1513积的乘方
14.1.3积的乘方
14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入 1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？ 学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方． 二、合作探究 探究点一：积的乘方 【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算 计算：(1)(－5)3；(2)－(3x 2y )2；(3)(－2c 3)3；(4)(－3m )2. 解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5)3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2； (3)(－2c 3)3＝(－)3a 3b 6c 9＝－a 3b 6c 9；(4)(－3m )2＝(－1)2x 26m ＝x 26m . 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3) 解析：将R ＝6×105千米代入V ＝πR 3，即可求得答案． 解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝πR 3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键． 【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4·()·(－2x )；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝42·x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0. 方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：()2015×()2016. 解析：将()2016转化为()2015×，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝()2015×()2015×＝(×)2015×＝.方法总结：对公式·＝()n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．三、板书设计积的乘方积的乘方公式：()n＝(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：·＝()n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝(n为正整数)．。
1513 幂的乘方与积的乘方 同步测控优化训练(含答案).
15.2 幂的乘方与积的乘方一、课前预习(5分钟训练)1.计算：22×23＝________，54×53＝________，103×104＝________ ，(102)3＝________，23×53＝________.2.下列各式中，计算过程正确的是( )A.x3+x3＝x3+3＝x6B.x3·x3＝2x3＝x6C.x·x3·x5＝x0+3+5＝x8D.x2·(－x)3＝－x2+3＝－x53.小李家住房的结构如图15-2-1所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买多少平方米的木地板？图15-2-1二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)x3·(－x)2·(－x4)；(2)a n+2·a n+1·a n；(3)a4·a n-1+2a n+1·a2；(4)(x－y)2·(y－x)5.2.计算：(1)(－a2)3；(2)［(－m)3］4；(3)(－a2m)3；(4)－(a3-m)2；(5)(－2x5y4z)5；(6)(－12ab2)3.3.计算：(1)0.12516×(－8)17；(2)(513)1 999×(－235)1 998；(3)0.299×5101.三、课后巩固(30分钟训练)1.32m·3m=_________；23·(－2)4=_________；x·(－x)4·x7=_________；1 000×10m-3=_________.2.(－23x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.3.(a－b)3·(b－a)= _________.4.若x n-3·x n+3=x10，则n=_________.5.若x n=2，y n=3，则(xy)3n=_________.6.－5·(－5)2＝_________；若x2n＝4，则x6n＝_________；a12＝(_________)6＝(________)3；若644×83＝2x，则x＝_________.7.已知10a＝5，10b＝6，求102a+3b的值.8.观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，…，用你所发现的规律写出32 007的末位数字是_________．9.比较：(1)923，343，2716的大小；(2)344，433，522的大小.参考答案一、课前预习(5分钟训练)1.计算：22×23＝________，54×53＝________，103×104＝________ ，(102)3＝________，23×53＝________.答案：2557107106 1 0002.下列各式中，计算过程正确的是( )A.x3+x3＝x3+3＝x6B.x3·x3＝2x3＝x6C.x·x3·x5＝x0+3+5＝x8D.x2·(－x)3＝－x2+3＝－x5思路解析：根据运算性质逐一判断.