2016年中考数学模拟试题汇编专题20 三角形的边与角1

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2016年中考数学模拟试题分类汇编：专题20 三角形的边与角1(含答案)

三角形的边与角一、选择题1．（2016·天津南开区·二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处.若AD=3，BC=5，则EF的值是（）A．B．2C．D．2考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：A试题解析：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选：A．2．（2016·天津五区县·一模）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题；规律型．【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．3．2016泰安一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】三角形内角和定理．【分析】首先根据三角板可知：∠CBA=60°，∠BCD=45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，故选：A4. .（2016·广东·一模）若三角形的两边长分别为6 ㎝，9 cm，则其第三边的长可能为( )A．2㎝B．3 cm C．7㎝D．16 cm答案：C5. （2016·广东河源·一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，E为垂足，且交AB于点D，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（）A．23 B.2 C．43D．4答案：A6. （2016·河北石家庄·一模）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（）A．B． C．D．【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．【解答】解：A、根据对顶角相等，∠1=∠2，故本选项错误；B、根据两直线平行、内错角相等，∠1=∠2，故本选项错误；C、根据外角等于不相邻的两内角和，∠1＞∠2，故本选项正确；D、根据圆周角性质，∠1=∠2，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．7. ．（2016·吉林长春朝阳区·一模）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°【考点】三角形的外角性质．【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．8. (2016·山东枣庄·模拟)从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，则P （构成三角形）=．故选C ．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题1．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在 ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，P 是BC 边中点，AP 交BD 于点Q . 则OQ OB 的值为___________．答案：13第1题 A CD BO P Q2. .（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）从长度分别为x(x为正整数)4、6、8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为14，若长为x的线段在四条线段中最短，则x可取的值为_____________．答案：1或23. （2016·江苏常熟·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′D B．【解答】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案为：10°．【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．4. (2016·上海普陀区·一模)如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是2．【考点】三角形的重心．【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．【解答】解：连接BD并延长交AC于H，∵点G为△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案为：2．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍三解答题1.（2016·广东·一模）（本题满分6分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EB C．由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°．由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．2. （2016·广东河源·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°。

北京市各区年中考数学一模汇编三角形

北京市2016年各区中考一模汇编平面几何之三角形一、三角形和平行线1.【2016东城一模，第06题】如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为 A ．29米 B ． 58米C ．60米D ．116米2.【2016丰台一模，第06题】如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，使点C 能直接到达点A 和点B ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N . 如果测得MN = 20m ，那么A ，B 两点的距离是 A. 10m B. 20mC. 35mD. 40m3.【2016平谷一模，第06题】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC =2：3，DE =4，则BC 的长为 A ．10 B ．8 C ．6 D ．54.【2016朝阳一模，第06题】某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m5.【2016海淀一模，第06题】如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，135∠=︒，则2∠的度数为 A.35︒B. 15︒C. 10︒D. 5︒6.【2016西城一模，第09题】某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（）A ．300米B ．1502米C ．900米D ．(300)米7.【2016通州一模，第07题】如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是A. 30︒B. 25︒C. 20︒D. 15︒8.【2016通州一模，第09题】如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是A ．18米B ．24米C ．30米D ．28米二、三角形的基本性质9.【2016平谷一模，第10题】如图1，在矩形 ABCD 中，AB <BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的图1 O 21图 1A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE10.【2016平谷一模，第13题】如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC的条件是．11.【2016平谷一模，第14题】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．12.【2016朝阳一模，第10题】如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ．线段CGB ．线段AGC ．线段AHD ．线段CH13.【2016海淀一模，第10题】小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点K ）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN //l ，已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成，记它的运动时间为x ，M '，N '的长度为y ，若y 关于x 的函数图像大致如图2所示，则点K 的运动路径可能为A. A B C D A →→→→B. B C D A B →→→→C. B C A D B →→→→D. D A B C D →→→→第13题第14题 1–112O 图2DB ACK MNN 'M '图1图2三、三角形之复杂应用（大题）14.【2016东城一模，第20题】如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.15.【2016丰台一模，第20题】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，∠BAD =∠CBE .求证：AB AC =.16.【2016平谷一模，第20题】如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .AF BCDE G17.【2016朝阳一模，第20题】如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ．求证：BAC ∠= 2∠1．18【2016海淀一模，第20题】如图，在ABC ∆中，90,BAC AD BD ∠=⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线，求证：BAD BDC ∠=∠AB DEC19.【2016西城一模，第19题】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且12BE BC =．求证：AB 平分EAD ∠．20.【2016通州一模，第20题】如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.21.【2016东城一模，第28题】如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）1FEC ACB CB（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图22.【2016平谷一模，第28题】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连接DE，AE，BD．（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE与BD相交于点G，求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．23.【2016朝阳一模，第28题】在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P 为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）图1 备用图PCB A图1PCB A24.【2016海淀一模，第28题】在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与,B C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与使点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G（1）若点D 在线段BC 上，如图1 ① 依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明：（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 的中点，连接GE，AB =，则GE 的长为；并简述求GE 长的思路。

2016全国各地中考数学分类汇编--三角形

2016年全国各地中考数学试题分类解析汇编（第一辑）第11章三角形一．选择题（共19小题）1．（2015•）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作确的是（）A． B． C． D．2．（2016•凉山州）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或93．（2016•）六边形的角和是（）A．540° B．720° C．900° D．1080°4．（2016•）设四边形的角和等于a，五边形的外角和等于b，则a 与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°5．（2016•）六边形的角和是（）A．540° B．720° C．900° D．360°6．（2016•）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的角和之和不可能是（）A．360° B．540° C．720° D．900°7．（2016•）已知一个正多边形的角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．98．（2016•）正多边形的一个角是150°，则这个正多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．139．（2016•）角和为540°的多边形是（）A． B． C． D．10．（2016•）如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米 B．150米 C．160米 D．240米11．（2016•）一个正多边形的角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108° B．90° C．72° D．60°12．（2016•）若一个正n边形的每个角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．7013．（2016•）如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O 点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD 的度数为何？（）A．40 B．45 C．50 D．60 14．（2016•）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（）A．35° B．95° C．85° D．75°15．（2016•贵港）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°16．（2016•）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+ =0，则c的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．817．（2016•）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．1118．（2016•）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（）A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm19．（2016•）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2015•）【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．【解答】解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．2．（2016•凉山州）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【分析】首先求得角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．【解答】解：设角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选：D．【点评】本题考查了多边形的角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．3．（2016•）【分析】多边形角和定理：n变形的角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．【解答】解：由角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°，故选：B．【点评】此题主要考查了多边形角和公式，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）．4．（2016•）【分析】根据多边形的角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．【解答】解：∵四边形的角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．【点评】本题考查的是多边形的角与外角，熟知多边形的角和定理是解答此题的关键．5．（2016•）【分析】利用多边形的角和定理计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（6﹣2）×180°=720°，故选B．【点评】此题考查了多边形角与外角，熟练掌握多边形角和定理是解本题的关键．6．（2016•）【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的角和定理进行解答即可．【解答】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的角和为：180°+180°=360°；②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的角和为：180°+360°=540°；③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的角和为：360°+360°=720°；故选：D．【点评】本题考查了多边形的角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．7．（2016•）【分析】首先根据一个正多边形的角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．【解答】解：360°÷（180°﹣140°）=360°÷40°=9．答：这个正多边形的边数是9．故选：D．【点评】此题主要考查了多边形的角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确多边形的外角和定理．8．（2016•）【分析】一个正多边形的每个角都相等，根据角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：C．【点评】考查了多边形角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．9．（2016•）【分析】根据多边形的角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=540°，解得n=5．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的角和公式，熟记公式是解题的关键．10．（2016•）【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米．故选B．【点评】本题考查多边形的角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．11．（2016•）【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解答】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5，故这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选C．【点评】此题考查了多边形的角和与外角和的知识．注意掌握多边形角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°．12．（2016•）【分析】由正n边形的每个角为144°结合多边形角和公式，即可得出关于n 的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．【解答】解：∵一个正n边形的每个角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是： = =35．故选C．【点评】本题考查了多边形的角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的角和公式求出多边形边的条数是关键．13．（2016•）【分析】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的角和为360°即可得出结论．【解答】解：延长BC交OD与点M，如图所示．∵多边形的外角和为360°，∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．∵四边形的角和为360°，∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，∴∠BOD=40°．故选A．【点评】本题考查了多边形的角与外角以及角的计算，解题的关键是能够熟练的运用多边形的外角和为360°来解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用多边形的外角和与角和定理，通过角的计算求出角的角度即可．14．（2016•）【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A 即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和．15．（2016•贵港）【分析】在△ABC中，根据三角形角和是180度来求∠C的度数．【解答】解：∵三角形的角和是180°，又∠A=95°，∠B=40°∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣95°﹣40°=45°，故选C．【点评】本题考查了三角形角和定理，利用三角形角和定理：三角形角和是180°是解答此题的关键．16．（2016•）【分析】先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值围，从而确定c的可能值；【解答】解：∵|a﹣4|+ =0，∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；则4﹣2＜c＜4+2，2＜c＜6，5符合条件；故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；注意初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．17．（2016•）【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为6，故选A．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．18．（2016•）【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．【解答】解：A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．19．（2016•）【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选D．【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．。

