函数(一)
必修一-函数的概念练习题(含答案)
函数的概念（一）一、选择题1．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f (x )→y ＝12xB ．f (x )→y ＝13xC ．f (x )→y ＝23x D ．f (x )→y ＝x 2．某物体一天中的温度是时间t 的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t ＝0表示12：00，其后t 的取值为正，则上午8时的温度为( )A ．8℃B ．112℃C ．58℃D ．18℃3．函数y ＝1－x2＋x2－1的定义域是( )A ．[－1，1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．[0，1]D ．{－1，1}4．已知f (x )的定义域为[－2，2]，则f (x 2－1)的定义域为( )A ．[－1，3]B ．[0，3]C ．[－3，3]D ．[－4,4]5．若函数y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则y ＝f (x )的定义域是( )A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[2，8]D ．[3，9]6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( )A ．必有一个B ．一个或两个C ．至多一个D ．可能两个以上7．函数f (x )＝1ax2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤34}C ．{a |a ＞34} D ．{a |0≤a ＜34} 8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年．A ．4B ．5C ．6D ．79．(安徽铜一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x2x2(x ≠0)，那么f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．15B ．1C ．3D ．3010．函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．{1，3，5}D ．R二、填空题11．某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．12．函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)________． 三、解答题13．求一次函数f (x )，使f [f (x )]＝9x ＋1.14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，销售单价应定为多少元？15．求下列函数的定义域．(1)y ＝x ＋1x2－4； (2)y ＝1|x|－2；(3)y ＝x2＋x ＋1＋(x －1)0. 16．(1)已知f (x )＝2x －3，x ∈{0，1，2，3}，求f (x )的值域．(2)已知f (x )＝3x ＋4的值域为{y |－2≤y ≤4}，求此函数的定义域．17．（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域；（2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；（3）已知f (x )的定义域为[0，1]，求函数y =f (x ＋a )+f (x －a )(其中0＜a ＜12)的定义域．18．用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架的面积y 与x 的函数关系式及其定义域．1.2.1 函数的概念答案一、选择题1．[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C. 2．[答案] A[解析] 12：00时，t ＝0，12：00以后的t 为正，则12：00以前的时间负，上午8时对应的t ＝－4，故T (－4)＝(－4)3－3(－4)＋60＝8.3．[答案] D[解析] 使函数y ＝1－x2＋x2－1有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x2≥0x2－1≥0，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 4．[答案] C[解析] ∵－2≤x 2－1≤2，∴－1≤x 2≤3，即x 2≤3，∴－3≤x ≤ 3.5．[答案] C[解析] 由于y ＝f (3x －1)的定义域为[1,3]，∴3x －1∈[2,8]，∴y ＝f (x )的定义域为[2,8]。
第一节函数
则称 f 为定义在D上的函数f : D R, x y, x D
其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个 根据映射 f 对应于一个y ，记作y =f(x)，称为函数 f 在 x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域
单调增加 (或单调减少).
如果对于区间I上任意两点 x1, x2，当 x1 x2均 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数y=f(x) 在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).
单调函数图形特征: 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；
x r cos t
y
r
s
in
t
, (0 t )
三、函数的特性 1.函数的有界性 定义 设函数y=f (x)的定义域为D, 数集 X D ， 如果存在正数M, 使得对于任意的 x X , 都有不等式 | f ( x ) | M 成立, 则称 f (x)在X上有界, 如果这样的M不 存在, 就称函数 f (x)在X上无界. 注: 如果M为 f (x)的一个界, 易知比 M大的任何一 个正数都是 f (x)的界. 如果f(x)在X上无界, 那么对于任 意给定的正数M, X中总有相应的点 x, 使 | f ( x ) | M
第一章 函 数
第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
第一节 函数的概念 一、函数的概念 二、具有特性的几类函数
第一节 函数的概念
一、函数的概念 常量：如果一个量在某过程中保持不变, 总取同
一值, 则称这种量为常量. 常量通常用a, b, c， 表示.
课时1函数的概念(一)(经典公开课)
一、导入新课 在初中我们已经接触过函数的概念，知道了函数是刻画变量之间对应关 系的数学模型和工具．如：某物体从高度为 100 m 的高空自由下落，物 体下落的距离 s(m)与所用时间 t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可 以表示为 s＝12gt2，其中 g 取 9.8 m/s2.
二、提出问题 1．时间 t 的变化范围构成的集合 A 是什么？ 2．下落的距离 s 的变化范围构成的集合 B 是什么？ 3．下落后的某一时刻 t，能同时有两个 s 与之对应吗？ 4．集合 A 中的元素与集合 B 中的元素构成怎样的对应关系？ [学习目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合 语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(数学抽象) 2.体会集 合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．(数学抽象) 3.了解构成函 数的要素．(数学抽象) 4.能求给定函数的定义域．(数学运算)
题型 2◆求函数的值 典例 已知函数 f(x)＝1＋x2x2.求： (1)f(a)＋f1a； (2)f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13； (3)f(1)＋f(2)＋…＋f(99)＋f(100)＋f12＋f13＋…＋f1100.
12 解：(1)由题意，函数 f(x)＝1＋x2x2，可得 f(a)＋f1a＝1＋a2a2＋1＋aa12＝1＋a2a2 ＋a2＋1 1＝aa22＋ ＋11＝1. (2)由(1)可得 f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1， 又由 f(1)＝1＋1212＝12，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋f12＋f13＝12＋1＋1＝52.
