高职数学平面向量复习题1
(完整版)职高数列,平面向量练习题
A ( a 1 b,a 2 b 2)B ( a 1 a 2 ,b 1 b ?)职高数列，平面向量练习题 选择题：(1)已知数列｛a n ｝的通项公式为&=2n-5,那么 购=() 向和起点 (6) AB AC BC 等于( )A 2BCB 2CBC f0 D 0(7) 下列说法不正确的是().A 零向量和任何向量平行B 平面上任意三点A 、B 、C , 一定有 AB BC ACC 若 AB mCD(m R)，贝卩 AB//CD—► --- ■- --- ―I- ―►D 若a x i ei,b X 2e 2 , 当 X i X 2 时，a b(8) 设点A (a i ,a 2 )及点B (b i ,b 2),则AB 的坐标是((2)等差数列-7/2, -3, -5/2, -2, •第n+1项为 () 1A -(n 7)B 1 (n 4)C n 4D -7 2 2 2 2(3)在等差数列｛ a n ｝中，已知 S 3=36,则 a 2=( )A 18B 12C 9D 6(4)在等比数列｛a n ｝中，已知 a 2=2, a 5=6,贝卩a 8= ()A 10B 12C 18D 24A 2n-5B 4n-5C 2n-10D 4n-10(5)平面向量定义的要素是( )A 大小和起点B 方向和起点C 大小和方向 D大小、方C (d ad? a2)D ( a2a1 ,b2d)(9)若a?b=-4, |a |= . 2 , |b |=2 .2，则< a,b >是( )A 0B 90C 180D 270(10)下列各对向量中互相垂直的是( )A a (4,2), b ( 3,5)B a ( 3,4),b (4,3)C a (5,2),b ( 2, 5)D a (2, 3),b (3, 2)(11).等比数列｛a n｝中, a2= 9,5 = 243,则｛a n｝的前4项和为( ).A . 81 B. 120 C. 168D. 192(⑵.已知等差数列｛a n｝的公差为2,若a1, a3, a4成等比数列，则a2 =( ).A . —4 B. —6 C . —8 D . —10(13)公比为2的等比数列｛a n｝的各项都是正数，且a3 an =16,则a5 =(A) 1 ( B) 2 (C) 4 ( D) 8(14).在等差数列｛a｝中，已知a4+a8=16，则a2+a°=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24二.填空题：(1)数列0, 3, 8, 15, 24,…的一个通项公式为__________________(2)_____________________________________________________ 数列的通项公式为0n= (-1) n+1?2+n,则a10= ______________________ .(3)___________________________________________________ 等差数列-1 , 2, 5,…的一个通项公式为__________________________ .丄(4)等比数列10, 1, 10,…的一个通项公式为 _________________(5)AB CD BC = ________________ .(6)_________________________________________ 已知2( a X)=3 ( b x),贝y x= _______________________________ .(7)向量a,b的坐标分别为(2,-i),(-1,3),则a b的坐标_____________ ,2 a 3b的坐标为____________ .(8)____________________________________ 已知 A (-3, 6), B (3,-6),则AB = ______________________________ ,|BA|= ___________ (9)_____________________________________________________ 已知三点A(丽+ 1,1),B( 1,1),C( 1,2),则<CA,CB>= _________________ .(10)_________________________________________ 若非零向量a (a「a2),b (bb),则_____________________________________ =0是a b的充要条件.三.解答题n1•数列的通项公式为 &二sin丁,写出数列的前5项2.在等差数列｛ a n ｝中，a1=2, a7=20,求S15.5在等比数列｛ a n ｝中，a5= 4, q= 2，求S7.3在平行四边形ABCD中，O为对角线交点，试用BA、BC表示BO.2 4.任意作一个向量a ，请画出向量b 2a,c a b . 5•已知点B (3, -2), AB = (-2, 4),求点A 的坐标. 6•已知点A (2, 3), AB = (-1, 5),求点B 的坐标.7.已知 a ( 2,2),b (3, 4),c (1,5),求：f f f i Y f(1) 2a b 3c ； (2) 3(a b) c坐标.8.已知点 A (1, 2), B (5, -2),且 a -AB 求向量a 的。
(完整word版)职高数学第七章平面向量习题及答案(2).docx
第 7 章平面向量习题练习 7.1.11、填空题（1）只有大小，没有方向的量叫做；既有大小，又有方向的量叫做；（2）向量的大小叫做向量的，模为零的向量叫做，模为 1 的向量叫做；（3）方向相同或相反的两个非零向量互相，平行向量又叫，规定：与任何一个向量平行；（4）当向量 a 与向量 b 的模相等，且方向相同时，称向量 a 与向量 b；（5）与非零向量 a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量 a 的；2、选择题（1）下列说法正确的是（）A ．若 |a|=0，则 a=0B．若 |a|=|b|，则 a=bC．若 |a|=|b|，则 a 与 b是平行向量D．若 a∥b，则 a=b（2）下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或uuur uuura∥ b， b∥c. 那么 a 相反；③向量 AB 与向量 CD 共线，则 A、 B、 C、D 四点共线；④如果∥c正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.0参考答案：1、（ 1）数量；向量（ 2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量（4）相等（ 5）负向量2、（ 1） A （ 2） B练习 7.1.21、选择题（1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（）uuur uuur uuur uuur uuurA ． AB=DCB ． AD+AB=ACuuur uuur uuur uuur uuur r C． AB +AD=BD D． AD+CB=0uuur uuur uuur（2）化简： AB+BC CD =（）D C A Buuur uuur uuur rA ． AC B． AD C． BD D ． 02、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a+bba参考答案：1、（ 1） C（ 2） B2、方法一：三角形法则方法二：平行四边行法则ba+b a+bba a练习 7.1.31、填空题uuur r uuur r uuur uuur（1）在平行四边形 ABCD 中，若 AB=a ， BD=b ，则 AB+CBuuur uuur uuur uur（2）化简 : OP QP PS SP；2、作图题：如图所示，已知向量 a 与 b，求 a- bba参考答案：r r uuur1、（ 1）b ； a （ 2） OQ2、a- buuur uuur， AD -CD；ba练习 7.1.41、选择题（1）如图所示， D 是△ ABC 的边 AB 的中点，则向量ADB Cuuur CD 等于（）uuur 1 uuuruuur 1 uuurA ． BC+ BAB ． BC+BA22uuur 1 uuuruuur 1 uuurC ． BCBAD ． BCBA2 2 uuur uuur uuuur（2）化简 PM PN MN 所得结果是（ ）uuuruuurruuuurA ． MPB ． NPC ． 0D ． MN2、化简题：（ 1） 3（ a - 2 b ）－（ 2 a ＋ b ）；（ 2） a - 2（ a - 4 b ）＋ 3（ 2a - b ）．参考答案：1、（ 1） B （ 2） C2、（ 1） a - 7 b （ 2）5a +5 by练习 7.2.131、填空题：2（1）对任一个平面向量a ，都存在着一对有序实数b（x ，y ），使得 a=xi +yj 。
平面向量复习题及答案
ABCDE F例题讲解1、(易 向量的概念)下列命题中,正确的是( )A.若a b ,则a 与b 的方向相同或相反B.若a b ,b c ,则a cC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a =b ,b =c ,则a =c . 2、(易 线性表示)已知平面内不共线的四点0,A,B,C 满足12OB OA OC 33=+,则|AB |:|BC |=( )A.3:1B.1:3C.2:1D.1:23、(易 坐标运算)已知向量a = (1,3),b = (3,n ),若2a –b 与b 共线,则实数n 的值是( ) A.6B.9C.323+D 323-4、(易 向量的概念)向量(4,5)AB =-按向量(1,2)a =平移后得向量A B '',则A B ''的坐标为( )A.(4,5)-B.(5,3)-C.(1,2)D.(3,7)- 5、(中 线性表示)如图,在ABC △中,D 是BC 的中点,E 是DC 的中点, F 是EC 的中点,若AB =a ,AC =b ,则AF =( )A.1344+a bB.1344-a bC.1788+a bD.1788-a b 6、(中 坐标运算)若函数()cos21f x x =+的图象按向量a 平移后,得到的图象关于原点对称,则向量a 可以是( )A.(,1)4π-B.(,1)2π-C.(,1)4π D.(0,1)二、填空题:共3小题7、(易 线性表示)设,a b 是两个不共线的非零向量,若向量2k +a b 与8k +a b 的方向相反,则k =8、(易 线性运算)若=+a b c ,化简3(2)2(3)2()+-+-+=a b b c a b9、(中 坐标运算)已知正△ABC 的边长为1 ,则23BC CA AB ++等于检测题1、(易 线性运算)已知非零向量,a b 满足a =λ,b b =λa (R λ∈),则λ= ( ) A.1- B.1± C.0 D.02、(易 向量不等式)设,a b 是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是 ( )A.