《金版新学案》高一数学 第二章2.1.2指数函数及其性质(第1课时指数函数的图象与性质) 练习题 新人教A版
【金榜新学案】高中数学 2.1.2 指数函数及其性质 第1课时高效测评试题 新人教A版必修1
【金榜新学案】2014-2015学年高中数学 2.1.2 指数函数及其性质 第1课时高效测评试题 新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64解析： 设f (x )＝a x， 则a －2＝14，∴a ＝2，f (x )＝2x ，∴f (4)·f (2)＝24×22＝64. 答案： D 2．函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析： 函数y ＝2x的图象是经过定点(0,1)，在x 轴上方且单调递增的曲线，依据函数y ＝2x图象的画法可得函数y ＝2x ＋1的图象单调递增且过点(0,2)，故选A.答案： A3．指数函数y ＝b ·a x在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2或－3 B ．－3 C ．2D ．－12解析： ∵函数y ＝b ·a x 为指数函数，∴b ＝1. 当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上的最大值为a 2，最小值为a ， 则a 2＋a ＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍)；当0<a <1时，y ＝a x在[1,2]上的最大值为a ，最小值为a 2，则a ＋a 2＝6，解得a ＝2(舍)或a ＝－3(舍)．综上可知，a ＝2. 答案： C4．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x<1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．a >1D ．a ∈R解析： ∵x >0时，(a －1)x<1， ∴0<a －1<1， ∴1<a <2. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝2x－1的定义域是________． 解析： 要使函数y ＝2x－1有意义， 只须使2x－1≥0，即x ≥0， ∴函数定义域为[0，＋∞)． 答案： [0，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >1，3x，x ≤1，则f (2)＋f (－1)＝________.解析： f (2)＝22，f (－1)＝3－1＝13，∴f (2)＋f (－1)＝133.答案：133三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)．若f (x )的图象如图所示． (1)求a ，b 的值； (2)解不等式f (x )≥2.解析： (1)由图象得，点(1,0)，(0，－1)在函数f (x )的图象上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴f (x )＝2x －2. (2)f (x )＝2x－2≥2，∴2x≥4， ∴x ≥2.8．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )、g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解析： (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π； f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．(10分)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值． 解析： 函数y ＝a 2x＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.。
《金版新学案》数学新课标人教A版必修1教学课件2.1.2.1第1课时指数函数的图象及性质
(3)取中间值 0.80.8，∵y＝0.8x 在 R 上单调递减， 而 0.6<0.8，∴0.80.6>0.80.8. 又∵00..6800..88＝00..860.8>00..860＝1， 且 0.60.8>0， ∴0.80.8>0.60.8.∴0.80.6>0.60.8.9 分
0．80.9<0.80.7<0.80＝1
∴b<a<c，故选D.
答案： D
1．指数函数图象及性质பைடு நூலகம்
(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相 对位置与底数大小的关系如图所示，则
0<c<d<1<a<b. 在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变 小； 在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变 小； 即无论在 y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针 方向变大．
变化 当x>0时，0_<__y<__1； 当x<0时，_y_>_1_
单调性 是R上的_增__函__数__ 是R上的_减__函__数_
1．下列函数是指数函数的是( )
A．y＝－2x
B．y＝2x＋1
C．y＝2－x
D．y＝(－2)x
解析： y＝2－x＝12x，符合指数函数的定义， 故选 C.
指数函数的概念 函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值．
按照指数函数的形式特点，列出参数a满足的 条件进行求解.
[解题过程] 由 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， 可得 a2－3a＋3＝1 a＞0且a≠1 ， 解得aa＝ ＞10或 且aa＝ ≠21 ，即 a＝2.
