背包问题 usaco
背包问题的算法设计策略
背包问题是一种常见的优化问题，它涉及到给定一组物品，每个物品都有各自的重量和价值，背包的总容量有限。
目标是选择一些物品，使得背包中物品的总价值最大，同时不超过背包的总容量。
算法设计策略：1.问题建模：首先，需要建立一个数学模型以描述背包问题。
通常，这可以通过一个二元决策图来实现。
决策图中的每个节点代表一个物品，每个边代表一个决策，即是否选择该物品。
2.状态空间树：在背包问题中，状态空间树是一个非常有用的工具。
它可以帮助我们系统地搜索所有可能的物品组合，从而找到最优解。
状态空间树以背包的当前容量为根节点，然后每个子节点代表一个可能的物品选择。
3.剪枝函数：在回溯法中，剪枝函数是一个关键的工具，它可以用来避免对不可能产生最优解的子节点进行搜索。
例如，如果当前选择的物品已经超过背包的容量，那么我们可以立即剪去该子树，因为它不可能产生最优解。
4.动态规划：动态规划是一种可以用来解决背包问题的算法。
它的思想是将问题分解为更小的子问题，并将这些子问题的解存储起来，以便在解决更大的问题时可以重复使用。
在背包问题中，动态规划可以帮助我们避免重复计算相同的子问题。
5.启发式搜索：虽然动态规划可以保证找到最优解，但它需要大量的存储空间。
如果物品的数量很大，那么动态规划可能不实用。
在这种情况下，可以使用启发式搜索方法，如遗传算法或模拟退火算法，来找到一个好的解决方案。
总的来说，背包问题的算法设计策略涉及到多个步骤，包括建立数学模型，使用状态空间树进行系统搜索，使用剪枝函数避免无效搜索，使用动态规划避免重复计算，以及使用启发式搜索方法在大型问题中寻找近似解。
USACO DP动规 完整版
Wizard1.单调队列优化①土地并购(Land Acquisition,2008Mar)②干草塔(Tower of Hay,2009Open)③又买饲料(Buying Feed,2010Nov)④玉米实验(Cornfields,2003Mar)⑤修剪草坪(Mowing the Lawn,2011Open)2.树型①焊接(Soldering,2011Open)②产奶比赛(Milk Team Select,2006Mar)③道路重建(Rebuilding Roads,Feb2002)④手机网络(Cell Phone Network,2008Jan)3.背包问题续①电子游戏(Video Game Troubles,2009Dec)②最少找零(The Fewest Coins,2006Dec)③三个代表(Jersey Politics,2005Feb)④录制唱片(Raucous Rockers,1996Qualifying Round)4.背包问题①股票市场(Stock Market,2009Feb)②奶牛会展(Cow Exhibition,2003Fall)③太空电梯(Space Elevator,2005Mar)④平分子集(Subset Sums,1998Spring)5.区间型①提交作业(Turning in Homework,2004Open)②抢鲜草(Grazing on the Run,2005Nov)③最优回文(Cheapest Palindrome,2007Open)④智取金币(Treasure Chest,2010Dec)6.其他一①打扫食槽(Cleaning Up,2009Mar)②奶牛自行车队(Cow Cycling,Feb2002)③滑雪缆车(Ski Lift,2006Mar)④奶牛飞盘队(Cow Frisbee Team,2009Mar)7.其他二①滑雪比赛(Bobsledding,2009Dec)②滑雪课程(Ski Lessons,2009Open)③方形牛棚(Big Barn,1997Fall)④接住苹果(Apple Catching,2004Nov)⑤公司利润(Profits,2011Jan)土地并购(Land Acquisition,2008Mar)首先我们按长与宽都递减の排序，如果有一个矩形长宽都不如另一个矩形，那么可以忽略它。
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑1.引言1.1 概述01背包问题是一类经典的组合优化问题，它是数学逻辑中的一个重要问题之一。
在实际生活中，我们经常会面对资源有限的情况，而如何在有限的资源下做出最佳决策，已经成为一个重要的研究领域。
01背包问题就是在给定总容量和一组物品的情况下，选取其中的一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大化，而不超过背包的总容量。
这个问题由G. Dantzig在1957年首次提出，并且成为组合优化中的一个经典问题。
它的名字来源于背包只能放入0或1个同样特性的物品。
虽然问题看似简单，但由于问题的解空间庞大，是一个NP完全问题，因此求解过程通常使用一些近似算法。
1.2 目的本文的目的是探究01背包问题的数学逻辑，并介绍一些常用的求解方法。
通过深入研究01背包问题，我们可以更好地理解其数学模型，在实际应用中解决类似的优化问题。