函数的概念是学生进入高中阶段遇到的一个难点，由于运用集合与对应 的观点来诠释函数，因而这部分内容显得较为抽象，学生学习起来比较 吃力．为了得出函数的概念，教材是通过如下步骤来实现的：(1)回顾初 中函数的概念；(2)列举 4 个函数实例；(3)归纳 4 个问题的共同特征；(4) 给出函数的定义．
函数(第一课)
y
ox
x
o
2
３）举例说明 例1 指出二次函数y = x2 +1的定义域、
值域。
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去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已 经靠近了轨道，地铁公司不得不安排专人来提醒乘客注意安全。恰恰是诸如此类的细节，决定了二号线运营成本远远高于一号线，至今尚未实现收支平衡。一号线近乎完美的设计，正是基于德国设计人员的细心观察，科学计算，周密推理，尤其是对于细节与全局关系准确把握的一种理性和自觉 ，最终才能从大处着眼，从细节着手。 请以“细节与全局”为话题，写一篇800字的文章。 [写作提示]“细节与全局”是一个双概念关系型的话题，它体现了哲学上讨论的“整体与局部”的关系，着眼考查学生的思辨能力。考生写作时，应该用联系的眼光看待“细节与全局”的关系，细节虽小 ，却不可忽视，生活中每一个小的细节都和整体有着密不可分的联系。如果每个细节我们都做得好，那么就会有一个令人满意的全局；如果关键的细节我们没有注意到，就可能带来全局性的失误，如前苏联的联盟一号飞船的悲剧就是由于一个小数点的错误造成的。“千里之堤，溃于蚁穴”，讲 的就是这个道理。 11.阅读下面的材料，然后按要求作文。 科学家不是依赖于个人的思想，而是综合了几千人的智慧。许多人想一个问题，并且每个人做其中的部分工作，添加到正建立起来的伟大的知识大厦之中。——卢瑟福 独立性是天才的基本特征。——歌德 即使通过自己的努力知道一半 的真理，也比人云亦云地知道全部真理要好。——罗曼·罗兰 一粒沙子是松散的，可是它和水泥、石子、水混合后，比花岗岩还坚韧。——王 杰 读了上面的几则材料，你有什么感想？请以“自主与合作”为话题写一篇作文。 [写作提示]对“自主与合作”之间的关系要进行辩地分析。一味地 强调自主而忽视合作，便会导致刚愎自用，不能借用集体的智慧；一味地强调合作而忽视自主，便会丧失自我。只有在自主中寻求合作，在合作中保持自主，这才是明智的做法。该话题可用的材料非常多，中国历史上战国七雄之间的关系可以从本话题的角度来写；当今的企业之间、国与国之间 既合作又团结的关系也可以成为作文的论材料。 ? 12.阅读下面的材料，然后按要求作文。 有一位木匠，晚年他很少手把手地教徒弟做工，只是习惯于提醒，有一句口头禅是：“注意了，留一道缝隙。”木工讲究疏密有致，黏合贴切，该疏则疏，不然易散落。时下，许多人家装修房子，常常出 现木地板开裂，或挤压拱起的现象，这就是当初做得太“美满”的缘故。高明的装修师傅懂得恰到好处地留一道缝隙，给组合材料留下吻合的空间，便可避免出现这样的问题。 其实，做人处事，和木匠的工艺一样，也得讲究“留一道缝隙”。你是如何看待这个问题的？请以“留一道缝隙”为话 题，联系社会生活实际，写一篇文章。立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字。 ? [写作提示]做人和处事，如果事事工于算计，利害当头，互不相让，凡事追求“团满”，人与人之间的关系就会紧张，就会裂变。同样，一个人把所有行为都目的化，就会把自己的理想挤压得变形。留一 道缝隙，给自己，给他人，给社会留一个可供吻合的人际空间。 ? 13. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 铅笔即将被装箱运走，制造者很不放心，把它带到一旁对它说：“你将来能做很多大事，会成为最好的铅笔。但是有一个前提，你要记住我的话：你不能盲目自由，你要允许自己被一只 手握住；你可能经常会感受到刀削般的疼痛，但是这些痛苦都是必要的，它会使你成为一支有用的铅笔；不要过于固执，要承认你所犯的任何错误，并且勇于改正它；不管穿上什么样的外衣，你都要清楚一点，你最重要的部分总是在里面；在你走过的任何地方，都必须留下不可磨灭的痕迹，不 管是什么状态，你必须写下去。要记住，只有这样，生活才会有意义。” 请以“铅笔的原则”为话题，写一篇800字的文章。 ? [写作提示]这是一个比喻性的话题，好在话题材料中已经把“铅笔的原则”的比喻义讲得十分清楚，也就是制造者的嘱咐。考生须明白的是，这则材料看似在告诫铅笔 ，实则是在告诫人，这个话题是让我们思考做人的原则问题：生活中没有绝对的自由，正视痛苦磨炼人生，要勇于改正错误，守住心灵不迷失自我，奋斗中展示自己的美。文章立意的自由度很大，所写内容只要与以上几个方面有联系都算是符合题意。 注意写议时应有丰富的材料，选材要新颖、 典型，更要有对材料的合理分析，注意论辩色彩，使文章有较强的说服力。写记叙文要构思精巧，要有饱满的情感，以深刻的细节描写打动读者，追求行文的艺术性。 14.阅读下面的材料，然后按要求作文。 一只兔子被猎人开枪打伤。它惊恐地逃跑了。猎人让猎犬追赶那只逃跑的兔子。猎犬的 速度飞快，兔子没命地飞奔，根本看不出它已经受伤，最后竟把猎犬甩开了。猎人见猎犬一无所获，愤怒地骂道：“没用的东西，连一只受伤的兔子都抓不到！”猎犬感到很委屈，辩解道：“我虽然没能抓到兔子，可我已经尽力而为了呀!”那只受伤的兔子逃回窝中，伙伴们为它死里逃生而感到 惊奇。 ? 它们好奇地问：“猎犬速度这么快，你居然还能逃脱，真是太不可思议了！”惊魂未定的兔子说：“猎犬如果抓不住我，顶多被主人骂一顿，所以，它追我只是尽力而为；可我如果被它抓住，命就没有了，所以我逃跑是全力以赴呀!” 在生活中，我们常常发现一些本应该能够做好的事 情竟没有做好，而有些看来没有希望做好的事情却做成功了。这原因往往就如猎犬和兔子，取决于是尽力还是全力。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。题目自拟，立意自定，文体自选，800字以上。 [写作提示]“尽力”与“全力”的区别在于是否还留有余地，是否还有退路，其所处境遇 不同，付出也会异样，那么结果也就不一样。这不是一个关系型话题，而是同中求异的范围型话题。 我们可以从几个角度选择立意。从猎犬与兔子比较的角度立意，可以联想到生存状况影响对待工作的态度，猎犬没有生存危机，所以只需“尽力”做就行；兔子有生存危机，所以做事必须“全力 以赴”。从猎人的角度联想，可以想到形成猎犬与兔子行动结果的不同，是猎人的造成的，对兔子是把它逼向死地，对猎犬却没有很有用的利害机制促其全力以赴，人不求“全力”，只求“尽力”是机制造成的。进而可以这样联想，假如打破“铁饭碗”，摔烂“铁交椅”，砸碎“关系网”，人 还敢只“尽力”而不“全力”去做吗？看来，制度决定人的工作态度。 至于是议论还是编故事，只要能表明自己的观点或者中心意图，都是可以的。 15. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 理查·布林斯莱·谢立丹是18世纪后期英国最有成就的喜剧家。当他的第一部喜剧《情敌》初次上演时 ，谢立丹应观众的要求谢幕。就在这个时候，有一个人在剧场顶层的楼座上喊道：“这个喜剧糟透了！”声音很大，全场观众都听见了，他们都想看看谢立丹有什么反应。谢立丹微笑着鞠躬说：“我的朋友，我完全同意你的意见。”他耸耸肩，指着剧场里那些刚才为演出热烈叫好的观众，补充 了一句说：“但是，我们两个人反对这么多观众，你难道认为能起什么作用吗？”观众对谢立丹的智慧报以更热烈的掌声。 生活中常常会遇到一些意想不到的情况，富有智慧的人往往能“化险为夷”。他们不把难题当作刁难，反而把它看成是更好地展示自己的机遇。请以“难题与机遇”为话题 写一篇文章。题目自拟，立意自定，文体自选，800字以上。 [写作提示]这是一个关系型话题。我们首先要想一想，“难题”与“机遇”在人们看来主要有哪些关系。一是难题等于机遇，二是机遇等于难题，三是化解难题可以成为机遇，四是不善因势利导机遇就会变成难题。进一步想，怎样才 能把难题看得等于机遇，怎样才能化解难题使其变成机遇；怎样的情况下才把机遇也当成难题，怎样的情况下才失去机遇而使其变成难题。再根据材料和引语，明确命题导向在于只有智慧者才能把难题当作机遇，把难题化解成机遇。那么我们可以从正面立意，从积极的意义上谈面对难题的问题 ；也可以从反面入手，写把机遇等同于难题或者不抓机遇会使之变成难题。 这样的材料应该是很多的，比如，某公益网站主动为某校提供空间，供其发表师生文章，而该校有人认为这是增加了师生的负担，是出了难题。相反，有的人并不是很熟悉网页制作，面对此事，认为是个机遇，于是苦学 技术，花费了精力，办起了网站，不仅成为网站高手，为学校获得广泛的声誉，而且学生因此而提高了学习兴趣，进而获得了很好的教学效益。 16. 阅读下面的材料，然后按要求作文。 有个小孩对母亲说：“妈妈你今天好漂亮。”母亲回答：“为什么？”小孩说：“因为妈妈一天都没有生气 。”原来要拥有漂亮很简单，只要不生气就可以了。有个牧场主人，让他的孩子每天在牧场上辛勤工作，朋友对他说：“你不需要让孩子如此辛苦，农作物一样会长得很好的。”牧场主人回答说：“我不是在培养农作物，我是在培养我的孩子。”原来培养孩子很简单，让他吃点苦头就可以了。 有一个网球教练对学生说：“如果一个网球掉进草堆里，应该如何找？”有人答：“从草堆中心线开始找。”有人答：“从草堆的最凹处开始找。”有人答：“从草最长的地方开始找。”教练宣布正确答案：“按部就班地从草地的一头，搜寻到草地的另一头。”原来寻找成功的方法很简单，从 一数到十不要跳过任一个就可以了。 请以“简单”为话题写一篇文章。题目自拟，立
