辽宁省2020-2021年高一下学期第一次考试数学试题
辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题
辽宁省大连市第二十四中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin 240=A B ．12C ．D ．12-2．已知边长为ABC 的外接圆圆心为O ，则AOC ∠所对的劣弧长为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．已知向量(1,1)a = ， b a 与b 的夹角为5π6，则||a b += （）AB ．2CD ．144．设函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，若12,63x x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（）A ．12B ．2C ．2D ．15．已知O 为ABC 的外心，4AB =uuu r ，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．10C ．12D ．146．若sin 7a π=，3cos 7b π=，tan 7c π=，则a 、b 、c 之间的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b<c<a D ．a c b<<7．已知ABC 中，若sin 2cos A A -=tan A =（）A ．3-B ．3C ．3-或13D ．3或13-8．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，若函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像与直线2y =有且仅有一个交点，则ω的最小值为（）A ．43B ．34C ．32D ．1二、多选题9．已知向量()1,sin θ=a ，(cosb θ= ，则下列命题正确的是（）A ．存在θ，使得λa b=B ．当tan 2θ=时，a 与b 垂直C ．对任意θ，都有a b≠r rD ．当a b ⋅a 在b 10．下列论述中正确的是（）A ．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a b ==r r ，c a b =- ，则c 与a 的夹角等于3πB ．若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠，则b c=C ．在四边形ABCD 中，()6,8AB DC == ，且AB AD ACAB AD AC +=，则BD = D ．在ABC 中，若OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅uur uuu r uur uuu r uuu r uuu r，则O 是ABC 外心11．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线512x π=对称B ．当[,]66x ππ∈-时，函数()f x 的最小值为2-C ．若()65f πα-=，则44sin cos αα-的值为45-D ．要得到函数()f x的图象，只需要将()cos 2g x x 的图象向右平移6π个单位12．在锐角三角形ABC 中，下列命题成立的是（）A ．sin A tan 3B =，则A B <B ．tan tan 1A B ⋅<C ．sin sin cos cos A B A B+>+D ．sin sin 1A B +>三、填空题13．已知α，β为锐角，4sin 5α=，()cos 5αβ+=-，则cos 2β=______.14．已知(),2a λ= ，()3,5b =- ，且a 与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是_________________．15．已知函数()22sin cos 24f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的值域为______.四、双空题16．设tan θ＝2，则tan (4πθ+＝________，sin cos sin cos θθθθ-+＝________.五、解答题17．已知2= a ，b = ()()239a b b a +⋅-=(1)求a 与b的夹角θ；(2)在ABC 中，若AB a=，AC b = ，求BC 边的长度.18．已知1sin cos 2αα+=，0απ<<.(1)求sin cos αα的值.(2)求sin cos αα-的值.(3)-的值.19．已知以角B 为钝角的ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()sin ,2sin m A B =，)sin n A =-，且m n ⊥.(1)求角B 的大小；(2)求cos cos A C +的最大值.20．在①函数()()1sin 0,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移12π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于原点对称；②函数()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；③函数()()1cos sin 064f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图像相邻两对称中心之间的距离为2π.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若06πθ<<，且()310f θ=，求cos 2θ的值.21．已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈.(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围.22．