2016版2018-2019学年度《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第七章立体几何(含两年高考一年模拟)
2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第四章 平面向量(含两年高考一年模拟)
60°，则BD→·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 22．(2015·新课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD→，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →3．(2015·陕西)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a ·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 24．(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4 D ．π5．(2014·新课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →6．(2014·福建)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM→ B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 7．(2014·浙江)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定8．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a|，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |29．(2014·山东)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 310．(2014·广东)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)11．(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)12．(2014·北京)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)13．(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成．若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6 D ．014．(2014·新课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．515．(2014·新课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB→与AC →的夹角为________． 16．(2014·北京)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.17．(2014·江西)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.1．，|a －b |＜|a |＋|b |，则綈p 为( )A ．∀平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b |B ．∃平面向量a 和b ，|a －b |＜|a |＋|b |C ．∃平面向量a 和b ，|a －b |＞|a |＋|b |D ．∃平面向量a 和b ，|a －b |≥|a |＋|b |2．(2015·北京四中模拟)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c, b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．103．(2015·朝阳区模拟)设a ，b 是两个非零的平面向量，下列说法正确的是( )①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |； ②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |； ④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb . A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④4．(2015·吉林长春模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b |＝( )A ．1 B.7 C ．4＋ 3 D ．275．(2015·甘肃模拟)已知平面向量a 与b 的夹角为π3，且|b |＝1，|a ＋2b |＝23，则|a |＝( )A ．1 B. 3 C ．3 D ．26．(2015·广东三门模拟)若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |＞|2a ＋b | B ．|2a |＜|2a ＋b | C ．|2b |＜|a ＋2b | D ．|2b |＞|a ＋2b |7．(2015·四川雅安模拟)已知向量a 是与单位向量b 夹角为60°的任意向量，则对任意的正实数t ，|t a －b |的最小值是( )A ．0 B.12 C.32 D ．18．(2015·安徽安庆模拟)已知a 、b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a ||b |＝( )A.33B.64C.53D.639．(2015·江南十校模拟)已知点A (1，－1)，B (4，0)，C (2，2)平面区域D 是由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤a ，1≤μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域，若区域D 的面积为8，则4a ＋b 的最小值为( )A ．5B ．4 2C ．9D ．5＋4 210．(2015·湖南常德模拟)已知AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，则向量AB→在CD →方向上的投影为________． 11．(2015·江苏启东模拟)已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：(AB →－AC →)·(2AD →－BD →－CD →)＝0，则△ABC 的形状是________．12．(2015·皖江名校模拟)在△ABC 中，D 为BC 边上的中点，P 0是边AB 上的一个定点，P 0B ＝14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则下列结论中正确的是________(填上所有正确命题的序号)．①当P 与A ，B 不重合时，PB →＋PC →与PD →共线； ②PB→·PC →＝PD 2→－DB 2→； ③存在点P ，使|PD →|＜|P 0D →|； ④P 0C →·AB →＝0； ⑤AC ＝BC .13．(2015·江苏四市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，1，θ∈R .(1)若a ⊥b ，求tan θ的值；(2)若a ∥b ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求θ的值．1.(2015·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM→＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B. 15 C ．9 D ．62．(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB→＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC→ 3．(2015·福建)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC→的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．214．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ，若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23 C.56 D.7125．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728 D.106．(2014·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R7．(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF→|的最小值为________． 8．(2015·浙江)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.9．(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．10．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中， 已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3 PD →，AP →·BP →＝2，则AB→·AD →的值是________．11．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．12．(2014·陕西)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC→(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP→|； (2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．1．(2015·沈阳质检)已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM→的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，6 2．(2015·辽宁五校联考)已知直角坐标系内的两个向量a ＝(1，3)，b ＝(m ，2m －3)使平面内的任意一个向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)C ．(－∞，3)∪(3，＋∞)D ．[－3，3)3．(2015·广东肇庆模拟)已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1，2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )A ．－1B ．0 C.12 D.224．(2015·天津一中模拟)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线， 则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0 5．(2015·上海市浦东新区模拟)如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB交于圆内一点，若OC→＝mOA →＋nOB →，则( ) A ．0＜m ＋n ＜1 B ．m ＋n ＞1 C ．m ＋n ＜－1 D ．－1＜m ＋n ＜06．(2015·天津市滨海新区模拟)在平行四边形ABCD 中，AE →＝EB →，CF→＝2FB →，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM →＝λAB →＋μAD →，则实数λ与μ的乘积为( )A.14B.38C.34D.437．(2015·广东肇庆市模拟)定义空间两个向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①a ⊗b ＝b ⊗a ，②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ，③(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )，④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．(2015·山东济宁模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB→·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________． 9．(2015·湖北宜昌模拟)△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin B sin C ，3＋2cos B cos C )，且m ⊥n .(1)求角A的大小；(2)现给出以下三个条件：①B＝45°；②2sin C－(3－1)·sin B ＝0；③a＝2 .试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．第四章 平面向量 考点13 平面向量的概念与运算【两年高考真题演练】 1．D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]2．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD→， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.] 3．B4．A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]5．A [EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.]6．D [依题意知，点M 是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，所以OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM→，故选D.] 7．B [|b ＋t a |2＝|a |2t 2＋2a·b ·t ＋|b |2 ＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 设f (t )＝|a |2t 2＋2|a||b|cos θ·t ＋|b |2， 则二次函数f (t )的最小值为1， 即4|a|2|b|2－4|a|2|b|2cos 2θ4|a|2＝1，化简得|b |2sin 2θ＝1.∵|b |＞0，0≤θ≤π，∴|b |sin θ＝1， 若θ确定，则|b |唯一确定， 而|b|确定，θ不确定，故选B.]8．D [由三角形法则知min{|a ＋b |，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a ＋b |，|a －b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b |2，故选D.]9．B [根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3，经检验符合题意．]10．B [由于a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，于是b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.]11．B [若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.]12．A [因为a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，所以2a －b ＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A.]13．B [设S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，若S 的表达式中有0个a ·b ，则S ＝2a 2＋2b 2，记为S 1，若S 的表达式中有2个a ·b ，则S ＝a 2＋b 2＋2a·b ，记为S 2，若S 的表达式中有4个a ·b ，则S ＝4a ·b ，记为S 3.又|b |＝2|a |，所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2(a －b )2＞0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2＞0，S 2－S 3＝(a －b )2＞0，所以S 3＜S 2＜S 1，故S min ＝S 3＝4a ·b ，设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a ·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.]14．A [∵|a ＋b |＝10，∴(a ＋b )2＝10， 即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.① ∵|a －b |＝6，∴(a －b )2＝6， 即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1.故选A.]15．90° [由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB→与AC →的夹角为90°.] 16.5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝ 5.]17.223 [因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]【一年模拟试题精练】1．D [根据全称命题的否定是特称命题，故选D.]2．B [因为a ⊥c ，b ∥c ，所以x ＝2，y ＝－2，a ＋b ＝(3，1)，所以|a ＋b |＝10，故选B.]3．B [①中利用平行四边形法则，可以得到以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，故|a ＋b |＝|a －b |；②直接利用数量积公式，不正确；③中只有a ，b 同向时才成立；④|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 反向，故正确，故选B.]4．B [|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝7，故选B.]5．D [|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝12，所以a 2＋2|a |－8＝0，所以|a |＝2，故选D.]6．D [因为|a ＋b |＝|b |，则|a ＋b |2＝|b |2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a ·b ＜0，因为|a ＋2b |2－|2b |2＝a 2＋4a ·b ＜0，故选D.]7．C [|t a －b |2＝t 2a 2－t |a |＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t |a |－122＋34，所以|t a －b |的最小值是32，故选C.]8．D [利用向量加法的几何意义，可以得到|a |，|b |为邻边的三角形的内角分别为π4和π3由正弦定理得到|a ||b |＝63.]9．C [如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得|AN |＝a |AB |，|AM |＝b |AC |，作CH ∥AN ，BF ∥AM ，NG ∥AM ，MG ∥AN ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分， 即四边形EHGF .∵AB→＝(3，1)，AC →＝(1，3)，BC →＝(－2，2)， ∴|AB→|＝10，|AC →|＝10，|BC →|＝2 2. 则cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝8. ∴(a －1)(b －1)＝1，即1a ＋1b ＝1，故4a ＋b ＝(4a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝32，b ＝3时，等号成立，故4a ＋b 取得最小值为9.]10.322 [向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.] 11．等腰三角形12．①②⑤ [因为D 为BC 边的中点，所以PB→＋PC →＝2PD →，所以①正确；PB →·PC →＝(PD →＋DB →)·(PD →＋DC →)＝PD →2－DB →2，所以②正确；同理可得P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2，由已知PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，得PD →2≥P 0D →2，即|PD →|≥|P 0D →|恒成立，所以故③错误；注意到P 0，D是定点，所以P 0D 是点D 与直线上各点距离的最小值，所以P 0D ⊥AB ，故P 0D →·AB →＝0，设AB 中点为O ，则CO ∥P 0D ，所以④错误；再由D 为BC 的中点，易得CO 为底边AB 的中线，故△ABC 是等腰三角形，有AC ＝BC ，所以⑤正确．综上可知，①②⑤正确．]13．解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，所以2sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，即52sin θ＋32cos θ＝0.因为cos θ≠0，所以tan θ＝－35.(2)由a ∥b ，得2sin θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即2sin 2θcos π3＋2sin θcos θsin π3＝1， 即12(1－cos 2θ)＋32sin 2θ＝1，整理得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝12，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以2θ－π6＝π6，即θ＝π6.考点14 平面向量的应用【两年高考真题演练】1．C [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB → ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]2．D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]3.A [建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1t，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB→|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB→·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，故选A.]4．C 5．B 6．A [由于|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，所以|OQ →|＝2(a ＋b )＝2·|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝2，因此点Q 在以原点为圆心，半径等于2的圆上，又|OP→|＝|a cos θ＋b sin θ| ＝（a cos θ＋b sin θ）2＝|a |2cos 2θ＋|b |2sin 2θ＋a ·b sin 2θ＝1，因此曲线C 是以原点为圆心，半径等于1的圆．又区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }，所以区域Ω是以点Q 为圆心，半径分别为r 和R 的两个圆之间的圆环，由图形可知，要使曲线C 与该圆环的公共部分是两段分离的曲线，应有1＜r ＜R ＜3.]7.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB→·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]8．1 2 22 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎨⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 9．2 [∵四边形ABCD 为菱形，且边长为2，∠BAD ＝120°，∴BC→＝AD →，DC →＝AB →.由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λAB →.∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋13AD →·⎝⎛⎭⎪⎫1λAB →＋AD →＝1λ×4＋AB →·AD →＋13λAB →·AD →＋13×4＝4λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋43＝1.∴4λ－2－23λ＋43＝1.∴1λ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－23＝3－43，∴λ＝2.]10．22 [由题意知，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB→2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AB→·AD →＝22.] 11.16 [由AB→·AC →＝tan A ，可得|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，因为A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|·32＝33，即|AB →|·|AC →|＝23.所以S △ABC＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.]12．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(1，2)， ∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP→|＝22＋22＝2 2. (2)∵OP→＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.【一年模拟试题精练】1．B [由题意可知，AM →＝12(AB →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，6，故选B.] 2．B [由题意可知，向量a 与b 为基底，所以不共线，m 1≠2m －33，得m ≠－3，故选B.]3．B [a ⊥b ⇔－1＋2cos 2θ＝0⇔cos 2θ＝0.]4．D [因为a ＋b 与c 共线，所以有a ＋b ＝m c ，又b ＋c 与a 共线，所以有b ＋c ＝n a ，即b ＝m c －a 且b ＝－c ＋n a ，因为a ，b ，c 中任意两个都不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1，所以b ＝m c －a ＝－c －a ，即a ＋b ＋c ＝0，选D.]5．B [如果记得结论，“A ，B ，D 三点共线，O 是直线AB 外一点，OD →＝xOA →＋yOB →，A ，B ，D 三点共线⇔x ＋y ＝1，”则本题可很快得出结论，设D 是OC 与AB 的交点，且OD→＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1，而OC→＝λOD →＝λx OA →＋λy OB →，显然λ＞1, 又m ＝λx ，n ＝λy ，故m ＋n ＝λ(x ＋y )＝λ＞1，如果记不得这个结论，则直线从等式OC →＝mOA →＋nOB→入手，OC →2＝(mOA →＋nOB →)2＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →，而 OA →·OB →＜|OA →||OB →|＝1，因此1＝OC →2＜m 2＋n 2＋2mn ，所以m ＋n ＞1.]6．B [因为E ，M ，C 三点共线，所以设AM →＝xAE →＋(1－x )AC →， 则AM→＝x 2AB →＋(1－x )(AB →＋AD →)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2AB →＋(1－x )AD →. 同理D ，M ，F 三点共线，所以设AM→＝yAF →＋(1－y )AD →，则AM →＝yAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2y 3AD →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝y ，1－x ＝1－2y3，解得y ＝34，即AM →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12，即λμ＝34×12＝38，选B.]7．B [①恒成立；②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ，b 〉，当λ＜0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立；③当a ，b ，c 不共面时，(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )不成立，例如取a ，b ，c 为两两垂直的单位向量，易得(a ＋b )⊗c ＝2，(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝2；④由a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，可知(a ⊗b )2＋(a ·b )2＝|a |2·|b |2(a ⊗b )2＝|a |2·|b |2－(a ·b )2＝(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)＝(x 1x 2＋y 1y 2)2＝(x 1y 2－x 2y 1)2，故a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|恒成立．]8.2 [将矩形放入平面直角坐标系，如图，因为AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，所以B (2，0)，D (0，2)，C (2，2)，E (2，1)，设F (x ，2)则AF →＝(x ，2)，AB →＝(2，0)，所以AF →·AB →＝(x ，2)·(2，0)＝2x ＝2， 所以x ＝1.所以AE→＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)＝(1－2，2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.]9．解 (1)∵m ⊥n ，∴2sin B sin C －2cos B cos C －3＝0，∴cos(B ＋C )＝－32，∴cos A ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝30°， (2)选择①，③∵A ＝30°，B ＝45°，C ＝105°，a ＝2且sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24，c ＝a sin Csin A ＝6＋2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝3＋1，选②③∵A ＝30°，a ＝2，∴2sin C ＝(3＋1)sin B ⇒2c ＝(3＋1)b ，由余弦定理：a 2＝4＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12b 2－2b ×3＋12b ×32⇒b 2＝8b ＝22，c ＝3＋12b ＝6＋2，∴S △ABC ＝3＋1(选①，②不能)．。