如图是指数函数①y＝ax(a>0，且 a≠1)， ②y＝bx(b>0，且 b≠1)，③y＝cx(c>0，且 c≠1)， ④y＝dx(d>0，且 d≠1)的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( ) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c
高中数学必修1第2章第一节指数函数教案：指数函数及其性质
2.1.2指数函数及其性质教学设计（第1课时）一．教学目标：1、知识与技能：了解指数函数的定义，掌握指数函数的性质，并会用性质解决简单问题。
2、过程与方法：通过绘出函数图象、总结函数性质等教学过程，培养观察、总结，并综合运用数形结合思想解决问题的能力，并逐步形成善于与他人合作探究的团队意识。
3、情感、态度与价值观：通过观察、探究、讨论等思维活动，激发学习数学的兴趣，形成学数学、爱数学、用数学的良好习惯二．重、难点.教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：利用探究方式得出函数性质 三．学法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.[教学设想]1. 情境设计师：同学们先看两个问题（用幻灯分两屏放映）问题1、在2000年，专家预测，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？ 如果把我国2000年GDP 看成是1个单位，2001年为第一年，那么： 1年后（即2001年），我国的GDP 可望为2000年的_______倍。
2年后呢？，……，x 年后呢？问题2、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年，剩留的质量约是原来的84%，求出这种物质的剩留量y 随时间x （单位：年）变化的函数关系。
师：请同学们朗读例题，并给出答案。
生1：经过x 年后，GDP 可望为2000年的x %)3.71(+倍。
生2：物质的剩留量y 随时间x 变化的函数关系是：x y 84.0=师：我们看到，例题中的两个函数是一种新的函数，函数的形式是指数幂的形式，它的底数是常数，而未知数x 却出现在指数位置，我们称这样的函数为指数函数。
从今天开始，我们来研究指数函数（板书：指数函数） 师：那么，指数函数是怎样定义的呢？（板书指数函数定义：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。
《金版新学案》数学新课标人教A版必修1教学教学课件：2. 1. 2. 2 第2课时 指数函数及其性质的应用
1 x 故当 x>0 时，函数为 y＝3 ； 1 －x 当 x<0 时，函数为 y＝3 ＝3x， 1 x x 其图象由 y＝ ( x ≥ 0) 和 y ＝ 3 ( x <0) 的图象合并 3
而成． 而
1 x y＝3 (x>0)和
2．y＝φ(ax)型或y＝af(x)型函数的单调规律 研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性 ，可以有如下结论：当a>1时，函数y＝af(x)的 单调性与f(x)的单调性相同；当0<a<1时，函 数y＝af(x)的单调性与f(x)的单调性相反．而对 于形如y＝φ(ax)(a>0，且a≠1)的函数单调性的 研究，也需结合ax的单调性及φ(t)的单调性进 行研究．
y＝3x(x<0)的图象关于 y 轴对
称， 所以原函数图象关于 y 轴对称． 由图象可知值域是(0,1]， 递增区间是(－∞， 0]， 递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的单调性问题 求下列函数的单调区间： (1)y＝ax2＋2x－3； 1 (2)y＝ x . 0.2 －1
利用复合函数的单调规律求之.
[题后感悟] 对于y＝af(x)这类函数， (1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围 (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值 域．来自1.求下列函数的值域．
1 1 (1)y＝3 ；(2)y＝2x2－4x. x－1
[解题过程] (1)设y＝au，u＝x2＋2x－3. 由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－∞，－ 1]上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数． 根据y＝au的单调性，当a>1时，y关于u为增函 数； 当0<a<1时，y关于u为减函数． ∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)， 减区间为(－∞，－1]； 当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1]， 减区间为[－1，＋∞)．
《金版新学案》高一数学 1.2.2函数的表示法(第1课时函数的表示法)课件 新人教A版
已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例函数等)求函数 解析式，常采用待定系数法，然后由题设条件求待定系数．题(1)已知 函数为二次函数，由条件列方程组求解即得待定系数a，b的值．如题 (2)设反比例函数f(x)＝k/x(k≠0)，由f(3)＝－6可得k的值；
2.本例1(中)若条件“f(x＋1)－f(x)＝x－1”变为“f(x＋1)＝ f(x)＋2x”，求f(x)．
1．2.2 函数的表示法(第1课时 函数的表示法)
1．函数的三要素为 定义域、 值域 、 对应关系 ． 2．作函数图象的方法有 描点法 ．
1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？ 【提示】 不一定．如学校安排的月考．某一地区绿化面积与年份关系 等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．
2．函数的解析式与函数图象的关系是什么？
【解析】 (1)(代入法)：∵f(x)＝x2＋2 ∴f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋1
f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6
(2)(方法一)(换元法)：令x＋1＝t则x＝t－1 ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1 ∴f(x)＝x2－1 方法二(配凑法)： ∵x2＋2x＝(x＋1)2－1 ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1 ∴f(x)＝x2－1
f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．
【正解】
∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)．
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函数的三种表示方法的优缺点比较
优点 解 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是 析 通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的 法 函数值 列 缺点
《金版新学案》高一(人教A版)第二章数学练习：2.1.2指数函数及其性质(第2课时指数函数及其性质的应用)
1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0}【解析】 因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }， 又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14b <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】 由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x是R 上的减函数，得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a . 由0<a<b<1知0<ab <1.∵⎝⎛⎭⎪⎪⎫a b a <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C.也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12. 【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】 对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2， ∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，a 2，由题意知3≤a 2，∴a ≥6.∴a 的取值范围是a ≥6.一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44， y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫142a ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，12【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A. 【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】 因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎨⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎨⎧a<12a>0， 即a ∈(0，12)．故选A. 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】 依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ，∴(a －1a )(e x －1e x )＝0. ∴a －1a ＝0，即a 2＝1. 又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分)7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a <⎝⎛⎭⎪⎪⎫1a 1－2x (a>0且a ≠1)． 【解析】 原不等式可以化为a2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34； 当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34. 综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －322＋174， 则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫32，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x. (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明． 【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x ＋3x＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增， 即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。
《金版学案》2018-2019学年高中数学必修一(人教版)课件：第二章2.1-2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用
(2)因为 1≤x≤2，所以 2≤2x≤4，1≤2x－1≤3，
1 1 1 所以 ≤ x ≤1，所以函数的值域是3，1. 3 2 －1
答案：(1)[4，＋∞)
1 (2)3，1
类型 2 简单的指数不等式的解法 [典例 2]
1x2－2 (1)解不等式2 ≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求 x 的取值范围．
1x2－2 解：(1)2 ＝22－x2，
所以原不等式等价于
≤21.
