2019-2020学年人教A版河北省张家口市高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年河北省张家口市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年河北省张家口市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()cos sin +63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．函数()f x ，其图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 6x π=对称 D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6x π=对称【答案】D【解析】 分析：由诱导公式化简函数()f x ，再根据三角函数图象与性质，即可逐一判断各选项. 详解：由诱导公式得，sin()sin()cos()3626x x x ππππ+=-+=- ()cos()sin()2cos()636f x x x x πππ∴=-++=- max 2y ∴=，排除A ，C. 将6x π=代入6x π-，得0()66k k z πππ-==∈，6x π∴=为函数图象的对称轴，排除B.故选D. 点睛：本题考查诱导公式与余弦函数的图象与性质，考查利用余弦函数的性质综合分析判断的能力. 2．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( ) A ．12种B ．7种C ．24种D ．49种 【答案】D【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．3．函数()1f x x =与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ） A ．2ln21-+B ．2ln 21-C ．ln 2-D ．ln 2【答案】B【解析】【分析】根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。
【详解】441ln ln 41=2ln 21ee dx x x⎰==--故选B【点睛】本题考查定积分的几何意义，属于基础题。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2一课三测：1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 含解析
1．1。
1棱柱、棱锥、棱台的结构特征填一填1.一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．2．我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．3.棱柱棱锥棱台棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如,三棱柱、四棱柱……棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……由几棱锥截得的就叫几棱台,例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.判一判1.如长方体形的盒子外表面是长方体．（×)2．棱柱最多有两个面不是四边形．(√）3．棱锥的所有面都可以是三角形．（√)4．多面体是由平面多边形和圆面围成的．（×)5．旋转体是由“平面图形”旋转而形成的，这个平面图形可以是平面多边形，也可以是圆或直线或其他曲线．(√）6．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．（×)7．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．（×)8想一想1。
如何判断一个几何体是否为棱柱?提示：（1）有两个面互相平行；(2)其余各面是平行四边形;（3)每相邻两侧面的公共边都互相平行．这三个条件缺一不可，解答此类问题要思维严谨，紧扣棱柱的定义．2．什么是斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体？提示：(1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．(2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．（3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(4）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．（5）长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体．(6）正方体:棱长都相等的长方体叫做正方体．3．判断棱锥、棱台形状的两个方法是什么？提示:（1）举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．（2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点4.解多面体展开图问题的策略是什么?提示：（1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．（2）由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说,一个多面体可有多个平面展开图．思考感悟:练一练1.下面四个几何体中，是棱台的是( ）答案：C2．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为（)A．1个B．2个C．3个D．4个答案:D3．下列四个命题：①棱柱的两底面是全等的正多边形；②有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；③有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;④四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．答案：④4．下列说法正确的有________．（填序号）①棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形;③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．答案：①③知识点一棱柱的结构特征1。
河北省张家口市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析
张家口市2019-2020学年度第一学期期末教学质量监测高二数学注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.2.考试时间120分钟，满分150分.3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000无人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取n 人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ）A. 24B. 27C. 30D. 32 【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的等比例性质，结合题意，进行计算即可.【详解】根据分层抽样的等比例抽样的性质，设从高二和高三抽取x 人， 可得：1818001200x = 解得27x =故选：B.【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题.2.已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（ ）A. 200,10x R x ∃∈+>B. 200,10x R x ∃∈+≥C. 200,10x R x ∀∈+≥D. 200,10x R x ∀∈+< 【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定.【详解】命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是：200,10x R x ∀∈+≥.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题.3.从1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A. 310 B. 15 C. 320 D. 110【答案】A【解析】【分析】先计算所有的可能性，从中选出满足题意的可能，用古典概率计算公式即可求得.【详解】从5个数中选择两个，总共有10种可能，其中满足乘积为奇数的可能相当于从3个奇数中选2个，共有3种可能:1和3,1和5,3和5. 故这两个数的积为奇数的概率310P =. 故选：A .【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难点是对满足题意的可能性进行求解.4.已知定点()() 2,,2,,M a N a a -为常数，且2PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合曲线的特征，进行判断即可.【详解】根据题意，动点P 到两个定点M 和N 的距离之差为定值，且该定值小于M 、N 的距离，故动点P 的轨迹方程是以M 和N 为焦点的双曲线， 又因为2PM PN -=，故只是双曲线上靠近焦点N 的一支.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义，属基础题，易错点是没有注意到此题表述的是双曲的一支，而不是整个双曲线.5.命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ） A. “若4a π≠"，则tan 1a ≠” B. “若4a π≠"，则tan 1a =”C. “若4a π=，则tan 1a ≠” D. “若tan 1a ≠，则4a π≠”【答案】A【解析】【分析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可.【详解】根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题：若4a π=，则tan 1a =的否命题是： 若4a π≠，则tan 1a ≠.故选：A.【点睛】本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.6.将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ）A. 事件1A ：“恰有两次正面向上”，事件1B ：“恰有两次反面向上”B. 事件2A ：“恰有两次正面向上”，事件2B ：“恰有一次正面向上”C. 事件3A ：“至少有一次正面向上”，事件3B ：“至多一次正面向上”D. 事件4A ：“至少有一次正面向上”，事件4B ：“恰有三次反面向上”【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可.【详解】将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，共有8种可能，对A ：除恰有两次正面向上，和恰有两次反面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对B ：除恰有两次正面向上，和恰有一次正面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对C ：至少有一次正面向上，和至多一次正面向上，两个事件不互斥，故一定不对立； 对D ：两个事件对立.故选：D【点睛】本题考查对立事件的定义，属概念辨析题.7.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 2D. 23【答案】C【解析】【分析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.【详解】因为渐近线方程为3y x =故3b a =，故可得：21132b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.8.奖饭店推出甲.乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到下面的茎叶图.下列说法中，不正确的是（ ）A. 甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B. 甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C. 甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D. 甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大.【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图的数据，对每个选项的描述进行分析即可.【详解】甲的众数是61，乙的众数是62，甲的众数小于乙的众数，故A 选项描述正确； 甲的中位数是61，乙的中位数是62，甲的中位数小于乙的中位数，故B 选项描述正确； 甲的平均数是61，乙的众数是61，平均数相等，故C 选项描述不正确； 甲的方差是3207，乙的方差是2247，甲的方差比乙的方差大，故D 选项描述正确 故选：C.【点睛】本题考查众数、中位数、平均数以及方差的计算，属基础题.9.过抛物线21:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为5,2M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB =（ ） A. 8116 B. 418 C. 13 D. 9【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦点弦的计算公式，即可求得. 【详解】对抛物线21:8C y x =，其焦点坐标为()2,0，故4p = 根据抛物线焦点弦公式可得：52492A B AB y y p =++=⨯+=. 故选：D.【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的计算公式，属基础题.10.长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A. 6 B. 53 C. 5 D. 23【答案】A【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理. 【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=--则1,cos n C E =11n C En C E ⋅53933==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ则53sin θ=，261sin cos θθ=-=故选：A.【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.11.已知12,F F 分别是双曲线()22221:0,0x y C a b a b=->>的左、右焦点，以线段12,F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点.若212PQF π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. 21+ D. 31+【答案】B【解析】【分析】 根据题意，结合已知条件，求解三角形边长，利用双曲线定义进行求解.【详解】根据题意，作图如下：因为21212PQF PF F π∠==∠， 故在12Rt PF F 中：2sin 212PF c π=⨯，1cos 212PF c π=⨯由双曲线的定义可知：cos 2sin221212c c a ππ⨯-⨯= 故可得：121212e cos sin ππ==-. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键的步骤是根据几何关系，利用双曲线的定义来进行求解.12.已知A 为椭圆2214x y +=的左顶点，直线(0)y kx k =≠与该椭圆相交于,P Q 两点，连接,.AP AQ 设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则2212112k k +的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】设出直线,AP AQ 的方程，联立椭圆方程，根据P 、Q 两点关于原点对称，找到1k 与2k 之间的关系，再用均值不等式进行处理即可.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线AP 方程为：()12y k x =+联立椭圆方程可得：()222211114161640k x k x k +++-= 故可得21121164214k x k --=+，解得211218214k x k -+=+，同理可得222228214k x k -+=+ 因为120x x +=，故可得：22122212828201414k k k k -+-++=++ 整理化简得：2212116k k =. 故2212112k k+≥==，当且仅当22122k k =时取得最小值. 故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及均值不等式的使用，韦达定理的应用；本题的难点在于找到斜率之间的关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知某5个数,,,,a b c d e 的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为2s ，则2s ____1(填“>”或“< -").【答案】<【解析】【分析】根据方差的计算公式，进行推理证明. 【详解】根据题意：()()()222188815a b e ⎡⎤-+-++-=⎣⎦加入新的数据后，平均数未发生变化，故6个数字的方差为:()()()()()()222222211888888165s a b e a b e ⎡⎤⎡⎤=-+-++-<-+-++-=⎣⎦⎣⎦ 故答案为：<.【点睛】本题考查方差的计算，属基础题.14.在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则 y cos x =的值在0到2之间的概率为__________.【答案】49【解析】【分析】求解出不等式cos x ⎡∈⎢⎣⎦的解集，利用几何概型的概率计算公式求解即可. 【详解】当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式：0cosx ≤≤， 可得不等式解集为,,2662x ππππ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，区间长度为23π 根据几何概型计算公式，y cos x =的值在0243392P ππ== 故答案：49. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，涉及解三角不等式.15.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，1123,3PF F PF π=∠=，则b =______. 【答案】32【解析】【分析】在焦点三角形中，由余弦定理，列出关于b 的等式，求解方程即可. 【详解】根据椭圆的定义：223PF a =-在焦点三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22212121242PF PF c cos F PF PF PF +-∠=，代值可得：22441827c a a =-+由224c b =-代入可得()2444418227b -=⨯-⨯+294b =，即可得32b =. 故答案为：32. 【点睛】本题考查由几何关系求椭圆的方程，属基础题.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且2,60,AB DAB PAD =∠=∆是等边三角形，6,PB Q =点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是_______.【答案】73【解析】【分析】 根据题意，Q 点在一个过BD ，且与直线AC 垂直的平面内，且Q 点的轨迹是该平面内与平面PBC 的交线段的长度.据此进行求解.【详解】根据题意，连接AC ，BD ，记其交点为O ，取PC 上一点为M ，连接MB ，MD ，作图如下：若满足题意DQ AC ⊥，又AC BD ⊥，故AC ⊥平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可.假设如图所示：平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面，则Q 点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线AC ⊥平面DBM ，则AC MO ⊥.故三角形MOC 为直角三角形.