+≤+a b a bB.-≤+a b a bC.-≤+a b a bD.≤+a a b 3、(中 坐标运算)已知a =(3,1)-,b =(1,2)-,(2)-+a b (+a k )b ,则实数k 的值是 ( )A.53B.2511 C.12- D.17- 4、(中 坐标运算)已知平面向量=a (,1)x ,=b 2(,)x x -,则向量+a b ( ). A.平行于第一、三象限的角平分线 B.平行于y 轴 C.平行于第二、四象限的角平分线 D.平行于x 轴5、(中 坐标运算)将二次函数2y x =的图象按向量a 平移后,得到的图象与一次函数25y x =-的图象只有一个公共点(3,1),则向量=a ( )A.(2,0)B.(2,1)C.(3,0)D.(3,1)6. 如图,在正六边形ABCDEF 中,已知AC =c ,AD =d ,则AE = (用c 与d 表示).巩固练习1. 若12,e e 是夹角为3π的单位向量，且122a e e =+,1232b e e =-+，则a b ⋅=（ C ） A .1 B . 4- C . 72- D .722. 设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ） A.(15,12)- B.0 C.3- D.11- 答案 C3. 在ABC ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ）A ．22B ．42 C ．23 D ．2答案A4. 在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为 （ ）A ．10B ．20C ．－10D ．205. 已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅（5）222q )(p q p ⋅=⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．36. 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA OB CO ++=0,则△ABC 的内角A 等于（ ） A.30 B.60 C.90 D.1207. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A ．1142+a bB ．2133+a b C ．1124+a bD ．1233+a b 答案 B8. 已知1,6,()2==-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π答案 C9. 在平行四边形ABCD 中，若BC BA BC AB +=+，则必有( ) A.ABCD 是菱形 B.ABCD 是矩形 C.ABCD 是正方形 D.以上皆错10.已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0 二.填空题11. 已知Rt △ABC 的斜边BC =5，则⋅+⋅+⋅的值等于 . 答案 －2512. 设p = (2,7)，q = (x ,-3)，若p 与q 的夹角)2,0[πθ∈，则x 的取值范围是13. 若平面向量a ，b 1=+，b a +平行于x 轴，)1,2(-=b ，则=a .答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)解析 )0,1(=+b a 或)0,1(-，则)1,1()1,2()0,1(-=--=a 或)1,3()1,2()0,1(-=---=a .14. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+⋅的最小值是________。
平面向量及其应用专题(有答案) 百度文库
一、多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，ABC S =△b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=4．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）A ．B ．C ．8D ．7．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）A BC D ．9．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）A ．B ．23C ．23-D 10．下列命题中，结论正确的有（ ） A ．00a ⨯=B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-C ．若//AB CD ，则A ､B ､C ､D 四点共线；D ．在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，0AC BD ⋅=，则四边形ABCD 为菱形. 11．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C处,,那么x 的值为( )A B ．C ．D ．314．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．832317．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ∆的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ∆的形状为（ ）A ．不确定B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形19．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（ ） A ．MB ．NC ．22D ．120．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m21．在ABC ∆中，设222AC AB AM BC -=⋅，则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的（ ） A ．垂心B ．内心C ．重心D ． 外心22．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定23．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=-24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)226．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2aB c=，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形27．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为A ．33(,)2B ．3(,3)2 C ．3(,3]2D ．3(,3)228．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则BD AC ⋅=（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．531．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C ．4D ．532．已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心D ．外心重心内心33．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +>C ．612abc ≤≤D ．1224abc ≤≤34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭35．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．BD 【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都 解析：BD 【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a ba b a b a b+=+=++⋅=+，()222222a b a ba b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确.故选：BD.本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.3．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，整理可得：，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，∴11sin 42224ac B a c ac ==⨯⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题.解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.5．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 6．AC【分析】利用余弦定理：即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基解析：AC 【分析】利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.7．AC 【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 8．AB【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中，因为，，面积，所以，所以，解得或，当时，由余弦定理得：，解得，当时，由余弦定理得：，解得所以或解析：AB【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin C =60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =故选：AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9．AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos 3B ==±. 故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 10．BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，，故A 错误；对于B ，若，则，所以，，故，即B 正确；对于C ，，则或与共线，故C 错误；对于D ，在四边形中，若解析：BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；【详解】解：对于A ，00a ⨯=，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+，2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+，故||||a b a b +=-，即B 正确；对于C ，//AB CD ，则//AB CD 或AB 与CD 共线，故C 错误；对于D ，在四边形ABCD 中，若0AB CD +=，即AB DC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，又0AC BD ⋅=，所以AC BD ⊥，所以四边形ABCD 是菱形，故D 正确； 故选：BD【点睛】 本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题. 11．AC 【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反， 解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.12．ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.13．AB【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析：AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确；对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个，所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.15．无二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，103534623v ==/秒）． 故选B ．【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．17．C 【解析】【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++， ∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤， 所以223ππθ<<， 故选：C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题.【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，又因为2B A C B π=+=-，所以3B π=， 所以3A B π==，所以ABC 是等边三角形. 故选：D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．C【分析】当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.【详解】当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()22>0c c c ≥，所以2c ≥，所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.20．D由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】 15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC 302sin 45203BC3tan 3020320ABBC故选D 【点睛】 本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．21．D【分析】 根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅，整理可得()0BC MC MB ⋅+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】 ()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点，则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项：D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.22．C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．23．D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．24．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
中职数学基础模块下册《平面向量的运算》 练习题
平面向量一、知识要点（平面向量的线性运算）： 1、平面向量的加法运算：三角形法则与平行四边形法则， 2、平面向量的减法运算：三角形法则， 3、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=，4、几何与向量综合时常出现的向量内容归纳如下：（1）给出与相交,等于已知过的中点;（2）给出,等于已知是的中点;（3）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（4） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（5）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。
（6）给出,等于已知是的平分线。
（7）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（8）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;例题精选：例1.如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（A ）0（B ）BE （C ）AD （D ）CFCBA 答案：D例2.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________。
4/3练习题：1.在△ABC 中， =a ， =b，则等于A.a +bB.-a +(-ba -bD.b -a2.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ， =b ， =c ， =d ，则 A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -da +b -c -d =0 D.a -b -c +d =03.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=4..如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=5.ABC ∆中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若a CB =，b CA =，1a =，2b =，则=（ ） （A ）1233a b +（B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 答案：Ｂ， B ， Ｂ， Ａ， B.二、知识要点（平面向量的坐标运算）：设),(),,(2211y x b y x a ==，(1)=±b a __________, =a λ___________________.(2)b a 与共线的充要条件：___________,__________, b a与垂直的充要条件：_______________._______________. (3)a 向量的摸：a =____________.(4) 2121y y x x b a +=∙ ，a ⋅b = |a ||b |c os θ ，cos θ =||||b a b a ⋅ ，22a a =. 例题精选：例3.在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= ． 解：()AB AD AB AC CD AB AC AB CD ⋅=⋅+=⋅+⋅915cos60cos60322AB AC AB CD =+=+=． 练习题：1.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为.2.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°3．已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |=, |a －b |=4.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-365.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 6.已知向量a ,b 夹角为45°，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=7.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量k a-b 垂直，则k=_____________．8.a ，b 为平面向量，已知a =（4，3），2a+b=（3，18），则a ，b 夹角的余弦值等于 （A ）865 （B ）865- （C ）1665 （D ）1665-9.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则________AD BE ⋅=。
数学平面向量高复习考题训练题（含答案）
数学平面向量高复习考题训练题（含答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。
