数学归纳法简介
探究数学中的数学归纳法
探究数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中的一个基本方法，可以解决许多重要的问题。
在本文中，我们将深入探讨数学归纳法，并展示一些归纳法的实际应用。
1. 数学归纳法的定义和原理数学归纳法是一种证明的方法，它可以证明一个有序集合的所有元素都满足某个性质。
它的基本原理是：(1) 证明基本情况，即证明第一个元素满足所要证明的性质；(2) 假设所有前面的元素都满足所要证明的性质，证明下一个元素也满足所要证明的性质。
这样，通过不断地“归纳”，可以得到整个集合中所有元素都满足所要证明的性质的结论。
2. 数学归纳法的例子我们来看一个简单的例子。
假设我们要证明：对于所有正整数n，1+2+...+n=n(n+1)/2。
首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1×(1+1)/2=1，两边相等，基本情况得证。
接下来，假设当n=k时1+2+...+k=k(k+1)/2成立，要证明当n=k+1时1+2+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
我们首先把1+2+...+k+(k+1)拆分成1+2+...+k和(k+1)两部分，按照假设，前一部分等于k(k+1)/2，后一部分等于(k+1)。
于是1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2，即得证。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学定理、推导公式、证明算法复杂度等方面都有广泛的应用。
其中一个常见的应用是证明Fibonacci数列的性质。
Fibonacci数列是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，它的第n个数等于其前两个数之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
我们可以用数学归纳法来证明这个公式。
首先当n=1和n=2时都满足公式，假设当n=k和n=k+1时公式成立，要证明当n=k+2时公式也成立。
根据假设，F(k+2)=F(k+1)+F(k)。
又因为F(k+1)=F(k)+F(k-1)，所以F(k+2)=F(k)+F(k-1)+F(k)=F(k+1)+F(k)=F(k+1)+F(k-1)+F(k-2)=F(k)+F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)=F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)+F(k-4)=F(k-1)+F(k-3)+F(k-4)+F(k-5)=...=F(2)+F(1)=1+1=2。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，它通过已知某个命题成立和成立条件，则可以推导出该命题对所有符合条件的情况都成立。
数学归纳法在数学领域中发挥着重要的作用，本文将介绍数学归纳法的基本原理和应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以归纳为三个步骤：基础步骤、归纳步骤和归纳假设。
1. 基础步骤：首先要证明当n取某个特定值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，称为基础步骤。
通常情况下，我们会取n=1或n=0作为基础步骤。
2. 归纳步骤：接下来，假设当n=k时，命题成立，即我们假设命题对于某个值k成立。
然后，使用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步骤称为归纳步骤。
3. 归纳假设：在归纳步骤中，我们假设命题对于n=k成立，这被称为归纳假设。
通过归纳假设，我们可以推导出命题对于n=k+1的情况也成立。
归纳法的基本原理就是通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法不仅仅是一种证明方法，它也被广泛应用于其他数学问题的解决中。
以下是数学归纳法的一些典型应用。
1. 证明整数性质：数学归纳法常被用来证明某个整数性质对于所有正整数成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明所有正整数的和公式：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。
2. 证明不等式：数学归纳法还可以应用于证明不等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明命题等式：除了整数性质和不等式，数学归纳法也可以应用于证明命题等式的成立。
例如，我们可以利用数学归纳法证明斐波那契数列的通项公式：F(n) = (φ^n - （1-φ）^n) / √5，其中φ为黄金分割率。
数学归纳法作为一种重要的证明方法，广泛应用于数学的各个领域。
它能够简化证明过程，使得证明更加直观和清晰。
总结：数学归纳法是一种重要的证明方法，它通过基础步骤、归纳步骤和归纳假设，逐步推导出命题的成立。
数学归纳法原理
数学归纳法原理数学归纳法什么是数学归纳法？数学归纳法是一种用于证明自然数集上的命题真假的方法。
它基于两个关键思想：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤数学归纳法的第一步是证明命题在最小的自然数上成立，通常是证明当自然数为0时命题成立。
归纳步骤数学归纳法的第二步是证明如果命题对自然数n成立，那么它对n+1也成立。
这里的n可以是任意自然数。
数学归纳法的过程数学归纳法可以被看做是一种推理方式。
具体的证明过程如下：1.首先，证明基础步骤。
也就是证明当自然数为0时，命题成立。
2.其次，证明归纳步骤。
假设命题对自然数n成立，证明命题对自然数n+1也成立。
3.最后，结论得出。
根据数学归纳法的原理，如果基础步骤和归纳步骤都得到了证明，那么我们可以得出结论：命题对所有自然数都成立。
数学归纳法的应用数学归纳法在数学领域有着广泛的应用。
它可以用于证明各种数论命题，比如等差数列的和公式、2的n次方等等。
此外，数学归纳法还可以应用于计算机科学、离散数学等领域。
数学归纳法的局限性尽管数学归纳法在很多情况下非常有用，但它并不适用于所有情况。
有些问题可能需要其他的证明方法。
此外，数学归纳法只适用于自然数，不适用于其他类型的数。
总结数学归纳法是一种证明自然数集上命题真假的方法。
它通过基础步骤和归纳步骤来进行证明。
数学归纳法在数学和计算机科学等领域有广泛的应用，但在某些情况下并不适用。
要理解数学归纳法的原理，我们需要熟悉其证明过程及其局限性。
数学归纳法
1、归纳法：
由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。
完全归纳法：在逐步考察某个事例的所有可能的情况下 推出结论；