第三章 3.1.1 第1课时 函数的概念(一)
§3.1函数的概念及其表示3．1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．知识点函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}思考1在函数的概念中，如果函数y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？答案确定，一一对应．思考2如果函数y＝f(x)的定义域、值域确定，那么对应关系确定吗？答案不确定，例如函数的定义域为A＝{－1,0,1}，值域为B＝{0,1}，则对应关系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可．特别提醒理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．1．根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(×)2．任何两个集合之间都可以建立函数关系．(×)3．函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(×)4．在函数的定义中，集合B是函数的值域．(×)一、函数关系的判断例1(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值答案AD解析按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不是；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是．(学生)反思感悟(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是()A．①B．②C．③D．④答案 D解析只有y＝|x|是符合题意的对应关系．二、求函数值例2设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))．解(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)．g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.(2)g (f (x ))＝1f (x )＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4. (教师) 延伸探究1．本例的条件不变，求f (f (x ))，g (g (x ))． 解 f (f (x ))＝2(f (x ))2＋2＝2(2x 2＋2)2＋2 ＝8x 4＋16x 2＋10，g (g (x ))＝1g (x )＋2＝11x ＋2＋2＝x ＋22x ＋5.2．本例的条件不变，若f (a ＋1)＝g ⎝⎛⎭⎫－32＋a ＋1，求a 的值． 解 由f (a ＋1)＝g ⎝⎛⎭⎫－32＋a ＋1得2a 2＋3a ＋1＝0， 解得a ＝－1或a ＝－12.(学生)反思感悟 函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则．跟踪训练2 若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f (f (2))的值．解 f (0)＝1－01＋0＝1，f (1)＝1－11＋1＝0，f (1－a )＝1－(1－a )1＋(1－a )＝a2－a(a ≠2)，f (f (2))＝1－f (2)1＋f (2)＝1－1－21＋21＋1－21＋2＝2.三、求函数的定义域 例3 求下列函数的定义域： (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)f (x )＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2>0，即x >－2， 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3， 所以函数y ＝5－x|x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}． (4)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1.因此函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <1}． (学生)反思感悟 求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 跟踪训练3 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝2x 2－3x －2＋14－x. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，得⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2≥0，4－x >0，得x ≤－12或2≤x <4，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或2≤x <4.函数的判断典例 在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，不能确定y 是x 的函数的是( ) ①A ＝{x |x ∈Z }，B ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ＝x3；②A ＝{x |x >0，x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y 2＝3x ； ③A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →x 2＋y 2＝25； ④A ＝{x |x ∈R }，B ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ＝x 2；⑤A ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，B ＝{s |s ∈R }，对应关系f ：(x ，y )→s ＝x ＋y ； ⑥A ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈R }，B ＝{0}，对应关系f ：x →y ＝0. A ．①⑤⑥ B ．②④⑤⑥ C ．②③④ D ．①②③⑤答案 D解析 ①在对应关系f 下，A 中不能被3整除的数在B 中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．[素养提升](1)判断一个对应关系是否为函数，是函数定义的具体应用，体现了数学抽象的核心素养．(2)首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B 中y的唯一性．1．已知函数f(x)＝3x，则f ⎝⎛⎭⎫1a等于()A.1a B.3a C．a D．3a答案 D解析f⎝⎛⎭⎫1a＝31a＝3a.2．下列函数中定义域为R的是()A．y＝x B．y＝(x－1)0C．y＝x2＋3 D．y＝1x答案 C解析A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0.3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是()A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数答案AD解析由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故C错误．