下面是店铺为大家整理的数学平面向量高复习考题训练题，希望对大家有所帮助!数学平面向量高复习考题训练题及答案高考专题训练(八) 平面向量A级——基础巩固组一、选择题1.已知向量OA→=(3，-4)，OB→=(6，-3)，OC→=(2m，m+1).若AB→∥OC→，则实数m的值为( )A.-3B.-17C.-35D.35解析AB→=OB→-OA→=(3,1)，因为AB→∥OC→，所以3(m+1)-2m=0，解得m=-3.答案 A2.已知|a|=|b|=2，(a+2b)•(a-b)=-2，则a与b的夹角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3解析由(a+2b)•(a-b)=|a|2+ a•b-2|b|2=-2，得a•b=2，即|a||b|cos〈a，b〉=2，cos〈a，b〉=12.故〈a，b〉=π3.答案 B3.(2014•四川卷)平面向量a=(1,2)，b=(4,2)，c=ma+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=( )A.-2B.-1C.1D.2解析∵a=(1,2)，b=(4,2)，∴c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2).又∵c与a的夹角等于c与b的夹角，∴cos〈c，a〉=cos〈c，b〉.∴c•a|c||a|=c•b|c||b|.即5m+85|c|=8m+2025|c|，解得m=2.答案 D4.(2014•全国大纲卷)若向量a，b满足：|a|=1，(a+b)⊥a，(2a+b)⊥b，则|b|=( )A.2B.2C.1D.22解析∵(a+b)⊥a，|a|=1，∴(a+b)•a=0，∴|a|2+a•b=0，∴a•b=-1.又∵(2a+b)⊥b，∴(2a+b)•b= 0.∴2a•b+|b|2=0.∴|b|2=2.∴|b|=2，选B.答案 B5.设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m=(3sinA，sinB)，n=(cosB，3cosA)，若m•n=1+cos(A+B)，则C=( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析依题意得 3sinAcosB+3cosAsinB=1+cos(A+B)，3sin(A+B)=1+cos(A+B)，3sinC+cosC=1，2sinC+π6=1，sinC+π6=12.又π6<C+π6<7π6，因此C+π6=5π6，C=2π3，选C.答案 C6.在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|=|OB2→|=1，AP→=AB1→+AB2→.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( )A.0，52 B .52，72C.52，2D.72，2解析由题意得点B1，B2在以O为圆心，半径为1的圆上，点P在以O为圆心半径为12的圆内，又AB1→⊥AB2→，AP→=AB1→+AB2→，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O 点重合时，|OA→|最大为2，当P在半径为12的圆周上，|OA→|最小为72.∵P在圆内，∴|OA→|∈72，2.答案 D二、填空题7.(2014•北京卷)已知向量a，b满足|a|=1，b=(2,1)，且λ a+b=0(λ∈R)，则|λ|=________.解析|b|=22+12=5，由λa+b=0，得b=-λa，故|b|=|-λa|=|λ||a|，所以|λ|=|b||a|=51=5.答案 58.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG→=2GO→，若CD→∥AG→，且AD→=15AB→+λAC→(λ∈R)，则λ的值为________.解析因为CD→∥AG→，所以存在实数k，使得CD→=kAG→.CD→=AD→-AC→=15AB→+(λ-1)AC→，又由BO是△ABC的边AC上的中线，BG→=2GO→，得点G为△ABC的重心，所以AG→=13(AB→+AC→)，所以15AB→+(λ-1)AC→=k3(AB→+AC→)，由平面向量基本定理可得15=k3，λ-1=k3，解得λ=65.答案659.在△ABC所在的平面上有一点P满足PA→+PB→+PC→=AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是________.解析因为PA→+PB→+PC→=AB→，所以PA→+PB→+PC→+BA→=0，即PC→=2AP→，所以点P是CA边上靠近A点的一个三等分点，故S△PBCS△ABC=PCAC=23.答案23三、解答题10.已知向量AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，a∈R(1)若D为BC中点，AD→=(m,2)，求a，m的值;(2)若△ABC是直角三角形，求a的值.解(1)因为AB→=(3,1)，AC→=(-1，a)，所以AD→=12(AB→+AC→)=1，1+a2.又AD→=(m,2)，所以m=1，1+a=2×2，解得a=3，m=1.(2)因为△ABC是直角三角形，所以A=90°或B=90°或C=90°.当A=90°时，由AB→⊥AC→，得3×(-1)+1•a=0，所以a=3;当B=90°时，因为BC→=AC→-AB→=(-4，a-1)，所以由AB→⊥BC→，得3×(-4)+1•(a-1)=0，所以a=13;当C=90° 时，由BC→⊥AC→，得-1×(-4)+a•(a-1)=0，即a2-a+4=0，因为a∈R，所以无解.综上所述，a=3或a=13.11.在△ABC中，已知2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|=3BC→2，求角A、B、C的大小.解设BC=a，AC=b，AB=c.由2AB→•AC→=3|AB→|•|AC→|，得2bccosA=3bc，所以cosA=32.又A∈(0，π)，因此A=π6.由3|AB→|•|AC→|=3BC→2，得cb=3a2.于是sinC•sinB=3sin2A=34.所以sinC•sin5π6-C=34.sinC•12cosC+32sinC=34，因此2sinC•cosC+23sin2C=3，sin2C-3cos2C=0，即2sin2C-π3=0.由A=π6知0<C<5π6，所以-π3<2C-π3<4π3，从而2C-π3=0，或2C-π3=π，即C=π6或C=2π3，故A=π6，B=2π3，C=π6，或A=π6，B=π6，C=2π3.B级——能力提高组1.已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且AP→=λAB→，AQ→=(1-λ)AC→ ，λ∈R，则BQ→•CP→的最大值为( )A.32B.-32C.38D.-38解析如图，BQ→•CP→=(BA→+AQ→)•(CA→+AP→)=[BA→+(1-λ)AC→]•(CA→+λAB→)=AB→•AC→-λAB→ 2-(1-λ)AC→2+λ(1-λ)AB→•AC→=(λ-λ2+1)×cos60°-λ+λ-1=-12λ-122-38，0≤λ≤1，所以当λ=12时，BQ→•CP→的最大值为-38，选D.答案 D2.(2014•安徽卷)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1•y1+x2•y2+x3•y3+x4•y4+x5•y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值;②若a⊥b，则Smin与|a|无关;③若a∥b，则Smin与|b|无关;④若|b|>4|a|，则Smin>0;⑤若|b|=2|a|，Smin=8|a|2，则a与b的夹角为π4.解析对于①，若a，b有0组对应乘积，则S1=2a2+3b2，若a，b有2组对应乘积，则S2=a2+2b2+2a•b，若a，b有4组对应乘积，则S3=b2+4a•b，所以S最多有3个不同的值，①错误;因为a，b是不等向量，所以S1-S3=2a2+2b2-4a•b=2(a-b)2>0，S1-S2=a2 +b2-2a•b=(a-b)2>0，S2-S3=(a-b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin=S3=b2+4a•b，对于②，当a⊥b时，Smin=b2与|a|无关，②正确;对于③，显然Smin与|b|有关，③错误;对于④，设a，b的夹角为θ，则Smin=b2+4a•b>16|a|2+16|a|2cosθ=16|a|2(1+cosθ)≥0，故Smin>0，④正确;对于⑤，|b|=2|a|，Smin=4|a|2+8|a|2cosθ=8|a|2，所以cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=π3，⑤错误.因此正确命题是②④.答案②④3.已知向量m=3sinx4，1，n=cosx4，cos2x4.(1)若m•n=1，求cos2π3-x的值;(2)记f(x)=m•n，在△ABC中，角A ，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a-c)cosB=bcosC，求函数f(A)的取值范围.解(1)m•n=3sinx4cosx4+cos2x4=32sin x2+12•cosx2+12=sinx2+π6+12.又∵m•n=1，∴sinx2+π6=12.cosx+π3=1-2sin2x2+π6=12，cos2π3-x=- cosx+π3=-12.(2)∵(2a-c)cosB=bcosC，由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC.∴2sinAcosB=sin(B+C).∵A+B+C=π，∴sin(B+C)=sinA，且sinA≠0.∴cosB=12.又∵0<B<π，∴B=π3.∴0<A<2π3.∴π6<A2+π6<π2，12<sinA2+π6<1.又∵f(x)=m•n=sinx2+π6+12，∴f(A)=sinA2+π6+12.故函数f(A)的取值范围是1，32.。
(完整版)平面向量专项训练(含答案)
平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。
每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。
平面向量复习题及答案
平面向量复习题及答案一、选择题1. 向量\( \overrightarrow{AB} \)与向量\( \overrightarrow{CD} \)平行，那么向量\( \overrightarrow{AB} \)与向量\( \overrightarrow{DC} \)的关系是：A. 平行B. 垂直C. 相等D. 反向答案：D2. 已知向量\( \overrightarrow{a} = (3, 4) \)，向量\( \overrightarrow{b} = (x, y) \)，若两向量共线，则\( x \)和\( y \)的关系是：A. \( x = 4y \)B. \( x = 3y \)C. \( y = 4x \)D. \( y = 3x \)答案：A3. 向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的模分别为3和4，它们之间的夹角为\( \theta \)，那么向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的点积为：A. 3B. 4C. 12D. 16答案：C二、填空题1. 若向量\( \overrightarrow{a} = (1, 2) \)，向量\( \overrightarrow{b} = (-3, 1) \)，则向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的和为\( \overrightarrow{c} = (-2, 3) \)，则向量\( \overrightarrow{c} \)的模为________。