选项A应为合并同类项，结果为2x3；选项B为同底数幂的乘法，其运算方法错误；选项C中第一个因式的指数为1，其指数相加的结果为1+3+5＝9.选项D的计算是正确的，(－x)3＝－x3.答案：D3.小李家住房的结构如图15-2-1所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买多少平方米的木地板？图15-2-1思路分析：从题图中，可以知道卧室的长为2y，宽为2x；客厅的长为4y，宽为2x.因此可以很容易地计算出它们的面积.解：卧室的面积＝2x·2y＝4xy，客厅的面积＝4y·2x＝8xy，所以他要买的木地板为4xy+8xy＝12xy(平方米).二、课中强化(10分钟训练)1.计算：(1)x3·(－x)2·(－x4)；(2)a n+2·a n+1·a n；(3)a4·a n-1+2a n+1·a2；(4)(x－y)2·(y－x)5.思路分析：解题的关键是灵活运用同底数幂的乘法法则，运用符号法则把互为相反数的底化为同底的，注意底数是多项式时，看成一个整体.解：(1)x3·(－x)2·(－x4)=－x3·x2·x4=－x3+2+4=－x9.(2)a n+2·a n+1·a n=a n+2+n+1+n=a3n+3.(3)a4·a n-1+2a n+1·a2=a4+n-1+2a n+1+2=a n+3+2a n+3=3a n+3.(4)(x－y)2·(y－x)5=(y－x)2·(y－x)5=(y－x)2+5=(y－x)7.2.计算：(1)(－a2)3；(2)［(－m)3］4；(3)(－a2m)3；(4)－(a3-m)2；(5)(－2x5y4z)5；(6)(－12ab2)3.思路分析：此题涉及幂的乘方与积的乘方运算，解决这类问题关键是判断底数，处理好符号问题.一般应用“负数的奇次幂是负，偶次幂为正”和“互为相反数的偶次方相等，互为相反数的奇次方仍互为相反数”.解：(1)(－a2)3=－(a2)3=－a6.(2)［(－m)3］4=(－m)12=(－1)12·m12=m12.(3)(－a2m)3=(－1)3·(a2m)3=－a6m.(4)－(a3-m)2=－a2(3-m)=－a6-2m.(5)(－2x5y4z)5=(－2)5·(x5)5·(y4)5·z5=－32x25y20z5.(6)(－12ab2)3=(－12)3·a3·(b2)3=－18a3b6.3.计算：(1)0.12516×(－8)17；(2)(513)1 999×(－235)1 998；(3)0.299×5101.思路分析：此题主要逆用积的乘方的性质.解：(1)0.12516×(－8)17=0.12516×(－817)＝－(0.125×8)16×8=－116×8=－8.(2)(513)1 999×(-235)1 998=(513)1 998×513×(135)1 998=513×(513×135)1 998=513×11 998=513.(3)0.299×5101=(15)99×599×52=(15×5)99×25=199×25=25.三、课后巩固(30分钟训练)1.32m·3m=_________；23·(－2)4=_________；x·(－x)4·x7=_________；1 000×10m-3=_________.答案：33m27x1210m2.(－23x2y3)2=_________；a2·(a3)4·a=_________.答案：49x4y6a153.(a－b)3·(b－a)= _________.答案：－(a－b)44.若x n-3·x n+3=x10，则n=_________.答案：55.若x n=2，y n=3，则(xy)3n=_________.答案：2166.－5·(－5)2＝_________；若x2n＝4，则x6n＝_________；a12＝(_________)6＝(________)3；若644×83＝2x，则x＝_________.思路解析：－5·(－5)2＝－125；若x2n＝4，则x6n＝(x2n)3＝43＝64；a12＝(a2)6＝(a4)3；若644×83＝2x，(26)4×(23)3＝224×29＝233＝2x，则x＝33.答案：－125 64 a2a4337.已知10a＝5，10b＝6，求102a+3b的值.思路分析：由于10a＝5，10b＝6，我们不便求出a、b，但我们从问题102a+3b入手，不难发现，102a+3b＝(10a)2·(10b)3，利用整体代入，将问题解决.解：102a+3b＝102a·103b＝(10a)2·(10b)3＝52×63＝25×216＝5 400.8.观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，…，用你所发现的规律写出32 007的末位数字是_________．思路解析：它们的个位数字4个一组按3，9，7，1“循环”，跟指数对应.指数按被4除的情况分为4种情况：①指数被4除余1，幂的末位数字是3；②指数被4除余2，幂的末位数字是9；③指数被4除余3，幂的末位数字是7；④指数被4整除，幂的末位数字是1.答案：79.比较：(1)923，343，2716的大小；(2)344，433，522的大小.思路分析：计算结果较困难，可分别采用两种办法：(1)把它们化成同底数幂，然后比较指数的大小；(2)把它们化成相同指数的幂，然后比较底数的大小.解：(1)923＝(32)23＝346，2716＝(33)16＝348，∴2716>923>343.(2)344＝(34)11＝8111，433＝(43)11＝6411，522＝(52)11＝2511，∴344>433>522.。
第1513积的乘方课件
am·an=am+n
a a ( m)n= mn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
2. 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要乘方，还有符号问题.