北京市各区2016年中考数学一模汇编平面几何之三角形

1北京市 2016 年各区中考一模汇编平面几何之三角形1．【2016 东城一模，第 20 题】如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D ，AE ∥ BD 交 CB 的延长线于点 E ．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.2. 【2016 丰台一模，第 20 题】如图，在 ∆ABC 中，AD 是 BC 边上的高线， BE ⊥ AC 于点 E ， ∠BAD =∠CBE. 求证： AB = AC .3. 【2016 平谷一模，第 20 题】如图，△ABC 中，AB =AC ，点 D 是 BC 上一点，DE ⊥AB 于 E ，FD ⊥BC 于 D ，G 是 FC 的中点，连接 GD .求证：GD ⊥DE .AF3GE 24BD C4．【2016 朝阳一模，第 20 题】如图，E 为 AC 上一点，EF ∥AB 交 AF 于点 F ，且 AE = EF ．求证： ∠BAC = 2∠1．CEF 1AB（5. 【2016 西城一模，第 19 题】如图，在 ∆ABC 中， AB = AC ， AD 是 BC 边上的中线，AE ⊥ BE 于点 E ，且 BE = 1BC ．求证： AB 平分 ∠EAD ．26．【2016 通州一模】如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点 △D ，在 ABC 外作∠CAE =∠CBD ，过点 C 作 CE ⊥AE 于点 E .如果∠BCE =140 ︒ ，求∠BAC 的度数.AD EBC7. 【2016 海淀一模，第 20 题】如图，在 ∆ABC 中， ∠BAC = 90 , AD ⊥ BD 于点 D ， DE 为 AC 边上的中线，求证： BAD = EDCAEB DC8. 【2016 东城一模，第 28 题】如图，等边△ABC ，其边长为 1，D 是 BC 中点，点 E ，F 分别位于 AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出 DE 与 DF 的数量关系；（2）若 BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.A A E EBFDC BFDC 详细解答1．【2016东城一模，第20题】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠BAC=40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.解：∠E=35°，或∠EAB=35°，或∠EAC=75°.…………1分∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°.…………3分又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=35°.…………4分∵AE∥BD，∴∠E=∠EAB=35°.…………5分∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°.2.【2016丰台一模，第20题】如图，在∆ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE.求证：AB=AC.证明：∵在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE⊥AC于点E，∴∠ADB＝∠BEC=90°.--------2分.∴∠ABC+∠BAD＝∠C+∠CBE=90°.又∵∠BAD=∠CBE,∴∠ABC＝∠C.----------4分∴AB=AC.------------5分3.【2016平谷一模，第20题】如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD ⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD.求证：GD⊥DE.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C (1)∵DE⊥AB，FD⊥BC，A∴∠BED=∠FDC=90°.∴∠1=∠3 (2)∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF (3)∴∠2=∠3.E F32G∴∠1=∠2.∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°.………………………………………4B14D C∴∠2+∠FDE=90°.∴GD⊥DE (5)4．【2016朝阳一模，第20题】如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB．……………………2分C∵AE=EF，E F1∴∠EAF=∠EFA．………………3分∵∠1=∠EFA，A B∴∠EAF=∠1．……………………4分∴∠BAC=2∠1．…………………5分5.【2016西城一模，第19题】如图，在∆ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=1BC．求证：AB平分∠EAD．26．【2016通州一模】如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AC于点△D，在ABC外作∠CAE=∠CBD，过点C作CE⊥AE于点E.如果∠BCE=140︒，求∠BAC的度数.（解：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AE ，∴ ∠BDC = ∠E = 90︒ ，∵∠CAE =∠CBD ，A∴△BDC ∽△AEC ，………………… 2 分；D∴∠BCD =∠ACE ， E∵∠BCE =140 ︒ ，B C∴∠BCD =∠ACE = 70︒ ，………………… 4 分；∵AC =BC ，∴∠ABC =∠BAC=55︒ .………………… 5 分.7.【2016 海淀一模，第 20 题】如图，在 ∆ABC 中， ∠BAC = 90 , AD ⊥ BD 于点 D ， DE 为 AC 边上的中线，求证： BAD = EDCAEBDC证明：BAC = 90︒，∴∠ BAD + ∠DAC = 90︒ ， AD BC ，∴∠ ADC = 90︒ ，∴∠ DAC + ∠C = 90︒ ，∴∠ BAD = ∠C 。

全国各地2016年中考数学试题分类汇编三角形的边与角含答案

三角形的边与角一、选择题1. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①BC DE =21； ②S S COB DOE △△=21； ③AB AD =OB OE ； ④S S ADE ODE △△=31.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个（第1题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE =21；故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC∴△DOE ∽△COB ∴S S COB DOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41, 故②错误；③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AD =DE△DOE ∽△COB ∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

∴点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高，且△ABC 与△BOC 同底（BC ）∴S △ABC =3S △BOC ，由②和③知，S △ODE =41S △COB ，S △ADE =41S △BOC ， ∴S S ADE ODE △△=31.故④正确.综上，①③④正确.故选C.【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方．2. （2016·四川广安·3分）下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．正确的只有③，故选A ．3. （2016·四川乐山·3分）如图2，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，若35B ∠= ，60ACE ∠= ，则A ∠=()A 35()B 95()C 85 ()D 75 答案：C解析：考查三角形的外角和定理，角平分线的性质。

中考数学模拟试题汇编专题三角形的边与角(含答案)

三角形的边与角一、选择题1．（2016·天津南开区·二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD 边的点F处.若AD=3，BC=5，则EF的值是（）A．B．2C．D．2考点：三角形中的角平分线、中线、高线答案：A试题解析：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选：A．2．（2016·天津五区县·一模）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．【考点】三角形中位线定理．【专题】压轴题；规律型．【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的．【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．故答案为：1【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．3．2016泰安一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】三角形内角和定理．【分析】首先根据三角板可知：∠CBA=60°，∠BCD=45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，故选：A4..（2016·广东·一模）若三角形的两边长分别为6 ㎝，9 cm，则其第三边的长可能为( )A．2㎝B．3 cm C．7㎝D．16 cm答案：C5.（2016·广东河源·一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，E为垂足，且交AB于点D，连接CD，若BD＝1，则AC的长是（）A．23 B.2 C．43D．4答案：A6.（2016·河北石家庄·一模）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（）A．B． C．D．【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．【解答】解：A、根据对顶角相等，∠1=∠2，故本选项错误；B、根据两直线平行、内错角相等，∠1=∠2，故本选项错误；C、根据外角等于不相邻的两内角和，∠1＞∠2，故本选项正确；D、根据圆周角性质，∠1=∠2，故本选项错误．故选C．【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．7.．（2016·吉林长春朝阳区·一模）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．315°B．270°C．180°D．135°【考点】三角形的外角性质．【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．8.(2016·山东枣庄·模拟)从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，其中构成三角形的有3，5，7共1种，则P （构成三角形）=．故选C ．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题1．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在 ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，P 是BC 边中点，AP 交BD 于点Q . 则OQ OB 的值为___________．答案：13 第1题 A CD BO P Q2..（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）从长度分别为x(x为正整数)4、6、8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为14，若长为x的线段在四条线段中最短，则x可取的值为_____________．答案：1或23.（2016·江苏常熟·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．【解答】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案为：10°．【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．4.(2016·上海普陀区·一模)如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是2．【考点】三角形的重心．【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．【解答】解：连接BD并延长交AC于H，∵点G为△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案为：2．【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍三解答题1.（2016·广东·一模）（本题满分6分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H 为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．解：（1）证明：∵A D∥BC，∴∠AEB=∠EBC．由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠A BE=∠AEB=40°．由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．2.（2016·广东河源·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°。

七年级数学专题20 三角形的边与角

三角形的边与角一.选择题1.（2015•江苏徐州,第7题3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7D．14考点：菱形的性质．.分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．解答：解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．2.（2015•江苏徐州,第4题3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由图可知∠2=∠1+∠3，∵∠1=20°，∠2=40°，∴∠3=20°；故选C.考点：1.平行线的性质；2.三角形外角的性质.3. （2015•绵阳第5题，3分）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°考点：三角形内角和定理．.分析：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．解答：解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，∴∠BFC=180°﹣60°=120°，故选：C．点评：本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．4. （2015•四川凉山州,第4题4分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°【答案】A．5 （2015•四川眉山，第5题3分）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8考点：多边形内角与外角．.专题：计算题．分析：根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．解答：解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C点评：此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．6.（2015•江苏徐州,第7题3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（）A．3.5 B．4 C．7D．14考点：菱形的性质．.分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．解答：解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故选A．点评：本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7.（2015•江苏徐州,第4题3分）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，，则等于（）A ．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由图可知∠2=∠1+∠3，∵∠1=20°，∠2=40°，∴∠3=20°；故选C.考点：1.平行线的性质；2.三角形外角的性质.8. （2015•四川广安，第5题3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）A．B．C． D．考点：三角形的角平分线、中线和高．.分析：根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC 的高，再结合图形进行判断．解答：解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选D．点评：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．9．（2015·四川甘孜、阿坝，第5题4分）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，延长BA 至点D，则∠CAD的大小为（）A．110°B．80° C．70°D． 60°考点：三角形的外角性质．.分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：由三角形的外角性质得：∠CAD=∠B+∠C=40°+30°=70°．故选C．点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．（2015•四川广安，第8题3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B． 9 C． 13 D． 12或9考点：解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．.分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．解答：解：x2﹣7x+10=0，（x﹣2）（x﹣5）=0，x﹣2=0，x﹣5=0，x1=2，x2=5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；即等腰三角形的周长是12．故选：A．点评：本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．11．（2015•北京市,第6题，3分）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C 被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为A．0.5km B．0.6kmC．0.9km D．1.2km【考点】三角形【难度】容易【答案】D【点评】本题考查三角形的相关计算。

