数理方程第8讲
数理方程课件
数理方程课件数理方程是数学中的重要分支，它研究方程的解和性质。
随着计算机技术的不断发展，数理方程的研究变得越来越重要，其在科学、工程和金融等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍数理方程的基本概念、解的求解方法和一些经典方程的应用案例。
一、数理方程的基本概念数理方程是指含有未知数和已知数之间关系的等式。
它通常由代数方程、微分方程和积分方程组成。
在数理方程的研究中，我们需要关注方程的次数、阶数和特殊形式，并通过分析方程的性质来解决相关问题。
在解数理方程时，我们常用的方法包括代数方法、几何方法和数值方法。
其中，代数方法主要通过变换和化简方程，将其转化为更简单的形式进行求解；几何方法通过图形和几何关系来推导方程的解；数值方法则借助计算机的力量，利用数值逼近的方法求解方程。
二、数理方程的解的求解方法1. 代数方程的解的求解方法代数方程是最常见的数理方程形式，其解的求解方法众多。
常见的方法包括因式分解、配方法、二次公式、根号法等。
例如，对于一元二次方程$a x^{2}+b x+c=0$，我们可以使用二次公式来求解：$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$2. 微分方程的解的求解方法微分方程描述了函数与其导数之间的关系，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的解法等。
例如，对于一阶线性微分方程$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x)$，我们可以使用常数变易法进行求解。
3. 积分方程的解的求解方法积分方程是利用积分关系表达的方程，其解的求解方法也有多种。
常见的方法有分离变量法、常数变易法、特殊积分方程的解法等。
例如，对于柯西问题（Cauchy problem）中的积分方程$u(x)=f(x)+\int_{a}^{x} K(x, t) u(t) d t$，我们可以使用定积分的性质进行求解。
三、常见数理方程的应用案例1. 常微分方程的应用常微分方程在物理学、化学、生物学等领域有着重要的应用。
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数理方程总结完整终极版
00|()()t t u x ux t ϕψ===⎧⎪∂⎨=⎪∂⎩拉普拉斯算子：四种方法:分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题：初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条件:热传导方程的初始条件初始时刻的温度分布 :泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件：不含初始条件，只含边界条件条件 波动方程的边界条件: (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(2)自由端：x =a 端既不固定，又不受位移方向力的作用.(3) 弹性支承端：在x =a 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。
• 解的存在性：定解问题是否有解；• 解的唯一性：是否只有一解；• 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小k z j y i x ˆˆˆ∂∂+∂∂+∂∂=∇u u ∇=grad 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅∇=∇22222y u x u u ∂∂+∂∂=∇0(,)|()t u M t M ϕ==0|0,x u ==(,)0u a t =变动。
分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。
把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等分离变量法步骤：一有界弦的自由振动 二有限长杆上的热传导 三拉普拉斯方程的定解问题常用本征方程 齐次边界条件2''0(0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X xλλββπβ+=⎧⎨==⎩====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
第8章狄拉克（Dirac）函数
第8章狄拉克(Dirac) 函数1.数理方程的定解问题：uu12.点源：3.连续分布的源所产生的场：注意：238.1 一维函数的定义和性质一、一维函数的定义l线电荷密度总电量4把定义在区间上，满足上述这两个要求的函数称为函数，并记作，即5时， ，所以(6)函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度2m 的质点的质量线密度为：说明：1.2.67二、 函数的性质 1f(x)00())()f x x x dx f x δ+∞-∞-=（乘上f (x )f (x ) 挑选性(把f (x )在 )在 时为零，0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+-∞--=-（（时，，且时，说明：也可作为函数的定义，f(x)892.（对称性）00与 在积分号下对任一连续函数x )3. )()()()(000x x x f x x x f -=-δδ确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数x 积分相等104.f (x )，均有：0()()()(0)[()]0x x x f x dx xf x x dx xf x δδ∞∞=-∞=-==⎰ f (x )3中令f (x )=x ，则，则只有单根，则k个单根的区间内，。