活动1
复习
1.叙述同底数幂乘法法则并用字母 表示.
语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
字母表示：a m·a n= a m+n ( m、n都为正整数).
2.叙述幂的乘方法则并用字母表示. 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 字母表示：(am)n=amn (m,n都是正整数）.
活动2
计算
乘方的意义
乘法交换律、结合律 乘方的意义
思考：积的乘方(ab)n =?
公式证明
n个
(ab)n =(ab)·(ab)·····(a (乘方的意义)
b) n个
n个
=(a·a·····a)·(b·b·····b)(单项式的乘法法则)
=anbn (乘方的意义).
即 (ab)n=an bn .
积的乘方公式
(ab)n=an bn .
语言表述：
积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘 方，再把所得的幂相乘．
拓展： 当三个或三个以上因式的积乘方时, 也具有这一 性质． 例如， (abc)n=anbncn.
活动3
知识应用，巩固提高
例1 计算
(1) (3x)3; 例2 计算
(2)(－2b)5;
(3)(－2xy)4;
拓展训练1
（1）若x3= -8a6b9，则x=
；
（2）若645×82=2x，则x=
；
（3） x 1 y 32 0，则xy2
；
（4）已知16m=4×22n-2，27 n =9×3 m+3，求m、n的值；
1514 整式的乘法
m
m
m
m
m
m b c
a
b c
a
ma+mb+mc m(a+b+c) = 由此,你能总结出单项式与多项式相乘的法则吗?
例1、计算：
（1）(-4x2)· (3x+1)
2 1 2 （2） ( ab - 2ab)· ab 3 2
如何进行单项式与多项式乘法的运算？
① 将单项式分别乘以多项式的各项，
回顾与思考
今天你学到了什么知识?
（5）x(x-1)+2x(x+1)- (2x-5)(-3x)
知识拓展
2 2 3 2 3 2 2 99 （1）-(-2x y ) ·(-1) ·(- 3 x y ) (2)(2xyz2)2·(-xy2z)+(-xyz)3·(5yz)
·
(-3z)
（3）若x3ym-1· xn+m· y2n+2=x9y9,求4m-3n的值.
回顾 & 思考 ☞
② 再把所得的积相加。
进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么?
① 不能漏乘: 即单项式要乘遍多项式的每一项 ② 去括号时注意符号的确定.
练习 计算下列各题：
(1) 3a(5a-2b) (2) (x-3y)(-6x)
（3）(-2ab)(3a2-2ab+4b2) （4）(5x2-2x+1)(-0.2x2)
知识回顾:
m,n为正整数，底数a可 以是数、字母或式子。
1、同底数幂的乘法： m n m+n a a =a 2、幂的乘方： m n mn (a ) =a 3、积的乘方： n n n (ab) =a b 4、合并同类项： n n n n n 2x x +x = =(a+b) ax +bx
最新初中数学14.1.3 积的乘方1
14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点) 2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入 1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方．二、合作探究探究点一：积的乘方【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算计算：(1)(－5ab )3；(2)－(3x 2y )2；(3)(－43ab 2c 3)3；(4)(－x m y 3m )2.解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5ab )3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2；(3)(－43ab 2c 3)3＝(－43)3a 3b 6c 9＝－6427a 3b 6c 9；(4)(－x m y 3m )2＝(－1)2x 2m y 6m＝x 2m y 6m. 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用 太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝43πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3)解析：将R ＝6×105千米代入V ＝43πR 3，即可求得答案．解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝43πR 3＝43×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键．【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4xy 2·(12xy 2)2·(－2x 2)3；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝4xy 2·14x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0.