一类可用初等积分法求解的Riccati方程

Ｒｉｃｃａｔｉ 方程可用初等积分法求解， 这对于研究其
解的性质无疑将带来方便。
１． 方程（ １） 的性质
性质 １ 如果已知 ｙ１ 是方程（ １） 的一个特解，
则 方 程（ １） 的 通 解 为 ｙ＝ｙ１＋Ｙ， 其 中 Ｙ 是 Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ
方程 Ｙ′＝Ｐ（ｘ）Ｙ２＋［ ２ｐ（ｘ）ｙ１＋ｑ（ｘ）］ Ｙ 的通解。
ｍ２
－
ｙ２＋ｘ
４ ３
。
８１
以上四个特例， 实质是方程（ ３） 中令 ｐ（ｘ）＝Ｐ 使
Ｒｉｃｃａｔｉ 方程成为最简单情形：
ｙ′＝Ｐｙ２＋ｘ!（ Ｐ≠０）
（ ４）
即讨论了方程（ ４） 可用初等积分求解的可能性。这
里 只 求 出 了 ! 取 四 个 特 定 数 值 ， 而 且 当 !＝－ ４，
!＝－
４ ３
① ｙ′＝ｋｘ!ｙ２＋ｘ!
（ｋ≠０）
② ｙ′＝ｋｘ－ !－２ｙ２＋ｘ!
（ｋ≠０）
③ ｙ′＝－ ｍ２（!＋１）４ｘ－３!－４ｙ２＋ｘ! （ｍ≠０，!≠－ １）
④ ｙ′＝（ !２＋２! ｘ － ! －２ ＋ｋｘ －!） ｙ２ ＋ｘ! ４
（ ｋ与
!２＋２! 不同时为 ０） ４
⑤ ｙ１＝（ !２＋２! ｘ－ !－ ２－ ｍ２ｘ－!－ ４） ｙ２＋ｘ! ４
京： 人民教育出版社， １９６３．６７～６８． ２．高仁（ 主编） ．常微分方程［Ｍ］．武汉： 湖北科技
出版社， １９９４． ３．李明曙， 杨守昌（ 编译） ．常微分方程解指 南
［Ｍ］．合肥： 安徽大学出版社， １９８１．
— ８６ —
Ｒｉｃｃａｔｉ
方程
ｄｙ
２
＝ｐ（ｘ）ｙ ＋ｑ（ｘ）ｙ＋ｒ（ｘ）
ｄｘ
（其 中 ｐ（ｘ）"０） （ １）
是形式上很简单的一阶非线性方程， 法国数学家
Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ 曾 于 １９４１ 年 就 已 证 明 除 某 些 特 殊 情 形
外， 方程一般不能用初等积分法求解。通常是用幂
级数展开式求解。尽管如此， 仍有许多特定的
性 质 ２ 如 果 已 知 ｙ１、ｙ２ 是 方 程（ １） 的 两 个
特解， 则方程（ １） 的通解为：
ｙ－ ｙ ＝ｃｅ １
。 － #ｐ（ｘ）（ｙ２－ ｙ１）ｄｘ
ｙ－ ｙ２
性质 ３ 如果方程（ １） 中 ｐ（ｘ）∶ｑ（ｘ）∶ｒ（ｘ）＝ｍ：
ｎ：ｐ（ｍ、ｎ、ｐ 为常数）， 则方程（ １） 的通解为：
# # １
解：（ １）
属形式②
!＝－
１ ２
，
ｋ＝
１ ８
有特解，
１
ｙ１＝
４ｘ ２ １＋ｃｏｔ（ １
。 ｌｎｘ）
４
（ ２） 属形式③
取 !＝－ ３ 有特解
ｙ１ ＝
１ ４ｍｘ４－ ２ｘ２
。
（ ３） 属形式④ 取 !＝－ １， ｋ＝１ 有特解
ｙ１ ＝
２ ２ｘｃｏｔｘ －
１
。
（ ４） 属形式⑤
取 !＝－ １
有特解
ｙ１＝
（ ２）
如果有些方程（ １） 在变换为方程（ ２） 过程中 ｒ（ｘ）≡０ ，
此时
ｙ１
＝
ｑ（ｘ） ２ｐ（ｘ）
就
是
（
１）
的一个特解，
而且相应的
Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ 方程为 ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２， 再由性质（ １） 即可求出通
解。本文对方程（ ２） 讨论时规定 ｒ（ｘ）"０ 可以证明性质
１、２、３、４ 对方程（ ２） 仍成立， 只要令 ｑ（ｘ）"０ 且在性
１） ， 整理
为 Ｙ′＝ｒ（ｘ）Ｙ２－ ｑ（ｘ）Ｙ＋ｐ（ｘ）， 再把 Ｙ 改写成 ｙ 即可。
同理可证， 如果 ｙ′＝ｒ（ｘ）ｙ２－ ｑ（ｘ）ｙ＋ｐ（ｘ）可用初等
积分法求解， 则 ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋ｑ（ｘ）ｙ＋ｒ（ｘ）也可用初等积
分法求解。
２． 方程（ １） 的简单形式
对于（ １） 作恒等变形为
$ % $ %& $ %’ ｙ＋
（ 长江大学教育学院 湖北 荆州 邮编： ５３４０００） 摘 要： 先对 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的性质、形式作一般介绍， 然后给出一类可用初等积分法求解的 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程的具体形式， 并举例给出结果和加以讨论。 关键词： Ｒｉｃｃａｔｉ 方程 初等积分法 中图分类号： Ｏ２４１．８ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００６－ ９４１０（ ２００６） ０４－ ０２
２ｘ ｘ＋ｍ
。
再把各题的特解代入性质（ １）（ 或（ ２） ） 即求出
相应的通解。
值得注意的是上述五种形式的①、②、③中， !