不完全归纳法：在考察某个事例的部分情况下推出结论 分析： （1）归纳法是一种特殊到一般的数学思想方法； （2）完全归纳法推出的结论一定正确，而不完全 归纳法推断出的结论有时不正确
2 2
2 2
Ｂ
2
）
1
2
(k Ｃ． 1 )
Ｄ． ( k 1 )[ 2 ( k 1 ) 3
1]
Ex：在数归法中，证明了若n=k时命题成立，则n=k+1时 命题也成立。现已知n=4时命题不成立，则n=（ 3 ）时 命题必不成立。
Ex：设 f ( x ) 是定义在正整数集上的函数，且
“当
f (k ) k
Ｄ．n 1 2
Ex:用数学归纳法证明
1 2 ( n 1) n ( n 1) 2 1
2 2 2 2 2 2 2
n(2 n 1)
2
时，由 n
k 的假设到证明 n k 1
3
时，等式左边应添加的式子是（
(k (k A． 1 ) 2 k Ｂ． 1) k
2、数学归纳法及其证明步骤
数学归纳法是证明与自然数n有关的命题 它的步骤如下： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立； （奠基步） （2）假设当n=k(kN*， n≥n0 )时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立 （假设递推步） 由（1）和（2）得：该命题对n≥n0 成立 分析： （1）数学归纳法适用范围仅限于有关自然数的命题。 整数、有理数和实数等有关的命题都不适用； （2）数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用
数学公式知识：数学归纳法的定义与应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明一些有关自然数的性质。
其基本思想是：首先证明当n=1时命题成立，然后利用假设n=k 时命题成立推断出n=k+1时命题也成立，从而得证当n为任意正整数时命题都成立。
一、数学归纳法的基本原理假设我们要证明对于任意正整数n，命题P(n)成立。
使用归纳法证明该命题时，需要完成以下两个步骤：（1）证明当n=1时，命题P(n)成立。
（2）证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
在第一步中，需要证明的是当n=1时P(1)成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以对n=1时P(1)进行直接证明：当n=1时，左边为1，右边为1(1+1)/2=1所以1=1，命题成立。
在第二步中，需要证明的是当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立。
证明的方法可以是直接证明，也可以是通过推理证明。
例如，对于命题P(n)为“1+2+3+...+n=n(n+1)/2”，可以通过下列步骤证明当n=k时命题成立时，n=k+1时命题也成立：假设当n=k时命题P(k)成立，即：1+2+3+...+k=k(k+1)/2现在需要证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立：1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2对于左边式子，我们可以将其拆分为前面k项的和加上最后一项，即：1+2+3+...+k+(k+1)=(1+2+3+...+k)+(k+1)根据假设，左边等于k(k+1)/2+(k+1)，即k(k+1)/2+k/2+k/2+1=k(k+1)/2+k+1=k(k+1+2)/2而右边等于(k+1)(k+2)/2，两边相等。
因此，当n=k+1时，命题P(n)成立。
二、数学归纳法的应用举例数学归纳法可以应用于各种数学问题的证明，下面举几个例子。
例1：证明1+2+3+...+n=n(n+1)/2我们已经在第一部分进行了证明，这里再次重点强调一下：首先证明当n=1时命题成立，即1=1(1+1)/2，然后根据假设n=k时命题成立推导得出当n=k+1时命题也成立，即1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2例2：证明2的n次幂大于n例如，证明2的n次幂大于n，即2^n>n。
数学归纳法定义
数学归纳法定义
数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它基于两个关键思想：基础步骤和归纳步骤。
数学归纳法常用于证明关于自然数的命题，但也可用于其他情况。
首先，基础步骤是证明命题在最小的情况下成立。
通常，我们需要证明当n取某个特定的值时，命题成立。
这是数学归纳法的起点，也是证明的基础。
其次，归纳步骤是证明命题在n=k成立的情况下，n=k+1也成立。
这是数学归纳法的关键部分。
假设命题在n=k成立，然后我们使用这个假设来证明命题在n=k+1也成立。
这种“归纳”的思想可以一直进行下去，直到我们证明了命题对于所有自然数成立。
数学归纳法的证明过程可以简化为以下几步：
1. 证明基础步骤：证明命题对于最小的情况(通常是n=0或n=1)成立。
2. 假设归纳假设：假设命题在n=k成立。
3. 通过归纳假设推导：使用归纳假设来证明命题在n=k+1也成立。
4. 结论：根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，即命题对于所有自然数n成立。
需要注意的是，数学归纳法只能用于证明对于所有自然数成立的命题。
如果一个命题只对于某些自然数成立，那么数学归纳法不能用来证明它。
数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
它可以用于证明数列、函数、不等式、恒等式等各种数学问题。
通过使用数学归纳法，我们可以简化证明过程，使得数学推理更加清晰和严谨。
数学归纳法
A、1
B、1 a
C、1 a a2
D、1 a a2 a3
2、用数学归纳法证明： 1 1 1
1
24 46 68
2n (2n 2)
n 4(n
1)
时，从k到k＋1时左边需要增添的项为__1_______
4(k 1)(k 2)
3、用数学归纳法证明： 当n N时，1 2 22 23 25n1是31 的倍数，当n＝1时，原式为 _____________
7、用数学归纳法证明：
1 1 1 1 234
1 2n 1
n(n
N
, 且n
1）时，
不等式在n＝k 1时的形式是 ____________
1
1 2
1 3
1 4
1 2k 1
1 2k
1 2k 1
1 2k1 1
共有多少项呢？ 2k 个项
例1已知数列
1 ,1 , 1 , 1×4 4×7 7×10
,
1
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
k
1
3k 1 (3k 1)(3k 4)
3k 2 4k 1 (3k 1)(3k 4)
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法，又称归纳推理法，是数学中一种常用的证明方法。
