您的位置：360文档中心› 2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (23)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (23)(有解析)

合集下载

2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二(上)期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。

2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省实验中学高二(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。

2020-2021学年度高二数学上学期期中考试题目(含有答案解析)

2020-2021学年度高二数学上学期期中考试题目(含有答案解析)

高二文科数学上学期期中考试题目一、选择题 1.直线的倾斜角为A.B. C. D.2.若点()1,a 到直线10x y -+=的距离是322，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．5C ．1-或5D ．3-或33．一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为4π，则这个圆锥的体积为（ ） A ．153π B ．833C ．153D ．833π 4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）A. 6cmB. 8cmC.D.5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6.《九章算术》是我国古代的数学专著.在《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.已知“堑堵”ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上,且AB=AC=1.若球O 的表面积为3π,则这个三棱柱的体积是( ) A.61 B.31 C.21D.17.已知光线从点A(-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A.5x-2y+7=0 B.2x-5y+7=0 C.5x+2y-7=0 D.2x+5y-7=08．已知点A (2,-3)，B (-3,-2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-kD ．443≤≤k 10．已知b a 、为不重合的直线，α为平面，下列命题：（1）若//,//a b a α，则//b α；（2）若//a α，b α⊂，则//a b ；（3）若,//a b b ⊥α，则a α⊥；（4）若a ⊥α,b a ⊥，则//b α，其中正确的个数有（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．39.球面上有三点A,B,C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则该球的表面积为( ) A.1200πB.1400πC.1600πD.1800π11．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，动点E 在线段11C A 上， F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．11//FM AC B ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面BEF //平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值12．如图所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点F E ,分别是棱1,CC BC 的中点，P 是侧面11B BCC 内一点，若//1P A 平面AEF ，则线段P A 1长度的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡25,423C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,25 D ．]3,2[二、填空题13．过点)3,2(A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 ．14． 圆台的上、下两个底面圆的半径分别为1和2,母线与底面的夹角是60∘,则圆台的侧面积为____ ．15.直线l 过250x y ++=和70x y -+=的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．16．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 ． 三、解答题17．已知直线01)3(2:1=+-+y m mx l ，022:2=++m my x l ． (1)若21l l ⊥，求实数m 的值； (2)若21//l l ，求实数m 的值．18.如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）P A ∥平面BDE ；（2）平面P AC ⊥平面BDE ．19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，N M 、分别为棱11B A AC 、的中点，且BC AB =．（1）求证：平面⊥BMN 平面11A ACC ； （2）求证：MN ∥平面11B BCC ．20．已知直线l ：kx -y +1+2k =0(k ∥R) (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设∥AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．DABCOEP21.在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．(1)请判断与平面的位置关系，并给出证明；(2)证明：平面；(3)求三棱锥B-AEN的体积．22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．4cm ABCD E F、BC CD、M N、AB CF、AE AF EF、、B C D、、BMN AEFAB⊥BEF1-5.DCABC 6-10.CAAAA 11-12.CB13.x －2y ＋4＝0 14.π6 15.3x ＋4y ＝0或x ＋y ＋1＝0 16.62 17.18.19．(1) 证明：因为M 为棱AC 的中点，且BC AB =，所以AC BM ⊥， 因为111C B A ABC -是直三棱柱，所以⊥1AA 平面ABC ， 因为⊂BM 平面ABC ，所以BM AA ⊥1，又⊂1AA AC 、平面11A ACC ，且A AA AC =1 ，所以⊥BM 平面11A ACC ， 因为⊂BM 平面BMN ，所以平面⊥BMN 平面11A ACC ；(2)取BC 的中点P ，连接P B 1和MP ，因为P M 、为棱BC AC 、的中点，所以AB MP //，且AB MP 21=， 因为111C B A ABC -是棱柱，所以1111,//B A AB B A AB =， 因为N 为棱11B A 的中点，所以BA N B //1，且BA N B 211=， 所以MP N B //1，且MP N B =1，所以P MNB 1是平行四边形， 所以1//PB MN ，又因为⊄MN 平面11B BCC ，⊂1PB 平面11B BCC ， 所以//MN 平面11B BCC ．20．(1) 因为直线l :kx -y +1+2k =0(k ∥R )⇔ y -1=k (x +2)，所以直线l 过定点(-2,1)； (2) 由于直线l 恒过定点（-2,1），画出图形，知： 要使直线l 不经过第四象限必须且只需0≥k ， 故k ∥[0, ∞+)；(3)由直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B 知：k >0， 由直线l :kx -y +1+2k =0中，令,120k x y --=⇒=则)0,12(k A --， 再令120+=⇒=k y x ，则)12,0(+k B ，所以有：()2212k 11441111(44)842222k k s k k k k +++=⋅=⋅=++≥⨯=（（当且仅当 21=k 时，取等号）， 所以，S 的最小值为4，此时l 的方程为：x -2 y +4=0． 21.22.。

2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)

2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)