2016全国各地中考数学分类汇编：三角形的边与角(含解析)

三角形的边与角一.选择题1．（2016·山东省滨州市·3分）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A．50°B．51°C．51.5° D．52.5°【考点】等腰三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】计算题．【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，∴∠B=25°，∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故选D．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．2．（2016东营市，3，3分（2016·山东省东营市·3分））如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝30°，则∠A等于( )A.30°B．35° C.40°D．50°n第3题图【知识点】平行线——平行线的性质；与三角形有关的线段、角——三角形的外角. 【答案】C.【解析】∵m ∥n ，∴∠3＝∠1＝70°.∵∠3是△ABD 的一个外角，∴∠3＝∠2＋∠A .∴∠A ＝∠3－∠2＝70°－30°＝40°. 故选C.n第3题解答图【点拨】掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决此类题的关键：1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2.三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和.3．（2016·山东省德州市·3分）如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（）A．65° B ．60° C ．55° D ．45° 【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．4. （2016·青海西宁·3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．故选D．5.（2016·广西百色·3分）三角形的内角和等于（）A．90° B．180° C．300° D．360°【考点】三角形内角和定理．【分析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题【解答】解：因为三角形的内角和为180度．所以B正确．6．（2016贵州毕节3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D．7．（2016河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE= BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．1.（2016·福建龙岩·3分）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=π．【考点】三角形的内切圆与内心；规律型：图形的变化类．【分析】（1）图1，作辅助线构建正方形OECF，设圆O的半径为r，根据切线长定理表示出AD和BD的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=2cba-+（a、b是直角边，c为斜边），运用圆面积公式=πr2求出面积=π；（2）图2，先求斜边上的高CD的长，再由勾股定理求出AD和BD，利用半径r=2cba-+（a、b是直角边，c为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；（3）图3，继续求高DM和CM、BM，利用半径r=（a、b是直角边，c为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=π；综上所述：发现S1+S2+S3+…+S10=π．【解答】解：（1）图1，过点O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r，则OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r∴3﹣r+4+r=5，r==1∴S1=π×12=π（2）图2，由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=由（1）得：⊙O的半径==，⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π（3）图3，由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得：CM==，MB=4﹣=由（1）得：⊙O的半径=，：⊙E的半径==，：⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为：π．2.（2016·贵州安顺·4分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=32EH，那么EH的长为．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高，根据三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．【解答】解：如图所示：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴，解得：x=，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．3. （2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=2．【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°，∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°，∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2，故答案是：2．4.（2016·四川内江）将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )A．75°B．65°C．45°D．30°[答案]A[考点]三角形的内角和、外角定理。

北京市各区2016年中考数学一模汇编三角形

北京市2016年各区中考一模汇编平面几何之三角形一、三角形和平行线1.【2016东城一模，第06题】如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使CD =CA ，连接BC 并延长至E ，使CE =CB ，连接ED . 若量出DE =58米，则A ，B 间的距离为 A ．29米 B ． 58米C ．60米D ．116米2.【2016丰台一模，第06题】如图，A ，B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，使点C 能直接到达点A 和点B ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N . 如果测得MN = 20m ，那么A ，B 两点的距离是 A. 10m B. 20mC. 35mD. 40m3.【2016平谷一模，第06题】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ：EC =2：3，DE =4，则BC 的长为 A ．10 B ．8 C ．6 D ．54.【2016朝阳一模，第06题】某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m5.【2016海淀一模，第06题】如图，等腰直角三角板的顶点A ，C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，135∠=︒，则2∠的度数为 A.35︒B. 15︒C. 10︒D. 5︒6.【2016西城一模，第09题】某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C 观测水平雪道一端A 处的俯角为30°，另一端B 处的俯角为45°．若直升机镜头C 处的高度CD 为300米，点A ，D ，B 在同一直线上，则雪道AB 的长度为（）A ．300米B ．1502米C ．900米D ．(300)米7.【2016通州一模，第07题】如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是A. 30︒B. 25︒C. 20︒D. 15︒8.【2016通州一模，第09题】如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是A ．18米B ．24米C ．30米D ．28米二、三角形的基本性质9.【2016平谷一模，第10题】如图1，在矩形 ABCD 中，AB <BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的图1 O 21图 1A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE10.【2016平谷一模，第13题】如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连接CD ．要使△ADC 与△ABC的条件是．11.【2016平谷一模，第14题】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x 尺，根据题意，可列方程为．12.【2016朝阳一模，第10题】如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ．线段CGB ．线段AGC ．线段AHD ．线段CH13.【2016海淀一模，第10题】小明在暗室做小孔成像实验，如图1，固定光源（线段MN ）发出的光经过小孔（动点K ）成像（线段）于足够长的固定挡板（直线l ）上，其中MN //l ，已知点K 匀速运动，其运动路径由AB ，BC ，CD ，DA ，AC ，BD 组成，记它的运动时间为x ，M '，N '的长度为y ，若y 关于x 的函数图像大致如图2所示，则点K 的运动路径可能为A. A B C D A →→→→B. B C D A B →→→→C. B C A D B →→→→D. D A B C D →→→→第13题第14题 1–112O 图2DB ACK MNN 'M '图1图2三、三角形之复杂应用（大题）14.【2016东城一模，第20题】如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E ．若∠BAC =40°，请你选择图中现有的一个角并求出它的度数（要求：不添加新的线段，所有给出的条件至少使用一次）.15.【2016丰台一模，第20题】如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高线，BE AC ⊥于点E ，∠BAD =∠CBE .求证：AB AC =.16.【2016平谷一模，第20题】如图，△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，FD ⊥BC 于D ，G 是FC 的中点，连接GD . 求证：GD ⊥DE .AF BCDE G17.【2016朝阳一模，第20题】如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ．求证：BAC ∠= 2∠1．18【2016海淀一模，第20题】如图，在ABC ∆中，90,BAC AD BD ∠=⊥于点D ，DE 为AC 边上的中线，求证：BAD BDC ∠=∠AB DEC19.【2016西城一模，第19题】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的中线，AE BE ⊥于点E ，且12BE BC =．求证：AB 平分EAD ∠．20.【2016通州一模，第20题】如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.21.【2016东城一模，第28题】如图，等边△ABC ，其边长为1， D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）1FEC AC BC B （3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.备用图22.【2016平谷一模，第28题】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=CD ，∠ACD =α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ．（1）依题意补全图1；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°，AB =4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．23.【2016朝阳一模，第28题】在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接PA ，以P 为旋转中心，将线段PA 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ．（1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数；（2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）图1备用图PCBA图2图1PC B A24.【2016海淀一模，第28题】在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 在射线BC 上（与,B C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与使点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与射线CF 相交于点G（1）若点D 在线段BC 上，如图1 ① 依题意补全图1；②判断BC 与CG 的数量关系与位置关系，并加以证明：（2）若点D 在线段BC 的延长线上，且G 为CF 的中点，连接GE，AB =，则GE 的长为；并简述求GE 长的思路。

中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)

以下是查字典数学网为您推荐的中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)，希望本篇文章对您学习有所帮助。

中考数学三角形的边与角真题归类(附答案)一.选择题1. (2016荆门)已知：直线l1∥l2，一块含30角的直角三角板如图所示放置，1=25，则2等于()A. 30 B. 35 C. 40 D. 45解析：∵3是△ADG的外角，A+1=30+25=55，∵l1∥l2，4=55，∵EFC=90，EFC=90﹣55=35，2=35.故选B.2.(2016中考)如图，在△ABC中，C=70，沿图中虚线截去C，则2=【 B 】A.360 B.250C.180 D.1403.(2016连云港)如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，1=50，2=60，则3的度数为()A. 50 B. 60 C. 70 D. 80考点：平行线的性质;三角形内角和定理。

分析：先根据三角形内角和定理求出4的度数，由对顶角的性质可得出5的度数，再由平行线的性质得出结论即可.解答：解：∵△BCD中，1=50，2=60，4=1801-2=180-50-60=70，4.(2016深圳)如图所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么的度数为【】A. 120O B. 180O. C. 240O D. 3000【答案】C。