它基于两个重要的前提：第一，如果证明了某个命题在某个特定情况成立，且能够证明当命题在一个特定情况下成立时，它在下一个情况下也成立，那么可以推断该命题在所有情况下都成立；第二，数列是整数的任意一个子集，并且它包涵了第一个正整数，且对任意的正整数n，满足“n属于该子集，而n+1也属于该子集”。
数学归纳法的运用需要三个关键步骤：首先，我们需要证明当n取某个合适的值时命题成立；其次，假设当n取k时该命题成立，然后证明当n取k+1时该命题也成立；最后，根据数学归纳法的前提，我们可以断定该命题对于所有的正整数n都成立。
以求证一个数学公式为例，我们以斐波那契数列作为研究对象，斐波那契数列的定义如下：F(1) = 1F(2) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n≥3）我们来利用数学归纳法证明斐波那契数列的性质。
首先，当n取1和2时命题成立，因为F(1)和F(2)的值分别为1，满足定义。
假设当n取k时该命题成立，即假设F(k) = F(k-1) + F(k-2)成立。
现在我们要证明当n取k+1时该命题也成立。
将n取k+1代入斐波那契数列的递推公式，得到：F(k+1) = F((k+1)-1) + F((k+1)-2)= F(k) + F(k-1)根据我们的假设，我们可以得到：F(k+1) = F(k-1) + F(k-1) + F(k-2)= F(k-1) + F(k)根据斐波那契数列的定义，我们知道F(k+1) = F(k) + F(k-1)，因此假设成立。
由此可见，当n取k+1时命题也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论：对于所有的正整数n，斐波那契数列的定义成立。
数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它能够帮助我们建立起基本的数学理论和推导出重要的数学公式。
通过逐步证明命题在不同情况下的成立性，我们可以确保其在所有情况下都成立。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，常用于证明自然数命题的正确性。
它基于两个重要的假设：第一个是基准情形，即当n等于一个特定的值时，命题成立；第二个是归纳假设，即假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立。
通过这种递推的思想，我们可以推导出对所有自然数n都成立的结论。
数学归纳法在数学研究和证明中扮演着重要的角色，它具有以下优势：首先，数学归纳法是一种简洁而有效的证明方法。
通过归纳的逻辑推理，可以快速证明数学命题的正确性，减少了繁琐的推导过程。
其次，数学归纳法可以用于证明具有递增性质的命题。
对于这类问题，我们只需要证明基准情形和归纳假设，就能推导出一般情况的正确性。
最后，数学归纳法具有广泛的应用范围。
无论是数学领域还是其他科学领域，都可以使用数学归纳法进行推导和证明。
下面通过一些具体的例子来说明数学归纳法的应用。
例一：证明1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2，其中n为正整数。
首先，我们需要证明基准情形，即当n=1时等式成立。
显然，1 =1(1+1)/2，左右两边相等。
其次，我们假设当n=k时等式成立，即1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2。
然后，我们来证明当n=k+1时等式也成立。
当n=k+1时，左边的表达式可以写成1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)。
根据归纳假设，1 + 2 + 3 + … + k = k(k+1)/2，将其代入原式得：k(k+1)/2 + (k+1)。
进行化简得到：[k(k+1) + 2(k+1)]/2 = (k+1)(k+2)/2。
右边的表达式正好等于n(n+1)/2，因此得证。
例二：证明2^n > n，其中n为正整数且n≥4。
基准情形：当n=4时，2^4 = 16 > 4。
归纳假设：假设当n=k时不等式成立，即2^k > k。
然后我们证明当n=k+1时不等式也成立。
数学归纳法
数学归纳法数学归纳法是指根据归纳的原则和方法，按照事物发展和变化有目的地将一些数学问题进行有效地归类，进而达到“从现象到本质”的过程。
归纳法是指根据数学知识本身产生、发展、变化的规律，总结出一些数学规律或结论，用以指导自己进行抽象思维和具体运算，达到抽象概括并联系生活实际的目的。
数学归纳法包括：归类法、类比法、归纳法。
归类法：可以从数组或数列中把不同的变量归类出来，并对每个变量采取与变量相对应的顺序或层次归入其属性之中作为标准。
类比法：可以对每一个与各个数学分支有关的数学问题进行类比分析，然后得出各数学分支之间以及与之相关的其他数学分支之间进行类比，并对这些分类与各数学分支之间的关系进行推理，得出各种数学结论。
归纳法在教育教学中很重要，但对数学知识没有太多认识意义或者不懂得怎样运用归纳方法找到有效信息，是不能很好地解决数学问题的。
归纳法：在教学中运用较为广泛的一种方法。
在教学过程中要根据实际情景，合理地运用归纳方法收集知识、处理问题、解决问题等过程。
归纳主要包括两个方面：一是按照事物特点进行汇总与归类；二是根据所要考察的知识点选择相应的方法加以进行。
1.汇总与归类首先，根据数学概念、公式和基本法则，将其归纳到一个有一定逻辑顺序结构和一定组织形式的总目录，然后对这些目录加以处理，整理出一个数组或者数列，使之便于操作、便于学习应用。
其次，要综合考虑一些因素导致某一元素有其独特属性，在进行相应的分类。
这就是所谓的“按属性分类”，它包括三个方面：一是每个元素都有一个基本的属性；二是各元素有自己独特的属性类型；三是其独特的属性类型与其他元素之间存在着密切的关系。
最后要注意分类的层次性和关联性。
分类首先要对各元素的属性性质做出概括（即归纳）和确定。
其次为不同类别之间建立起合理的逻辑顺序与逻辑层次（即类别）。
但在汇总和归类过程中要注意两点：一是根据一定原则、方法、事物发展演变态势进行汇总或归类；二是必须建立起合理系统且有逻辑层次结构形式和各种不同类别之间是否存在着相互关联关系。
数学归纳法
虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理 法。事实上，所有数学证明都是演绎法。
解题
原理
解题要点
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：
数学归纳法
数学证明方法
01 简介
03 合理性 05 发展历程
目录
02 解题 04 变体