4．若f (x )＝11－x 2，则f (3)＝________，f (f (－2))＝________.答案 －18 98解析 f (3)＝11－9＝－18，f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝98. 5．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是____________________________________________． 答案 {x |x ≥－1且x ≠1}解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．1．知识清单： (1)函数的概念． (2)求函数值． (3)求函数的定义域． 2．方法归纳：定义法．3．常见误区：理解函数的概念要紧扣函数的定义．1．(多选)下列四种说法中，正确的有( )A ．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 答案 ACD解析 由函数定义知，A ，C ，D 正确，B 不正确． 2．设函数f (x )＝3x 2－1，则f (a )－f (－a )的值是( )A ．0B ．3a 2－1C ．6a 2－2D ．6a 2答案 A解析 f (a )－f (－a )＝3a 2－1－[3(－a )2－1]＝0.3．(多选)已知集合A ＝{x |0≤x ≤8}，集合B ＝{y |0≤y ≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A 到B 的函数关系的是( ) A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x答案 ABC解析 根据函数的定义，对于D ，在集合A 中的部分元素，在集合B 中没有元素与它对应，故不正确． 4．函数f (x )＝1－3xx的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x ≤13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤13且x ≠0 答案 D解析 要使f (x )有意义，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.5．若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )答案 B解析 A 中值域为{y |0≤y ≤2}，故错误；C ，D 中值域为{1,2}，故错误． 6．若f (x )＝2xx 2＋2，则f (1)＝________.答案 23解析 f (1)＝21＋2＝23.7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝________.答案 －56解析 由f (t )＝6，得11＋t＝6，即t ＝－56.8．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，则从A 到B 的函数f (x )有________个． 答案 8解析 利用列表法确定函数的个数．9.求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (2)f (x )＝(x ＋3)0|x |－x.解 (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎨⎧x ≠－3，x <0. 所以函数的定义域为{x |x <0且x ≠－3}．10．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (12)的值．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为{x |x ≥－4且x ≠1}．(2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3. f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.11．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝|x | 答案 A解析 对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立．对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立．对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立． 对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．12．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >112 解析 要使原函数有意义，必须满足mx 2＋x ＋3≠0，由于函数的定义域是R ，故mx 2＋x ＋3≠0对一切实数x 恒成立．当m ＝0时，x ＋3≠0，即x ≠－3，与f (x )的定义域为R 矛盾，所以m ＝0不合题意．当m ≠0时，有Δ＝12－12m <0，解得m >112. 综上可知，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >112. 13．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域是________．答案 {x |0<x <2}解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎨⎧－2<x <2，0<x <2. 解得0<x <2，于是函数g (x )的定义域为{x |0<x <2}． 14．若对任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________，f (－1)＝________. 答案 2 0解析 对∀x ∈R ，有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，令x ＝1，则2f (1)－f (－1)＝4，①令x ＝－1，则2f (－1)－f (1)＝－2.②由①②解得f (1)＝2，f (－1)＝0.15．设函数y ＝f (x )对任意正实数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，已知f (8)＝3，则f (2)＝________.答案 12解析 因为f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，所以令x ＝y ＝2，得f (2)＝f (2)＋f (2)，令x ＝y ＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)，令x ＝2，y ＝4，得f (8)＝f (2)＋f (4)，所以f (8)＝3f (2)＝6f (2)，又f (8)＝3，所以f (2)＝12. 16．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)与f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)与f ⎝⎛⎭⎫13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系吗？证明你的发现；(3)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020的值． 解 (1)由f (x )＝x 21＋x 2＝1－1x 2＋1， 所以f (2)＝1－122＋1＝45，f ⎝⎛⎭⎫12＝1－114＋1＝15. f (3)＝1－132＋1＝910，f ⎝⎛⎭⎫13＝1－119＋1＝110. (2)由(1)中求得的结果发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…，f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝1. ∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 020)＋f ⎝⎛⎭⎫12 020＝2 019.。
大学高等数学第一章函数