具体目标包括：1. 分析01背包问题的数学模型，并介绍相关的定义和术语；2. 探讨01背包问题的求解方法，包括动态规划、贪心算法和近似算法等；3. 介绍优化问题的评价指标，包括背包的总价值、总重量和可行性等；4. 分析不同情况下的算法复杂性，讨论解决01背包问题的时间和空间复杂性；5. 举例说明01背包问题在实际生活中的应用，如旅行行李、采购决策等。
通过对01背包问题的研究，我们能够更好地理解和应用数学逻辑，提高问题求解的能力。
了解背包问题的求解方法和评价指标，对我们在实际生活中面对资源有限的情况下做出最佳决策具有重要意义。
无论是在物流管理、金融投资还是其他领域，都可以通过对01背包问题的研究，提高决策的效率和准确度。
在接下来的文章中，将会详细介绍01背包问题的数学逻辑，分析不同求解方法的优劣，并给出实际应用的例子，以便读者更好地理解和应用该问题。
2.正文2.1 01背包问题的定义和背景介绍01背包问题是运筹学中的一个经典问题，在算法和动态规划中有重要的应用。
该问题的核心是在给定的背包容量和一组物品的情况下，如何选择物品放入背包中，使得背包中的物品总价值最大化。
01背包问题的数学逻辑
01背包问题的数学逻辑摘要：一、背包问题概述二、背包问题的数学模型1.基本形式2.扩展形式3.多维背包问题三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法2.动态规划法3.贪心算法4.回溯算法四、背包问题的应用1.运筹学2.物流管理3.投资决策五、提高背包问题求解效率的方法1.优化数据结构2.改进算法策略3.利用贪心策略正文：一、背包问题概述背包问题是一个经典的组合优化问题，起源于运筹学领域。
它描述了一个旅行者需要在有限的重量和容量限制下，从一系列物品中选择最有价值的物品装入背包的过程。
背包问题具有广泛的应用背景，如物流管理、投资决策等。
二、背包问题的数学模型1.基本形式背包问题基本形式可以用以下数学模型表示：给定一组物品，每种物品都有一定的重量和价值，求在背包重量限制下，如何选择物品使得背包内物品的总价值最大。
2.扩展形式在基本形式的基础上，背包问题还可以扩展为多个背包、有先后顺序的物品、有特殊约束条件等。
3.多维背包问题多维背包问题是在二维平面上的扩展，不仅需要考虑物品的重量和价值，还要考虑物品之间的相互依赖关系。
三、求解背包问题的算法1.暴力枚举法暴力枚举法是一种简单的求解背包问题的方法，通过遍历所有可能的物品组合，找到满足条件的最优解。
但该方法时间复杂度高，不适合处理大规模问题。
2.动态规划法动态规划法是将背包问题分解为子问题，通过递归的方式求解。
该方法具有较好的时间复杂度，但需要合理设计状态转移方程。
3.贪心算法贪心算法在每一步都选择当前最优的解，但不一定能得到全局最优解。
在背包问题中，贪心算法可以通过物品的价值与重量比来选择装入背包的物品。
4.回溯算法回溯算法是一种试探性的搜索算法，通过逐步尝试的方式寻找最优解。
在背包问题中，回溯算法可以通过剪枝策略减少搜索空间。
四、背包问题的应用1.运筹学背包问题是运筹学领域的一个典型例子，通过求解背包问题，可以优化物流、仓储等领域的运营管理。
2.物流管理在物流领域，背包问题可以用于优化路径规划、货物分拣等问题。
动规-背包九讲完整版
为什么呢？可以这样理解：初始化的 f 数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合 法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为 0 的背包可能被价值为 0 的 nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都 应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不 装”，这个解的价值为 0，所以初始时状态的值也就全部为 0 了。
前言
本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是 写作一份较为完善的 NOIP 难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现 在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动 态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作 计划的第一部分。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始 化进行讲解。
小结
01 背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另 外，别的类型的背包问题往往也可以转换成 01 背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思 路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