数学归纳法（Mathematical Induction, MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个 （或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如： 集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中， 第一步：验证n取第一个自然数时成立 第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程 中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。 最后一步总结表述。 需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明： 证明1：所有的马都是一种颜色 首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。 第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编 好号： 1, 2, 3……n, n+1 对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个， 一直下去概不例外）的数学定理。
数学学习指导之数学归纳法
数学学习指导之数学归纳法数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，高考在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n=1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n=k时命题成立，再证明n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n=k+1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
常见数学归纳法及其证明方法(一)第一数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，对于一般数列取值为1，但也有特殊情况(2)假设当n=k(k≥[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题(1)验证n=n0时P(n)成立(2)假设no<n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。
</n<k时p(n)成立，并在此基础上，推出p(k+1)成立。
高中数学中的数学归纳法
高中数学中的数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法，在高中数学中也是一个重要的概念。
它是一种通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立的方法，常用于证明自然数性质。
本文将介绍数学归纳法的基本原理、应用以及一些相关的数学问题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理是：如果能够证明以下两个条件成立，那么对于任意自然数n，命题P(n)都成立。
1. 基础情况：证明P(1)成立。
2. 推理过程：假设P(k)成立，证明P(k+1)也成立。
数学归纳法的基本思想是通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立，从而得出结论。
它的证明过程类似于搭积木，每一块积木都依赖于前一块的存在，最终搭建出一个完整的结构。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，特别是在数列和不等式的证明中常常用到。
1. 数列的证明：数学归纳法可以用来证明数列的递推公式成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时递推公式成立；然后假设当n=k时递推公式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时递推公式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：递推公式对于任意自然数n都成立。
2. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时不等式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：不等式对于任意自然数n都成立。
三、数学归纳法的相关问题除了基本原理和应用，数学归纳法还与一些相关的数学问题密切相关。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的数列，在数学归纳法中有着重要的应用。
斐波那契数列的递推公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
通过数学归纳法可以证明斐波那契数列的递推公式成立。
2. 整数的奇偶性：数学归纳法还可以用来证明整数的奇偶性。
首先证明基础情况，即证明1是奇数；然后假设k是奇数，证明k+1也是奇数。
数学中的数学归纳法
数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，广泛应用于数论、代数、组合数学等领域。
通过数学归纳法，可以证明一类问题的通用性质，也可以用来构造一类问题的通用解法。
本文将介绍数学归纳法的基本概念、原理和应用，以及一些常见的数学归纳法的例子。
一、数学归纳法的基本概念数学归纳法是一种证明方法，它基于两个基本概念：基本情况和归纳步骤。
基本情况指的是我们需要证明的性质在某个特定情况下成立。
一般来说，基本情况是指当n等于某个特定的值时，我们要证明的性质成立。
归纳步骤是指我们假设某个特定情况下性质成立，然后通过这个假设推导出下一个情况下性质也成立。
通常是假设当n=k时，性质成立，然后通过这个假设证明当n=k+1时，性质也成立。
二、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以用以下形式表达：（1）基本情况成立：当n等于某个特定值时，需要证明的性质成立。
（2）归纳步骤成立：假设当n=k时，性质成立，然后证明当n=k+1时，性质也成立。
（3）由（1）和（2）可知，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。
数学归纳法的原理看起来很简单，但它需要严谨的证明。
通常，我们需要首先证明基本情况成立，然后通过归纳步骤证明当n=k时，性质成立。
最后，我们可以得出结论，对于所有满足基本情况和归纳步骤的n，性质都成立。
三、数学归纳法的应用数学归纳法在数学的各个领域都有广泛的应用。
1. 数论数论是研究整数性质和整数之间关系的数学分支。
数学归纳法在数论中得到了广泛应用，例如证明质数的无穷性、证明整数间的除法关系等。
2. 代数代数是研究数学结构、变换和等式的数学分支。
数学归纳法在代数中也有重要的应用，例如证明恒等式、证明等价关系等。
3. 组合数学组合数学是研究离散结构和组合问题的数学分支。
数学归纳法在组合数学中被广泛运用，例如证明组合恒等式、证明二项式系数等。
四、数学归纳法的例子下面是一些常见的数学归纳法的例子：1. 奇数和偶数基本情况：当n=1时，1是奇数。