答案：\( \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{13} \)2. 若向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的点积为10，且向量\( \overrightarrow{a} \)的模为5，向量\( \overrightarrow{b} \)的模为2，则向量\( \overrightarrow{a} \)和向量\( \overrightarrow{b} \)的夹角\( \theta \)为_______。
平面向量专题复习试卷(含答案)
平面向量专题复习试卷一、课前回顾1. 平面向量基本定理如果12,e e r r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a r，有且只有一对实数12,λλ使1122a e e λλ=+r r r。
注：平行向量就是共线向量。
2. 数量积①cos a b a b θ⋅=⋅r r r r，其中[]0,θπ∈为a r 和b r 的夹角；②cos b θr 称为b r 在a r的方向上的投影。
3. 定比分点的坐标公式点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比的λ：12PP PP λ=u u u r u u u r 。
当P 内分线段12PP u u u u r时，0λ>；当P 外分线段12PP u u u u r 时, 0λ<.定比分点坐标公式()1λ≠-中点坐标公式()1λ=三角形重心公式二、考点练习考点一：平面向量的基本概念和运算【1】 设a r 与b r为非零向量，下列命题：①若a r 与b r 平行，则a r 与b r向量的方向相同或相反；②若,, AB a CD b ==r r a r 与b r共线，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；③若a r 与b r 共线，则a b a b +=+r r r r ； ④若a r 与b r 反向，则a a b b=-r rr r⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x )3,3(321321y y y x x x ++++其中正确命题的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B【解析】正确的应该是①④。
①显然正确；②a r 与b r 共线，即//AB CD u u u r u u u r，A 、B 、C 、D 四点不一定在一条直线上；③a r 与b r 共线，则a b λ=r r ，()1a b b λ+=+r r r ，1a b b λ+=+r r r；④若a r ，b r 为非零向量，则共线的a r 与b r 满足a r 与b r 同向时ba a b=rr r r ，a r 与b r 反向时b a a b=-rr r r 。
数学高职高考专题复习__平面向量问题(面向普高)
平面向量复习题一. 选择题1.已知平行四 边形ABCD,,,b AD a AB ==DB AC +=（ ）A ．2b . B.2a C.-2b D.-2a2.为+==,53( )A.8,0B.5,0C.8,5D.8,23.已知a =(10,5),b =(5,x),并且a ∥b ,则x 的值是( )A.2.5B.2.C.5D.0.54.已知)3,5(-=AB ,C=(-1,3),AB CD 2=,则点D 的坐标( )A.(11,9)B.(4,0) C(9,3) D(9.-3)5.已知=⊥-==OA OB y OB OA 并且,),,4(),2,3(( ) A.13 B.413 C213 D.2116.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC 的三个内角中（ ）A ．∠A= 90 B.∠B= 90 C.∠C= 90 D.没有直角7.已知平行四边形ABCD 的三个顶点A(-3,4),B(-2,1),C(1,6),那么顶点D 的坐标是() A.(0,-9) B.(-9,0) C(0,9) D(9,0)8.点A(-3,4),B(2,-4)的中点的坐标是( ) A.(21,4) B.()4,21- C.)0,21(- D.)0,25(-9.已知点A(-3,4),M （1，-3）点A 关于点M 对称点的坐标是（ ）A ．)21,21(- B.)25,3(- C.(-5,10) D.(5,-10)10. 60,,42>=<==b a ,则(3a +b )(a -2b )=( )A.-24B.-30 C-50 D.-45 11.OM BC MB AB +++)(=( ) A.AB B ACC.OC AB + D OM AB +12.已知)12,7(),,3(==b x a 且,b a ⊥则x=( ) A.47- B.47C.37-D.3713..已知向量),2,3(),1,2(-==b a 则=⋅b a ( )A.3B.4C.8D.﹣1214.向量)6,2(),3,4(-==b a 与的数量积=⋅b a ( )A.1010B.18C.11D.10二. 填空1. 已知a =(3,-1),b =(-1,2),则<a ,b >等于__________2. 已知A(0,1),B(1,2),点C 使AB AC 32=，则C 的坐标为___________3. _____30,23=+==b a 的夹角为与4. 已知点A(2,0),B(5,-1),C(1,2),AC b AB a ==,,______=•b a >=<b a ,_______5. OC BM CO OB AC OA MB +++-++=_________三. 解答题1.已知点A(2,0),B(5,4),C(1,3),D(6,5),且CD b AB a ==,,求4b a 3-,b a •2..已知平行四边形的两条对角线相交于O 点,∠AOB= 60,4OA OB →=,8=•OB OA.。
职业学校对口高考平面向量练习题
2011级对口高考班月考试卷 共1页 第1页《数学》平面向量练习题一、选择题（每题4分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 答案1、在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知向量12112b ,a , ,0l l l R l =+=∈≠λλ，若向量b a和共线，则下列关系一定成立的是（ ）A ．0=λB ． 02 =lC ．12 // l lD ．02 =l 或0=λ3. D 、E 、F 分别是△ABC 的BC 、CA 、AB 上的中点，且a BC =， b CA =，给出下列命题，其中正确命题的个数是（ ）①b a AD --=21 ②b a BE 21+=③b a CF 2121+-= ④0=++CF BE AD A ．1B ．2C ．3D ．44. 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -= （ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,25. 在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+ b cB ．5233- c bC ．2133- b cD ．1233+ b c 6. 已知a =（1，2），b =（－3，2），当k a +b 与a －3b 平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－31 D ．31 7. 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD可以表示为（ ）A ．AB CD - B ．1122AB CD -+C ．1()2AB CD -D ．()AB CD --8. 已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为（ ） A ．12 B ．－2 C ．2 D ．21- 9. 已知212-=⋅b a ，4=a ，a 和b 的夹角为︒135，则b 为（ ） A ．12B ．3C ．6D ．3310. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A ．（-5k,4k ）B ．(-k 5,-k 4) C ．(-10,2) D ． (5k,4k) 11、若点P 分AB 所成的比为43，则A 分BP 所成的比是（ ）A. 73 B ．37 C ．- 37 D ．-7312、已知向量a 、b ，a ·b =-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．60°B ．-60°C ． 120°D ． -120° 13、已知向量a ＝(－2, －1)，b ＝(11, －22)，则2a b 等于（ ）A ．大于零B ．小于或等于零C ．等于零D ．小于零 14、已知向量(4,1),(2,3),(7,5)AB BC CD =-=-=- 则向量AD的坐标为（ ） A ． ()5,7-B ．()5,7－C ．()9,3－D ．()9,3－15、如果一架向东飞行200km ，再向南飞行300km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，则（ ）A ．s>|a |B ．s<|a |C ．s=|a |D ．s 与|a |不能比大小 二、填空题（每题4分，共20分）16. 已知向量a ＝(3, 0)，b ＝(－5, 5)，则向量a 与向量b 的夹角为_____________________； 17. 已知2a 的坐标为(－4, 2)，则a 的坐标为__________________；18. 已知a ＝(－1, 3)，b ＝(2, －1)，若(k a ＋b )⊥(a －2b )，则k ＝___________________；19. 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b + 不超过5，则k 的取值范围是__________________；20. 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=_________________； 三、简答题（共6大题，共70分）21、（10分）设a ＝(2, －3)，b ＝(－4, 0), c＝(－5, 6)求235a b c -+-22、（10分）23、（12分）已知p ＝(2, －3)，q ＝(1, 2), a ＝(9, 4) 且,a mp nq =+求实数m,n 的值。