取某个特定值时， 有的稍作变换， 便可得四个特
例：
１） ｙ′＝ｋｙ２＋ｘ０ 即 ｙ′＝ｋｙ２＋１。
２） ｙ′＝ｋｙ２＋ｘ－２ 。
３） ｙ′＝－ ｍ２ｙ２＋ｘ－４。
４）
ｙ′＝－
２００６ 年第 ４ 期
广西教育学院学报
ＮＯ．４，２００６
（ 总第 ８４ 期）
ＧＵＡＮＧＸＩ ＪＩＡＯＹＵＸＵＥＹＵＡＮ ＸＵＥＢＡＯ
（ Ｓｅｒｉａｌ ＮＯ．８２）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
一类可用初等积分法求解的 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程
黄绪明
ｐ
ｄｙ ｍｙ２＋ｎｙ＋ｐ
＝
ｒ（ｘ）ｄｘ＋ｃ。
以上三个性质证明略。
性质 ４ 如果方程 （ １） 可用初等积分法求 解， 则方程 ｙ′＝ｒ（ｘ）ｙ２－ ｑ（ｘ）ｙ＋ｐ（ｘ）也可用初等积分法
求解； 反之亦然。
证明：
设
ｙ＝ １ Ｙ
，
Ｙ"０
且在相应区间上连续可
微， 则有 ｙ′＝
Ｙ１ Ｙ２
。把 ｙ 及 ｙ′表达式代入（
时，
常数
Ｐ
的取值还受到一定限制；
四个特
例中 １） 是 可 分 离 变 量 ； ２） 可 化 为 齐 次 型 ； ３） 有 特
解：
ｙ１ ＝
１ ｍ２ｘ
＋
１ ｍｘ２
， ｙ２＝
１ ｍ２ｘ
－
１ ｍｘ２
； ４）
有 特 解 ｙ１ ＝
９
２
１ ， 进一步可求出相应的通解。
ｍｘ ３ － ３ｘ ３
参考文献： １．王怀柔， 伍卓群（ 编） ．常微分方程讲义［Ｍ］．北
质 ３ 中相应地改写成 ｐ（ｘ）∶ｒ（ｘ）＝ｍ：ｐ 即可。
对于方程（ ２） 若令 ｐ（ｘ）为 ｘ 的幂函数， 取 ｒ（ｘ）＝
ｘ! 则简式变为
— ８５ —
ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋ｘ!
（ ３）
方程（ ３） 是一类形式简单的 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程。
３． 方 程（ ３） 可 用 初 等 积 分 法 求 解 的 五 种 形 式：
（ ｍ与
!２＋２! 不同时为 ０） ４
以上五种形式中 ｋ， ｍ， ! 均为任意实常数。
４． 应用举例
讨论以下 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程：
（ １）
ｙ′＝ １
－
ｘ
３ ２
－
ｙ２＋ｘ
１ ２
８
（ ２） ｙ′＝－ １６ｍ２ｘ５ｙ２＋ｘ－３
（ ３） ｙ′＝（ｘ－ １ ｘ－１）ｙ２＋ｘ－１ ４
（ ４） ｙ′＝（－ ｘ－１－ ｍ２ｘ－３）ｙ２＋ｘ－１
ｑ（ｘ） ２ｐ（ｘ）
′＝ｐ（ｘ）
ｙ＋
ｑ（ｘ） ２ｐ（ｘ）
２
＋ ｒ（ｘ） －
$ｑ（ｘ）%２ ＋ ４ｐ（ｘ）
ｑ（ｘ） ２ｐ（ｘ）
′
$ % 再将该式中的 ｙ＋ ｑ（ｘ） 换成 ｙ； ｒ（ｘ） － ２ｐ（ｘ）
$ｑ（ｘ）%２ ＋ ４ｐ（ｘ）
ｑ（ｘ） ′ ２ｐ（ｘ）
换成 ｒ（ｘ）， 则方程（ １） 总可变换为
ｙ′＝ｐ（ｘ）ｙ２＋ｒ（ｘ） （ ｐ（ｘ）"０ ）