点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系

● 知识梳理

（一）.平面

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。 公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面.

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面

1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.

2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行

3.平面与平面的位置关系：平行，相交 （三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b αα

α⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭

③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭

2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：[]0,90θ∈︒︒

3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ⊂=⇒

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.

③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭

；

（2）////a a b b αβαγβγ⎫

⎪

=⇒⎬⎪=⎭

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意,a α⊂都有l a ⊥，且l α⊄，则l α⊥.

②判定：,a b a b O l l l a

l b ααα⊂⎫

⎪=⎪

⎪⊄⇒⊥⎬⎪⊥⎪

⊥⎪⎭

③性质：（1）

,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；

（2）,//a b a b αα⊥⊥⇒； 3.2面面斜交①二面角：（1）定义：【如图】,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥⇒∠-是二面角－的平面角 范围：[0,180]AOB ∠∈︒︒

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法. 3.3面面垂直（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90︒，则αβ⊥； （2）判定定理：

a a ααββ⊂⎫

⇒⊥⎬⊥⎭

（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=︒；②

a AB a a a AB

αβββα⊥⎫⎪=⎪

⇒⊥⎬⊂⎪

⎪⊥⎭

● 热点例析

【例1】热点一 有关线面位置关系的组合判断

若a ，b 是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a ⊂α，b ⊂β，α∩β＝l ，则( )．

A ．l 与a ，b 分别相交

B ．l 与a ，b 都不相交

C ．l 至多与a ，b 中一条相交

D ．l 至少与a ，b 中的一条相交

解析：假设l 与a ，b 均不相交，则l ∥a ，l ∥b ，从而a ∥b 与a ，b 是异面直线矛盾，故l 至少与a ，b 中的一条相交．选D.

热点二 线线、线面平行与垂直的证明

【例2】如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.

(1)证明：AA 1⊥BD ；

(2)证明：CC 1∥平面A 1BD ．

(1)方法一：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，所以D 1D ⊥BD . 又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得 BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，

所以AD 2＋BD 2＝AB 2.所以AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ， 所以BD ⊥平面ADD 1A 1.

又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD .

方法二：因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD (如图)， 所以BD ⊥D 1D .

取AB 的中点G ，连接DG (如图)．

在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD . 又∠BAD ＝60°，

所以△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ， 故∠DBG ＝∠GDB .

又∠AGD ＝60°，所以∠GDB ＝30°，

故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°， 所以BD ⊥AD .

又AD ∩D 1D ＝D ，所以BD ⊥平面ADD 1A 1. 又AA 1⊂平面ADD 1A 1，故AA 1⊥BD . (2)如图，连接AC ，A 1C 1.

设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1.

因为四边形ABCD 为平行四边形，所以EC ＝1

2

AC .

由棱台定义与AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ， 所以四边形A 1ECC 1为平行四边形． 因此CC 1∥EA 1.

又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1 平面A 1BD ， 所以CC 1∥平面A 1BD .

热点三 面面平行与垂直的证明

【例3】在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝4，P 为平面ABCD 外一点，且PA ＝PB ，PD ＝PC ，N 为CD 的中点．

(1)求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；

(2)在线段PC 上是否存在一点E 使得NE ∥平面ABP ？若存在，说明理由并