串讲02 第一章 圆与圆的方程(考点串讲)高二数学上学期期中考点(北师大版2019选择性必修第一册)
考点7.直线与圆的位置关系的判断
r |y|≤ 02 ___．这说明圆上的所有点都在两条平行直线 x＝－r，x＝r 和两条平行直线 y＝－r，y＝r 围成的正方形之间(如图所示)．
考点2.圆x2＋y2＝r2的简单几何性质
(2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点 P 的坐标(x，y)满足方程①，则点 P 分 别关于 x 轴、y 轴和原点 O 对称的点 P1(x，－y)，P2(－x，y)，P3(－x，－y)的坐标也 都满足方程①. 这说明圆①既是关于 03 _x_轴___和 04 _y_轴___的轴对称图形，也是关于 05 _原__点__的中 心对称图形．
解 (1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即 4m2＋4－4m2－20m>0，解得 m<15， 故实数 m 的取值范围为－∞，15. (2)将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成圆的标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
同理，得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5＝0. 由x2－x＋7yy＋＋150＝＝00，，得圆心的坐标为(－3，1)． 又圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（1－5）2＝5， 所以所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
解
考点3.点与圆的位置关系
【例题 3】已知 a，b 是方程 x2－x－ 2＝0 的两个不等的实数根，则点
①x2，y2 的系数相同，且不等于 0，即 06 ___A_＝__B_≠_0___； ②不含 xy 这样的二次项，即 07 __C__＝__0___． 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．
2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十章 推理与证明、算法与复数(含两年高考一年模拟)
1．y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A ⊕B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A ⊕B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．302．(2015·广东)若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4，0≤q <s ≤4，0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )＝( )A ．200B ．150C ．100D ．503．(2015·陕西)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋14 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．4．(2014·陕西)已知f (x )＝x 1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋则f 2 014(x )的表达式为______．5．(2014·北京)顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：6．(2015·江苏)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列？并说明理由．1．(2015·吉林四校调研)设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于22．(2015·河北保定模拟)定义A B ，B C ，C D ，D B 分别对应下列图形( )那么下列图形中，可以表示A D ，A C 的分别是( )A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(2)(4)D ．(1)(4)3．(2015·宜昌调研)给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确4．(2015·淮南模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 011B ．2 012C ．2 013D ．2 0145．(2015·泉州模拟)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c；类比这个结论可知，四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，四面体ABCD 的体积为V ，内切球半径为R ，则R ＝________．6．(2015·黄山模拟)在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．7．(2015·莱芜模拟)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．8．(2015·北京模拟)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝________．9．(2015·昆明一中检测)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是________．10．(2015·湖北八校一联)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝________．11．(2015·宝鸡市质检)观察等式：①13×13＋12×12＋16×1＝12，②13×23＋12×22＋16×2＝12＋22，③13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，…，以上等式都是成立的，照此写下去，第2 015个成立的等式是________．12．(2015·武汉市调研)平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有1AQ＋1AR＝2.类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A－BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．1．(2015·输入x的值为1，则输出y的值为()A．2 B．7 C．8 D．128第1题图第2题图2．(2015·天津)阅读上边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的k值为() A．3 B．4 C．5 D．64．(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()A．－32 B.32C．－12 D.12第3题图 第4题图 第5题图5．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为( ) A.34 B.56 C.1112 D.25246．(2014·新课标Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158第6题图 第7题图 7．(2014·新课标Ⅱ)执行上面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．78．(2015·新课标全国Ⅰ)已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i9．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i 1＋i＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．410．(2015·广东)已知i 是虚数单位，则复数(1＋i)2＝( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－211．(2015·山东)若复数z 满足z 1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝( )A ．3＋3iB ．－1＋3iC ．3＋iD ．－1＋i13．(2014·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2014·福建)复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i1．(2015·x 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7第1题图 第2题图 2．(2015·云南名校统考)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，则输入的S 0的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．(2015·湖北八校一联)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 014的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 013?B ．i ≤2 015?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 019?第3题图 第4题图 4．(2015·宝鸡市质检)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值等于( )A ．1 B.14 C.12 D.185．(2015·四川省统考)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内应填( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?第5题图 第6题图 6．(2015·晋冀豫三省调研)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．127．(2015·贵阳市模拟)复数z ＝3－2i ，i 是虚数单位，则z 的虚部是( )A ．2iB ．－2iC ．2D ．－28．(2015·郑州一预)设i 是虚数单位，若复数m ＋103＋i(m ∈R )是纯虚数，则m 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．(2015·邯郸市质检)已知i 是虚数单位，则复数z ＝4＋3i 3－4i的虚部是( )A ．0B ．iC ．－iD ．110．(2015·汕头市监测)复数21－i的实部与虚部之和为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．011．(2015·唐山一期检测)若复数z ＝a ＋3i 1－2i(a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则z 的值为( )A ．2B ．3C ．3iD ．2i12．(2015·唐山摸底)复数z ＝1－3i 1＋2i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－iD ．z 的共轭复数为－1＋i13．(2015·福州市质检)在复平面内，两共轭复数所对应的点( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x参考答案第十章推理与证明、算法与复数考点33推理与证明【两年高考真题演练】1．C[如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A⊕B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A⊕B表示如图所示的所有圆点“”＋所有“”圆点＋所有圆点“”，共45个．故A⊕B中元素的个数为45.故选C.]2．A[当s＝4时，p，q，r都可取0，1，2，3中的一个，有43＝64种，当s＝3时，p，q，r都可取0，1，2中的一个，有33＝27种，当s＝2时，p，q，r都可取0，1中的一个，有23＝8种，当s＝1时，p，q，r都可取0，有1种，∴card(E)＝64＋27＋8＋1＝100.当t＝0时，u可取1，2，3，4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2，3，4中的一个，有3种，当t＝2时，u可取3，4中的一个，有2种，当t＝3时，u可取4，有一种，∴t，u取值有1＋2＋3＋4＝10种，同样地，v，w的取值也有10种，则card(F)＝10×10＝100种，∴card(E)＋card(F)＝100＋100＝200种．]3．1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n[等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .] 4．f 2 014(x )＝x 1＋2 014x [f 1(x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝x1＋x 1＋x 1＋x＝x 1＋2x ，f 3(x )＝x1＋2x 1＋x 1＋2x＝x 1＋3x ，…，由数学归纳法得f 2 014(x )＝x 1＋2 014x .] 5．42 [为使交货期最短，需徒弟先对原料B 进行粗加工，用时6个工作日，再由工艺师对原料B 进行精加工，用时21个工作日，在此期间徒弟再对原料A 进行粗加工，不会影响工艺师加工完原料B 后直接对原料A 进行精加工，所以最短交货期为6＋21＋15＝42(个)工作日．]6．(1)证明 因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列，则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14. 显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列，则a n 1(a 1＋2d )n ＋2k ＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k (a 1＋3d )n ＋3k ＝(a 1＋2d )2(n ＋2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1， 并令t ＝d a 1⎝⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k ＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k (1＋3t )n ＋3k ＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )，且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )．化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)． 令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )，则g ′(t )＝错误!.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]．令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0. 由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立．所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k 3，a n ＋3k 4依次构成等比数列．【一年模拟试题精练】1．D [利用反证法证明．假设三个数都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＜6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾．故选D.]2．C [由A B ，B C 知，B 是大正方形，A 是|，C 是—，由C D 知，D 是小正方形，∴A D 为小正方形中有竖线，即(2)正确，A C 为＋，即(4)正确．故选C.]3．D [反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．]4．B [设最小的数为x ，则其它8个数分别为x ＋7，x ＋8，x ＋9，x ＋14，x ＋15，x ＋16，x ＋17，x ＋18，故9个数之和为x ＋3(x ＋8)＋5(x ＋16)＝9x ＋104，当x ＝212时，9x ＋104＝2 012.]5.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4[V ＝13S 1·R ＋13S 2·R ＋13S 3·R ＋13S 4·R ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4.] 6．cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 [设α，β，γ是AC 1分别与面ABCD 1，面ABB 1A 1，面BCC 1B 1所成的角．cos α＝AC AC 1，cos β＝AB 1AC 1，cos γ＝BC 1AC 1，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2（AB 2＋BC 2＋CC 21）AC 21＝2.] 7.332 [f (x )＝sin x ，f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋B ＋C 3 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.故sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.]8．2 014 [令a ＝n ，b ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即：f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝2，故：f （2）f （1）＋f （4）f （3）＋…＋f （2 014）f （2 013）＝2×1 007＝2 014.] 9．甲 [假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．]10．(－1)n ＋1·n （n ＋1）2 [12＝1＝(－1)21×22；12－22＝－3＝(－1)32×32；12－22＋32＝6＝(－1)43×42；12－22＋32－42＝－10＝(－1)54×52，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1·n 2＝(－1)n ＋1·n （n ＋1）2.]11.13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋20152 [①：13×13＋12×12＋16×1＝12；②：13×23＋12×22＋16×2＝12＋22；③：13×33＋12×32＋16×3＝12＋22＋32，……；2 015：13×2 0153＋12×2 0152＋16×2 015＝12＋22＋…＋2 0152]12.1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 [设O 到各个平面的距离为d ，而V R －AQP ＝13S △AQP ·AR ＝13·12·AQ ·AP ·AR ＝16AQ ·AP ·AR ，又∵V R －AQP ＝V O －AQP ＋V O －ARP ＋V O －AQR＝13S △AQP ·d ＋13S △ARP ·d ＋13S △AQR ·d＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d16AQ ·AP ·AR ＝16(AQ ·AP ＋AR ·AP ＋AQ ·AR )d ， 即1AQ ＋1AR ＋1AP ＝d ，而V A －BDC ＝13S △BDC ·h＝13·34·2·33＝16，V O －ABD ＝13V A －BDC ＝118， 即13·S △ABD ·d ＝13·12·d ＝118⇒d ＝3， ∴1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3.]考点34 算法与复数【两年高考真题演练】1．C [当x ＝1时，执行y ＝9－1＝8.输出y 的值为8，故选C.]2．C [运行相应的程序．第1次循环：i ＝1，S ＝10－1＝9；第2次循环：i ＝2，S ＝9－2＝7；第3次循环：i ＝3，S ＝7－3＝4；第4次循环：i ＝4，S ＝4－4＝0；满足S ＝0≤1，结束循环，输出i ＝4.故选C.]3．B [第一次循环：a ＝3×12＝32，k ＝1；第二次循环：a ＝32×12＝34，k ＝2；第三次循环：a ＝34×12＝38，k ＝3；第四次循环：a ＝38×12＝316<14，k ＝4.故输出k ＝4.]4．D [每次循环的结果为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4，∴S ＝sin 5π6＝12.]5．D [s ＝12＋14＋16＋18＝2524，即输出s 的值为2524.]6．D [当n ＝1时，M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32；当n ＝2时，M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83；当n ＝3时，M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158；n ＝4时，终止循环．输出M ＝158.]7．D [k ＝1，M ＝11×2＝2，S ＝2＋3＝5；k ＝2，M ＝22×2＝2，S ＝2＋5＝7；k ＝3，3>t ，∴输出S ＝7，故选D.]8．C [由(z －1)i ＝1＋i ，两边同乘以－i ，则有z －1＝1－i ，所以z ＝2－i.]9．D [由2＋a i 1＋i＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D.]10．A [(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝1＋2i －1＝2i.]11．A [∵z 1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 12．C [(1－i)(1＋2i)＝1＋2i －i －2i 2＝1＋i ＋2＝3＋i ，故选C.]13．B [实部为－2，虚部为1的复数为－2＋i ，所对应的点位于复平面的第二象限，选B.]14．C [因为复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C. ]【一年模拟试题精练】1．C [x ＝3，y ＝23＝8<10＋3＋3＝33；x ＝3＋1＝4.y ＝24＝16<10×4＋3＝43；x ＝4＋1＝5，y ＝25＝32<10×5＋3＝53；x ＝5＋1＝6，y ＝26＝64>10×6＋3＝63，故输出的x 值为6.]2．D [由题意知S 0应为偶数，排除选项A 、C.当S 0＝8时，i ＝1<4，S ＝8－2＝6；i ＝2<4，S ＝6－22＝2；i ＝3<4，S ＝2－23＝－6；i ＝4＝4，输出S ＝－6，排除B ，故选D.]3．B [i ＝2，S ＝0；S ＝0＋12，i ＝4；S ＝12＋14，i ＝6；…，S ＝12＋14＋…＋12012，i ＝2 014；要计算S ＝12＋14＋…＋12 012＋12 014，应满足i ≤2 015.]4．C [S ＝1＝1，k ＝1<2 015；S ＝18<1，k ＝2<2 015；s ＝2×12＝14<1，k ＝3<2 015；S ＝14×2＝12<1，k ＝4<2015；S ＝12×2＝1，k ＝5<2 015 循环周期为4，2 015＝4×503＋3，S ＝1＝1，k ＝2 013<2 015；S ＝18，k ＝2 014<2 015；S ＝18×2＝14<1，k ＝2 015＝2 015， S ＝14×2＝12<1，k ＝2 016>2 015，输出S ＝12.]5．A [k ＝1，S ＝1；k ＝2，S ＝2×1＋2＝4；k ＝3，S ＝2×4＋3＝11；k ＝4，S ＝2×11＋4＝26；k ＝5，S ＝2×26＋5＝57要输出S ＝57，需k >4.]6．C [当i ＝1时，1<5为奇数，S ＝－1，i ＝2； 当i ＝2时，2<5为偶数，S ＝－1＋4＝3，i ＝3； 当i ＝3时，3<5为奇数，S ＝3－33＝－5，i ＝4； 当i ＝4时，4<5为偶数，S ＝－6＋42＝10，i ＝5； 当i ＝5时，5≥5，输出S ＝10.]7．D [z ＝3－2i 的虚部为－2.]8．A [∵m ＋103＋i ＝m ＋3－i 为纯虚数，∴m ＋3＝0，即m ＝－3.]9．D [∵z ＝4＋3i 3－4i ＝i ，∴z 的虚部为1.]10．B[21－i＝1＋i，故其实部与虚部之和为1＋1＝2.]11．C[∵z＝a＋3i1－2i＝a－65＋2a＋35i为纯虚数，∴a－65＝0，即a＝6，∴z＝3i.]12．D[∵z＝1－3i1＋2i＝－1－i，∴|z|＝2，z的实部为－1，虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选D.]13．A[∵z＝a＋b i的共轭复数z＝a－b i，∴z和z关于x轴对称．]。
2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第六章 不等式(含两年高考一年模拟)
14．(2015·厦门市质检)点P(x，y)在直线y＝kx＋2上，记T＝|x|＋|y|，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数k的取值是________．
15．(2015·赤峰市测试)已知O(x，y)为区域内的任意一点，当该区域面积为4时，z＝2x－y的最大值为________．
16．(2015·吉林市高三摸底)已知正项等比数列{an}的公比q＝2，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为________．
考点20二元一次不等式(组)与简单的线性规划
两年高考真题演练
1．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为()
A．7B．8C．9D．14
6．(2015·贵州七校一联)一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1，2)，(3，4)，(4，－2)，点(x，y)在这个平行四边形的内部或边上，则z＝2x－5y的最大值是()
A．16B．18C．20D．36
7．(2015·云南师大附中适应性考试)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，则a＋b的值为()
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
5．(2015·四川)设实数x，y满足则xy的最大值为()
A.B.C．12D．14
6．(2015·重庆)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()
A．－3B．1C.D．3
7．(2015·福建)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于()
一点一练2016版高考数学第十章推理证明、算法、复数专题演练理(含两年高考一年模拟)