因为三角形P AD 是等边三角形，三角形BAD 也是等边三角形，故AD PB ⊥，又因为BC //AD ，故BC ⊥PB ，故三角形PBC 为直角三角形，故2210PC PB BC =+=故在三角形P AC 中，2,23,10PA AC PC ===由余弦定理可得：33021023cos PCA ∠==⨯故在直角三角形MOC 中， 210OC MC cos PCA ==∠ 在直角三角形PBC 中，BC cos PCB PC ∠=10510=在三角形BCM 中：2222829BM BC CM BC CM cos PCB =+-⨯⨯⨯∠=故可得：BM =.故答案为3. 【点睛】本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知命题p ：“实数m 满足：方程22152x y m m +=-+表示双曲线”，命题q ：“实数m 满足：()22210m m t t -+<>，并且q 是p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】4t ≥【解析】【分析】先求出命题为真对应的集合，然后根据集合对应的关系，求参数范围.【详解】方程22152x y m m +=-+表示双曲线， ()()520,m m -+<∴ 25m ∴-<<由()222100m m t t -+-<>，得11t m t -<<+.因为q 是p 的必要不充分条件，1215t t -≤-⎧∴⎨+>⎩或1215t t -<-⎧⎨+≥⎩解得4t ≥.【点睛】本能考查由命题之间的关系，转化为集合之间的关系求参数范围的问题.18.初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动.随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多.用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据.（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据()1求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式:由最小二乘法所得回归直线的方程是^^^y b x a =+其中，()()()^^^1122211,n ni i i ii i n n i i i i x x y y x y nx y b a y b x x nx x x====---===---∑∑∑∑. 【答案】（1）^0.080.22y x =+；（2）78%【解析】【分析】（1）根据表格数据，结合参考公式，代值计算即可；（2）令（1）中求出的回归方程中的7x =，求出函数值即为预测值.【详解】（1）由表格数据可得：_3,0.46x y == ^122150.085n i ii n i i x y x y b xx ==-==-∑∑^^0.460.0830.22a y b x =-=-⨯=故^y 关于x 的回归直线方程为^0.080.22y x =+.（2）由（1）知：^0.080.22y x =+令7x =，解得^0.7878%y ==.【点睛】本题考查回归直线方程的求解，以及用回归直线方程进行预测，属基础题. 19.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点A 是抛物线C 上任意一点，且min 1AF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设经过点()0,2、倾斜角为3π的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点，抛物线C 的准线与y 轴交于E 点，求MEN ∆的面积.【答案】（1）24x y =；（2）【解析】【分析】（1）根据min 1AF =，即可求得抛物线方程；（2）根据（1）中所求抛物线方程，将三角形面积转化为121222P x x +-，即可求得面积. 【详解】（1）由抛物线定义及min 1AF =，可得24p =∴抛物线C 的方程为24.x y =（2）设直线方程为：2y =+ 联立抛物线方程24x y =，消y 得280x --=.12128x x x x +==-，121222MEN p S x x ∆∴=+-===【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的求解，属抛物线基础题. 20.近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；（2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高.【答案】（1）中位数为2. 4，众数为2.5；（2）男大学生平均值是 2.35，女大学生平均值是2.4；男大学生【解析】【分析】（1）选最高的长方形底边中点对应的值即为众数，选面积和为0.5的底边对应值即是中位数； （2）用每个小长方形底边中点值乘以每个小长方形的面积之和即为平均值.【详解】（1）设男大学生使用手机年限的中位数为a ，则()0.110.2120.50.5,a ⨯⨯+⨯+-=所以估计男大学生使用手机年限的中位数为2. 4，估计女大学生使用手机年限的众数为2.5.（2）根据频率分布直方图，男大学生使用手机年限的平均值是0.50. 1 1.50.2 2.50.5 3.50.15 4. 50.05 2.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=女大学生使用手机年限的平均值是0. 50.05 1.50. 2 2.50.6 3.50.1 4. 50.05 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为2.4 2.35>，所以男大学生更换手机的频率更高.【点睛】本题综合考查频率分布直方图中众数、中位数、平均值的计算题，属重要的基础题. 21.如图，四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是菱形，'AA ⊥平面,2,60ABCD AB BAD =∠=点P 是侧棱'CC 上的点，'A P PB ⊥，（1）证明：平面''A PD ⊥平面;PBD（2）若P 是'CC 的中点，求二面角''A BP D --的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（22105【解析】【分析】 （1）在平面''A PD 中找A P '，证明其垂直于平面PBD 即可；（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面法向量的夹角，从而求解二面角的平面角.【详解】（1）证明：由'AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 得'AA BD ⊥.又底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.而'AC AA A ⋂=.所以BD ⊥平面''ACC A .所以'BD A P ⊥又',A P PB PB BD B ⊥⋂=，所以'A P ⊥平面PBD .又'A P ⊂平面''A PD ，所以平面''A PD ⊥平面PBD .（2）设,''BD B D 的中点分别为,'O O ，分别以直线,,'OB OC OO为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.当P 是'CC 中点时，设'2CC a =，则'PC PC a ==.则有22222222''''12,4A P A C PC a PB PC CB a =+=+=+=+， 2222''44A B A A AB a =+=+.又'90A PB ∠=，所以222''A P PB A B +=即22212444a a a +++=+，得6a =则有()('0,3,26,1,0,0,3,6,()(0)'1,0,26A B P D --.()()(1,3,6,1,3,26,2,0,26PB A B D B =--=--'='设向量m ⊥平面'PBA ，()111,,m x y z =， 则00m PB m A B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111113603260x z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩不妨取12z ，则m (33,1,2= 设向量n ⊥平面'PBD ，且()222,,n x y z = 则00n PB n D B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222236060x z x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，不妨取21z =，则n )6,0,1= 设,m n 的夹角为θ，则1022105307m n cos m n θ⋅===⨯ 所以二面角''A BP D --的余弦值为210521 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.22.已知点()()1,0,1,0M N -，设TMN ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，且3.S r = （1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知()()2,0,2,0B C -，点P 是直线4x =上的动点，直线PB 与曲线W 的一个交点为E .直线PC 与曲线W 的一个交点为F ，并且,,P E F 都不在坐标轴上.求证：直线EF 经过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据3S r =可以推得T 点的约束条件，满足椭圆方程的定义，即可求解.（2）设出直线PB 和PC 的方程，求得E 、F 两点的坐标，得到EF 的直线方程，从而可以证明直线恒过的定点.【详解】（1）设TMN ∆的周长为l ，则由3S r =，得132lr r =，即6l = 所以4TM TN +=，即T 在以,M N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上. 设该椭圆方程为()222210x y a b a b+=>> 则222,13a b a ==-=. 所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=. （2）证明：设()()()11224,,,,,P t E x y F x y则直线PB 的方程为()26t y x =+ ()()2222221432744108026x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩， 221122410854222727t t x x t t ---=⇒=++ ()211225421822662727t t t t y x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭， 即22254218,2727t t E t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线PC 的方程为()22t y x =- ()()22222214334412022x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩， 22222241226233t t x x t t--=⇒=++ ()22222266222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭， 即222266,33t t F t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭设直线EF 与x 轴交点为(),0K m ，则,KE KF 共线.又KE =22254218,2727t t m tt ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 222266,33t KF m t t ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭则22222261835427272623t t m t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫--⋅=⋅ ⎪ ⎪+---+++⎝⎭⎝⎭m=化简得 1.1,0所以直线EF经过定点()【点睛】本题考查用定义法求椭圆方程，以及证明直线横过定点的问题，属椭圆中的中档题.。
2019_2020学年高中数学第一章空间几何体章末质量检测(含解析)新人教A版必修2
章末质量检测(一) 空间几何体一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线( )A．20条 B．15条C．12条 D．10条解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，五棱柱共有对角线2×5＝10条．答案：D3．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B4．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( ) A．4S B．4πSC．πS D．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.答案：C5．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3，则其表面积为( ) A．18 3 cm2 B．18 cm2C．12 3 cm2 D．12 cm2解析：设正四面体的棱长为a cm，则底面积为34a2 cm2，易求得高为63a cm，则体积为13×34a2×63a＝212a3＝9，解得a＝32，所以其表面积为4×34a2＝183(cm2)．答案：A6．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A．16πB．32π C．36πD．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr2＝16π.答案：A7．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2 2.答案：A8．球O 的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为3，则球O 的体积为( )A ．16π B.16π3C.32π3D ．43π 解析：设直径被分成的两部分分别为r 、3r ，易知(3)2＝r ·3r ，得r ＝1，则球O 的半径R ＝2，故V ＝43π·R 3＝323π.答案：C9．[2019·湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积是( )A.233＋π B.233＋2π C ．23＋π D．23＋2π解析：由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成，故其体积V ＝12π×12×2＋12×2×3×2＝π＋2 3. 答案：C 10.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V多面体P－BCC1B1＝13S正方形BCC1B1·PB1＝13×42×1＝163.答案：B11．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )A．1：2：3 B．1：3：5C．1：2：4 D．1：3：9解析：如图，由题意知O1A1O2A2OA＝1：2：3，以O1A1，O2A2，OA为半径的圆锥的侧面积之比为1：4：9.故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1：(4－1)：(9－4)＝1：3：5.答案：B12．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12πC．82π D．10π解析：过直线O1O2的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为r，母线长为l，因为轴截面是面积为8的正方形，所以2r＝l＝22，所以r＝2，所以圆柱的表面积为2πrl＋2πr2＝8π＋4π＝12π.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________．解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体．答案：两个同底的圆锥组合体14．[2019·甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________．解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6. 答案：2＋22＋ 6 15.如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为5，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为________．解析：如图所示，将三棱柱沿AA 1剪开，可得一矩形，其长为6，宽为5，其最短路线为两相等线段之和，其长度等于2⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝13.答案：1316．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，△ABC 的边长为23，于是知圆锥的底面半径为3，高为3.故所求体积为V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位：cm)．按照给出的数据，求该几何体的体积．解：该几何体的体积V ＝V 长方体－V 三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．18．(12分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．19．(12分)如图所示，在多面体FE ABCD 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积V .解析：如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线AG ，BH ，垂足分别为G ，H .连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12.所以AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×12×24×2＋24×1＝23. 20．(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm 的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计)，求该圆柱的表面积．解析：有两种不同的卷法，分别如下：(1)如图①所示，以矩形8 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA ＝4，则OA ＝r 1＝2π cm ，∴两底面面积之和为8π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋8π cm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋8πcm 2.(2)如图②所示，以矩形4 cm 长的边为母线，把矩形硬纸片卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB ＝8，则OB ＝r 2＝4π cm ，∴两底面面积之和为32π cm 2，∴S 表＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2，即该圆柱的表面积为⎝⎛⎭⎪⎫32＋32πcm 2.21．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.22．(12分)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球的表面积之比．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，球的半径为R ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧13πr 2·h ＝43πR 3r ＝2R∴13π(2R )2·h ＝43πR 3，∴R ＝h ，r ＝2h ， ∴l ＝r 2＋h 2＝5h ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2h ×5h ＝25πh 2，S 球＝4πR 2＝4πh 2，∴S 圆锥侧S 球＝25πh 24πh 2＝52.。
2019-2020学年河北省高二年级上学期期末考试数学答案
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高二数学试题参考答案
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河北省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷及解析