2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021年高二数学上册期中试题含解析

2020-2021年高二数学上册期中试题含解析

高二数学上学期期中试题（含分析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.设 x ∈R ，则“ 0＜ x ＜5”是“|x -1| ＜1”的（）A. 充足而不用要条件B. 必需而不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件2. 已知等差数列 { a n } 中， a 7+a 9=16， a 4=1，则 a 12 的值是（）A. 64B. 31C. 30D. 153. 己知对于 x 的不等式 x 2- ax +2a ＞ 0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A.B.C.D.4. 椭圆 =1 的离心率为，则k 的值为（）A.B. 21C. 或21D. 或215. 已知双曲线 +=1，焦点在 y 轴上，若焦距为 4，则 a 等于（）A.B. 5C. 7D. 6. 不等式ax 2+ +2＞ 0 的解集是（ - ，），则+ 的值是（）bxa bA. 10B.C. 14D.7. 已知数列 {n }，假如a1， 2-a1， 3- 2 ， ，a n-a n-1， ，是首项为1，公比为的等比a a a a数列，则 a =（）nA.B.C.D.8. 已知等差数列 { a } 的公差 d ≠0，且 a 1、 a 3、 a 9 成等比数列，则的值为（）nA.B.C.D.9. 已知正项等比数列的公比为3, 若, 则的最小值等于 ()A. 1B.C.D.10. 己知数列 { a n } 的通项公式是．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则使 S n ＜ -4 成立的最小自然数 n 的值是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 1611. 我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（此中 a 2=b 2+c 2， a ＞ b ＞ c ＞ 0）．如图，设点F 0，F 1，F 2 是相应椭圆的焦点， A 1、A 2 和 B 1、B 2 是“果1圆”与 x ， y 轴的交点，若△ F 0F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，则 a ， b 的值分别为（）A.B.C. 5,3D. 5,412. 已知椭圆C 的焦点为，过2的直线与C 交于 ， 两点 . 若，，则C 的方程为（ ）FA BA.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题）13. 记Sn 为等比数列 {} 的前 n 项和 . 若，则4 =___________．anS14. 己知命题 ： ?∈ [-1 ，1] ， a 2-5 a -3 ＜ +2，且 p 是假命题，则实数a 的取值范围p mm是 ______．15. 规定记号“⊙”表示一种运算，定义 a ⊙ b =+a +b （ a ， b 为非负数），若 1⊙ k 2＜ 3，则实数 k 的取值范围是 ______．16. 设 F 1，F 2 为椭圆 C ：的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限．若△ MF 1F 2 为等腰三角形，则 M 的坐标为 ________．三、解答题（本大题共6 小题）17. 求合适以下条件的椭圆的标准方程：（ 1）焦点在 y 轴上，焦距是 4，且经过点 M （ 3， 2）；（ 2） c ： a =5：13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26．18. （ 1）设函数 f 2，若对于 m ∈ [-2 ，2] ， f （ x ）＜0 恒成立，务实数（ x ） =mx - mx +m -6 x 的取值范围； （ 2）对于 x 的方程 8x 2-2 （ m -1 ） x +m -6=0 的两个根，一个在区间（ 0， 1）内，另一个在区间（ 1， 2），务实数的取值范围．m219. 设 { a n } 是等差数列， a 1=-10 ，且 a 2+10， a 3+8， a 4+6 成等比数列．（Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）记 { a n } 的前 n 项和为 S n ，求 S n 的最小值．20. 某单位有职工 1000 名，均匀每人每年创建收益 10 万元，为了增添公司竞争力，决定优化家产结构，调整出（ ∈ * ）名职工从事第三家产，调整后他们均匀每人每x n N年创建收益为 10（ a - ）万元（ ＞ 0），剩下的职工均匀每人每年创建的收益能够a提升 0.2 x %．（ 1）若要保证节余与职工创建的年总收益不低于本来 1000 名职工创建的年总利润，则最多调整出多少名职工从事第三家产？（ 2）在（ 1）的条件下，若调整出的职工创建的年总收益一直不高于节余与职工创建的年总收益，则 a 的取值范围是多少？21. 已知椭圆 C ：的左、右极点分别为 A ， B ，离心率为，点 P （ 1，）为椭圆上一点．（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）如图，过点 C （ 0， 1）且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M ， N 两点，记直线AM 的斜率为 k 1，直线 BN 的斜率为 k 2，若 k 1=2k 2，求直线 l 斜率的值．322.各项为正的数列 { a n} 知足，（ 1）当λ=a n+1时，求证：数列 { a n} 是等比数列，并求其公比；（ 2）当λ=2 时，令，记数列 { b n} 的前n项和为S n，数列 { b n} 的前n项之积为T n，求证：对随意正整数 n，2n+1T n+S n为定值．4答案和分析1. 【答案】 B【分析】【剖析】此题考察了充足必需条件，考察解不等式问题，是一道基础题． 解出对于 x 的不等式，联合充足必需条件的定义，从而求出答案． 【解答】解：∵ | x -1| ＜ 1，∴ 0＜ x ＜ 2，∵ 0＜ x ＜5 推不出 0＜ x ＜ 2，0＜ x ＜ 2? 0＜ x ＜ 5，∴ 0＜ x ＜5 是 0＜ x ＜ 2 的必需不充足条件，即 0＜ x ＜5 是 | x -1| ＜ 1 的必需不充足条件.应选 B ．2. 【答案】 D【分析】【剖析】此题考察了等差数列的性质，属于基础题．【解答】解：因为 { a n } 是等差数列，因此 a 7+a 9=a 4 +a 12 ，因此． 应选 D ． 3. 【答案】 A【分析】解：不等式x 2-ax +2 ＞0在R 上恒成立，a△ =a 2-8 a =a （ a -8 ）＜ 0，即 a ∈（ 0，8），应选： A ．利用鉴别式法判断即可．考察二次函数恒成立问题，基础题． 4. 【答案】 C【分析】解：若a 2=9，b 2=4+k ，则c =，由 =，即 =得 k =- ； 若 a 2=4+k ，b 2=9，则 c =，由 =，即 =，解得k =21．应选： C ．5依题意，需对椭圆的焦点在x 轴与在 y 轴分类议论，从而可求得 k 的值．此题考察椭圆的简单性质，对椭圆的焦点在 x 轴， y 轴分类议论是重点，考察推理运算能力，属于中档题． 5. 【答案】 D【分析】解：依据题意，双曲线 +=1，焦点在 y 轴上，则有，解可得 a ＜ 2，又由其焦距为 4，即 c =2， 2则有 c =（ 2- a ） +（ 3- a ） =4， 解可得 a =；应选： D ．依据题意，由双曲线焦点的地点可得，解可得a 的范围，又由其焦距为 4，即 c =2，由双曲线的几何性质可得c 2=（2- a ） +（3- a ） =4，解可得 a 的值．此题考察双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在 y 轴上，先求出 a 的范围．6. 【答案】 B【分析】 剖析：利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．娴熟掌握一元二次不等式的解法是解题的重点． 解：不等式 ax 2+bx +2＞ 0 的解集是（ - ，），∴ - ，是方程 ax 2+bx +2=0 的两个实数根，且 a ＜ 0，∴ -=-+ ，=- ×，解得 a =-12 ， b =-2 ，∴ a +b =-14应选： B ．7. 【答案】 A【分析】解：由题意a n= 1+（ 2- 1 ）+（ 3- 2 ）+ +（a n-n-1） =aa aa aa应选： ．A因为数列 a 1，（ a 2- a 1），（ a 3- a 2）， ，（ a - a -1 ）， ，此数列是首项为1，公比为nn的等比数列，依据等比数列的通项公式可得数列{ a } 的通项．n考察学生平等比数列性质的掌握能力，属于基础题． 8. 【答案】 C【分析】解：等差数列 { a n } 中， a 1=a 1， a 3=a 1+2d ， a 9=a 1+8d ，因为 a 1、 a 3、a 9 恰巧是某等比数列，因此有a 2，即（a2（ 1+8），解得 = 1，3= 1 91+2）=1a a da a d d a因此该等差数列的通项为 a n =nd则的值为 =．6应选： C ．因为 { a n } 是等差数列，故a 1、 3、 9 都可用 d 表达，又因为1、 3 、 9 恰巧是等比数列，a aa a a 2因此有 a 3 =a 1 a 9，即可求出 d ，从而可求出该等比数列的公比，最后即可求比值．此题考察等差数列的通项公式、 等比数列的定义和公比， 属基础知识、 基本运算的考察．9. 【答案】 C【分析】【剖析】此题考察等比数列的应用，函数的最值的求法，考察计算能力 , 属于较易题 .利用等比数列的性质推出 m 、 n 的关系，而后利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：正项等比数列 { a n } 的公比为 3， 2若 =a 3 ，可得 m +n =6, m , n ∈ ． = ,当且仅当 m =2n , 即 m =4, n =2 时，的最小值等于．应选： C ．10. 【答案】 D【分析】解： a n =log 2=log 2n -log 2（ n +1），可得前 n 项和为 S n =a 1+a 2+ +a n =log 21-log 22+log 22-log 23++log 2n -log 2（n +1）=log 21-log 2（ n +1） =-log 2（ n +1）＜ -4 ， 则 n +1＞ 16，即 n ＞15，使 S n ＜ -4 成立的最小自然数 n 的值是 16．应选： D ．求得 a n =log 2=log 2n -log 2（ n +1），再由数列的裂项相消乞降，可得前n 项和 S n ，再由对数不等式的解法可得n 的最小值．此题考察数列的裂项相消乞降，对数不等式的解法，考察运算能力，属于基础题． 11. 【答案】 A【分析】解：，，∴ b =1，∴，得，即， b =1．应选： A ． 由题意可知求得c ，再由求得 b ，最后由 a 2=b 2+c 2 求得 a ．此题主要考察椭圆的性质．属基础题． 12. 【答案】 B【分析】【剖析】此题考察了椭圆的性质，属中档题．依据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得a =，b =，可得椭圆的方程．7【解答】解：∵ | AF2|=2| BF2| ，∴ | AB|=3| BF2| ，又 | AB|=| BF1| ，∴ | BF1|=3|BF2| ，又 | BF1|+| BF2|=2 a，∴ |BF2|= ，∴ | AF2|= a， | BF1|= a，则 | AF2|=||= a，因此A为椭圆短轴端点，在 Rt△ AF2O中，cos∠ AF2O=，在△ BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，依据 cos ∠AF2O+cos∠BF2F1=0，可得 +=0，解得 a2=3，∴a=，b2=a2- c2=3-1=2．因此椭圆 C的方程为：+=1．应选 B．13.【答案】【分析】【剖析】此题主要考察了等差数列的通项公式及乞降公式的简单应用，属于基础试题，利用等比数列的通项公式及乞降公式表示已知，可求公比，而后再利用等比数列的乞降公式即可求解 .【解答】解：∵数列 { a n} 为等比数列，a1=1， S3=，∴q≠1，=，整理可得，解得 q=-，故 S4===．故答案为 .14.【答案】（ - ∞， -1] ∪ [6 ，+∞）【分析】解：∵命题p：? m∈[-1，1]， a2-5 a-3＜ m+2，且 p 是假命题，则∴? m∈ [-1 ， 1] ，a2-5 a- 3≥m+2 恒成立，∴a2-5 a- 3≥3，∴a≤-1或 a≥6，故答案为：（- ∞， -1] ∪ [6 ，+∞）．命题 p 是假命题，利用分别m求解．此题考察复合命题真假的关系，参数取值范围，考察转变、逻辑推理、计算能力．15.【答案】（ -1 ，1）8【分析】解：由a ⊙b =+a +b ，∵ 1⊙ k 2＜ 3，∴，化简可得， | k |+1+| k 2| ＜ 2， ∴（ | k |-1 ）（ | k |+2 ）＜ 0，∴ | k | ＜ 1， ∴ -1 ＜ k ＜ 1，原不等式的解集为（ -1 ，1）．故答案为：（ -1 ， 1）．由已知新定义可转变不等式得，化简后解二次不等式及绝对值不等式即可求解．此题以新定义为载体，主要考察了二次不等式与绝对值不等式的求解，属于基础试题． 16. 【答案】（ 3，）【分析】【剖析】此题主要考察椭圆的方程和性质，考察分类议论思想方法，考察方程思想和运算能力，属于中档题．设（ ， ）， ， ＞0，求得椭圆的 ， ， ，因为 为 C 上一点且在第M m n m n a b c M 一象限，可得 |1| ＞| 2| ，△1 2 为等腰三角形，可能 | 1|=2 或 |2|=2 c ．分类讨MFMFMFFMF cMF论即可得出 M 的坐标 . 【解答】解：设 M （m ， n ）， ( m ， n ＞ 0) ，椭圆 C ： +=1 的 a =6，b =2，c =4， ,因为 M 为 C 上一点且在第一象限，可得 | MF 1| ＞ | MF 2| ， △ MF 1F 2 为等腰三角形，可能 | MF 1|=2 c 或 | MF 2|=2 c ， 因此解得因此 M （ 3，）．故答案为（ 3，）．17. 【答案】解：（ 1）由题意可设椭圆的方程为，焦距是 4，且经过点 M （ 3， 2）；可得，解得 a =4， c =2， b 2=12．∴椭圆的标准方程是：．（ 2）由题意可得，解得．故所求的椭圆方程为：或．【分析】（ 1）由题意可设椭圆的方程，利用已知条件列出方程，求出a ，b ，即可解出椭圆方程．（2）由题意可得a，b的方程组，求解即可．娴熟掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的重点，是中档题．218. 【答案】解：（1）对于m∈ [-2 ，2] ，f（x）＜ 0 恒成立，即mx- mx+m-6＜0，9可得 m（ x2- x+1）-6＜0，因为 x2- x+1＞0恒成立令= （2 - +1） -6 ，当作对于与y 的一次函数，且在∈ [-2 ， 2] 上单一递加，y m x x m m∴m=2时获得最大值为2（ x2- x+1）-6，∴2（x2- x+1） -6 ＜ 0，解得 -1 ＜x＜ 2，故得 x 的取值范围（-1，2）；（2）记f（x） =8x2-2 （m-1 ）x+m-6 ，∵方程的一根在区间（0， 1）上，另一根在区间（1， 2）上，∴有 f （0）＞0， f （1）＜0， f （2）＞0，即；解得： 4＜m＜ 6；∴实数 m的取值范围是（4， 6）．【分析】（ 1）主元换位，即可求解；（2）结构函数，依据方程的一根在区间（0， 1）上，另一根在区间（ 1， 2）上，有f（0）＞ 0，f（ 1）＜ 0，f（ 2）＞ 0，从而务实数m的取值范围此题考察了变元的思想，经过变元，转变为m的函数，利用函数的单一性求函数最大值；在把恒成立问题转变为求函数的最值问题的过程中，表现了转变的思想方程；还考察了对根的议论，函数与方程思想，以及学生的计算能力，正确成立不等式是重点；此题属于中档题．19. 【答案】解：（Ⅰ）∵{ a n} 是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8， a4+6成等比数列．∴（ a3+8）2=（ a2+10）（ a4+6），∴（ -2+2 d）2=d（ -4+3 d），解得 d=2，∴a n=a1+（ n-1） d=-10+2 n-2=2 n-12．（Ⅱ）由 a1=-10， d=2，得：S n=-10 n+=n2-11 n=（ n-）2-，∴ n=5或 n=6时， S n取最小值-30．【分析】此题考察数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考察等差数列、等比数列的性质等基础知识，考察推理能力与计算能力，属于基础题．（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{ a }n 的通项公式；（Ⅱ）由 a =-10， d=2，得 S 2 2 S 的最小值．=-10 n+=n -11 n=（n- ） - ，由此能求出1 n n20.【答案】解：（ 1）由题意得： 10（1000- x）（ 1+0.2 x%）≥ 10×1000，即 x2-500 x≤0，又 x＞0，因此0＜ x≤500．即最多调整500 名职工从事第三家产．（2）从事第三家产的职工创建的年总收益为万元，从事本来家产的职工的年总收益为万元，则（ 1+0.2 x%）10因此， 因此 ax ≤，即 a ≤恒成立，因为，当且仅当，即 x =500 时等号成立．因此 a ≤5，又 a ＞ 0，因此 0＜ a ≤5，即 a 的取值范围为（ 0， 5] ．【分析】（ 1）依据题意可列出10（ 1000- x ）（ 1+0.2 x %）≥ 10×1000，从而解不等式求得 x 的范围，确立问题的答案．（ 2）依据题意分别表示出从事第三家产的职工创建的年总收益和从事本来家产的职工的年总收益，从而依据题意成立不等式，依据均值不等式求得求a 的范围．此题主要考察了基本不等式在求最值问题中的应用．考察了学生综合运用所学知识，解决实质问题的能力．21. 【答案】解：（ 1）依据题意，椭圆的离心率为，即 e ==，则 a =2c ．又∵ a 2=b 2+c 2，∴． ∴椭圆的标准方程为：．又∵点 P （1，）为椭圆上一点，∴，解得： c =1．∴椭圆的标准方程为：． （ 2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率必定存在，设其方程为 y =kx +1．设 M （ x 1， y 1）， N （ x 2，y 2）． 联列方程组：，消去y 可得：（ 3+4k 2）x 2+8kx -8=0 ．∴由韦达定理可知：，． ∵，，且 k 1=2k 2，∴，即．①又∵ M （ x 1， y 1）， N （x 2，y 2）在椭圆上，∴，．②将②代入①可得：，即3x 1x 2+10（ x 1+x 2） +12=0．∴，即 12k 2-20 k +3=0． 解得：或． 又由 k ＞ 1，则．【分析】此题考察椭圆的几何性质，波及直线与椭圆的地点关系，重点是求出椭圆的标准方程，属于综合题．（ 1）依据题意，由椭圆离心率可得a =2c ，从而可得，则椭圆的标准方程为，将P 的坐标代入计算可得 c 的值，即可得答案；（ 2）依据题意，设直线1122），将直线的方 l 的方程为 y =kx +1，设 M （ x ，y ）， N （x ， y程与椭圆联立，可得（ 223+4k ）x +8kx -8=0 ，由根与系数的关系剖析，：，，联合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即 12k 2-20 k +3=0，解可得 k 的值，即可得答案．22. 【答案】证明：（ 1）当 λ=a n+1 时， a n+1=+a n ， a n ＞0，∴ =+1，11令 =q＞ 0，则q=+1，化为q2- q-1=0 ，解得q=．∴数列 { a n} 是等比数列，其公比q=．（2）当λ=2 时，a n+1=+a n，∴ 2a n+1=a n（a n+2），∴ =．∴ T n=b1b2b3 b n=?? ?==．又b n====-，∴S n=b1+b2+b3+ +b n=- ++ +-=-，∴2n+1T n+S n=+-==2 ．∴对随意正整数n，2n+1 T n+S n为定值2．【分析】（ 1）递推式两边同除a n，得出对于的方程，求出=，得出结论；（2）化简整理可得b n=，求出S n，T n即可得出结论．此题考察了数列递推关系、等比数列的判断，乞降公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．2020-2021年高二数学上册期中试题含解析1221 / 21。

2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题及答案详解

2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题及答案详解

第 1 页 共 21 页 2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．“10x ->”是“210x ->”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则p ⌝是（ ）．A ．x ∀∈R ，2210x +≤B ．x ∃∈R ，2210x +>C ．x ∃∈R ，2210x +<D ．x ∃∈R ，2210x +≤3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i i x y i n =L ，用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，下列命题中：①若l α⊥，αβ⊥，则l β∥；②若l α∥，αβ∥，则l β∥；③若l α⊥，αβ∥，则l β⊥；④若l α∥，αβ⊥，则l β⊥．其中正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知两条直线2y ax =-和3(2)10x a y -++=互相平行，则a 等于（ ）．A ．1或3-B ．1-或3C ．1或3D ．1-或3- 6．已知θ为第一象限角，设(3,sin )a θ=-r ，(cos ,3)b θ=r ，且a b r r ⊥，则θ一定为（ ）． A ．ππ()3k k +∈Z B ．π2π()6k k +∈Z C ．π2π()3k k +∈Z D ．ππ()6k k +∈Z 7．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）．A ．35B ．33C ．31D ．29 8．若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，底面是正三角形，则它的侧视图的面积为（ ）．。

2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题

2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题

2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将答题纸上交。

2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。

3、 作答时必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

1. 命题“∀0x ∈R ，02x>0”的否定是 ▲ .2. 经过点()2,1P 且与直线0943=++y x 垂直的直线方程是 ▲ .3. 已知正四棱柱的底面边长为2cm ，高为1cm ，则正四棱柱的侧面积是 ▲ 2cm .4. 圆心是（-1，0）且过原点的圆的方程是 ▲ .5. 已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个）6. 设直线x y =与圆C ：0222=-+ay y x 相交于A ，B 两点，若32=AB ，则圆C 的半径为 ▲ .7. 已知圆柱M 的底面半径为3，高为2，圆锥N 的底面直径和高相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ . 8. 已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.②若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥， ③若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ，④若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）9. 圆221:4450C x y x y ++--=与圆222:8470C x y x y +-++=的公切线有 ▲ 条. 10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ .11. 已知命题12:≤-x p ，命题0)4)((:≤+--a x a x q ，若q p 是成立的充分非必要 条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .12. 关于x 的方程222+=-kx x x 有两个不同的实数根，则k 的范围为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线)2(+=x k y 上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围为 ▲ .14. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a －4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：(本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设命题p ：032,2>--∈a a R a ；命题q ：不等式x 2＋ax ＋1>0∀x ∈R 恒成立，若p 且q为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,, 的中点.已知 AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0),AB 边所在直线的方程为,063=--y x 点()1,1-T 在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在的直线方程及A 的坐标. （2）求矩形ABCD 外接圆方程.18.(本小题满分16分)在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线⊥l 平面ABC ，求证：l //平面PBC ．19. (本小题满分16分)已知圆O :122=+y x 和A (4，2)(1)过点A 向圆O 引切线l ,求切线l 的方程.(2)设P 为圆A ：9)2-()4-(22=+y x 上的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B.试探究：平面内是否存在一定点C,使得PCPB为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)已知圆M 的方程为062222=---+y x y x ，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切.(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E ，F 两点，圆N 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DEDF •的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A ，B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行?并说明理由.xx 第一学期期中测试高二数学试题参考答案一、填空 1、02,00≤∈∃x R x 2、0234=+-y x 3、8 4、()1122=++y x5、充分不必要6、67、 68、①④9、3 10、21 11、[]5,312、⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43,1 13、[]1,1-14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---222,222 二、解答 15.解：由题知 q p ,一真一假。