1.(2014·山东)用反证法证明命题“设，为实数，则方程＋＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·山东)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1 ＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·福建)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．7．(2014·重庆)设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·陕西师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·湖北黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·湖北七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·山东日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·安徽淮南模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.1.(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0 D．－12．(2015·北京)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A．(－2，2) B．(－4，0)C．(－4，－4) D．(0，－8)3．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·四川)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．31．(2015·黑龙江绥化模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的值为22，则输出的S 的值为( )A ．232B ．211C ．210D ．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x 2＋y 2＝10内的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．53．(2015·遂宁模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，不断执行如图所示的程序框图，且输入x 的值为1，然后输出n 的值为N ，则M ≤N －2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·济宁一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·陕西一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·山东枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?1.(2015·安徽)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·广东)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·陕西)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·四川)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·北京)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·湖南)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·山东)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·重庆)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·浙江)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件13．(2014·山东)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A．5－4i B．5＋4iC．3－4i D．3＋4i14．(2015·重庆)设复数a＋b i(a，b∈R)的模为3，则(a＋b i)(a－b i)＝________．15．(2015·天津)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．1．(2015·安徽江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·广东广州模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·遂宁模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·济宁一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·青岛一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i 等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·陕西一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·山东枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·四川成都模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·陕西西安模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·贵州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·甘肃河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·安徽马鞍山模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202 ＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C [分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。
一点一练高考数学 第十章 推理证明、算法、复数专题演练 理(含两年高考一年模拟)-人教版高三全册数学
第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法两年高考真题演练1.(2014·某某)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 2．(2015·某某)观察下列各式： C 01＝40； C 03＋C 13＝41; C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋ C 22n －1＋…＋ C n －12n －1＝________．3．(2015·某某)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．4．(2014·某某)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．5．(2014·某某)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．6多面体 面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6 812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是________．7．(2014·某某)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n ＜c ＜a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．考点35 推理与证明、数学归纳法一年模拟试题精练1．(2015·某某师大附中模拟)观察下列等式：13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝________．(最后结果用m ，n 表示)2．(2015·某某黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．3．(2015·某某威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．4．(2015·某某七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：(1)当l ＝12时，n 的最大值为________； (2)当l ＝100时，n 的最大值为________．5．(2015·某某模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C nn ＝________.6．(2015·某某日照模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．7．(2015·某某某某模拟)已知函数f 1(x )＝2x ＋1，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2.(1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式； (2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.考点36 算法与程序框图两年高考真题演练1.(2015·某某)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－12．(2015·)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．(－2，2)B ．(－4，0)C ．(－4，－4)D ．(0，－8) 3．(2015·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( ) A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤25244．(2015·新课标全国Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．145．(2014·某某)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >456．(2014·某某)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点36 算法与程序框图一年模拟试题精练1．(2015·某某某某模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为22，则输出的S 的值为( )A．232 B．211 C．210 D．1912．(2015·乌鲁木齐模拟)执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点，则打出的点在圆x2＋y2＝10内的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．53．(2015·某某模拟)在区间[－2，3]上随机选取一个数M，不断执行如图所示的程序框图，且输入x的值为1，然后输出n的值为N，则M≤N－2的概率为( )A.15B.25C.35D.454．(2015·某某一模)已知如图1所示是某学生的14次数学考试成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…A 14，图2是统计茎叶图中成绩在一定X 围内考试次数的一个程序框图，则输出的n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．115．(2015·某某一模)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021B ．i ≤2 019C ．i ≤2 017D ．i ≤2 0156．(2015·某某枣庄模拟)某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为26，则判断框内的条件应为( )A ．k ≤5?B ．k ＞4?C ．k ＞3?D ．k ≤4?考点37 复 数 两年高考真题演练1.(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2015·某某)若复数z ＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．2＋3i D ．2－3i3．(2015·新课标全国Ⅱ)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．24．(2015·某某)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.14－12π C.12－1π D.12＋1π5．(2015·新课标全国Ⅰ)设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．26．(2015·某某)设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i7．(2015·)复数i(2－i)＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i8．(2015·某某)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅9．(2015·某某)已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i10．(2015·某某)若复数z 满足z1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i11．(2014·某某)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．(2014·某某)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．(2014·某某)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i 14．(2015·某某)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________． 15．(2015·某某)i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________．1．(2015·某某江南十校模拟)若复数6＋a i3－i (其中a ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．122．(2015·某某某某模拟)已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋2i)i 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．(2015·万州区模拟)设复数z ＝a ＋i1－i(a ∈R ，i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．24．(2015·乌鲁木齐模拟)在复平面内，复数1＋2i1－i对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．(2015·某某模拟)已知复数z 满足：z i ＝2＋i(i 是虚数单位)，则z 的虚部为( ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－26．(2015·某某一模)已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i7．(2015·某某一模)设i 为虚数单位，复数2i1＋i等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1－iD ．1＋i8．(2015·某某一模)已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，若z ＝z 1z 2，则z －＝( )A.45＋iB.45－i C ．i D ．－i 9．(2015·德阳模拟)复数2i 2－i ＝( )A ．－25＋45i B.25－45iC.25＋45i D ．－25－45i 10．(2015·某某枣庄模拟)i 是虚数单位，若z ＝1i －1，则|z |＝( )A.12B.22C. 2 D ．2 11．(2015·某某某某模拟)已知i 是虚数单位， 若⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0(m ∈R )，则m 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2 D ．－1212．(2015·某某某某模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．(2015·某某模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．(2015·某某河西五地模拟)下面是关于复数z ＝21－i的四个命题： p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为－1＋i, p 4：z 的虚部为1.其中真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 415．(2015·某某马某某模拟)若复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0151＋2i的值为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i第十章 推理证明、算法、复数考点35 推理与证明、数学归纳法 【两年高考真题演练】1．A [因为至少有一个的反面为一个也没有，所以要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．]2．4n －1[观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1， 第4个等式右边为43＝44－1，所以第n 个等式右边为4n －1.]3．5 [(ⅰ)x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x 5，x 7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.]4.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 5．6 [根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2，3，1，4)和(3，2，1，4)；(3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3，1，2，4)； (4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2，1，4，3)，(4，1，3，2)，(3，1，4，2)．所以共有6个．故答案为6.]6．F ＋V －E ＝2 [因为5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，故可猜想F ＋V －E ＝2.]7. 解 (1)法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1. 从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1 (n ∈N *)．法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2＜14＜a 3＜1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2， 即1＞c ＞a 2k ＋2＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＜c ＜a 2(k ＋1)＋1＜1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.【一年模拟试题精练】1. m 2－n 2 [当n ＝0，m ＝1时，为第一个式子13＋23＝1此时1＝12－0＝m 2－n 2，当n ＝2，m ＝4时，为第二个式子73＋83＋103＋113＝12；此时12＝42－22＝m 2－n 2，当n ＝5，m ＝8时，为第三个式子163＋173＋193＋203＋223＋233＝39此时39＝82－52＝m 2－n 2，由归纳推理可知等式：3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝m 2－n 2.故答案为：m 2－n 2]2．n ·2n －1[S 1＝1，S 2＝4，当n ＝3时，S 3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝12，S 4＝1＋2＋3＋4＋(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋(3－2)＋(4－2)＋(4－3)＋(3－2＋1)＋(4－2＋1)＋(4－3＋1)＋(4－3＋2)＋(4－3＋2－1)＝32，∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n＝n ·2n －1，故答案为：n ·2n －1.]3．45 [由题意，从23到m 3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m ＝（m ＋2）（m －1）2个，2 015是从3开始的第1 007个奇数，当m ＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共46×432＝989个． 当m ＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共47×442＝1 034个．] 4．(1)5 (2)9 [当l ＝12时，为使n 最大，先考虑截下的线段最短，第1段和第2段长度为1、1，由于任意三段都不能构成三角形，∴第3段的长度为1＋1＝2，第4段和第5段长度为3、5，恰好分成了5段；(2)当l ＝100时，依次截下的长度为1、1、2、3、5、8、13、21、34的线段，长度和为88，还余下长为12的线段，因此最后一条线段长度取为34＋12＝46，故n 的最大值是9.]5．n (n ＋1)·2n －2[C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝n (C 0n －1＋2C 1n －1＋…＋k C k －1n －1＋…＋n C n －1n －1)＝n [(C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C k －1n －1＋…＋C n －1n －1)＋(C 1n －1＋2C 2n －1＋…＋(k －1)C k －1n －1＋…＋(n －1)C n －1n －1)]．]6．55 [观察下列等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 照此规律，第7个等式中：a ＝7，b ＝72－1＝48，∴a ＋b ＝55，故答案为：55.] 7．(1)证明 由题设知a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14，∴a n ＋1a n ＝f n ＋1（0）－1f n ＋1（0）＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝2f n （0）＋1－12f n （0）＋1＋2f n （0）－1f n （0）＋2＝1－f n （0）2f n （0）＋4f n （0）－1f n （0）＋2＝－12，∴数列{a n }为等比数列，项通次公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1. (2)解 由(1)知b n ＝2n，g (b n )＝1＋12＋13＋…＋12n ，只要证：1＋12＋13＋…＋12n ≥n ＋22，下面用数学归纳证明：n ＝1时，1＋12＝1＋22，结论成立，假设n ＝k 时成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋22，那么：n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＞k ＋22＋12k ＋12k ＝k ＋32，即n ＝k ＋1时，结论也成立， 所以n ∈N ，结论成立．考点36 算法与程序框图【两年高考真题演练】1．C [当i ＝1，S ＝0进入循环体运算时，S ＝0，i ＝2；S ＝0＋(－1)＝－1，i ＝3；S＝－1＋0＝－1，i ＝4；∴S ＝－1＋1＝0，i ＝5；S ＝0＋0＝0，i ＝6＞5，故选C.]2．B [第一次循环：S ＝1－1＝0，t ＝1＋1＝2；x ＝0，y ＝2，k ＝1； 第二次循环：S ＝0－2＝－2，t ＝0＋2＝2，x ＝－2，y ＝2，k ＝2；第三次循环：S ＝－2－2＝－4，t ＝－2＋2＝0，x ＝－4，y ＝0，k ＝3.输出(－4，0)．] 3．C [由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此S ＝12＋14＋16＝1112(此时k ＝6)还必须计算一次，因此可填S ≤1112，选C.]4．B [由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知，a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4； 第五次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2； 第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束，故选B.]5．C [程序框图的执行过程如下：s ＝1，k ＝9，s ＝910，k ＝8；s ＝910×89＝810，k ＝7；s ＝810×78＝710，k ＝6，循环结束．故可填入的条件为s >710.故选C.]6．C [先画出x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，对应的可行域如图中的阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1，0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.] 【一年模拟试题精练】1．B [由循环程序框图可转化为数列{S n }为1，2，4，…并求S 21，观察规律得S 2－S 1＝1，S 3－S 2＝2，S 4－S 3＝3，……，S 21－S 20＝20，把等式相加：S 21－S 1＝1＋2＋…＋20＝20×1＋202＝210，所以S 21＝211.故选B.]2．B [根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，14、⎝ ⎛⎭⎪⎫5，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫6，16 其中(1，1)、⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12、⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13满足x 2＋y 2＜10，即在圆x 2＋y 2＝10内，故打印的点在圆x 2＋y 2＝10内的共有3个，故选：B.]3．C [ 循环前输入的x 的值为1， 第1次循环，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝2，n ＝1，x 2－4x ＋3＝－1≤0，满足判断框条件，x ＝3，n ＝2，x 2－4x ＋3＝0≤0，满足判断框条件，x ＝4，n ＝3，x 2－4x ＋3＝3＞0，不满足判断框条件，输出n ：N ＝3.在区间[－2，3]上随机选取一个数M ，长度为5，M ≤1，长度为3，所以所求概率为35，故选C.]4．C [由程序框图知：算法的功能是计算学生在14次数学考试成绩中，成绩大于等于90的次数，由茎叶图得，在14次测试中，成绩大于等于90的有：93、99、98、98、94、91、95、103、101、114共10次，∴输出n 的值为10.故选C.] 5．C [根据流程图，可知第1次循环：i ＝2，S ＝12；第2次循环：i ＝4，S ＝12＋14；第3次循环：i ＝6，S ＝12＋14＋16…，第1 008次循环：i ＝2 016， S ＝12＋14＋16＋…＋12 016； 此时，设置条件退出循环，输出S 的值．故判断框内可填入i ≤2 016.对比选项，故选C.]6．C[分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案，程序在运行过程中，各变量的值变化如下所示：S 条件？ k循环前 0 / 1 第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是得，当k ＝4时，S ＝26，此时应该结束循环体并输出S 的值为26，所以判断框应该填入的条件为：k ＞3？，故选C.]考点37 复 数【两年高考真题演练】1．B [2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2i （1＋i ）2＝i －1＝－1＋i ，其对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，故选B.]2．D [因为z ＝i(3－2i)＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选D.]3．B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4，解得a ＝0，故选B.]4．B [由|z|≤1可得(x －1)2＋y 2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y ≥x 的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为： P ＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π.] 5．A [由1＋z 1－z ＝i ，得1＋z ＝i －z i ，z ＝－1＋i1＋i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.]6．C [i 3－2i ＝－i －2i i 2＝－i ＋2i ＝i.选C.]7．A [i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i.]8．C [集合A ＝{i －1，1，－i}，B ＝{1，－1}，A ∩B ＝{1，－1}，故选C.]9．D [由（1－i ）2z ＝1＋i ，知z ＝（1－i ）21＋i ＝－2i1＋i ＝－1－i ，故选D.]10．A [∵z1－i＝i ，∴z ＝i(1－i)＝i －i 2＝1＋i ，∴z ＝1－i.] 11．A [复数i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应的点的坐标是(2，1)，位于第一象限．] 12．A [当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，若(a ＋b i)2＝2i ，则有a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1，因此选A.]13．D [根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.]14．3 [由|a ＋b i|＝3得a 2＋b 2＝3，即a 2＋b 2＝3，所以(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.]15．－2 [(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，由已知，得a ＋2＝0，1－2a ≠0，∴a ＝－2.]【一年模拟试题精练】 1．A [z ＝（6＋a i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝18－a ＋（3a ＋6）i10.由条件得，18－a ＝3a ＋6，∴a＝3.]2．B [因为z ＝(1＋2i)i ＝i ＋2i 2＝－2＋i ，所以z 对应的点的坐标是(－2，1)，所以在第二象限，故选B.]3．C [z ＝a ＋i 1－i ＝（a ＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝a －1＋（1＋a ）i 2＝a －12＋1＋a2i ，若z 为纯虚数，则a －12＝0且1＋a2≠0，解a ＝1，故选：C.] 4．B [∵复数 1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，∴复数对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴复数1＋2i 1－i 在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.]5．D [由z i ＝2＋i ，得z ＝2＋i i ＝－i （2＋i ）－i2＝1－2i ，∴z 的虚部是－2.] 6．A [∵i z ＝1＋i ，∴－i ·i z ＝－i(1＋i)，化为z ＝1－i ，∴z －＝1＋i.] 7．D [2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i2＝1＋i.]8．D [∵复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，∴z ＝z 1z 2＝2＋i 1－2i ＝（2＋i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝5i5＝i ，则z ＝－i.]9．A [2i 2－i ＝2i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－2＋4i 5＝－25＋45i.]10．B [由题根据所给复数化简求解即可；∵z ＝1i －1＝1＋i －2，∴|z |＝22.]11．B [由⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1＋m i 2＜0，知2＋i 1＋m i 为纯虚数，∴2＋i 1＋m i ＝2＋m ＋（1－2m ）i 1＋m 2为纯虚数，∴m ＝－2，故选B.]12．A [∵a ＋i a －i ＝a 2－1＋2a i a 2＋1，∴“a ＋ia －i为纯虚数”⇔“a ＝±1”， 故“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的充分不必要条件．] 13．A [由已知z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]； 在复平面对应点如果在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＞0，m ＋1＜0而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.]14．C [p 1：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪21－i ＝2，故命题为假；p 2：z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2＝41－2i －1＝2i ，故命题为真； z ＝21－i＝1＋i ，∴z 的共轭复数为1－i ，故命题p 3为假； ∵z ＝21－i ＝1＋i ，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．故真命题为p 2，p 4故选C.]15．D [∵z ＝(a 2－4)＋(a ＋2)i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－2，a ≠－2，解得a ＝2，则a ＋i 2 0151＋2i ＝2＋i 31＋2i ＝2－i 1＋2i ＝－i.]。