备忘：有，则11时，有，则1213，把的每个扩大积分区间：14说明：若有重根，则上式不成立。
15三、 函数的几个常用表达式 1.—积分形式(1)(2)第12章证明：在173. —— 极限形式(1) 当 时，令 ，且有在区间的积分值：由函数定义可知：P92, 例4.2.8说明：因为函数并不是给出普通的数值之间的对应关系，所以函数也不象普通的函数那样具有唯一确定的表达式。
19207. 又因为：21四、 函数导数的定义 1.f (x )00()()()f x x x dx f x δ∞-∞''-=-称为 的导数，并记作说明： 函数的导数可按通常的导数公式进行运算222. 函数n 阶导数的定义：f (x )称为 函数的n 阶导数，并记作：23五、函数导数的性质 1是对-x 是偶函数，2f (x )乘上式左边后对x 从 到 积分，得：在积分号下对任意连续函数f (x )的运算性质相同24六、三维函数25 3. 用拉普拉斯算符表示：时， 、代入，保留对r 求的定义得：4. 正交归一完备系 的完备性条件26证明：27。
数理方程重点总结.doc
数理方程重点总结数学物理方法,一些典型方程和定解条件,第一讲（基础）,CaculationsofSomeTypicalEqationswithDifinitecConditions,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程,二.传输线方程(电报方程),,——一维波动方程,——高频传输线方程,,,三.电磁场方程,——三维波动方程,四.热传导方程,(场点t时刻的温度分布),——三维热传导方程,(振幅),(电流、电压),第一类边界条件：物理条件直接规定了u在边界上的值，如,第二类边界条件：物理条件并不直接规定了u在边界上的值，而是规定了u的法向微商在边界上的值，如,第三类边界条件：物理条件规定了u与un 在边界上值之间的某个线性关系，如,,,,例.设长为的均匀细弦，两端固定，初始位移为0。
开始时，在处受到冲量为的作用，试写出其定解问题。
,解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。
,其一维波动方程为：,泛定方程（1）,由两端固定，知：,边界条件（2）,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,,,为了导出初始条件，考虑：由初始位移为0，知,由开初时，在处受到冲量的作用知,上的动量改变，即为冲量，于是有,对于点周围足够小的，弦段,,质量,速度,,由此可见：初始条件为,初始条件（3）,冲量：力的时间作用效应。
,动量定理：动量的改变=冲量的作用。
,受冲击时的初位移,受冲击时的初速度,动量：质量与速度的乘积。
,最后可得定解问题,泛定方程（1）,边界条件（2）,初始条件（3）,,例,,数学物理方法,第二讲直接积分法(ofDirecitIntegration),将积分结果作为e的幂，这就是积分因子。
这里，大可不必去考虑它了。
,数学物理方法,第三讲分离变量法(ofSeparateVariable),,,例,,,最易混淆的概念！,,,,,最易出错的地方！,,,,,,,,,,,,,,,数学物理方法,第四讲行波法ofTravlingWave,,,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,其通解为：,上述偏微分方程的特征方程,积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为,,,对特征方程行因式分解，得,二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换,,（2）得到特征变换为,（3）通解为,试写出下列方程的通解,例求下面柯西问题的解：,解泛定方程所对应的特征方程为,特征曲线（两族积分曲线）为,作特征变换,其中是两个任意二次连续可微的函数。
数理方程第讲市公开课一等奖百校联赛特等奖课件
3第3页
所以, 普通而言, 一个函数f(x)能够在一个函数 系f(xv)=0(ax0)v,0v(1x()x+)a, 1vv21((xx)),+…a2下v2(展x)开+成级数形式为 那么, 一个二元函数u(x,t), 将t固定住视为常数, 看作x函数, 则也能够在函数系v0, v1, v2, …下 展开成级数形式
A B 0, Ae -ll Be- -ll 0, 解出A,B得 A=B=0
即X(x)0, 不符合非零解要求, 所以l不能小于
零.
第1111页
2º设l=0, 此时方程(2.5)通解为
X(x)=Ax+B,
由条件(2.6)还是得A=B=0, 所以l也不能等于
零
第1122页
设l>0, 并令l=2, 为非零常数. 此时方程(2.5) 通解为 X(x) = A cos x+B sin x,
复习高等数学中周期为2l傅立叶级数: 假如周期为2l周期函数f(x)为奇函数, 则有
f
(x)
bn
n1
sin
n
l
x
其中系数bn为:
bn
2 l
l f (x)sin n x d x (n 1, 2,3,
0
l
).