2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.1～1.4，第三章.第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,240x x ∀>-…”的否定是（ ） A.2,240x x ∀-<„ B.2,240x x ∀>-< C.002,240x x ∃>-< D.002,240x x ∃-<„2.双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ）A.34y x =±B.y x =C.43y x =±D.y x = 3.(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为m =（ ） A.4B.3C.2D.55.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”6.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A.1B.2C.3D.47.记一个三位数的各位数字的和为M ，则从M 不超过5的三位奇数中任取一个，M 为偶数的概率为（ ）A.513B.512C.413D.138.已知直线:20l x y -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，点(1,4)P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A.43B.2C.29.已知点P 在椭圆22:14x C y +=上，直线:0l x y m -+=，则“m =P 到直线l 的距离的”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动，将竞赛成绩按照[80,90),[90,100),,[140,150]L 分成7组，得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110 ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有400人④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括10分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有50人 A.①③B.②③C.②④D.①④11.现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A.(9,)+∞B.(9,)⋃+∞C.D.(9,)⋃+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13.若抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则p =_______.14.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11AE xAA yAB zAD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y z ++=________.15.已知函数()h x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，且(1)0h -=.若()0()h a g a <，则a 的取值范围为_________.16.已知在三棱锥P ABC -，1,PA AB BC AC PB PC ======PC 与AB 所成角的余弦值是_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知p ：函数()()(,)xf x a m a m R =-∈在R 上单调递减，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1.（1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围. 18.（12分）为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示，如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这2名学生中从测试成绩介于80～90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率. 19.（12分）某地区实施“光盘行动”以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划，进店的每一位客人需预交50元，啤酒根据需要自己用量杯量取.结账时，根据每桌剩余酒量，按一定倍率收费（如下表），每桌剩余酒量不足1升的，按0升计算（如剩余1.7升，记为剩余1升）.例如结账时，某桌剩余酒量恰好为2升，则该桌的每位客人还应付50 1.25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据(,)x y （其中x 表示饮酒人数，y （升）表示饮酒量）：(1,0.8),(2,1,5),(3,2,5),(4,3.2),(5,4,5). （1）求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程；（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，这时，酒吧服务生对小王说，根据他的经验，小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒，会更划算.试问小王是否该接受服务生的建议？参考数据：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中 ()()()1122211ˆˆˆ,nni iiii i n ni i i i x ynx yxxy y bay bx x nxx x====---===---∑∑∑∑. 20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21.（12分）已知函数2()ln x f x x=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r .（1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若2||6||CD MN =，求2CD F S ∆.2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷参考答案1.C 全称命题的否定是特称命题.2.B 题意可得2,a b ==x 轴上，故其渐近线方程是2y x =±. 3.D 因为(1)(3)24i i i --=-，所以(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于第四象限. 4.A 由题意可得132(1)2m m ---=，解得4m =.5.C A ，B ，D 中的两个事件都可能同时发生，但C 中的两个事件不可能同时发生.6.C 由题意可得4p =，则点P 到x 轴的距离是532p-=. 7.A 满足条件的三位数有101，1l1，121，131，201，21，221，301，311，103，113，203，401，共13个，其中M 为偶数的三位数有101，121，211，301，103.故所求概率为513. 8.D 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121212122,8,1y y x x y y x x -+=+==-.因为A ，B 两点在双曲线C 上，所以2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以22221212220x x y y a b ---=，则()()()()2221212122221212128142y y y y b y y a x x x x x x +--===⨯=-+-，即2b a =，即双曲线C=.9.B 设直线1:0l x y n -+=，联立221,40,x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩整理得2258440x nx n ++-=，令()226420440n n ∆=--=，解得n =若m =则直线l 与1l之间的距离d ==即点P 到直线l.当点P 到直线l，即直线l 与1l 之间的最小距离d =m =m =-故选B. 10.B 由频率分布直方图知众数估计值为1101201152+=，中位数在110～120之间，设为x ，则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得113.3x ≈.考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人.安全知识考试超过140分（包括140分）的人员有10000.00251025⨯⨯=人，则安全科成员有25人.故②③正确.11.C 若()22xf x e =-，则由()22xf x e '==，得0x =，点(0,0)在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得2()x k k Z π=∈，(2)0f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；若1()3f x x x =+，则由21()32f x x'=-=，得1,(1,4),(1,4)x =±--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切；若3()2f x x x =--，则由2()312f x x '=-=，得1x =±，其中(1,2)--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.12.D由题意可得3c ==.不妨设点P 在双曲线C 的右支上，当2PF x ⊥轴时，将3x =代入22145x y -=，得52y =±，即25||2PF =，则121322PF PF a =+=，故129PF PF +=；当12PF PF ⊥时，则222121212||||36,|||4,|PF PF F F PF PF ⎧+==⎪⎨-=⎪⎩解得1222PF PF ==-12PF PF +=，且1226PF PF c +>=.综上，12PF PF +的取值范围是(9,)⋃+∞. 13.14 由题意可得128p =，则14p =. 14.0 连接AE （图略），由题意可得1122AE AB AD =+，则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-.因为11A E xAA yAB zAD =++，所以11,2x y z =-==，所以0x y z ++=.15.(1,0)(1,)-⋃+∞ 由题意构造函数()()()h x F x g x =，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，则()0F x '<，则()F x 在区间(,0)-∞上单调递减，又()F x 为奇函数，(1)0h -=，所以(1)(1)0F F -==，则()0()h a g a <的a 的取值范围为(1,0)(1,)-⋃+∞.由222PA AB PB +=，得PA AB ⊥，由222PA AC PC +=，得PA AC ⊥，由222AB BC AC +=，得AB BC ⊥.过A 作AB 的垂线AD ，以A 为原点，,,AD AB AP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C P -，所以(1,1,1)PC =--u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r ，于是|||cos ,|3||PC AB PC AB PC AB ⋅〈〉===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 17.解：（1）因为5m =，所以()(5)xf x a =-， 因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<.故a 的取值范围是(5,6).（2）若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 18.解：（1）这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.（2）在被抽取的学生中有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，将“达标”学生编号为A ，B “未达标”学生编号为,,,a b c d ，则从6人中任取2人，有以下情况：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B a b a c a d b c b d c d .共15种.其中符合条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 19.解：（1）123450,81,52,53,24,53, 2.555x y ++++++++====，551221546.637.5ˆ0.9155455i ii ii x yxybxx ==--===--∑∑，2.50.9130.23a y bx =-=-⨯=-，所求回归直线方程为0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升， 若不再邀请人，则剩余酒量8 5.23 2.77-=升，酒吧记为剩余2升， 预计需要支付506120%360⨯⨯=元；若再邀请1人，大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升，剩余酒量8 6.14 1.86-=升， 酒吧记为剩余1升，预计支付5071350⨯⨯=元；若再邀请2人，大约需饮酒0.9180.237.05⨯-=升，剩余酒量87.050.95-=升. 酒吧记为剩余0升，预计支付50890%360⨯⨯=元.所以应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算. 20.（1）证明：连接1A B .因为1111,,A AB A AC AB AC AA AA ∠=∠==，所以11A AB A AC ∆∆≌，所以11A B AC =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D ⋂=，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O 因为1A AD ∆是等边三角形，所以1AO AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间坐标系O xyz -. 因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13AO =.所以A ，1(0,0,3)A，(B，(2,0)C -，则1((2,0)AA AC ==--u u r u u u r .设平面1AA C 的法向量(,,)n x y z =r，则130,20,n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩rr 令1z =，得3,1)n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为(0,4,0)BC =-u u u r，记二面角1D AA C --为θ，则|cos |||||||n BC n BC θ⋅===r u u u r r ，故sin 13θ==.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2(2ln 1)()ln x x f x x-'=，令()0f x '=，则x =在(0,1)⋃上，()0f x '<；在)+∞上，()0f x '>. 所以()f x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =，得()f x a =.因为()1242333,2e f e e f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且24332e e >，又2f e =，所以a 的取值范围为2433,{2}2ee e ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦.22.解；（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵Q 在W 上，将8,77c b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴8816(,),777c b c b ⎛⎫--⋅-=- ⎪⎝⎭，∴222c b -=. 又∵222a b c =+，∴224,1a b ==，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2,||4CD MN ==，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4,||1CD MN ==，也不符合题意. ∴设直线2l的方程为(0)y k x k =+≠，联立22(1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222411240k x x k +++-=，则21212212441k x x x x k -+==+.()2241||41kMNk+==+.由221,1,4y xkxy⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4kCDk+=+.又∵26||||MN CD=，∴()()2222241161414k kk k++=++，∴22k=，∴||CD=∵2F到直线CD的距离1d==，∴2112F CDS∆=⨯⨯=。
2019-2020学年河北省张家口市高二(上)10月段考数学试卷(PDF版,含解析)
（2）建立 y 关于 x 的回归方程：（系数保留到小数点后两位）．
（3）如果某学生的数学成绩为 83 分，预测他本次的物理成绩（成绩取整数）．
n
(xi x )( yi y)
参考公式：回归方程为 yˆ bˆx aˆ ，其中 bˆ i1 n
， aˆ y bˆx ．
(xi x )2
日期
12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日
温差
10
11
13
12
8
发芽数（颗 )
23
26
32
26
16
由表中根据 12 月 2 日至 12 月 4 的数据，求的线性回归方程 yˆ bˆx aˆ 中的 bˆ 3 ，则 aˆ 为 ，
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 1 颗，则认为得到的 线性回归方程是可靠的，则求得的线性回归方程 ．（填“可靠”或“不可幕” ) 15．已知 p : 1 x a 4 ， q : (x 2)(3 x) 0 ，若 p 是 q 的充分条件，则实数 a 的取值 范围是 ．
【解答】解：命题 p : x 2 ，命题 q : 1 x 5 ，
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13．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中 ABC 为 直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，已知 BC 3 ， AC 6 在 ABC 上任取一点， 则此点取自正方形 DEFC 的概率为 ．
14．某市农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研 究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温度与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数，得到如下数据：
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业：章末质量检测第三章 直线与方程 含解析
如图所示，当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时，l的斜率逐渐变大，当直线l垂直于x轴时，l无斜率，再转动时斜率为负值并逐渐变大直到等于PB的斜率，所以直线l的斜率k≥kPA＝ 或k≤kPB＝－ ，即k≥ 或k≤－ .
答案： ∪
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
章末质量检测
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．经过A(2,0)，B(5,3)两点的直线的倾斜角为()
A．45°B．135°
C．90° D．60°
解析：∵A(2,0)，B(5,3)，∴直线AB的斜率k＝ ＝1.
∴直线l的方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0.
20．(12分)求直线l1：x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线l2的方程．
解析：由 得 ∴l1与l相交，且交点坐标为 ，则此点也在直线l2上．
在l1上取一点P(0，－2)，设它关于直线l的对称点为Q(x0，y0)，
则 解得
∴点Q(－3，－1)，
∴m＝1，n＝7.
(2)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.
又8×(－1)－n·m≠0，则 或
即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－ ＝－1，∴n＝8，
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.