数学归纳法
数学归纳法
数学归纳法是一种用于证明与数量有关的定理的思想，是数学分析的重要工具。
从经典的数学原理、定理和法则的实质来看，数学归纳
法是一种很常用的封闭演算法，用于正确地说明一组事实或定理。
其
基本思想是：通过将总体中的某些特定情况研究透彻，然后运用“推广”原则，将特定推广到更一般的总体，从而可以最终得出不同问题中通
用的具有普遍意义的总体规则定理。
数学归纳法最基本的步骤就是构造一系列证明例子，并用它们构造出
一个证明步骤，以便以之为基础做进一步的推演。
在首次构造的示例中，要求它的数量足够小，以免证明过程陷入困境，而且它们所说明
的定理必须是显而易见的，以便证明后面推广的定理的正确性。
其理
论框架中的第一步就是要确定定理的范围和条件，因为要对那些外在
条件等信息集成有效地进行观察和分析，以便得出结论并得出更深层
次的结论。
一般来说，数学归纳法的证明过程可以分成五个阶段：基本定义和原理，基本元素的证明，由单个元素的证明而推广，完全证明和推断出
正确的结论。
在证明前，应对定理做出有助于定理证明的正确分析，
尤其要确定定理的依据，并明确各个元素及其相互关系，以确保每项
元素的证明及其推理过程能够得出正确的结论。
最后要指出的是，数学归纳法不仅仅是推导定理所必需的，同时也是
数学发展过程中非常重要的思维工具，也是创新思想的重要基石。
它
培养着学生思考问题的深度、独立思考的能力，有助于学生系统地掌握数学知识，从而为数学发展发挥着重要作用。
数学归纳方法是一种
数学归纳方法是一种一、数学归纳法的概念1.1 数学归纳法的起源和发展数学归纳法是数学研究中的一种基本方法之一，起源于欧洲文艺复兴时期的数学家和哲学家们的研究。
它的核心思想是通过证明一个命题在某个基础上成立，并且在这个基础上可以推导出下一个更大的命题，从而得到这个命题在所有自然数上都成立的结论。
1.2 数学归纳法的基本概念数学归纳法是通过证明两条基本性质来进行推理的。
一条是基本情况的成立，另一条是假设某一情况成立，则下一情况必定成立。
二、数学归纳法的步骤2.1 数学归纳法的基本步骤数学归纳法一般包含以下的基本步骤：1. 基本情况的验证：首先要验证基本情况是否成立，即数学归纳法的初始条件是否满足。
2. 假设成立：然后假设某一情况成立，即假设命题在某个特定情况下成立。
3. 推导下一情况：在假设成立的基础上，进行推导下一个更大的情况，即通过某种操作或规律得到下一情况。
4. 证明成立：最后通过严谨的证明方法，证明下一情况在假设成立的条件下也成立。
2.2 数学归纳法的特点与注意事项数学归纳法有以下特点和注意事项：1. 递推性：数学归纳法是通过已有的命题来推导出下一个更大的命题。
2. 顺序性：数学归纳法需要按照一定的顺序进行推导和证明。
3. 严谨性：数学归纳法需要用严谨的证明方法来证明每一步的正确性。
三、数学归纳法的应用案例3.1 数列的性质证明数学归纳法常用于证明数列的性质，比如斐波那契数列、等差数列等。
通过假设某个数列的前几项成立，然后推导出下一项也成立，从而证明这个数列的所有项都满足某个性质。
3.2 不等式证明数学归纳法也可用于证明不等式的成立，比如利用数学归纳法可以证明小学生常见的几何不等式如三角形的三边不等式等。
3.3 计数问题解决数学归纳法可以用于解决一些计数问题，如证明二进制数中0的个数是偶数，证明一个集合的幂集中的元素个数是指数级别的等。
四、数学归纳法的应用分析4.1 数学归纳法在解决实际问题中的作用数学归纳法是一种灵活且实用的证明方法，常用于解决各种数学问题。
7.6 数学归纳法
§7.6 数学归纳法【知识梳理】1.归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法。
2.数学归纳法是一种证明方法，数学归纳法适用的范围：用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明．3.数学归纳法步骤包括：两步，一结论。
具体步骤：①证明n取第一个允许值0n时结论成立；②假设n=k（k≥n0且k∈N）时结论正确，证明n=k+1时结论也成立。
然后由两步作一个结论性总结。
【注意】数学归纳法的两个基本步骤：第一步验证初始值成立，它是归纳的基础，但要注意初始值不一定是1。
第二步是利用归纳假设进行归纳论证，是数学归纳法的核心；两个步骤缺一不可。
【例题精选】例1：下面命题是真命题还是假命题？用数学归纳法证明过程是否正确？如有错误请改正。
（1）若n∈N*，则1+3+5+…+(2n-1)=n2+1。
证明：假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2+1，则当n=k+1时有1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+1+[2(k+1)-1]=(k+1)2+1，∴等式对一切n∈N*均成立。
（2）若n∈N*，则1+3+5+…+(2n-1)=n2。
证明：(1)n=1时，等式成立；(2)假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k2，则当n=k+1时有1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=2)1 )(121(+++kk=(k+1)2,等式也成立。
由(1)(2)得等式对n∈N*成立。
例2：用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n-1)d对一切n∈N*都成立。
例3：用数学归纳法证明：等式1+3+5+…+(2n-1)=n2.对一切n∈N*都成立。
【课后作业】1、用数学归纳法证明凸多边形对角线的条数f(n)=2)3(-nn，则n所取的第一个值是__________。
2、 用数学归纳法证明：nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-ΛΛΛΛ，（n ∈N*）时，当n =k +1，所需要证明的式子是____________________________。
第一节 数学归纳法