2016版《一点一练》高考数学(文科)专题演练：第十一章 选修4系列(含两年高考一年模拟)
1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83 B ．3 C.103 D.52 2．(2015·广东)如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB ＝4，CE ＝23，则AD ＝________．3．(2015·江苏)如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.4．(2015·陕西)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径．5．(2014·新课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．1．PBC 经过圆心O ，若PB ＝OB ＝1，OD 平分∠AOC ，交圆O 于点D ，连接PD 交圆O 于点E ，则PE 的长等于( )A.77B.377C.577 D.72．(2015·茂名市二模)如图，CD 是圆O 的切线，点B 在圆O 上，BC ＝23，∠BCD ＝60°，则圆O 的面积为________．3．(2015·广东揭阳市一模)如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知AE ＝1，AB ＝3，CF ＝42，则BC 边的长为________．第3题图 第4题图4．(2015·北京丰台区)如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB ＝8，BC ＝1，则CD ＝________；AD ＝________．5．(2015·天津六校联考)如图，PC 、DA 为⊙O 的切线，A 、C 为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，则AB ＝________．6．(2015·东莞市一模)如图，AB 是⊙O 的直径，PB ，PE 分别切⊙O 于B ，C ，∠ACE ＝40°，则∠P ＝________．第6题图 第7题图7．(2015·东莞市三模)如图，AB 为圆O 的直径，AC 切圆O 于点A ，且AC ＝22，过点C 的割线交AB 的延长线于点D ，若CM ＝MN ＝ND ，则BD ＝________．8．(2015·晋冀豫三省二调)如图，△ABO 三边上的点C 、D 、E 都在⊙O 上，已知AB ∥DE ，AC ＝CB .(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝2，且tan ∠ACD ＝12，求⊙O 的半径r 的长．9．(2015·桂林一调)已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F(不与B重合)，直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与A、F垂直，垂足为G，连接AC.(1)求证：∠BAC＝∠CAG；(2)求证：AC2＝AE·AF.考点36 选修4－4 坐标系与参数方程两年高考真题演练1．(2015·湖南)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．2．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．3．(2014·广东)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________．4．(2014·湖南)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．5．(2015·江苏)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin (θ－π4)－4＝0，求圆C 的半径．6．(2015·陕西)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．7．(2014·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．1．(2015·北京东城区一模)已知点M 的极坐标为⎝⎭⎪5，3，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52C.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532 2．(2015·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin θ＝1截得的弦长为( )A. 3 B ．2 C ．23 D ．33．(2015·海淀区一模)圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)被直线y＝0截得的劣弧长为( )A.2π2 B ．π C ．22π D ．4π4．(2015·北京丰台区一模)在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ＋2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A 、B 两点，则A 、B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．45．(2015·安徽桐城市一模)在极坐标系中，曲线C 的方程是ρ＝4sinθ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．3 26．(2015·黄山市质检)在平面直角坐标系内，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋32t(t为参数)，若M ，N 分别是曲线C 与直线l 上的动点，则|MN |的最小值为( )A.2＋1 B ．32－1 C.2－1 D ．32－27．(2015·广东揭阳市一模)在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4，截得的弦长为________．8．(2015·北京朝阳区一模)极坐标系中，设ρ＞0，0≤α＜2π，曲线ρ＝2与曲线ρsin θ＝2交点的极坐标为________．9．(2015·东莞一模)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4作圆ρ＝2cos θ的切线，切线的极坐标方程为________．10．(2015·天津和平区一模)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2y ＝4t ＋3(t为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离等于________．11．(2015·芜湖市质检)设M 、N 分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22上的动点，则M 与N 的最小距离是________．12．(2015·天津河北区一模)在以O 为极点的极坐标系中，若圆ρ＝2cos θ与直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 相切，且切点在第一象限，则实数a 的值为________．13．(2015·天津红桥区一模)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫m ，π6(m ＞1)到直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3的距离为2，则m 的值为________．14．(2015·郑州市一预)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(1)求圆心的极坐标； (2)求△P AB 面积的最大值．考点37选修4－5不等式选讲两年高考真题演练1．(2015·江苏)解不等式x＋|2x＋3|≥2.2．(2015·陕西)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值．3．(2015·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．4．(2015·新课标全国Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．5．(2014·江苏)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.6．(2014·新课标全国Ⅰ)若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．1．1是关于x 的绝对值，不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·内江四模)若f (x )＝log 13x ，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ，S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，a ，b 为正实数，则R ，S ，T 的大小关系为( ) A ．T ≥R ≥S B ．R ≥T ≥S C ．S ≥T ≥R D ．T ≥S ≥R3．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －a |－|x －4a |(a ＞0)，若对任意x ∈R ，都有f (2x )－1≤f (x )，则实数a 的最大值为( )A.18B.14C.12 D ．14．(2015·淮北模拟)若对任意x ∈[0，5]，不等式1＋m 4x ≤24＋x ≤1＋n5x 恒成立，则一定有( )A ．m ≤12，n ≥－13B ．m ≤－12，n ≥－13 C ．m ≤－12，n ≥13 D ．m ＜－12，n ＞－135．(2015·茂名市二模)不等式|x －2|－|x ＋1|≤1的解集为________． 6．(2015·蚌埠市质检)设m 是实数，若x ∈R ，不等式|x －m |－|x －1|≤1恒成立，求m 的取值范围________．7．(2015·湖南十三校二联)已知函数f (x )＝|x －k |＋|x －2k |，若对任意的x∈R，f(x)≥f(3)＝f(4)都成立，则k的取值范围为________．8．(2015·天津市和平区一模)若不等式2|x|－1＞a(x2－1)时满足－1≤a≤1的所有a都成立，则x的取值范围是________．9．(2015·天津和平区一模)若实数x，y＞0且xy＝1，则x＋2y的最小值是________，x2＋4y2x＋2y的最小值是________．10．(2015·东莞市三模)若关于x的不等式a≥|x＋1|－|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．11．(2015·淮北模拟)已知m，n，x，y均为正实数，且m≠n，则有m2x＋n2y≥（m＋n）2x＋y，当且仅当mx＝ny时等号成立，利用此结论，可求函数f(x)＝43x＋33－x，x∈(0，2)的最小值为________．12．(2015·郑州市一预)已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集；(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．13．(2015·唐山市摸底)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |(m ＞0)． (1)证明：f (x )≥4；(2)若f (2)＞5，求m 的取值范围．参考答案第十一章选修4系列考点35选修4－1几何证明选讲【两年高考真题演练】1．A[由圆的相交弦定理得CM·MD＝AM·MB＝29AB2＝8，CN·NE＝AN·NB＝29AB2＝8，而CN＝3，所以NE＝83，选A.]2．3[连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴OC AD＝OEAE，由切割线定理得CE2＝BE·AE，∴BE(BE＋4)＝12.即BE2＋4BE－12＝0，解得BE＝2(舍负)，∴AD＝OC·AEOE＝2×64＝3.]3.证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.4．(1)证明因为DE为⊙O直径，则∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED，又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA.(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则BABC＝ADCD＝3，又BC＝2，从而AB＝32，所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3，由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3.5．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．【一年模拟试题精练】1．B[在△POD中，∠POD＝120°，OD＝1，OP＝2，故PD2＝OD2＋OP2－2OD·OP cos 120°，PD＝7，由切割线定理：P A 2＝PE ·PD ，得PE ＝377.]2．4π [连接CO 并延长，交于圆O 于点A ，连接AB ， ∵AC 是圆O 的直径，∴∠CBA ＝90°， ∵∠BCD ＝60°，∴∠CAB ＝60°，由AC ＝2R ＝BC sin 60°得：R ＝2，故圆O 的面积为πR 2＝π·4＝4π.]3.57 [∵AE ＝1，AB ＝3，∴BE ＝AB 2－AE 2＝22，由sin ∠F AC ＝sin ∠EAB ＝223＝FCAC ，得AC ＝6，由BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA cos ∠BAC 得BC ＝57.]4．3 12105 [连接OD ，由切割线定理：CD 2＝BC ·AC ，得CD ＝3，cos ∠AOD ＝－cos ∠DOC ＝－45， 由余弦定理：AD 2＝AD 2＋DO 2－2AD ·DO cos ∠ADO 得，AD ＝12105.]5．43 [∵CD ＝AD ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，∴DP ＝4， 又∵∠DAP ＝90°，∴AP ＝DP 2－AD 2＝23，由切割线定理：PC 2＝P A ·PB ＝P A ·(P A ＋AB )，得：AB ＝4 3.] 6．80° [连接BC ，∵∠ACE ＝∠ABC ＝40°，∠ABP ＝90°， ∴∠PBC ＝∠PCB ＝50°， ∴∠P ＝180°－2∠PCB ＝80°.]7.477 [由切割线定理：AC 2＝CM ·CN ，可得CM ＝MN ＝DN ＝2，故DC ＝6，AD ＝CD 2－AC 2＝27，由割线定理：BD ·DA ＝DN ·DM 得BD ＝477.] 8.(1)证明 ∵AB ∥DE ，∴OA OD ＝OBOE ，又OD ＝OE ，∴OA ＝OB . 如图，连接OC 1∵AC ＝CB ，∴OC ⊥AB . 又点C 在⊙O 上，∴直线AB 是⊙O 的切线．(2)解 如图，延长DO 交⊙O 于点F ，连接FC ，由(1)知AB 是⊙O 的切线，∴弦切角∠ACD ＝∠F ， ∴△ACD ∽△AFC ， ∴tan ∠ACD ＝tan ∠F ＝12， 又∠DCF ＝90°，∴CD FC ＝12， ∴AD AC ＝CD FC ＝12，而AD ＝2，得AC ＝4. 又AC 2＝AD ·AF ，∴2·(2＋2r )＝42，于是r ＝3.9．证明 (1)连接BC ，由AB 为⊙O 的直径，所以∠BAC ＋∠CBA ＝90°，又因为∠CAG ＋∠GCA ＝90°，又因为GC 与⊙O 相切于C ，所以∠GCA ＝∠CBA ，所以∠BAC ＝∠CAG .(2)由(1)可知∠EAC ＝∠CAF ，连接CF ，又因为GE 与⊙O 相切于C ，所以∠GCF ＝∠CAG ＝∠EAC ＝∠ECB ，所以∠AFC ＝90°＋∠GCF ＝90°＋∠ECB ＝∠ACE ，所以△AFC ∽△ACE ，所以AC AE ＝AF AC ，所以AC 2＝AE ·AF .考点36 选修4－4坐标系与参数方程【两年高考真题演练】1．x 2＋y 2－2y ＝0 [将极坐标方程ρ＝2sin θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]2．(2，－4) [∵曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，∴曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝－2.曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则其直角坐标方程为y 2＝8x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，解得x ＝2，y ＝－4，即C 1，C 2的交点坐标为(2，－4)．]3．(1，2) [曲线C 1普通方程2x 2＝y ；曲线C 2普通方程x ＝1，联立曲线C 1与曲线C 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此两曲线的交点坐标为(1，2)．]4．x －y －1＝0 [直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －y －1＝0.]5．解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0， 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.6．解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3，0)．7．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 【一年模拟试题精练】1．D [∵x ＝ρcos θ＝5·cos 2π3＝－52，y ＝ρsin θ＝532，∴M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532] 2．C [圆ρ＝2和直线ρ sin θ＝1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4和y ＝1.∵圆心(0，0)到y ＝1的距离为1，∴圆x 2＋y 2＝4被y ＝1截得的弦长为：222－12＝2 3.]3．A [将圆的参数方程化为直角坐标，方程：(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，圆心(－1，1)到y ＝0的距离为1，故截得的劣弧所对圆心角为π2，因此，所截得劣弧长为π2×2＝22π.]4．B [将曲线转化为直角坐标方程x 2＋y 2－6x ＋2y ＋6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝4，易得A ，B 的横坐标，分别为3＋3，3－3，故|AB |＝3＋3－(3－3)＝2 3.]5．C [曲线C 的直角坐标系方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)．圆心(0，2)到(23，2)的距离为23，故切线长为（23）2－22＝2 2.]6．B [曲线C 和直线l 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1和x －y＋5＝0，圆心(1，0)到x －y ＋5＝0的距离，d ＝|1－0＋5|12＋12＝32， 故：|MN |的最小值为d －1＝32－1.]7．43 [直线和圆的直角坐标方程为：x ＋y －22＝0和x 2＋y 2＝16，圆心(0，0)到直线x ＋y －22＝0的距离为： d ＝|0＋0－22|2＝2，故所截弦长为242－22＝4 3.] 8.⎝⎛⎭⎪⎫2，π2 [ρ＝2和ρsin θ＝2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4和y ＝2，其交点坐标为(0，2)，其对应极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2.] 9．ρsin α－1＝0 [点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4的直角坐标为(1，1)， ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，易得过点(1，1)的圆的切线方程为y ＝1，故对应极坐标方程为ρsin α－1＝0.]10．1 [直线l 和圆C 的直角坐标方程为：4x －3y ＋1＝0和(x －1)2＋y 2＝1，故圆心(1，0)到4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1－3×0＋1|5＝1.] 11.2－1 [曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝22的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1和x ＋y －1＝0，圆心(0，－1)到x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0－1－1|2＝2，故M 与N 的最小距离为d －1＝2－1.] 12．1＋2 [圆ρ＝2cos θ和直线ρ(cos θ＋sin θ)＝a 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1和x ＋y －a ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线的距离d ＝|1＋0－a |2＝1，即a ＝1±2，∵切点在第一象限，∴a ＝1＋ 2.]13．5 [点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，12m ， 直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝3的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0. ⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ，12m 到3x ＋y －6＝0的距离⎪⎪⎪⎪⎪⎪3·32m ＋12m －62＝2，得m＝5或m ＝1(舍)．]14．解 (1)圆C 的普通方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y＋1)2＝2.所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4； (2)直线l 的普通方程：22x －y －1＝0，圆心到直线l 的距离 d ＝|22＋1－1|3＝223，所以|AB |＝22－89＝2103，点P 到直线AB 距离的最大值为r ＋d ＝2＋223＝523，S max ＝12×2103×523＝1059.考点37 选修4－5 不等式选讲【两年高考真题演练】1．解 原不等式可化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎨⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13. 2．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.3．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．4．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．5．证明 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0.故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .6．解 (1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26·ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.【一年模拟试题精练】1．B [由|a ≥1|得a ≤－1或a ≥1，因为关于x 的不等式|x |＋|x －1|≤a 有解，而|x |＋|x －1|＝|x |＋|1－x |≥|x ＋1－x |＝1，所以a ≥1，故|a |≥1是关于x 的绝对值不等式|x |＋|x －1|≤a 有解的必要充分条件．]2．A [∵a ，b 为正实数，∴2a ＋b ≤22ab ＝1ab ， 2a ＋b ＝4a 2＋b 2＋2ab ≤2a 2＋b 2≤22a 2b 2＝1ab， ∵f (x )＝log 13x 在(0，＋∞)上为增函数，R ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b ， S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab ，T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋b 2，∴T ≥R ≥S .] 3．B [令F (x )＝f (2x )－f (x )－1＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－1，x ＜a 2，4x －2a －1，a2≤x ＜a ，2x －1，a ≤x ＜2a ，－2x ＋8a －1，2a ≤x ＜4a ，－1，y ≥4a ，其图象如图所示，由题意得，4a －1≤0，即a ≤14.]4．B[令f (x )＝24＋x，其图象如图所示，对∀x ∈[0，5]，1＋m 4x ≤f (x )恒成立，需满足m 4≤f ′(0)，即：m ≤－12，对∀x ∈[0，5]，f (x )≤1＋n 5x恒成立，需满足n 5≥k AB ＝23－15－0， 即n ≥－13.]5．[0，＋∞) [当x ＜－1时，2－x ＋x ＋1＝3＞1，不满足要求． 当－1≤x ≤2时，2－x －x －1＝－2x ＋1≤1，解得x ∈[0，2]， 当x ＞2时，x －2－x －1＝－3≤1恒成立，故x ∈(2，＋∞)满足要求，综上所述x ∈[0，＋∞)．]6．[0，2] [令f (x )＝|x －m |－|x －1|，当m ＝1时，f (x )＝0≤1恒成立，当m ＞1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜1－2x ＋m ＋1，1≤x ≤m ，－m ＋1，x ＞m需满足m －1≤1， 得m ∈(1，2]．当m ＜1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m －1，x ＜m ，2x －m －1，m ≤x ≤1，1－m ，x ＞1，需满足1－m ≤1，得m ∈[0，1)，综上所述，m ∈(0，2]．]7．[2，3] [f (3)＝f (4)，即|3－k |＋|3－2k |－|4－k |－|4－2k |＝0，当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32时，3－k ＋3－2k －4＋k －4＋2k ＝－2≠0，不合要求．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2时，3－k ＋2k －3－4＋k －4＋2k ＝4k －8≠0，不合要求．当k ∈[2，3]时，3－k ＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝0，符合要求． 当k ∈(3，4]时，k －3＋2k －3－4＋k －2k ＋4＝2k －6≠0，不合要求．当k ∈(4，＋∞)时，k －3＋2k －3－k ＋4－2k ＋4＝2≠0，不合要求．故k ∈[2，3]，f (3)＝f (4)＝k ，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3k －2x ， x ＜k k ， k ≤x ≤2k 2x －3k ， x ＞2k当k ∈[2，3]时，f (x )≥k 恒成立， 故k ∈[2，3]．]8．(－2，1－3)∪(3－1，2) [(x 2－1)a ＋1－2|x |＜0，当x 2－1＝0时，即x ＝±1，－1＜0，满足要求．当x 2－1＞0时，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，需满足：(x 2－1)·1＋|－2|x |＜0，解得x ∈(1，2)∪(－2，－1)．当x 2－1＜0时，即x ∈(－1，1)，需满足(x 2－1)·(－1)＋|－2|x |＜0， 解得x ∈(－1，1－3)∪(3－1，1)，综上所述，x ∈(3－1，2)∪(－2，1－3)．]9．22 2 [x ＋2y ≥2x ·2y ＝22，x 2＋4y 2x ＋2y ＝x 2＋4xy ＋4y 2－4xy x ＋2y ＝x ＋2y －4x ＋2y ≥2x ·2y －42x ·2y ＝22－2＝ 2.]10．[－3，＋∞)[令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2，其图象如图所示，若a ≥f (x )存在实数解，则a ∈[－3，＋∞)．]11.259 [f (x )＝43x ＋33－x ＝43x ＋99－3x ＝223x ＋329－3x ≥（2＋3）23x ＋9－3x ＝259，当且仅当23x ＝39－3x ，即：x ＝65∈(－10，2)．]12．解 (1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤1，4－3x ，x ＞1，由f (x )＞2易得不等式解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0； (2)由二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，该函数在x ＝－1时取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1＋m ，x ＜－1－x －3＋m ，－1≤x ≤1－3x ＋m －1，x ＞1在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.13．(1)证明 由m ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －4m ＋|x ＋m |≥ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x －4m ＋x ＋m ＝4m＋m ≥4，当且仅当4m ＝m ， 即m ＝2时取“＝”，所以f (x )≥4.(2)解 f (2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－4m ＋|2＋m |.当4m ＜2，即m ＞2时，f (2)＝m －4m ＋4， 由f (2)＞5，得m ＞1＋172，当4m ≥2，即0＜m ≤2时，f (2)＝4m ＋m ， 由f (2)＞5，0＜m ＜1.综上，m 的取值范围是(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋172，＋∞.。