设O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()()sin cos f x a x b x x =+∈R ，向量(),a M b O =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)设函数()2sin cos 36h x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求()h x 的“相伴向量”；(2)记()0,2OM =的“相伴函数”为()f x ，若函数()()1g x f x x =+-，[]0,2x π∈与直线y k =有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围；(3)已知点(),M a b 满足22340a ab b -+<，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x =处取得最大值.当点M 运动时，求0tan 2x 的取值范围.参考答案：1．C【详解】试题分析：00sin 240sin 60=-=C ．考点：诱导公式2．D【分析】根据等边三角形的性质可得AOC ∠，再根据弧长公式求解即可【详解】因为边长为的等边ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边ABC 的中心，故23AOC π∠=，且6OA OC ==，故AOC ∠所对的劣弧长为2643ππ⨯=故选：D 3．A【分析】首先计算a r 和a b ⋅，再代入+= a b ，即可求得答案.【详解】 (1,1)a =，a == 又= b a 与b 的夹角为56π∴cos 32θ⎛⎫⋅=⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ a b ab +=== a b 故选：A.4．C【分析】根据图像求出()sin(2)3f x x π=+，由12()()f x f x =得到126x x π+=，代入即可求解.【详解】根据函数()sin()(,0,0,||)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的部分图象，可得：A =1;因为236T πππω⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，2ω∴=，结合五点法作图可得2(06πϕ-+= ，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，结合2(0,)3x ππ+∈，可得122(23322x x πππ+++=，126x x π∴+=，12()()sin()6332f x x f πππ∴+===5．A【分析】根据平面向量数量积的几何意义，结合外心的性质求解即可【详解】取AB 中点D ，因为O 为ABC 的外心，故OD AB ⊥，故cos 248AO AB AO AB OAB AD AB ⋅=⋅⋅∠=⋅=⨯=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r故选：A 6．B【分析】根据诱导公式，结合正弦函数的单调性判断,a b ，再根据正弦与正切的关系判断,a c 即可【详解】由题，3cos cos sin sin 7214147b a πππππ⎛⎫==-=<= ⎪⎝⎭，又sin7tan sin 77cos 7c a ππππ==>=，故b a c <<故选：B 7．A【分析】由10sin 2cos 2A A -=，利用同角三角函数间的基本关系求出1tan 3A =或3-，再分类即可求解．【详解】10sin 2cos 2A A -=()22222sin 2cos 5tan 4tan 45sin cos 2tan 12A A A A A A A --+∴=⇒=⇒++1tan 3A =或3-，10sin 2cos 0sin 2cos 2A A A A -=⇒> tan 2(cos 0)A A ⇒>>或tan 0(cos 0)A A <<，tan 3A ∴=-，8．D【分析】结合函数()f x 图像的对称性，及()f x 在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，可知232T π≤，又()f x 的图像与直线2y =的交点的横坐标为()2Z 2k x k ππωω=+∈，从而得2222ππππωωω≤<+，进而可求出ω的取值范围.【详解】解：因为函数()2sin (0)f x x ωω=>的图像关于原点对称，并且在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以24323T T ππ≤⇒≥，又20T πωω⎧=⎪⎨⎪>⎩，得302ω<≤，令()2sin 2f x x ω==，得()2Z 2k x k ππωω=+∈，所以()f x 在()0,∞+上的图像与直线2y =的第一个交点的横坐标为2πω，第二个交点的横坐标为22ππωω+，所以2222ππππωωω≤<+，解得15ω≤<，综上所述，312ω≤≤，故ω的最小值为1故选：D 9．BD【分析】利用向量平行得关系验证可判断A；利用商数关系可得cos θ=θ，在判断0a b ⋅=是否成立，即可判断B ；通过向量的模得求法求解θ即可判断C ；利用向量数量积的坐标表示结合平方关系求得2cos θ，a 在b 方向上的投影向量的模长即为a 在b方向上的投影的绝对值，再根据向量的投影的定义即可判断D.【详解】解：对于A ，若λa b =，则a b ∥，sin cos 0θθ-=，即1sin 22θ=，所以sin θ=又[]sin 21,1θ∈-，所以不存在θ，使得λa b =，故A 错误；对于B，当tan 2θ=-时，则cos θ=θ，则cos 0a b θθ⋅==，所以a 与b 垂直，故B 正确；对于C，若a b ==r r 若a b =r r，则221sin cos 2θθ+=+，则22cos sin 1θθ-=-，即cos 21θ=-，所以22k θππ=+，所以,Z 2k k πθπ=+∈，即存在,Z 2k k πθπ=+∈，使得a b =r r ，故C 错误；对于D，cos in a b θθ⋅==，则223cos 2sin cos θθθθ+=+，即()2222cos 2sin cos cos sin 3θθθθθθ+=++，化简得22sin cos 2cos 0θθθθ-+=，则2tan 20θ-θ+=，解得tan θ=，即22sin 2cos θ=θ，所以21cos 3θ=，a 在b方向上的投影向量的模长为a b b a b bb b⋅⋅⋅==D 正确.故选：BD.10．