第一节数学归纳法一、基本知识概要：1.数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+n的证明：1）突破对“归纳=k假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.基础题：1．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+- 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （B ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立2．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++ 有，则=-+)()1(n f n f （ D ） A ．121+n B ．221+n C ．221121+++n n D ．221121+-+n n 3．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是（ B ）A ．222)1(k k ++ B．22)1(k k ++ C ．2)1(+kD ．]1)1(2)[1(312+++k k4．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅- ”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是 （ B ）A ．12+kB ．)12(2+kC ．112++k k D ．122++k k 5．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ C ） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=4时该命题不成立D ．当n=4时该命题成立【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（Ⅰ）)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-++-⋅+-⋅n n n n n n n n . [证明]︒1.当1=n 时，左边0)11(122=-⋅=，右边0201412=⋅⋅⋅=，∴左边=右边，1=n 时等式成立；︒2. 假设k n =时等式成立，即)1)(1(41)()2(2)1(12222222+-=-⋅++-⋅+-⋅k k k k k k k k ， ∴当1+=k n 时，左边])1()1)[(1(])1[(]2)1[(2]1)1[(122222222+-+++-+⋅++-+⋅+-+⋅=k k k k k k k k)]12()12(2)12(1[)]()2(2)1(1[222222++++⋅++⋅+-⋅++-+-⋅=k k k k k k k k k )]12(2)1)[(1(41)12(2)1()1)(1(412++-+=+⋅+++-=k k k k k k k k k k )2()1(41)23)(1(4122++=+++=k k k k k k k =右边，即1+=k n 时等式成立，根据︒︒21与，等式对*∈N n 都正确.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题： （Ⅰ）求证：)(53*∈+N n n n 能被6 整除. [证明]︒1. 当1=n 时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；︒2. 假设k n =时命题正确，即k k 53+能被6整除，∴当1+=k n 时，)5()55()133()1(5)1(3233k k k k k k k k +=+++++=+++6)1(3+++k k ，∵两个连续的整数的乘积)1(+k k 是偶数，)1(3+∴k k 能被6整除，6)1(3)5(3++++∴k k k k 能被6整除，即当1+=k n 时命题也正确，由︒︒2,1知命题时*∈N n 都正确.例3、（优化设计P202例1）比较2n 与n 2的大小()n N ∈剖析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明.解：当n =1时，21＞12，当n =2时，22=22，当n =3时，23＜32， 当n =4时，24=42，当n =5时，25＞52， 猜想：当n ≥5时，2n ＞n 2. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =5时，25＞52成立.（2）假设n =k （k ∈N *，k ≥5）时2k ＞k 2，那么2k +1=2·2k =2k +2k ＞k 2+（1+1）k ＞k 2+C 0k +C 1k+C 1-k k =k 2+2k +1=（k +1） 2.∴当n =k +1时，2n ＞n 2.由（1）（2）可知，对n ≥5的一切自然数2n ＞n 2都成立. 综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2.评述：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩. 例4、是否存在常数使 a 、b 、 c 等式2222222421(1)2(2)....(1)n n n n an bn c∙-+-+-=++对一切正整数n 成立？证明你的结论。
简单数学归纳法
简单数学归纳法数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，用于证明一些关于整数的命题。
它的核心思想是通过证明基础情况成立，以及假设某个特定情况成立后，推导出下一个情况也成立，从而推断该命题对所有整数都成立。
归纳法可以被分为两种形式：强归纳法和弱归纳法。
强归纳法是指在证明过程中，假设任意小于n的整数都满足该命题，然后通过假设命题对n-1成立，来推导命题对n成立。
而弱归纳法则是只假设命题对n-1成立，通过这个假设推导出命题对n成立。
在大部分情况下，弱归纳法已经足够强大，能够满足我们对数学问题的证明需求。
下面以一些简单的数学问题为例，介绍归纳法的应用。
例1：证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2首先，我们需要验证当n=1时该等式是否成立。
显然，1=1(1+1)/2，基础情况成立。
假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们来证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳法的假设，1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们将等式两边都加上k+1，得到：1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)。
合并同类项，得到：(k+1)(k/2+1) = (k^2 + k + 2k + 2)/2 = (k^2 + 3k + 2)/2 = (k+1)(k+2)/2。
由此可见，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以断定该等式对所有自然数都成立。
例2：证明2^n > n^2 （n >= 5）首先，我们验证当n=5时该不等式是否成立。
计算得到2^5 = 32，而5^2 = 25，显然2^5 > 5^2。
假设当n=k时，不等式成立，即2^k > k^2。
我们来证明当n=k+1时，不等式也成立。
根据归纳法的假设，2^k > k^2。
我们将两边都乘以2，得到2^(k+1) > 2k^2。
由于k>=5，所以2k^2 > (k+1)^2，即2^(k+1) > (k+1)^2。
数学归纳法定义
数学归纳法定义
数学归纳法是数学证明中的重要工具，它是一种证明某种命题成立的方法。
在数学归纳法中，先证明一个初始条件成立，然后证明对于任意一个自然数n，如果命题对n成立，那么命题对n+1也成立。