【考点】三角形内角和定理，平角定义。

【分析】如图，根据三角形内角和定理，得4+600=1800，又根据平角定义，3=1800，4=1800，1800-1+1800-2+600=1800。

2=240O。

故选C。

5.(2016聊城)将一副三角板按如图所示摆放，图中的度数是()A.75B.90C.105D.120考点：三角形的外角性质;三角形内角和定理。

专题：探究型。

分析：先根据直角三角形的性质得出BAE及E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论.解答：解：∵图中是一副直角三角板，BAE=45，E=30，6.(2016毕节)如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若1=120，2=80，则3的度数是( )A.40 B.60 C.80 D.120解析：根据平行线性质求出ABC，根据三角形的外角性质得出1-ABC，代入即可得出答案.7.(2016十堰)如图，直线BD∥EF，AE与BD交于点C，若ABC=30，BAC=75，则CEF的大小为( D )A.60B.75C.90D.105【考点】平行线的性质;三角形内角和定理.【专题】探究型.【分析】先根据三角形外角的性质求出1的度数，再由平行线的性质即可得出结论.【解答】解：∵1是△ABC的外角，ABC=30，BAC=75，ABC+BAC=30+75=105，∵直线BD∥EF，CEF=1=105.故选D.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.8.(2016梅州)如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A重合，若A=75，则2=()A.150B.210C.105D.75考点：三角形内角和定理;翻折变换(折叠问题)。

中考数学专题复习之 20 三角形的边与角(含解析)2 精编

20 三角形的边与角(含解析)一、选择题1．如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30°，则∠C的度数为（）A．50° B．40° C．30° D．20°【分析】由AD∥BC，∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠EAC的度数，最后由三角形的外角的性质即可得出∠EAC=∠B+∠C，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵AD∥BC，∠B=30°，∴∠EAD=∠B=30°．又∵AD是∠EAC的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=60°．∵∠EAC=∠B+∠C，∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°．故选C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是求出∠EAC=60°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等或互补的角是关键．2．1．（3分）（2016•青海）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．12【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．【解答】解：x2﹣6x+8=0（x﹣4）（x﹣2）=0∴x1=4，x2=2，由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，所以周长是：4+4+2=10．故选：B．【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的两个根，然后根据三角形的三边关系求出三角形的周长．1．（3分）（2016•德州）如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．1．（3分）（2016•荆门）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=12×2x=x，当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=12×2×2=2，符合题意的函数关系的图象是A；故选：A．【点评】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围．2．（3分）（2016•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．3．1．（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的整数为6，故选A．【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．1．（2016•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．1．（3分）（2016•河南）如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．【分析】在Rt△ ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=12 BC．【解答】解：∵在Rt △ ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ ACB的中位线，∴DE=12BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半2．1．（3分）（2016•鄂州）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（）A．50°B．40°C．45°D．25°【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【解答】解：在△DEF中，∠1=∠F=50°，∠DEF=90°，∴∠D=180°﹣∠DEF﹣∠1=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选B．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题的关键是求出∠D=40°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是关键．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．二、填空题1．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．2．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD =31BD ，连接DM 、DN 、MN ．若AB =6，则DN = 3 ．【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【分析】连接CM ，根据三角形中位线定理得到NM =21CB ，MN ∥BC ，证明四边形DCMN 是平行四边形，得到DN =CM ，根据直角三角形的性质得到CM =21AB =3，等量代换即可．【解答】解：连接CM ，∵M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∴NM =21CB ，MN ∥BC ，又CD =31BD ， ∴MN =CD ，又MN ∥BC ，∴四边形DCMN 是平行四边形，∴DN =CM ，∵∠ACB =90°，M 是AB 的中点，∴CM =21AB =3，∴DN =3，故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．3．1．（2分）（2016•青海）如图，已知∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC ，且AD 是∠EAC 的平分线，若∠B=71°，则∠BAC= 38° ．【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．【分析】先用平行线求出∠EAD ，再用角平分线求出∠EAC ，最后用邻补角求出∠BAC ．【解答】解：∵AD ∥BC ，∠B=71°，∴∠EAD=∠B=71°，∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠EAC=2∠EAD=2×71°=142°，∴∠BAC=38°，故答案为38°．【点评】此题是三角形外角性质的题目，主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的意义，解本题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的意义．1．（4分）（2016•德州）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是26π-．【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．【分析】连接OM 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，根据题意OM ⊥AB 且OC=MC=12，继而求出∠AOC=60°、S 弓形ABM =S 扇形OAB ﹣S △AOB 、S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM计算可得答案．【解答】解：如图，连接OM 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，由题意知，OM ⊥AB ，且OC=MC=12，在RT △AOC 中，∵OA=1，OC=12，∴cos ∠AOC=OC OA =12，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S 弓形ABM =S 扇形OAB ﹣S △AOB=21201360π⨯﹣12×12=3π，S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM=12π×12﹣2（3π）6π．6π．【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．4．1．1．（3分）（2016•大庆）如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 110° ．【考点】三角形内角和定理．【分析】由D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC 的度数．【解答】解：∵D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，∴有∠CBD=∠ABD=21∠ABC ，∠BCD=∠ACD=21∠ACB ， ∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，∴∠OBC+∠OCB=70，∴∠BOC=180﹣70=110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．2．（3分）（2016•大庆）如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为 4n ﹣3 ．【考点】三角形中位线定理；规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n 个图形中共有三角形的个数是4n ﹣3；故答案为：4n ﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．1．（4分）（2016•上海）在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，那么△ADE 的面积与△ABC 的面积的比是41 ．【考点】三角形中位线定理．【分析】构建三角形中位线定理得DE ∥BC ，推出△ADE ∽△ABC ，所以ABC ADE S S ∆∆=（BC DE ）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB ，AE=EC ，∴DE ∥BC ．DE=21BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴ABCADE S S ∆∆=（BC DE ）2=41，故答案为41．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．5．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．2．1．1．（12分）（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AB=BC=1，BC=12，∴AD=12，DC=1﹣12=32．∴AD 2． ∴AD 2=AC•CD ．（2）∵AD=BD ，AD 2=AC•CD ，∴BD 2=AC•CD ，即BD CD AC BD=．又∵∠C=∠C ，∴△BCD ∽△ABC ． ∴1AB BD AC CB==，∠DBC=∠A ． ∴DB=CB=AD ．∴∠A=∠ABD ，∠C=∠D ．设∠A=x ，则∠ABD=x ，∠DBC=x ，∠C=2x ．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD ∽△ABC 是解题的关键．1．（10分）（2016•德州）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 做直线l ∥BC ．（1）判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC 的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE=EF ；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF 的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OE 、OB 、OC ．由题意可证明»º=BECE ，于是得到∠BOE=∠COE ，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE ⊥BC ，于是可证明OE ⊥l ，故此可证明直线l 与⊙O 相切；（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF ，然后再证明∠CBE=∠BAF ，于是可得到∠EBF=∠EFB ，最后依据等角对等边证明BE=EF 即可；（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF的长．【解答】解：（1）直线l与⊙O相切．理由：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴»º=BE CE．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC，∴OE⊥BC．∵l∥BC，∴OE⊥l．∴直线l与⊙O相切．（2）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∴∠EBF=∠EFB．∴BE=EF．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7．∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，∴△BED∽△AEB．∴DE BEBE AE=，即477AE=，解得；AE=494．∴AF=AE﹣EF=494﹣7=214．【点评】本题主要考查的是圆的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、切线的判定，证得∠EBF=∠EFB是解题的关键．2．（10分）（2016•德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA=PB ，PC=PD ，∠APB=∠CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状．（不必证明）【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】（1）如图1中，连接BD ，根据三角形中位线定理只要证明EH ∥FG ，EH=FG 即可．（2）四边形EFGH 是菱形．先证明△APC ≌△BPD ，得到AC=BD ，再证明EF=FG 即可．（3）四边形EFGH 是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC ≌△BPD ，得∠ACP=∠BDP ，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD ．∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH=12BD ， ∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG=12BD ， ∴EH ∥FG ，EH=GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．（2）四边形EFGH 是菱形．证明：如图2中，连接AC ，BD ．∵∠APB=∠CPD ，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD ，在△APC 和△BPD 中，AP PB APC BPD PC PD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APC ≌△BPD ，∴AC=BD∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF=12AC ，FG=12BD ，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．。