AC【分析】分别求出,a c c ⋅ ，再根据cos ,a ca c a c⋅=，即可判断A ；根据数量积的定义即可判断B ；易知四边形ABCD 是边长为10的菱形，且120BAD ∠=︒，从而可判断C ；由平面向量的数量积可知OA BC ⊥，,OB AC OC AB ⊥⊥，即可判断D.【详解】解：对于A ，()212a c a ab a a b ⋅=⋅-=-⋅= ，1c a b =-=，则1cos ,2a c a c a c ⋅== ，所以c 与a 的夹角为3π，故A 正确；对于B ，若a b a c ⋅=⋅，则cos ,cos ,a b a b a c a c =r r r r r r r r ，所以cos ,cos ,b a b c a c =，故B 错误；对于C ，因为()6,8AB DC == ，所以四边形ABCD 为平行四边形，且10AB DC ==，又AB AD ACAB AD AC+= ，所以四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=︒，所以对角线BD =C 正确；对于D ，因为OA OB OA OC ⋅=⋅，所以()0OA OB OC OA CB ⋅-=⋅=uur uuu r uuu r uur uur，所以OA BC ⊥，同理,OB AC OC AB ⊥⊥，所以O 为ABC 的垂心，故D 错误.故选：AC.11．BD【分析】利用最值，半个周期，对称点，以及ϕ取值范围确定())6f x x π+，分别利用正弦函数的对称轴，整体法确定角度范围求最值，诱导公式和平方差公式，利用函数诱导公式变换表达式从而分析图像特点即可求解.【详解】 函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，其图象相邻的两条对称轴之间的距离为2π，∴A =1222ππω⋅=，2ω∴=，())f x x ϕ=+.又因为()f x 的图象关于点(,0)12π-对称，所以())0,126f ππϕ-=-+=所以,6k k Z πϕπ-+=∈,所以6,k k Z πϕπ=+∈.因为||2ϕπ<，所以6πϕ=.即())6f x x π=+.对选项5A,()012f ππ==≠A 错误.对选项B ，[,],2[,]66662x x πππππ∈-+∈-，当()2,66x f x ππ+=-时取得最小值B 正确.对选项C,()sin(2)cos 2625f ππααα--=，得到3cos 25α=.因为4422223sin cos (sin cos )(sin cos )cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，把()2g x x =的图象向右平移6π个单位得到2())sin[(2)])63236y x x x x πππππ=-=-=+-+的图象，故D 正确，故选：BD .12．ACD【分析】根据三角恒等变换，逐个选项化简判断即可求解【详解】因为在锐角三角形中，所以，,,A B C 均为锐角对于A ，sin 5A =，得cos A =，tan 2tan A B =<，所以，A B <；所以，A 正确；对于B ，若tan tan 1A B ⋅<，整理得sin sin cos cos 0A B A B -<，化简得cos()0A B +>，所以，cos 0C <，C 为钝角，与题意不符，B 错误；对于C ，若sin sin cos cos A B A B +>+)sin()44A B ππ->-，化简得sin()sin()44A B ππ->-，因为,,A B C 均为锐角，所以，必有44A B ππ->-，得2A B π+>，符合,,A B C 均为锐角，所以，C 正确；对于D ，因为,,A B C 均为锐角，得2A B π+>，所以，2A B π>-，所以，sin sin sin()sin 2A B B B π+>-+cos sin B B >+4B π+≥1>，所以，sin sin 1A B +>成立，D 正确；故选：ACD13．35-##0.6-【分析】根据平方关系求出cos α，()sin αβ+，再根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求出sin β，再根据二倍角得余弦公式即可得解.【详解】解：因为α，β为锐角，则,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又4sin 5α=，()cos αβ+=-所以3cos 5α=，()sin 5αβ+=，则()()()sin sin sin cos cos sin 5βαβααβααβα=+-=+-+=⎡⎤⎣⎦，所以23cos 212sin 5ββ=-=-.故答案为：35-.14．10635λλ<≠-且【详解】试题分析：因为向量a 与b 的夹角为锐角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，所以3100λ-+>且56λ≠-，解之得：10635λλ<≠-且考点：向量夹角及坐标运算.15．[]2,3【分析】首先利用三角恒等变换公式将函数()f x 化简，再根据x 的取值范围，求出23x π-的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数2()2sin ()24f x x xπ=+-1cos(2)22x xπ=-+-sin 221x x =-+12sin 2212x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又42ππx ≤≤∴22633x πππ≤-≤∴1sin(2),132x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]2sin(2)1,23x π-∈，∴()[]2,3f x ∈；故答案为：[]2,316．－313【分析】由两角和的公式计算出tan(4πθ+，把它展开后切弦互化可得sin cos sin cos θθθθ-+．【详解】解：由tan θ＝2，得tan (4πθ+＝tan tan41tan tan4πθπθ+-＝－3，sin cos sin cos θθθθ-+＝tan 1tan 1θθ-+＝13.故答案为：3-；13．17．(1)56π【分析】（1）先求出a b ⋅，再带入公式计算即可；（2）根据题意得到()22BC b a =- ，展开计算求解即可.（1）因为()()22222335232529a b b a a a b b a b +⋅-=--⋅+=-⨯-⋅+⨯= ，所以3a b ⋅=-，所以cos a b a b θ⋅==- []0,θπ∈，所以56πθ=.