因为 y＝2x 是 R 上的增函数， 所以 2－x2≤1，所以 x2≥1， 即 x≤－1 或 x≥1.
1x2－2 所以2 ≤2 的解集为{x|x≤－1 或 x≥1}．
(3)函数 y＝3－x＋1 的值域是 R.(
解析：(1)对，由复合函数的单调性的性质知，该结 论正确； (2)错，由指数函数的定义知， 函数 y＝a2x－1(a>0 且 a≠1)的定义域是 R； (3)错，函数 y＝3－x＋1 的值域是(0，＋∞)． 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．函数 y＝ 2x－32的定义域为( A．(5，＋∞) C．(－∞，5) B．[5，＋∞) D．(－∞，5]
解析：不等式变为 2x－3>－7，得 x>－2. 答案：(－2，＋∞)
类型 1 指数型函数的定义域和值域(自主研析) 1 [典例 1] (1)函数 y＝2x－4的定义域是__________， 值域是____________． (2)函数
3 y＝4
1－|x|的定义域是______________，
[变式训练] ________．
(1) 函 数 y ＝
32x－9 的 定 义 域 是
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用1课时 函数及其表示精品课件 文 北师大版
)
B．(－∞，2) D．[1,2)
x－1≥0 x≥1 要使函数有意义，只须 ，即 ， 2 － x ＞ 0 x ＜ 2
∴1≤x＜2.
答案： D
• 2．函数y＝x2－2x的定义域是{0,1,2}，则该 函数的值域为( ) • A．{－1,0} B．{0,1,2} • C．{y|－1≤y≤0} D．{y|0≤y≤2} • 解析： 代入求解． • 答案： A
• 2．函数的定义域、值域 集合 A • 在函数 y ＝ f(x) ， x∈A 中， x 叫做自变量， 叫做函数的定义域；与 x 函数值的集合{ f(的值相对 x)|x∈A} 应的y值叫做函数值， 叫 做函数的值域． 定义域 对应关系 值域 • 3．函数的构成要素为： 、 定义域 和 ．由于值域是由定义域和对应关 对应关系 相等 系决定的，所以，如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这 两个函数 ．
知识 点
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1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实 指数 数指数幂的意义，掌握幂的运算． 与指 3.理解指数函数的概念，理解指数函 数函 数的单调性与指数函数图象通过的特 数 殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模 型． 1.理解对数的概念及其运算性质，知
知识 点
任意 元素x 都有 如果按某一个确 唯一确定 元素y 集合
定的对应关系f， f：A→B 使对于集合A中的 一个 ，在 集合B中
• 【思考探究】 1.映射与函数有什么区别？ • 提示： 函数是特殊的映射，二者区别在 于映射定义中的两个集合是非空集合，可 以不是数集，而函数中的两个集合必须是 非空数集．
3．下列各组函数中表示同一函数的是( A．f(x)＝x与g(x)＝( x)2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝ x3
《金版新学案》高一数学 第二章 2
3.已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
【解析】 由y=loga(-x)的定义域为(-∞，0)知，图象应在y轴左侧，可 排除A、D选项．
当a>1时，y=ax应为增函数，y=loga(-x)应为减函数，可知B项正确． 而对C项，由图象知y＝ax递减⇒0<a<1⇒y＝loga(－x)应为增函数，与C 图不符． 【答案】 B
1．对数函数的概念 函数_y_＝__lo_g__ax_(_a_>_0_，__a_≠_1_)叫做对数函数，其中 x是自变量． 2．对数函数的图象与性质
定义 底数
图
y＝logax(a>0，且a≠1)
a>1
0<a<1
象 定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
共点性
图象过点(1,0)，即loga1＝0
【思路点拨】 本题目可以获取以下主要信息： ①函数y＝lg x通过平移变换得到y＝f(x)图象； ②f(x)＝lg(x＋3)－1. 解决本类问题利用图象变换作图即可．
【解析】 由 y＝lgx＋ 103得 y＝lg(x＋3)－1， 由 y＝lg x 图象向左平移 3 个单位，得 y＝lg(x＋ 3)的图象，再向下平移一个单位得 y＝lg(x＋3)－ 1 的图象．故选 C.
