16-17版：4.2.1 直线与圆的位置关系(步步高)

斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.
(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可
能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定
理可求出弦长，这是常用解法型三 弦长问题 例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l
的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.
解析答案
(2) 圆心为 C(2 ，－ 1) ，截直线 y ＝ x － 1 的弦长为 2 2 的圆的方程为 2＋(y＋1)2＝4 ( x － 2) ________________________. 解析 设圆的半径为r，由条件，得 |2＋1－1| 圆心到直线 y＝x－1 的距离为 d＝ ＝ 2. 2
(1)证明直线l与圆相交； ∵l：kx－y＋k＋2＝0，
直线l可化为y－2＝k(x＋1)，
∴直线l经过定点(－1,2)，
∵(－1)2＋22<8，
∴(－1,2)在圆C内，
∴直线l与圆相交.
解析答案
(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长. 解 由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，
解析 当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，
故可设直线 y＋1＝k(x＋ 3)， 即 kx－y＋ 3k－1＝0， | 3k－1| 圆心到直线的距离 2 ≤1， k ＋1
解得 0≤k≤ 3， 即 0≤tan α≤ 3
∴0°≤α≤60°.
解析答案
类型二
切线问题
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：
解析答案
1
2
3
4
4. 直 线 y ＝ kx ＋ 3 与 圆 (x － 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 相 交 于 M ， N 两 点 ， 且
(－∞，0] |MN|≥2 3 ，则k的取值范围是__________.
解析 因为|MN|≥2 3，
所以圆心(1,2)到直线 y＝kx＋3 的距离不大于 22－ 32＝1，
第四章
§ 4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离； 2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点
新知探究 点点落实
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
解析
2 2 x ＋ y ＝2， 解方程组 x＋y＝2.
x＝1， 得 y＝1.
解析答案
1
2
3
4
3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( C ) A.0或2 B.0或4 C.2 D.4
解析 圆心到直线的距离等于半径 m， |m| 即 ＝ m， 2
解得m＝2或m＝0(应舍去).
(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：
①经过点 P( － 2， 2) ；
解 ∵(－ 2)2＋( 2)2＝4， ∴点P在圆x2＋y2＝4上，
∴切线方程为－ 2x＋ 2y＝4，
即 x－y＋2 2＝0.
②切线斜率为2. 设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0， 由圆心到切线的距离为半径，可得： 2 |b| 2＝2 2 ＋－1 故所求切线方程为 2x－y± 2 5＝0. 解
位置关系
公共点个数
相交 相切 相离
2个 1个 0个
|Aa＋Bb＋C| 判 几何法：设圆心到直线的距离d＝ A2＋B2 定 代数法： Ax＋By＋C＝0， 方 由 2 2 2 x － a ＋ y － b ＝ r 法 消元得到一元二次方程的判别式Δ
d>r d＝r ____ d<r ____ ____
(1)此切线的方程；
解析答案
(2)其切线长. 解 因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B， 则△ABC为直角三角形，
|AC|＝ 3－4 ＋1＋3 ＝ 17，又|BC|＝r＝1，
2 2
则|AB|＝ |AC|2－|BC|2＝ 172－12＝4，
∴切线长为4.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 是( D ) A.－2或12 解析
又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短， 1 ∵kOP＝－2， ∴kl＝ ， 2 1 ∴直线 l：y－2＝2(x＋1)， 即x－2y＋5＝0. 设直线l与圆交于A、B两点，
|AB|＝2 r2－|OP|2＝2 8－5＝2 3.
∴直线 l 的方程为 x－2y＋5＝0，弦长为 2 3.
(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值 B.2或－12 C.－2或－12 D.2或12
圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
|7－b| 圆心(1,1)到直线 3x＋4y－b＝0 的距离为 5 ＝1，
得b＝2或12，故选D.
解析答案
又直线 y＝x－1 被圆截得的弦长为 2 2， 即半弦长为 2，
所以r2＝2＋2＝4，r＝2，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
解析答案
(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的
弦长为4 5 ，求l的方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3
证明
已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.
A.相交
C.相交或相切 解析
B.相离
D.相切
由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，
而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上， 故直线与圆至少有一个公共点， 故选C.
解析答案
(2)过点P(－ 3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角 0°≤α≤60° α的取值范围是________________.
即
|k＋1|
2
≤1， k ＋1
解得k≤0.
解析答案
规律与方法
1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1) 若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法
较为简单.
(2) 若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则
用代数法较简单.
2.过一点的圆的切线方程的求法
(1) 当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的
Δ>0 Δ ＝0 Δ<0 ____ ____ ____
答案
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题型探究
类型一 直线与圆的位置关系的判定
重点难点 个个击破
例1 已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆 (1)相交； (2)相切； (3)相离.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( C )
解析答案
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达标检测
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( B ) A.相切 C.直线过圆心 B.相交但直线不过圆心 D.相离
1
2
3
4
解析
1 2 圆心到直线的距离 d＝ ＝ 2 <1， 1＋1
又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.
解析答案
1
2
3
4
2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( C ) A.∅ C.{(1,1)} B.(1,1) D.{(－1，－1)}
(2) 联立直线与圆的方程，消元得到关于 x( 或 y) 的一元二次方程，利用
根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点
间的距离公式求解，此法是通法.
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