全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总含答案

全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总含答案一、直角三角形的边角关系1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，【答案】（1）∠BPQ=30°；（2）该电线杆PQ的高度约为9m．【解析】试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，（1）∠BPQ=90°-60°=30°；（2）设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，33米，∵AB=AE-BE=6米，则3，解得：3则BE=（33+3）米．在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．答：电线杆PQ的高度约9米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．【解析】试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．试题解析：（1）如图1，连接OG．∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．∵KG2=KD•GE，即，∴，又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK，∴∠E=∠AGD，又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C，∴AC∥EF；（3）连接OG，OC，如图3所示，∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，又∵OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，∴KE=GE．∵sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK-CH=t．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（2）2，解得t=．设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r-3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得r= t=．∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，∴FG=【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数5．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是（345）米，面积是1470平方米．【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，∴AE=18米，在RT△ADE中，AD=22DE AE+=634米∵背水坡坡比为1：2，∴BF=60米，在RT△BCF中，BC=22CF BF+=305米，∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．6．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．【答案】（1）详见解析；（2）9 2【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°=6×3=33，在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°×AE=3×33=9 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图1中阴影部分A′B′CE）的面积；（2）将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图2，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y，移动的时间为x，请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x，使得△AA′B′成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）452；（2）详见解析；（3）使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32669．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2，由tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD 可求出CE ，即可计算△CED ′的面积，S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′；（2）分类讨论，当0≤x ≤115时和当115＜x ≤4时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB ′＝A ′B ′时；当AA ′＝A ′B ′时；当AB ′＝AA ′时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）∵AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，∴BD ＝10cm ，根据旋转的性质可知B ′D ′＝BD ＝10cm ，CD ′＝B ′D ′﹣BC ＝2cm ，∵tan ∠B ′D ′A ′＝'''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE ＝32cm ， ∴S ABCE ＝S ABD ′﹣S CED ′＝8634522222⨯-⨯÷=（cm 2）；（2）①当0≤x ＜115时，CD ′＝2x +2，CE ＝32（x +1）， ∴S △CD ′E ＝32x 2+3x +32， ∴y ＝12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32＝﹣32x 2﹣3x +452； ②当115≤x ≤4时，B ′C ＝8﹣2x ，CE ＝43（8﹣2x ） ∴()214y 8223x =⨯-＝83x 2﹣643x +1283．（3）①如图1，当AB ′＝A ′B ′时，x ＝0秒； ②如图2，当AA ′＝A ′B ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245， ∵AN 2+A ′N 2＝36，∴（6﹣245）2+（2x +185）2＝36，解得：x x （舍去）； ③如图2，当AB ′＝AA ′时，A ′N ＝BM ＝BB ′+B ′M ＝2x +185，A ′M ＝NB ＝245，∵AB2+BB′2＝AN2+A′N2∴36+4x2＝（6﹣245）2+（2x+185）2解得：x＝32．综上所述，使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有：0秒、32秒、6695．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，1010=10；②F点移动到F'10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝10，∴当点F1移动到点B时，t＝1010＝10；②当点H 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'的距离是10t ，在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=；当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='，∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键． 9．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时，求BF CF 的值； (2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】【分析】 (1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积.【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ,∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°,∴BK =CK =4a ,∴BF =a ,又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，∵∠AGE =∠DHE =90°,∴△EGA ∽△EHD , ∴EH ED EG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12， cos ∠ABC∴BA ＝BC · cos ∠ABCBK= BA·cos ∠ABC 8= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10,∴EH ·EA =80 (3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,∵BC ∥KT ,BF AF FG KE AE ED ==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG ED CG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FG FG CG=， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE ED DE DT = ，又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CD BE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.10．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD= 45，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．【答案】tan ∠AEC=3, CD=12125【解析】解：在RT △ACD 与RT △ABC 中∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=45 在RT △ABC 中，45BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由35BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且2 则2，2 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC EC =3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=45CD AC = ,，1212511．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0），点B （0，3O 为原点．动点C 、D 分别在直线AB 、OB 上，将△BCD 沿着CD 折叠，得△B'CD ．（Ⅰ）如图1，若CD⊥AB，点B'恰好落在点A处，求此时点D的坐标；（Ⅱ）如图2，若BD=AC，点B'恰好落在y轴上，求此时点C的坐标；（Ⅲ）若点C的横坐标为2，点B'落在x轴上，求点B'的坐标（直接写出结果即可）．【答案】（1）D（032）C（12﹣33﹣18）；（3）B'（13 0），（2130）.【解析】【分析】(1)设OD为x，则3x，在RT△ODA中应用勾股定理即可求解；(2)由题意易证△BDC∽△BOA，再利用A、B坐标及BD=AC可求解出BD长度，再由特殊角的三角函数即可求解；(3)过点C作CE⊥AO于E，由A、B坐标及C的横坐标为2，利用相似可求解出BC、CE、OC等长度；分点B’在A点右边和左边两种情况进行讨论，由翻折的对称性可知BC=B’C，再利用特殊角的三角函数可逐一求解.【详解】（Ⅰ）设OD为x，∵点A（3，0），点B（0，33），∴AO=3，BO=33∴AB=6∵折叠∴BD=DA在Rt△ADO中，OA2+OD2=DA2．∴9+OD2=（33﹣OD）2．∴3∴D（03）（Ⅱ）∵折叠∴∠BDC=∠CDO=90°∴CD∥OA∴BD BCBO AB=且BD=AC，∴66 33BD-=∴BD=123﹣18 ∴OD=33﹣（123﹣18）=18﹣93∵tan ∠ABO=3OB AO =， ∴∠ABC=30°，即∠BAO=60° ∵tan ∠ABO=3BD CD =， ∴CD=12﹣63∴D （12﹣63，123﹣18）（Ⅲ）如图：过点C 作CE ⊥AO 于E∵CE ⊥AO∴OE=2，且AO=3∴AE=1，∵CE ⊥AO ，∠CAE=60°∴∠ACE=30°且CE ⊥AO∴AC=2，3∵BC=AB ﹣AC∴BC=6﹣2=4若点B'落在A 点右边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA∴22'13B C CE -=∴13∴B'（130）若点B'落在A 点左边，∵折叠∴BC=B'C=4，3CE ⊥OA∴22'13B C CE -=∴132∴B'（2﹣13，0）综上所述：B'（2+13，0），（2﹣13，0）【点睛】本题结合翻折综合考查了三角形相似和特殊角的三角函数，第3问中理解B’点的两种情况是解题关键.12．如图所示，小华在湖边看到湖中有一棵树AB ，AB 与水面AC 垂直．此时，小华的眼睛所在位置D 到湖面的距离DC 为4米．她测得树梢B 点的仰角为30°，测得树梢B 点在水中的倒影B′点的俯角45°．求树高AB （结果保留根号）【答案】AB=（3）m ．【解析】【分析】设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，根据∠ADB′=45°，可知DE=B′E=x+8，再由tan30°=BE DE 即可得出x 的值，进而得到答案，【详解】如图：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，设BE=x ，则BA=x+4，B′E=x+8，∵∠ADB′=45°，∴DE=B′E=x+8，∵∠BDE=30°，∴tan30°=383BE x DE x ==+ ，解得3， ∴AB=BE+4=（3）m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键。

四川省雅安市2016届中考数学模拟测试试题(三角形的边)(一)(无答案)

三角形的边1一、选择题1．下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cm C．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm 2．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，43．下列线段能构成三角形的是（）A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，64．一个三角形的三条边长分别为1、2、x，则x的取值范围是（）A．1≤x≤3 B．1＜x≤3 C．1≤x＜3 D．1＜x＜35．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）A．2 B．3 C．5 D．86．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2 B．4 C．6 D．87．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，1 B．1，2，2 C．1，2，3 D．1，2，48．下列图形中具有稳定性的是（）A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形9．下列图形具有稳定性的是（）A．正方形B．矩形 C．平行四边形D．直角三角形10．三角形三条中线的交点叫做三角形的（）A．内心 B．外心 C．中心 D．重心11．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．112．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，613．下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，1114．已知三角形两边长分别为3和9，则此三角形的第三边的长可能是（）A．4 B．5 C．11 D．1515．已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．1216．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D． 417．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远18．长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种19．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．1620．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6， 10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）21．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC 长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（）A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD二、填空题22．各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．23．若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是．24．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）25．如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O，则= ．26．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为．。

中考数学试题分类汇编20 三角形的边与角

三角形的边与角一、选择题1. （•广东，第9题3分）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．解答：解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．故这个等腰三角形的周长是17．故选A．本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．点评：xk b 12. （•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cm C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm考点：等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．分析：设AB=AC=x，则BC=20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．解答：解：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=．故选B．点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．3. （•湖南邵阳，第5题3分）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故选C．4．（台湾，第18题3分）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？()A．24 B．30 C．32 D．36分析：根据角平分线的定义可得∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，再根据等边对等角可得∠CBP＝∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABP＋60°＋24°＝180°，解得∠ABP＝32°．故选C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．5．（台湾，第20题3分）如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？()A．AD＝AE B．AE＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD分析：由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE＋ED＜ED＋CD，从而得到BE＜C D．解：∵∠C＜∠B，∴AB＜AC，即BE＋ED＜ED＋CD，∴BE＜C D．故选D ．点评：考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．6.（云南昆明，第5题3分）如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是（）A . 85°B . 80°C . 75°D . 70°7. （•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A ． 1，2，3B ． 1，1，C ． 1，1，D ． 1，2，考点：解直角三角形专题：新定义．分析：A 、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B 、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C 、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D 、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定． DCBA解答：解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．二.填空题1. （•福建泉州，第15题4分）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=110°．考点：等腰三角形的性质．分析：先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．解答：解：∵CA=CB，∴∠A=∠ABC，∵∠C=40°，∴∠A=70°∴∠ABD=∠A+∠C=110°．故答案为：110．点评：此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和．2. （•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为 35 cm ．3. （•扬州，第15题，3分）如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结OD 、OE ，若∠A =65°，则∠DOE = 50° ．（第2题图）考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．分析：首先根据三角形内角和求得∠B +∠C 的度数，然后求得其二倍，然后利用三角形的内角和求得∠BOD+∠EOC ，然后利用平角的性质求得即可．*]解答：解：∵∠A =65°， ∴∠B +∠C =180°﹣65°=115°，∴∠BDO =∠DBO ，∠OEC =∠OCE ，∴∠BDO +∠DBO +∠OEC +∠OCE =2×115°=230°，∴∠BOD +∠EOC =2×180°﹣230°=130°，∴∠DOE =180°﹣130°=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．三.解答题1. （•益阳，第15题，6分）如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°．求∠C的度数．（第1题图）考点：平行线的性质．分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BAF，再根据角平分线的定义求出∠CAF，然后根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵EF∥BC，∴∠BAF=180°﹣∠B=100°，∵AC平分∠BAF，∴∠CAF=∠BAF=50°，∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°．点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．。