方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：(23)2015×(32)2016.解析：将(32)2016转化为(32)2015×32，再逆用积的乘方公式进行计算．解：原式＝(23)2015×(32)2015×32＝(23×32)2015×32＝32. 方法总结：对公式a n·b n＝(ab )n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】 利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键． 三、板书设计积的乘方积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n(n 为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：a n ·b n ＝(ab )n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n 为奇数时，(－a )n ＝－a n(n 为正整数)；当n 为偶数时，(－a )n ＝a n(n 为正整数)．。
14.1.3积的乘方
(abc)n = anbncn （n为正整数）
例1：计算:
(1) (-2a)2
(2) (-5ab)3
(3) (xy2)2
(4) (-2xy3z2)4
解：(1)原式= (-2)2a2= 4a2
(2)原式= (-
=-
(3)原式= x52)3(ya23)b3=x122y54a3b3
证明：
n个ab
(ab) n= (ab)·(ab)·····(ab)
n个a
n个b
=(a·a·····a)·(b·b·····b)
=anbn 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方的运算法则： 积的乘方，等于把积的每个因
式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n = anbn （n为正整数 ）
=1
方法总结：逆用积的乘方法则 anbn = (ab)n可以
1
化简一些复杂的计算。如（ 3）2016 ×（-3） 2016=？
ห้องสมุดไป่ตู้
小结：
1、本节课的主要内容： 积的乘方
幂的运算的三条重要性质：
am·an=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn ( m、n都是正整数)
2、 运用积的乘方法则时要注意什么？ 公式中的a、b代表任何代数式；每一个因式 都要“乘方”；注意结果的符号、幂指数及其逆 向运用。（混合运算要注意运算顺序）
问题情景
如果已知一个正方体的棱长为2×103 ，你能计 算出它的体积是多少吗？
V=(2×103)3
14.1.3 积的乘方
(ab)n=?
计算:
(3×4)2 与 32 × 42，你会发现什么？
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课题
15.1.3积的乘方第课时
教学目标
推理得岀积的乘方的运算性质
重点
积的乘方的运算
难点
积的乘方的推导过程的理解和灵活运用
教法
探讨、交流、合作
教具
教学过程及时间分
配教学内容
师生活动
一、创设情境
二、进行新课
三、随堂练习
四、课堂总结
五、布置作业
计算：(1) (x4)3(2)a•a5(3)x7•x9(x2)3
教师巡视、关注中 等、中下的学生， 学生书面练习、
板演.
师生共同小结新课
教后记
教师让学生通过计算，观察乘方结果之后，得岀积的 乘方规律，即(ab)n=anbn(n为正整数)
检
查
(5) (3a2)n;(6) (xy3n)2-[(2x)2]3；
(7) (x4)6-(x3)8;(8)-p・(-p)4;
(9) (tm)2•t;(10) (a2)3• (a3)2.
1•积的乘方(ab)n=anbn(n是正整数)，使用范围：底数是 积的乘方•方法：把积的每一个因式分另慄方，再把所得的幂相乘.
2•在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是 数，？也可以是整式，对三个以上因式的积也适用.
3•要注意运算过程，注意每一步依据新法则的区别和 联系.
课本P148习题15.1第1、2题.
教师提问同底数 幂的运算法则；幂 的乘方运算法则 的内容以及区别.
请同学们思考怎样计算(2a3)4，每一步的根据是什么？
(2a3)4=(2a3)•(2a3) •(2a3) •(2a3)(乘方的含义)
=(2•2•2•2)•(a3•a3•a3•a3)(乘法交换律、结合律)
=24•a12(乘方的意义与同底数幂的乘法运算)=16a12
计算(ab)4,说岀每一步的根据是什么？
(ab)4=(ab) •(ab) •(ab) •(ab)(乘方的含义)
=(aaaa) •(bbbb)(交换律、结合律)=a4•b4(乘方的含义)
积的乘方法则：(ab)n=anbn(n为正整数)，这就是说，积的乘方 等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
(ab)"=(|ab|)g(叨鹑取)膚㊁隔坪抄黯)=a"b"
n个n个n个
拓展：三个或三个以上的积的乘方，(abc)n=anbncn.
例 计算：©(2b)3;购(2xa3)2:③(一a)3;④(一3x)4.
1、 课本P144练习.
2、计算下列各式：
33
(1) (-3)2•(—3)3；(2) (a-b)3・(a-b)4;
55
(3) (-a5)5;(4) (-2xy)4;