（2）因为BC AC AB b a =-=-，所以()2222=213BC b a b a b a =--⋅+= ，所以BC =18．(1)38-(3)43-【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin 0,cos 0αα><，则sin cos αα-=（3=得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.【详解】（1）解：因为1sin cos 2αα+=，所以()2221sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααααα+=++=+=，所以3sin cos 8αα=-；（2）解：因为0απ<<，3sin cos 8αα=-，所以sin 0,cos 0αα><，所以sin cos 2αα-=；（3）解：由（2）得sin 0,cos 0αα><，1sin 1cos cos sin αααα--=--()()sin 1sin cos 1cos sin cos αααααα-+-=-sin cos 1sin cos αααα+-=-11238-=--43=-.19．(1)23B π=【分析】（1）利用0m n ⋅= ，结合正弦定理，求出sin B =，B 为钝角，所以23B π=.（2）化简cos cos 3A C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可确定cos cos A C +的取值范围，(1)解：因为()sin ,2sin m A B =，)sin n A =- ，且m n ⊥.所以0m n ⋅=2sin sin 0A B A -=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以sin 2B =，因为B 为钝角，所以23B π=.(2)解：因为1cos cos cos cos cos cos sin 3223A C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由（1）知，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,333A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故cos cos A C +的取值范围是32⎛ ⎝.所以cos cos A C +20．(1)最小正周期T π=，单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)310【分析】（1）依题意函数的最小正周期T π=，再根据所选条件及三角恒等变换公式化简，即可得到()f x 的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可得3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出cos 26πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后根据两角差的余弦公式计算可得；(1)解：若选条件①，由题意可知，2T ππω==，2ω∴=，∴1()sin(2)2f x x ϕ=+，将()f x 的图像向右平移12π个单位长度得到1()sin(2)26g x x πϕ=+-，又函数()g x 的图象关于原点对称，∴6k πϕπ=+，Z k ∈， ||2ϕπ<，∴6πϕ=，∴1()sin(226f x x π=+，所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件②，()1sin 2sin 2226f x x x ππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos 2sin 2cos cos 2sin 266x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭11cos 22222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；若选条件③，11()cos sin()cos (sin cos cos sin 64664f x x x x x x πππωωωωω=+-=+-211cos cos 224x x x ωω=+-12cos 244x x ωω=+1112cos 2)sin(2)2226x x x πωωω=+=+即()1sin(2)26f x x πω=+，又22T ππω==，1ω∴=，∴1()sin(2)26f x x π=+．所以函数的最小正周期T π=，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)解：因为1()sin(2)26f x x π=+且()310f θ=，所以()13sin 22610f πθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以3sin 265πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以2662πππθ<+<，所以4cos 265πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以cos2cos 266θθππ⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43132cos sin 2sin 666652520cos 1ππππθθ⎛⎫⎛=⎫+++=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21．(1)()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，(2)3a ≥【分析】（1）化简函数()22sin 324a a f x x a ⎛⎫=+-- ⎝⎭，根据[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，分类讨论，即可求解函数的最小值；（2）由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t+=-，利用单调性，即可求解.