感谢 XiaQ，它针对本文的第一个 beta 版发表了用词严厉的六条建议，虽然我只认同并采纳 了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我的一剂清醒 剂，让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是 在论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇 指，你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力，也鞭策着我不断提高自身水平，谢 谢你们！
《背包问题详解》课件
VS
约束条件
背包的容量有限，每个物品的数量和重量 、价值是已知的，目标是最大化背包中物 品的总价值。
多重背包问题的最优解法
贪心算法
按照物品单位重量的价值进行排序，优先选择单位重量价值最高的物品，直到背包满或者无法再放入更多物品。
动态规划
将问题分解为子问题，通过解决子问题的最优解来得到原问题的最优解。具体来说，对于多重背包问题，可以将 问题分解为多个一维背包问题，然后分别求解每个一维背包问题的最优解，最后取最优解中的最大值。
02
背包问题通常涉及到多个约束条 件，如物品的重量、价值、体积 等，以及一个目标函数，如背包 中物品的总价值或总重量。
背包问题的分类
根据物品能否分割，背包问题可以分为可分割问题和不可分 割问题。在可分割问题中，物品可以被切割成任意大小，而 在不可分割问题中，物品只能以完整的形式装入背包。
根据是否考虑时间因素，背包问题可以分为静态问题和动态 问题。在静态问题中，所有物品的属性和背包的容量都是固 定的，而在动态问题中，物品的属性和背包的容量可能会随 着时间变化。
完全背包问题的最优解法
最优解法通常采用贪心算法，即每次选择单位重量价值最高的物品，直到背包容量用完为止。这种方 法能够得到最优解，但并不是所有情况下都能找到最优解。
在某些情况下，贪心算法可能会错过最优解，因为它的选择是基于当前的最优选择，而不是全局的最 优选择。
完全背包问题的动态规划解法
动态规划是解决完全背包问题的另一 种方法，它通过将问题分解为更小的 子问题来求解。对于完全背包问题， 动态规划的思路是先解决子问题，再 根据子问题的解来解决原问题。
《背包问题详解》ppt 课件
目录
• 背包问题的定义与分类 • 0-1背包问题详解 • 多重背包问题详解 • 完全背包问题详解 • 变种背包问题详解
USACO心得
rectbarn 是第6章的题目，的确很难。它与 bigbrn 唯一的不同是这题中要求寻找的是面积最大的全为0的矩形，这导致 bigbrn 的方法完全无法应用，但我们可以从另一个角度设计状态转移方程。设h[i][j]表示以s[i][j]为下端点可向上扩展的最大全为0的线段高度，l[i][j]表示此线段可向左扩展的最大宽度，r[i][j]表示此线段可向右扩展的最大宽度，则以s[i][j]为底边上一点，先向上再向左右能扩展出的最大的矩形可以由以上三个值轻松求得。s[i][j]==0时，有h[i][j]=h[i-1][j]+1，l[i][j]=min{l[i-1][j] , lmax[i][j]}，r[i][j]=min{r[i-1][j] , rmax[i][j]}；其中lmax[i][j]和rmax[i][j]分别是s[i][j]可向左右扩展出的最长全0线段宽度。s[i][j]==1时，h[i][j]=0，l[i][j]=r[i][j]=∞。由于h[i][j]、l[i][j]、r[i][j]等只是对h[i-1][j]、l[i-1][j]、r[i-1][j]更新而求出，所以我们也只需要将它们保存为1维数组。另外，为了有效地随时求解lmax[i][j]、rmax[i][j]，也为了不超空间，我们也不应将整个矩阵保存成s[i][j]这样的二维数组的形式，而是应该对每一行的1所在的位置建一张有序的表，进行离散化的处理。递推时保存当前点的最左边的1在表中的下标，以便顺利求解。 buylow 的第一问是经典的最长下降子序列问题，其状态转移方程为：f[i]=max{f[j]}+1 (j<i , s[j]<s[i])，f[i]表示以s[i]结尾的最长下降子序列的最大长度，其中第二个小于号若改变成大于、小于等于、大于等于就可以求出最长上升子序列、最长不上升子序列、最长不下降子序列。第二问是问不重复的最长下降子序列的个数。如果给定的序列中不包含重复的数字，那么我们可以轻易地想到这样的状态转移方程：n[i]=sum{s[j]} (j<i , s[j]<s[i], f[j]+1==f[i])。但当原序列包含重复的数字时，上述求解方法会对一些相同的子序列需重复计算，尽管子序列中数字在原序列的位置可能并不相同。我将上述方程修改成了这样：n[i]=sum{s[j]}–n[k] (j<i , s[j]<s[i], f[j]+1==f[i] )，其中 k为满足k<i且f[k]==f[i]、s[k]==s[i]的最大的k，这样就减去了可能重复统计的子序列。最后，由于结果可能很大，数组n的元素应该是高精度数。实现的一个技巧是在s序列的最后添上一个比序列的所有数都要小的数（本题中0就可以），这样可以简化编程。