2019版高考数学(理)一轮复习精选练习：第7章立体几何7-6a
[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →答案 C解析 根据题意得OC →＝12(a －b )，所以OC →，a ，b 共面．故选C. 2．有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 ①正确；②中，若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立；③正确；④中，若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋yMB →不正确．故选B.3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝( )A ．1 B.76 C.56 D.23答案 B解析 ∵AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AD →＋AB →＋CC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝xAB →＋2yBC →－3zCC ′→，∴x ＝1，y ＝12，z ＝－13， ∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76.故选B.4．已知四边形ABCD 满足AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平面四边形D ．空间四边形答案 D解析 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．故选D.5. (2018·北京东城模拟)如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则|PC →|等于()A ．6 2B ．6C ．12D ．144答案 C解析 ∵PC →＝P A →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →， ∴|PC →|2＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144， ∴|PC →|＝12.故选C.6．(2017·舟山模拟)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8答案 A解析 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，|AC 1→|2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5.故选A.7．(2017·南充三模)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列命题： ①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|， 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．①②③ C ．①④ D ．①②④答案A解析 设正方体边长为单位长为1，建立空间直角坐标系，如图． A 1A →＝(0,0,1)，A 1D 1→＝(1,0,0)，A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1C →＝(1,1,1)，AD 1→＝(1,0，－1)，所以对于①，(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝(1,1,1)·(1,1,1)＝3＝3A 1B 1→2，故①正确；对于②，A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，故②正确； 对于③，因为AD 1→·A 1B →＝(1,0，－1)·(0,1,1)＝－1，向量AD 1→与向量A 1B →的夹角为120°，故③错误；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →||AA 1→|·|AD →|，但是|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④错误．故选A.8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，且有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＝2，y ＝－3，z ＝2是P ，A ，B ，C 四点共面的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时， 即OP →＝2OA →－3OB →＋2OC →，则AP →－AO →＝2OA →－3(AB →－AO →)＋2(AC →－AO →)，即AP →＝－3AB →＋2AC →，根据共面向量定理，知P ，A ，B ，C 四点共面；反之，当P ，A ，B ，C 四点共面时，根据共面向量定理AP →＝mAB →＋nAC →，即OP →－OA →＝m (OB →－OA →)＋n (OC →－OA →)， 即OP →＝(1－m －n )OA →＋mOB →＋nOC →，即x ＝1－m －n ，y ＝m ，z ＝n ，这组数显然不止2，－3,2. 故是充分不必要条件．故选B.9．(2018·福州质检)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3，∴|MN →|＝⎝⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a .故选A.10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直答案 B解析 如图所示，在图1中，易知AE ＝CF ＝63，BE ＝EF ＝FD ＝33.在图2中，设AE →＝a ，EF →＝b ，FC →＝c ， 则〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝90°，设〈a ，c 〉＝θ， 则AC →＝a ＋b ＋c ，BD →＝3b ， 故AC →·BD →＝3b 2＝1≠0，故AC 与BD 不垂直，A 不正确；AB →＝AE →＋EB →＝a －b ，CD →＝CF →＋FD →＝b －c ， 所以AB →·CD →＝－a ·c －b 2＝－23cos θ－13.当cos θ＝－12，即θ＝2π3时，AB →·CD →＝0，故B 正确，D 不正确； AD →＝AE →＋ED →＝a ＋2b ，BC →＝BF →＋FC →＝2b ＋c ， 所以AD →·BC →＝a ·c ＋4b 2＝23cos θ＋43＝23(cos θ＋2)， 故无论θ为何值，AD →·BC →≠0，故C 不正确．故选B. 二、填空题11．(2017·银川模拟)已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．答案773解析 设P (x ，y ，z )，∴AP →＝(x －1，y －2，z －1)．PB →＝(－1－x ，3－y ，4－z )，由AP →＝2PB →，得点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3，又D (1,1,1)，∴|PD →|＝773. 12．如图，已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，若P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，则x ＋y ＝________.答案 0解析 P A →－PD →＝DA →＝OA →－OD →＝－OC →－OD →＝－(OC →＋OD →)＝－2OQ →＝－2(PQ →－PO →)＝2PO →－2PQ →.∵P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，∴P A →－PD →＝xPO →＋yPQ →， ∴2PO →－2PQ →＝xPO →＋yPQ →.∵PQ →与PO →不共线，∴x ＝2，y ＝－2，∴x ＋y ＝0.13．已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析 由题意，设OQ →＝λOP →，即OQ →＝(λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，当λ＝43时有最小值，此时Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83. 14．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．答案 25解析 以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AQ 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为2，则E (1,0,0)，F (2,1,0)，M (0，y,2)(0≤y ≤2)．所以AF →＝(2,1,0)，EM →＝(－1，y,2)．所以AF →·EM →＝－2＋y ，|AF →|＝5，|EM →|＝5＋y 2. 所以cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →|＝|－2＋y |5·5＋y 2＝2－y 5·5＋y2. 令2－y ＝t ，则y ＝2－t ，且t ∈[0,2]．所以cos θ＝t 5·5＋(2－t )2＝t 5·9－4t ＋t 2. 当t ＝0时，cos θ＝0.当t ≠0时，cos θ＝15·9t 2－4t ＋1＝15·9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59， 由t ∈(0,2]，得1t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞， 所以 9⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －292＋59≥ 9×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－292＋59＝52. 所以0<cos θ≤25，即cos θ的最大值为25.三、解答题15．(2018·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值；(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解 (1)因为A B →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5. 所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)，设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．16．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值；(3)证明：AA 1⊥BD.解 (1)如图所示，设AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2.a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c＝1＋1＋22－2－2＝2. ∴|AC 1→|＝ 2.即AC 1长为 2.(2)∵AC 1→＝a ＋b ＋c ，A 1D →＝b －c ， ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－b ·c ＋b ·c －c 2 ＝1＋12－22＝－2.又|A 1D →|2＝(b －c )2＝b 2＋c 2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7，∴|A 1D →|＝7.∴cos 〈AC 1→，A 1D →〉＝AC 1→·A 1D →|AC 1→||A 1D →|＝－22×7＝－147. ∴异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.(3)证明：∵AA 1→＝c ，BD →＝b －a ， ∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1－(－1)＝0. ∴AA 1→⊥BD →，即AA 1⊥BD .。
2.2.4 直线的方向向量与法向量(课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)
典例剖析
课本例9 写出满足下列条件的直线的方程： (1)垂直于向量(3，2)并且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2)．
解： （1）(方法一)设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方 向向量(x－2，y－1)垂直于向量(3，2)，则有
(3，2)∙(x－2，y－1) = 3(x－2)＋2(y－1)=0． 整理得一般式方程
当P，Q两点重合时(x－x0，y－y0) = (0，0)是零向量，不是方向向量， 仍与向量(A，B)垂直．
因此，(x－x0，y－y0)，代表了直线l的全体方向向量，它们都与向量 (A，B)垂直．
因此，非零向量(A，B)与直线l垂直．
概念归纳
与直线 l 垂直的非零向量(A，B)称为直线 l 的法向量．
由已知条件可知直线的一个方向向量为AB＝(0－2，－2－3)＝(－2，－5)， 又5×(－2)＋(－2)×(－5)＝0可知直线的一个法向量为(5，－2)．
总结归纳
熟练掌握直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量 的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜 截式或一般式，然后直接写出它的一个方向向量．
适用范围 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线 不表示垂直x轴的直线 即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴 和经过原点的直线
一般式
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
所有直线
新知探究
1.直线的方向向量 本章一开始就用直线的斜率（倾斜程度）来表示直线的方向．那么，
什么叫作直线PQ的方向？
由3×4＋4×(−3)=0得到向量(4，−3)与向量(3，4)垂直．因此(4，−3)是
直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为λ(4，−3) = (4λ，−3λ)，其中
解析几何小题基础练-高考数学重点专题冲刺演练(解析版)
解析几何小题基础练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·福建莆田·统考二模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|=()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据AF中点的横坐标求出A点横坐标，进而由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：F1,0，准线方程为x=-1，设A m,n，则AF中点的横坐标为m+1 2，故m+12=2，解得：m=3，由抛物线的焦半径可知：|AF|=3+1=4.故选：B2.(2023·广东惠州·统考模拟预测)“m>2”是“方程x22-m +y2m+1=1表示双曲线”的( )条件A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用集合法进行求解.【详解】因为方程x22-m+y2m+1=1表示双曲线，所以2-mm+1<0，解得m<-1或m>2.即m∈(-∞,-1)∪(2,+∞).因为(2,+∞)是(-∞,-1)∪(2,+∞)的真子集，所以“m>2”是“方程x22-m+y2m+1=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选：B．3.(2023·浙江·统考一模)设直线y=2x与抛物线y=x-32交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的横坐标是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】直接联立直线方程与抛物线方程，消y整理得x2-8x+9=0，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得解．【详解】联立y=2xy=x-32，消y整理得x2-8x+9=0，则x A+x B=8，所以x M=x A+x B 2=4．故选：B．4.(2023·浙江·校联考模拟预测)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c，若a-c=4，b=6，则C的离心率为()A.512B.35C.513D.1213【答案】C【分析】由a-c=4b=6a2=b2+c2解出a=132,c=52，再由离心率公式计算即可.【详解】由a-c=4b=6a2=b2+c2，解得a=132,c=52，即C的离心率为ca=52×213=513.故选：C5.(2023·江苏·统考一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F c,0，点P，Q在直线x=a2c 上，FP⊥FQ，O为坐标原点，若OP⋅OQ=2OF2，则该椭圆的离心率为()A.23B.63C.22D.32【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式和离心率公式求解.【详解】依题意，设Pa2c,m，Q a2c,n，则FP ⋅FQ =a2c-c2+mn=0，又OP⋅OQ=a2c2+mn=2c2，两式做差可得a2c2-a2c-c2=2c2即2a2=3c2，所以e=ca=63.故选；B6.(2023·广东肇庆·统考二模)已知F为双曲线C:x24-y25=1的左焦点，P为其右支上一点，点A0,-6，则△APF周长的最小值为()A.4+62B.4+65C.6+62D.6+65【答案】B【分析】设双曲线的右焦点为M，由双曲线方程可求出a，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出△APF的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为M，由双曲线的方程可得：a2=4,b2=5，则a=2,b=5,c=3，所以F(-3,0),M(3,0)，且|PF|-|PM|=2a=4，所以|PF|=|PM|+4，△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+∣AF=PA+PM+4+35≥AM+4+35=4+65，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则△APF周长的最小值为4+65．故选：B．7.(2023·广东佛山·统考一模)已知双曲线C的中心位于坐标原点，焦点在坐标轴上，且虚轴比实轴长.若直线4x+3y-20=0与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为()A.54B.43C.53D.74【答案】C【分析】根据条件得到渐近线方程为y=±34x，分类讨论双曲线焦点在x轴和y轴的情况，求出e即可.【详解】解：根据渐近线与直线4x+3y-20=0垂直可得渐近线方程为y=±34 x，当双曲线的焦点在x轴上时渐近线为y=±bax，即ba=34，因为双曲线的虚轴比实轴长，故不符合题意，舍去，当双曲线的焦点在y轴上时渐近线为y=±abx，即ab=34，满足虚轴比实轴长，所以a b=ac 2-a 2=1e 2-1=34，解得e =53或e =-53(舍去)，所以e =53.故选：C ．8.(2023·江苏常州·校考一模)设点A -2,3 ,B 0,a ，若直线AB 关于y =a 对称的直线与圆(x +3)2+(y +2)2=1有公共点，则a 的取值范围是()A.13,32B.-∞,13 ∪32+∞ C.12,1 D.-∞,12 ∪1+∞【答案】A【分析】根据直线关于直线的对称性求出直线AB 关于y =a 对称的直线方程，结合直线与圆的位置关系计算即可求解.【详解】由题意知，直线AB 的斜率为k AB =a -32，所以直线AB 关于y =a 对称的直线的斜率为k =3-a2，故对称直线的方程为y -a =k (x -0)，即(3-a )x -2y +2a =0，由(x +3)2+(y +2)2=1知，圆心为(-3,-2)，半径为1，因为对称直线与圆有公共点，所以3(a -3)+4+2a4+(3-a )2≤1，整理，得6a 2-11a +3≤0，解得13≤a ≤32，即实数a 的取值范围为13,32.故选：A .二、多选题9.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知双曲线x 2-y 23=1的右顶点为A ，右焦点为F ，双曲线上一点P 满足PA =2，则PF 的长度可能为()A.2B.3C.4D.5【答案】AB【分析】设P x ,y ，根据点P 在双曲线上且PA =2，则可求得x 的值，从而可求得y 的值，进而可求得PF 的长度．【详解】设P x ,y ，则y 2=3x 2-1 ，A 1,0 ，F 2,0 ，则PA =(x -1)2+y 2=2，得x =-1或32，当x =-1时，P -1,0 ，此时PF =3，当x=32时，y2=154，此时PF=32-22+154=2．故选：AB．10.(2023·山东枣庄·统考二模)已知曲线C1：5x2+y2=5，C2：x2-4y2=4，则()A.C1的长轴长为5B.C2的渐近线方程为x±2y=0C.C1与C2的离心率互为倒数D.C1与C2的焦点相同【答案】BC【分析】将曲线C1，C2化为标准方程，可知分别表示椭圆与双曲线，结合它们的几何性质逐项判断即可．【详解】曲线C1:5x2+y2=5整理得y25+x2=1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a21=5,b21=1，所以c21=a21-b21=4，离心率为e1=c1a1=25=255，故曲线C1的长轴长2a1=25，故A错误；曲线C2:x2-4y2=4整理得x24-y2=1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中a22=4,b22=1，所以c22=a22+b22=5，离心率为e2=c2a2=52，C2的渐近线方程为y=±12x，即x±2y=0，故B正确；e1⋅e2=255×52=1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确；C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误．故选：BC.11.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若椭圆x2m2+2+y2m2=1(m>0)的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有()A.5B.7C.2D.2【答案】BCD【分析】讨论两顶点的位置，由椭圆的性质结合勾股定理求解.【详解】由题意可知，a=m2+2,b=m2=m，若这两个顶点为长轴的两个端点时，2m2+2=4,m=2；若这两个顶点为短轴的两个端点时，2m=4,m=2；若一个顶点短轴的端点，另一个为长轴的端点时，m2+2+m2=4,m=7；故选：BCD12.(2023·湖北·校联考模拟预测)已知F1,F2是椭圆E:y24+x23=1的两个焦点，点P在椭圆E上，则A.点F 1,F 2在x 轴上B.椭圆E 的长轴长为4C.椭圆E 的离心率为12D.使得△F 1PF 2为直角三角形的点P 恰有6个【答案】BC【分析】根据椭圆的方程可判断椭圆焦点的位置，以及求出长轴的长，计算出离心率，判断A ，B ，C ；结合向量的坐标运算判断∠F 1MF 2为锐角，根据椭圆对称性可判断D .【详解】由题意E :y 24+x 23=1的长半轴长a =2，短半轴长b =3，焦半距c =1，椭圆E :y 24+x 23=1的焦点在y 轴上，A 错误；椭圆E 的长轴长为2a =4，B 正确；椭圆E 的离心率为c a =12，C 正确；椭圆的右顶点M (3,0)，焦点F 1(0,-1),F 2(0,1)，所以MF 1 =(-3,-1),MF 2 =(-3,1),cos ‹MF 1 ,MF 2 ›=MF 1 ⋅MF 2MF 1 ⋅MF 2=12>0，则‹MF 1 ,MF 2 ›∈0,π2，即∠F 1MF 2为锐角，故根据椭圆的对称性可知，使得△F 1PF 2为直角三角形的点P 恰有4个(以F 1或F 2为直角)，D 错误．故选：BC ．13.(2023·湖南长沙·统考一模)已知双曲线的方程为y 264-x 216=1，则()A.渐近线方程为y =±12xB.焦距为85C.离心率为52 D.焦点到渐近线的距离为8【答案】BC【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在y 轴上，利用公式求出渐近线方程；B 选项，求出c =45，得到焦距；C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】y 264-x 216=1焦点在y 轴上，故渐近线方程为y =±a b x =±2x ，A 错误；c 2=64+16=80，故c =45，故焦距为85，B 正确；离心率为c a =458=52，C 正确；焦点坐标为0,±45 ，故焦点到渐近线y =±2x 的距离为±454+1=4，D 错误.14.(2023·湖南·模拟预测)已知圆C 1：x -1 2+y -3 2=12与圆C 2：x +1 2+y -m 2=4，则下列说法正确的是()A.若圆C 2与x 轴相切，则m =±4B.直线kx -y -2k +1=0与圆C 1始终有两个交点C.若m =-3，则圆C 1与圆C 2相离D.若圆C 1与圆C 2存在公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x +6-2m y +m 2+2=0【答案】BC【分析】选项A ：若圆C 2与x 轴相切，则m 等于圆的半径；选项B ：直线恒过定点2,1 ，点2,1 在圆C 1内部，故直线与圆C 1始终有两个交点；选项C ：利用圆心距与半径之和的关系，判断两圆是否外离；选项D ：若圆C 1与圆C 2有公共弦，联立两个圆的方程可得公共弦所在的直线方程为．【详解】对于选项A ：圆C 2：x +1 2+y -m 2=4，半径为2，若圆C 2与x 轴相切，则m =±2，故A 错误；对于选项B ：直线kx -y -2k +1=0，即y -1=k x -2 ，恒过定点2,1 ，又由2-1 2+1-3 2=5<12，则点2,1 在圆C 1内部，故直线kx -y -2k +1=0与圆C 1始终有两个交点，故B 正确；对于选项C ：若m =-3，圆C 2为x +1 2+y +3 2=4，其圆心为-1,-3 ，半径r =2，圆C 1：x -1 2+y -3 2=12，其圆心为1,3 ，半径R =23，圆心距d =C 1C 2 =4+36=210>R +r ，两圆外离，故C 正确；对于选项D ：若圆C 1与圆C 2有公共弦，联立两个圆的方程可得4x +6-2m y +m 2-1=0即公共弦所在的直线方程为4x +6-2m y +m 2-1=0，故D 错误．故选：BC ．15.(2023·广东江门·统考一模)已知曲线C :x 2sin α+y 2cos α=10≤α<π ，则下列说法正确的是()A.若曲线C 表示两条平行线，则α=0B.若曲线C 表示双曲线，则π2<α<πC.若0<α<π2，则曲线C 表示椭圆 D.若0<α<π4，则曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆【答案】BD【分析】根据曲线的形状求出参数α的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，若曲线C 表示两条平行线，则有sin α=0或cos α=0，且0≤α<π.若sin α=0，则α=0，此时曲线C 的方程为y 2=1，可得y =-1或y =1，合乎题意，若cos α=0，则α=π2，此时曲线C 的方程为x 2=1，可得x =-1或x =1，合乎题意，故A 错；对于B 选项，若曲线C 表示双曲线，则sin αcos α<0，由于0≤α<π且sin α≠0，则sin α>0，可得cos α<0，则π2<α<π，B 对；对于C 选项，若曲线C 表示椭圆，则sin α>0cos α>00≤α<πsin α≠cos α ，解得0<α<π2且α≠π4，C 错；对于D 选项，若0<α<π4，则0<sin α<cos α，则1sin α>1cos α>0，曲线C 的方程可化为x 21sin α+y 21cos α=1，此时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，D 对.故选：BD .16.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知圆O 1:(x -1)2+y 2=4，圆O 2:(x -5)2+y 2=4m ，下列说法正确的是()A.若m =4，则圆O 1与圆O 2相交B.若m =4，则圆O 1与圆O 2外离C.若直线x -y =0与圆O 2相交，则m >258D.若直线x -y =0与圆O 1相交于M ，N 两点，则|MN |=142【答案】AC【分析】根据直线与圆相交、圆与圆位置关系逐项判断即可.【详解】解：圆O 1:(x -1)2+y 2=4的圆心O 11,0 ，半径r 1=2若m =4，O 2:(x -5)2+y 2=16，则圆心O 25,0 ，半径r 2=4，则O 1O 2=4,r 1+r 2=6,r 1-r 2 =2，所以r 1-r 2 <O 1O 2<r 1+r 2，则圆O 1与圆O 2相交，故A 正确，B 错误；若直线x -y =0与圆O 2相交，则圆心O 25,0 到直线x -y =0的距离d =5-02<4m ，解得m >258，故C 正确；若直线x -y =0与圆O 1相交于M ，N 两点，则圆心O 11,0 到直线x -y =0的距离d =1-02=22，所以相交弦长MN =2r 21-d 2=24-222=14，故D 错误.