第1188页
因为(x),(x)是定义在[0,l]上的函数, 所以只
要选取 Cn 为(x)的傅立叶正弦级数展开式的
t
a2
2u x2
第八章. 狄拉克δ函数
当 时，电荷分布可看作位于 的单位点电荷。
此时把定义在区间 上，满足上述这两个要求的函数称为 函数，并记作 ，即0→l (,)−∞+∞)4(1)(=∫∞∞−dxx η)3()()(0)(00⎩⎨⎧=∞≠=x x x x x ηδ0x x =)6(1)(0=−∫∞∞−dx x x δ)(0x x −δ)5()()(0)(000⎩⎨⎧=∞≠=−x x x x x x δ根据(5)式，在 时， ，所以(6)式左边的积分不需要在 的区间进行，而只需要在一个包含 点在内的区间内进行，即引入 函数后，位于 处、电量为q 的点电荷的线电荷密度为：位于坐标原点，质量为m 的质点的质量线密度为：(,)−∞+∞0x x ≠0)(0=−x x δ0x x =⎩⎨⎧><<<=−∫),(0)(1)(0000x b x a b x a dx x x b a δδ0x )()(0x x q x −=δη)()0()(x m x m x δδη=−=说明：1.函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数： 它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才 有意义。
例：δ⎩⎨⎧=∞≠=)0()0(0)(x x x δδ)0()()(f dx x x f =∫∞∞−δ二、 函数的性质性质1：若f (x )是定义在区间 的任一连续函数，则00())()f x x x dx f x δ+∞−∞−=∫（——将 乘上f (x )进行积分，其值为将f (x )的宗量换为 或者说： 函数具有挑选性(把f (x )在 的值挑选出来)证明：设 是任意小的正数，则由于 在 时为零， 所以 0000())())x x f x x x dx f x x x dx εεδδ+∞+−∞−−=−∫∫（（由积分中值定理有：(,)−∞+∞δ)(0x x −δ)(0x x −δ0x δ0x x =ε0x x ≠)()()()()(000000εξεδξδεε+<<−−=−∫∫+−∞∞−x x dx x x f dx x x x f x x当 时， ，连续函数 ，且所以特别地： 时，说明：也可作为 函数的定义， 即 函数可以通过它在积分号下对任一连续函数f (x )的运算性质来定义。
第8讲-分式方程PPT课件
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3．解分式方程的步骤 (1)去分母(不能忘记乘没有分母的项)，转化为整 式方程；(2)解整式方程；(3)验根． 4．验根 解分式方程时，有可能产生增根，因此解分式方 程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简 公分母为 0 的根是增根，应舍去．
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量关系、列方程、解方程、检验、作答．但与整式方
程不同的是求得方程的解后，要进行两次检验：(1)检
验所求的解是否是所列分式方程的解；(2)检验所求的
解是否符合实际意义．
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2．分式方程的应用题主要涉及工程问题、行程 问题等，每个问题中涉及三个量，如工作总量＝工作 效率×工作时间，路程＝速度×时间．在工作总量或 路程是已知条件时，一般建立分式方程解决问题．
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方法总结： 列分式方程解应用题必须进行“双检验”，既要 检验去分母化成的整式方程的解是否为分式方程的 解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.