背包九讲(DD)
背包问题九讲目录第一讲 01背包问题第二讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲二维费用的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题第八讲泛化物品第九讲背包问题问法的变化附：USACO中的背包问题前言本篇文章是我(dd_engi)正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。
现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。
它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。
因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。
更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的1.0正式版。
我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在OI学习以及将来可能的ACM-ICPC的征程中得到的新的心得。
但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在OIBH论坛中以“背包问题九讲”为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
目录第一讲 01背包问题这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。
第二讲完全背包问题第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。
第三讲多重背包问题每种物品有一个固定的次数上限。
第四讲混合三种背包问题将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
第五讲二维费用的背包问题一个简单的常见扩展。
第六讲分组的背包问题一种题目类型，也是一个有用的模型。
后两节的基础。
第七讲有依赖的背包问题另一种给物品的选取加上限制的方法。
第八讲泛化物品我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。
背包问题贪心法和动态规划方案法求解
背包问题贪心法和动态规划方案法求解嘿，大家好！今天咱们来聊聊那个让人又爱又恨的背包问题。
这个问题可是算法领域的经典难题，不过别怕，今天我会用贪心法和动态规划两种方法帮你轻松搞定它！来个简单直接的背景介绍。
背包问题，简单来说，就是给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，你需要在不超过背包承载重量的前提下，挑选出价值最大的物品组合。
听起来是不是有点像生活中的购物决策？哈哈，没错，这就是背包问题的魅力所在。
好，下面咱们直接进入主题。
一、贪心法贪心法，顾名思义，就是每一步都选择当前看起来最优的方案。
对于背包问题，贪心法的核心思想就是：每次都选取价值密度最大的物品。
1.计算每个物品的价值密度，即价值除以重量。
2.然后，按照价值密度从大到小排序。
3.从排序后的列表中依次选取物品，直到背包装满或者没有物品可选。
二、动态规划法动态规划，这是一种更加严谨、也更复杂的方法。
它的核心思想是：通过把大问题分解成小问题，逐步求解，最终得到最优解。
1.定义一个二维数组dp[i][j]，表示在前i个物品中选择，背包容量为j时的最大价值。
2.我们考虑第i个物品是否放入背包。
如果放入，则前i-1个物品在容量为j-w[i]时的最大价值加上w[i]的价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+w[i]。
如果不放入，则前i-1个物品在容量为j时的最大价值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。
3.通过比较这两种情况，取最大值作为dp[i][j]的值。
整个过程中，我们需要遍历所有物品和所有可能的背包容量，最终得到dp[n][W]就是我们要找的最大价值。
现在，让我们用一段代码来具体实现一下动态规划法：defknapsack(W,weights,values):n=len(values)dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=50weights=[10,20,30]values=[60,100,120]print(knapsack(W,weights,values))怎么样？是不是觉得动态规划法虽然复杂，但逻辑清晰，更容易找到最优解？通过上面的分析，我们可以看到，贪心法简单高效，但有时候并不能得到最优解；而动态规划法虽然计算复杂度较高，但可以得到最优解。