2016年中考数学试题——三角形(各省统一命题版)(真题模拟)

中国教育培训领军品牌一、选择题：1.(2021 . XX 市，第 4 题， 3 分 )如果一个正多边形的中心角为72 ，那么这个正多边形的边数是,,,,,〔〕 .A 、4；B 、5；C 、6；D 、7．2. (2021 . XX 市，第2 题，3 分 ) cos45 的值等于 ()〔A 〕1〔 B 〕2 〔C 〕3〔D 〕3222【答案】 B. 【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值即可得cos45 =2，故答案选 B.2考点：特殊角的三角函数值. 3. (2021 .市，第6 题， 3 分 )如图，公路 AC ， BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，假设测得 AM 的长为 1.2km ，那么 M 、 C 两点间的距离为 ()A0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km 【答案】 D ．【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MC=1.2km ．应选 D ．考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4. (2021 . XX 省，第 6 题， 3 分 )如图，在△ ABC 中，∠ A=36°， AB=AC ， BD 是△ ABC 的角平分线，假设在边AB中国教育培训领军品牌A.2 个B.3个C.4个D.5个二、填空题：1.(2021 . XX市，第15 题， 4 分 )如图，在ABC 中， D 、 E 分别是边 AB 、边 AC 的中点，AB m ，AC n ，那么向量DE 用向量 m 、 n 表示为______________．ADEB C【答案】11 m n 22【解析】试题分析：先根据三角形法那么将DE用DA AE 表示出来，再根据中点及平行向量将其转化为用m 、 n 表示，即 DE DA1111 AE ABAC m n .2222考点：平面向量的根本运算.2.〔2021 . XX省，第10 题， 3 分〕如图，△ ABC中，点 D、 E 分别在边 AB， BC上， DE//AC，假设 DB=4， DA=2， BE=3，那么 EC=.ADBEC第10 题【答案】3. 2【解析】试题分析：∵DE//AC, ∴ DB:AD=BE:CE,∴ 4:2=3:EC,EC= 3 . 2考点：平行线分线段成比例定理.3.(2021 .XX，第13题，3分)如图，港口A 在观测站O 的正东方向， OA=4 ，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离(即 AB的长)为．【答案】 2 2.【解析】试题分析：如图，过点A 作 AD⊥ OB于 D．先解 Rt △ AOD，得出 AD=1OA=2，再由△ ABD是等腰直角三角形，2得出 BD=AD=2，那么 AB= 2 AD=22 .考点：解直角三角形的应用〔方向角问题〕；特殊角的三角函数值.4. 〔2021 . XX市 A 卷，第 15 题， 4 分〕△ ABC∽△ DEF,ABC 与DEF 的相似比为4:1 ，那么ABC 与DEF 对应边上的高之比为.5.〔2021 . XX市 B 卷，第 14 题， 4 分〕△ ABC∽△ DEF，假设△ ABC与△ DEF的相似比为 2:3 ，那么△ ABC与△ DEF对应边上的中线的比为________.【答案】 2:3【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：△ABC与△ DEF对应边上的中线的比为2:3.考点：相似三角形的应用.6.(2021 . XX市，第 16 题， 3 分) 如图，在△ ABC 中， DE∥ BC，分别交 AB， AC 于点 D， E. 假设 AD =3，DB =2，BC =6，那么 DE 的长为.ADEBC【答案】18. 5【解析】试题分析：由DE∥B C 可得△ ADE∽△ ABC,根据相似三角形的性质可得18DE.5AD DE ,即3=DE,解得AB BC567.(2021 . XX省，第 12 题， 3 分 )请从以下两小题中任选一个作答，假设多项选择，那么按第一题计分。

2016年中考数学模拟试题汇编专题21：全等三角形(含答案)

