ．a= 2 ,b= 2
17.(04年全国文)已知函数kx y x y ==与4
1log 的图象有公共点A ，且点A
的横坐标为2，则k =（ A ）
A ．41-
B .41
C ．2
1- D ．21 18.（03年全国理）设函数的取值范围是则若0021
,1)(,.
0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-（ D ）
A ．（－1，1）
B ．（－1，+∞）
C ．),0()2,(+∞⋃--∞
D ．),1()1,(+∞⋃--∞
19.(02年天津理农医)已知函数2
2
1)(x x x f +=，那么 =++++++)4
1()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ___27_____。

20.(95年全国理农医)不等式x
28x 3)31(2-->的解集是__ (2,4)________
21.（ 03年全国理）使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是（-1，
0）
22.(04年全国文史)
解方程:.012242=--+x x
本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识. 满分12分.
解：.012)2(4)2(2=--x x
.0)22)(62(=+-x x
22.62-==x x （无解）. 所以.6log 2=x
23.(04年理农医)解方程:11214=-+x x
本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.
解：当0,021≤≥-x x 即时，原方程化为 ,11124=+-x
x ,4
41)212(2=-x 解得 .241212±=x ,0241212<-=x 无解. 由,012
41212>>+=x x 知舍去. 当 0,021><-x x 即时，原方程化为 ,11124=-+x x
,4
49)212(2=+x 解得 ,27212±-=x ,027212<--=x 无解. ,2
7212+-=x .3log .
03log 22=>=x x 故原方程的解为。