0-1背包问题
• 因为本题的目标是求解储蓄罐内可以达到的最小金 额，所以初始化时所有dp都为INF(无穷大)，且 dp[0]=0。（如果要求解储蓄罐内可以达到的最大金 额，那么应该初始化为-1）。本题的解为dp[n][m]， 如果dp[n][m]为INF，则说明m克是一个不可达的状 态。
• 本题dp数组一维，下标为硬币重量。
SPACE ELEVATOR
• 试题来源：USACO 2005 March Gold • 在线测试：POJ 2392
• 奶牛们要上太空了！它们计划建造一座太空电梯作 为它们登上太空的轨道：电梯是一个巨大的、由块 组成的塔，有K（1K400）种不同类型的块用于建 造塔。类型i的块的高度为hi（1hi100），块的数量 为ci（1ci10）。由于宇宙射线可能造成的损害，在 塔中，由类型i的块组成的部分不能超过最大高度ai （1ai40000）。
• 由于本题的数据范围较大，而long long可以存 储19位，因此，将超过19位的部分称为高位部 分（如果存在），19位以内的部分称为低位部 分。设两个long long类型的变量dp1[ ]和dp2[ ]， 其中dp1[ ]存储高位部分，dp2[ ]存储低位部分。 这样，就可以按照题目要求的数据规模存储和 输出方式数了。
多重背包
• 多重背包问题描述如下：给定n种物品和一个 载荷能力为M的背包，物品i重量为wi，数量为 numi ， 价 值 为 pi ， 其 中 wi>0 ， pi>0 ， numi>0 ， 1in；求解将哪些物品装入背包，可使得使 背包里所放物品的总重量不超过M，且背包中 物品的价值总和达到最大。
《背包问题详解》课件
贪心算法
按照物品的单位价值排序，不断 选取物品放入背包，直至背包无 法再放入任何物品。
分支界限算法
通过添加上下界、剪枝和优化等 技巧，搜索并找到最优解。
多重背包问题的解法
动态规充最优解。
贪心算法
按照物品的单位价值排序，依次选取物品放入 背包，直至背包无法再放入任何物品。
《背包问题详解》PPT课 件
背包问题是一类经典的组合优化问题，涉及在限定容量的背包中选择一组物 品以最大化价值或满足约束条件。本课件将详细介绍背包问题的定义、分类 以及不同类型的解法。
背包问题的定义和分类
背包问题是指在给定背包容量和一组物品的条件下，选择恰当的物品放入背包中，使得物品价值最大化或满足 特定的约束条件。背包问题可以根据约束条件的不同分为0/1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
背包问题的贪心算法
贪心算法是一种启发式算法，通过按照某种策略选择物品放入背包，逐步构建出问题的解。贪心算法的优点是 简单高效，但是并不保证必然能够得到最优解，只能得到近似解。
背包问题的分支界限算法
分支界限算法是一种精确算法，通过搜索问题的解空间树并进行剪枝和优化， 找到最优解或最优解的近似解。算法的核心思想是根据上下界限制，分割问 题空间，减少搜索的规模。
背包问题的变种及其解法
1
部分背包问题
限制物品的选择范围，求解背包能容纳
零钱兑换问题
2
的最大价值。
将背包问题中的背包容量转化为固定的
面额，求解所需的最少硬币数量。
3
集合覆盖问题
将背包问题中的容量和物品价值转化为 集合和元素的关系，求解最小化子集覆 盖问题。
背包问题的动态规划算法
动态规划算法是求解背包问题的一种常用方法。通过定义状态转移方程和利 用动态规划表格，逐步计算填充最优解。算法的核心思想是将问题拆解成子 问题，并利用子问题的最优解构造出大问题的最优解。
背包问题应用场景
背包问题应用场景
背包问题是一个经典的组合优化问题，可以在很多实际应用场景中找到应用。
以下列举了一些常见的背包问题应用场景：
1. 物品装载问题：在物流、货运、仓储管理等领域中，需要选择合适的物品装载方案，使得装载的物品总价值最大、总重量不超过背包的承载能力。
2. 旅行计划问题：在旅行规划中，需要选择一些物品或景点，使得旅行所需的总费用最小或旅行的总体体验最佳。
3. 资源分配问题：在资源分配和资源规划中，背包问题可以用来确定如何分配有限的资源（例如资金、人力、时间等），以最大化效益。
4. 项目选择问题：在项目管理中，背包问题可以帮助决策者选择适当的项目，以最大化项目的价值或利润。
5. 财富管理问题：在财富管理和投资决策中，背包问题可以用来确定如何分配资金，以最大化投资回报或降低风险。
6. 排课问题：在学校的教务管理中，背包问题可以用来制定每个学期的课程安排，以最大化学生的时间利用率和课程选择满意度。
这些只是背包问题应用的一小部分示例，实际上，背包问题可
以应用在各种需要优化决策的场景中，帮助解决资源分配、规划、调度等问题。
数据结构 背包问题(2023最新版)
数据结构背包问题数据结构 - 背包问题简介背包问题是计算机科学中常见的问题之一，它涉及到在限定容量的背包中放置物品以达到最大价值。
在这个文档中，我们将介绍背包问题的几种常见解决方法和相关的数据结构。