22．(12分)(1)已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0，求证：不论m为何实数，此直线必过定点；
设直线AB的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，
期末模拟题(二)-2021-2022学年高二上学期数学(人教A版(2019)选择性必修第一册)
高二上册数学期末模拟题（二）-人教A 版（2019）新高考一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，则4a =（ ） A ．32B ．53C ．74D ．852．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（ ）A ．12y x =± B ．2y x =±C ．4x y =±D ．14x y =±3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（ ）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++4．圆22(1)(2)2x y -++=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为（ ） A ．22(1)(3)2x y ++-= B ．22(1)(3)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-= D ．22(3)(2)2x y -++=5．已知4ln 4a a -=，3ln 3-=b b ，22ln -=cc ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<6．已知数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（ ） A ．1021B ．1123C ．2021D ．22237．已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（ ） A．6B．10-C．8D．28．若曲线12,C C 存在到直线l 距离相等的点，则称12,C C 相对直线l “互关”.已知曲线22212:,:(4)2C y x a C x y =+-+=相对直线:0l x y -=“互关”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,4]∞- B ．25(,]4∞- C ．25(2,]4D ．25()4∞+，二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()()1,2,2,0,1,1A B -，下列结论正确的有（ ） A ．(1,1,3)AB =--B ．若()2,1,1m =，则⊥m ABC ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2- D．||AB =10．已知曲线C ：()224y m x =-，其中m 为非零常数，则下列结论中正确的是（ ）A ．当1m =-时，则曲线C 是一个圆B ．当0m >时，则曲线C 是一个双曲线C ．若3m =-时，则曲线是焦点为(0,±的椭圆 D ．若曲线C2m =- 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．函数()1,11ln ,1x e m x f x x x x -+⎧+<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．1m ≥B ．()()21f f m -<--C ．()()()ln 21f m f m +<+D ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________.14．在平面直角坐标系中，以点(0,1)为圆心且与直线20mx y m --+=相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______15．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B两点，则2ABF 的内切圆面积的最大值为___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()24342x f x x +=+.设()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，则6a =___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥．（1）求证：数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；18．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小； （2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A (－2，2)，B (0，2)，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0，1)的直线l 与轨迹C 相交于M 、N 两点，且||4MN =，求直线l 的方程． 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足32HE HD =（1）求点D 的轨迹2C 的方程;（2）若点P 是直线:250l x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值.21．已知数列{}n a 满足a 1＝1，a n ＋1＝2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数（1）从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列{}n b 的通项公式； ①b n ＝a 2n －1＋3；②b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1． （2）求数列{}n a 的前n 项和为S n ．22．已知函数()()2ln f x x x ax x a R =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且122x x >，证明1228x x e >.参考答案1．B 【分析】分别将2n =，3，4代入递推关系式求出2a ，3a ，4a 的值即可求解. 【详解】数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥， 令2n =，可得21111121a a =+=+=， 令3n =，可得321131122a a =+=+=， 令4n =，可得431251133a a =+=+=， 故选：B. 2．B 【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线2214y x -=中，1a =，2b =，所以，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：B. 3．A 【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，连接OG ，则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ 215326a b c ++=．故选：A ． 4．C 【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程. 【详解】圆22(1)(2)2x y -++=的圆心(1,2)-，由:10l x y -+=得1l k =设对称点的坐标为(,)m n ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， 211{121022l n k m m n +⋅=--+--+=，化简得1050m n m n ++=⎧⎨-+=⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩所以对称圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=.故选:C. 5．C 【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】 由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-， 令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C 6．C 【分析】用1n -替换已知式中的n ，然后两式相减求得n a ，然后由裂项相消法求和． 【详解】 因为123(21)2n a a n a n +++-=，所以2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-，两式相减得(21)2n n a -=，221n a n =-， 又12a =，满足此式，所以221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+， 所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ． 7．A 【分析】根据双曲线的性质可得直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±，重合或平行，即可求出a ，再利用双曲线的定义转化可求最小值. 【详解】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行， ∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行， ∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF =∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=， ∴2APAF +的最小值为6. 故选：A. 8．B 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心2(40)C ，到直线l 的距离，进而得出圆上点到直线l 的最大距离max d ，当0a ≤时满足题意；当0a >时，利用导数的几何意义求出曲线1C 的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线l 的距离2d ，结合2max d d ≤计算即可. 【详解】 由题意知，圆2C 的圆心坐标为2(40)C ，，半径为r = 圆心2(40)C ，到直线l的距离为1d ==所以圆上的点到直线l 的最大距离为max 1d d r =+=当0a ≤时，21C y x a =+：为开口向上的抛物线，1C 、2C 存在到直线l 距离相等的点，符合题意；当0a >时，由21C y x a =+：，得2y x '=，设点00()P x y ，为曲线1C 上的一点，则曲线上过点P 的切线方程的斜率为02x ，又过点P 且与直线l 平行的切线方程的斜率为1，所以02x =1，012x =，所以切点11()24P a +，，此时切点11()24P a +，到直线l的距离为2d =， 由2max d d ≤≤164a -≤，解得232544a -≤≤，所以2504a <≤综上所述，254 a≤故选：B9．AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果. 【详解】()()1,2,2,0,1,1A B-，∴(1,1,3)AB=--,1AB=+A正确,D 错误.若()2,1,1m=，则()()=211113=0m AB⋅⨯-+⨯-+⨯,则⊥m AB,B正确，点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2，故C错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为22221x ya b±=的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：1m=-时，曲线可整理为224x y+=，即曲线C是一个圆，正确；B：0m>时，曲线可整理为22144x ym-=，即曲线C是一个双曲线，正确；C：3m=-时，曲线可整理为221124y x+=，即曲线是焦点为(0,±的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线C的椭圆，则m<⎧⎪=2m<⎧=，可得12m=-或2m=-，错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD. 12．ACD 【分析】判断函数在(),1-∞上的单调性，再根据函数的值域即可求出m 的范围，即可判断A ；根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断B ；利用导数判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，求出函数()h x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断1m +与()ln 2m +的大小，从而可判断C ；令()ln xg x x=，求出函数()g x 在(]0,e 上的单调性，再根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断D. 【详解】解：当1x ≤时，()1ln f x x x =+-，则()1110x f x x x-'=-=≥， 所以函数()f x 在[)1,+∞上递增，()()12f x f ≥=，当1x <时，()1x f x em -+=+在(),1-∞上递减， 则()()112f x f m >=+≥，解得m 1≥，故A 正确； 则12m --≤-，所以()()21f f m -≤--，故B 错误； 则23m +≥，故()ln 21m +>， 令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥， 则()111022x h x x x +'=-=>++，所以函数()h x 在[)1,+∞上递增， 所以()()12ln30h x h ≥=->，所以()ln 12x x +>+，即()1ln 2m m +>+， 所以()()()ln 21f m f m +<+，故C 正确； 令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当0x e <≤时，()0g x '≤，所以函数()g x 在(]0,e 上递增， 所以()()2g g e <，即ln 2112e<<， 所以ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 13．25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,1,2),(2,2,1)A B E F ， 则1(2,1,0),(0,2,1)A E BF ==，故1112,cos ,55||A E BF A E BF A E BF ⋅===.故答案为：2514．22(1)2x y +-= 【分析】把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线20mx y m --+=，即()21y m x -=-，恒过定点()1,2，记P 为()1,2 设要求圆的半径为r ，其圆心C 的坐标为(0,1)， 其与直线20mx y m --+=相切的所有圆中，当切点为P 点时，半径最大且为CP ， 所以，()()22221021r CP ==-+-=2， 则所求圆的方程为22(1)2x y +-= 故答案为：22(1)2x y +-=． 15．4π 【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值． 【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+， 则2121212ABF SF F y y =⋅-12=⋅====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF 的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==， 则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF 的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π． 16．19 【分析】根据基本不等式可知[)0,1x ∈时()min 1f x =，又()()13f x f x +=+，可得()()13f x f x =-+，进而可求出[)1,2x ∈时()1min 4f x a ==，由此可知[)()*1,2x n n n N ∈++∈时，可得13n n a a +=+，由此可证数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()22411414413122=11422422x x x f x x x x x ⎛⎫+++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎛⎫⎝ ⎪+⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎭ 因为32121,2x ∈+⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()11121121f x x x ⎛⎫+-≥= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝+⎭= 当且仅当11122x x +=+，即12x =时，取等号；所以当[)0,1x ∈时，()min 1f x =； 又()()13f x f x +=+ 所以()()13f x f x =-+； 当[)1,2x ∈时，则[)10,1x -∈， 所以()()min min 134f x f x =-+=；又()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，所以14a =当[)()*1,2x n n n N∈++∈时，则[)()*1,1x n n n N -∈+∈所以()()min min 13f x f x =-+ 即13n n a a +=+，所以13n n a a +-=所以数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，即()43131n a n n =+-=+ 所以619a =. 故答案为：19.17．（1）证明见解析；（2）1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈.【分析】 （1）由题设可得11221n n n n S S ---=，即可证明结论； （2）由（1）可知2nn S n =⋅，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（1）由12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥，∴112nn n n S S S ---=+，整理得：11221n n n n S S ---=，而11221S a ==， ∴2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列，得证. （2）由（1）得：2nn S n =⋅，①当1n =时，112a S ==；②当2n ≥时，111(1)(1)222n n n n n n a S S n n n ---=-=--⋅=+⋅⋅，综上，1n =时1(1)2n n a n -=+⋅成立，∴1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈. 18． （1）60°； （2）23.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果； （1）以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ，()2,,0E a a ，(),2,0F a a ， 所以1(0,2,2)A D a a =-，(,,0)EF a a =-，设1A D 与EF 所成角的大小为α， 则211222211cos cos ,244A D EF A D EF A D EFa a a a ⋅====⋅+⋅+α， 因为异面直线成角的范围是(0,90⎤⎦，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°． （2）设平面1B FB 的法向量为()0000,,n x y z =，1A E 与平面1B FB 所成角为β，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a =-，1(0,0,2)BB a =，所以0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令02x =，得0(2,1,0)n =为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a =-，所以10102221045sin cos ,4414A E n a a A E n A E n a a a ⋅+====⋅++⋅+β 所以22cos 1sin 3=-ββ． 19．