(1)由题意，函数()222sin cos 4sin 324a a f x a x x a x a ⎛⎫=-+-=+-+- ⎪⎝⎭，因为[0,]x π∈，所以sin [0,1]x ∈，当<02a-时，即0a >时，则sin 0x =时，()f x 取得最小值()3g a a =-；当012a ≤-≤时，即20a -≤≤时，则sin 2ax =-时，所以()f x 取得最小值()234a g a a =-+-；当12a->时，即2a <-时，则sin 1x =时，()f x 取得最小值()4g a =．综上可得，()23,03,20442a a ag a a a a ⎧->⎪⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，．(2)∵[0,]x π∈，∴sin [0,1]x ∈，由()0f x =，可得2sin 3(1sin )x x a +=-⋅，当sin 1x =时，此等式不成立．故有sin 1x ≠，2sin 31sin x a x+=-，令sin [0,1)t x =∈，则231t a t +=-，令()[)()230,11+=∈-t F t t t，()()()()2311--+'=-t t F t t ，当[)0,1∈t 时，()0F t '>，()F t 单调递增，所以()3≥F t ，故3a ≥．【点睛】本题主要考查了正弦函数的值域，三角函数的基本关系式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角函数的基本关系式，转化为关于sin x 的二次函数，熟练应用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.22．(1)12OM ⎛=- ⎝⎭(2)[)1,3(3)3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）依题意，将ππ()2sin()cos()36h x x x =--+可化为()1sin 2h x x x =-+进而根据题意得答案；（2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k 的范围（3）由())f x x ϕ=+可求得02+,Z 2x k k ππϕ=-∈时，f (x )取得最大值，其中0tan ax b=，换元求得a b 的范围，再利用二倍角的正切可求得0tan 2x 的范围．（1）解：111()2sin sin sin 222h x x x x x x x ⎫⎛⎫=---=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()h x 的“相伴向量”为12OM ⎛=- ⎝⎭.（2）解：由题知：()0sin 2cos 2cos f x x x x =⋅+⋅=.4sin 1,06()2cos 14cos 1,23x x g x x x x x πππππ⎧⎛⎫+- ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-< ⎪⎪⎝⎭⎩可求得()g x 在03π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，3，ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，53ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，523ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减且5(0)1,3()33(2,),,133g g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()g x 图像与y k =有且仅有四个不同的交点13k ∴≤<所以，实数k 的取值范围为[)1,3（3）解：()sin cos sin()f x a x b x x ϕ=++其中cos sin tan baϕϕϕ===Rx ∈ ∴当2,Z 2x k k πϕπ+=+∈即022x k πϕπ=-+时，()f x 取得最大值.此时022tan tan 2tan(2)tan 21tan x ϕπϕϕϕ=-=-=--令tan b m a ϕ==，则由22430a ab b -+<知：23410m m -+<，解之得113m <<0222tan 211m x m m m=-=--，因为1y m m=-在1(,1)3m ∈上单调递增，所以0222tan 211m x m m m=-=--在1(,1)3m ∈上单调递减，从而03tan 2,4x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7} 2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．2803．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.511．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜112．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，则A∩∁U B＝（）A．{2，7}B．{4，6}C．{2，5，7}D．{2，4，5，6，7}解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6，7}，B＝{1，3，4，6}，∴∁U B＝{2，5，7}，A∩∁U B＝{2，7}．故选：A．2．某单位共有500名职工，其中不到35岁的有125人，35﹣49岁的有a人，50岁及以上的有b人，现用分层抽样的方法，从中抽出100名职工了解他们的健康情况．如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人，则50岁及以上的职工抽取的人数为（）A．19B．95C．220D．280解：计算抽样比例为，所以不到35岁的应抽取125×＝25（人），所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56＝19（人）．故选：A．3．