大学高等数学第一章函数函数是数学中的基础概念之一，广泛应用于各个学科领域。
本文将从函数的定义、分类和性质等方面进行论述，并探讨函数在现实生活和学术研究中的应用。
一、函数的定义函数是一种映射关系，将一个集合的每个元素都对应到另一个集合的唯一元素。
简单来说，函数就是一种输入和输出之间的关系。
数学上常用 f(x) 表示函数，其中 x 是自变量，f(x) 是函数的值。
二、函数的分类函数可以按照不同的变量类型进行分类，常见的分类包括：1. 数字函数：自变量和函数值都是实数的函数，如 f(x) = 2x + 1。
2. 向量函数：自变量是实数，函数值是向量的函数，如 f(t) = (cos t, sin t)。
3. 多元函数：自变量是多个实数，函数值是实数的函数，如 f(x, y) = x^2 + y^2。
4. 参数方程：自变量是参数，函数值是一组参数对应的点的坐标，如 x = 2t, y = 3t。
三、函数的性质函数具有以下一些重要性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
2. 奇偶性：如果对于定义域内的任意 x，满足 f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数；如果满足 f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
3. 单调性：如果对于任意的 x1 和 x2，当 x1 < x2 时有 f(x1) < f(x2)，则函数是递增函数；如果满足 f(x1) > f(x2)，则函数是递减函数。
4. 对称轴和顶点：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，它的对称轴是 x = -b/2a，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
四、函数的应用函数在现实生活和学术研究中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 物理学：函数用于描述运动过程中的位移、速度和加速度等物理量的关系。
2. 经济学：函数被用于模拟经济行为和预测市场走势，如供求函数、收益函数等。
第一章 函数
第一章函数高等数学（工专）包括两大部分，第一部分是一元函数微积分，第二部分是线性代数基础。
一元函数的研究对象是函数，包括函数的概念和图形，极限和连续的概念，导数和微分的概念及导数的应用，一元函数积分学，它的基础是极限的概念，核心内容是一元函数的微分学和积分学。
所以本部分也叫一元函数微积分，线性代数研究的对象是矩阵，线性代数基础。
包括行列式、矩阵，线性方程组三部分，行列式是基础。
核心内容是矩阵和线性方程组。
根据高等数学（工专）考试样卷看第一章函数的考分为5分；第二章极限与连续的考分为7分；第三章导数与微分的考分为27分；第四章导数的应用的考分为21分；第五章一元函数积分学的考分为26分；第六章线性代数初步的考分为14分；其中行列式2分，矩阵6分，线性方程组6分，从样卷统计看一元函数微积分的考分为80分，它是本课程的主体，其中一元函数的微分与积分考分为72分，可见这一部分内容是全书的重点。
在初等教学中，研究的对象是常量，在高等数学中研究的对象是变量及变量之间的关系，即函数关系。
本章介绍函数的定义特性，要求学员通过本章学习对函数有初步的了解，本章的考试内容的占全书的5%。
1.1 函数的定义一、常量与变量在自然现象中，有些量在所研究的过程中经常变化，有些是则暂时不变，经常变化的量叫变量，暂时不变的量叫常量。
例如在一天的时间内，温度经常在变化，所以温度是变量，而房屋的高度基本不变，所以房屋的高度是常量。
在本教程中，常量习惯用字母a、b、c……表示；变量习惯用x、y、z……表示。
为了讨论问题叙述方便，常量也可作为特殊的变量看待。
二、函数的定义在实际问题中，经常有多个变量，而且这些变量有数学关系，或者还有对应关系，例如正方形面积s与它的长x有对应的数学关系。
s=x2只要长x的值确定了，则面积s根据这种对应的数学关系便有唯一的值与之对应，这种对应关系我们称为函数关系。
下面给出函数的定义。
定义1.1 设x，y是两个变量，x的变化范围是实数集D，如果对于任何的，按照一定的法则都有唯一确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y=f（x）,称D是函数的定义域，x为自变量，y为因变量。
函数的概念及其表示(1)
• 你认为按表3-1-1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用
怎样的语言来刻画这个函数？
• 这里，的取值范围是数集4 =
{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}；
• 根据恩格尔系数的定义可知，的取值范围是数集4 = {|0 < ≤ 1}．
• 对于数集4 中的任意一个年份，根据表3-1-1所给定的对应关系，在数集4 中都有
唯一确定的恩格尔系数与之对应．所以，是的函数．
上述问题的共同特征有：
(1)都包含两个非空数集，用，来表示；
(2)都有一个对应关系；
(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意
=
2
是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念．
• 先分析以下问题．
• 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350/ℎ后保持匀速运行半小
时．这段时间内，列车行进的路程(单位：)与运行时间(单位：ℎ)的
关系可以表示为 = ．
• 这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定
： ⟶ 是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各
是什么？
4．构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式 = 来描述.
• 显然，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是 = ．
• 其中，的变化范围是数集2 ={1,2,3,4,5,6}，的变化范围是数集2 =
{350,700,1050,1400,1750,2100}．对于数集2 中的任一个工作天数，按照对应关系
(2)，在数集2 中都有唯一确定的工资与它对应．
函数的概念(一)
1997 46.4
1998 44.5
1999 41.9
2000 39.2
2001 37.9
问题: 问题 分析、归纳以上三个实例， 分析、归纳以上三个实例，它们 有什么共同点？ 有什么共同点？ 1.都涉及两个非空数集； 都涉及两个非空数集； 都涉及两个非空数集 2.两个数集间都有一种确定的对应关 两个数集间都有一种确定的对应关 两个数集间都有一种确定的 即其中一个数集中的每一个 每一个x， 系，即其中一个数集中的每一个 ， 在另一个数集中都有惟一确定的 惟一确定的y和 在另一个数集中都有惟一确定的 和 它对应。 它对应。
“八五”计划以来我国城镇居民 八五” 八五 恩格尔系数变化情况
时间(年 时间 年) 城镇居民家庭 恩格尔系数(%) 恩格尔系数 时间(年 时间 年) 城镇居民家庭 恩格尔系数(%) 恩格尔系数 1991 1992 1993 1994 1995 1996
53.8
52.9
50.1
49.9
49.9
48.6
⑶有时给出的函数没有明确说 明定义域,这时它的定义域就是 明定义域 这时它的定义域就是 自变量的允许取值范围. 自变量的允许取值范围 表示函数y=f(x)当x=a ⑷常用f(a)表示函数 常用 表示函数 当 时的函数值. 时的函数值
区间的概念: 区间的概念
设a,b是两个实数，而且a<b, 我们规定： (1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫 做闭区间，表示为 [a,b]. (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫 做开区间，表示为 (a,b). (3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b].
?
设在同一个变化过程中有两 个变量x与 如果对于x的 个变量 与y, 如果对于 的每一个 都有唯一的值与它对应, 值, y都有唯一的值与它对应 那么 都有唯一的值与它对应 叫做自变量 就说 y是 x的函数 x叫做自变量 是 的函数. 叫做自变量.