背包问题类型0/1 背包问题在 0/1 背包问题中，每个物品要么被完全放入背包，要么不放入。
物品数量有限，目标是最大化背包中物品的总价值。
完全背包问题在完全背包问题中，每个物品都可以被选择无限次放入背包。
物品数量无限，同样的目标是最大化背包中物品的总价值。
多重背包问题多重背包问题给每种物品一个可选的数量上限，使此问题成为既有数量限制，又有是否选择的 0/1 特征的混合。
背包问题的解决方法动态规划动态规划是解决背包问题的一种常见方法，它将问题分解为更小的子问题，并通过存储解决子问题的结果来构建一个完整的解决方案。
贪心算法贪心算法选择当前具有最大或最小值的物品，并不考虑未来的影响。
尽管贪心算法并不总是得到最优解，但它可以在某些情况下提供近似解。
回溯算法回溯算法通过枚举所有可能的解决方案来解决问题。
对于背包问题，它可以尝试放入或不放入每个物品，并根据问题的限制条件确定最佳选择。
背包问题的数据结构物品每个物品都有自己的重量和价值，可以表示为一个结构体或对象。
在背包问题的解决中，我们需要使用这些信息来做出决策。
背包背包可以表示为一个简单的容器，用于存放物品。
我们可以使用数组、链表或其他数据结构来表示背包，并根据问题的限制来管理它。
价值数组价值数组是一个用于存储每个物品价值的数据结构。
我们可以使用数组、哈希表或其他数据结构来表示物品的价值，并在解决背包问题时使用它。
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数据结构 背包问题
数据结构背包问题背景介绍：数据结构是计算机科学中非常重要的一门学科，它研究的是数据组织、存储和管理的方式。
背包问题是数据结构中的一个经典问题，它涉及到在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中，使得背包的总重量或总价值达到最大化。
在本文中，我们将详细介绍背包问题的定义、解决方法和应用领域。
一、问题定义背包问题可以被描述为：给定一个背包，它能容纳一定的重量，再给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值。
我们的目标是找到一种方式将物品放入背包中，使得背包的总重量不超过其容量，同时背包中物品的总价值最大化。
二、解决方法1. 贪心算法贪心算法是一种简单而有效的解决背包问题的方法。
它基于贪心的思想，每次选择当前具有最大价值重量比的物品放入背包中。
具体步骤如下：- 计算每个物品的价值重量比，即物品的价值除以其重量。
- 按照价值重量比从大到小对物品进行排序。
- 依次将物品放入背包中，直到背包的总重量达到容量限制或所有物品都放入背包。
贪心算法的优点是简单快速，但它并不能保证一定能找到最优解。
2. 动态规划动态规划是解决背包问题的一种经典方法。
它将问题划分为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
具体步骤如下：- 定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。
- 初始化dp数组的第一行和第一列为0，表示背包容量为0或物品数量为0时的最大价值都为0。
- 逐行填充dp数组，对于每个物品，考虑将其放入背包或不放入背包两种情况，选择价值最大的方案更新dp数组。
- 最终dp数组的最后一个元素dp[n][m]即为问题的最优解，其中n为物品数量，m为背包容量。
动态规划方法能够保证找到最优解，但其时间复杂度较高，对于大规模的问题可能会耗费较长的计算时间。
三、应用领域背包问题在实际生活和工程领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 物流配送在物流配送中，背包问题可以用来优化货车的装载方案，使得货车的装载量最大化，从而减少运输成本。
数据结构 背包问题
数据结构背包问题背包问题是一个经典的优化问题，在计算机科学中被广泛研究和应用。
它的基本思想是在给定的一组物品中，选择一些物品放入一个背包中，以使得背包的总重量不超过背包的承重限制，并且背包中物品的总价值最大化。
背包问题可以分为0-1背包问题、分数背包问题和多重背包问题等不同的变种。
其中，0-1背包问题是最经典和最基础的背包问题，也是最常见的。
在0-1背包问题中，每个物品要么完全放入背包，要么完全不放入背包，不能进行分割。
每个物品具有自己的重量和价值，背包有一个固定的承重限制。
目标是选择一组物品，使得它们的总重量不超过背包的承重限制，并且总价值最大化。
解决0-1背包问题的常用方法是动态规划。
具体步骤如下：1. 定义状态：设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包承重为j时的最大价值。
2. 初始化状态：dp[0][j] = 0（0 ≤ j ≤ 背包承重限制）表示前0个物品中，背包承重为j时的最大价值为0；dp[i][0] = 0（0 ≤ i ≤ 物品数量）表示背包承重为0时的最大价值为0。