设x∈R，则“x＜1”是“2x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由2x＜1，解得x＜0，由x＜0，可得x＜1，反之不成立．∴“x＜1”是“2x＜1”的必要不充分条件．故选：B．4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾2束，中等稻禾3束，下等稻禾4束，各等稻禾总数都不足1斗．如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾，或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾，或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾，则刚好都满1斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗？（）A．B．C．D．解：设上等稻禾x斗/束，中等稻禾y斗/束，下等稻禾z斗/束，由已知得：，解得：，故一束上等稻禾是斗．故选：D．5．在△ABC中，，．若点D满足，则＝（）A．B．C．D．解：在△ABC中，，；如图；∴＝﹣＝﹣，又，∴＝＝（﹣）；∴＝+＝+（﹣）＝+；故选：C．6．设a＝50.6，b＝（）﹣0.7，c＝log0.60.7，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：∵y＝5x在R上递增，∴1＝50＜a＝50.6＜b＝（）﹣0.7＝50.7，而c＝log0.60.7＜1，故c＜a＜b，故选：D．7．已知实数a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，则a+2b的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝2ab，∴＝1，则a+2b＝（a+2b）（）＝＝．当且仅当且＝1，即a＝b＝时取等号．∴a+2b的最小值为．故选：B．8．已知函数f（x）＝+x（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…），若实数m满足f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝（）A．4B．3C．2D．1解：根据题意，函数f（x）＝+x，则f（﹣x）＝+（﹣x）＝﹣x，则f（x）+f（﹣x）＝（+x）+（﹣x）＝2，即有f（m）+f（﹣m）＝2，若f（m）＝﹣1，则f（﹣m）＝3，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题中错误的是（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则＞C．若a＞b，c＜d，则a﹣d＞b﹣cD．若b＞a＞0，m＞0，则＞解：对于A：令a＝0，b＝﹣1，显然错误；对于B：若a＞b，则＞，故B正确；对于C：若a＞b，c＜d，则a＞b，﹣c＞﹣d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；对于D：若b＞a＞0，m＞0，则bm＞am，则ab+bm＞ab+am，则b（a+m）＞a（b+m），则＞，故D正确；故选：AC．10．在某次高中学科竞赛中，5000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A．考生成绩在[70，80）的人数最多B．考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015C．不及格的考生人数为1000D．考生成绩的平均分约为70.5解：由成绩统计图知，考生成绩在[70，80）内的小矩形图最高，所以频率最大，对应人数最多，A正确；考生成绩在[80，90）对应的频率为0.015×10＝0.15，所以B错误；60分以下的人数为（0.010+0.015）×10×5000＝1250（人），所以C错误；计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10＝70.5，所以D正确．故选：AD．11．已知函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，分别为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．﹣1＜x1＜0B．0＜x2＜2C．（）+（）＝2D．0＜b＜1解：函数f（x）＝|（）x﹣1|﹣b有两个零点，即有两个根，问题即转化为y＝b与g（x）＝的有两个不同交点．做出函数g（x）的图象如右：其函数解析式为：，由题意两交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），①若有两个交点，则0＜b＜1，D对；②当x＜0时，令g（x）＝1，得x＝﹣1，故﹣1＜x1＜0，A对；③易知，整理得：，C对；④由③得，所以x2＞0，B错．故选：ACD．12．若关于x的方程＝的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（）A．﹣B．﹣1C．1D．解：易知，当k＝1时，方程只有一个根1，满足题意；当k≠1时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．对于方程①，显然x≠0，即x2﹣x+k﹣1＝0只有一个非零实根，所以，解得．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2．解：原式＝3lg2+2lg5﹣lg2＝2lg2+2lg5＝2（lg2+lg5）＝2．故答案为：2．14．设A，B，C为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，则P（A+B）＝．解：∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P（A）＝，P（C）＝，∴P（B）＝1﹣P（C）＝，∴P（A+B）＝P（A）+P（B）＝+＝．故答案为：．15．已知函数f（x）＝则不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是{x|x≤1}．