（1）22(2)(2)8x y -+-=； （2）x ＝0或3x ＋4y －4＝0﹒ 【分析】(1)设动点P 的坐标，直接利用已知的等式2PA PB=(2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可． （1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则PA PB==，整理得22(2)(2)8x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，方程为22(2)(2)8x y -+-=； （2）由(1)知动点P 的轨迹是圆心为(2,2)C，半径R = 设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||2FM FN ==， 圆心C 到直线l 的距离||2d CF ==， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =， 此时||2CF =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由题意得2d ==，解得34k =-；故直线l 的方程为3440x y +-=，综上直线l 的方程为0x =或3440x y +-=． 20．（1）224x y +=； （2【分析】（1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，再代入2200143x y +=化简即可求解；（2）由圆的切线的性质可得PM PN =，OM PM ⊥，S OM PM =⋅=圆心O 到直线l 的距离即为OP 的最小值，进而可得面积S 的最小值，再由min min 12S OP MN =⋅即可得MN 的值. （1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ， 由32HE HD =可得())000,,y x x y =-，所以)000x x y y -==，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点()00,E x y 在椭圆221:143x y C +=上，所以2200143x y +=，所以22143yx ⎫⎪⎝⎭+=，整理可得：224x y +=，所以点D 的轨迹方程为224x y +=. （2）由圆的切线性质知，切线长PM PN =，OM PM ⊥，所以四边形面积2S OM PM PM =⋅===所以当OP 最小时，面积最小，而OP 的最小值即为点O 到直线:250l x y --=的距离d ==此时min 2S ==，又因为min min 11222S OP MN MN =⋅==，可得MN =， 所以四边形OMPN面积最小时MN21．（1）所选条件见解析，124,8b b ==；12n n b +=；（2）7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 【分析】（1）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. （1）当n 为奇数时，21323n n n a a a ++=+=+，则()2323n n a a ++=+，且134a +=，则12342n n a ++=⋅，即3223n n a +=-，当n 为偶数时，()2122326n n n n a a a a ++==+=+，则()2626n n a a ++=+，且2122a a ==，268a +=，则12682n na ++=⋅，即4226n n a +=-，若选①，则213122132332n n n n b a -++-=+=-+=，则124,8b b ==；若选②，则2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭，则124,8b b ==，（2）当n 为偶数时，12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 4622922122n n n ++=+--当n 为奇数时，12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 72921222n n +=--7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 22．（1）单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）当0a =时，()ln 2f x x '=+，结合导数正负判断函数单调区间即可；（2）因12,x x 是函数零点，得2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，分离得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，构造()12ln x x ⋅，代换成关于t 的函数表达式()h t ，通过()h t '求出()h t 最值，进而得证. （1）答案第17页，共17页当0a =时，()()ln ,ln 2f x x x x f x x =+∴=+',令()0f x '>得21x e >，令()0f x '<得210x e <<， ()f x ∴的单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若()f x 有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=， 得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+. 2120x x >>，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+， 得1ln ln 11t x t =--， 则()211ln ln ln ln ln 11t t x tx t x t ==+=--， ()()12121ln ln ln ln ln ln 11 2.111t t t t t x x x x t t t +∴=+=-+-=---- 令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则212ln ()(1)t t t h t t -+-'=-， 令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'， ()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3t 22ln202ϕϕ∴>=->. ()()20(1)t h t t ϕ∴=>-'，则()h t 在()2,+∞上单调递增， ()()2823ln 22ln h t h e∴>=-=，即()1228ln ln x x e >， 1228x x e ∴>.答案第18页，共1页。
2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
二十八抛物线方程及性质的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=03.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]4.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,则|AF|+|BF|= ( )A.8B.11C.13D.16二、填空题(每小题5分,共10分)5.抛物线x=8y2的通径(通径即过焦点垂直于对称轴的弦)长为.6.设F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,求此抛物线的方程.8.已知抛物线y2=2px(1<p<3)的焦点为F,抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N,求的值.(15分钟·30分)1.(5分)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-22.(5分)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是 ( )A.5B.4C.2+1D.+13.(5分)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.4.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .【加练·固】已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·= -4,则点A 的坐标是.5.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,-3),求直线l的方程.1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且k AP+k BP=-2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.二十八抛物线方程及性质的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条;当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条.2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【解析】选D.设切线方程为2x-y+m=0,与y=x2联立得x2-2x-m=0,Δ=4+4m=0,m=-1,即切线方程为2x-y-1=0.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,得x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1.综上,k的取值范围是[-1,1].4.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,则|AF|+|BF|= ( )A.8B.11C.13D.16【解析】选C.抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=10,则|AF|+|BF|=y1+y2+p=10+3=13.二、填空题(每小题5分,共10分)5.抛物线x=8y2的通径(通径即过焦点垂直于对称轴的弦)长为.【解析】抛物线x=8y2,即y2=x,可得2p=,因此通径长为.答案:6.设F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .【解析】由y2=8x,得2p=8,p=4,则F(2,0),所以过A,B的直线方程为y=(x-2),联立得x2-28x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=28,所以|AB|=x1+x2+p=28+4=32.答案:32三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为x2=ay(a≠0).由方程组消去y,得2x2-ax+a=0.因为直线与抛物线有两个交点,所以Δ=(-a)2-4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|===,因为|AB|=,所以=,即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,所以所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.8.已知抛物线y2=2px(1<p<3)的焦点为F,抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N,求的值.【解析】(1)由题意知消去x0得2p2-5p+2=0,因为1<p<3,解得p=2,所以x0=,所以抛物线标准方程为y2=4x.(2)因为F(1,0),M,所以k MF=-,直线MF的方程为4x+3y-4=0,联立方程得方程组消去x得y2+3y-4=0,解得y=-4或1,将y=-4代入y2=4x,解得x=4,则|MF|=+1=,|NF|=4+1=5,所以==.(15分钟·30分)1.(5分)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入y=x+b,可得b=-2.2.(5分)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是 ( )A.5B.4C.2+1D.+1【解析】选B.点P是抛物线y2=4x上的点,又点P到抛物线准线的距离为d,点P到圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的动点Q的距离为|PQ|,由抛物线定义知:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,如图所示,连接圆心C与F,交圆于Q.FC交抛物线的点即为使d+|PQ|最小时P的位置,所以d+|PQ|的最小值为:|FC|-1,因为C(-2,4),F(1,0),所以|FC|==5,|CQ|=1,所以d+|PQ|的最小值为5-1=4.3.(5分)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.【解析】设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+的最小值为32.答案:324.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1), 由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,因为∠AMB=90°,所以·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+[k(x1-1)-1]·[k(x2-1)-1]=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:2【加练·固】已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·= -4,则点A 的坐标是.【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设A,则=,=,由·=-4得y0=±2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).答案:(1,2)或(1,-2)5.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,-3),求直线l的方程.【解析】(1)由抛物线定义,可得5+=8,解得p=6,所以抛物线C的方程为:y2=12x.(2)由(1)知,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+3,联立方程消去x,整理得y2-12my-36=0,则Δ=144m2+144>0,且y1+y2=12m,y1y2=-36.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0,-3),所以·=0,即x1·x2+(y1+3)·(y2+3)=0,所以x1x2+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(my1+3)(my2+3)+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(m2+1)y1y2+(3m+3)(y1+y2)+18=0,-36m2-36+36m2+36m+18=0,所以m=.所以直线l的方程为:x=y+3,即2x-y-6=0.1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.【解析】设M(x1,),N(x2,),两点关于直线y=kx+对称,显然k=0时不成立,所以=-,即x1+x2=-.设MN的中点为P(x0,y0),则x0=-,y0=k×+=4.又中点P在抛物线y=x2内,所以4>,即k2>,所以k>或k<-.答案:∪2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且k AP+k BP=-2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)由题可得:解得x0=2,p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)过定点(-2,0).设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消x得:y2-8my-8n=0,Δ=32(2m2+n)>0,所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,所以k AP===,同理k BP=,又k AP+k BP=-2,所以y1y2-16=0,所以n=-2,所以直线l的方程为:x=my-2,过定点(-2,0).。
2019-2020学年高中数学人教A版必修一阶段质量检测：第二章 基本初等函数(Ⅰ) 含解析
阶段质量检测(二)基本初等函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(lg 9－1)2等于()A．lg 9－1 B．1－lg 9C．8 D．2 2解析：因为lg 9<lg 10＝1，所以(lg 9－1)2＝1－lg 9.答案：B解析：方法一当a>1时，y＝x a与y＝log a x均为增函数，但y＝x a 增较快，排除C；当0<a<1时，y＝x a为增函数，y＝log a x为减函数，排除由于y＝x a递增较慢，所以选D.＝x a的图象不过(0,1)点，故A的图象知0<a<1，而此时幂函数f(x)＝xB错，D对；C项中由对数函数x)＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，2⎝⎭4a ＝±3，又a >0，∴a ＝ 3.答案：A12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14x ，x ≥1，a x ，x <1，在R 上为减函数，则实数的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∴f(x)的减区间为(－∞，1]．答案：(－∞，1]16．若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则函数g(x)＝log a(x－m)(其中a>0≠1)的图象过定点A的坐标为________．解析：若函数f(x)＝(m－1)xα是幂函数，则m＝2，则函数g(x)＝log a(x－m)＝log a(x－2)(其中a>0，a≠1)，令x－2＝1，则x＝3，g(x)＝0，其图象过定点A的坐标为(3,0)．答案：(3,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)43所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3423>⎝ ⎛⎭⎪⎫2334.19．(12分)已知f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(1－x )． (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并加以说明；(3)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22的值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－1x <1，即－1<x <1.⎩⎪g (x )，f (x )>g (x )，解析：(1)设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)2，解得α＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得＝－1，即g (x )＝x －1.(2)在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －1的图象，可得函数h (x )的图象如图所示．的解析式及图象可知，函数h (。
河北省张家口市2019-2020学年高二上学期10月阶段测试 数学 Word版含答案
绝密★启封前张家口市2019－2020学年第一学期阶段测试卷高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡第Ⅰ卷一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是根据x，y的观测数据(x i，y i)(i＝1，2，···，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是A.①②B.①④C.②③D.③④2.一个频率分布表(样本容量为50)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)上的频率为0.6，则估计样本在[40，60)内的数据个数为A.10B.13C.14D.153.为了解某社区居民有无收看“青运会开幕式”，某记者分别从某社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的160人，x 人，200人中，采用分层抽样的方法共抽查了30人进行调查，若在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为A.120B.180C.220D.2404.命题p ：x －2>0；命题q ：x 2－4x －5<0。