如图，.〔ABC 和厶EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边 AG 、FC 相交于点M .当EFG 绕点D 旋转时,线段BM 长A. cm B . cm C. 2cm D.【考点】翻折变换（折叠问题）.BC,由折叠的性质可得/ BED=/ C=90°, BE=BC=3cm 得 DE=xcm AD= （4 - x ） cm ,由勾股定理得出方程，解方程即可. 【解答】解：•••/ C=90°, AB=5cm AC=4cmJBC==3cm, I 1' -r•••将△ BCD 沿着直线BD 翻折，使点C 落在斜边AB 上的点E 处,•••△ BED^A BCD•••/ BED / C=90°, BE=BC=3cm• AE=AE — BE=2cm设 DC=xcm 贝V DE=xcm AD= ( 4 - x ) cm,、选择题全等三角形的最小值是 B. C. D. 、、3_1 答案：D 2、（ 2016青岛一模）如图，在△ 将厶BCD 沿着BD 所在直线翻折，使点 .2 ABC 中，/ C=90°, AB=5cm AC=4cm 点 D 在 AC 上, C 落在斜边AB 上的点E 处，贝U DC 的长为（）1、（ 2016苏州二模） BC 、EF 的中点,直线【分析】首先由勾股定理求出出 AE=AB- BE=2cm 设 DC=xcm 则由勾股定理得：A W+DE^AE2,即22+X2=（4 - x）2,解得：x=.故选：B.3. （2016 •新疆乌鲁木齐九十八中•一模）如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接HN则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.【分析】取CB的中点G连接MG根据等边三角形的性质可得BH=BG再求出/ HBN=/ MBG根据旋转的性质可得MB=NB然后利用“边角边”证明•••△MBdA NBH再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG然后根据垂线段最短可得MGL CH时最短，再根据/BCH=30求解即可.【解答】解：如图，取BC的中点G,连接MG•••旋转角为60° ,•••/ MBH# HBN=60 ,又•••/ MBH# MBC# ABC=60 ,•••/ HBN# GBM•「CH是等边△ ABC的对称轴，•HB= AB,•HB=BG又••• MB旋转到BN•BM=BN在厶MBG^ NBH中,r BG=BH•ZMBG^ZMBH，•••△MB QA NBH( SAS ,••• MG=NH根据垂线段最短，MG_ CH时，MG最短，即HN最短，此时•••/ BCH= x 60 ° =30°, CG= AB= x 2a=a,2 2 211c•• MG= CG= x a=,•HN=,E故选：D.【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.4. （2016 •上海市闸北区•中考数学质量检测4月卷）如图，已知/ BDA =Z CDA，则不一定能使厶ABD ◎△ ACD的条件是...... （▲ ）(A ) BD = DC ( B) AB = AC(C)/ B = Z C (D)Z BAD =Z CAD答案：B5. （2016 •湖南湘潭•一模）如图，在ABC和DEC中，已知AB = DE，还需添加两个条件才能使「'ABC三DEC，不能添加的一组条件是DA. BC = EC , B - EB. BC = EC , AC 二DCC. BC = DC，.—A 二.DD. B = . E ，—A = . D答案：C6. （2016 •广东东莞•联考）如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两才GE边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG的面积与？HCFM的面积S2的大小关系是（）A . S i> S2B . SK S2C. S1=S2 D. 2S1=S2【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证厶ABD ◎△ CDB，得出△ ABD和厶CDB的面积相等；同理得出厶BEM和厶MHB的面积相等，△ GMD和厶FDM的面积相等，相减即可求出答案.【解答】解：：•四边形ABCD是平行四边形，EF// BC，HG // AB，••• AD=BC，AB=CD，AB // GH // CD，AD // EF // BC，•••四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在厶ABD和厶CDB中；f AB=CD••• BD二DB，DA=CB• △ ABD ◎△ CDB （SSS），即厶ABD和厶CDB的面积相等；同理△ BEM和厶MHB的面积相等，△ GMD和厶FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S i=S2.故选：C.G关键是求出△ ABD 和厶CDB 的面积相等，△ BEP 和厶PGB 的面积相等，△ HPD 和厶FDP 的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等7. (2016 •广东深圳・一模)如图，过边长为3的等边△ ABC 的边AB 上一点P ,作PE 丄AC 于E, Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为()A .B .C .D .不能确定【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质; 等边三角形的判定与性质.【专题】证明题.【分析】过P 作PF // BC 交AC 于F ,得出等边三角形 APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出 EF=AE ，证△ PFDQCD ，推出FD=CD ，推出DE=AC 即可. ••• PF // BC , △ ABC 是等边三角形，•••/ PFD= / QCD ，/ APF= / B=60 ° / AFP= / ACB=60 ° / A=60 °•••△ APF 是等边三角形，••• AP=PF=AF ,•/ PE 丄 AC , • AE=EF , •/ AP=PF , AP=CQ ,【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定的应用，解此题的H ,C【解••• PF=CQ ,在厶PFD和厶QCD中2PFD 二ZQCD4 Z PDF=Z CDQ，b=CQ•••△ PFD◎△ QCD ,•FD=CD ,•/ AE=EF ,•EF+FD=AE+CD ,••• AE+CD=DE=AC ,•/ AC=3 ,•DE=,故选B .【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中.二、填空题1. （2016 •天津市和平区• 一模）如图，△ ABC^D^ CDE都是等边三角形，且/ EBD=66 , 贝AEB的大小=126°'A B=DF4 Z B=Z EDF,BC=DE【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.【分析】由等边三角形的性质得出BC=AC/ ABC=Z ACB/ BACN DCE=60 , CD=CE得出/ BCD/ ACE 由SAS证明△ BCD^A ACE 得出/ CBD/ CAE 再证明/ CBD- 6 ° =/ ABE得出/ ABE=/ CAE- 6°,求出/ ABE+/ BAEK BAC- 6°，即可求出/ AEB的大小.【解答】解：•••△ ABC和△ CDE都是等边三角形，••• BC=AC/ ABC=/ ACB玄BAC玄DCE=60 , CD=CE•••/ BCD2 ACEBC=AC在厶BCD^ ACE中,* /BCD二厶CE,CD=CE•••△ BCD^A ACE（ SAS ,•••/ CBD2 CAE•••/ EBD=66 ,•••/ CBD2 ABE+（66°- 60°）•••/ ABE玄CAE- 6 ° ,•••/ ABE+Z BAE=/ CAE+Z BAE- 6 ° =/ BAC- 6 ° =54 ° ,•••/ AEB=180 - 54° =126°;故答案为：126°.【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键.2. （2016 •天津五区县•一模）如图，AB=AC要使△ ABE^A ACD应添加的条件是/ B=/ C 或AE=AD （添加一个条件即可）.【考点】全等三角形的判定.【专题】开放型.【分析】要使△ ABE^A ACD已知AB=AC / A=Z A,则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等.【解答】解：添加/ B=Z C或AE=AD后可分别根据ASA SAS判定△ ABE^A ACD 故答案为：/ B=Z C或AE=AD【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL添加时注意：AAA SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.三、解答题1. （2016 •重庆巴蜀•一模）如图，点C, D在线段BF上，AB// DE AB=DF BC=DE求证：AC=FE【分析】首先由AB// DE可以得到/ B=Z EDF然后利用SAS证明△ ABC与△ DEF全等, 最后利用全等三角形的性质即可解决问题.【解答】证明：••• AB// DE•••/ B=Z EDF,在厶ABC与△ DEF中，•△ABC^A DEF( SAS ,•AC=FE2. (2016 •重庆巴南•一模)已知：/ D=Z E, AD=AE / 仁/2.求证：BD=CED ------------【分析】先证出/ BAD=/ CAE再由ASA证明△ ABD^A ACE得出对应边相等即可.【解答】证明：•••/ 仁/2 ,•••/ BAD=/ CAE么D二ZE在厶ABD与△ ACE中，・AB二AE ,ZBAD=ZCAE• △ABD^A ACE( ASA ,• BD=CE3.(2016 •重庆铜梁巴川•一模)如图，点 C , E , F , B 在同一直线上，点 A , D 在BCB=Z C ,再根据 AAS 证出厶ABE^A DCF 从而得出【解答】解：••• AB// CD•••/ B=Z C,在厶ABE 和△ DCF 中， r ZA=ZD〈ZB^ZC,AE=DF• △ ABE^A DCF• AB=CD4. (2016 •重庆巴南 •一模)如图，?ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且 DE=BC 过点A 作AF丄CD 于点F ,交DE 于点G,连结AE 、EF. AB=CDAB=CD(1)若AE平分/ BAF,求证：BE=GE【分析】(1 )由四边形ABCD是平行四边形，DE=BC易证得/ AEB=Z AEG又由AE平分/ BAF,可证得△ ABE^A AGE即可证得BE=GE(1)由(1)可知△ ABE^A AGE 故此可知/ DGF/ AGE=70 ,在Rt△ DGF中 ,利用直角三角形两锐角互余可求得/ CDE=20 ;(3)延长AE,交DC的延长线于点M 易证得△ ABE^A MCE又由AF丄CD可得EF是Rt △ AFM 的斜边上的中线，继而证得结论.(2)若/ B=70°,求/ CDE的度数.AEF=2/ EFC【解答】解：（1）V四边形ABCD是平行四边形, ••• AD// BC, AD=BC•••/ D AE=/ AEB••• DE=BC•AD=DE•••/ DAE=/ AED•••/ AEB玄AED•/ AE平分/ BAF•••/ BAE玄GAE'Z BAE=Z GAE在厶ABE和△ AGE中,・AE-AEZ AEB=Z AEG•••△ ABE^A AGE(ASA).•BE=GE(2)由(1)可知：△ ABE^A AGE•••/ B=Z EGA=70 .•••/ DGF2 EGA=70 .••• AF 丄CD•••/ GFD=90 .•••/ GDF丄DGF=90 .•••/CDE=90 - 70° =20°.(3)延长AE,交DC的延长线于点M.•••四边形ABCD是平行四边形，•AB// CD•••/ BAF=/ AFD / M=Z BAE•••点E是BC边上的中点，•BE=CE'ZBAE=Zai在厶ABE和△ MCE中，・z胡B二ZMEC ,BE=CE•••△ ABE^A MCE( AAS••• AE=ME••• AF 丄CD• EF=AE=EM=AM2•••/ M=/ EFC.•••/ AEF/ BAE-/ EFC=2/ EFC.5、（2016 齐河三模）如图1:在四边形ABC［中, AB= AD / BAD= 120°,/ B=/ ADC= 90°.E、F分别是BC CD上的点.且/ EAF^60° .探究图中线段BE EF FD 之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G,使DG= BE连结AG先证明△ ABEADG再证明△ AEF^A AGF可得出结论，他的结论应是EF= BE+ DF ;如图2，若在四边形ABCC中，AB= AD, / B+/ D= 180° . E、F分别是BC CD上的点，且/ EAF= 1/ BAD上述结论是否仍然成立，并说明理由；2实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E, F处，且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离？答案：解：问题背景：EF= BE+ DF;探索延伸：EF= BE+ DF仍然成立.证明如下：如图，延长FD到G,使DG= BE,连接AQ•••/ B+Z ADC= 180°,/ ADO/ ADG= 180°,「・/ B=Z ADGr DG=BE在厶ABE 和厶ADG 中，・NB二ZADG，•••△ ABE^A ADG( SAS,「AB 二AD••• AE= AG Z BAE=Z DAG•••/ EAF=Z BAD• Z GAF=Z DAG^Z DAF=Z BAE^Z DAF=Z BAD- / EAF=Z EAF, •/ EAF=Z GAFr AE=AG在厶AEF和△ GAF中，ZEAF=ZGAF , •△ AEF^A GAF ( SAS , • EF= FGAF=AF•/ FG= D申DF= BE+ DF, • EF= BE+ DF;实际应用：如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,vZ AOB= 30°+ 90 ° + ( 90°- 70°) = 140° , Z EOF= 70°，•/ EAF=Z AOB又••• OA= OB Z OAC+Z OBG=( 90°- 30°) + ( 70°+ 50°)= 180°, •符合探索延伸中的条件，•结论EF= AE+ BF 成立，即EF= 1.5 X( 60 + 80)= 210 海里.6、( 2016青岛一模)已知：如图，在矩形ABCD中 ,点E在边AD上 ,点F在边BC上, 且AE=CF作EG// FH分别与对角线BD交于点G H,连接EH, FG.(1)求证：△ BFH^A DEG(2)连接DF,若BF=DF则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论.【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD// BC, AD=BC OB=OD由平行线的性质得出/ FBH=/ EDG / 0HF2 OGE 得出/ BHF=/ DGE 求出BF=DE 由AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF丄GH即可得出四边形EGFH是菱形.【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• AD// BC, AD=BC OB=OD•••/ FBH=/ EDG•/ AE=CF•BF=DE•/ EG// FH ,•••/ 0HF2 OGE•••/ BHF=/ DGE在△ BFH和△ DEG中 ,•BFH^^ DEG（AAS ;（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF 如图所示：由（1）得：BFH^A DEG•FH=EG又••• EG/ FH,•四边形EGFH是平行四边形，•/ BF=DF OB=OD•EF± BD,•EF± GH•四边形EGFH是菱形.7、(2016青岛一模)把Rt△ ABC和Rt△ DEF按如图(1)摆放(点C与E重合)，点B(E)、F 在同一条直线上. 已知：/ ACB=/ EDF=90，/ DEF=45 , AC=8cm BC=6cm EF=10cm 如图(2),A DEF从图(1)的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ ABC匀速移动，在△ DEF 移动的同时，点P从厶ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P 移动到点B时，点P停止移动，△ DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q连接PQ设移动时间为t(s).(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；(2)连接PE,设四边形APEQ勺面积为y (cm2),试探究y的最大值；(3)当t为何值时，△ APQ是等腰三角形.【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；等腰三角形的性质. 【专题】动点型.【分析】(1 )根据题意以及直角三角形性质表达出CQ AQ从而得出结论，(2)作PG L L X轴，将四边形的面积表示为S A ABC-S A BPE-S A QCE即可求解，( 3)根据题意以及三角形相似对边比例性质即可得出结论.【解答】( 1)解：AP=2t•••/ EDF=90，/ DEF=45 ,•••/ CQE=45 =Z DEF,CQ=CE=t•AQ=8- t ,t的取值范围是：0 w t w 5;(2)过点P 作PGL x 轴于G,可求得AB=1Q SinB= , PB=10- 2t , EB=6- t ,• PG=PBSinB=(10- 2t)••• y=S △ ABC—S^PBE-S AQCL•••当(在O w t w 5内)，y有最大值，y最大值= (cm)(3)若AP=AQ 则有2t=8 - t 解得：(s)若AP=PQ 如图①：过点P作PF U AC 贝U AH=QH= , PH// BC•△APH^A ABC… ,2t 二1C即■,~2~dC解得：• -；. (s)若AQ=PQ如图②：过点Q作QI丄AB贝y AI=PI=AP=t•••/ AIQ=Z ACB=90 / A=Z A,•△ AQI S A ABC…—「即-:」，解得：t (s)5 AC 节综上所述，当或才或时，△ APQ是等腰三角形.a £丄3& (2016 •浙江杭州萧山区•模拟)在厶ABC中，AB=AC 点E, F分别在AB, AC上, AE=AF, BF与CE相交于点P.求证：PB=PC并直接写出图中其他相等的线段.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 【专题】几何图形问题.【分析】可证明△ ABF^A ACE贝U BF=CE再证明△ BEP^A CFP 出PE=PF BE=CF【解答】解：在△ ABF和厶ACE中，f AB-AC斤ZBAF=ZCAE,AF=AE•••△ABF^A ACE（ SAS ,•••/ ABF=/ ACE （全等三角形的对应角相等），•BF=CE（全等三角形的对应边相等），•/ AB=AC AE=AF•BE=CF在厶BEP和△ CFP中，f ZBPE=ZCPF•Z PBE^Z PCF ,BE=CF•••△BEP^A CFP（ AAS ,•PB=PC•/ BF=CE•PE=PF•图中相等的线段为PE=PF BE=CF BF=CE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，不大.9. （2016 •云南省•一模）在厶ABC中，AB=AC点E, F分别在A与CE相交于点P.求证：△ EBC^A FCBR C 则PB=PC从而可得是基础题，难度AC上, AE=AF BFB【考点】全等三角形的判定.【专题】证明题.【分析】首先根据等边对等角可得/ ABC* ACB再根据等式的性质可得BE=CF然后再利用SAS判定厶EBC^^ FCB【解答】证明：••• AB=AC•••/ ABC2 ACB•/ AE=AF• AB- AE=AC- AF即BE=CFr EB=CF在厶EBC^D^FCB中，i ZAB>ZACB ,BC=BC•••△ EBC^A FCB( SAS .【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件. 10. (2016 •吉林长春朝阳区•一模)探究：如图①，△ ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P.(1)求证：△ ACN ◎△ CBM ；(2)/ CPN= 120 °应用：将图①的厶ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN ,连结MC、DN，延长MC交DN于点P,则图②中/ CPN=90 ° 图③中/ CPN= 72 °拓展：若将图①的厶ABC改为正n边形，其它条件不变，则/ CPN=—° (用含n的代数式表示)考点】四边形综合题．【分析】探究：（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，/ ACB= / ABC，从而得到△ACN ◎△ CBM .（2）禾9用全等三角形的性质得到/ CAN= / BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，即可求解．应用：利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC,/ ABC= / BCD，从而判断出△DCN ◎△ CBM，再利用全等三角形的性质得到/ CDN= / BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和（或者三角形的内角和），即可．拓展：禾U用正n五边形的性质得到BC=DC , / ABC= / BCD ,从而判断出△ DCN ◎△ CBM , 再利用全等三角形的性质得到/ CDN= / BCM，再利用三角形的内角和，即可.【解答】探究：（1）解：•••△ ABC是等边三角形，••• BC=AC，/ ACB= / ABC=60 °•••/ ACN= / CBM=60 °在厶ACN和厶CBM中，• △ ACN ◎△ CBM .（2）解：•••△ DCNCBM ,•••/ CAN= / BCM ,•••/ ABC= / BMC+ / BCM，/ BAN= / BAC+ / CAN ,•••/ CPN= / BMC+ / BAN= / BMC+ / BAC+ / CAN= / BMC+ / BAC+ / BCM= / ABC+ / B AC=60°+60°=120°，故答案为120.应用：将等边三角形换成正方形，解：四边形ABCD 是正方形，••• BC=DC，/ ABC= / BCD=90 •••/ MBC= / DCN=120 °在厶DCN和厶CBM中，•△ DCN ◎△ CBM .•••/ CDN= / BCM ,•••/ BCM= / PCN•••/ CDN= / PCN在Rt△ DCN 中，/ CDN+ / CND=90 °•••/ PCN+ / CND=90 °•••/ CPN=90,将等边三角形换成正五边形，五边形ABCDE 是正五边形，•BC=DC=108 °.•••/ MBC= / DCN=72 °在厶DCN和厶CBM中，•△ DCN ◎△ CBM .•••/ BMC= / CND，/ BCM= / CDN ,•••/ ABC= / BMC+ / BCM=108 °•••/ CPN=180 ° - (/ CND+ / PCN)=180 °- (/CND+ / BCM )=180 °- (/BCM+ / BMC ) =180 °- 108 °=72 °.故答案为90，72.拓展解：方法和上面正五边形的方法一样，得到/ CPN=180。