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年湖北省新高考联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤02．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2 3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．236．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．47．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．二、选择题（共4个小题）9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝010．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）三、填空题（共4个小题）13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为，点（m，n）到原点的距离最小值为．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．命题p：∃x∈R，2x+1＞0的否定为（）A．∀x∈R，2x+1＜0B．∃x∈R，2x+1≤0C．∀x∈R，2x+1＞0D．∀x∈R，2x+1≤0解：命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，2x+1≤0，故选：D．2．下列各组数中方差最小的是（）A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2解：根据各个选项的数据，显然选项C的方差是0，方差最小，故选：C．3．已知直线过A（3，m+1），B（4，2m+1）两点且倾斜角为，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣D．解：根据题意，直线AB的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝﹣，又由A（3，m+1），B（4，2m+1），则AB的斜率k＝＝m，则有m＝﹣，故选：C．4．一个等比数列的第3项和第7项分别为8和18，则它的第5项为（）A．12B．﹣12C．±12D．解：∵a3•a7＝8×18，∴a5＝±＝±＝±12，∵等比数列的奇数项的符号相同，∴a5＝12，故选：A．5．已知某圆拱桥拱高5米，水面跨度为30米，则这座圆拱桥所在圆的半径为（）米A．20B．25C．24D．23解：设圆的半径为r，由题意可得弦心距为r﹣5，半弦长为15，故有152+（r﹣5）2＝r2，求得r＝25，故选：B．6．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了节约生活用水，计划在本市实行阶梯水价，每人月用水量中不超过a立方米的部分按2.5元/立方米收费，超出a立方米的部分按7元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某年的月均用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：如果a为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为（）A．2B．2.5C．3D．4解：由频率分布直方图得：用水量在[0，0.5）的频率为0.08×0.5＝0.04，用水量在[0.5，1）的频率为0.16×0.5＝0.08，用水量在[1，1.5）的频率为0.30×0.5＝0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.44×0.5＝0.22，用水量在[2，2.5）的频率为0.50×0.5＝0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.28×0.5＝0.14，∵用水量在[0，2.5）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25＝0.74，用水量在[0，3）的频率为：0.04+0.08+0.15+0.22+0.25+0.14＝0.88．∴根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为2.5元/立方米，a至少定为3元．故选：C．7．一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色，则两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为（）A．B．C．D．解：一个袋中装有6个大小形状完全相同的小球，其中有4个白球，2个黑球，现随机从袋中摸出一球，记下颜色，放回袋中后，再从袋中随机摸出一球，记下颜色．则两次摸球全是白球的概率为×＝，故两次摸出的球中至少有一个黑球的概率为1﹣＝，故选：B．8．已知动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，P是圆（x﹣3）2+y2＝5上的动点，则|PM|的最小值为（）A．B．C．2D．解：由动点M到A（1，1），B（﹣3，3）两点的距离相等，得M在线段AB的垂直平分线上，∵AB的中点坐标为（﹣1，2），，∴AB的垂直平分线方程为y﹣2＝2（x+1），即2x﹣y+4＝0．P是圆C：（x﹣3）2+y2＝5上的动点，如图：∵圆心C到直线2x﹣y+4＝0的距离d＝，∴|PM|的最小值为．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．若A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，则下列说法正确的是（）A．P（A）+P（B）＜1B．P（A）+P（B）≤1C．P（A∪B）＝1D．P（A∩B）＝0解：∵A，B为互斥事件，P（A），P（B）分别表示事件A，B发生的概率，∴P（A）+P（B）≤1，P（A∩B）＝0，故A错误，B正确，C错误，D正确．故选：BD．10．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：x23456y 2.2 3.8 6.57.0已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（）A．所支出的维修费用与使用年限正相关B．估计使用10年维修费用是12.38万元C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上解：由线性回归方程为＝1.23x+0.08，回归系数为＞0，所支出的维修费用与使用年限正相关，选项A正确；x＝10时，＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计使用10年维修费用是12.38万元，选项B 正确；某设看不清的数字为a，计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，＝×（2.2+3.8+a+6.5+7.0）＝，代入回归直线方程＝1.23x+0.08中，得＝1.23×4+0.08，解得a＝5.5，所以根据回归方程可推断出模糊不清的数据值为5.5，选项C错误；样本中心点（4，5）在线性回归方程＝1.23x+0.08上，所以选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了运算求解与推理能力，是中档题．11．下列命题为真命题的是（）A．“a，A，b成等差数列”的充要条件是“2A＝a+b”B．“a，A，b成等比数列”的充要条件是“A2＝ab”C．“a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件D．已知直线l过点（3，1），则“直线l的斜率为”是“直线l与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的充分不必要条件解：对于A：由2A＝a+b得A﹣a＝b﹣A，即a，A，c成等差数列，若a，A，b成等差数列，则A﹣a＝b﹣A，即“2A＝a+b“是“a，A，b成等差数列”的充要条件，故A正确；对于B：若a，A，b成等比数列，则A＝±（ab＞0），由A＝，可得a，A，b成等比数列，或“x＝0且a与b中至少一个为0”，属于a，A，b成等比数列”的必要条件是“A2＝ab”不对，故B错误；对于C：当a＝﹣时，代入方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0，可得k＝0，表示平行于x轴的直线”当示平行于x轴的直线时，可得6a2﹣a﹣2＝0，可得a＝﹣或a＝，所以a＝﹣”是“方程（6a2﹣a﹣2）x+（3a2﹣5a+2）y+a﹣1＝0表示平行于x轴的直线”的充分不必要条件；故C正确；对于D：已知直线l过点（3，1），且直线l的斜率为”与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”，而过（3，1）与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4相切”的直线l的斜率有两个值，所以是充分不必要条件，故D正确；故选：ACD．【点评】本题等差等比的性质应用和直线方程以及圆的切线问题，属于中档题．12．已知数列{a n}的前n项和S n满足，下列说法正确的是（）A．若首项a1＝1，则数列{a n}的奇数项成等差数列B．若首项a1＝1，则数列{a n}的偶数项成等差数列C．若首项a1＝1，则S15＝477D．若首项a1＝a，若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，则a的取值范围是（3，5）解：数列{a n}的前n项和S n满足，所以，，当n＝1时，S1+S2＝4×4＝16，即2a1+a2＝16，当n＝2时，a3+2S2＝36，对于A：已知a1＝1，故a2＝14，a3＝6，所以a3﹣a1＝5≠8，故数列{a n}的奇数项不成等差数列，故A错误；对于B：故a n+1+a n＝4（2n+1），a n+a n﹣1＝4（2n﹣1），所以a n+1﹣a n﹣1＝8，故数列{a n}的偶数项成等差数列，故B正确；对于C：S15＝（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a14）＝1+6×+，故C正确；对于D：由a1＝a，知，所以a2＝16﹣2a，，解得a3＝4+2a，a4＝24﹣2a．若对任意n∈N*，a n＜a n+1恒成立，只需满足a1＜a2＜a3＜a4，即a＜16﹣2a＜4+2a＜24﹣2a，解得：3＜a＜5．故a的取值范围是（3，5），故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“x≤a”是“x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围为（2，+∞）．解：设P＝{x|x≤a}，Q＝{x|x≤2}，由条件知，“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件，则Q⫋P；∴a＞2，即则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义建立不等式关系是解决本题的关键，属于基础题．14．在所有7位自然数中任取一个数，则头两位都是3的概率为解：在所有7位自然数中任取一个数，基本事件总数n＝9×106，其中头两位都是3包含的基本事件个数m＝105，则头两位都是3的概率p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，若这三条直线交于一点，则交点坐标为（1，2），点（m，n）到原点的距离最小值为．解：联立，得，∵直线l1：mx+ny+5＝0，l2：x+2y﹣5＝0，l3：3x﹣y﹣1＝0，这三条直线交于一点，∴交点坐标为（1，2），把（1，2）代入直线l1：mx+ny+5＝0得：m+2n+5＝0，即m＝﹣2n﹣5，点（m，n）到原点的距离：d＝＝＝＝，∴当n＝﹣2，m＝﹣1时，点（m，n）到原点的距离最小值为．故答案为：（1，2），．【点评】本题考查直线的交点坐标、两点间的距离的最小值的求法，考查直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．长为的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C，已知过定点P（2，0）的直线l与曲线C相交于E，F两点，O为坐标原点，当△EOF的面积取到最大值时，直线l的斜率为±解：设M点坐标为（x，y），则A点坐标为（2x，0），B点坐标为（0，2y），由|AB|＝2，得（2x﹣0）2+（0﹣2y）2＝8，化简得x2+y2＝2，所以曲线C的方程x2+y2＝2，由题知，直线l斜率存在，设直线l的斜率为k，方程为y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，△EOF的面积取到最大值时，OE⊥OF，圆心到直线的距离d＝1，∴d＝＝1，∴k＝±．故答案为：±．【点评】本题考查了点的轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，确定△AOB的面积取到最大值时，OA⊥OB是关键，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1）．（1）求点A到直线BC的距离；（2）求△ABC的外接圆的方程．解：（1）∵A（2，0），B（3，3），C（﹣1，1），故直线BC的方程为＝，即2x﹣y+3＝0．故点A到直线BC的距离d＝＝＝．（2）△ABC的外接圆的方程为x2+y2+dx+ey+f＝0，把A、B、C的坐标代入可得，求得，故△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣2x﹣4y＝0．【点评】本题主要考查用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，用待定系数法求圆的方程，属于中档题．18．（12分）在①a2﹣2，a3，a4+6成等比数列，②a3+1，a5，a6+1成等差数列，③a2，a4+2，a6+10成等比数列，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并作答．正项等差数列{a n}满足a1＝4，且______．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和．解：若选①：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：a32＝（a2﹣2）（a4+6），又a1＝4，∴（4+2d）2＝（4+d﹣2）（4+3d+6），解得：d＝2或d＝﹣2（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选②：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：2a5＝a3+a6+2，又a1＝4，∴2（4+4d）＝4+2d+4+5d+2，解得：d＝2，∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．若选③：（1）设正项等差数列{a n}的公差为d，由题设可得：（a4+2）2＝a2（a6+10），又a1＝4，∴（4+3d+2）2＝（4+d）（4+5d+10），解得：d＝2或d＝﹣（舍），∴a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2；（2）由（1）可得：＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和为﹣+﹣+…+﹣＝﹣＝．19．（12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300a学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求a的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求a＞b的概率．解：（1）设高二年级总人数为n人，由题意可得＝，解得n＝1000，则a＝100﹣（91+9）﹣322﹣（300+200）＝78，（2）设所抽样本中有x人学习态度端正的学生，则由分层抽样可知＝，解得x＝3，因此抽取一个容量为5的样本中，由2个学习态度不端正，3个学习态度端正，分别记作a，b，A，B，C，从中任取2个的基本事件为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10个．至少含有11人学习不端正的基本事件有7个，（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），∴从中任取2人，至少有1人学习不端正的概率P＝；（3）记事件A为“a＞b“，因为平均分为104.5，则（90×3+100×4+110×3+2+a+b+5+6+8+3+6+7）＝104.5，解得a+b＝8，∴a和b的取值共有9种情况，它们是（0，8），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），其中a＞b有4种情况，它们是（5，3），（6，2），（7，1），（8，0），故P（A）＝．20．（12分）已知命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立；命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立．（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q一真一假，求实数a的取值范围．解：命题p：∃x∈[2，3]，使不等式ax2﹣ax﹣1＜0成立，即a＜在[2，3]上有解，又当2≤x≤3时，2≤x2﹣x≤6，所以，故a，命题q：∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[1，2]使不等式＜0成立，所以，因为y＝（）x﹣x在[﹣1，2]上单调递减，故x1∈[﹣1，2]时，值域[﹣，3]，所以∃x2∈[1，2]，，即a＞＝x+在[1，2]上有解，因为y＝x+在[1，2]上先减后增，当x＝时取得最小值2，故a＞2，（1）若命题p为真，则a的范围{a|a}，（2）若命题p和命题q一真一假，当p真q假时，即a＜，当p假q真时，即a＞2，综上，实数a的取值范围{a|a＜或a＞2}．21．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝25，直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0．（1）证明：不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）若直线l与圆C相交于A，B两点，设集合M＝{x|x＝|AB|且x∈N}，在集合M中任取两个数，求这两个数都不小于8的概率．【解答】（1）证明：化直线l：（m+2）x+（m+1）y+4m+6＝0为m（x+y+4）+2x+y+6＝0，由，解得，∴直线l过定点P（﹣2，﹣2），又（﹣2﹣1）2+（﹣2﹣1）2＝18＜25，∴点P在圆内，∴不论实数m为何值，直线l与圆C始终相交；（2）解：设C到直线l的距离为d，∵|AB|＝，∴当d最大时|AB|最小，d最小时|AB|最大，又0≤d≤|CP|，即当l与直线CP垂直时，，∴．|AB|max＝10，即M＝{x|且x∈N}＝{6，7，8，9，10}，从6，7，8，9，10中任取两数的基本事件有：（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10）共10种，两数都不小于8的有（8，9），（8，10），（9，10）共3种．∴在集合M中任取两个数，这两个数都不小于8的概率为．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝3a n﹣3，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记，若数列{c n}为递增数列，求λ的取值范围．解：（1）∵S n＝3a n﹣3，∴S n﹣1＝3a n﹣1﹣3（n≥2），两式相减得：a n＝3a n﹣3a n﹣1，即a n＝a n﹣1，n≥2，又当n＝1时，有S1＝3a1﹣3，解得：a1＝，∴数列{a n}是首项、公比均为的等比数列，∴a n＝（）n，b n＝3log a n+1＝3n+1；（2）由（1）可得：＝（）n﹣λ（3n+1）2，∵数列{c n}为递增数列，∴c n+1﹣c n＝（）n+1﹣λ（3n+4）2﹣（）n+λ（3n+1）2＝×（）n﹣λ（18n+15）＞0对∀n∈N*恒成立，即λ＜对∀n∈N*恒成立，设f（n）＝，n∈N*，则＝×，由＞1解得：n＞，∴当n≥2时，f（n+1）＞f（n）；当n＝1时，f（n+1）＜f（n），∴f（n）min＝f（2）＝，∴λ＜，即λ的取值范围为（，+∞）．。