高考数学平面向量多选题复习题附解析
高考数学平面向量多选题复习题附解析一、平面向量多选题1．Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =1，0PA PB PC PAPBPC++=，以下正确的是（ ） A ．∠APB =120° B ．∠BPC =120° C ．2BP =PC D ．AP =2PC【答案】ABCD 【分析】根据条件作几何图形，由向量的关系可得P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形，∠APB =∠BPC =∠APC =120°，进而可确定P 为Rt △ABC 的费马点，利用相似可确定BP 、 AP 、 PC 之间的数量关系. 【详解】在直线PA ，PB ，PC 上分别取点M ，N ，G ，使得|PM |=|PN |=|PG |=1， 以PM ，PN 为邻边作平行四边形PMQN ，则PM PN PQ +=， ∵0PA PB PC PAPBPC++=，即0PM PN PG ++=，即0PQ PG +=，∴P ，G ，Q 三点共线且PQ =1，故△PMQ 和△PNQ 均为等边三角形， ∴∠APB =∠BPC =∠APC =120°，故A 、B 正确； ∵AB =BC =1，∠ABC =90°， ∴AC =2，∠ACB =60°，在△ABC 外部分别以BC ､AC 为边作等边△BCE 和等边△ACD ，直线CP 绕C 旋转60°交PD 于P’，∴120CE CB ECA BCD CA CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，即ECA BCD ≅，故EAC BDC ∠=∠， EAC BDC CA CDPCA P CD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩，即CPA CP D '≅，故CP CP '=， ∴CPP '为等边三角形，120CP D CPA '∠=∠=︒，则B ，P ，D 三点共线，同理有A ，P ，E 三点共线， ∴△BPC ∽△BCD ，即12BP BC CP CD ==，即PC =2BP ，故C 正确， 同理：△APC ∽△ACB ，即AP ACCP BC==2，即AP =2PC ，故D 正确. 故选：ABCD.【点睛】关键点点睛：根据已知条件及向量的数量关系确定P为Rt△ABC的费马点，结合相似三角形及费马点的性质判断各项的正误.2．如图，A､B分别是射线OM､ON上的点，下列以O为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（）A．2OA OB+B．1123 OA OB+C．3143OA OB+D．3145OA OB+【答案】AC【分析】利用向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，等价于存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得OP uOA vOB=+成立，且u+v=1.可以证明点P位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB=+，且u>0，v>0，u+v>1.证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确； 对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.3．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC =B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，所以11cos,sin,cos,sin33FD FEαααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8 cos,FD FEFD FEFD FE-⋅<>==⋅⎛，84(1,]5---，故正确；D. 由FC FD FEλμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OFλμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；故选：BCD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．下列说法中错误的为（）A．已知(1,2)a=，(1,1)b=，且a与a bλ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞⎪⎝⎭B．向量1(2,3)e=-，213,24e⎛⎫=-⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C．若//a b，则a在b方向上的投影为||aD．非零向量a和b满足||||||a b a b==-，则a 与a b+的夹角为60°【答案】ACD【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A ，∵(1,2)a=，(1,1)b=，a与a bλ+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)a a bλλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a与a bλ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A错误；对于B，向量12(2,3)4e e=-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.6．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题8．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.9．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()3PA x a y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以()()()2,2x PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+2222xy =+-即()PA PB PC ⋅+22232222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥- 故选：BCD. 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.10．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C ．32+ D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得k =综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.。
数学平面向量多选题知识点及练习题及答案(1)
数学平面向量多选题知识点及练习题及答案(1)一、平面向量多选题1．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（ ）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC 【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ； 观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -， 设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--， 故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.3．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =-∴2BG GD =，即D 错误 故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．6．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD 【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -，(),0C a ，则()3PA x a y =--，(),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=- 即()2,2PB x y PC --+= 所以()()()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+则()PA PB PC ⋅+22223xy ay =+-即()PA PB PC ⋅+222332222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥- 故选：BCD. 【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.7．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.8．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确； 对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=，∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确； 对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，||||||||3FA OD CB OD DC CB OC OA AC +-=+-=-==，故D 错误；故选：BC. 【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.二、立体几何多选题9．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||4A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得A B '=.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确.综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.10．