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考点二 增根在含参数的分式方程中的应用 由增根求参数的值，解答思路为：(1)将原分式方 程化为整式方程；(2)确定增根；(3)将增根代入变形后 的整式方程，求出参数的值．
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考点三
分式方程的应用
数理方程总结完整版
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
精品课件-计算物理学(郭立新)-第8章
2u x2
2u y 2
f
(x, y)
(8.11) 对比式(8.10)可知，B=0，A=C=1
第8章 有限差分方法
2. 抛物型方程(B2-4AC=0) 如一维扩散方程或热传导方程属于这一类型，方程(8.5) 和(8.6)可以写成
(8.12)
2u x2
u t
对比式(8.10)可知，B=C=0, A=1
2u
2u x2
2u y 2
0
(8.33) 【例8.1】 用有限差分法求解拉普拉斯方程，边界条件
如图8.2
第8章 有限差分方法 图8.2
第8章 有限差分方法
若取h=5，如图8.2所示有三个内点，相应的u值记为u1、u2、 u3。根据式(8.32)，可列出关于三个内点的差分方程组
它的矩阵形式为
4u1 u2 0 u1 4u2 u3 0 u2 4u3 100 0
从数学上讲，一个偏微分方程会有无限多个解，偏微分方
第8章 有限差分方法
1．
若u代表方程中的未知函数，用Γ表示方程适用区域D的边
界。第一类边界条件为
u|Γ=u0(rb, t)
(8.14)
其中, u0(rb, t)是定义在Γ上的已知函数，rb是相应边界
点的位矢。在这种边界条件下边界上连续体或者场的状态是已
uk 1 ij
1 4
(u k 1 i, j1
uk1 i1, j
uik, j1
uk i1,
j
h2
fij )
(8.36)
这种迭代方法称为异步法，它只需一套内存，收敛较快。
第8章 有限差分方法
dx h
由式(8.20)可得一阶向后差商公式
(8.24)
数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应 。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程 ）
X X 0 （空间变量的微分方程 ）
二、空间变量常微与边 界条件捆绑，构成本征 值问题。（解本征值问 题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0
数理方程与特殊函数8非齐次边界条件定界问题的解
Vt0 1(x)V , t t0 1(x)
其中 f1(x, t) = f(x, t) – Wtt(x, t)
1 (x ) (x ) W (x ,0 )1(x) (x) W t(x ,0 )
8/13
例1(P. 73)
u u
tt x
0
a 2 u xx 0, u
A
xL
B
u t 0 0, u t t 0 0
3. 为什么边界条件齐次化方法中的特殊函数是关于 x的线性函数？
4. 边界条件齐次化方法中的特殊函数是否是方程的 特解？
习题3. 6：2，3
《数学物理方程》第三章§6
非齐次方程齐次化例子 非齐次边界条件处理 边界条件齐次化例子
u tt a 2 u x xA co L x ssit,n 0 x L ,t 0
ux x0 0,ux xL 0
ut0 0,ut t0 0
将问题分解, 使u(x,t)= V+ W
WCcosxsint CA/[(a)22]
7/13
由: u(x, t) = V(x, t ) + W(x, t),求导数得
utt= Vtt+ Wtt , uxx = Vxx, 代入方程 得 , Vtt+ Wtt = a2 Vxx + f(x , t) 即, Vtt = a2 Vxx + [f(x , t) –Wtt ]
Vtt a2Vxxf1(x,t),0xL,t0
utt a2uxxf(x,t),0xL,t0
ux0 1(t),uxL2(t) ut0 (x),ut t0 (x)
边界条件的齐次化方法
1 (t )
构造特殊函数 W(x,t) 使
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
数理方程12省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第11页
亥姆霍兹方程
方程形式为： 2u u 0
在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。
薛定谔方程：
h2 2 (x, y, z) V (x, y, z) (x, y, z) E (x, y, z)
2m
其中， V (x, y, z) 是粒子势能， (x, y, z) 是描述微观粒子运动状态波函
热传导和扩散方程
1. 热传导方程
热传导：当物体内各处温度分布不均匀时，就会有热量从温度高地方 流向温度低地方，这就是热传导。
热量传递又会引发温度分布改变。处理热传导问题，归结为求温度分
布与改变。
n
S
推导均匀且各向同性导热体在传热过程中温度所满
足微分方程
M