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线l 的方程是3260x y -+=，则直线l 经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限 【答案】A【分析】画出图形即可判断. 【详解】画出直线图形如下：由图可得直线过一、二、三象限. 故选：A.2．已知椭圆22:14y C x +=，则椭圆C 的（ ）A ．焦距为25B ．焦点在x 轴上C ．离心率为12D ．长轴长为4【答案】D【分析】根据椭圆的方程得焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，进而得焦距为23离心率为32e =，长轴长24a =. 【详解】解：因为椭圆C 的方程22:14y C x +=，所以椭圆是焦点在y 轴上的椭圆，且224,1a b ==，所以3c =所以焦距为233e =24a =. 故选：D.3．下列说法正确的是（ ） A ．直四棱柱是正四棱柱B ．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 【答案】C【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案. 【详解】对于A ，直四棱柱的底面不一定是正方形，故A 不正确；对于B ，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故B 不正确； 对于C ，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故C 正确； 对于D ，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D 不正确. 故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键. 4．下列双曲线中，渐近线方程为43y x =±的是（ ） A ．22143x y -= B ．22143y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=【答案】D【分析】根据双曲线的方程逐一求四个方程的渐近线即可求解.【详解】对于选项A ：22143x y -=中，24a =，23b =，渐近线方程为2b y x x a =±=±，故选项A 不正确；对于选项B ：22143y x -=中，24a =，23b =，渐近线方程为a y x x xb =±==，故选项B 不正确；对于选项C ：221169x y -=中，216a =，29b =，渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故选项C 不正确；对于选项D ：221169y x -=中，216a =，29b =，渐近线方程为43a y x x b =±=±，故选项D 正确， 故选：D5．直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直，则它们的交点坐标为（ ） A ．(1,3)-- B ．(2,1)--C ．1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(1,2)--【答案】B【分析】利用两直线垂直的公式求出1k =-，两直线联立求交点坐标即可. 【详解】由直线250x y ++=与直线20kx y +=互相垂直， 可得220k +=， 即1k =-，所以直线20kx y +=的方程为：20x y -=；由2502201x y x x y y ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，得它们的交点坐标为(2,1)--. 故选：B.6．直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种关系都可能 【答案】A【分析】根据题意直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，进而可得答案. 【详解】解：根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，由于点()1,0-在椭圆2212x y +=内，故直线10()x my m R ++=∈与椭圆2212x y +=的位置关系是相交关系.故选：A.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，本题解题的关键在于根据题意得直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，且该点在椭圆内，是基础题.7．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（ ） A ．10米 B ．102米C ．66米D ．65米【答案】C【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解.【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =， 当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-， 由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.8．已知,αβ是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αβ，且//αβ，则//m nB ．若m α⊥，βn//，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若,ααβ⊥⊥m ，则//m βD ．若//,m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．【详解】由//,//m n αβ，且//αβ，得//m n 或m 与n 异面或m 与n 相交，故A 错误； 由m α⊥，βn//，且αβ⊥，得//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由,ααβ⊥⊥m ，得//m β或m 在β 平面内，故C 错误； 由//,m m αβ⊥，得αβ⊥，故D 正确． 故选：D ．【点睛】熟悉空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系是解题关键．9．已知(4,0)A -，B 是圆22(1)(4)1x y -+-=上的点，点P 在双曲线22197x y -=的右支上，则||||PA PB +的最小值为（ ） A ．9 B ．256+C ．10D ．12【答案】C【分析】求出C 的坐标，则点A ，A '是双曲线的焦点，利用双曲线的定义，可得：||6PA PA ='+，推出'6'PA PB PA PB A C +=++≥即可.【详解】设点(1,4)C ，点B 在圆上，则||||||1PB PC r PC ≥-=-， 由点P 在双曲线右支上，点A 为双曲线左焦点，设A '为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知||||2||6PA PA a PA =+=+'， 所以||||||6||61||55510PA PB PA PB PA PC A C '+=++≥++-≥+=+=''， 故选：C ．【点睛】方法点睛：（1）求解和椭圆、双曲线有关的长度和的最值问题，都可以通过相应的圆锥曲线的定义去分析问题；（2）圆外一定点到圆上点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.10．已知F 为椭圆C ：2212x y +=的右焦点，点F 关于直线:1m y x =+的对称点为Q ，若直线l 过点Q ，且//l m ，则椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值为（ ）A ．B C D【答案】B【分析】先求出直线的方程，再利用椭圆的参数方程求得最值得解.【详解】由点2(1,0)F 关于直线1PF ：1y x =+对称点为(1,2)Q -，所以直线:3l y x =+，设椭圆的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设点,sin )M θθ，则点M 到直线l 的距离为：d ==≤， 故选B ．【点睛】椭圆上的点到直线的距离通常运用椭圆的参数方程转化为三角函数求得最值.11．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一动点，AB 为圆2224a x y +=的直径，若PA PB ⋅最小值为22c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．B C ．2D【答案】A【分析】利用平面向量的加法法则以及数量积运算，再利用双曲线的定义即可得22223442a a c a PA PB ≥-=⋅=，即可得出结果.【详解】由题意知：()()PA PB PO OA PO OB ⋅=+⋅+ ()()PO OA PO OA =+⋅-22222344a a PO OA a =-≥-=， 所以222233422a c c a =⇒=，所以23622e e =⇒=， 故选：A ．12．已知三棱锥P ABC -的所有棱长均为2，点M 为BC 边上一动点，若AN PM ⊥且垂足为N ，则线段CN 长的最小值为（ ） A ．213- B ．273- C ．7 D ．1【答案】A【分析】取PA 中点O ，得点N 在以O 为球心，半径为1的球面上，进一步可得N 的轨迹为一段圆弧，设点O 在平面PBC 的投影点为1O ，则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，可得当点N 在1CO 上时，CN 取最小值，求解三角形计算得答案．【详解】解：取PA 中点O ，AN PM ⊥，∴点N 在以O 为球心，半径为1的球面上， 又点N 在平面PBC 上，故N 的轨迹为一段圆弧， 设点O 在平面PBC 的投影点为1O ， 且点1(O PS S ∈为BC 中点）， 则点N 在以1O 为圆心的圆弧上，3PS AS ==，设A 到PS 的距离为h ，则221132(3)122h ⨯⨯=⨯⨯-，即26h =，得163OO =，21631()3PO =-=，22213PS =-= 由N 在PS 上时，求得13NO =，求解Rt △1CO S ，得2212313213CO ⎛⎫=+ ⎪ ⎪=⎝⎭， 则当点N 在1CO 上时，CN 取最小值213-， 故选：A ．【点睛】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，解答的关键是弄清动点的轨迹；二、填空题13．已知双曲线2222mx my -=的一个顶点是(0,1)，则m 的值是_______________． 【答案】2-【分析】由题可判断焦点在y 轴上，且21m-=，可求出. 【详解】双曲线2222mx my -=化为22112x y m m-=， 一个顶点是(0,1)，故焦点在y 轴上，且1a =，0m ∴<，且21m-=，解得2m =-. 故答案为：2-.14．过两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=交点的直线方程为____________． 【答案】240x y --=【分析】利用圆系方程的求法，求解即可．【详解】设两圆224x y +=和22(2)(1)1x y -++=的交点分别为,A B ， 则线段AB 是两个圆的公共弦．由224x y +=和22(2)(1)1x y -++=两式相减， 得4280x y --=， 即240x y --=，故线段AB 所在直线的方程为240x y --=； 故答案为：240x y --=.15．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____________．【答案】52【分析】由题意知二十四等边体是棱长为2a的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为2221a a a+==，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去8个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为2）的体积即可求解.【详解】如图：设原正方体的棱长为2a22a a2a+=，21a=，所以2 a=所以正方体棱长为22a=22222=又截去的82，故截去体积为211222832223⎛⨯⨯⨯⨯=⎝⎭，所以24等边体的体积为2522233V==．故答案为：52 3【点睛】关键点点睛：本题的关键点是结合题意利用空间想象能力可知二十四等边体是正方体沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，利用二十四等边体棱长为1可以求出正方体的体积，以及三棱锥的体积，即可求该二十四等边体的体积.16．如图，已知P为椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>上的点，点A、B分别在直线12y x=与12y x=-上，点O为坐标原点，四边形OAPB为平行四边形，若平行四边形OAPB 四边长的平方和为定值，则椭圆C的离心率为________．3【分析】方法一：首先设点()00,P x y，利用平行四边形的性质求直线PA和PB的方程，并接到点,A B的坐标，利用两点间距离公式表示四边平方和，利用四边平方和为定值，得到2214ba=，求椭圆的离心率；方法二：首先设()121200,,,,,22x xA xB x P x y⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由平行四边形的性质得到坐标间的关系，并表示行2AB，利用四边形性质边长平方和等于22AB OP+为定值，求椭圆的离心率.【详解】（法一）设()00,P x y，则直线PA的方程为0122xy x y=-++，直线PB方程为0122xy x y=-+，联立方程组12212xy x yy x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得000,242x x yA y⎛⎫++⎪⎝⎭，联立方程组12212xy x yy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得000,242x x yB y⎛⎫--+⎪⎝⎭，则2222222200000000005524224282x x y x x yPA PB y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-++++=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为22005582x y +为定值，则22222213,,44b a b e e a a -====． 法二：设()121200,,,,,22x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由AB 和OP 中点相同，则120122x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 所以()222221201204224x x x AB x x y ⎛⎫=-++=+ ⎪⎝⎭平行四边形性质边长平方和等于222222220000004544x x AB OP y x y y ⎛⎫+=+++=+ ⎪⎝⎭为定值，又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为220014x y +为定值，则22222213,,442b a b e e a a -====．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.三、解答题17．已知12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点P 是双曲线上一点，满足12PF PF ⊥且128,6PF PF ==． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB 的中点恰为点(2,6)M ，求直线l 的方程．【答案】（1）22124y x -=；（2）810y x .【分析】（1）由双曲线定义求a ，结合12PF PF ⊥求2b ，写出双曲线C 的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，结合双曲线方程得1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，根据中点M 、直线斜率的坐标表示得324AB k ⋅=，即可写出直线方程.【详解】（1）1222a PF PF =-=，得1a =，在△12PF F 中2221212100F F PF PF =+=，∴24100c =，22225c a b ==+，则224b =，故双曲线的标准方程为：22124y x -=（2）设()()1122,,,A x y B x y ，有221221221212222212424124y x y y x x y x ⎧-=⎪-⎪⇒-=⎨⎪-=⎪⎩，所以221212122112122224y y y y y y x x x x x x --+=⋅=--+，又1212AB y y k x x -=-，1212632y y x x +==+， ∴324AB k ⋅=，得8AB k =， ∴直线AB 方程为：810y x ，满足0∆>，符合题意 .【点睛】关键点点睛：1、由双曲线定义：曲线上的点到两焦点距离差为定值m ，有2a m =，结合勾股定理求c .2、()()1122,,,A x y B x y ，利用中点1212(,)22x x y y ++、直线斜率1212y y k x x -=-，结合所得方程1212121224y y y y x x x x -+⋅=-+，求斜率并写出直线方程. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1PA =，直线PB 、PD 与平面ABCD 所成角分别为30°、45°，E 为CD 的中点．（1）已知点F 为PB 中点，求证：//CF 平面PAE ； （2）求二面角P BD A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）7. 【分析】（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，证明//CG AE ，//FG PA ，推出//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ，然后证明平面//CFG 平面PAE ，得到//CF 平面PAE ．（2）PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，得到30PBA ∠=︒，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，求出平面PBD 的法向量，平面ABD 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）取AB 中点G ，连结GF ，CG ，∵在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为CD 的中点，∴//CG AE ，//FG PA ， ∵CG ⊄面PAE ，AE ⊂面PAE ，FG ⊄面PAE ，PA ⊂面PAE ， ∴//CG 平面PAE ，//FG 平面PAE ， 又因为CG FG G ⋂=，,CG FG ⊂面CFG ∴平面//CFG 平面PAE ，∵CF ⊂平面CFG ，∴//CF 平面PAE ．（2）由PA ⊥面ABCD ，所以PBA ∠为PB 与面ABCD 所成角，30PBA ∠=︒ 所以PDA ∠为PB 与面ABCD 所成角，45PDA ∠=︒由1PA =，所以1AB AD ==，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 为x ，y ，z 正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D P ，平面PBD 中：(3,0,1)PB =-，(0,1,1)PD =-，设法向量(,,)n x y z =，则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00z y z -=-=⎪⎩取3z =，则1,x y ==(1,3,n =，又PA ⊥平面ABCD ，故平面ABD 的法向量为：(0,0,1)m =，设二面角P BD A --的平面角为θ，所以||3cos ||77m n m n θ⋅===．【点睛】本题考查了立体几何中的面面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:1l y x =+与椭圆C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若点E 满足()OE t OM ON =+，且点E 在椭圆C 上，求实数t 的值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）72t =±. 【分析】（1）根据离心率得到,,a b c 的关系，再代入点P 的坐标求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数的关系12x x +，以及12y y +，并利用向量相等表示点E 的坐标，代入椭圆方程，求t . 【详解】解：（1）122=⇒=c a c a ，所以22224,3==a c b c ，所以椭圆方程为：22243x y c +=，过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2914143c =+=，所以椭圆方程为：22143x y+=，（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2212212817788043817x x x y x x x x y x ⎧⎧+=-⎪⎪+=⎪⎪⇒+-=⇒⎨⎨⎪⎪=-=+⎪⎪⎩⎩所以12128611277y y x x +=+++=-+= 又()()()121286(),,77t t OE t OM ON t x x t y y ⎛⎫=+=++=-⎪⎝⎭，所以点86,77t t E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，带入椭圆中：22264367494914342t t t t +=⇒=⇒=±． 20．已知圆C 的圆心在第一象限内，圆C 关于直线3y x =对称，与x 轴相切，被直线y x =截得的弦长为（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在直线10x y ++=上运动，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B 点，求四边形PACB 面积的最小值． 【答案】（1）()()22139x y -+-=；（2. 【分析】（1）设圆C 标准方程，由垂径定理、圆与x 轴相切、关于直线3y x =对称可构造方程求得圆心坐标和半径，由此得到标准方程； （2）将四边形PACB 面积转化为23PABSPA =，只需求得PA 最小值即可；根据PC d ≥且PA =PA 最小值，代入可求得结果.【详解】（1）设圆C 的标准方程为：()()()2220,,0x a y b r a b -+-=>>， 圆C 关于直线3y x =对称，3b a ∴= 圆C 与x 轴相切：3r b a ∴==…① 点(),C a b 到y x =的距离为：d ===， 圆C 被直线y x =截得的弦长为，222r d ∴=+，结合①有：22927a a =+，21a ∴=， 又0a >，1a ，33r b a ===，∴圆C 的标准方程为：()()22139x y -+-=.（2）,PA PB 与圆C 相切，CA PA ∴⊥，CB PB ⊥，3CA CB ==由PAC PAB ≌得：12232PABPACB S SCA PA PA ==⨯⨯=四边形， 圆心C 到直线10x y ++=的距离1315222d ++==， PC d ∴≥，即522PC ≥（当PC l ⊥时取等号），又2229PA PC CA PC =-=-，23143392PACB S PA d ∴=≥-=四边形（当PC l ⊥时取等号）， ∴四边形PACB 面积的最小值为3142.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆有关的四边形面积最值的求解问题，解题关键是能够将四边形面积转化为三角形面积的求解，进而确定决定三角形面积的变量是切线长，通过确定切线长的最值得到所求面积的最值.21．如图，已知四棱柱ABCD A B C D ''''-的侧棱长为4，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E 为BC 中点，直线AE 和CD 交于点H ，C H '⊥面ABCD ．（1）求证：BD A H '⊥； （2）若3BAD π∠=，在线段AA '上是否存在一点M ，使得平面MBD 与平面BCC '所成锐二面角为60，若存在，求||MA AA '的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）先证明BD ⊥面A C H ''，进而得BD A H '⊥；（2）先证明A B '⊥面ABCD ，进而如图建立空间直角坐标系，假设存在M 满足条件并设()01AM AA λλ'=≤≤，再求两个平面的法向量，利用法向量求二面角即可得711λ-=或者711+，进而可得答案. 【详解】解：（1）由菱形ABCD 中：BD AC ⊥，又由四棱柱ABCD A B C D ''''-得//AA CC ''，AA CC '='， 所以四边形ACC A ''为平行四边形，所以//AC A C ''， 所以BD A C ⊥''，又C H '⊥面ABCD ，所以C H BD '⊥， 因为A C C H C '''='⋂，所以BD ⊥面A C H ''，所以BD A H '⊥ （2）在HAD △中，1//,2CE AD CE AD =， 所以CE 为中位线，则C 为DH 中点，CD CH =， 所以AB CH =，又//AB CH ， 所以ABHC 为平行四边形， 所以,//BH AC BH AC =， 又ACC A ''为平行四边形， 所以BH A C =''，//BH A C ''， 所以BHC A ''为平行四边形 所以//,C H A B C H A B ''''= 又C H '⊥面ABCD ， 所以A B '⊥面ABCD ．在Rt C CH '中，4,2CC CH ='=，则C H '=， 三角形ABD 中，,3AB AD BAD π=∠=，所以2BD AB ==，所以三角形BCD 为正三角形，以点B 为坐标原点，,BA BA '为,y z 轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,0),(3,1,0),(0,2,23)(0,2,0),(0,0,23),(3,1,0)B C B A A D -''-设()()()0,2,23,01,0,223AM AA BM BA AM λλλλλλ==-≤≤=+'=-， 所以点(0,22,23)M λλ-，所以在面MBD 中：(3,1,0)BD →=，(0,22,23)BM λλ→=-，设法向量111(,,)n x y z →=00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则111130(22)230x y y z λλ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取13y λ=，则11,1x z λλ=-=-，所以(3,1)n λλλ→=-- 在平面BB C '中，()(3,1,0,0,2,23BC BB =-'=-，设法向量222(,,)m x y z →=，00m BC m BB '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222230230x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩， 取23y 221,1x z ==，所以3,1)m →=若存在，则221cos 60254(1)m nm nλλ→→→→=+-⋅⋅︒==， 化简有：()2224(31)54(1)λλλ-=+-，整理有2111410λλ--=，所以721511λ-=或者721511+， 由721572150,1-+<>，且01λ≤≤，所以在线段AA '上不存在点M ． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，空间向量解决立体即可中的存在性问题，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意证明A B '⊥面ABCD ，进而建立空间直角坐标系（如图），并假设存在M 满足条件，并设()01AM AA λλ'=≤≤，进而求两个平面的法向量，通过二面角求解.22．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在椭圆上运动时，12PF F △面积的最大值为4，当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若直线1PF 、2PF 交椭圆另一点分别是A 、B ，点P 不在x 轴上，且||||2PA PB +=，求点P 的坐标．【答案】（1）22184x y +=；（2）点P 的坐标为(6,1),(6,1),(6,6,1)--. 【分析】（1）由12PF F △面积的最大为4，得4cb =，由1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为22222b ca=222a b c =+，解得22,2a b c ===，即可求得椭圆方程；（2）设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''，直线1PF 为：2x my =-，联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，利用弦长公式求得21||12PA m ⎫=-⎪+⎭，同理21||12PB n ⎫=-⎪+⎭，由||||PA PB +=，得出||2mn =，利用斜率公式知21211142y mn x ==±-，分类讨论求出点P 的坐标． 【详解】（1）当点P 是椭圆上的上顶点时，12PF F △面积的最大，即1242cb ⨯=，即4cb =当1PF x ⊥轴时，12PF F △面积为2122b c a ⨯⨯=2b ca=．又222a b c =+，解得2a b c ===所以椭圆方程为22184x y +=（2）设直线1PF 为：2x my =-，直线2PF 为：2x ny =+联立方程222184x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 有：()222440m y my +--=，()()()22241623210m m m ∆=-++=+>，设11(,)P x y ,22(,)A x y ，22(,)B x y ''由韦达定理得：12122244,22m y y y y m m -+==++则)2122211||122m PA y m m +⎫=-==-⎪++⎭同理可得：)2122211||122n PB y y n n +⎫=-==-⎪++⎭'，由||||PA PB +=，所以22111122m n ⎫-+-=⎪++⎭即2222122m n ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭，则224||2m n mn =⇒=，又11111212ym xyn x⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩，则21211142ymn x==±-，若22211121112442yy xmn x==-⇒=--，又221128x y+=，有221148x x+-=，不成立；若22211121112442yy xmn x==⇒=--，又221128x y+=，所以211211611x xy y⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨==±⎪⎪⎩⎩所以点P的坐标为1)--．【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，及直线与椭圆相交求弦长，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.第 21 页共 21 页。

