03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动ppt课件

3.2 杆的纵向振动
★假设: (1)杆的横截面在振动时始终 保持为平面，并作整体运动； (2)略去杆纵向伸缩引起的横 向变形。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
已知:
(1)杆的单位体积的质量为(x)，截面积为A(x)，杆长为
边界条件为
U 0 0
dU x
dx
0
xL
U
x
C
sin
a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x
D
cos
a
x
dU
dx
x
C
a
cos
a
x
D
a
sin
a
x
由此得
D 0 C cos L 0
aa
频率方程为 cos L 0
a
D=0 C=1
固有频率为
r
2r 1
2
a L
2r 1
2L
E
r 1,2,L
振型函数为
Ur
x
Csin
r
a
x Dcos r
L，弹性模量为E； (2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。
坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截 面位置x和时间t的二元函数。
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★在杆上取微段dx。微元受力如图所
dx
U x Csin x Dcos x
a
a
D0
由下端边界条件
固有频率方程
dU x C cos x D sin x
dx a a a a
EA cos L 2M sin L
aa
a
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自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0
dx x0
dx xL
dU x
0 dx
x0
C0
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU x
dx
C
a
cos
a
x
D
a
sin
a
x
=0，杆作刚
体纵向平动
dU x 0 D sin L 0
dx
aa
xL
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
0
sin
a
L
0
C=0 D=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x cos r
L
x
r 1,2,L
(3)一端固定一端自由的杆
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a
x
sin
2r 1 2
L
x
r 1,2,L
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对于上述三种边界条件：两端固定的杆； 两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆。
前三阶振型图为：
实例
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式中： A, B为待定常 数，由两个初始条件 决定。
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0xL
式中： C, D为待定常 数，由两个端点的边 界条件决定。
U x C sin x Dcos x
a
a
边界条件对固有频率、振型的影响
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(1)两端固定
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
U0 UL 0
U x C sin x D cos x
a
a
将边界条件代 入振型函数
U 0 0
D0
U L 0
C sin L 0
a
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
D=0 C=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
sin
r
L
x
r 1,2,L
(2)两端自由
示。微元纵向应变为
u
u x
dx
u
u
dx
x
★x截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为
N N dx x
★内力N是x, t的函数
Nx,t Ax AxE AxE u
x
★根据牛顿 运动定律得
x
A
x
dx
2u t 2
f x,t dx N N dx N f x,t dx N dx
x
x
杆纵向振动的 偏微分方程为
ux,t UxFt
2u t 2
a2
2u x2
杆纵向自由振动的偏 微分方程可以分解为
两个常微分方程
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0 x L
两个常微分方程的解
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
Ft Asint Bcost
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例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0,t 0 或 U0 0
下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。 取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端 点的边界条件为
EA uL, t
x
M
2uL, t
t 2
2u t 2
E
2u x2
1 A
f
x, t
如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为
2u t 2
a2
2u x2
a E a为弹性波沿x轴的传播速度。
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类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆 纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为
xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f x,t
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f
x, t
★若杆的单位体积质量
(x)== 常 数 ， 截 面 积
A(x)=A= 常 数 ， 杆 纵 向 振 动 的偏微分方程简化为
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考虑到 uL,t dU L Ft
x
dx
F t Asint Bcost
2uL,
t 2
t
U
L
d
2F t
dt 2
2U
L
F
t
故下端边界条件为
由顶端边界条件 U(0)=0
EAdU L 2MU L