采取微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围 区域记作V
x方向：设 q1 x dydz 从左面流入，
q1 xdx dydz 从右面流出，
O
A(x, y, z)
C(x, y dy, z dz)
B(x, y dy, z) D(x, y, z dz)
C
G
D
H
y
B
F
A
E
qz qy qx
x
所以单位时间经过左右两面流入净流量是：
Q1
(q1
x dx
q1
x
数。
用 u(x, y, z) 来代替 (x, y, z)，方程可化为：
2u u 0
2m (E V )
h2
当 0 ，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。
第12页
总结
波动方程
2u t 2
a22u
热传导方程
u a22u t
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k =0 ∞ c+k
, a0 ≠ 0,
(5.14)
9
y = ∑ ak x
k =0 2 2
∞
c+k
, a0 ≠ 0,
∞ 2 2 c+k
( x − n ) y = ∑ ( x − n ) ak x
k =0
y′ = ∑ (c + k )ak x
k =0 ∞
∞
c + k −1
, xy′ = ∑ (c + k )ak x
18
当n不为整数时, 这两个特解Jn(x)与J−n(x)是线 性无关的, 由齐次线性常微分方程的通解的结 构定理知道, (5.13)的通解为 y=AJn(x)+BJ−n(x), (5.19) 其中A,B为两个任意常数. 当然, 在n不为整数的情况, 方程(5.13)的通解 除了可以写成(5.19)式以外还可写成其他的形 式, 只要能够找到该方程的另一个与Jn(x)线性 有关的特解, 它与Jn(x)就可构成(5.13)的通解, 这样的特解是容易找到的. 例如, 在(5.19)中取 A=cot nπ, B=−csc nπ, 则得到(5.13)的一个特解
再令 V(ρ,θ)=P(ρ)Θ(θ) 代入(5.7)并分离变量可得 Θ ′′(θ ) + µΘ (θ ) = 0,
2
(5.9)
5
′′( ρ ) + ρ P′( ρ ) + (λρ 2 − µ ) P( ρ ) = 0. (5.10) ρ P
由于u(x,y,t)是单值函数, 所以V(x,y)也必是单 值的, 因此Θ(θ)应该是以2π为周期的周期函数, 这就决定了µ只能等于如下的数: 0,12,22,…,n2,… 对应于µn=n2, 有 Θ0(θ)=a0/2 (为常数), Θn(θ)=ancos nθ + bnsin nθ (n=1,2,…). 以µn=n2代入(5.10)得 2 ′′( ρ ) + ρ P′( ρ ) + (λρ 2 − n 2 ) P( ρ ) = 0 (5.11) ρ P 这是n阶贝塞尔方程. 若再作代换 r r = λ ρ 并记 F ( r ) = P 2
6
则得 r F ′′(r ) + rF ′(r ) + ( r − n ) F ( r ) = 0 这是n阶贝塞尔方程最常见的形式. 由条件(5.8)及温度u是有限的, 分别可得 P ( R ) = 0, (5.12) | P (0) |< +∞.
2 2 2
因此, 原定解问题的最后解决就归结为求贝塞 尔方程(5.11)在条件(5.12)下的特征值与特征 函数.
2 2 2 2 k =0
∞
c+k
′ = ∑ (c + k )ak x c + k xy
k =0
∞
x 2 y′′ = ∑ (c + k )(c + k − 1)ak x c + k
k =0
∞
∑{[(c + k )(c + k − 1) + (c + k ) + ( x
k =0
∞
2
− n )]ak x
2
19
Yn ( x) = cot nπ J n ( x) − csc nπ J − n ( x) J n ( x)cos nπ − J − n ( x) = sin nπ (n≠整数). (5.20) 显然, Yn(x)与Jn(x)是线性无关的, 因此, (5.13) 的通解可写成 y=AJn(x)+BYn(x). (5.21) 由(5.20)式所确定的函数Yn(x)称为第二类贝塞 第二类贝塞 尔函数, 牛曼函数. 尔函数 或称牛曼函数 牛曼函数
k =0
∞
c+k
′′ = ∑ (c + k )(c + k − 1)ak x c + k − 2 y
k =0
x y′′ = ∑ (c + k )(c + k − 1)ak x
2 k =0
∞
c+k
10
x y′′ + xy′ + ( x − n ) y = 0
2 2 2
( x − n ) y = ∑ ( x − n )ak x
m
17
n+2m
∞
n+ 2 m
取c=−n时, 用同样方法可得(5.13)的另一特解 − n+ 2m ∞ x m J − n ( x) = ∑ (−1) − n + 2 m 2 m!Γ (− n + m + 1) m =0 (n = 1, 2,⋯) (5.18) 比较(5.16)式与(5.18)式可见, 只要在(5.16)的 右端把n换成−n, 即可得到(5.18)式. 因此不论n 是正数还是负数, 总可以用(5.16)式统一地表 达第一类贝塞尔函数.