故选：AC .三、填空题17.(2023·山东青岛·统考一模)已知O 为坐标原点，在抛物线y 2=2px p >0 上存在两点E ，F ，使得△OEF 是边长为4的正三角形，则p =．【答案】3 3【分析】根据抛物线的对称性以及边长可得E23,2，进而代入抛物线方程即可求解.【详解】根据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E,F关于坐标轴x对称，由EO=4,∠AOx=30°，所以E23,2,将E23,2代入可得4=43p⇒p=3 3，故答案为：3 318.(2023·浙江·统考一模)已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2-y2=1a>0的左右焦点，且C上存在点P使得PF1=4PF2，则a的取值范围是．【答案】34,+∞【分析】根据双曲线的定义结合条件可得PF1=8a3，PF2=2a3，进而可得103a≥2a2+1，即得.【详解】因为PF1=4PF2，双曲线C:x2a2-y2=1a>0，又PF1-PF2=2a，所以PF1=8a3，PF2=2a3，又103a=PF1+PF2≥F1F2=2c=2a2+1，解得a≥3 4，即a的取值范围是34,+∞.故答案为：34,+∞.19.(2023·浙江温州·统考二模)已知抛物线y2=4x和椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且抛物线的焦点F也是椭圆的焦点，若直线AB过点F，则椭圆的离心率是．【答案】2-1##-1+2【分析】由题意可判断AB为抛物线和椭圆的通径，通过通径的公式可求出a、c的值，进而求出椭圆的离心率.【详解】显然c =p2=1，由对称性易知AB 为双通径，所以4=2b 2a ⇒b 2=2a ⇒a 2-c 2=2a ⇒a 2-2a -1=0⇒a =1+2，所以e =c a =11+2=2-1．故答案为：2-1.20.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)直线y =23x 与双曲线x 2a2-y 28=1(a >0)相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的横坐标之积为-9，则离心率e =.【答案】213##1321【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a ，进一步求出离心率【详解】由A ，B 两点在直线y =23x 上，设A x 0,23x 0 (x 0>0)，因为A ，B 两点关于原点对称，所以B -x 0,-23x 0 ，由A ，B 两点的横坐标之积为-9得x 0×(-x 0)=-9，解得x 0=3，所以A 3,2 ，代入双曲线方程得9a2-48=1，所以a =6，所以c =a 2+b 2=14，所以离心率为ca=146=213.故答案为：21321.(2023·江苏泰州·统考一模)已知圆O :x 2+y 2=r 2(r >0)，设直线x +3y -3=0与两坐标轴的交点分别为A ,B ，若圆O 上有且只有一个点P 满足AP =BP ，则r 的值为.【答案】12##0.5【分析】根据AP =BP 可得P 在AB 的垂直平分线上，且垂直平分线与圆相切可求解.【详解】A 3,0 ,B 0,1 ,PA =PB ,∴P 在AB 的垂直平分线上，k AB =-33,所以中垂线的斜率为3，AB 的中点为32,12，由点斜式得y -12=3x -32，化简得y =3x -1，P 在圆O :x 2+y 2=r 2满足条件的P 有且仅有一个，∴直线y =3x -1与圆相切，∴r =d =13+1=12，故答案为:12.22.(2023·江苏·统考一模)已知圆C :x 2-2x +y 2-3=0，过点T 2,0 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，点P 在圆C 上，若CP ∥AB ，PA ⋅PB =12，则AB =【答案】15【分析】根据向量的加减法运算可得PA ⋅PB =PD 2-AB 24，再根据圆的性质可得PD 2=PC 2+CD 2=PC 2+AC 2-AB 24即可求解.【详解】易知圆心1,0 ，半径r =2，取AB 中点D ，则CD ⊥AB ，因为PD =12(PA +PB ),AB =PB -PA ，所以PD 2-14AB 2=14(PA +PB )2-14(PB -PA )2=PA ⋅PB ，所以PA ⋅PB =PD 2-AB 24，则PD 2=AB 24+12，又PD 2=PC 2+CD 2=PC 2+AC 2-AB 24，所以AB 24+12=PC 2+AC 2-AB 24即AB 2=15，故AB =15.故答案为:15.23.(2023·江苏·统考一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点Р是其准线上一点，过点P 作PF 的垂线，交y 轴于点A ，线段AF 交抛物线于点B .若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为.【答案】3【分析】根据题意分别设出点B ,P ,A 的坐标，根据AP ⊥PF 可建立变量之间的等式，再根据A 、B 、F 在一条直线上，可再建立一个等式，两等式联立求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求得结果.【详解】解：因为抛物线y 2=4x ，所以F 1,0 ，根据题意不妨设B m 24,m ，P -1,m ，A 0,n ，因为AP ⊥PF ，所以AP ⋅PF =0，即1,n -m ⋅2,-m =0，解得2-mn +m 2=0，即2=m n -m ①，因为A 、B 、F 三点共线，所以k AF =k BF ，即n -1=mm 24-1，即m 2n -4n +4m =0，即m 2n =4n -m ②，①除以②可得，2m 2n=m 4，即m 3n =8，即n =8m 3，将n =8m 3代入①中可得2-8m2+m 2=0,即m 4+2m 2-8=0，解得m 2=-4(舍)或m 2=2，所以m =±2，代入n =8m3中可得n =±22，所以AF =1+n 2=3.故答案为：324.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知圆M 满足与直线l :x -6=0和圆N :x -1 2+y -2 2=9都相切，且直线MN 与l 垂直，请写出一个符合条件的圆M 的标准方程．【答案】x -5 2+y -2 2=1(答案不唯一)【分析】不妨设圆M 与圆N 外切，根据直线MN 与l 垂直，可得圆M 的纵坐标，由两圆的位置关系列出横坐标和半径的等量关系，求解可得圆M 的一个方程.【详解】由条件可知：直线x =6与圆N 相离，不妨设圆M 与圆N 外切，设M a ,b ，半径为r ，因为直线MN 与l 垂直，所以b =2，则有r =6-a a -1=r +3 ，解得：a =5b =2r =1，所以圆M 的标准方程为：x -5 2+y -2 2=1.故答案为：x -5 2+y -2 2=125.(2023·湖北·校联考模拟预测)过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的射线与抛物线交于点A ，与准线交于点B ，若|AF |=2,|BF |=6，则p 的值为.【答案】3【分析】作出辅助线，结合焦半径公式和AMDF =AB BF 求出答案.【详解】过点A 作AM ⊥准线于点M ，则AM =AF =2，∵|AF |=2,|BF |=6，∴|AB |=4，由AM ⎳DF 可得：AM DF =AB BF ，即2p =46，解得：p =3，故答案为：326.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)若两条直线l 1:y =3x +m ,l 2:y =3x +n 与圆x 2+y 2+3x +y +k =0的四个交点能构成矩形，则m +n =.【答案】8【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线l 1,l 2平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，由圆x 2+y 2+3x +y +k =0的圆心为：-32,-12 ，圆心到l 1:y =3x +m 的距离为：d 1=3×-32 --12 +m10=m -410，圆心到l 2:y =3x +n 的距离为：d 2=3×-32 --12 +n 10=n -4 10，所以m -4 10=n -410⇒m -4 =n -4 ，由题意m ≠n ，所以m -4=4-n ⇒m +n =8，故答案为：8.27.(2023·广东茂名·统考一模)过四点-1,1 、1,-1 、2,2 、3,1 中的三点的一个圆的方程为(写出一个即可).【答案】x -1 2+y -1 2=4(答案不唯一)【分析】利用圆的一般式方程求过三点的圆.【详解】过-1,1 ，1,-1 ，3,1 时，设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则2-D +E +F =02+D -E +F =010+3D +E +F =0 ，解得D =-2E =-2F =-2，圆的方程是：x 2+y 2-2x -2y -2=0，即x -1 2+y -1 2=4；同理可得：过1,-1 、2,2 、3,1 时，圆的方程是：x -32 2+y -122=52；过-1,1 ，1,-1 ，2,2 时，圆的方程是：x -34 2+y -34 2=5016；过-1,1 ，2,2 ，3,1 时，圆的方程是：x -1 2+y 2=5.故答案为：x -1 2+y -1 2=4.(x -1 2+y -1 2=4、x -32 2+y -12 2=52、x -34 2+y -34 2=5016、x -1 2+y 2=5写其中一个即可)28.(2023·广东·统考一模)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的边AB 所在直线斜率为23，则边AC 所在直线斜率的一个可能值为.【答案】-335或37【分析】由等边三角形的性质和直线的倾斜角与斜率的关系以及两角和与差的正切公式，得出边AC 所在直线斜率.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，由已知得k AB =tan α=23，设直线AC 的倾斜角为θ，则k Ac =tan θ，因为在等边三角形ABC 中，∠BAC =60°，所以θ=α±60°，当θ=α+60°，tan θ=tan (α+60°)=tan α+tan60°1-tan αtan60°=23+31-23×3=-335，所以k AC =tan θ=-335当θ=α-60°，tan θ=tan (α-60°)=tan α-tan60°1+tan αtan60°=23-31+23×3=37，所以k AC =tan θ=37综上，k AC =-335或k AC =37，故答案为：-335或3729.(2023·广东·统考一模)已知动圆N 经过点A -6,0 及原点O ,点P 是圆N 与圆M :x 2+(y -4)2=4的一个公共点,则当∠OPA 最小时,圆N 的半径为.【答案】5【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时∠OPA 最小,根据位置关系可得圆N 的半径.【详解】如图:记圆N 半径为R ,∠OPA =θ,则∠ANO =2θ,∠BNO =θ,所以sin ∠OPA =sin ∠BNO =BOON =3R,当∠OPA 最小时,R 最大,此时两圆内切.由已知设动圆N 的圆心为N -3,t ,又圆心M 0,4 可得R -2=MN即(-3-0)2+(t -0)2-2=(-3-0)2+(t -4)2,解得t =4,所以R =5,即圆N 的半径为5.故答案为:5.30.(2023·浙江温州·统考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，点M 在C 上，且MF 1 ⋅MF 2 的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为．【答案】22##122.【分析】先结合椭圆的定义表示出MF 1 ⋅MF 2 =MF 1 2a -MF 1 ，化简后结合MF 1 的范围可求出MF 1 ⋅MF 2 的最值，然后列方程可表示出a ,c 的关系，从而可求出椭圆的离心率.【详解】因为MF 1 +MF 2 =2a ，所以MF 1 ⋅MF 2 =MF 1 2a -MF 1 =-MF 1 2+2a MF 1 =-MF 1 -a 2+a 2，所以当MF 1 =a 时，MF 1 ⋅MF 2 取得最大值a 2，因为MF 1 =[a -c ,a +c ]，所以MF 1 ⋅MF 2 的最小值为-c 2+a 2=b 2，因为MF 1 ⋅MF 2 的最大值是它的最小值的2倍，所以a 2=2b 2，所以c 2=a 2-b 2=b 2，所以a =2b ,c =b ，所以椭圆的离心率为e =c a =b 2b =22，故答案为：22.。
第7章 平面直角坐标系【真题模拟练】(原卷版)七年级数学下册单元复习(人教版)
第7章平面直角坐标系真题模拟练（时间：90分钟，分值：100分）一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）P x+，3)-所在的象限是() 1．（3分）（2020•扬州）在平面直角坐标系中，点2(2A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）（2021•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中(1,1)D，C-，(3,1)B--，(3,2)A-，(1,2)一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A B C D A→→→→循环爬行，问第2021秒瓢虫在()处．A．(3,1)B．(1,2)---C．(1,2)-D．(3,2)3．（3分）（2021•海南）如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，若点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，则点C的坐标是()A．(2,2)B．(1,2)C．(1,1)D．(2,1)4．（3分）（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（-2，-3），则点B（-2，3）的对应点B'的坐标为（）A．（6，1）B．（3，7）C．（-6，-1）D．（2，-1）5．（3分）（2020•宜昌）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是()A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列6．（3分）（2021•日照）在平面直角坐标系中，把点P（-3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（）A．（-5，2）B．（-1，4）C．（-3，4）D．（-1，2）7．（3分）（2020•台湾）已知小薇住家的西方100公尺处为车站，住家的北方200公尺处为学校，且从学校往东方走100公尺，再往南走400公尺可到达公园．若小薇将住家、车站、学校分别标示在坐标平面上的(2,0)、(0,0)、(2,4)三点，则公园应标示在此坐标平面上的哪一点？()A．(4,4)-D．(0,12) -B．(4,12)C．(0,4)8．（3分）（2021•台湾）如图的坐标平面上有A、B、C、D四点．根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限()A．A B．B C．C D．D9．（3分）（2020•邵阳）已知0a b+>，0ab>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是()A．(,)--D．(,)a b-a b-C．(,)a ba b B．(,)10．（3分）（2020•毕节市）在平面直角坐标系中，第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为5，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是()A ．(5,4)B ．(4,5)C ．(4,5)-D ．(5,4)-11．（3分）（2020•滨州）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为()A ．(4,5)-B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-12．（3分）（2021•遵义）数经历了从自然数到有理数，到实数，再到复数的发展过程，数学中把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，用z a bi =+表示，任何一个复数z a bi =+在平面直角坐标系中都可以用有序数对(,)Z a b 表示，如：12z i =+表示为(1,2)Z ，则2z i =-可表示为()A ．(2,0)Z B ．(2,1)Z -C ．(2,1)Z D ．(1,2)Z -二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）13．（3分）（2021•大连）在平面直角坐标系中，将点(2,3)P -向右平移4个单位长度，得到点P '，则点P '的坐标是．14．（3分）（2021•山西）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A ，B 两点的坐标分别为(2,2)-，(3,0)-，则叶杆“底部”点C 的坐标为．15．（3分）（2020•金华）点(,2)P m 在第二象限内，则m 的值可以是（写出一个即可）．16．（3分）（2020•泰州）以水平数轴的原点O 为圆心，过正半轴Ox 上的每一刻度点画同心圆，将Ox 逆时针依次旋转30︒、60︒、90︒、⋯、330︒得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为(5,0)︒、(4,300)︒，则点C 的坐标表示为．17．（3分）（2021•西宁）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是(2,1)-，若//AB y 轴，且9AB =，则点B 的坐标是．18．（3分）（2020•威海）如图①，某广场地面是用A ，B ，C 三种类型地砖平铺而成的．三种类型地砖上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块(A 型）地砖记作(1,1)，第二块(B 型）地砖记作(2,1)⋯若(,)m n 位置恰好为A 型地砖，则正整数m ，n 须满足的条件是．19．（3分）（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P 从原点O 出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点1(1,1)P --；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点2P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点3P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点4P ，⋯，按此作法进行下去，则点2021P 的坐标为．20．（3分）（2021•潍坊）在直角坐标系中，点1A从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：2(1,0)A，3(1,1)A，4(1,1)A-，5(1,1)A--，6(2,1)A-，7(2,2)A，⋯．若到达终点(506,505)nA-，则n的值为．三、解答题（共6小题，满分40分）21．（6分）（2011•安徽）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：1(A，)，3(A，)，12(A，)；（2）写出点4nA的坐标(n是正整数）；（3）指出蚂蚁从点100A 到101A 的移动方向．22．（6分）（2010•杭州）常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在44⨯个边长为1的正方形组成的方格中，标有A ，B 两点．请你用两种不同方法表述点B 相对点A 的位置．23．（6分）（2000•海淀区）在平面直角坐标系内，已知点(12,2)A k k --在第三象限，且k 为整数，求k 的值．24．（6分）（2012•黄冈）在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标是(2,3)A -，(4,1)B --，(2,0)C ，将ABC ∆平移至△111A B C 的位置，点ABC 的对应点分别是111A B C ，若点1A 的坐标为(3,1)．求点1C 的坐标．25．（8分）（2007•广安）广安市旅游事业蓬勃发展，被评为“全国优秀旅游城市”，下图是该市部分旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度）．请以图中某个景点为坐标原点建立适当的直角坐标系，并在图中用坐标表示这些景点的位置．26．（8分）（2010•河源）在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(,2)a a -．（1）当1a =-时，点M 在坐标系的第象限；（直接填写答案）（2）将点M 向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N ，当点N 在第三象限时，求a 的取值范围．。
2019全国Ⅰ高考理科数学试题真题答案精编版共12页
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A. {|0}A B x x =<IB. A B =R UC. {|1}A B x x =>UD. A B =∅I2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B. π8 C. 12 D. π43.设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.168.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A.A >1000和n =n +1B.A >1000和n =n +2C.A ≤1000和n =n +1D.A ≤1000和n =n +29.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线C 210.已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 11.设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们退出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440B.330C.220D.110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第四章第03讲 探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版7年级下册
第03讲探究三角形全等的条件(6类热点题型讲练)1．理解和掌握全等三角形判定方法“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”定理.2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.知识点01全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS ﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.特别说明：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .（4）判定定理4：AAS ﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（可以写成“角角边”或“AAS ”）特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点02全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．知识点03全等三角形的应用（1）全等三角形的性质与判定综合应用用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．（2）作辅助线构造全等三角形常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．（3）全等三角形在实际问题中的应用一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．题型01三角形的稳定性及应用【例题】（2024上·广西南宁·八年级统考期末）如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（）A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于180【变式训练】1．（2023上·河北沧州·八年级统考期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）周日，小乔在家帮妈妈打扫卫生，为方便拆取窗帘，他拿来一个人字梯，并且在人字梯的中间绑了一条结实的绳子，如图所示，请问小乔这样做的道理是（）A ．两点之间，线段最短C ．三角形具有稳定性3．（2024上·湖北省直辖县级单位角形，这样做的数学依据是题型02用SSS 证明两三角形全等【例题】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，点B EC F ，，，在一条直线上，AB DF AC DE BE CF ===，，，求证：ABC DFC △≌△．【变式训练】1．（2023·云南·统考中考真题）如图，C 是BD 的中点，,AB ED AC EC ==．求证：ABC EDC △≌△．2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知90E F ∠=∠=︒，点B C ，分别在AE AF ，上，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)求证：DE DF =．题型03用ASA 证明两三角形全等【例题】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，BC EF ∥，点C ，点F 在AD 上，AF DC =，A D ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△．【变式训练】1．（2023·校联考一模）如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，若AD BE =，A EDF ∠=∠，.E ABC ∠=∠求证：AC DF =．2．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，在ABC 和ECD 中，90ABC EDC ∠=∠=︒，点B 为CE 中点，BC CD =．(1)求证：ABC ECD ≌△△．(2)若2CD =，求AC 的长．题型04用AAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东汕头·广东省汕头市聿怀初级中学校考三模）如图，点E 在ABC 边AC 上，AE BC =，BC AD ∥，CED BAD ∠=∠．求证：ABC DEA△△≌【变式训练】1．（2023·浙江温州·统考二模）如图，AB BD =，DE AB ∥，C E ∠=∠．(1)求证：ABC BDE ≅ ．(2)当80A ∠=︒，120ABE ∠=︒时，求EDB ∠的度数．2．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点C 是线段AB 上一点，DCE A B ∠∠∠==，CD CE =．(1)求证：ACD BEC △≌△；(2)求证：AB AD BE =+．题型05用SAS 证明两三角形全等【例题】（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，已知OA OC =，OB OD =，AOB COD ∠=∠．求证：AOB COD ≌△△．【变式训练】1．（2023·吉林松原·校联考三模）已知，如图，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AC 、DF 相交于点G ，AB BE ⊥，垂足为B ，DE BE ⊥，垂足为E ，且AB DE =，BF CE =．求证：ABC DEF ≌△△．2．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考期中）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC DF ∥，AC DF =，BE CF =．求证：ABC DEF ≌△△．题型06添加条件使两三角形全等【例题】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【变式训练】1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，点,,,B F C E 在一条直线上，已知,==BF CE AC DF ，请你添加一个适当的条件_________使得ABC DEF ≌△△．（要求不添加任何线段）2．（2023·北京大兴·统考二模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AC DF ∥，BE CF =，只需添加一个条件即可证明ABC DEF ≌△△，这个条件可以是________（写出一个即可）．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知90A D ∠=∠=︒，要使用“HL ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________；要使用“AAS ”证明ABC DCB △≌△，应添加条件：_______________________．一、单选题1．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）巴东长江大桥全长2.1公里，位于长江水道之上，是连接巴东县南北两岸的重要通道．如图，这是大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥中运用的数学原理是（）A ．三角形的内角和为180︒B ．三角形的稳定性C ．两点之间线段最短D ．垂线段最短2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA3．（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）在下列条件中，不能作为判断ABC DEF ≌△△的条件是（）A ．,,AB DE BC EF C F==∠=∠B ．,,AB DE AC DF A D ==∠=∠C ．,,AB DE AC DF BC EF ===D ．,,A D B E AC DF∠=∠∠=∠=4．（2024上·山东烟台·七年级统考期末）如图，ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，CD AD ⊥于点D ，BE AD⊥于点E ，若74CD BE ==，，则DE 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．75．（2024上·海南儋州·八年级统考期末）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙24cm AD =，12cm CE =．木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B 在DE 上，点A 和C 分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE 为（）A ．48cmB ．42cmC ．38cmD ．36cm二、填空题8．（2024上·山东滨州·八年级统考期末）BB '可以绕着O 点转动，就做成了一个测量工具，那么判定OAB 和OA B ''△全等的依据为9．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校社团组织了一次测量探究活动，测量校园内的小河的宽度，如图所示，小东和小颖在河对岸选定一个目标点别与河岸垂直且A 、C 、E三、解答题11．（2024上·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A 、C 、D 、B 在同一条直线上，点E 、F 分别在直线AB 的两侧，AE BF =，CE DF =，AD BC =．(1)求证：ACE BDF V V ≌．(2)若55CDF ∠=︒，求ACE ∠的度数．12．（2023上·四川巴中·八年级统考期末）如图，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BE CD =，BD 与CE 交于点O ．(1)求证：COD BOE ≌△△；(2)若2CD =，5AE =，求AC 的长．13．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在ABC 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于点F ，F 是AC 的中点，AB ∥CD ．(1)求证：AEF CDF △≌△；(2)若107AB CD ==，，求BE 的长．14．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD 中，AB CD ，12∠=∠，DB DC =，DBC DCB ∠=∠．(1)求证：ABD EDC △≌△；(2)若135A ∠=︒，30BDC ∠=︒，求BCE ∠的度数．15．（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）如图，,,A D B E AF CD ∠∠∠∠===．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若20A ∠=︒，75E ∠=︒，求BCF ∠的度数．16．（2023上·甘肃武威·八年级校考期中）如图，在ABC 中，D 是BC 边上的一点，AB DB =，BE 平分ABC ∠，交AC 边于点E ，连接DE ．(1)求证：ABE DBE △≌△；(2)若100A ∠=︒，50C ∠=︒，求DEC ∠的度数．17．（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B F C E 、、、在直线l 上（点F 、C 之间的距离为池塘的长度），点A 、D 在直线l 的异侧，且AB DE ∥，A D ∠=∠，测得AB DE =．(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)若120m BE =，38m BF =，求池塘FC 的长度．18．（2023上·广西来宾·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)求证：CB CD =；(2)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(3)猜想DAB ∠，ECF ∠，DFC ∠三者之间的数量关系，并证明你的猜想．。
