高考数学湘教版文科一轮复习配套课件1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；若 A B 时，则 p 是 q 的 充分不必要条件；
②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要条件；若 B A 时，则 p 是 q 的 必要不充分条件；
③若 A⊆B 且 B⊆A，即 A＝B 时，则 p 是 q 的充要条件．
(3)等价转化法：
p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件．
解析：对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x)＝logax 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否 命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若 x ＋y 是偶数，则 x、y 都是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数， 但 3 和 1 均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若 a ∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”是互为逆否命题，因 此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.
答案：②④
[类题通法]
在判断四个命题之间的关系时， 首先要分清命题的条件与结 论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题 关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的 “逆命题”“否命题”“逆否命题”； 判定命题为真命题时要进 行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概 念的命题的判定要从概念本身入手．
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是 减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0， 则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0， 则 ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命题为真命 题；
④命题“若 a∈M， 则 b∉M”与命题“若 b∈M， 则 a∉M”等价．
链 接
若A⇒B，则A是B的充分条件； 若B⇒A，则A是B的必要条件； 若A⇒B，B⇒A，则A是B的充要条件；
时，不等式x2－3x>0恒成立，所以正确选项为B.
答案：B
2．与命题“若 a∈M，则 b∉M”等价的命题是________．
解析：原命题与其逆否命题为等价命题．
答案：若 b∈M，则 a∉M
π 1.命题“若 α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命题是 4 π A．若 α≠ ，则 tan α≠1 4
(
)
[典例]
(1)(2013· 山东高考)给定两个命题 p，q.若綈 p ( )
是 q 的必要而不充分条件，则 p 是綈 q 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2013·北京高考 )“φ ＝π ”是“曲线 y＝ sin(2x ＋φ )过坐 标原点”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C＝90° ， 结论：∠A、∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论． 即“在△ABC 中， 若∠C≠90° ， 则∠A、 ∠B 不都是锐角”．
答案： “在△ABC 中， 若∠C≠90° ， 则∠A、 ∠B 不都是锐角”
1．判断充分条件和必要条件的方法
(1)命题判断法：
4．充分条件与必要条件
(1)如果 p⇒q，则 p 是 q 的 充分条件 ，q 是 p 的 必要条件 ．
(2)如果 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的 充要条件 ．
1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又 否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．
2． 注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A⇒B 且 B 与 A 的充分不必要条件是 B(B⇒A 且 A A)；
π B．若 α＝ ，则 tan α≠1 4
பைடு நூலகம்
π π C．若 tan α≠1，则 α≠ D．若 tan α≠1，则 α＝ 4 4 π 解析：命题“若α＝ ，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan 4
π α≠1，则α≠ ”． 4
答案：C
2．以下关于命题的说法正确的有 ________(填写所有正确命题的序 号)．
－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1 ＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出 “x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．
答案：A
2．“在△ABC 中，若∠C＝90° ，则∠A、∠B 都是锐角”的否命 题为：____________________.
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的 陈述句叫做命题． 其中 判断为真 的语句叫真命题，判断为假 的 语句叫假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题， 它们的真假性 没有 关 系．
B)两者的不同．
[试一试] 1． (2013· 福建高考)设点 P(x， y)， 则“x＝2 且 y＝－1”是“点
P 在直线 l：x＋y－1＝0 上”的 A．充分而不必要条件
(
)
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝
2．转化与化归思想
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当 判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题 的真假．
[练一练] 1． (2014· 济南模拟)设 x∈R， 则“x2－3x>0”是“x>4”的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由x2－3x>0得x>3或x<0，此时得不出x>4，但当x>4
设“若 p，则 q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p 是 q 的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p 是 q 的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p 是 q 的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p 是 q 的既不充分也不必要条件．
(2)集合判断法：
从集合的观点看，建立命题 p，q 相应的集合：p：A＝{x|p(x) 成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：