3
或
得
∂ 2V ∂ 2V 2 VT ′ = a 2 + 2 ∂y ∂x 2 2 ∂V ∂V + 2 2 T′ ∂x ∂y = = −λ 2 aT V ′(t ) + a 2λT (t ) = 0 T
2 2
T
(λ > 0)
(5.4) (5.5)
∂V ∂V + 2 + λV = 0 2 ∂x ∂y − a 2λt 从(5.4)得 T (t ) = A e
N N
N +2
N +4
这时JN(x)与J−N(x)已不能构成贝塞尔方程的通 解了. 为了求出贝塞尔函数的通解, 还要求出 一个与JN(x)线性无关的特解.定义第二类贝塞 尔函数为
23
Jα ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ (n为整数) (5.22) 2m 求上式的极限可得 x
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1
第五章 贝塞尔函数
§5.1 贝塞尔方程的引出
2
设有半径为R的薄圆盘, 侧面绝缘, 边界温度 保持为零摄氏度, 初始温度已知, 求圆盘内的 瞬时温度分布规律. 这归结为求解下述定解问题: 2 2 ∂u ∂ u 2 2∂ u 2 2 = a 2 + 2 , x + y < R , t > 0, (5.1) ∂y ∂x ∂t 2 2 2 (5.2) u |t =0 = ϕ ( x, y ), x + y ≤ R , u | 2 2 2 = 0. (5.3) x + y =R 用分离变量法解这个问题, 先令 u(x,y,t)=V(x,y)T(t), 代入(5.1)得
2 2 k =2
∞
c+k
= 0,
要上式成为恒等式, 必须各个x幂的系数全为 零, 从而得下列各式: 1º a0(c2−n2)=0; 2º a1[(c+1)2−n2]=0; 3º [(c+k)2−n2]ak+ak−2=0 (k=2,3,…)
12
1º a0(c2−n2)=0; 2º a1[(c+1)2−n2]=0; 3º [(c+k)2−n2]ak+ak−2=0 (k=2,3,…) 由1º 得c=±n, 代入2º 得a1=0. 现暂取c=n, 代入 3º 得 4º − ak − 2 ak = . k (2n + k ) 因为a1=0, 由4º 知a1=a3=a5=a7=…=0, 而 a2,a4,a6, …都可以用a0表示, 即
22
x− N +2m m J − N ( x) = ∑ (−1) − N + 2 m 2 m!Γ (− N + m + 1) m= N
∞
x x x = (−1) N − N +2 + N +4 + ⋯ 2 N ! 2 ( N + 1)! 2 ( N + 2)!2! N = (−1) J N ( x)
15
这样(5.14)中一般项的系数变成 1 m a2 m = (−1) n + 2 m , (5.15) 2 m!Γ (n + m + 1) 代入(5.14)得(5.13)的一个特解 n+2m ∞ x m y1 = ∑ ( −1) n + 2 m (n ≥ 0). 2 m!Γ (n + m + 1) n =0 用级数的比率判别法(或称达朗贝尔判别法) 可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无 穷级数所确定的函数, 称为n阶第一类贝塞尔 阶第一类贝塞尔 函数, 函数
( −1) m 2 2 ∞ x − 2 Y0 ( x) = J 0 ( x) ln + c ∑0 (m!)2 π 2 π m=
2
n −1
1 ∑ k +1 k =0
− n+2m
m −1
(n − m − 1)! x x − 1 Yn ( x) = J n ( x) ln + c ∑0 m! 2 π 2 π m= x (−1) m −1 ∞ 1 n + m −1 1 1 2 − ∑ ∑ k +1 + ∑ k +1 π m =0 m!(n + m)! k =0 k =0 (n = 1, 2,3,⋯), (5.23)
7
§5.2 贝塞尔方程求解
8
用x,y来表示自变量和函数值, 则n阶贝塞尔方 程为 2 dy 2 d y 2 2 x +x + ( x − n ) y = 0, (5.13) 2 dx dx 其中n为任意实数或复数. 在本书中n只限于实 数, 且由于方程的系数中出现n2项, 所以不妨 假定n≥0. 设方程有一个级数解, 其形式为 c 2 k y = x ( a0 + a1 x + a2 x + ⋯ + ak x + ⋯)