函数(一)综合测试题
函数（一）综合测试题一、选择题1、若点A（-3，n）在x轴上，则点B（n-1，n+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．3、在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是（）A．M（2，-3），N（-4，6）B．M（-2，3），N（4，6）C．M（-2，-3），N（4，-6）D．M（2，3），N（-4，6）4、已知点A（a，1）与点A′（-5，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（）A．1 B．5 C．6 D．45、线段MN是由线段EF经过平移得到的，若点E（-1，3）的对应点M（2，5），则点F（-3，-2）的对应点N的坐标是（）A．（-1，0）B．（-6，0）C．（0，-4）D．（0，0）6、一次函数y=kx-（2-b）的图象如图所示，则k和b的取值范围是（）A．k＞0，b＞2 B．k＞0，b＜2 C．k＜0，b＞2 D．k＜0，b＜27、当k＞0时，反比例函数y= kx和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A．A．C．D．8、已知反比例函数y= 12mx的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜12D．m＞129、如图，经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜-2 B．-2＜x＜-1 B．-2＜x＜-1 D．x＞-110、如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 11、在函数y=3x -+12x -中，自变量x 的取值范围是____ 12、若点A （1，-3），B （m ，3）在同一反比例函数的图象上，则m 的值是____13、如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（-3，-2），“炮”位于点（-2，0），则“兵”位于的点的坐标为____14、如图，A 、B 两点在双曲线y=4x上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=____15、已知关系x ，y 的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，-1），则a=____，b=___16、已知m 是整数，且一次函数y=（m+4）x+m+2的图象不过第二象限，则m=____17、已知函数y=ax 和y=4a x-的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标为____18、如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，-1），P5（2，-1），P6（2，0），…，则点P60的坐标为____三、解答题19、常用的确定物体位置的方法有两种．如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点．请你用两种不同方法表述点B相对点A的位置20、已知y关于x的一次函数y=（2m2-32）x3-（n-3）x2+（m-n）x+m+n．（1）若该一次函数的y值随x的值的增大而增大，求该一次函数的表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；（2）若该一次函数的图象经过点（-2，13），求该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积21、如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=kx（k＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少22、如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=k x的图象上，过点A的直线y=x+b交反比例函数y=kx的图象于另一点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积23、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目参考答案一、选择题1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、C8、C9、B10、B二、填空题11、x≥312、-113、（-5，1），14、615、a=2，b=316、：-3或-217、（1，2）和（-1，-2）．18、（20，0）．三、解答题19、解：方法1：用有序实数对（a，b）表示．比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B（3，3）．方法2：用方向和距离表示．比如：B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离A点3 2处20、解：（1）∵y关于x的一次函数y=（2m2-32）x3-（n-3）x2+（m-n）x+m+n，∴2m2-32=0，n-3=0，解得：m=±4，n=3，又∵该一次函数的y值随x的值的增大而增大，∴m-n＞0，则m=4，n=3，∴该一次函数的表达式为：y=x+7，如图所示：；（2）∵该一次函数的图象经过点（-2，13），∴y=-7x-1，如图所示：，当x=0，则y=-1，当y=0，则x=-17，故该函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×17=11421、解：（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2），∵F为AB的中点，∴F。
考研辅导—高数(1)函数
2 2 1 x x3 ，则 若 f (x ) 2 f ( x)dx x 1 x4 1 x 答案： ln 3 ，其中 f ( x) 2 。 2 x 2
。
3.求出函数表达式中的未知常数 例 5. 设 f ( x ) 3 x 2 x lim f ( x ) ，其中 lim f ( x) 存在，求 lim f ( x) 及 f ( x ) 。
1
（2）
其中（1）式称为函数的“本义反函数” ； （2）式称为函数的“矫形反函数” 。通常我们所说 的反函数，指的都是矫形反函数。 3.函数的几何特性 奇偶性：设函数 f ( x) 的定义域关于原点对称，则
f ( x) f ( x)
f ( x) 是偶函数；
f ( x) f ( x)
y f ( x)
量 y 的集合 Z 称为函数的值域。 函数“ y f ( x) 2.反函数
xD
其中 x 称为自变量， y 称为因变量，全体自变量 x 的集合 D 称为函数的定义域，全体因变
x D ”简称为“函数 y f ( x) ”或“函数 f ” 。
设函数 y f ( x) 的定义域为 D ，值域为 Z 。如果对于每 一个 y Z ，存在 唯一的
f ( x1 ) f ( x 2 )
f ( x) 是奇函数。
f ( x) 在 I 上单调增加；
第1页
单调性：设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1 、 x 2 I 且 x1 x 2 ，则
第一部分：微积分
f ( x1 ) f ( x 2 )
界，否则称 f ( x) 在 I 上无界。
1
[ f ( x)] x ,
f[f
函数的概念(1)
二、讲解新课
（一）函数的概念 定义: 非空的数集, 定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数 在集合B f,使对于集合 任意一个数x 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应 唯一确定的数f(x)和它对应, 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 A→B为从集合 到集合B的一个函数(function), 为从集合A f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function), 记作y=f (x),x∈A。 记作y=f (x),x∈A。 定义域(domain): 的取值范围A叫做函数的定义域 定义域; 定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域; (domain) 值相对应的y值叫做函数值 函数值。 与x值相对应的y值叫做函数值。 值域(range) (range): 值域(range):函数值的集合 f ( x ) x ∈ A B 叫做函数的值域 值域。 叫做函数的值域。
初中学过的函数有哪些？ 初中学过的函数有哪些？
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。
示例1一枚炮弹发射后，经过 落到地面击中 示例 一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中 一枚炮弹发射后 目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度 目标。炮弹的射高为 ，且炮弹距地面的高度h 单位： ）随时间t（单位： ） （单位：m）随时间 （单位：s）变化的规律是
函 数 图
一次函数
y = kx + b(k ≠ 0)
K>0 K<0
二次函数 y = ax + bx + c (a ≠ 0)
函数的概念(1)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3）你认为如何表述s与t的对应关系才能更精确？
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不
超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每
周付一次工资
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
工作时间/天 1
2
3
4
5
6
所得工资/元 350
700
1050
1400
1750
2100
（2）一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出
这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？
（4）问题1和2中函数的对应关系相同，你认为他们是同一个
函数吗？为什么？
150
问题三：右图是北京市2016
57}
B4 = r 0＜r ≤ 1
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但是他们都有如下特
征：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系，在数集B中
都有唯一确定的数y和它对应。
w=350d
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数x，按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
中的一个函数
记作y = f x ，x ∈ A
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x
相对应的y值叫作函数值，函数值的集合ሼf x 丨x ∈ A}叫作
函数的值域
下列集合A到集合B的对应哪些是函数：
函数的表示法(一)
2021-2022学年高中数学必修一第3章3．1.2函数的表示法(一)学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点函数的表示方法思考函数三种表示法的优缺点？答案1．任何一个函数都可以用解析法表示．(×)2．任何一个函数都可以用图象法表示．(×)3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．(√)4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(×)一、函数的表示方法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解(1)列表法：x/台12345678910 y/元 3 000 6 0009 00012 00015 00018 00021 00024 00027 00030 000(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．反思感悟应用函数三种表示方法应注意以下三点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．跟踪训练1由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x 12345y 4532 1A.1 B．2 C．4 D．5答案 B解析由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.二、求函数解析式例2求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解(1)方法一(换元法)设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1. 又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. 反思感悟 求函数解析式的常用方法(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f (g (x ))的解析式求f (x )的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g (x )＝t ，反解出x ，然后代入f (g (x ))中求出f (t )，从而求出f (x )．