3. 状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况：a. 不放入背包：dp[i][j] = dp[i-1][j]b. 放入背包：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
综合上述两种情况，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+ v[i])4. 最终结果：dp[物品数量][背包承重限制]即为所求的最大价值。
举例说明：假设有5个物品，它们的重量和价值分别为：物品1：重量2，价值6物品2：重量2，价值3物品3：重量6，价值5物品4：重量5，价值4物品5：重量4，价值6背包的承重限制为10。
按照上述步骤进行动态规划求解：1. 定义状态：设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包承重为j时的最大价值。
背包九讲（转载，实在不知道哪个是原创了）
背包九讲（转载，实在不知道哪个是原创了）背包九讲⽬录第⼀讲 01背包问题第⼆讲完全背包问题第三讲多重背包问题第四讲混合三种背包问题第五讲⼆维费⽤的背包问题第六讲分组的背包问题第七讲有依赖的背包问题第⼋讲泛化物品第九讲背包问题问法的变化附：USACO中的背包问题前⾔本篇⽂章是我(dd_engi)正在进⾏中的⼀个雄⼼勃勃的写作计划的⼀部分，这个计划的内容是写作⼀份较为完善的NOIP难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考⽅式》。
现在你看到的是这个写作计划最先发布的⼀部分。
背包问题是⼀个经典的动态规划模型。
它既简单形象容易理解，⼜在某种程度上能够揭⽰动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第⼀道例题，我也将它放在我的写作计划的第⼀部分。
读本⽂最重要的是思考。
因为我的语⾔和写作⽅式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地⽅，后⾯更有需要⼤量思考才能理解的⽐较抽象的内容。
更重要的是：不⼤量思考，绝对不可能学好动态规划这⼀信息学奥赛中最精致的部分。
⽬录第⼀讲 01背包问题这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放⼀次。
第⼆讲完全背包问题第⼆个基本的背包问题模型，每种物品可以放⽆限多次。
第三讲多重背包问题每种物品有⼀个固定的次数上限。
第四讲混合三种背包问题将前⾯三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
第五讲⼆维费⽤的背包问题⼀个简单的常见扩展。
第六讲分组的背包问题⼀种题⽬类型，也是⼀个有⽤的模型。
后两节的基础。
第七讲有依赖的背包问题另⼀种给物品的选取加上限制的⽅法。
第⼋讲泛化物品我⾃⼰关于背包问题的思考成果，有⼀点抽象。
第九讲背包问题问法的变化试图触类旁通、举⼀反三。
附：USACO中的背包问题给出 USACO Training 上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。
P01: 01背包问题题⽬有N件物品和⼀个容量为V的背包。
第i件物品的费⽤是c[i]，价值是w[i]。
求解将哪些物品装⼊背包可使价值总和最⼤。
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背包问题
译 by 铭
（在中国，背包问题一般是这样描述的：设n个重量为（W1,W2,...Wn）的物品和一个载重为S的背包，将物品的一部分xi放进背包中的利润是Pixi，问如何选择物品的种类和数量，使得背包装满而获得最大的利润？另有一简化版本说：设有一个背包可以放入的物品重量为S，现有n件物品，重量分别为W1,W2,...Wn。
问能否从这n件物品中选择若干件放入此背包，使得放入的重量之和正好为S。
--译者加，不知道有没有班门弄斧之嫌）
前提
●贪心法（它是一种多步决策法，它总是作出在当前看来是最好的选择，它的考虑不是从整体出发，而只是某种意义上的局部最优，这样贪心法不能对所有问题达到整体最优解，但是对相当范围的许多问题都能够产生整体最优解。
--译者）●动态规划（它是将问题进行逐步的划分来缩小问题的规模，直到可以求出子问题的解为止。
分划子问题后，对应的子问题中含有大量的重复，这样就将重复地求解；在第一次遇到重复时把它解决，并将解保存起来，以备后面引用。
动态规划法常用来求一个问题在某种意义下的最优解。
--译者）
●递归下降
示例问题：用录音带录音
农场主约翰最喜欢的爱好是制作一个Bessie喜欢的音乐合集磁带以便它在产奶时听。
Bessie的产奶量取决于它产奶时所听的歌曲。
已知一组歌曲（每首歌都由一对整数－－此曲的长度（以秒计），听该首歌时的产奶量来表示）以及给挤奶的总时间。
找到这样一组歌曲的集合，使得歌曲的总长度不超过给Bessie挤奶的总时间且使Bessie的产奶量达到最大。
抽象描述