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三角形的边与角
一、选择题
1．（2016·天津南开区·二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处.
若AD=3，BC=5，则EF的值是（）
A．B．2C．D．2
考点：三角形中的角平分线、中线、高线
答案：A
试题解析：∵分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD 边的点F处，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，
作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，
在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故选：A．
2．（2016·天津五区县·一模）如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 1 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】由三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半，以此类推可求出△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长
的．
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16=1．
故答案为：1
【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周长等于△A1B1C1的周长的一半．3．2016泰安一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（）
A．75° B．60° C．45° D．30°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】首先根据三角板可知：∠CBA=60°，∠BCD=45°，再根据三角形内角和为180°，可以求出∠α的度数．
【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，
∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，
故选：A
4. .（2016·广东·一模）若三角形的两边长分别为 6 ㎝，9 cm，则其第三边的长可能为( )
A．2㎝ B．3 cm C．7㎝D．16 cm
答案：C
5. （2016·广东河源·一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE
垂直平分斜边AC，E为垂足，且交AB于点D，连接CD，若BD＝1，则
AC的长是（）
A． 23 B.2 C．43D．4
答案：A
6. （2016·河北石家庄·一模）下列图形中，∠1一定大于∠2的是（）
A．B．C．D．
【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；圆周角定理．
【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．【解答】解：A、根据对顶角相等，∠1=∠2，故本选项错误；
B、根据两直线平行、内错角相等，∠1=∠2，故本选项错误；
C、根据外角等于不相邻的两内角和，∠1＞∠2，故本选项正确；
D、根据圆周角性质，∠1=∠2，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．
7. ．（2016·吉林长春朝阳区·一模）已知如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）
A．315°B．270°C．180°D．135°
【考点】三角形的外角性质．
【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），
∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
8. (2016·山东枣庄·模拟)从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法；三角形三边关系．
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4种，
其中构成三角形的有3，5，7共1种，
则P（构成三角形）=．
故选C．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
1．（2016·天津北辰区·一摸）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边
中点，AP交BD于点Q. 则OQ
OB
的值为___________．
A D
O
Q
答案：1 3
2. .（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）从长度分别为x(x为正整数)4、6、8的四条线段中
任选三条作边，能构成三角形的概率为1
4
，若长为x的线段在四条线段中最短，则x可取
的值为_____________．
答案： 1或2
3. （2016·江苏常熟·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．
【考点】轴对称的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．【解答】解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，
由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB=10°．
故答案为：10°．
【点评】本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．4. (2016·上海普陀区·一模)如图，点G为△ABC的重心，DE经过点G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的长是4，那么CF的长是 2 ．
【考点】三角形的重心．
【分析】连接BD并延长交AC于H，根据重心的性质得到=，根据相似三角形的性质求出AC，根据平行四边形的判定和性质求出AF，计算即可．
【解答】解：连接BD并延长交AC于H，
∵点G为△ABC的重心，
∴=，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴==，又DE=4，
∴AC=6，
∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF=DE=4，
∴CF=AC﹣AF=2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
三解答题
1.（2016·广东·一模）（本题满分6分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
（1）求证：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
解：（1）证明：∵A D∥BC，∴∠AEB=∠EBC．
由BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；
（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠A BE=∠AEB=40°．
由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．
2. （2016·广东河源·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°。

（1）用直尺和圆规作AC边上的高线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出AC边上的高线BD后，求∠DBC的度数。