下列函数中，哪些是对数函数． (1)y＝log3(x＋1)；(2)y＝5log2x；(3)y＝log3x－1；(4)y＝ logxa(x>0且x≠1)；(5)y＝lg x；(6)y＝ln x2. 【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①所给函数中有些形似对数函数的函数； ②此题主要考查对数函数的定义． 解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条件．
《金版新学案》高一数学 第二章 2.2.1对数与对数运算(第2课时对数及运算)课件 新人教A版
方法二： lg125 lg25 lg5 lg2 lg4 lg8 原式＝( ＋ ＋ )( ＋ ＋ ) lg2 lg4 lg8 lg5 lg25 lg125 3lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2 ＝( lg2 ＋2lg2＋3lg2)(lg5＋2lg5＋3lg5) 13lg5 lg2 ＝( 3lg2 )(3lg5)＝13.
1x＋6 > 3 ，
3 ∴x 的取值范围是{x|x< }． 2
1．使用指数函数的单调性时，如何讨论底数的取值范围？ 使用指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性时，要首先讨论底数a与1 的关系．(1)a>1时，y＝ax在R上单调递增：①x>0时ax>1；②x＝0时，ax ＝1；③x<0时，0<ax<1；(2)0<a<1时，y＝ax在R上单调递减：①x>0时， 0<ax<1；②x＝0时，ax＝1；③x<0时，ax>1.
换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，进而进行 化简、计算或证明．换底公式应用时究竟换成以什么为底，由已知条
件来确定，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数．
2.计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
log225 【解析】 方法一：原式＝(log25 ＋ log 4 ＋ 2
1．若M、N同号，则式子loga(M·N)＝logaM＋logaN成立吗？ 【提示】 不一定，当M>0，N>0时成立；当M<0，N<0时不成 立． 2．对数运算需注意什么？ 【提示】 (1)必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存 在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－ 4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．
《金版新学案》高一(人教A版)第二章数学练习：2.2.2对数函数及其性质(第1课时对数函数的图象及性质)
1．函数f(x)＝lg(x －2)＋5－x 的定义域为( )A ．(2,5]B ．(2,5)C ．[2,5]D ．[2,5)【解析】 要使函数有意义，只须使 ⎩⎨⎧ x －2>05－x ≥0，∴⎩⎨⎧x>2x ≤5 ∴2<x ≤5，函数定义域为(2,5]．故选A.【答案】 A2．函数y ＝log 13x 在(0,3]上的值域是( )A ．RB ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[0,1]【解析】 由y ＝log 13x 在(0,3]上单调递减，∴y min ＝log 133＝－1.∴函数值域为[－1，＋∞)．故选B.【答案】 B3．已知对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f(132)＝________.【解析】 设f(x)＝log a x ，则log a 8＝3，∴a 3＝8，∴a ＝2即f(x)＝log 2x ，∴f(132)＝log 2132＝－5.【答案】 －54．已知f(x)＝lg 1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f(a)＝12，求f(－a)．【解析】 ∵f(－x)＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x 1－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)＝－12.一、选择题(每小题5分，共20分)1．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定【解析】 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x(a>0，且a ≠1，x>0)，则2＝log a 4＝log a 22＝2log a 2，即log a 2＝1，a ＝2.故所求解析式为y＝log2x.故选A.【答案】 A2．函数f(x)＝lg|x|为()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数【解析】已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．故选D.【答案】 D.3．若函数g(x)＝log x (1－x)的定义域为M ，函数f(x)＝ln(1－|x|)的定义域为N ，则M ∩N 为( )A ．[0,1)B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(－1,0]【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x>0x ≠11－x>0∴0<x<1. ∴M ＝(0,1)由1－|x|>0得－1<x<1，∴N ＝(－1,1)，∴M ∩N ＝(0,1)．故选B.【答案】 B4．函数f(x)＝log 2(x ＋1)＋1(3≤x ≤7)的值域是( )A ．[3,4]B ．[2,3]C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 当3≤x ≤7时，4≤x ＋1≤8,2≤log 2(x ＋1)≤3.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)的反函数的图象过点(3,1)，则a ＝________.【解析】 函数f(x)的反函数为y ＝log a x ，由题意，log a 3＝1，∴a ＝3.【答案】 36．设g(x)＝⎩⎨⎧e x (x ≤0)lnx (x>0)，则g(g(12))＝________.【解析】 g(12)＝ln 12<0，g(ln 12)＝eln 12＝12，∴g(g(12))＝12.【答案】 12三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3(2x －1)＋1log 4x ； (2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )；【解析】 (1)要使函数有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，log 4x ≠0，x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>12，x ≠1，x>0，∴x>12，且x ≠1.故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1∪(1，＋∞)． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x<2，x>－1，x ≠0，∴－1<x<2且x ≠0.故所求函数的定义域是{x|－1<x<2，且x ≠0}．8．求函数y ＝log 13(x 2＋2x ＋4)的值域．【解析】 ∵x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3，∴定义域为R ，∴f(x)≤log 133＝－1，∴函数值域为(－∞，－1]．9．(10分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x恒成立，求a的取值范围．【解析】设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立．只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝log a x的下方即可．当0<a<1时，由图象知显然不成立．当a>1时，如图所示，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝log a x的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤log a2，log a2≥1，∴1<a≤2.。
高中数学课时教案2.1.2指数函数及其性质(第一课时)