2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题(解析版)

2020-2021学年福建省漳州三中高二期中考试数学试题一、单选题1．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）A ．14y x =B ．4y x =C ．12y x =D ．2y x =【答案】D【分析】由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到2b a =，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，所以2b a =，所以双曲线的一条渐近线方程为2by x a==，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3．给出两个命题：p ：函数21y x x =--有两个不同的零点；q ：若11x<，则1x >，那么在下列四个命题中，真命题是（ ） A ．()p q ⌝∨ B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】D【分析】首先分别判断出命题p 、q 的真假，然后可得答案.【详解】对于p ，函数对应的方程210x x --=的判别式()()214150∆=--⨯-=> 可知函数有两个不同的零点，故p 为真当0x <时，不等式11x<恒成立；当0x >时，不等式的解集为{}1x x >. 故不等式11x<的解集为()(),01,-∞⋃+∞，故命题q 为假命题 所以只有()()p q ⌝∨⌝为真 故选：D4．直线l 过点0)且与双曲线222x y -=仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C【分析】根据直线l 的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线过双曲线222x y -=的右顶点，方程为x 满足题意；当直线l 的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线222x y -=有且仅有一个公共点.综上可得，满足条件的直线共有3条. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．1122-++a b c B ．1122a b c ++ C ．1122a b c --+ D ．1122a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量的加法的三角形法则，结合平行六面体的性质分析解答． 【详解】由题意，1111112BM BC CC C M BC CC C A =++=++()111111122222BC CC AB BC AB BC CC a b c =+-+=-++=-++；故选：A ．6．已知椭圆222x y 9n +=1(n>0)与双曲线222x y 4m-=1(m>0)有相同的焦点,则动点P(n,m)的轨迹是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．圆的一部分【答案】D【分析】由椭圆和双曲线方程可求得焦点坐标，进而根据有相同的焦点，建立等式求得m 和n 的关系即可.【详解】：∵椭圆222x y 9n +＝1与双曲线222x y 4m-＝1有相同的焦点，∴9-n 2=4+m 2，即m 2+n 2=5（0＜n ＜3）这是圆的一部分，故选D【点睛】在用直接法探究轨迹方程时，可直接列出动点坐标所满足的关系式，但在将等式变形和化简过程中，要留心是否需要讨论，以及取值范围是否存在限制.7．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【分析】根据三棱柱111ABC A B C -的体积公式，求得OP =即可求解.【详解】的正三角形，可得1S sin 6024ABC =︒=△，设O 点是ABC 的中心，所以111944ABC A B C ABC V S OP OP -=⋅==△，解得OP =又由2123OA ==，在直角OAP △中，可得tan 1OP OAP OA ∠===， 又02OAP π<∠<，所以3OAP π∠=.故选：B.8．已知圆1C ：222x y b +=与椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>，若在椭圆2C 上存在一点P ，使得由点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则椭圆2C 的离心率的取值范围是（ ）A ．23,22⎣⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．32⎫⎪⎣⎭ D ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】设两切点分别为A ，B ，利用O 、P 、A 、B 四点共圆的性质可得||OP ，结合隐含条件求得椭圆C 的离心率的取值范围．【详解】设两切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，90APB ∠=︒，∴四边形OAPB 为正方形，||2OP b ∴=，||b OP a ∴<，即2b b a <，222b a ∴，即2222()a c a -，222a c ∴，即22c e a =． 又01e <<，∴212e <，∴椭圆C 的离心率的取值范围是22，1)，故选：D ．【点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、多选题9．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：若1x ≠，则2320x x -+≠B ．1x =是2320x x -+=的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥ 【答案】ABD【分析】利用四种命题的逆否关系判断A 的正误；充分条件、必要条件判断B 的正误；复合命题的真假判断C 的正误；特称命题的否定判断D 的正误；【详解】解：对于A ，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”， A ∴正确；对于B ：因为2320x x -+=解得1x =或2x =，故1x =是2320x x -+=的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：因为p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故C 错误.对于D ：对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥满足特称命题的否定是全称命题，故D 正确． 故选：ABD10．设椭圆22:12x C y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．12PF PF +=B ．离心率2e =C ．12PF F ∆D ．以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +=相切【答案】AD【分析】根据椭圆的定义判断A 选项正确性，根据椭圆离心率判断B 选项正确性，求得12PF F ∆面积的最大值来判断C 选项的正确性，求得圆心到直线0x y +=的距离，与半径c 比较，由此判断D 选项的正确性.【详解】对于A 选项，由椭圆的定义可知122PF PF a +==，所以A 选项正确.对于B 选项，依题意1,1a b c ===，所以2c e a ===，所以B 选项不正确. 对于C 选项，1222F F c ==，当P 为椭圆短轴顶点时，12PFF ∆的面积取得最大值为1212c b c b ⋅⋅=⋅=，所以C 选项错误. 对于D 选项，线段12F F 为直径的圆圆心为()0,0，半径为1c =，圆心到直线0x y +=1=，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段12F F 为直径的圆与直线0x y +-=相切，所以D 选项正确. 综上所述，正确的为AD. 故选：AD【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.11．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边AB =AC = ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -C ．二面角A BCD --的正切值是3D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2114【答案】CD【分析】利用等体积法计算出三棱锥B ADC -的体积，考查判断出B 选项的正误；以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断出A 、C 、D 选项的正误. 【详解】画出图象如下图所示，对于B 选项，由于AD BD ⊥，AD CD ⊥，故BDC ∠是二面角C AD B --的平面角， 则120BDC ∠=，BD CD D =，AD ∴⊥平面BCD ，过B 作BE CD ⊥交CD 的延长线于E ，AD ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，AD BE ∴⊥，BE CD ⊥，AD CD D =，BE ∴⊥平面ACD ，故BE 是三棱锥B ACD -的高.在原图中，363BC =+=，3623AB AC AD BC ⋅⨯===，321BD =-=， 22622CD AC AD =-=-=，33sin 601BE BD =⨯=⨯=， 所以1113622326D ABC B ACD V V AD CD BE --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=，故B 错误； 对于A 选项，以D 为坐标原点，DA 、DC 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，)A、10,,22B⎛-⎝⎭、()0,2,0C，1,22AB⎛=--⎝⎭，()2,0AC=，设平面ABC的法向量为(),,n x y z=，则1202220n AB y zn ACy⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取x=y=5z=，所以()6,3,5n=，平面ACD的一个法向量为()0,0,1m=，则50m n⋅=≠，所以，平面ACD与平面ABC不垂直，故A错误；对于C选项，平面BCD的一个法向量为()1,0,0a=，6cos,34n an an a⋅===⋅，2sin,1cos,1n a n a⎛<>=-<>=-=设二面角A BC D--的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则sin,14tan tan,3cos,17n an an aθ<>=<>===<>，故C 正确；对于D选项，50,,22BC⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，平面ACD的一个方法向量为()0,0,1m=，2cos,141m BCm BCm BC⋅<>===⨯⋅，因此，BC与平面ACD所成角的正弦值是14，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查立体几何的综合问题，考查利用等体积法计算三棱锥的体积、利用空间向量法计算二面角的正切值、线面角的正弦值以及判断面面垂直，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知点F是抛物线()220y px p=>的焦点，,AB CD是经过点F的弦且AB CD⊥，AB的斜率为k，且0k>，,C A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（）A ．1112AB CD p+= B ．若243AF BF p ⋅=，则3k =C ．OA OB OC OD ⋅=⋅ D ．四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB ，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k xk p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+则有1112AB CD p +=，所以A 正确； 221212121422⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p OA OB x x y y p k x x ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k无关，同理234⋅=-OC OD p ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 若243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得222222221(2)4223++=+=p k p p p p k k，解得k =B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错； 故选AC【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型.三、填空题13．已知抛物线2y ax =过点1(,1)4A ，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 .【答案】54【分析】把点代入抛物线，求出抛物线的方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到其准线的距离，即可求得答案.【详解】∵抛物线2y ax =过点1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭,∴2114a =⨯，解得4a =，抛物线的方程为24y x =，抛物线的准线方程为1x =-，焦点为(1,0)F ,由抛物线的定义可得15144AF =+=,故答案为54. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．若“12＜x ＜3”是“0≤x ≤m ”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】[3，+∞）【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】解：若“132x <<”是“0x m ”的充分不必要条件， 则“132x <<”能推出“0x m ”成立，“0x m ”不能推出“132x <<”成立， 所以由题意可设1{|3}2A x x =<<，{|0}B x x m =；A B 即3m ，则实数m 的取值范围是[3，)+∞， 故答案为：[3，)+∞【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E ，要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为________.【答案】12【分析】设1B F x =，先由1AB ⊥平面1C DF ，得到1AB DF ⊥，设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ，根据题中数据求出23h =3DE =11111122DB FSB E DF DB B F =⋅=⋅列出方程，即可求出结果. 【详解】设1B F x =，因为1AB ⊥平面1C DF ，DF ⊂平面1C DF ， 所以1AB DF ⊥， 由已知可得112A B =设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ， 则12DE h =， 又1111111122AA B SA B AA AB h =⋅=⋅，即()2211222222h =+，所以23h =3DE =. 在1Rt DB E 中，221236236B E ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为11111122DB F S B E DF DB B F =⋅=⋅，所以221621226222x x ⎛⎫⨯+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得12x =.故答案为：12.【点睛】本题主要考查空间几何体中的相关计算，根据线面垂直求线段长，熟记线面垂直的性质即可，属于常考题型.四、双空题16．动圆E 与圆21(1)4M x y -+=外切，并与直线12x =-相切，则动圆圆心E 的轨迹方程为__________，过点(1,2)P 作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E 的轨迹相交于A ，B 两点，则直线AB 的斜率为__________. 【答案】24y x = 1-【分析】由已知可得E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，即动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线,PA PB 的方程，与抛物线方程联立，求出,A B 的坐标，利用斜率公式，即可求得直线AB 的斜率．【详解】解：如图，由题意可知，1||||2NE ME =-，则1||||2NE ME +=， ∴E 点到直线1x =-的距离等于到点()1,0M 的距离，∴动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 则其轨迹方程为24y x =；点P 坐标为()1,2，设()()1122,,,A x y B x y ， 由已知设PA ：(2)1m y x -=-，即：21xmy m ，代入抛物线的方程得：2484y my m =-+，即24840y my m -+-=，则124y m +=，故142y m =-，设:(2)1PB m y x --=-，即21x my m =-++，代入抛物线的方程得：2484y my m =-++，即24840y my m +--=， 则：224y m +=-，故242y m =--，()()121212212148x x my m my m m y y m m -=-+--++=+-=-，直线AB 的斜率2121818AB k y y mx x m--===--，∴直线AB 的斜率为−1．故答案为：24y x =；−1．【点睛】本题考查的知识点是抛物线的性质，直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键，是中档题．五、解答题17．（1）求与双曲线2214y x -=有相同渐近线且过点()2,0A 的双曲线方程；（2.【答案】（1）221416x y -=；（2）当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 【分析】（1）由条件设双曲线方程为2204y x λ-=≠，将点()2,0A 代入可得答案.(2)，可得ca=即b =，然后分焦点的位置进行分类讨论求解即可.【详解】解：（1）由题意可设要求的双曲线方程为2204y x λ-=≠，把点()2,0A 代入可得4λ=.∴双曲线方程为：221416x y -=.（2，可得c a =2223a b a +=，所以b =，当双曲线的焦点坐标在x 轴时，双曲线的渐近线方程为：y =；当双曲线的焦点坐标在y 轴时，双曲线的渐近线方程为：2y x =±. 18．已知命题p ：方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立.（1）若“q ⌝”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,1][3,)-∞-⋃+∞；（2）(][)1,02,3-.【分析】（1）先求出命题q 的等价条件，根据“q ⌝”是真命题，即可求出实数m 的取值范围．（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则,p q 只有一个为真命题，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为x R ∀∈,不等式22230x mx m +++>恒成立，所以244(23)0m m ∆=-+<，解得13m -<<，又“q ⌝”是真命题等价于“q ”是假命题．所以所求实数m 的取值范围是(][),13,-∞-+∞（2）方程2212x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，∴02m <<“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴,p q 一个为真命题，一个为假命题，当p 真q 假时， 则021,3m m m <<⎧⎨≤-≥⎩，此时无解．当p 假q 真时，则0,213m m m ≤≥⎧⎨-<<⎩，此时10m -<≤或23m ≤<综上所述，实数m 的取值范围是(][)1,02,3-【点睛】本题考查命题的真假以及根据复合的真假求参数的取值范围，属于基础题．19．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，PA AD =，2AB =，2AD =.（1）求证：平面MPC ⊥平面PCD ； （2）求异面直线PM 与BN 所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）63. 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）求出平面MPC 和平面PCD 的法向量，利用空间向量法可证明出平面MPC ⊥平面PCD ；（2）求出向量PM 、BN ，利用空间向量法可求得异面直线PM 与BN 所成角的余弦值.【详解】PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.（1）()1,0,0M 、(2P 、()2,0C 、()2,0D 、22N ⎛⎝⎭、()2,0,0B ， 设平面MPC 的法向量为()111,,m x y z =，(2MP =-，()1,2,0MC =，由00m MP m MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11112020x z x ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令12x =，则()2,1,1m =-，设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，()2,0,0DC =，(0,DP =，由00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222020x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，则()0,1,1n =，0110m n ⋅=-+=，因此，平面MPC ⊥平面PCD ；（2）(1,0,PM =，1,,22BN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，cos ,3PM BN PM BN PM BN⋅<>==-=-⋅，因此，异面直线PM 与BN . 【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．20．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，5MF =．（1）求抛物线的方程；（2）设过焦点F 且倾斜角为45︒的l 交抛物线于A B 、两点，求线段AB 的长． 【答案】（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）先由题意得452pMF +==，求出2p =，即可得出抛物线方程； （2）先由题意，得到直线l 的方程为1y x =-，与抛物线联立，根据抛物线的焦点弦公式，即可得出结果.【详解】（1）由题意得452pMF +==， ∴2p =，故抛物线方程为24y x =．（2）直线l 的方程为0tan 45(1)y x -=︒⋅-，即1y x =-．与抛物线方程联立，得214y x y x =-⎧⎨=⎩，消y ，整理得2610x x -+=，其两根为12,x x ，且126x x +=． 由抛物线的定义可知，12||628AB x x p =++=+=． 所以，线段AB 的长是8．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的弦长问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的焦点弦公式即可，属于常考题型.21．如图所示，正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22AB AD ==，点E 为AB 的中点.（1）求证：11D E A D ⊥；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使二面角1D MC D --的大小为6π？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，32AM =. 【分析】（1）由条件可得可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出11D E DA ⋅，可证.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行运算求解.【详解】证明：由正方形11AA D D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，可得1D D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()11,0,1A ，()10,0,1D ，()1,2,0B ，()1,1,0E .由题意得()11,1,1D E =-，()11,0,1DA =， ()()111,1,11,0,10D E DA ⋅=-⋅=，11D E DA ⊥，故11D E A D ⊥.（2）解：设()()001,,002M y y ≤≤， 因为()01,2,0MC y =--，()10,2,1D C =-， 设平面1D MC 的一个法向量为()1,,v x y z =，则1110v MC v D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得()02020x y y y z ⎧-+-=⎨-=⎩，取1y =，则()102,1,2v y =-是平面1D MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为()10,0,1v =，要使二面角1D MC D --的大小为6π，则()12122221203coscos ,62212v v v v v v y π⋅====-++， 解得()0032023y y =-≤≤. 所以当32AM =-时，二面角1D MC D --的大小为6π.【点睛】思路点睛：本题考查证明线线垂直和根据二面角的大小求 线段的长度，解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）、建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）、根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.(3)、利用数量积验证垂直或求平面的法向量. (4)、利用法向量求距离、线面角或二面角.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 在直线3y =-上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线-0x y =和直线-0x y +=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，求AF BF CF DF +++的值;（3）若直线:l y x t =+与椭圆交于P ，Q 两点，试求OPQ △面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）8； （3）1；【分析】（1）根据题意得到椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点，从而求得c =结合离心率，求得a 的值，进而求得2b ，得到椭圆的方程； （2）根据椭圆的定义和椭圆的对称性，得到结果；（3）将直线方程和椭圆的方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离，利用面积公式写出三角形的面积，利用基本不等式求得最值，注意满足判别式大于零的条件.【详解】（1）椭圆的一个焦点即为直线与x 轴的交点)，所以c =又离心率为2则2a =,1b =，所以椭圆方程为2214x y +=；（2）设椭圆的另一个焦点为1F , 由已知得:=AF BF CF DF +++ 112248AF BF a CF a DF a ++-+-==（3）联立直线:l y x t =+与椭圆方程得,()2258440*x tx t ++-=，令()()22845440t t ∆=-⨯->，得t <<()*的两根为12,x x ，则1285t x x +=-，212445t x x -=，由弦长公式得，PQ=O到直线l的距离d=()225121252OPQt tS PQ d-+==⨯=当且仅当225t t-=，即t=或t=t=或t=t<所以三角形OPQ面积的最大值为1.【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆的定义，椭圆的性质，椭圆中三角形的面积最值的求解问题，属于中档题目.第 21 页共 21 页。

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (100)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (100)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (100)一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点(1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)C. [−1,1]D. (−∞,−1]∪[1,+∞)2. 对于非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 下列命题正确的是( ) A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ，则b ⃗ =c ⃗B. 若a ⃗ +b ⃗ =c ⃗ ，则|a ⃗ |+|b ⃗ |>|c ⃗ |C. 若(a ⃗ ⋅b ⃗ )⋅c ⃗ =0⃗ ，则a ⃗ ⊥b ⃗D. 若a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为锐角3. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，C(0,2)，直线y =ax +b(a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (0,2−√2)B. (2−√2,1)C. (2−√2,23]D. [23,1)4. 已知数列{a 1}中，a 1=1,a n+1=2a n +1(n ∈N )，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( )A. 57B. 61C. 62D. 63二、填空题（本大题共12小题，共48.0分） 5. 直线x +y =1的倾斜角为_______________． 6. 计算：(1)[1−121][232−1]=________；(2)[232−1][1−121]=________．7. 若行列式D =| 12x2x 1x 12 |的第二行、第三列元素的代数余子式的值等于−3，则实数x = ______ ．8. 若线性方程组的增广矩阵为(23c 132c 2)，解为{x =2y =1，则c 1−c 2= ______ ．9. 直线l ：3x +4y −5=0的单位法向量是______ ．10. 直线l 1：x +y +1=0，l 2：ax −2y +4=0，若l 1⊥l 2，则a = ______ ．11. 已知点P(x,y)到两点A(3,2)与B(1,−4)的距离相等，则点P 的坐标满足的条件是________。

2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2020-2021学年湖北省部分重点中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

1 湖北省部分重点中学2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。

2．所有试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知点(-3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．030B ．045C ．0135D ．01202.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 14109577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179A ．36B ．16C ．11D ．143．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3A π=,4c =，26a =，则角C =( )A ．34πB ．4πC ．4π或34πD ．3π或23π4．已知αβ、是平面,l m 、是直线,αβ⊥且=l αβ，m α⊂，则“m β⊥”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20()m R ∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．2B ．4C ．5D ．10 6．已知直线l ：2(0,0)x y a b a b+=>>经过定点(1,1)M ，则32a b +的最小值是（ ） A ．322+ B ．526+C ．562+ D ．3 7．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ），根据所得数第7题图。