3.2抛物线的简单几何性质2024-2025学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
例 2 已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)，过点(2，0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，O
为坐标原点，且―O→A ·―O→B ＝2.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)点 M 坐标为(－2，0)，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k11＋k12为定值．
解：(1)设 l 的方程为 x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， (2)证明：因为 M 坐标为(－2，0)，
(1)求p
（2）若点p在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，
PAB面积的最大值
y
x 2
1x 2 4y
x0
y 0
得 x2 2x0x 4 y0
0
4x02
16 y0
由韦达定理可得 xA xB 2x0, xAxB 4 y0
AB 1 K 2AB
(xA xB )2 4xAxB
＝y21y2＋y22y1＋y1y22（y1＋y2）＝（y1y2＋2y）1y（2 y1＋y2）， 由(1)可得 y1＋y2＝m，y1y2＝－2，
所以 p＝12，所以抛物线 C 的方程为 y2＝x.
所以k11＋k12＝0 为定值．
背景分析 题目展示 解法分析 拓展延伸 大胆猜想 感悟数学
定量到定性分析 数形结合思想 遵循逻辑推理
背景分析 题目展示 解题思路 大胆猜想 拓展延伸 感悟数学
本题中，1、过抛物线x2 2 py 外点 x0, y0 抛物线切点弦方程：x x0 p( y0 y)
过椭圆
外点 x2
a2
y2 b2
1
x0, y0
椭圆切点弦方程：xa02x
y0 y b2
1
过圆 x2 y2 r2 外点 x0, y0 切点弦方程：x0 x y0 y r 2
第16练必修下册《登岳阳楼》《桂枝香 金陵怀古》《念奴娇 过洞庭》2024年高考语文古诗文名句原卷版
统编版高中语文必背古诗文60篇默写每日一练第16练《登岳阳楼》《桂枝香·金陵怀古》《念奴娇·过洞庭》一、易错字填空《登岳阳楼》(杜甫)昔闻洞庭水，今上岳阳楼。
吴楚东南（），乾坤日夜（）。
亲朋无一字，老病有孤舟。
戎马关山北，凭轩（）（）流。
《桂枝香·金陵怀古》(王安石)（）（）送目，正故国晚秋，天气初肃。
千里澄江似练，翠峰如（）。
归帆去（）残阳里，背西风，酒旗斜（）。
彩舟云淡，星河（）起，画图难（）。
念往昔，繁华竞逐，叹门外楼头，悲恨相（）。
千古凭高对此，（）（）荣辱。
六朝旧事随流水，但寒烟（）草凝绿。
至今商女，时时犹唱，后庭遗曲。
《念奴娇·过洞庭》(张孝祥)洞庭青草，近中秋，更无一点风色。
玉（）琼田三万顷，（）我扁舟一叶。
素月分辉，明河共影，表里俱（）（）。
悠然心会，妙处难与君说。
应念岭海经年，孤光自照，肝肺皆冰雪。
短发（）（）襟袖冷，稳泛沧浪空阔。
尽（）西江，细（）北斗，万象为宾客。
扣（）独啸，不知今夕何夕！二、理解性默写1．念奴娇·过洞庭（1）张孝祥在《念奴娇·过洞庭》中表现秋高气爽，玉宇澄清的景色的句子：“________，________，________。
”（2）张孝祥在《念奴娇·过洞庭》中写水天辉映，一片晶莹的句子：“________，________，________。
”（3）张孝祥在《念奴娇·过洞庭》中想起在岭南光明磊落生活的句子：“________，________，________。
”（4）张孝祥在《念奴娇·过洞庭》中设想自己做主人，请万象作宾客，纵情豪饮的句子：“________，________，________。
”2．桂枝香·金陵怀古（1）《桂枝香》中用比喻和拟人的手法刻画江水和山峰的句子：“________，________。
”（2）《桂枝香》中用“归帆”“西风”“酒旗”等意象由远而近，描绘了一幅“秋日残阳图”的三句是：“________，________，________。
2016版《一点一练》高考数学(理科)专题演练：第七章立体
第七章立体几何考点 22空间几何体的构造、三视图、几何体的表面积与体积两年高考真题操练1.(2015 山·东在梯形 ABCD 中，∠ ABC ＝， AD ∥BC，BC＝2AD ＝ 2AB ＝2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 (A. B. C. D ．2π2． (2015 ·浙江某几何体的三视图以下图(单位： cm，则该几何体的体积是 (A ．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm33．(2015 ·北京某三棱锥的三视图以下图，则该三棱锥的表面积是(A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．54．(2014 ·福建某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是 (A ．圆柱 B．圆锥 C．四周体 D．三棱柱5．(2014 ·江西一几何体的直观图如图，以下给出的四个俯视图中正确的选项是 (6．(2014 ·安徽一个多面体的三视图以下图，则该多面体的表面积为 (A．21＋ B．18＋C．21 D．187．(2014 ·陕西将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(A ．4π B．3πC．2π D．π8．(2014 ·湖北《算数书》竹简于上世纪八十年月在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学文籍，此中记录有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式V≈ L2h它.其实是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式 V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(A. B. C. D.9．(2015 ·江苏现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们从头制作成整体积与高均保持不变，但底面半径同样的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ________．10． (2014 ·山东三棱锥 P－ABC 中， D ，E 分别为 PB， PC 的中点，记三棱锥 D－ABE 的体积为 V1， P－ ABC 的体积为 V2，则＝________．考点 22空间几何体的构造、三视图、几何体的表面积与体积一年模拟试题精练1．(2015 ·山东莱芜模拟某几何体的三视图以下图，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是 (A．2 B. C. D．32．(2015 ·山东省实验中学模拟设以下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 (A. B ．8－ C．8－2π D. －83．(2015 ·河南天一大联考某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为 (A．12＋πB．8＋πC．12－πD．6－π4．(2015 ·湖北七州模拟某个几何体的三视图以下图(此中正视图中的圆弧是半径为 2 的半圆，则该几何体的表面积为(A．92＋24π B．82＋24πC．92＋14π D．82＋14π5．(2015 ·安徽安庆模拟一个正方体的棱长为 m，表面积为 n，一个球的半径为 p，表面积为 q.若＝2，则＝ (A. B. C. D.6．(2015 ·福建龙岩模拟以下图是一个几何体的三视图，此中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是 (A. B. C.＋ D.＋＋ 17．(2015 ·福建莆田模拟某几何体的三视图以下图，此中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1 的半圆，则其侧视图的面积是 (A. B. C．1 D.8．(2015 ·广东中山模拟已知一个几何体的三视图以下图，则该几何体的体积 (单位： cm3 为________．考点 23点、线、平面之间的地点关系两年高考真题操练1.(2015 安·徽已知 m，n 是两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，则以下命题正确的选项是 (A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若 m，n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若 m，n 不平行，则 m 与 n 不行能垂直于同一平面2．(2015 ·福建若 l，m 是两条不一样的直线， m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件3．(2015 ·浙江如图，已知△ABC ，D 是 AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△A′ CD，所成二面角 A′－CD－B 的平面角为α，则 (A ．∠ A′DB≤αB．∠ A′DB≥αC．∠ A′CB≤αD．∠ A′CB≥α4．(2015 ·广东若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 (A．大于 5 B．等于 5C．至多等于 4 D．至多等于 35．(2014 ·辽宁已知 m，n 表示两条不一样直线，α表示平面．以下说法正确的选项是 (A ．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n? α，则 m⊥nC．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥ n，则 n⊥α6．(2014 ·浙江设 m， n 是两条不一样的直线，α，β是两个不一样的平面，则正确的结论是 (A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥ αB．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥αC．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥αD．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α7．(2014 ·广东在空间中四条两两不一样的直线l1，l2， l3， l4，知足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则以下结论必定正确的选项是 (A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1 与 l4 既不垂直也不平行D．l1 与 l4 的地点关系不确立8．(2014 ·课标全国Ⅱ直三棱柱ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则BM 与AN 所成角的余弦值为 (A. B. C. D.9．(2015 ·浙江如图，三棱锥A－BCD 中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N 分别是 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所成的角的余弦值是________．10．(2015 ·四川如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点 M 在线段 PQ 上， E、F 分别为 AB、BC 的中点．设异面直线EM 与 AF 所成的角为θ，则 cos θ的最大值为 ________．考点 23点、线、平面之间的地点关系一年模拟试题精练1．(2015 ·山东泰安模拟已知 m，n 为不一样的直线，α，β为不一样的平面，则以下说法正确的选项是 (A．m? α，n∥m? n∥αB．m? α，n⊥m? n⊥αC．m? α，n? β，n∥m? α∥βD．n? β，n⊥α? α⊥β2．(2015 ·山东省实验中学模拟关于不重合的两个平面α与β，给定以下条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③ α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线 l、m，使得 l∥α，l ∥β，m∥α，m∥β，此中，能够判断α与β平行的条件有 (A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个3．(2015 ·安徽安庆模拟 b、c 表示两条不重合的直线，α、β表示两个不重合的平面，以下命题中正确的选项是 (A.? c∥bB.? c⊥βC.? α∥βD.? b∥α4．(2015 ·湖南怀化一模设 m， n，是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，给出以下四个命题：①m⊥α， n∥α，则 m⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，m⊥α，则 m⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.此中正确命题的序号是 (A．①和③ B．②和③C．③和④ D．①和④5．(2015 ·福建厦门模拟长方体 ABCD －A1B1C1D1 中， AA1＝2AB＝ 2AD ，G 为 CC1 中点，则直线 A1C1 与 BG 所成角的大小是 (A．30°B．45°C．60°D．90°6．(2015 ·福建泉州模拟设 a，b 是互不垂直的两条异面直线，则以下命题成立的是 (A．存在独向来线l ，使得 l⊥a，且 l⊥bB．存在独向来线l ，使得 l∥ a，且 l ⊥bC．存在独一平面α，使得a?α，且b∥αD．存在独一平面α，使得a?α，且b⊥α7．(2015 ·四川成都高三摸底已知 a，b 是两条不一样直线，α是一个平面，则以下说法正确的选项是 (A．若 a∥b，b? α，则 a∥αB．若 a∥ α，b? α，则 a∥bC．若 a⊥ α，b⊥α，则 a∥bD．若 a⊥b，b⊥α，则 a∥ α8．(2015 ·浙江温州十校期末联考已知α，β是两个不一样的平面，m，n 是两条不一样的直线，则以下命题不正确的选项是 (A．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥αB．若 m∥α，α∩β＝n，则 m∥nC．若 m⊥β，m⊥α，则α∥ βD．若 m⊥α，m? β，则α⊥β9．(2015 ·河北衡水模拟已知三棱柱 ABC －A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P 为底面A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 (A. B. C. D.10．(2015 ·东北三省三校模拟 P 为正方体 ABCD －A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点，且 BP＝λBD1(λ∈(0，1．下边结论：①A1D ⊥ C1P；②若 BD1⊥平面 PAC，则λ＝；③若△PAC 为钝角三角形，则λ∈；④若λ∈，则△PAC 为锐角三角形．此中正确的结论为 ________(写出全部正确结论的序号．11．(2015 ·安徽黄山模拟一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装修块，容器内盛有a 升水时，水面恰巧经过正四棱锥的极点P，假如：将容器倒置，水面也恰巧过点P 有以下四个命题：①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；②若往容器内再注 a 升水，则容器恰巧能装满；③将容器侧面水平搁置时，水面恰巧经过点P；④随意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰巧经过点P.此中正确命题的序号为 ________(写出全部正确命题的序号．考点 24平行关系、垂直关系两年高考真题操练1.(2015 ·新课标全国Ⅰ如图，长方体ABCD －A1B1C1D1 中AB ＝16，BC＝10，AA1 ＝8，点 E，F 分别在 A1B1 ，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面α与此长方体的面订交，交线围成一个正方形．(1 在图中画出这个正方形 (不用说明画法和原因；(2 求平面α把该长方体分红的两部分体积的比值．2．(2015 ·湖南如图，直三棱柱ABC －A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1 的中点．(1 证明：平面 AEF⊥平面 B1BCC1；(2 若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45°，求三棱锥 F－AEC 的体积．3．(2015 ·江苏如图，在直三棱柱 ABC －A1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1. 设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E.求证：(1DE∥平面 AA1C1C ；(2BC1⊥AB1.4．(2014 ·四川在以下图的多面体中，四边形 ABB1A1 和 ACC1A1 都为矩形．(1 若 AC ⊥BC，证明：直线 BC⊥平面 ACC1A1 ；(2 设 D，E 分别是线段 BC，CC1 的中点，在线段 AB 上能否存在一点 M ，使直线 DE∥平面 A1MC ？请证明你的结论．考点 24平行关系、垂直关系一年模拟试题精练1．(2015 ·四川德阳模拟以下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱DD1 、C1D1 的中点．(1 求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成角θ的正弦值；(2 证明：B1F∥平面 A1BE.2．(2015 ·江西红色六校模拟如图，已知在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 是边长为4 的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD ，E，F，G 分别是PD，PC，BC 的中点．(1 求证：平面 EFG⊥平面 PAD；(2 若 M 是线段 CD 上一点，求三棱锥 M －EFG 的体积．3．(2015 ·安徽黄山模拟以下图，在正方体 ABCD －A′B′C′D′中，棱 AB ，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是 E，F，G，H.(1 求证：AD′∥平面 EFG；(2 求证：A′C⊥平面 EFG：(3 判断点 A，D′，H，F 能否共面？并说明原因．4．(2015 ·湖北八市模拟如图， ABC －A1B1C1 是底面边长为 2，高为的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面订交于 PQ，设 C1P＝λC1A1(0< λ<1．(1 证明：PQ∥A1B1；(2 能否存在λ，使得平面 CPQ⊥截面 APQB？假如存在，求出λ的值；假如不存在，请说明原因．考点 25空间向量与立体几何两年高考真题操练1．(2015 ·天津如图，在四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 中，侧棱 A1A ⊥底面 ABCD ， AB ⊥AC，AB ＝1，AC＝AA1 ＝2，AD ＝CD＝，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点．(1 求证：MN ∥平面 ABCD ；(2 求二面角 D1－AC－B1 的正弦值；(3 设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长．2.(2015 ·湖北《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑．如图，在阳马 P－ABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，且 PD＝CD，过棱 PC 的中点 E，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F，连结 DE、DF、BD、BE.(1 证明：PB⊥平面 DEF.试判断四周体 DBEF 能否为鳖臑．假如，写出其每个面的直角 (只要写出结论；若不是，说明原因；(2 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值．3．(2014 ·江西如图，四棱锥P－ABCD 中， ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1 求证：AB ⊥ PD；(2 若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问 AB 为什么值时，四棱锥 P － ABCD 的体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．考点 25空间向量与立体几何一年模拟试题精练1．(2015 ·福建厦门模拟已知等边三角形 PAB 的边长为 2，四边形ABCD 为矩形，AD ＝4，平面 PAB⊥平面 ABCD ，E，F，G 分别是线段 AB ，CD，PD 上的点．(1 如图(1，若 G 为线段 PD 的中点， BE＝DF＝，证明： PB∥平面EFG；(2 如图(2，若 E, F 分别为线段 AB ，CD 的中点，DG ＝2GP，试问：矩形 ABCD 内(包含界限可否找到点 H，使之同时知足以下两个条件，并说明原因．(ⅰ点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4；(ⅱGH⊥PD.2．(2015 ·广东六校结盟模拟如图，将长为 4，宽为 1 的长方形折叠成长方体ABCD －A1B1C1D1 的四个侧面，记底面上一边AB ＝t ，(0<t<2，连结A1B，A1C ，A1D.(1 当长方体 ABCD －A1B1C1D1 的体积最大时，求二面角 B－A1C －D 的值；(2 线段 A1C 上能否存在一点 P，使得 A1C ⊥平面 BPD，如有，求出 P 点的地点，没有请说明原因．3．(2015 ·山东潍坊一模如图，已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面相互垂直，此中 BE∥AF ，AB ⊥AF ， AB ＝BE ＝AF ，BC ＝AB ，∠CBA ＝，P为 DF 的中点．(1 求证：PE∥平面 ABCD ；(2 求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角(锐角的余弦值．4．(2015 ·湖北八市模拟如图 1 在 Rt△ABC 中，∠ABC ＝90°，D、E分别为线段 AB 、AC 的中点， AB ＝4，BC＝2.以 DE 为折痕，将Rt△ADE 折起到图 2 的地点，使平面 A′DE⊥平面 DBCE，连结 A′C，A′B，设 F 是线段 A′C 上的动点，知足＝λ.(1 证明：平面 FBE⊥平面 A′DC；(2 若二面角 F－BE－C 的大小为 45°，求λ的值．第七章立体几何考点 22空间几何体的构造、三视图，几何体的表面积与体积【两年高考真题操练】1．C [如图，由题意，得 BC＝2，AD＝AB＝1.绕 AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积 V＝π×12×2－π×12×1＝π .]2．C [该几何体是棱长为 2 cm 的正方体与一底面边长为 2 cm 的正方形，高为 2 cm 的正四棱锥构成的组合体，V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm3．应选 C.]3.C [ 该三棱锥的直观图以下图：过D 作 DE⊥BC，交 BC 于 E，连结 AE，则 BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝ S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.]4．A [因为圆锥、四周体、三棱柱的正视图均能够是三角形，而圆柱不论从哪个方向看均不行能是三角形，所以选 A.]5．B [俯视图为在水平投射面上的正投影，联合几何体可知选 B.] 6．A[ 由三视图知，该多面体是由正方体割去两个角所成的图形，如图所示，则 S＝S 正方体－ 2S 三棱锥侧＋ 2S 三棱锥底＝ 6×4－2×3××1×1 ＋2××(2＝21＋.]7．C [依题意，知所得几何体是一个圆柱，且其底面半径为1，母线长也为 1，所以其侧面积为2π× 1×1＝2π，应选 C.]8．B [ 由题意可知： L＝2πr，即 r ＝，圆锥体积V＝ Sh＝πr2h＝π·h＝L2h≈L2h，故≈，π≈，应选 B.]9.[ 设新的底面半径为 r ，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π××524 ＋π× ×228，解得 r＝.]10.[由题意，知 VD －ABE ＝ VA －BDE ＝V1，VP－ ABC ＝VA －PBC＝V2.因为 D，E 分别为 PB，PC 中点，所以＝ .设点 A 到平面 PBC 的距离为 d，则＝＝＝ .]【一年模拟试题精练】1．D第 1 题分析图[ 依据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝××2x＝3? x＝3.应选 D.]2．D [由三视图可知，几何体为正方体内挖去一个圆锥，所以该几何体的体积为 V 正方体－ V 锥＝ 23－( π×12×2＝8－π.]3．C [由三视图可知，原几何体是底面边长为 2 的正方形，高为3 的棱柱，里面挖去一个半径为 1 的球，所以所求几何体的体积为12 －π，应选 C.]第 4 题分析图4．C [该几何体是个半圆柱与长方体的组合体，直观图如右图，表面积为 S＝5×4＋2×4×4＋2×4×5＋2π×5＋π×22＝92＋14π.]5．B [由题意能够获得n＝6m2，q＝4πp2，所以＝＝×4＝，应选B.]6．D [依据三视图能够获得原几何体为底面的等腰直角三角形且斜边为 2 的三棱锥，所以一侧面上的斜高为，所以侧面积为＋，底面积为 1，则全面积为＋＋ 1，应选 D.]7．B [有三视图能够获得原几何体是以 1 为半径，母线长为 2 的半圆锥，故侧视图的面积是，应选 B.]8．π＋[ 由三视图，该组合体上部是一个三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为 2 的等边三角形，且边长是 2，故其高即为三棱锥的高，高为，故棱锥高为因为棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为 2，故两直角边长都是，底面三角形的面积是××＝1, 故 V 棱锥＝×1×＝，故该几何体的体积是π＋ .]考点 23点、线、平面之间的地点关系【两年高考真题操练】1．D[ 关于 A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确立，A 错；关于 B，m，n 平行于同一平面，m， n 关系不确立，可平行、订交、异面，故 B 错；关于 C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故 C 错；关于 D，若假设 m，n 垂直于同一平面，则 m∥n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确．]2．B [m 垂直于平面α，当 l? α时，也知足 l⊥m，但直线 l 与平面α不平行，∴充足性不行立，反之，l∥α，必定有 l ⊥m，必需性成立．