(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． 跟踪训练2 (1)已知f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2，则f (x )的解析式为________________． 答案 f (x )＝x 2－4(x ≥2)解析 因为f (x 2＋2)＝x 4＋4x 2＝(x 2＋2)2－4， 令t ＝x 2＋2(t ≥2)，则f (t )＝t 2－4(t ≥2)， 所以f (x )＝x 2－4(x ≥2)．(2)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________. 答案 2x －13或－2x ＋1解析 因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又因为f (f (x ))＝4x －1，所以a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. 所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.三、函数的图象例3 作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．延伸探究 根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]．反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练3 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]． 解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 当x ＝1,3时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．函数图象的应用典例(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．考点函数图象题点函数图象的应用答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．考点函数图象题点函数图象的应用解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x 123 4f (x )3 24 1A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 A2．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x ＋1 C ．f (x )＝3x －1 D ．f (x )＝3x ＋4答案 A解析 方法一 令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12.所以f (t )＝6×t －12＋5＝3t ＋2，所以f (x )＝3x ＋2.方法二 因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )考点 函数图象题点 函数图象的判断与理解 答案 C 4．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x 1－x(x ≠－1) B.1＋x x －1(x ≠－1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t，即f (x )＝1－x1＋x.5．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f (x )的解析式为__________． 答案 f (x )＝－x 2－4x －1解析 设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由y ＝f (x )过点(－3,2)，得a ＝－1， ∴f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.1．知识清单： (1)函数的表示方法． (2)求函数解析式． (3)函数的图象． 2．方法归纳：(1)待定系数法、换元法． (2)数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．已知函数f (x －1)＝x 2－3，则f (2)的值为( ) A ．－2 B ．6 C ．1 D ．0 答案 B解析 令t ＝x －1，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2－3＝t 2＋2t －2， ∴f (2)＝22＋2×2－2＝6.2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如表所示，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )x 1 2 3 f (x )23A.3 B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 ∵g (2)＝1， ∴f (g (2))＝f (1)＝2.3．从甲市到乙市t min 的电话费由函数g (t )＝1.06·(0.75[t ]＋1)给出，其中t >0，[t ]为不超过t 的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min 的电话费为( ) A ．5.04元 B ．5.43元 C ．5.83元 D ．5.38元 答案 A解析 依题意知g (5.5)＝1.06(0.75×5＋1) ＝5.035≈5.04，故选A.4．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 考点 求函数的解析式 题点 换元法求函数解析式 答案 B解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ， 则有f (t )＝1t1－1t ＝1t －1，故f (x )＝1x －1.故选B.5．函数y ＝x1＋x的大致图象是( )考点 函数图象题点 求作或判断函数的图象 答案 A解析 方法一 y ＝x1＋x 的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．6．已知函数f (x )＝x －mx ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________．答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －mx，得m ＝5.7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570，若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.8．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3， ∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 ＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－7. ∴5a －b ＝2.9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a －2x )的正方形，高为x ， 所以此盒子的体积V ＝(a －2x )2·x ＝x (a －2x )2，其中自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2x >0，x >0，即0<x <a 2.所以此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式为V ＝x (a －2x )2，定义域为⎝⎛⎭⎫0，a2. 10．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 考点 函数图象 题点 函数图象的应用解 函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ， 列表：x －1 0 1 3 y34描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．11．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，5 B.⎝⎛⎭⎫14，4 C ．(－1,3) D ．(－2,1)答案 A解析 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A 选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.12．设函数f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝2x ＋1，则f (x )的表达式为( ) A.1＋x1－x(x ≠1) B.1＋xx －1(x ≠1) C.1－x 1＋x (x ≠－1) D.2x x ＋1(x ≠－1) 答案 B解析 令1＋1x ＝t ，则t ≠1，∴x ＝1t －1，t ≠1，∴f (t )＝2t －1＋1＝1＋t t －1，t ≠1，∴f (x )＝1＋xx －1(x ≠1)，故选B.13．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________． 答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.x 1 2 3 4 f (x ) 1 3 1 3 g (x )3232考点 函数的表示法 题点 函数的表示法 答案 2或4解析 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. 当x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. 当x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值只有2或4.15．已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，则f (x )的解析式是________． 考点 求函数的解析式 题点 方程组法求函数解析式 答案 f (x )＝－x ＋14解析 因为f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，①所以把①中的x 换成－x ，得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1.② 由①②解得f (x )＝－x ＋14.16．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为y ＝ax ＋bx .且当x ＝2时，y＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝100与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35代入y ＝ax ＋bx 中，得⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x (x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 12345678910 y 19710068.35344.238.73532.530.829.6x 11121314151617181920 y 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8。
函数的应用(一)
[自主解答] 设生产童装的天数为 x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装 和西服的套数分别为 200x 和 50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为 40×200x 元 和 150×50×(30 － x) 元 ， 每 月 生 产 童 装 和 西 服 的 利 润 分 别 为 22×200x 元 和 80×50×(30－x)元，则总利润为 y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化简得 y＝400x＋120 000.
题型三 分段函数模型的应用
某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种 产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件， 当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t－12t2(万元)．
(1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年 利润表示为年产量 x 的函数；
答案 D
题型二 二次函数与幂函数模型的应用 某水果批发商销售每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元
且不得高于 55 元．市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱， 价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱．
(1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[触类旁通]
1．某厂日生产文具盒的总成本 y(元)与日产量 x(套)之间的关系为 y＝6x＋30 000.