2020-2021学年高二上册数学期中数学试卷带答案

2020-2021学年高二上册数学期中数学试卷带答案

2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1. 命题p：“∃n∈N，则n2>2n”的否定是（）A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∀n∈N，n2<2n2. 双曲线x24−y25=1的渐近线方程为( )A.y=±√52x B.y=±2√55x C.y=±54x D.y=±32x3. 不等式ax2−5x+c<0的解集为{x|2<x<3}，则a，c的值为（）A.a＝6，c＝1B.a＝−6，c＝−1C.a＝1，c＝6D.a＝−1，c＝−64. 《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466−485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同．已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺．A.4 7B.1629C.815D.455. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为（）A.+＝1B.+＝1C.+x2＝1D.+y2＝16. 不等式x2+3x+2>0成立的一个必要不充分条件是（）A.(−1, +∞)B.[−1, +∞)C.(−∞, −2]∪[−1, +∞)D.(−1, +∞)∪(−∞, −2)7. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C：＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆方程为（）A.x2+y2＝9B.x2+y2＝7C.x2+y2＝5D.x2+y2＝48. 已知数列{a n}的首项a1=21，且满足(2n−5)a n+1=(2n−3)a n+4n2−16n+15，则{a n}的最小的一项是()A.a5B.a6C.a7D.a8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (2)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (2)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (2)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列说法正确的是()A. 底面是正多边形，侧面都是正三角形的棱锥是正棱锥B. 各个侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱C. 对角面是全等的矩形的直棱柱是长方体D. 两底面为相似多边形，且其余各面均为梯形的多面体必为棱台2.如图所示，正方形O′A′B′C′′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A. 6cmB. 8cmC. 2+3√2cmD. 2+2√3cm3.已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是()A. 相交B. 平行C. 重合D. 不能确定4.以平行六面体ABCD−A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为()A. 367385B. 376385C. 192385D. 183855.已知直线m、n与平面α、β，下列说法正确的是()．A. m//α，n//β且α//β，则m//nB. m⊥α，n//β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m，n⊥m且α⊥β，则m⊥αD. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n6.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y−3=0垂直，则sin2θ的值为()A. 35B. 45C. 15D. −157.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A，B的坐标分别是A(−4,2)，B(3,1)，则点C的坐标为()A. (1,4)B. (2,4)C. (2,3)D. (2,5)8.m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列说法正确的是()A. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nB. 若m，n⊂α，m//β，n//β，则α//βC. m，n是异面直线，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//βD. 若α//β，m//α，则m//β9.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于()A. 32cm3 B. 2cm3 C. 3cm3 D. 9cm310.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 83C. 6D. 811.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段AB1的中点，在平面ABCD中取一个点F，连接EF，FC1，则|EF|+|FC1|的最小值为()A. 2√2B. 2√3C. √14D. 3√312.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE=EF=FC1.分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的()A. 13B. 12C. 23D. 34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线l：x−ay+3=0的倾斜角为30°，则实数a的值是______ ．14.长、宽、高分別为2，1，2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．15.一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为1的铁球，铁球恰好完全没入水中(水面与铁球相切)，则容器内水的体积为______．16.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是9π，则其侧棱长为________。

2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年山西省太原市高二上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。

2020-2021高二数学上期中模拟试卷(及答案)

2020-2021高二数学上期中模拟试卷(及答案)