数学归纳法的思想可以用台阶的例子来解释。
如果要从地面上走到10级楼梯的顶端，我们可以分步走，一步一步地走上去。
我们先走到第1级楼梯，然后我们假设我们已经站在第n级楼梯上，如果我们能够从第n级楼梯走到第n+1级楼梯，那么我们就能在有限的步数内走到第10级楼梯的顶端。
这个例子说明了数学归纳法的思想：如果我们能够证明一个命题在某个数（如1）成立，并且能够证明该命题在任意一个数（如n）成立，那么我们就可以得出该命题对于所有大于等于这个初始数的自然数都成立。
数学归纳法主要有两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是需要先证明命题在某个数（如1）成立，这就是我们在例子中所提到的第1级楼梯。
对于基础步骤的证明，我们需要利用已知的事实或者定义来证明。
接着，我们需要证明归纳步骤，即证明对于任何一个自然数n，如果命题对n成立，那么命题对n+1也成立。
这个步骤看似简单，但是需要在最小的前提下成立，否则就会出现证明有误的情况。
通过以上的步骤，我们可以证明一个数学命题对于自然数成立，这种方法广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等等。
同时，数学归纳法也是一种系统地思考的工具，它可以培养我们的逻辑思维和分析能力，让我们更好地理解和掌握数学知识。
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数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n边形的边数无限增加时，正n边形的周长P n无限趋近于圆周长2πR。
这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列P都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n无限增大）找出圆周长的精确值2πR。
随着n的增加，n P在变化，这可以认为是量变（即只要n是有限数，n P都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。
一旦得出2πR，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。
这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是：（1）数学归纳法及其应用。
（2）研究性课题：杨辉三角。
（3）数列的极限。
（4）函数的极限。
（5）极限的四则运算。
（6）函数的连续性。
本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。
（2）极限的概念。
【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。
2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3．掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。
但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。
这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。
例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。
2．数学归纳法在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。
由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。
如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。
这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。
由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。
第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。
另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。
第二步是递推的根据。
仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。
例如，假设n=k 时，等式成立，就是。
那么，。
这就是说，如果n=k 时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。
但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。
因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。
这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。
只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。
因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。
在证明传递性时，应注意：（1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。
应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。
这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。
（2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。
可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。
3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。
其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。
再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。
注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。
例如：求证：。
在第2步中这样证：设n=k时，等式成立，即，那么当n=k+1时，有1112)21(1)211/(])21(1[21212121+++-=--=+⋅⋅⋅++k k k所以当n=k+1时，命题也成立。
这种方法不是数学归纳法，因为这个证明过程中没有体现递推的思想。
例4 是用数学归纳法证明整除性问题。
由于前面我们没有学过多项式除以多项式，所以题中介绍了多项式整除的概念。