而出厂价格为每套 12 元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
函数的概念(1)z
(4) f (x) x 10
x x
课堂小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集，如果按照某个确定的对 应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟 一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为从集合A到集 合 B的函数。
2.函数的三要素
定义域 值域 对应法则f
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
注意：
1.区间（a,b）,必须有a<b
2.区间只能表示数集
3.区间不能表示单元素集
4.区间不能表示不连续的数集
5.区间的左端点必须小于右端点； 6.区间都可以用数轴表示；
7.以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号.
练习：试用区间表示下列实数集
（1）{x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x < -9或 9 < x<20} （4）{x|x≠150}
典型例题
【例3】已知函数 f ( x) （1）求函数的定义域
x3 1 x2
探究结论： (1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
x （3）y x2与y t 2是同一个函数吗？
问题1. 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速 运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km） 与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。
思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后， 运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？
3.1.1 函数的概念（1）
函数(一)教师版
函数及其表示1、 函数的概念：2、 三要素：3、 分段函数：基础自测1. 与函数f (x )=|x |是相同函数的有 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =2x2.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系，则能表示y 是x 的函数的图象是 （填序号）.答案 ②③3.若f (x )=⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x x x x f ,则f (-1)的值为 . 答案 34.函数f (x )=x x -132 +lg(3x +1)的定义域是 . 答案 （-31，1） 5、 画出函数的图象； f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>.0,1,0,1,0,2x x x x x 函数性质：1、 单调性：2、 最值：3、 奇偶性：4、 周期性：基础自测1.若函数f (x )=x 2+(a 2-4a +1)x +2在区间（-∞，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .答案 ［1，3］2.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 . 答案 03.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 .答案 0 4、已知2()21x x a f x +=+是奇函数，则a =5.已知函数f (x )=x 2-2x +3在闭区间［0,m ］上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 .答案 ［1，2］例1（1）已知函数f (x )=a x +12+-x x (a ＞1). 证明：函数f (x )在(-1,+∞)上为增函数.（2）讨论函数f （x ）=x +x a （a ＞0）的单调性.例2（16分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ) .（1）求证：f (x )是周期函数；（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数. （1）证明 ≧f （x +2）=-f （x ），≨f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分≨f （x ）是以4为周期的周期函数， 4分（2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x , 设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,≨f （-x ）=21（-x ）=-21x . ≧f (x )是奇函数，≨f （-x ）=-f （x ）,≨-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7分 故f (x )= 21x (-1≤x ≤1) 8分 又设1＜x ＜3,则-1＜x -2＜1,≨f (x -2)= 21(x -2), 10分 又≧f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ），≨-f （x ）=21（x -2）， ≨f （x ）=-21（x -2）（1＜x ＜3）. 11分 ≨f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x 12分 由f (x )=- 21,解得x =-1. ≧f （x ）是以4为周期的周期函数.≨f (x )=- 21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 14分 令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051, 又≧n ∈Z ，≨1≤n ≤502 （n ∈Z ）,≨在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分作业：1.已知函数ϕ (x )=f (x )+g (x ),其中f (x )是x 的正比例函数,g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16, ϕ (1)=8,则 ϕ(x )= .答案 3x +x5 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根③没有实根 ④必有惟一的实根答案 ①③3.已知f (x )=⎩⎨⎧≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（-∞,+∞）上的减函数，那么a 的取值范围是 .答案 ［71，31） 4.若函数f (x )=(m -1)x 2+mx +3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是 .答案 ［0，+∞）5.已知y =f (x )是定义在（-2，2）上的增函数，若f (m -1)＜f (1-2m )，则m 的取值范围是 .答案 (-)32,21 6.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a = .答案 -17.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 . 答案 28.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）.①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x .答案 ②④9.(2009· 徐州六县一区联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= .答案 -110.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 .答案 f(x)=x (|x |-2)11.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = . 答案 412.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +413.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.解 ≧f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),≨f (0)=0.当x ＞0时，-x ＜0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),≨-f （x ）=x lg （2+x ）， 即f （x ）=-x lg （2+x ） （x ＞0）.≨f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x 即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ).14.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .(1)试判断f (x )的奇偶性；（2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值. 解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ), 此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1,f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43, ≧a ≤21,故函数f (x )在（-≦，a ］上单调递减， 从而函数f (x )在（-≦，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1.当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43, ≧a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+≦）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+≦)上的最小值为f (a )=a 2+1. 综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0， x ＝0，x 2＋mx ， x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
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函数（一）
一、选择题（每题4分，共计24分）：
1. 函数y x
=的定义域为 （ ） A ．[4,1]- B ．[4,0)- C ．(0,1] D ．[4,0)(0,1]-
2. 已知32)2(+=+x x g ，则)3(g 等于 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 下列各组函数中表示相等函数的是 （ ） A. 1)(1
1)(2+=--=x x g x x x f 与 B. x x x g x x f 2)(2)(3-=-=与 C. 2)()()(x x g x x f ==与 D. 14)(14)(22--=--=t t t g x x x f 与
4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( ) A . 12 B . 45
C ．2
D ．9 5. 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
6. 已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =，则(0)x ∈-∞，
时()f x 的解析式为 （ ）
A ．(1x -
B ．(1x
C ．(1x -
D ．以上都不正确
二、填空题（每题4分，共计16分）：
7. 函数2()6f x ax bx =++满足条件(1)(3)f f -=，则(2)f = .
8. 若x
x x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是 . 9. 函数20.7log (32)y x x =-+的单调增区间为 .
10. 若奇函数()()f x x R ∈满足(2)2(2)()(2)f f x f x f =+=+，，则(5)f = .
三、解答题（本大题共计30分）：
11. （本题8分）（1）已知(21)f x + 的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域；（2）求函数
()f x =的值域.
12.（本题10分）已知()f x 的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足
()f xy ()()(2)1f x f y f =+=，，试解不等式()(2)3f x f x -->.
13.（本题12分）设函数1)(2++=bx ax x f （,a b R ∈）.
（1）若0)1(=-f ，且对任意实数x 均有)(x f ≥0成立，求实数,a b 的值；
（2）在（1）的条件下，当[2,2]x ∈-时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围.。