2020-2021高二数学上期中模拟试卷(及答案)一、选择题1．民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．492．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a （）A．0B．2C．4D．143．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（）A．115B．112C．111D．144．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A ．1B ．0C ．1D ．35．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 12 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.86．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件7．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，108．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．35B ．13C ．415D ．159．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．5108B ．113C ．17D ．71010．如图所示是为了求出满足122222018n +++>L 的最小整数n ，和两个空白框中，可以分别填入（ ）A ．2018S >？，输出1n -B ．2018S >？，输出nC ．2018S ≤？，输出1n -D ．2018S ≤？，输出n11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万8.28.610.0 11.3 11.9元）支出y（万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755的人数为（）A．10B．11C．12D．13二、填空题13．在区间[2,4]-上随机地取一个实数x，若实数x满足||x m≤的概率为23，则m=_______.14．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.16．在可行域103x yx yx--≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y，则满足20x y->的概率是______．17．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360y x=-为:x c914-1y184830d不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知3c d-____________．18．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.19．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市的个数分别为4、12、8．若用分层抽样的方法抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________．20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 人均纯收入y547810（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示：已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a 的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑$，a y bx =-$$）24．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内，则为合格品，否则为不合格品．如图是甲流水线样本的频数分布表和乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计乙流水线生产的产品该质量指标值的中位数； （2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（3）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？甲流水线 乙流水线 合计合格品 不合格品 合计附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82825．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．26．某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为100分），并对整个学校的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩，按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，若该校共有2000名学生，试估计该校这次测试成绩不低于70分的人数；（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，试求成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】分别求出③和④的巧板的面积，根据几何概型的概率关系转化为面积比. 【详解】设巧板①的边长为1，则结合图2可知大正方形的边长为3， 其面积239S ==.其中巧板③是底边长为2的等腰直角三角形，其面积为112112S =⨯⨯=的正方形 与腰长为1的等腰直角三角形的组合图形，其面积为22151122S ⨯⨯+==， 故所求的概率12718S S P S +==. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率求法，转化为面积比，属于中档题 .2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个，而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C. 【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.4．B解析：B 【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 5．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m m y +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.7．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615C p C ==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115C p C ==；故12415p p p =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691()1216C C C P B C C C =-=()()()72161|2169113P AB P A B P B ∴==⨯= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.10．A解析：A【解析】 【分析】通过要求122222018n +++>L 时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容． 【详解】因为要求122222018n +++>L 时输出，且框图中在“是”时输出， 所以“”内输入“2018S >？”，又要求n 为最小整数， 所以“”中可以填入输出1n -，故选：A ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n ＝30n ﹣19，由401≤30n ﹣21≤755，求得正整数n 的个数，即可得出结论． 【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n ＝11+（n ﹣1）30＝30n ﹣19， 由401≤30n ﹣19≤755，n 为正整数可得14≤n ≤25， ∴做问卷C 的人数为25﹣14+1＝12， 故选C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．2【解析】【分析】画出数轴利用满足的概率可以求出的值即可【详解】如图所示区间的长度是6在区间上随机地取一个数若满足的概率为则有解得故答案是：2【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题涉及到的知识解析：2 【解析】 【分析】画出数轴，利用x 满足||x m ≤的概率，可以求出m 的值即可. 【详解】 如图所示，区间[2,4]-的长度是6，在区间[2,4]-上随机地取一个数x ， 若x 满足||x m ≤的概率为23， 则有2263m =，解得2m =， 故答案是：2. 【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14．【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解【详解】连续抛掷一颗骰子2次共有36种基本事件其中掷出的点数之和不超过9的事件有种故所求概率为【点睛】本题考查古典概型概率考查基本分析与运算能力属基础题解析：56【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解. 【详解】连续抛掷一颗骰子2次，共有36种基本事件，其中掷出的点数之和不超过9的事件有66654330+++++=种，故所求概率为305366=. 【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析与运算能力，属基础题.15．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8 【解析】 【分析】根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.16．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-，即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．18．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中解析：23【解析】 【分析】 【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=. 考点：古典概型及其概率计算公式．19．3【解析】分析：根据分层抽样的方法各组抽取数按比例分配详解：根据分层抽样的方法乙组中应抽取的城市数为点睛：本题考查分层抽样概念并会根据比例关系确定各组抽取数解析：3 【解析】分析：根据分层抽样的方法，各组抽取数按比例分配. 详解：根据分层抽样的方法，乙组中应抽取的城市数为126=34+12+8⨯. 点睛：本题考查分层抽样概念，并会根据比例关系确定各组抽取数.20．-029【解析】所以残差是解析：-0.29【解析】0.8516082.71ˆ53.29y=⨯-= ,所以残差是5353.290.29.-=- 三、解答题21．（1）$1.2 3.6y t =+ （2）2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元；10.8千元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据利用公式计算，t ，y ，()51=-∑ii tt ，()()51=--∑i ii t ty y ，然后代入()()()1211==--=-∑∑$niii ni tty y btt，a y bt =-$$求解，再写出回归方程.（2）根据（1）的结果，由b$的正负来判断，将6t =，代入回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入. 【详解】（1）由所给数据计算得()11234535t =⨯++++=， ()15678107.25y =⨯++++=，()514101410ii tt =-=++++=∑， ()()()()()()()512 2.21 1.200.210.82 2.812iii tty y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑()()()1211121.210niii ni tty y bt t==--===-∑∑$， $7.2 1.23 3.6ay bt =-=-⨯=$， 所求回归方程为$1.2 3.6y t =+.（2）由（1）知， 1.20b=>$，故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.2千元.2019年时6t =，$1.26 3.610.8y =⨯+=，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为10.8千元. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．(1) 0.035a = (2) 2150（3）()12.5E X =【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出a 的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，由条件概率公式得到所求概率；（3）X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X 的分布列与期望. 试题解析：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()()1227312122121021031221|.50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()30341015125P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()212344482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以X 的分布列为4~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，()4123.55E X np ==⨯=23．（1）$4106y x =-+；（2）45． 【解析】 【分析】（1）根据所给数据计算回归方程中的系数，得回归方程；（2）由回归方程计算每个销量的估计值，确定“好数据”的个数，然后确定基本事件的个数后可求得概率． 【详解】 （1）由已知4567896.56x +++++==，1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$222222230506 6.5804(456789)6 6.5-⨯⨯==-+++++-⨯，$80(4) 6.5106a=--⨯=， ∴所求回归直线方程为$4106y x =-+．（2）由（1）4x =时，µ190y =，25x =时，µ286y =，36x =时，µ382y =，47x =时，µ478y =，58x =时，µ574y =，69x =时，µ670y =， 与销售数据比较，“好数据”有3个,(4,90),(6,82),(8,74), 从6个数据中任取2个的所有可能结果共有652⨯=15种，其中2个数据中至少有一个是“好数据”的结果有33312⨯+=种， 所求概率为124155P ==． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，考查古典概型．解题时根据所给数据计算回归方程的系数，考查了学生的运算求解能力与数据处理能力． 24．（1）390019；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于中位数的方程，解方程可得乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（2）求出甲，乙两条流水线生产的不合格的概率，即可得出结论； （3）计算可得2K 的近似值，结合参考数值可得结论． 【详解】（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ， 因为()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++⨯<<+++⨯=，则()()0.0120.0320.05250.0762050.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =. （2）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲， 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()10.0120.02855P =+⨯=乙，于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为315000150050001000105⨯=⨯=，； （3）2×2列联表：则2100(350600)41.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3＜2.072，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图计算中位数的方法，独立性检验的应用，古典概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 25．（1）2名；（2）35【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D ，列出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在[)30,35的教师有1000.06530⨯⨯=， 年龄在[)35,40的教师有1000.04520⨯⨯=， 年龄在[]40,45的教师有1000.02510⨯⨯=， 设年龄在[)35,40的教师代表人数为x ，则66020x =，∴2x = ∴从年龄在[)35,40中选取教师代表人数为2名；（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D 从这6名教师中选2名教师的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD以上共15种在[)35,40中至少有一名教师被选中的选法为：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD以上9种在[)35,40中至少有一名教师被选中为事件A ，则()93155P A ==. ∴在[35，40）中至少有一名教师被选中的概率为35. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的综合应用能力.26．（1）0.02x =，74，2203；（2）1200；（3）1920. 【解析】【分析】（1）根据频率和为1可求得第第4组的频率，由此求得x 的值；根据频率分布直方图中平均数和中位数的估计方法可计算得到结果；（2）计算得到50名学生中成绩不低于70分的频率，根据样本估计总体的方法，利用总数⨯频率可得所求人数；（3）根据分层抽样原则确定[)70,80、[)80,90和[]90,100种分别抽取的人数，采用列举法列出所有结果，从而可知成绩在[]80,100的学生没人被抽到的概率；根据对立事件概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为：()10.010.030.030.01100.2-+++⨯= 0.2100.02x ∴=÷=估计所抽取的50名学生成绩的平均数为：()550.01650.03750.03850.02950.011074⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.30.30.7++= ∴中位数在第3组中设中位数为t ，则有：()700.030.1t -⨯=，解得：2203t =即所求的中位数为2203（2）由（1）知：50名学生中成绩不低于70分的频率为：0.30.20.10.6++=用样本估计总体，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为：20000.61200⨯=（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15，10，5∴这三组中所抽取的人数分别为3，2，1记成绩在[)70,80的3名学生分别为,,a b c ，成绩在[)80,90的2名学生分别为,d e ，成绩在[]90,100的1名学生为f ，则从中随机抽取3人的所有可能结果为：(),,a b c ，(),,a b d ，(),,a b e ，(),,a b f ，(),,a c d ，(),,a c e ，(),,a c f ，(),,a d e ，(),,a d f ，(),,a e f ，(),,b c d ，(),,b c e ，(),,b c f ，(),,b d e ，(),,b d f ，(),,b e f ，(),,c d e ，(),,c d f ，(),,c e f ，(),,d e f ，共20种其中成绩在[]80,100的学生没人被抽到的可能结果为(),,a b c ，只有1种，故成绩在[]80,100的学生至少有1人被抽到的概率：11912020P =-= 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数、估计平均数、中位数的问题，分层抽样、古典概型概率问题的求解；考查学生对于统计和概率部分知识的综合掌握情况，属于常考题型.。