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC 平面PAB AB =，∴//MN AB ，∴//AB RQ ，故A 正确；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明：在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ， ∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中， 23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=， ∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立，故C 错误；对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ，记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数，则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQR V PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅，又13sin 234PSR S PS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQ S PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin23PQR S PQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin 12PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQ PR PS α++=为常数，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.。
高三数学平面向量多选题复习题及答案
高三数学平面向量多选题复习题及答案一、平面向量多选题1．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ： 由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确； 对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直， 故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.2．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.3．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，cos ,AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=，对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.4．设O ，A ，B 是平面内不共线的三点，若()1,2,3n OC OA nOB n =+=，则下列选项正确的是（ ）A ．点1C ，2C ，3C 在同一直线上B ．123OC OC OC ==C ．123OC OB OC OB OC OB ⋅<⋅<⋅D ．123OC OA OC OA OC OA ⋅<⋅<⋅【答案】AC 【分析】利用共线向量定理和向量的数量积运算，即可得答案； 【详解】()12212()C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，()()233232C C OC OC OA OB OA OB OB =-=+-+=，所以1223C CC C =，A 正确.由向量加法的平行四边形法则可知B 不正确.21OC OA OC OA OA OB ⋅-⋅=⋅，无法判断与0的大小关系，而()21OC OB OA OB OB OA OB OB ⋅=+⋅=⋅+，()2222OC OB OA OB OB OA OB OB⋅=+⋅=⋅+，同理233OC OB OA OB OB ⋅=⋅+，所以C 正确，D 不正确. 故选：AC . 【点睛】本题考查向量共线定理和向量的数量积，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．22OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为22- 【答案】AB 【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果． 【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =， 对于32:11cos42A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos ||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ． 【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．6．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.7．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()cos,2||||1a a ba a ba a b⋅-〈-〉====-⨯，所以，a与a b-的夹角为4π.所以C 选项正确；故选：BC.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式2+a x y＝(2)若向量a b，是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式22•a a a a＝＝或2222||)2?(a b a b a a b b＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcosa b＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.9．在ABC中，()2,3AB=，()1,ACk=，若ABC是直角三角形，则k的值可以是（）A．1-B．113C D【答案】BCD【分析】由题意，若ABC是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A∠为直角，则AB AC⊥即0AC AB⋅=230k∴+=解得23k=-若B为直角，则BC AB⊥即0BC AB⋅=()()2,3,1,AB AC k==()1,3BC k∴=--2390k∴-+-=解得113k=若C∠为直角，则BC AC⊥，即0BC AC⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得3132k ±=综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+-- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
高中数学平面向量多选题专题复习及解析
高中数学平面向量多选题专题复习及解析一、平面向量多选题1．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ）A ．||||a b =B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确； 对于D ，又2cos ,22a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.2．如图，已知长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，()01DE DC λλ→→=<<，则下列结论正确的是（ ）A ．当13λ=时，1233E A A E D B →→→=+B ．当23λ=时，10cos ,10AE BE →→=C ．对任意()0,1λ∈，AE BE →→⊥不成立D ．AE BE →→+的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，由DE DC λ→→=，根据向量坐标的运算可得()3,2E λ，当13λ=时，得出()1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出2133AD AE BE →→→=+，即可判断A 选项；当23λ=时，()2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出cos ,AE BE →→=，即可判断B 选项；若AE BE →→⊥，根据向量垂直的数量积运算，即可判断C 选项；根据向量坐标加法运算求得()63,4AE BE λ→→+=-，再根据向量模的运算即可判断D 选项.【详解】解：如图，以A 为坐标原点，,AB AD 所在直线分别为x 轴､y 轴建立平面直角坐标系， 则()0,0A ，()3,0B ，()3,2C ，()0,2D ，由DE DC λ→→=，可得()3,2E λ，A 项，当13λ=时，()1,2E ，则()1,2AE →=，()2,2BE →=-， 设AD m AE n BE →→→=+，又()0,2AD →=，所以02222m n m n =-⎧⎨=+⎩，得2313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133AD AE BE →→→=+，A 错误；B 项，当23λ=时，()2,2E ，则()2,2AE →=，()1,2BE →=-，故cos ,AE BE AE BE AE BE→→→→→→⋅===⋅，B 正确；C 项，()3,2AE λ→=，()33,2BE λ→=-，若AE BE →→⊥，则()2333229940AE BE λλλλ→→⋅=-+⨯=-+=， 对于方程29940λλ-+=，()2Δ94940=--⨯⨯<， 故不存在()0,1λ∈，使得AE BE →→⊥，C 正确；D 项，()63,4AE BE λ→→+=-，所以()226344AE BE λ→→+=-+≥，当且仅当12λ=时等号成立，D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.3．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（ ）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确； 对于选项B ：易证DEFBFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.4．