若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则实数x 的取值范围是A.2<x<5B.－1<x≤2或x≥5C.－1<x<2或x≥5D.－1<x<2或x>55.下面的茎叶图表示的是甲乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，已知甲、乙的平均成绩相同，则被污损的数字为A.7B.8C.9D.06.从一批产品中取出四件产品，设A ＝“四件产品全不是次品”，B ＝“四件产品全是次品”，C ＝“四件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是A.A 与C 互斥B.任何两个均互斥C.B 与C 互斥D.任何两个均不互斥7.已知函数f(x)＝log 2(x ＋2)，若[－1，5]在上随机取一个实数x 0，则f(x 0)≥1的概率为 A.35 B.56 C.57 D.678.从集合A ＝{1，3，5，7，9}和集合B ＝{2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和能被3整除的概率是 A.13 B.310 C.720 D.3209.下列判断正确的个数是①“ω＝1”是函数f(x)＝sinωx －cosωx 的最小正周期为2π的充分不必要条件②若()p q ⌝∨为真命题，则p ，q 均为假命题③命题2000,13x R x x ∃∈+>的否定是：2,13x R x x ∀∈+<A.0B.1C.2D.310.为激发学生学习兴趣，老师上课时在板上写出三个集合：20x A x x ∆-⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，B ＝{x|x 2－4x －5≤0}，13log {0}C x x =>，然后请甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“△”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件。
张家口市2019-2020学年高二上学期数学期末考试卷附答案详析
张家口市2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000无人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取n 人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A ．24B ．27C ．30D ．322．已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．200,10x R x ∃∈+≥ C ．200,10x R x ∀∈+≥D ．200,10x R x ∀∈+<3．从1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．1104．已知定点()() 2,,2,,M a N a a -为常数，且2PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．一条射线B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一支5．命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ）A ．“若4a π≠"，则tan 1a ≠” B ．“若4a π≠"，则tan 1a =”C ．“若4a π=，则tan 1a ≠” D ．“若tan 1a ≠，则4a π≠”6．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ） A ．事件1A ：“恰有两次正面向上”，事件1B ：“恰有两次反面向上” B ．事件2A ：“恰有两次正面向上”，事件2B ：“恰有一次正面向上” C ．事件3A ：“至少有一次正面向上”，事件3B ：“至多一次正面向上” D ．事件4A ：“至少有一次正面向上”，事件4B ：“恰有三次反面向上”7．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．238．奖饭店推出甲.乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到下面的茎叶图.下列说法中，不正确的是（ ）A ．甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B ．甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C ．甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D ．甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大. 9．过抛物线21:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为5,2M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则AB =（ ）A ．8116B ．418C ．13D ．910．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A ．69B ．539C ．53D ．2311．已知12,F F 分别是双曲线()22221:0,0x y C a b a b=->>的左、右焦点，以线段12,F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点.若212PQF π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．21+ D ．31+12．已知A 为椭圆2214x y +=的左顶点，直线(0)y kx k =≠与该椭圆相交于,P Q 两点，连接,.AP AQ 设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则2212112k k +的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ．32D ．42二、填空题13．已知某5个数,,,,a b c d e 的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为2s，则2s ____1(填“>”或“< -").14．在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则 y cos x =的值在0到32之间的概率为__________. 15．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，1123,3PF F PF π=∠=，则b =______.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且2,60,AB DAB PAD =∠=∆o 是等边三角形，6,PB Q =点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是_______.三、解答题17．已知命题p ：“实数m 满足：方程22152x y m m +=-+表示双曲线”，命题q ：“实数m 满足：()22210m m t t -+<>，并且q 是p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.18．初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动.随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多.用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据.x1 2 3 4 5体育成绩90分以上 学生的百分比y 30%40% 45% 50% 65%（1）求出y 关于x 的回归直线方程； （2）试根据()1求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式:由最小二乘法所得回归直线的方程是^^^y b x a =+其中，()()()^^^1122211,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y b x xnxx x ====---===---∑∑∑∑.19．已知抛物线()2:20C xpy p =>的焦点为F ，点A 是抛物线C 上任意一点，且min 1AF =.（1）求抛物线C 的方程； （2）设经过点()0,2、倾斜角为3π的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点，抛物线C 的准线与y 轴交于E 点，求MEN ∆的面积.20．近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数； （2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高.21．如图，四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是菱形，'AA ⊥平面,2,60ABCD AB BAD =∠=o点P 是侧棱'CC 上的点，'A P PB ⊥， （1）证明：平面''A PD ⊥平面;PBD（2）若P 是'CC 的中点，求二面角''A BP D --的余弦值.22．已知点()()1,0,1,0M N -，设TMN ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，且3.S r =（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知()()2,0,2,0B C -，点P 是直线4x =上的动点，直线PB 与曲线W 的一个交点为E .直线PC 与曲线W 的一个交点为F ，并且,,P E F 都不在坐标轴上.求证：直线EF 经过定点.解析张家口市2019-2020学年高二上学期期末考数学试卷一、单选题1．为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000无人(其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人)中抽取n 人.已知从高一抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（ ） A ．24 B ．27 C ．30 D ．32【答案】B【解析】根据分层抽样的等比例性质，结合题意，进行计算即可. 【详解】根据分层抽样的等比例抽样的性质， 设从高二和高三抽取x 人，可得：1818001200x =解得27x =故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样等比例抽取的性质，属基础题. 2．已知命题200:,10p x R x ∃∈+<，那么命题p 的否定是（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．200,10x R x ∃∈+≥ C ．200,10x R x ∀∈+≥ D ．200,10x R x ∀∈+<【答案】C【解析】根据特称命题的否定的求解原则，即可写出其命题的否定.【详解】命题200:,10p x R x ∃∈+<， 那么命题p 的否定是：200,10x R x ∀∈+≥.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题.3．从1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（ ） A ．310B ．15C ．320D ．110【答案】A【解析】先计算所有的可能性，从中选出满足题意的可能，用古典概率计算公式即可求得. 【详解】从5个数中选择两个，总共有10种可能，其中满足乘积为奇数的可能相当于从3个奇数中选2个，共有3种可能: 1和3,1和5,3和5.故这两个数的积为奇数的概率310P =. 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难点是对满足题意的可能性进行求解. 4．已知定点()() 2,,2,,M a N a a -为常数，且2PM PN -=，则动点P 的轨迹是（ ）A ．一条射线B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一支【答案】D【解析】根据题意，结合曲线的特征，进行判断即可. 【详解】根据题意，动点P 到两个定点M 和N 的距离之差为定值，且该定值小于M 、N 的距离， 故动点P 的轨迹方程是以M 和N 为焦点的双曲线， 又因为2PM PN -=，故只是双曲线上靠近焦点N 的一支.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的定义，属基础题，易错点是没有注意到此题表述的是双曲的一支，而不是整个双曲线. 5．命题“若4a π=”，则tan 1a ="的否命题是（ ）A ．“若4a π≠"，则tan 1a ≠” B ．“若4a π≠"，则tan 1a =”C ．“若4a π=，则tan 1a ≠” D ．“若tan 1a ≠，则4a π≠”【答案】A【解析】根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可. 【详解】根据否命题的要求，需要将条件和结论都要否定， 故命题：若4a π=，则tan 1a =的否命题是：若4a π≠，则tan 1a ≠.故选：A. 【点睛】本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.6．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（ ） A ．事件1A ：“恰有两次正面向上”，事件1B ：“恰有两次反面向上” B ．事件2A ：“恰有两次正面向上”，事件2B ：“恰有一次正面向上” C ．事件3A ：“至少有一次正面向上”，事件3B ：“至多一次正面向上” D ．事件4A ：“至少有一次正面向上”，事件4B ：“恰有三次反面向上” 【答案】D【解析】根据对立事件的定义，对每个选项进行逐一判断即可. 【详解】将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，共有8种可能，对A ：除恰有两次正面向上，和恰有两次反面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对B ：除恰有两次正面向上，和恰有一次正面向上，还有三次都是正面等事件，故不对立； 对C ：至少有一次正面向上，和至多一次正面向上，两个事件不互斥，故一定不对立； 对D ：两个事件对立. 故选：D. 【点睛】本题考查对立事件的定义，属概念辨析题.7．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为3y x =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．23【答案】C【解析】根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得. 【详解】因为渐近线方程为3y x =故3b a =，故可得：21132b e a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.8．奖饭店推出甲.乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到下面的茎叶图.下列说法中，不正确的是（ ）A ．甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B ．甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C ．甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D ．甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大. 【答案】C【解析】根据茎叶图的数据，对每个选项的描述进行分析即可. 【详解】甲的众数是61，乙的众数是62，甲的众数小于乙的众数，故A 选项描述正确；甲的中位数是61，乙的中位数是62，甲的中位数小于乙的中位数，故B 选项描述正确； 甲的平均数是61，乙的众数是61，平均数相等，故C 选项描述不正确； 甲的方差是3207，乙的方差是2247，甲的方差比乙的方差大，故D 选项描述正确 故选：C. 【点睛】本题考查众数、中位数、平均数以及方差的计算，属基础题. 9．过抛物线21:8C y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于,A B 两点，线段AB 的中点为5,2M a ⎛⎫⎪⎝⎭，则AB =（ ）A ．8116B ．418C ．13D ．9【答案】D【解析】根据抛物线焦点弦的计算公式，即可求得. 【详解】 对抛物线21:8C y x =，其焦点坐标为()2,0，故4p = 根据抛物线焦点弦公式可得：52492A B AB y y p =++=⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的计算公式，属基础题. 10．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D所成角的余弦值为（ ） A ．69B ．539C ．53D ．23【答案】A【解析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法进行处理. 【详解】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则：1C E u u u u r(1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为nr(,,)x y z =则10n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r 可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n r (2,2,1)=--则1,cos n C E u u u u r r =11n C E n C E ⋅u u uu r r u u uu r r 553933==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ则539sin θ=，261sin 9cos θθ=-=.故选：A. 【点睛】本题考查线面角的求解，属基础题.11．已知12,F F 分别是双曲线()22221:0,0x y C a b a b=->>的左、右焦点，以线段12,F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于,P Q 两点.若212PQF π∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．21+ D ．31+【答案】B【解析】根据题意，结合已知条件，求解三角形边长，利用双曲线定义进行求解. 【详解】根据题意，作图如下：因为21212PQF PF F π∠==∠，故在12Rt PF F n 中：2sin212PF c π=⨯，1cos212PF c π=⨯由双曲线的定义可知：cos2sin221212c c a ππ⨯-⨯=故可得：121212e cossinππ==-.故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键的步骤是根据几何关系，利用双曲线的定义来进行求解.12．已知A 为椭圆2214x y +=的左顶点，直线(0)y kx k =≠与该椭圆相交于,P Q 两点，连接,.AP AQ 设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k ，则2212112k k +的最小值为（ ） A ．2 B ．22 C ．32 D ．42【答案】D【解析】设出直线,AP AQ 的方程，联立椭圆方程，根据P 、Q 两点关于原点对称，找到1k 与2k 之间的关系，再用均值不等式进行处理即可. 【详解】 设()()1122,,,Px y Q x y ，直线AP 方程为：()12y k x =+联立椭圆方程可得：()222211114161640k x k x k +++-=故可得21121164214k x k --=+，解得211218214k x k -+=+，同理可得222228214k x k -+=+ 因为120x x +=，故可得：22122212828201414k k k k -+-++=++整理化简得：2212116k k =. 故2212112k k +22121228422k k ≥==，当且仅当22122k k =时取得最小值. 故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及均值不等式的使用，韦达定理的应用；本题的难点在于找到斜率之间的关系.二、填空题13．已知某5个数,,,,a b c d e 的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为2s ，则2s ____1(填“>”或“< -").【答案】<【解析】根据方差的计算公式，进行推理证明.【详解】 根据题意：()()()222188815a b e ⎡⎤-+-++-=⎣⎦L 加入新的数据后，平均数未发生变化，故6个数字的方差为:()()()()()()222222211888888165s a b e a b e ⎡⎤⎡⎤=-+-++-<-+-++-=⎣⎦⎣⎦L L 故答案为：<.【点睛】本题考查方差的计算，属基础题.14．在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，则 y cos x =的值在0到32之间的概率为__________. 【答案】49【解析】求解出不等式3cos 0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的解集，利用几何概型的概率计算公式求解即可. 