应选 B.]3．B[ 极限思想：若α＝π，则∠ A′CB＜π，清除 D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠ A′CB 都能够大于 0，清除 A，C.应选B.]4．C[ 当 n＝3 时明显成立，故清除 A，B；由正四周体的四个顶点，两两距离相等，得 n＝4 时成立，应选 C.]5．B [ 对A：m，n还可能异面、订交，故A不正确．对：还C n可能在平面α内，故 C 不正确．对 D：n 还可能在α内，故 D 不正确．对 B：由线面垂直的定义可知正确． ]6．C[当 m⊥ n，n∥α时，可能有 m⊥α，但也有可能 m∥α或 m? α，故 A 选项错误；当 m∥β，β⊥α时，可能有 m⊥ α，但也有可能 m∥α或 m? α，应选项 B 错误；当 m⊥β，n⊥β，n⊥α时，必有α∥β，进而m⊥α，应选项 C 正确；在以下图的正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，取 m 为 B1C1，n 为 CC1，β为平面 ABCD ，α为平面 ADD1A1 ，这时知足 m⊥n，n⊥β，β⊥α，但 m⊥ α不行立，应选项 D 错误． ]7．D [如图，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，取 l1 为 BC，l2 为 CC1，l3 为 C1D1.知足 l1⊥l2，l2⊥l3.若取 l4 为 A1D1 ，则有 l1∥l4；若取 l4 为 DD1，则有 l1⊥l4.所以 l1 与 l4 的地点关系不确立，应选 D.]8．C9.[ 连结 DN，作 DN 的中点 O，连结 MO ，OC.在△ AND 中．M为 AD 的中点，则 OM 綉 AN. 所以异面直线 AN ，CM 所成角为∠C MO，在△ABC 中，AB ＝AC＝3，BC＝2，则 AN ＝2，∴ OM ＝.在△ACD 中，同理可知 CM ＝2，在△BCD 中，DN＝2，在 Rt△ONC 中，ON＝，CN＝1∴ OC＝.在△CMO 中，由余弦定理 cos∠CMO＝＝＝.]10. [成立空间直角坐标系以下图，设 AB ＝1，则＝，E，设 M(0 ，y，1(0≤y≤1，则＝，∴cos θ＝＝－ .设异面直线所成的角为α，则 cos α＝|cos θ|＝＝·，令 t＝1－y，则 y＝1－t，∵0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么 cos α＝|cos θ|＝·＝＝，令 x＝，∵0≤t≤1，∴x≥1，那么 cos α＝，又∵ z＝9x2－8x＋4 在[1，＋∞上单增，∴x＝1，zmin＝ 5，此时 cos α的最大值＝·＝·＝.]【一年模拟试题精练】1 ． D [A. 因为 m? α， n∥m? n? α或 n∥α，所以不正确； B. m? α，n⊥m 不可以确立 n 与α关系，所以不正确； C.m? α，n? β，n∥m 若两平面订交且m，n 都平行于交线，也能够知足，所以不正确；D.直线垂直于平面，则过该直线的全部的面都与此面垂直，所以正确．故选 D.]2．B [平面α、β都垂直于平面γ，平面α与平面β可能平行，也可能订交，故①错误；②正确；当平面α与平面β订交时，在平面α 的双侧也存在三点到平面β的距离相等，故③错误；由面面平行的判断定理可知，当 l、m 移成订交直线时确立的平面与α、β都垂直，所以α∥β，故④正确，应选 B.]3．C [依据直线与平面垂直的性质，能够获得 C 正确，应选 C.]4．A [②中平面α，β可能订交；④平面α，β可能订交，应选 A.]5．C 6.C7．C [A 选项中直线 a 还可能在平面α内，所以错误，B选项直线 a 与 b 可能平行还可能异面，所以错误， C 选项由直线与平面垂直的性质可知正确，因为正确的选项只有一个，所以选 C.]8．B [A 选项正确，因为两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条必垂直于这个平面；B选项不正确，因为由线面平行的性质定理知，线平行于面，过线m 与β的地点关系不的面与已知面订交，则交线与已知线平行，因为确立，故不可以得出线线平行；C选项正确，两个平面垂直于同一条直线，则此两平面必平行；D选项正确，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．综上， B 选项不正确，应选 B.]9．B [如右图所示，S△ABC ＝×××sin 60°＝，∴VABC －A1B1C1＝S△ABC×OP＝×OP＝，∴OP＝，又OA ＝××＝1，∴tan∠OAP ＝＝，由∠ OAP∈，得∠ OAP＝.]10．①②④ [ 以 DA ，DA 1，DD 1 分别为 x， y，z 轴成立坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(0，0，1，B(1，1，0，C(0，1，0，D1(0，0，1，设 P(x，y，z，则＝ (－1，－ 1，1，＝λ(－1，－ 1，1＝(x－1，y－1，z，③中利用·<0 能够得，则x＝y＝1－λ，z＝λ，则P(1－λ，1－λ，λ，是错误的，而后能够计算出①②④正确． ]11．②③[设图 (1 水的高度 h2，几何体的高为h1，底面边长为 b, 图(1 中水的体积为 b2h2，图 (2 中水的体积为 b2h1－b2h2＝b2(h1－h2，所以b2h2＝b2(h1－h2，所以h1＝h2，故①错误；又水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平搁置时，P 点在长方体中截面上，所以③正确；假定④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为 b2h2＞b2h2，矛盾，故④不正确．故答案为：②③ .]考点 24平行关系、垂直关系【两年高考真题操练】1．解(1 交线围成的正方形EHGF 如图：(2 作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1 ＝8.因为 EHGF 为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是 MH＝＝ 6，AH＝10，HB＝6.因为长方体被平面α分红两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 (也正确．2．(1 证明∵△ ABC 为正三角形， E 为 BC 中点，∴AE⊥BC，∴又 B1B⊥平面 ABC，AE? 平面 ABC，∴B1B⊥AE，∴由 B1B∩BC＝B 知， AE⊥平面 B1BCC1，又由 AE? 平面 AEF，∴平面 AEF⊥平面 B1BCC1.(2 解设AB中点为M，连结CM，则CM⊥AB，由平面 A1ABB1⊥平面ABC 且平面 A1ABB1∩平面 ABC＝AB 知，CM⊥面 A1ABB1，∴∠ CA1M 即为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角．∴∠ CA1M＝ 45°，易知 CM ＝×2＝，在等腰 Rt△CMA 中， AM＝CM＝，在 Rt△A1AM 中， A1A＝＝ .∴FC＝A1A＝，又 S△AEC＝××4＝，∴V 三棱锥 F－AEC＝××＝ .3.证明(1 由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，所以 DE∥AC.又因为 DE? 平面 AA1C1C，AC?平面 AA1C1C，所以 DE∥平面 AA1C1C.(2 因为棱柱 ABC－A1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC.因为 AC?平面 ABC，所以 AC⊥CC1.又因为 AC⊥ BC ， CC1?平面 BCC1B1 ， BC?平面 BCC1B1 ，BC∩CC1＝C，所以 AC⊥平面 BCC1B1.又因为 BC1?平面 BCC1B1，所以 BC1⊥AC.因为 BC＝CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，所以BC1⊥B1C.因为 AC，B1C?平面 B1AC，AC∩B1C＝C，所以 BC1⊥平面 B1AC.又因为 AB1?平面 B1AC，所以 BC1⊥ AB1.4．(1 证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为 AB，AC 为平面 ABC 内两条订交直线，所以 AA1⊥平面 ABC.因为直线 BC?平面 ABC，所以 AA1⊥BC.又由已知， AC⊥ BC，AA1， AC 为平面 ACC1A1 内两条订交直线，所以 BC⊥平面 ACC1A1.(2 解取线段AB的中点M，连结 A1M，MC，A1C，AC1，设 O 为 A1C，AC1 的交点．由已知， O 为 AC1 的中点．连结 MD ，OE，则 MD，OE 分别为△ABC，△ACC1 的中位线．所以， MD 綉 AC，OE 綉 AC，所以 MD 綉 OE.连结 OM，进而四边形 MDEO 为平行四边形，则 DE∥MO.因为直线 DE? 平面 A1MC，MO?平面 A1MC，所以直线 DE∥平面 A1MC.即线段AB 上存在一点M( 线段AB 的中点，使直线DE∥平面A1MC.【一年模拟试题精练】1．(1 解设G是 AA1的中点，连结 GE，BG.∵E 为 DD1的中点， ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴GE∥ AD，又∵AD⊥平面 ABB1A1，∴GE⊥平面 ABB1A1，且斜线 BE 在平面 ABB1A1内的射影为 BG，∴R t△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1 所成角，即∠EBG ＝θ.设正方体的棱长为a，∴GE＝a，BG＝a，BE＝＝a，∴直线 BE 和平面 ABB1A1所成角θ的正弦值为：sin＝θ＝；(2 证明连结EF、AB1、C1D，记AB1与A1B的交点为H，连结EH .∵H 为 AB1的中点，且 B1H ＝C1D，B1H ∥C1D，而 EF ＝C1D，EF∥ C1D，∴B1H∥ EF 且 B1H＝EF ，四边形 B1FEH 为平行四边形，即 B1F∥EH ，又∵ B1F?平面 A1BE 且 EH ?平面 A1BE，∴B1F∥平面 A1BE.2．(1 证明∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD?平面 ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面 PAD，又∵△ PCD 中，E、F 分别是 PD、PC 的中点，∴EF∥CD，可得EF⊥平面 PAD，∵EF ?平面 EFG ，∴平面 EFG ⊥平面 PAD;(2 解∵EF∥CD，EF?平面EFG，CD?平面 EFG ，∴CD∥平面 EFG ，所以 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离，∴ VM －EFG ＝VD －EFG ，取 AD 的中点 H，连结 GH 、EH ，则 EF ∥GH ，∵EF⊥平面 PAD，EH ?平面 PAD，∴EF ⊥EH .于是 S△ EFH ＝EF ×EH ＝2＝S△EFG ，∵平面 EFG ⊥平面 PAD，平面 EFG ∩平面 PAD＝EH ，△EHD 是正三角形，∴点 D 到平面 EFG 的距离等于正△EHD 的高，即为，所以，三棱锥M－EFG 的体积 V M－EFG＝V D－EFG＝×S△EFG×＝.3．(1 证明连结BC′，在正方体ABCD－A′B′C′D′中， AB＝C′D′，AB∥C′D′.所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′∥BC′因.为F ，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以，FG∥AD′因.为 EF，AD′是异面直线，所以 AD′?平面 EFG.因为 FG? 平面 EFG，所以 AD′∥平面 EFG.(2 证明连结 B′C，在正方体 ABCD －A′B′C′D′中， A′B′⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′在.正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′?平面A′B′C，B′C? 平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，所以，BC′⊥平面A′B′C.因为 A′C? 平面 A′B′C，所以， BC′⊥A′C.因为 FG∥BC′，所以， A′C⊥FG，同理可证： A′C⊥EF.因为 EF? 平面 EFG， FG? 平面 EFG，EF∩FG＝F，所以， A′C⊥平面 EFG.(3 解点A，D′，H，F不共面．原因以下：假定A，D′，H，F 共面．连结 C′F， AF，HF.由(1 知， AD′∥BC′，因为 BC′?平面BCC′B′，AD′?平面 BCC′B′，所以， AD′∥平面 BCC′B′.因为 C′∈ D′H，所以，平面 AD′HF ∩平面 BCC′B′＝C′F.因为 AD′? 平面 AD′HF，所以 AD′∥C′F.所以 C′F∥BC′，而 C′F 与 BC′订交，矛盾．所以点 A，D′，H， F 不共面．4．(1 证明由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，且截面APQB∩上底面 A1B1C1＝PQ，截面 APQB∩下底面 ABC＝AB，由两个平面平行的性质定理可得，PQ∥AB，又 AB∥A1B1，∴PQ∥ A1B1.(2 解假定存在这样的λ知足题设，分别取AB 的中点 D，PQ 的中点 E，连结 DE，由(1 及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，∴CE⊥PQ，DE⊥PQ.∴∠CED 为二面角 A－PQ－C 的平面角，连结 C1E 并延伸交 A1B1于 F，由(1得，＝＝λ，C1A1＝2，C1F ＝，∴C1E＝λ，EF ＝(1－λ，在 Rt△CC1E中求得CE2＝＋ 3λ2，在 Rt△DFE中求得DE2＝＋3(1－λ2，若平面 CPQ⊥截面 APQB，则∠CED ＝90°，∴CE2＋DE2＝CD2，将以上数据代入整理，得 3λ2－3λ＋＝ 0，解得λ＝.考点 25空间向量与立体几何【两年高考真题操练】1.如图，以 A 为原点成立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0，B(0，1，0，C(2，0，0， D(1，－2，0，A1(0，0，2， B1(0，1，2，C1(2，0，2，D1(1，－2，2，又因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M，N(1，－2，1．(1 证明依题意，可得n＝(0，0，1为平面 ABCD 的一个法向量，＝，由此可得·n＝0，又因为直线MN ?平面 ABCD，所以MN ∥平面ABCD.(2 解＝(1，－2，2，＝(2，0，0，设n1＝(x，y，z为平面ACD1 的法向量，则即不如设 z＝1，可得n1＝(0，1，1．设 n2＝(x，y，z为平面ACB1的法向量，则又＝ (0，1，2，得不如设 z＝1，可得n2＝(0，－ 2，1．所以有 cos〈n1，n2〉＝＝－，于是 sin〈n1，n2〉＝ .所以，二面角 D1－AC－B1 的正弦值为 .(3 依题意，可设＝λ，此中λ∈[0 ，1]，则 E(0，λ，2，进而＝ (－1，λ＋2，1，又n＝(0，0，1 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知，得 cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0， 1]，解得λ＝－ 2，所以，线段 A1E 的长为－ 2.2．解法一(1 因为 PD⊥底面 ABCD，所以 PD⊥BC，由底面 ABCD 为长方形，有 BC⊥CD，而 PD∩CD＝D，所以 BC⊥平面 PCD.而 DE? 平面 PCD，所以 BC⊥DE.又因为 PD＝CD，点 E 是 PC 的中点，所以DE⊥PC.而 PC∩BC＝C，所以 DE⊥平面 PBC.而 PB? 平面 PBC，所以 PB⊥ DE.又 PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以 PB⊥平面 DEF.由 DE⊥平面 PBC，PB⊥平面 DEF，可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四周体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠D EB，∠ DEF，∠ EFB，∠ DFB.(2 如图，在面 PBC 内，延伸 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线．由 (1 知， PB⊥平面 DEF，所以 PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG，而PD∩PB＝ P，所以DG⊥平面 PBD.故∠ BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PD＝DC＝1，BC＝λ，有 BD＝，在 Rt△PDB 中，由 DF⊥PB，得∠ DPF＝∠ FDB＝，则 tan ＝tan∠ DPF＝＝＝，解得λ＝.所以＝＝ .故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，＝.法二(1 如图，以 D 为原点，射线DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，成立空间直角坐标系．设 PD＝ DC＝ 1， BC＝λ，则 D(0，0，0，P(0，0，1， B(λ，1，0，C(0，1，0，＝ (λ，1，－ 1，点 E 是 PC 的中点，所以 E，＝，于是·＝0，即 PB⊥DE.又已知 EF⊥PB，而 DE∩EF＝E，所以 PB⊥平面 DEF.因＝ (0，1，－ 1，·＝0，则 DE⊥PC，所以 DE⊥平面 PBC.由 DE⊥平面 PBC，PB⊥平面 DEF，可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四周体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠D EB，∠ DEF，∠ EFB，∠ DFB.(2 由 PD⊥平面 ABCD，所以＝ (0，0，1 是平面 ABCD 的一个法向量；由(1 知， PB⊥平面 DEF，所以＝ (－λ，－ 1，1 是平面 DEF 的一个法向量．若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，则 cos ＝＝＝，解得λ＝.所以＝＝ .故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，＝.3．(1 证明ABCD 为矩形，故 AB⊥AD；又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥ PD.(2 解过P作AD的垂线，垂足为O，过 O 作 BC 的垂线，垂足为G，连结 PG.故 PO⊥平面 ABCD，BC⊥平面 POG，BC⊥PG，在 Rt△BPC 中， PG＝， GC＝， BG＝，设 AB＝m，则 OP＝＝，故四棱锥P－ABCD 的体积为V＝··m·＝.因为 m＝＝，故当 m＝，即 AB＝时，四棱锥 P－ABCD 的体积最大．此时，成立以下图的坐标系，各点的坐标为O(0，0，0，B，C，D，P.故＝，＝ (0，， 0，＝，设平面 BPC 的法向量 n1＝(x，y，1，则由 n1⊥， n1⊥得解得 x＝1，y＝0，n1＝(1，0，1．同理可求出平面DPC 的法向量 n2＝，进而平面 BPC 与平面 DPC 夹角θ的余弦值为cos ＝θ＝＝ .【一年模拟试题精练】1．(1 证明取 AB 中点 O，连结 PO，则 PO⊥AB，∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面 PAB∩平面 ABCD＝AB，PO? 平面 PAB，PO⊥平面 ABCD，分别以 OB，ON，OP 为 x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，P(0，0，， D(－1，4，0，B(1，0，0，E，F，则＝ (1，0，－．设平面 EFG 的法向量 n＝(x，y，z，∵＝，＝，∴·n＝0，·n＝0，∴故 n＝(6，1，2，∴·n＝0，∴⊥ n.∵PB? 平面 EFG，∴ PB∥平面 EFG.(2 解连结 PE，则 PE⊥AB，∵平面 PAB⊥平面 ABCD，平面PAB∩平面 ABCD＝AB，PE? 平面 PAB，∴ PE⊥平面 ABCD，分别以 EB，EN，EP 为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系，∴P(0，0，， D(－1，4，0，＝ (－1，4，－，。
(完整word版)2019年理科数学普通高等学校招生全国统一考试(模拟试题)第一套
2018年普通高等学校招生全国统一考试（模拟试题）理科数学注意事项:1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2 •作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的1.下列命题中，真命题是（ ）A.若 与互为负向量，则1. + =0C.若，都是单位向量，则 ？ =1B.若！?=0,则.=匕或心=L ；D.若k 为实数且k =，则k=0或 =2. 已知函数f（x ） =cos2x ,若把f （x ）的图象向左平移 个单位得到函数g （ x ）的图象,B. g (x ) =cos2xC. g (x ) =— sin2xD. g (x ) = - cos2x 3.集合 A={x| (1+x )( 1 — x )> 0}, B={x|y= }，则 A H B=()图案的正六边形小孔内的概率为（ ）则g （X ）的解析式为（ A. _|' -■ 一，A. (— 1, 1)B.(0, 1)C. [0 1)D. ( — 1, 0] 4.如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为分米，其内有一边长为分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖（飞镖的大小A.....c>b>a6•等比数列中,—若强' W,则k等于A. 4B. 5C. 6D. 427. 在复平面内，复数二厂对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象8. 已知抛物线:=沁和点-i/' I C'J，为抛物线上的点，则满足丨「門：：的点有（）个。
A. 0B. 2C. 3D. 49. 已知曲线■ ■ ■ - 1： -. f ■ ； - 则下列说法正确的是（）A. 把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线B. 把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移孚，得到曲线C. 把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线严矿 1 严D. 把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线10. （5分）已知函数，若a、b、c互不相等，且i : - ■:'，则a + b + c的取值范围是（）A. （1 , 2014）B. （1 , 2015）C. （2, 2015）D. [2, 2015]11. （ 5分）函数Hn工m-m和厂的最小正周期和最大值分别是（）A.和B. 7和C.和D. 和丘x 2戶A. 1_ 24B.丄24^1C.-65.已知贝y 的大小关系为（）D.12. （ 5分）已知椭圆E：—+ =7=1（a>b>0）与过原点的直线交于A、B两点，右焦点为F, / AFB=120,若厶AFB的面积为4 ,则椭圆E的焦距的取值范围是（）A. [2, +8)B. [4, +8)C. [2 , +8)"D. [4 J'、，+^)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设复数z的共轭复数为Z=1 - i (i为复数单位)，则E - §的值为_________________ .14. 三个数成等比数列，它们的和为14,它们的积为64,则这三个数为_____________ .15. 已知函数f (x) =sin5x+1，则：f (x) dx 等于_________________ .-I 716•已知函数J|■- - ■ —•，亍= —,若对任意】WU*,存在.d.l二，使卫门…£；」：」，则实数的取值范围是_________ .三、解答题：共70分。
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已知△ ABC， D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将△ ACD 翻折成△ A′ CD ，所成二面角 A′ － CD － B 的平面角为 α ，则 ( A ．∠ A′ DB≤ α C ．∠ A′ CB≤α B ．∠ A′ DB≥α D ．∠ A′ CB≥α )
4． (2015 ・ 广东 )若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整 数 n 的取值 ( A ．大于 5 ) B ．等于 5
2π A. 3
π B ． 8－ 3
C． 8－ 2π
D.
2π 8－ 3
3． (2015 ・ 河南天一大联考 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几 何体的体积为 ( )
A ． 12＋π
B ． 8＋π
C． 12－π
D ． 6－π
4．(2015 ・ 湖北七州模拟 )某个几何体的三视图如图所示 ( 其中正视 图中的圆弧是半径为 2 的半圆 ) ，则该几何体的表面积为 ( )
A.
1 2
B.
3 2
C． 1
D. 3
8． (2015 ・ 广东中山模拟 )已知一个几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积 ( 单位： cm3) 为 ________．
考点 23
点、线、平面之间的位置关系 两年高考真题演练
1.(2015 安徽 ・ )已知 m， n 是两条不同直线， α，β是两个不同平 面，则下列命题正确的是 ( )
2． (2015 ・ 浙江 ) 某几何体的三视图如图所示 何体的体积是 ( )
A ． 8 cm
3
B ． 12 cm
3
32 3 C. cm 3
40 3 D. cm 3
3． (2015 ・ 北京 )某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面 积是 ( )
A ． 2＋ 5
B ． 4＋ 5
C． 2＋ 2 5
求“囷盖”的术： 置如其周，令相乘也． 又以高乘之，三十六成一． 该 术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h， 计算其体积 V 的近似公 π近似取为 3.那
1 2 式 V≈ L h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 36
2 2 么， 近似公式 V≈ L h 相当于将圆锥体积公式中的 π近似取为 ( 75 22 A. 7 25 B. 8 157 355 C. 50 D. 113
C ．至多等于 4
D ．至多等于 3
5． (2014 ・ 辽宁 )已知 m， n 表示两条不同直线， α表示平面．下 列说法正确的是 ( ) B ．若 m⊥α ， n? α，则 m⊥ n
第七章 考点 22立体几何 Nhomakorabea空间几何体的结构、三视图、 几何体的表面积与体积 两年高考真题演练
π AD ∥ BC，BC＝ 2AD 1.(2015 山东 ・ )在梯形 ABCD 中，∠ ABC＝ ， 2 ＝ 2AB＝ 2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所 围成的几何体的体积为 ( 2π A. 3 4π B. 3 ) 5π C. 3 D ． 2π (单位： cm)，则该几
A ． 21＋ 3
B ． 18＋ 3
C ． 21
D ． 18
7． (2014 ・ 陕西 )将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴 旋转一周，所得几何体的侧面积是 A ． 4π B ． 3π C． 2π ( D ．π )
8． (2014 ・ 湖北 )《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵 县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有
考点 22
空间几何体的结构、三视图、 几何体的表面积与体积 一年模拟试题精练
1． (2015 ・ 山东莱芜模拟 )某几何体的三视图如图所示，且该几何 体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是 ( )
A ．2
9 B. 2
3 C. 2
D．3
2． (2015 ・ 山东省实验中学模拟 )设下图是某几何体的三视图，则 该几何体的体积为 ( )
D．5
4． (2014 ・ 福建 )某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不 可能是 ( ) B ．圆锥 C．四面体 D ．三棱柱
A ．圆柱
5． (2014 ・ 江西 )一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图 中正确的是 ( )
6． (2014 ・ 安徽 )一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表 面积为 ( )
A ． 92＋ 24π C ． 92＋ 14π
B ． 82＋ 24π D ． 82＋ 14π m，表面积为 n， )
5． (2015 ・ 安徽安庆模拟 )一个正方体的棱长为 m n 一个球的半径为 p，表面积为 q.若 ＝ 2，则 ＝ ( p q 8 A. π 6 B. π π C. 6 π D. 8
)
9． (2015 ・ 江苏 )现有橡皮泥制作的底面半径为
5，高为 4 的圆锥
和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积 与高均保持不变， 但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个， 底面半径为 ________． 10 ． (2014 ・ 山东 )三棱锥 P－ ABC 中， D ， E 分别为 PB， PC 的中 点，记三棱锥 D － ABE 的体积为 V1， P－ ABC 的体积为 V2，则 ________． V1 ＝ V2 则新的
6． (2015 ・ 福建龙岩模拟 )如图所示是一个几何体的三视图，其中 正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是 ( )
3 A. 3
3 B. 2
C. 3＋ 7
D. 3＋ 7＋ 1
7． (2015 ・ 福建莆田模拟 )某几何体的三视图如图所示，其中正视 图是腰长为 2 的等腰三角形， 俯视图是半径为 1 的半圆，则其侧视图 的面积是 ( )
A ．若 α ，β垂直于同一平面，则 α与 β 平行 B ．若 m， n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行 C ．若 α ，β不平行，则在 α内不存在与 β平行的直线 D ．若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 2． (2015 ・ 福建 ) 若 l ，m 是两条不同的直线， m 垂直于平面 α，则 “ l ⊥ m”是“ l∥α ”的 ( A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 3． (2015 ・ 浙江 )如图， ) B ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件