云南省昆明市第三中学课时教案§2.1.2指数函数及其性质（第一课时）一．教学设想： 1. 情境设置①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)xy x x =∈≤与问题(2)t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2，请问这两个函数有什么共同特征.②这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用xy a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．讲授新课 指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）xy π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)xy a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)xy a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过先来研究a ＞1的情况用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2xy =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2xy =的图象.x从图中我们看出12()2xxy y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2xxy y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论：12()2xx y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？②利用电脑软件画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看x y a =（a ＞1）与xy a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题3：指数函数xy a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.x5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[,]xa b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：例1：（P 66 例6）已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.分析：要求(0),(1),(3),,xf f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题补充练习：1、函数1()()2xf x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32xx f x ∈-=-时函数的值域是多少? 解（1）,0x R y ∈> （2）（－53，１）例2：求下列函数的定义域： （1）442x y -= （2）||2()3x y =分析：类为(1,0)xy a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 .3．归纳小结作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题1、理解指数函数(0),101xy a a a a =>><<注意与两种情况。
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1．下列函数是指数函数的是( )
A ．y ＝－2x
B ．y ＝2x ＋1
C ．y ＝2－x
D ．y ＝1x
【解析】 y ＝2－x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，符合指数函数的定义，故选C. 【答案】 C
2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )
A ．a>0且a ≠1
B ．a>3
C ．a<3
D ．2<a<3
【解析】 由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，
∴a －2>1，∴a>3，故选B.
【答案】 B
3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n
的大小关系为________．
【解析】 ∵a ＝
5－12∈(0,1)，
故a m >a n ⇒m<n.
【答案】 m<n
4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．
【解析】 设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，
由题意得a 2＝4，∴a ＝2，
∴f(x)＝2x ，
∴f(－3)＝2－3＝18.
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )
A ．(0,1)
B ．(1,1)
C ．(2,0)
D ．(2,2)
【解析】 由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x －2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．
【答案】 D
2．f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【解析】
因为函数f(x)= |x|= 图象如右图．
由图象可知答案显然是D.
【答案】 D
3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )
A ．y ＝21x
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝2x
＋1 D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－x 【解析】 在A 中，∵1x ≠0，∴21x ≠1，即y ＝21x 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
在B 中，2x －1≥0，
∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)．
在C 中，∵2x >0，
∴2x ＋1>1.
∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)．
在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x >0. ∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D. 【答案】 D
4．方程4x －1＝116的解为( )
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．1
【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，
∴x ＝－1.故选C.
【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．
【解析】 由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.
【答案】 (0,1)
6．函数f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －1，x ∈[－1,2]的值域为________． 【解析】 函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫132≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1，即19≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ≤3， 于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.
【答案】 [－89
，2] 三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；
(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域．
【解析】 (1)函数图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，19， 所以a 4－2＝19＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫132，∴a ＝13， (2)f(x)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －2(x ≥0)， 由x ≥0，得x －2≥－2，
∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2＝9， ∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]．
8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|；
(4)y ＝－2x .
【解析】 如图所示．
y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；
y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；
y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的； y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．
9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，
求a 的值．
【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．
(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，
∴a －a 2＝a 2，即a ＝12
或a ＝0(舍去)， 综上所述，所求a 的值为12或32.。