【详解】 当,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，解不等式：302cosx ≤≤， 可得不等式解集为,,2662x ππππ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，区间长度为23π 根据几何概型计算公式，y cos x =的值在0到32之间的概率为243392P ππ== 故答案为：49. 【点睛】本题考查几何概型概率的计算，涉及解三角不等式.15．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为12,,F F P 为椭圆上一点，1123,3PF F PF π=∠=，则b =______. 【答案】32【解析】在焦点三角形中，由余弦定理，列出关于b 的等式，求解方程即可.【详解】 根据椭圆的定义：223PF a =-在焦点三角形12PF F 中，由余弦定理可得：22212121242PF PF c cos F PF PF PF +-∠=， 代值可得：22441827c a a =-+由224c b =-代入可得()2444418227b -=⨯-⨯+294b =，即可得32b =.故答案为：32. 【点睛】 本题考查由几何关系求椭圆的方程，属基础题.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，且2,60,AB DAB PAD =∠=∆o 是等边三角形，6,PB Q =点是侧面PBC 内的一个动点，且满足DQ AC ⊥，则Q 点所形成的轨迹长度是_______. 【答案】273【解析】根据题意，Q 点在一个过BD ，且与直线AC 垂直的平面内，且Q 点的轨迹是该平面内与平面PBC 的交线段的长度.据此进行求解.【详解】根据题意，连接AC ，BD ，记其交点为O ，取PC 上一点为M ，连接MB ，MD ，作图如下：若满足题意DQ AC ⊥，又AC BD ⊥，故AC ⊥平面DBQ ，则点Q 只要在平面DBQ 与平面PBC 的交线上即可.假设如图所示：平面DBM 与平面DBQ 是同一个平面，则Q 点的轨迹就是线段BM.根据假设，此时直线AC ⊥平面DBM ，则AC MO ⊥.故三角形MOC 为直角三角形.因为三角形PAD 是等边三角形，三角形BAD 也是等边三角形，故AD PB ⊥，又因为BC //AD ，故BC ⊥PB ，故三角形PBC 为直角三角形，故2210PC PB BC =+=故在三角形PAC 中，2,23,10PA AC PC === 由余弦定理可得：101243302021023cos PCA +-∠==⨯ 故在直角三角形MOC 中，2103OC MC cos PCA ==∠ 在直角三角形PBC 中，BC cos PCB PC ∠==210510= 在三角形BCM 中： 2222829BM BC CM BC CM cos PCB =+-⨯⨯⨯∠=故可得：273BM =.故答案为273. 【点睛】 本题综合考查立体几何知识，其中的难点在于如何找到动点的轨迹；本题中利用作直线的垂面找到了动点的轨迹，这是常考的知识点.本题属立体几何综合性难题.三、解答题17．已知命题p ：“实数m 满足：方程22152x y m m +=-+表示双曲线”，命题q ：“实数m 满足：()22210m m t t -+<>，并且q 是p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】4t ≥【解析】先求出命题为真对应的集合，然后根据集合对应的关系，求参数范围.【详解】 方程22152x y m m +=-+表示双曲线，()()520,m m -+<∴ 25m ∴-<<由()222100m m t t -+-<>，得11t m t -<<+.因为q 是p 的必要不充分条件，1215t t -≤-⎧∴⎨+>⎩或1215t t -<-⎧⎨+≥⎩ 解得4t ≥.【点睛】 本能考查由命题之间的关系，转化为集合之间的关系求参数范围的问题.18．初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动.随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多.用y 表示x 月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如下数据. x1 2 3 4 5 体育成绩90分以上学生的百分比y 30% 40% 45% 50% 65%（1）求出y 关于x 的回归直线方程；（2）试根据()1求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少?参考公式:由最小二乘法所得回归直线的方程是^^^y b x a =+其中，()()()^^^1122211,n ni i i ii i n n i ii i x x y y x y nx y b a y b x x nx x x ====---===---∑∑∑∑. 【答案】（1）^0.080.22y x =+；（2）78%【解析】（1）根据表格数据，结合参考公式，代值计算即可；（2）令（1）中求出的回归方程中的7x =，求出函数值即为预测值.【详解】（1）由表格数据可得：_3,0.46x y ==^122150.085n i ii n i i x y x y b xx ==-==-∑∑^^0.460.0830.22a y b x =-=-⨯=故^y 关于x 的回归直线方程为^0.080.22y x =+. （2）由（1）知：^0.080.22y x =+ 令7x =，解得^0.7878%y ==. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解，以及用回归直线方程进行预测，属基础题.19．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点A 是抛物线C 上任意一点，且min 1AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）设经过点()0,2、倾斜角为3π的直线l 与抛物线C 交于,M N 两点，抛物线C 的准线与y 轴交于E 点，求MEN ∆的面积.【答案】（1）24x y =；（2）65【解析】（1）根据min 1AF =，即可求得抛物线方程；（2）根据（1）中所求抛物线方程，将三角形面积转化为121222P x x +-，即可求得面积. 【详解】（1）由抛物线定义及min 1AF =，可得24p =∴抛物线C 的方程为24.x y =（2）设直线方程为：32y x =+ 联立抛物线方程24x y =，消y 得24380x x --=.121243,8x x x x +==-，121222MEN p S x x ∆∴=+- ()21212342x x x x =+- ()2343482=+⨯65=【点睛】本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的求解，属抛物线基础题.20．近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如下的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；（2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高.【答案】（1）中位数为2. 4，众数为2.5；（2）男大学生平均值是2.35，女大学生平均值是2.4；男大学生【解析】（1）选最高的长方形底边中点对应的值即为众数，选面积和为0.5的底边对应值即是中位数；（2）用每个小长方形底边中点值乘以每个小长方形的面积之和即为平均值.【详解】（1）设男大学生使用手机年限的中位数为a ，则()0.110.2120.50.5,a ⨯⨯+⨯+-=所以估计男大学生使用手机年限的中位数为2. 4，估计女大学生使用手机年限的众数为2.5.（2）根据频率分布直方图，男大学生使用手机年限的平均值是0.50. 1 1.50.2 2.50.5 3.50.15 4. 50.05 2.35⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=女大学生使用手机年限的平均值是0. 50.05 1.50. 2 2.50.6 3.50.1 4. 50.05 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 因为2.4 2.35>，所以男大学生更换手机的频率更高.【点睛】本题综合考查频率分布直方图中众数、中位数、平均值的计算题，属重要的基础题.21．如图，四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是菱形，'AA ⊥平面,2,60ABCD AB BAD =∠=o 点P是侧棱'CC 上的点，'A P PB ⊥，（1）证明：平面''A PD ⊥平面;PBD（2）若P 是'CC 的中点，求二面角''A BP D --的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）210521【解析】（1）在平面''A PD 中找A P '，证明其垂直于平面PBD 即可；（2）建立空间直角坐标系，通过计算两个平面法向量的夹角，从而求解二面角的平面角.【详解】（1）证明：由'AA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 得'AA BD ⊥.又底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥.而'AC AA A ⋂=.所以BD ⊥平面''ACC A .所以'BD A P ⊥又',A P PB PB BD B ⊥⋂=，所以'A P ⊥平面PBD .又'A P ⊂平面''A PD ，所以平面''A PD ⊥平面PBD .（2）设,''BD B D 的中点分别为,'O O ，分别以直线,,'OB OC OO为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.当P 是'CC 中点时，设'2CC a =，则'PC PC a ==.则有22222222''''12,4A P A C PC a PB PC CB a =+=+=+=+，2222''44A B A A AB a =+=+.又'90A PB ∠=o ，所以222''A P PB A B += 即22212444a a a +++=+，得6a = 则有()()'0,3,26,1,0,0,,3,6,()(0)'1,0,26A B P D --.()()()1,3,6,1,3,26,2,0,26PB A B D B =--=--'='u u u r u u u r u u u u r设向量m ⊥r 平面'PBA ，()111,,m x y z =r ， 则00m PB m A B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即1111113603260x y z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩不妨取12z =，则m r ()33,1,2= 设向量n ⊥r 平面'PBD ，且()222,,n x y z =r则00n PB n D B '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r ，即22222360260x y z x z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩，不妨取21z =，则n r ()6,0,1= 设,m n r r 的夹角为θ，则102210521307m n cos m n θ⋅===⨯r r r r 所以二面角''A BP D --的余弦值为210521 【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.22．已知点()()1,0,1,0M N -，设TMN ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，且3.Sr =（1）求点T 的轨迹W 的方程；（2）已知()()2,0,2,0B C -，点P 是直线4x =上的动点，直线PB 与曲线W 的一个交点为E .直线PC 与曲线W 的一个交点为F ，并且,,P E F 都不在坐标轴上.求证：直线EF 经过定点. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见详解. 【解析】（1）根据3Sr =可以推得T 点的约束条件，满足椭圆方程的定义，即可求解. （2）设出直线PB 和PC 的方程，求得E 、F 两点的坐标，得到EF 的直线方程，从而可以证明直线恒过的定点. 【详解】（1）设TMN ∆的周长为l ，则由3S r =，得132lr r =，即6l = 所以4TM TN +=，即T 在以,M N 为焦点，以4为长轴长的椭圆上.设该椭圆方程为()222210x y a b a b+=>> 则222,13a b a ==-=.所以点T 的轨迹W 的方程为22143x y +=. （2）证明：设()()()11224,,,,,P t E x y F x y则直线PB 的方程为()26t y x =+ ()()2222221432744108026x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎪⎩， 221122410854222727t t x x t t---=⇒=++ ()211225421822662727t t t t y x t t ⎛⎫-=+=+= ⎪++⎝⎭，即22254218,2727t t E t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭直线PC 的方程为()22t y x =- ()()22222214334412022x y t x t x t t y x ⎧+=⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎪⎩， 22222241226233t t x x t t--=⇒=++ ()22222266222233t t t t y x t t ⎛⎫--=-=-= ⎪++⎝⎭，即222266,33t t F t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭设直线EF 与x 轴交点为(),0K m ，则,KE KF u u u r u u u r 共线.又KE =u u u r 22254218,2727t t m t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 222266,33t KF m t t ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭u u u r 则22222261835427272623t t m t t t t t t m ⎛⎫⎛⎫--⋅=⋅ ⎪ ⎪+---+++⎝⎭⎝⎭化简得 1.m =所以直线EF 经过定点()1,0【点睛】本题考查用定义法求椭圆方程，以及证明直线横过定点的问题，属椭圆中的中档题.。
2019-2020学年河北省张家口市数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年河北省张家口市数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有 A ．6 个B ．8个C ．10个D ．12个2．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C3．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1= B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=4．设，则下列正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数13tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π6．某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有 （ ） A ．18种B ．12种C ．432种D ．288种7．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( ) A ．240种B ．120种C ．96种D ．480种8．若在可导，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④B ．①③④C ．②③④D ．①②④10．以双曲线2213y x -=3 ）A ．2y x =B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y x = 11．复数112iz i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．135i +B ．135i -+C ．135i -D ．135i-- 12．若直线2y kx =+和椭圆2221(0)9x y b b+=>恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[2,)+∞B ．[2,3)(3,)⋃+∞C ．[2,3)D ．(3,)+∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：^y =0.245x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.14．已知直线l 经过点(2,1)P -，且点(1,2)A --到l 5l 的方程为____15．已知向量,a b v v 满足1,1a a b =⋅=-v v v ，则()2a a b ⋅-=vv v ______.16．已知复数z 满足()1234i z i +=+，则z 等于______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式f （x 2）—f （x ）＞f （3x ）．19．（6分）已知命题p ：“曲线222:1129x yC m m +=++表示焦点在y 轴上的椭圆”，命题q ：不等式220x x m ++>对于任意x ∈R 恒成立.（1）若命题p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题()p q ⌝∨为真，()p q ⌝∧为假，求实数m 的取值范围.20．（6分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 21．（6分）已知函数1()ln f x x ax x=+-. （1）若()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）当2a =-时，求()f x 的单调区间.22．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若2PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】分析：首先求由0,1,2,3组成无重复数字的四位数：先排千位数，有13A 种排法，再排另外3个数，有33A 种排法，利用乘法原理能求出组成没有重复数字的四位数的个数；然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数． 最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：133318A A ⋅=． 其中数字0，2相邻的四位数有：232232 10A A A -=．则0与2不相邻的四位数有18108-=。