已知一组物品--每个都有其尺寸和值（比如，重量），以及可用的总空间。
找到这样一个集合，使得该集合的值的和最大，且其尺寸的和受某些限制所约束。
集合中任何一个特定的项目的总数目/尺寸不能超过它的可利用率。
解题想法
视其为背包问题的一般方法是一个容量受限的背包使得放入其中的物品的值达到最大。
以上述问题为例，Bessie产奶时听的音乐带就是“背包”，而那些歌就是“放入背包中的物品”。
三个背包问题
背包问题有三种形式：
●小数背包问题
允许将小数表示的物品放入背包中的是小数背包问题。
举例来说，如果物品是原油、飞机燃料、煤油而你的背包是一只水桶，取0.473升的原油，0,263升的飞机燃料和0,264升的煤油就是有意义的。
这是形式最简单的要解决的背包问题。
●整数背包问题
在整数背包问题中，只有完整的物品能放入背包里。
此形式的一个例子就是：部分的曲子不允许放入包中。
●多重背包问题
在多重背包问题中，需被填充的背包多于一个。
如果允许有小数的物品放入，也就等于有一个大的背包，其容量相当于所有可用背包的和。
因此，此术语只用来指多重整数背包的情况。
小数背包问题
小数背包问题是三者中最简单的，其贪婪解法如下：
●找到“值密度”（物品值/尺寸）最大的物品
●如果总容量仍就超过物品的可利用率，把所有满足条件的物品放入背包中，然后反复执行。
●如果总容量少于物品的可利用率，尽可能多的使用可用空间，然后终止。
●由于这个算法必须先按照值密度把物品分类，然后以降序将它们放入背包，直至容量用完，该算法以N log N 级运行。
通常简单些的方法不是将它们分类，而是不停地找每次不用的最大值密度，这种算法的时间复杂度是O(N 2) 。
注意：对于这类问题，因为你可以做一个微小的变换使得所有的物品尺寸大小为一，且原始尺寸大小和可利用率（当然用原始尺寸大小除值）的乘积就是总容量，同时有尺寸和可利用率是很少见的。
延伸：在这种情况下，物品的值和可利用率可以是实数。
用这种算法处理有小数的尺寸大小也不是问题。
整数背包问题
这个问题有点难度，但是如果背包足够小，使用动态规划，它还是可解的。
●依据背包大小的最大值设计动态的程序。
●刷新用来表示大小为S的物品的数组，颠倒其次序，看将当前物品放入大小为K的背包中所产生的集合是否比当前最好的大小为K+S的背包更符合条件。
●这个算法运行K*N次，其中K是背包的大小，N是物品的可利用率义之和。
●如果背包太大了以至于无法分配此数组，递归下降是一种选择，即这个问题是NP完全的（给定I上的一个语言L，如果有一架非确定图灵机M和一个多项式
P(n)，对任何I上的长度为n的串w，M都可以在P(n)步内确定是否接受w，则称L是非确定图灵机下多项式时间复杂性问题，简记为NP问题/语言。
若L是属于NP的，且对NP中的每一个语言L'，都存在一个从L'至L的多项式时间转化，我们说L是NP完整的。
--译者）。
当然，递归下降在以小的物品填充的大背包
情况下可以运行相当长的一段时间。
延伸：
●小数的值不是问题；数组可以用实数数组来代替整数数组。
小数的可利用率并不影响什么，在没有大量损失的条件下，缩短数字（如果你有3,5个物品，你可以仅用3）。
●小数的尺寸是个讨厌的东西，它使得问题递归下降。
●如果尺寸都相同，问题就能贪婪地解开，在下降的值排序中选择物品，直到背包满为止。
●如果值都是1.0，同样地使用贪心法，在上升的尺寸大小排序中选择物品，直到背包满为止。
多重背包问题
对于任何大小的多重背包，状态空间太大了以至于无法使用从整数背包算法中来的DP解法。
于是递归下降是解决这个问题的方法。
延伸：
●用递归下降，通常扩展就简单了。
小数的尺寸和值就不是问题了，同样地值的计算功能也不是问题。
●如果值都是同一个，那么如果能被放入所有背包中的物品的最大值是n，则存在使用n个最小物品的解法。
它能大大减少查找时间。
示例问题
分数膨胀[1998 USACO National Championship]
你正试图设计一个有最高分数(<10,000)的比赛。
已知比赛长度，一组问题，问题的长度以及每个问题的分值，计算满足长度约束的最高分数的比赛。
分析：这是一个整数背包问题，比赛是背包，尺寸是问题的长度，值是分数值。
背包（比赛）尺寸的限制是其足够小使得解法在存储器中运行。
篱笆栏[1999 USACO Spring Open]
农场主约翰准备在他的领地建一圈篱笆。
他已装好了柱子，所以他知道所要的围栏长度。
当地的木材店有各种长度的木板（至多50个）。
已知木材店木板的长度，约翰要的围栏长度，计算约翰建篱笆所用的围栏最大值。
分析：这是个多重背包问题，木材店的木板是背包，物品是约翰用的围栏。
物品的尺寸就是长度，值是一。
由于值都是一，如果存在用任意K个围栏的解法，则有用K个最小围栏的解法。
装满你的油箱
你在Beaver郡中部一百英里有一个加油站的城市中，想将你的油箱装满好能到达Rita Blanca。
幸运地是，这个小镇有两三个加油站，但它们的油都好像要用光了。
已知每个加油站的油价，每个加油站的油量，计算为了花最少的钱，应该
从每个加油站买多少汽油。
分析：这是一个小数背包问题，背包是油箱，物品是汽油。