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (23)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2,0,1,8}，B={2,0,1,9}，则A∪B=()A. {2,0,1,8}B. {2,0,1}C. {2,0,1,8,9}D. {2,0,1,9}2.已知等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，且a5+a4=3(a3+a2)，则a5=()A. −9B. 9C. −81D. 813.下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是()A. y=ln(x−1)B. y=|x−1|C. y=(12)x D. y=sinx+2x4.有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是()A. 只有1次中靶B. 至少有1次中靶C. 2次都不中靶D. 2次都中靶5.执行如图所示的程序框图，若输入x=30，则输出的结果为()A. 4B. 3C. 2D. 16.若tanθ+1tanθ=4，则sin2θ=()A. 15B. 14C. 13D. 127.“x=2”是“x≥1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件8.设x，y满足约束条件{y−x≤3x+y≤5y≥m，若z=x+4y的最大值与最小值的差为5，则实数m等于()A. 2B. −2C. 3D. −39.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m⊥n，m//α，n//β，则α//βB. 若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α⊥βC. 若m//n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD. 若m//n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β10.若f(x)是偶函数，当x>0时f(x)单调递减，，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为()A. f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)<f(a)<f(b)C. f(c)>f(b)>f(a)D. f(c)>f(a)>f(b)11.将函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位后，图象经过点(π3,√32)，则φ的最小值为()A. π12B. π6C. π3D. 5π612.已知函数，且f(2m)−12(2m+2)2<f(12−m)−12(14−m)2，则实数m的取值范围为()A. (2,4)B. (2,14)C. (4,14)D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,−1)向量b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______ ．14.已知命题p：关于x的方程x2−ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在区间[3,+∞)上是增函数．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是_________．15.已知⊙O的半径为4，在圆O内任取一点P，则点P到圆心O的距离大于1且小于2的概率为______ ．16.已知函数f(x)=ax3−3x+1，且对任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n(1)求a n及Sn；(2)令b n =1an2−1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n18. 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x 年与年销量y(单位：万件)之间的关系如表：(1)在图中画出表中数据的散点图；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测第几年的销售量约为71万件？．(附注：参考数据：∑x i 4i=1y i =418.回归方程ŷ=a ̂+b ̂x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2，a ̂=y .−b ̂x ..)19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2−a 2=bc ，(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)设函数f(x)=sinx +2cos 2x2，a =2，f(B)=√2+1时，求边长b ．20.如图，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=AB=2CD=2，H为PB中点，(1)求证：CH//平面PAD；(2)求点C到平面PAB距离．21.已知圆C:x2+(y−1)2=r2(r为半径)，圆C被x轴截得弦长为2√2，直线l:y=x+m(m∈R)，O为坐标原点(1)求圆的方程;(2)若m=−2，过直线l上一点P作圆C的切线PQ，Q为切点，求切线长|PQ|最短时，点P的坐标22.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象在y轴上的截距为1，且满足f(x+1)=f(x)+x+1，试求：(1)f(x)的解析式；(2)当f(x)≤7时，对应的x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查集合的并集运算．解：集合A={2,0,1,8}，B={2,0,1,9}，A∪B={2,0,1,8,9}．故选C．2.答案：B解析：解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠−1，a5+a4=q2(a3+a2)=3(a3+a2)，∴q2=3，∴a5=a1q4=1×9=9，故选：B．根据等比数列的通项公式即可求出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．3.答案：D解析：解：对于A：定义域是(1,+∞)，∴y=ln(x−1)在(1,+∞)递增，对于B：y=|x−1|在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，)x在(0,+∞)递减，对于C：y=(12对于D：y′=cosx+2>0，所以y=sinx+2x在区间(0,+∞)上为增函数，故选：D．结合对数函数，指数函数，三角函数的图象及性质，分别对各个选项进行判断，从而得出答案．本题考查了函数的单调性问题，考查了对数函数，指数函数，三角函数的性质，是一道基础题．4.答案：D解析：解：根据对立事件的定义可得事件“至多有1次中靶”的对立事件是：“两次都中靶”，故选D．直接根据对立事件的定义，可得事件“至多有1次中靶”的对立事件，本题考查对立事件，正确理解对立事件的定义是关键．5.答案：B解析：解：第一次执行完循环体后，x=14，满足继续循环的条件，i=2，x=5，，当x=5时，满足继续循环的条件，i=3，x=−12当x=−1时，不满足继续循环的条件，2故输出的i值为3，故选：B．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.答案：D解析：本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，属于较易题．将已知条件化切为弦，再利用同角三角函数间的关系式以及二倍角公式进行化简可得结果．解：因为，所以，．则sin2θ=12故选D．7.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x=2时，满足x≥1，当x =3时，满足x ≥1但x =2不成立， 即“x =2”是“x ≥1”的充分不必要条件， 故选：A ．8.答案：C解析：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义求出最值是解决本题的关键．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值和最小值．建立方程关系进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域， 由{y −x =3x +y =5得{x =1y =4，即A(1,4)， 由{y −x =3y =m 得{x =m −3y =m ，得B (m −3,m ) 由z =x +4y ，得y =−14x +z4，平移直线y =−14x +z4，由图象可知当直线y =−14x +z4经过点A 时，直线y =−14x +z4的截距最大，此时z 最大．∴z max =1+4×4=17当直线y =−14x +z4经过点B 时，直线y =−14x +z4的截距最小，此时z 最小．∴z min =m −3+4m =5m −3．∵z =x +4y 的最大值与最小值得差为5 ∴17−(5m −3)=20−5m =5． 得m =3． 故选C .9.答案：D解析：解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若m ⊥n ，m//α，n//β，则α与β相交或平行，故A 错误； 在B 中，若m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊄α，则α与β相交或平行，故B 错误； 在C 中，若m//n ，m ⊥α，n ⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故C 错误； 在D 中，若m//n ，n ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ．在A 中，α与β相交或平行；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，由面面平行的判定定理得α//β；在D 中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．10.答案：C解析：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数和对数函数的性质，属于中档题． 根据题意利用指数函数和对数函数的性质得出a,b,c 的范围，再利用函数的奇偶性和单调性即可得出结果．解：由题意得：a =−21.2∈(−4,−2)， b =(12)−0.8=20.8∈(1,2)，，∵f (x )是偶函数， ∴f (−x )=f (x )，∴f (a )=f (−a )=f (21.2)，，f (x )在(0,+∞)上单调递减，，所以f (a )<f (b )<f (c )， 故选C ．11.答案：B解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，根据三角函数的值求角，属于基础题，所给函数即y=sin2x，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，平移后所得函数为y=sin(2x−2φ)，再根据平移后的图象过点(π3,√32)，求得φ的最小正值．解：把函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数y=sin2(x−φ)=sin(2x−2φ)的图象，再根据平移后的图象过点(π3,√32)，可得sin(2π3−2φ)=√32，则2φ的最小正值为2φ=π3，∴φ的最小正值为π6，故选B．12.答案：C解析：本题考查分段函数，考查利用函数的单调性解不等式，属于难题．由题意可得函数f(x)在定义域范围内单调递减，构造函数ℎ(x)=f(x)−12(x+2)2，则ℎ(x)在单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解．解：x>−1时，f(x)=−x2−2x+1=−(x+1)2+2，易知f(x)单调递减，且f(x)<2，当−2<x⩽−1时，易知f(x)单调递减，且，所以f(x)是定义在上的减函数，又y=−12(x+2)2也是定义在上的减函数，令ℎ(x)=f(x)−12(x+2)2，则ℎ(x)在单调递减，由f(2m)−12(2m+2)2<f(12−m)−12(14−m)2，得f(2m)−12(2m+2)2<f(12−m)−12(12−m+2)2，即ℎ(2m)<ℎ(12−m)，所以{2m>−212−m>−2 2m>12−m，解得4<m<14，所以实数m的取值范围为(4,14)，故选C．13.答案：6解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =0∵向量a⃗=(3,−1)向量b⃗ =(2,m)，∴3×2−1×m=0，m=6故答案为：6根据向量的垂直得出：a⃗⋅b⃗ =0，利用向量数量积的坐标运算得出关于m的方程求解即可本题考查了向量数量积的坐标运算，是基础题，准确计算即可．14.答案：(−∞,−12)∪(−4,4)解析：本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了学生的推理能力与计算能力，培养了学生的综合能力．根据题意命题p：关于x的方程x2−ax+4=0有实根，则△≥0，命题q：关于x的函数y=2x2+ax+ 4在[3,+∞)上是增函数，可得−a4≤3，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，于是p与q必然一真一假，进而即可得出结果．解：由关于x的方程有实根，可得：Δ=a2−16≥0，解得：a ≤−4或a ≥4，即p:a ≤−4或a ≥4;又由函数y =2x 2+ax +4在[3,+∞)上为增函数，可得：−a 4≤3，即a ≥−12，即q:a ≥−12，又p 或q 为真，p 且q 为假，故p ，q 一真一假，∴当p 真q 假时有：{a ≤−4或a ≥4a <−12， 解得：a <−12;当p 假q 真时有：{−4<a <4a ≥−12， 解得：−4<a <4，综上可知a 的范围是：a <−12或−4<a <4．故答案为(−∞,−12)∪(−4,4)．15.答案：316解析：解：∵⊙O 的半径为4，在圆O 内任取一点P ，则点P 到圆心O 的距离大于1且小于2的事件为A∴S =16π，S(A)=4π−π=3π根据题意得出：故答案为：316．根据几何概率的公式求解S =16π，S(A)=4π−π=3π，运用面积的比得出概率为P(A)=3π16π=316．本题考查了圆的几何知识，几何概率的求解，难度很小，关键是记住公式，准确求解面积即可，找准几何度量．16.答案：[4,+∞)解析：先分离参数，再构建函数，利用导数，确定函数的最大值，即可求得实数a 的取值范围．本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，解题的关键是分离参数，构建函数，确定函数的最大值． 解：当x ∈(0,1]时，不等式ax 3−3x +1≥0可化为a ≥3x−1x 3， 设g(x)=3x−1x 3，x ∈(0,1]， g′(x)=3x 3−(3x−1)×3x 2x 6=−6(x−12)x 4，g′(x)与g(x)随x 变化情况如下：因此g(x)的最大值为4，则实数a 的取值范围是[4,+∞)．故答案为[4,+∞)．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3=7，a 5+a 7=26，∴{a 1+2d =72a 1+10d =26， 解得a 1=3，d =2，∴a n =a 1+2(n −1)=2n +1，S n =3n +n(n −1)2×2=n 2+2n; (2)由(1)知a n =2n +1，∴b n =1a n 2−1=1(2n+1)2−1=14·1n(n+1)=14(1n −1n+1)， ∴T n =14(1−12+12−13+⋯+1n −1n +1) =14(1−1n+1)=n4(n+1)．解析：本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式，同时考查裂项相消法求和．(1)利用等差数列的通项公式联立方程组，求出首项与公差，得到通项公式即可；(2)由(1)求出b n ，利用裂项相消法求出前n 项和即可．18.答案：解：(1)作出散点图如图：(2)由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，说明与x 的具有比较好的线性相关关系， ∴可以用线性回归模型拟合与x 的关系．x .=52，y .=692，∑x i 4i=1y i =418，∑x 24i=1=30，∑(4i=1x i −x .)2=5， b ̂=735，a ̂=−2，故关于x 的回归直线方程为ŷ=735x −2，当x =5时，解得ŷ=71， 所以第5年的销售量约为71万件．解析：(1)由数据画出散点图即可；(2)求出回归方程的系数，求出回归方程，代入x ，求出对应y 的预报值即可．本题考查了散点图，求回归方程问题，是一道中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，因为b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12， ∵0<A <π，∴A =π3． (Ⅱ)∵f(x)=sinx +2cos 2x 2=sinx +cosx +1=√2sin(x +π4)+1，∴f(B)=√2sin(B +π4)+1=√2+1， ∴B =π4，∵asinA =b sinB ，即：2sin π3=bsin π4， ∴b =2×√22√32=2√63．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知及余弦定理可得cosA =12，结合范围0<A <π，即可解得A 的值．(Ⅱ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=√2sin(x +π4)+1，由√2sin(B +π4)+1=√2+1，解得B 的值，利用正弦定理即可求b 的值． 20.答案：证明：(1)取AB 中点E ，连结CE 、HE ，∵PA =PD =AD =AB =2CD =2，H 为PB 中点，∴AD//CE ，PA//DE ，∵AD ∩PA =A ，CE ∩HE =E ，∴平面PAD//平面HEC ，∵CH ⊂平面HEC ，∴CH//平面PAD ．解：(2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，C(√3,0，0)，P(√32,32,√3)，A(0,2，0)，B(0,0，0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,√3)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面PAB 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y +√3z =0n⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =2，得n ⃗ =(2,0，−1)， ∴点C 到平面PAB 距离d =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√5=2√155．解析：(1)取AB 中点E ，连结CE 、HE ，推导出AD//CE ，PA//DE ，从而平面PAD//平面HEC ，由此能证明CH//平面PAD ．(2)以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，过B 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 到平面PAB 距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)由题意可知，圆心C 在y 轴上，OC ⊥x 轴，设x 轴与圆C 交于A ，B ，|OA|=√2，|OC|=1，|AC|=r ，∵△AOC 为直角三角形，∴|OA|2+|OC|2=|AC|2，即(√2)2+12=r 2，∴r =√3．∴圆C 的方程为x 2+(y −1)2=3；(2)当m =−2时，直线l 的方程为y =x −2，∵△PQC 为直角三角形，∴|PQ|2=|PC|2−|QC|2=|PC|2−3．当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC ⊥l 时，|PC|最小，∵k PC =−1，C(0,1)，∴直线PC ：y −1=−1×(x −0)，即y =−x +1．由{y =−x +1y =x −2，解得{x =32y =−12，即P(32,−12).解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．(1)由题意可知，圆心C 在y 轴上，OC ⊥x 轴，设x 轴与圆C 交于A ，B ，可得|OA|=√2，|OC|=1，|AC|=r ，由勾股定理求解r ，则圆的方程可求；(2)当m =−2时，直线l 的方程为y =x −2，当|PC|最小时，切线长|PQ|最短，显然当PC ⊥l 时，|PC|最小，求出直线PC 的方程，联立两直线方程可得P 的坐标． 22.答案：解：(1)函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象在y 轴上的截距为1，可得c =1； f(x +1)=f(x)+x +1，可得：a(x +1)2+bx +b +1=ax 2+bx +x +2；可得：{a +b +1=22a +b =b +1解得a =12，b =12． 可得函数的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1．(2)f(x)≤7，可得：12x 2+12x +1≤7，可得x 2+x −12≤0，解得−4≤x ≤3．解析：(1)利用函数的截距求出c ，利用待定系数法求解a ，b 即可．(2)转化不等式，通过二次不等式求解即可．本题考查二次函数的简单性质，考查转化思想以及计算能力．。

相关文档
最新文档