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2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000人（其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人）中抽取n人．已知从高一年级抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（）A．24 B．27 C．30 D．322．已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，那么命题p的否定是（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0C．∀x∈R，x2+1≥0 D．∀x∈R，x2+1＜03．从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（）A．B．C．D．4．已知定点M（﹣2，a），N（2，a），a为常数，且|PM|﹣|PN|＝2，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支5．命题“若”，则tan a＝1“的否命题是（）A．“若“，则tan a≠1”B．“若“，则tan a＝1”C．“若，则tan a≠1”D．“若tan a≠1，则”6．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（）A．事件A1：“恰有两次正面向上”，事件B1：“恰有两次反面向上”B．事件A2：“恰有两次正面向上”，事件B2：“恰有一次正面向上”C．事件A3：“至少有一次正面向上”，事件B3：“至多一次正面向上”D．事件A4：“至少有一次正面向上”，事件B4：“恰有三次反面向上”7．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．8．奖饭店推出甲．乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到如图的茎叶图．下列说法中，不正确的是（）A．甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B．甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C．甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D．甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大99．过抛物线的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为，则|AB|＝（）A．B．C．13 D．910．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点．若，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．12．已知A为椭圆C：的左顶点，直线y＝kx（k≠0）与该椭圆相交于P，Q两点，连接AP，AQ．设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，的取值范围为（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（3，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某5个数a，b，c，d，e的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为s2，则s21（填“＞”或“＜”）．14．在区间上随机取一个数x，则y＝cos x的值在0到之间的概率为．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，，则b＝．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60°，△PAD是等边三角形，点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：“实数m满足：方程表示双曲线”，命题q：“实数m满足：m2﹣2m+1﹣t2＜0（t＞0），且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围．18．初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y表示x月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如表数据．x 1 2 3 4 5 体育成绩90分以上学生的百分比y30% 40% 45% 50% 65%（1）求出y关于x的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少？参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是，其中，．19．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A是抛物线C上任意一点，且|AF|min ＝1．（1）求抛物线C的方程；（2）设经过点（0，2）、倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，抛物线C 的准线与y轴交于E点，求△MEN的面积．20．近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；（2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高．21．如图，四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'的底面是菱形，AA'⊥平面ABCD，AB＝2，∠BAD＝60°点P是侧棱CC'上的点A'P⊥PB．（1）证明：平面A'PD'⊥平面PBD；（2）若P是CC'的中点，求二面角A'﹣BP﹣D'的余弦值．22．已知点M（﹣1，0），N（1，0），设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B（﹣2，0），C（2，0），点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．为调查学生观看电影《我和我的祖国》的情况，采用分层抽样的方法，从某中学3000人（其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人）中抽取n人．已知从高一年级抽取了18人，则从高二和高三年级共抽取的人数为（）A．24 B．27 C．30 D．32【分析】由题意利用分层抽样的定义，求出n的值，可得结论．解：∵从高一抽取了18人，∴＝，∴n＝45（人），故从高二和高三年级共抽取的人数为 45﹣18＝27，故选：B．2．已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，那么命题p的否定是（）A．∃x0∈R，x02+1＞0 B．∃x0∈R，x02+1≥0C．∀x∈R，x2+1≥0 D．∀x∈R，x2+1＜0【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．解：命题的特称命题，则否定是：∀x∈R，x2+1≥0，故选：C．3．从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝C＝10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m＝＝3．由此能求出这两个数的积为奇数的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取两个不同的数，基本事件总数n＝＝10，这两个数的积为奇数包含的基本事件个数m＝＝3．∴这两个数的积为奇数的概率是p＝．故选：A．4．已知定点M（﹣2，a），N（2，a），a为常数，且|PM|﹣|PN|＝2，则动点P的轨迹是（）A．一条射线B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【分析】先计算|MN|，可得|PM|﹣|PN|＜|MN|，由双曲线的定义可得解：由题意|MN|＝2﹣（﹣2）＝4∵|PM|﹣|PN|＝2∴|PM|﹣|PN|＜|MN|∴点P的轨迹是双曲线靠近N的一支，故选：D．5．命题“若”，则tan a＝1“的否命题是（）A．“若“，则tan a≠1”B．“若“，则tan a＝1”C．“若，则tan a≠1”D．“若tan a≠1，则”【分析】根据否命题的定义即可求出．解：命题“若”，则tan a＝1“的否命题是“若“，则tan a≠1”故选：A．6．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，下列两个事件中，是对立事件的是（）A．事件A1：“恰有两次正面向上”，事件B1：“恰有两次反面向上”B．事件A2：“恰有两次正面向上”，事件B2：“恰有一次正面向上”C．事件A3：“至少有一次正面向上”，事件B3：“至多一次正面向上”D．事件A4：“至少有一次正面向上”，事件B4：“恰有三次反面向上”【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．解：将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次，在A中，事件A1：“恰有两次正面向上”，事件B1：“恰有两次反面向上”是互斥而不对立事件，故A错误；在B中，事件A2：“恰有两次正面向上”，事件B2：“恰有一次正面向上”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，事件A3：“至少有一次正面向上”，事件B3：“至多一次正面向上”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，事件A4：“至少有一次正面向上”，事件B4：“恰有三次反面向上”是对立事件，故D正确．故选：D．7．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＝，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到．解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，由题意可得＝，则c＝＝＝2a，则e＝＝2．故选：B．8．奖饭店推出甲．乙两种新菜品，为了了解两种菜品的受欢迎程度，现统计一周内两种菜品每天的销售量，得到如图的茎叶图．下列说法中，不正确的是（）A．甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小B．甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小C．甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大D．甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大9【分析】根据茎叶图，对应估计和求出相应的值，判断即可．解：根据题意甲的众数为61，乙的众数为62，故A正确；甲，乙的中位数各为61，62，故B正确；根据图象，乙平均数显然比甲大，甲的方差比乙大，故C不正确，故选：C．9．过抛物线的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为，则|AB|＝（）A．B．C．13 D．9【分析】由题意可得弦AB的纵坐标之和，再由由焦点的弦长转化为到准线的距离之和，求出弦长．解：由题意可得抛物线的标准形式为：x2＝8y，所以准线方程为y＝﹣2，由题意可得AN的纵坐标之和为＝5，所以弦长|AB|＝5+4＝9，故选：D．10．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为棱AA1的中点，则直线C1E与平面CB1D1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，求出平面CB1D1的法向量及直线C1E的方向向量，利用向量公式得解．解：以A为坐标原点，AD，AB，AA1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（1，1，0），B1（0，1，2），D1（1，0，2），C1（1，1，2），E（0，0，1），设平面CB1D1的法向量为，，由，可取，设直线C1E与平面CB1D1所成角为θ，又，则，故，即直线C1E与平面CB1D1所成角的余弦值为．故选：A．11．已知F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点．若，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【分析】利用已知条件求出OP的斜率，推出P的坐标，然后求解双曲线的离心率即可．解：F1，F2分别是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点．若，可得OP直线的斜率为：，所以P（，c），可得：，，e＞1解得e＝．故选：B．12．已知A为椭圆C：的左顶点，直线y＝kx（k≠0）与该椭圆相交于P，Q两点，连接AP，AQ．设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，的取值范围为（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（3，+∞）D．（4，+∞）【分析】由题意可得P，Q的坐标关于原点对称，及A的坐标，联立直线与椭圆的方程可得横坐标的值，进而求出AP，AQ的斜率，可得的表达式，求出它的范围．解：由题意可得A（﹣2，0），设P（x，y），Q（﹣x，﹣y）设x＞0，连立直线与椭圆的方程可得：，整理得（1+4k2）x2＝4，x2＝，解得x＝，k1＝，k2＝＝，所以则＝＝＝＝＝，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某5个数a，b，c，d，e的平均数为8，方差为1，现加入一个新数据8，此时这6个数的方差为s2，则s2＜1（填“＞”或“＜”）．【分析】根据题意，对于数据a，b，c，d，e，由平均数、方差公式分析可得a+b+c+d+e ＝40和a﹣8）2+（b﹣8）2+（c﹣8）2+（d﹣8）2+（e﹣8）2]＝5，加入新数据后，求出其平均数以及方差，即可得答案．解：根据题意，某5个数a，b，c，d，e的平均数为8，则有′＝（a+b+c+d+e）＝8，即a+b+c+d+e＝40，其方差为1，则有s′2＝[（a﹣8）2+（b﹣8）2+（c﹣8）2+（d﹣8）2+（e﹣8）2]＝1，即（a﹣8）2+（b﹣8）2+（c﹣8）2+（d﹣8）2+（e﹣8）2]＝5现加入一个新数据8，数据变为：a，b，c，d，e，8；其平均数＝（a+b+c+d+e+8）＝8，其方差s2＝[（a﹣8）2+（b﹣8）2+（c﹣8）2+（d﹣8）2+（e﹣8）2+（8﹣8）2]＝，则有s2＜1；故答案为：＜14．在区间上随机取一个数x，则y＝cos x的值在0到之间的概率为．【分析】解出关于三角函数的不等式，使得cos x的值介于0到之间，在所给的范围中，求出符合条件的角的范围，根据几何概型公式用角度之比求解概率解：∵0＜cos x＜，∴当x∈[﹣，π]时，x∈（﹣，﹣）∪（，），此区间的长度为，∴在区间[﹣，π]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为P＝＝，故答案为．15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，，则b＝．【分析】通过已知条件求出|PF2|，利用余弦定理，求解c，然后求出b即可．解：∵|PF1|＝|F1F2|＝2c，，|PF2|＝1，∴4c2＝9+1﹣2×＝7∴b＝＝．故答案为：．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60°，△PAD是等边三角形，点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是．【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解距离即可．解：连接AC，BD交点为：O，取AD的中点E，BC的中点H，连接EH，PH，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，且AB＝2，∠DAB＝60°，△PAD是等边三角形，PA＝PD ＝AD＝AB＝2，PE＝，BE＝，所以PE⊥BE，∵点是侧面PBC内的一个动点，且满足DQ⊥AC，AC⊥BD，所以AC⊥平面BDG，过O作OG⊥平面ABCD，交PH于PH 的中点，G在PH的中点与B的连线上，侧面PBC中，PH＝，BH＝1，PB＝，∴PB ⊥BC，∴PC＝，BF的方程：y＝x，PC的方程为：，联立可得F（，）所以BF＝＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：“实数m 满足：方程表示双曲线”，命题q：“实数m满足：m2﹣2m+1﹣t2＜0（t＞0），且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围．【分析】根据题意，求出m的范围，再根据q是p的必要不充分条件，求出t的范围即可．解：∵方程表示双曲线，∴（m﹣5）（m+2）＜0，∴﹣2＜m＜5，由m2﹣2m+1﹣t2＜0（t＞0），得1﹣t＜m＜1+t．∵q是p的必要不充分条件，∴或，解得t≥4．18．初三年级为了增强学生体质，提高体育成绩，让学生每天进行一个小时的阳光体育活动．随着锻炼时间的增长，学生身体素质越来越好，体育成绩90分以上的学生也越来越多．用y表示x月后体育成绩90分以上的学生的百分比，得到了如表数据．x 1 2 3 4 530% 40% 45% 50% 65% 体育成绩90分以上学生的百分比y（1）求出y关于x的回归直线方程；（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测7个月后，体育成绩90分以上的学生的百分比是多少？参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是，其中，．【分析】（1）求出x，y的平均数，代入公式，求出即可；（2）令x＝7代入即可．解：（1），，由公式得，，关于x的回归直线方程为，（2）当x＝7时，，故体育成绩90分以上的学生的百分比是78%．19．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A是抛物线C上任意一点，且|AF|min ＝1．（1）求抛物线C的方程；（2）设经过点（0，2）、倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点，抛物线C 的准线与y轴交于E点，求△MEN的面积．【分析】（1）由抛物线的性质可得顶点到准线的距离最小，即到焦点的距离最小，由题意求出p的值，进而求出抛物线的方程；（2）由题意设直线MN的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，及E的坐标，由面积公式求出面积．解：（1）由抛物线定义及|AF|min＝1，可得∴2p＝4∴抛物线C的方程为x2＝4y．与x2＝4y联立，消y得.，∴＝＝＝．20．近年来，智能手机的更新换代极其频繁和快速，而青少年对新事物的追求更是强烈，为了调查大学生更换手机的时间，现对某大学中的大学生使用一部手机的年限进行了问卷调查，并从参与调查的大学生中抽取了男生、女生各100人进行抽样分析，制成如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计男大学生使用手机年限的中位数和女大学生使用手机年限的众数；（2）根据频率分布直方图，求出男大学生和女大学生使用手机年限的平均值，并分析比较男大学生和女大学生哪个群体更换手机的频率更高．【分析】（1）利用中位数两边频率相等，列方程求出男生使用手机年限的中位数，根据频率分布直方图中最高小矩形底边的中点坐标求出众数的值；（2）根据频率分布直方图，计算男、女大学生使用手机年限的平均值，比较大小即可．解：（1）设男大学生使用手机年限的中位数为a，则0.1×1+0.2×1+（a﹣2）×0.5＝0.5，解得a＝2.4；所以估计男大学生使用手机年限的中位数为2.4，由×（2+3）＝2.5，估计女大学生使用手机年限的众数为2.5．（2）根据频率分布直方图，计算男大学生使用手机年限的平均值是＝0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.5+3.5×0.15+4.5×0.05＝2.35；女大学生使用手机年限的平均值是＝0.5×0.05+1.5×0.2+2.5×0.6+3.5×0.1+4.5×0.05＝2.4；因为2.4＞2.35，所以男大学生更换手机的频率更高．21．如图，四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'的底面是菱形，AA'⊥平面ABCD，AB＝2，∠BAD＝60°点P是侧棱CC'上的点A'P⊥PB．（1）证明：平面A'PD'⊥平面PBD；（2）若P是CC'的中点，求二面角A'﹣BP﹣D'的余弦值．【分析】（1）先证明A'P⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理证明出结论；（2）设BD，B'D'的中点分别为O，O'，分别以直线OB，OC，OO'为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC'＝2a，根据题意，求出a，再求出平面A'BP和平面BPD'的法向量，利用夹角公式求出即可．解：（1）证明：由AA'⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，得AA'⊥BD，又底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC，而AC∩AA'＝A．所以BD⊥平面ACC'A'，所以BD⊥A'P又A'P⊥PB，PB∩BD＝B，所以A'P⊥平面PBD，又A'P⊂平面A'PD'，所以平面A'PD'⊥平面PBD；（2）解：设BD，B'D'的中点分别为O，O'，分别以直线OB，OC，OO'为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，当P是CC'中点时，设CC'＝2a，则PC＝PC'＝a，则有A'P2＝A'C'2+PC'2＝12+a2，PB'2＝PC'2+C'B'2＝a2+4，A'B2＝A'A2+AB2＝4a2+4，又∠A'PB＝90°，所以A'P2+PB2＝A'B2，即12+a2+a2+4＝4+4a2，得，则有，，设平面PBA'的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，不妨取，则，设平面PBD'的法向量＝（x2，y2，z2），则，即，不妨取z2＝1，则＝（，0，1），设的夹角为θ，则＝所以二面角A'﹣BP﹣D'的余弦值为．22．已知点M（﹣1，0），N（1，0），设△TMN的面积为S，内切圆半径为r，且S＝3r．（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知B（﹣2，0），C（2，0），点P是直线x＝4上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E．直线PC与曲线W的一个交点为F，并且P，E，F都不在坐标轴上．求证：直线EF经过定点．【分析】（1）根据已知条件转化到椭圆的定义即可求解；（2）求出E，F的坐标以及向量的坐标结合向量共线即可得到结论解：（1）设△TMN的周长为l，则由S＝3r，得，即l＝6所以|TM|+|TN|＝4，即T在以M，N为焦点，以4为长轴长的椭圆上．设该椭圆方程为则a＝2，b2＝a2﹣1＝3．所以点T的轨迹W的方程为+＝1；（2）证明：设P（4，t），E（x2，y2），F（x2，y2），则直线PB的方程为，，即直线PC的方程为，，即设直线EF与x轴交点为K（m，0），则共线．又则化简得m＝1．所以直线EF经过定点（1，0）．。