由多项式整除的定义容易得出：对多项式a ，b ，c ，p ，如果a 能被c 整除，那么pa 也能被c 整除；如果a ，b 能被c 整除，那么a+b 或a-b 也能被c 整除。
在本例证明的第二步中，为了利用归纳假设，在k k y y xx 2222-中添加一项k y x 22-，为了使等式不变，同时添加一项k y x 22。
例5 是用数学归纳法证明几何问题。
证明的关键是弄清增加一条直线增加多少个不同的交点。
【难题巧解点拨】例1 试判断下面的证明过程是否正确：用数学归纳法证明：3+7+11+…+（4n-1）=n （2n+1）证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，所以当n=1时命题成立。
（2）假设当n=k 时命题成立，即3+7+…+（4k-1）=k （2k+1）。
当n=k+1时，)32)(1(++k k ，所n=k+1时，命题也成立。
根据（1）（2）可知，等式对一切n ∈N*成立。
分析 看用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是在第二步证明中归纳假设是否被应用。
如果没有用到归纳假设，那就不正确。
解 以上用数学归纳法证明的过程是错误的。
在证明当n=k+1时等式成立时，没有用到当n=k 时命题成立的归纳假设，所以不符合数学归纳法证题的要求。
第二步正确的证明方法是：假设n=k 时命题成立，即3+7+11+（4k-1）=k （2k+1）成立，则当n=k+1时，，即当n=k+1时命题也成立。
点拨 用数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，尽管有的与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的。
例2 证明，其中n ∈N*。
分析 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n=k+1时，等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系，或增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决。
证明 （1）当n=1时，左边=1+1=2，右边2121=⋅=，等式成立。
（2）假设当n=k 时，等式成立，即。
则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立。
由（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，等式成立。
点拨 解题过程中，当n=k+1时，等式的左边若错写为（k+1）（k+2）…（k+k ）（k+k+1），时导致证明错误或无法进行。
例3 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。
求证：这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分。
分析 用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n=k+1时比n=k 时，分点增加了多少，区域增加了几块。
本题中第k+1个圆被原来的k 个圆分成2k 条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k 个部分，问题就容易得到解决。
证明 用（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，22112=+-，命题成立。
（2）假设当n=k 时命题成立（n ∈N*），k 个圆把平面分成22+-k k 个部分。
当n=k+1时，这k+1个圆中的k 个圆把平面分成22+-k k 个部分，第k+1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k 个部分，即k+1个圆把平面分成2)1()1(2)2(22++-+=++-k k k k k 个部分，即命题也成立。
由（1）、（2）可知，对任意n ∈N*命题都成立。
点拨 不能错误地认为第k+1个圆被前k 个圆分成k 段弧。
例4 若不等式对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论。
分析 这是一个探索性问题，先用归纳法探求a 的最大值，然后再用数学归纳法证明对一切的正整数n ，不等式成立。
解 当n=1时，24131211111a >+++++，即242426a >， ∴a<26，又a ∈N ，∴取a=25，下面用数学归纳法证明：。
（1）当n=1时，已证。
（2）假设当n=k 时，成立。
则当n=k+1时，有1)1(31++k)1(32431+-+k k ，∵0)43)(23)(1(32)1(32431231>+++=+-+++k k k k k k ，∴也成立。
由（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，都有不等式成立。
∴a 的最大值为25。
点拨 用数学归纳法证明不等式，推导n=k+1时不等式也成立，可以适当运用比较法、分析法、放缩法等，但前提必须是在假设的基础上使用。
【课本习题解答】练习（P64页）1．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是，那么，]1)1)[(1(21)2)(1(21+++=++=k k k k 。
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
2．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。
那么，。
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
3．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是11-=k k q a a ，那么，k k k k q a q q a q a a 1111)(=⋅=⋅=-+，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
练习（P66页）1．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。
那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
2．在第二步中，假设当n=k 时，等式成立，就是。
那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
3．在第二步中，假设当n=k时，等式成立，就是。
那么，这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
练习（P67页）1．不妨设两个正整数是n，n+1(n∈N*)。
（1）当n=1时，n(n+1)=1×(1+1)=2能被2整除。