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（ ）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan 2θ=-，故A 错误； 若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+== 3sin()θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b 的最大值为3，故D 正确，故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是（ ）A ．()0a b c -⋅= B ．()0a b c a +-⋅= C ．()0a c b a --⋅=D ．2a b c ++=【答案】ABC 【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示：对于A 选项，四边形ABCD 为正方形，则BD AC ⊥，a b AB BC AB AD DB -=-=-=，()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=，A 选项正确；对于B 选项，0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=，则()00a b c a a +-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C 选项，a c AB AC CB -=-=，则0a c b CB BC --=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（ ）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()21225a e e =+==B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误； 由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为327a b b-⋅==，故D 正确。
高中数学 平面向量复习题及答案
向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ）A 、AB 与AC 共线 B 、DE 与CB 共线C 、1sin AD θ-与AE 相等 D 、AD 与BD 相等2、下列命题正确的是（ ）A 、向量AB 与BA 是两平行向量 B 、若a 、b 都是单位向量,则a =bC 、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3、在下列结论中，正确的结论为（ ）(1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件；(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件；(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件；(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4)4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。
5、已知|AB |=1，|AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= 。
6、在四边形ABCD 中, AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 。
7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL =NM 。
8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。
(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m )。
(2)求DA 的模。
T ={PQ 、9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。
职中数学平面向量测试题
2015―2016学年第一学期数学期末学试题技术二年级 数学姓名：___________ 成绩：___________一、选择题（15×3=45分）1、已知数列{n a }的通项公式是25n a n =-，那么2n a =（ ）。
A 、25n -B 、45n -C 、210n -D 、410n -2、等差数列75,3,,2,22----…的第1n +项为（ ）。
A 、1(7)2n - B 、1(4)2n - C 、42n- D 、72n-3、在等比数列{n a }中，已知252,6a a ==，则8a =（ ）。
A 、10B 、12C 、18D 、244、矩形ABCD 中，3,1,AB BC AB BC BD ==++=则（ ）。
A 、2B 、0C 、4D 、5、,,ABC AB AC BC AB AC ∆中，取为平面的一个基，则向量在基下的坐标为（） A 、（1，-1） B 、（-1，1） C 、（1，1） D 、（-1，-1）6、设13(1,1),(1,1),,22a b c a b c -=-则的坐标为（ ）。
A 、（1，-2）B 、（-1，2）C 、（1，2）D 、（-1，-2）7、已知(,3)(2,1)a x b x -=与共线，则（ ）。
A 、32 B 、-32 C 、6 D 、-68、已知平行四边形ABCD 中，A （-4，-2），B （2，-4），C （5，-1），则点D 的坐标为（） A 、（1，-1） B 、（-1，1） C 、（11，-3） D 、（-11，3）9、已知线段AB 的中点M 的坐标是（-1，1），点A 坐标（-3，1），则点B 的坐标为（）A 、（1，-3）B 、（-2，0）C 、（4，-4）D 、（-5，3）10、设向量'(2,1),a a -点P(-1,3)在决定的平移下的象P 的坐标为（ ）。
A 、（-1，-2）B 、（1，2）C 、（-3，4）D 、（3，-4）11、函数2(1,3)y x a =-的图像在决定的平移下的象的函数解析式为（ ）。
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平面向量的概念及线性运算
一、知识巩固
1、 平面向量的概念：既有 ，又有 的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．向量是用有向线段来表示的。
有向线段的箭头表示向量的 ，有向线段的大小表示向量的有向线段的 ，即向量的模。
例如AB 的模表示为
2、相等向量：大小 方向 的两个向量叫相等向量
3、负向量：大小 方向 的两个向量叫负向量。
例如：AB 的负向量记为
4、零向量：大小为 的向量
5、单位向量：大小为 的向量
6、共线向量（平行向量）：方向大小为 的向量
7、模相等的两个平行向量如果方向相同为 向量，如果方向相反为 向量。
8、向量的加法法则：（1）三角形法则：首尾相连首尾连。
a ＋
b = AB ＋BC =
（2）平行四边形法则：同起点
AB ＋AD =AB ＋BC =
9、向量的减法法则：减终指向被减终
如图7-9 AB -AD =
10向量的数乘运算：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它A C
B a
b a +b 图7－9 A
的模为||||||a a λ=λ
若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ， 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向
向量数乘运算满足如下的法则：
()()111=-=-a a a a ， ；
()()()()2a a a λμλμμλ== ；
()()3a a a λμλμ+=+ ；
()()a b a b λλλ+=+４ ．
11、向量共线的条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥
二、试一试
1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出
（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．
2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出
（1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC 共线的向量
3、填空（向量如图所示）：
（1）a ＋b =_____________ ,
F A D B E C （练习题第1题图 E
F A B C
D
O （图1－8）
第2题图
（2）b ＋c =_____________ ,
（3）a ＋b ＋c =_____________ ．
3．计算：
（1）AB ＋BC ＋CD =______________； （2）OB ＋BC ＋CA =______________．
（3）AB AD -=_______，（4）BC BA -=______，（5）OD OA -=______________．
三、精选例题
例1、 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．
分析 因为12AO AC =,12
OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .
例2、 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；
（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．
例3、计算（1）AB
AC BD DE （2）AM
AN MG GE （3）()()AB
CD AC BD
图7－16
四、作业
1、化简
（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．
（3）AB AC（4）AB BA AD DC
（5）AB AC CD（6）AB AC BC
(7)3(23)5(22)
a b c a b c
2、如图，在平行四边形ABCD中，设AB= a,AD= b，试用a, b表示向量AC、BD、DB
2、设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝1 2
（a＋b）
3、一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
4、当a与b共线时，如何画出a－b。