解：∵函数f（x）＝，∴当x﹣1≥0即x≥1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1+（x﹣1）≤2⇒x≤1，故x＝1；当x﹣1＜0即x＜1时，x+f（x﹣1）≤2⇒x+1﹣（x﹣1）≤2⇒2≤2，故x＜1；∴不等式x+f（x﹣1）≤2的解集是：{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．16．给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是①③．解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．（1）若＝，求D点的坐标及||；（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．解：（1）设D（x，y），则，且，，∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），∴，解得，∴D（3，6），，∴；（2），∴，，且与平行，∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．18．（12分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x＜0}，B＝{x|m≤x≤3m﹣2}．（1）当m＝2时，求∁U（A∩B）；（2）如果A∪B＝A，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|0＜x＜4}，m＝2时，B＝{x|2≤x≤4}，∴A∩B＝{x|2≤x＜4}，且U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥4}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，①B＝∅时，m＞3m﹣2，解得m＜1；②B≠∅时，，解得1≤m＜2；综上，实数m的取值范围为（﹣∞，2）．19．（12分）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．甲班91113202431乙班111218202225（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．解：（1）甲班样本的平均值为：＝（9+11+13+20+24+31）＝18．乙班样本的平均成绩为：＝（11+12+18+20+22+25）＝18．（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，基本事件总数n＝＝6，抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m＝＝2，∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p＝＝＝．（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，基本事件总数n＝6×6＝36，恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m＝＝16，∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P＝＝＝．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．（1）求f（x）在区间[1，3]上的最小值g（a）；（2）设函数h（x）＝，用定义证明：h（x）在（0，1）上是减函数．解：（1）因为f（x）＝x2+2ax+1的对称轴x＝﹣a，开口向上，当﹣a≤1即a≥﹣1时，g（a）＝f（1）＝2+2a，当﹣a≥3即a≤﹣3时，g（a）＝f（3）＝10+6a，当1＜﹣a＜3即﹣3＜a＜﹣1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，故g（a）＝．（2）证明：h（x）＝＝x++2a，设0＜x1＜x2＜1，则h（x1）﹣h（x2）＝＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（）＞0，∴h（x1）＞h（x2），∴h（x）在（0，1）上是减函数．21．（12分）近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格P（x）（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足P（x）＝10+（k 为常数，且k＞0），日销售量Q（x）（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如表所示：x1015202530 Q（x）5055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）求k的值；（2）给出以下四个函数模型：①Q（x）＝ax+b；②Q（x）＝a|x﹣m|+b；③Q（x）＝a•b x；④Q（xr）＝a•log b x．请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q（x）与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为f（x）（单位：元），求f（x）的最小值．解：（1）由题意，Q（10）•P（10）＝50（10+）＝505，即k＝1；（2）由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调，而①③④均为单调函数，故Q（x）＝a|x﹣m|+b，则，解得a＝1，m＝10，b＝50．故函数解析式为Q（x）＝|x﹣10|+50；（3）由（2）可知，Q（x）＝|x﹣10|+50＝，则f（x）＝P（x）•Q（x）＝．当1≤x≤10时，f（x）＝600﹣1+，该函数为单调减函数，f（x）min＝f（10）＝505；当10＜x≤30时，f（x）＝400+1+10x+，在（10，30]上为增函数，则f（x）＞505．综上，该工艺品的日销售收入f（x）的最小值为505元．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x+1）+kx是偶函数（其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）求k的值；（2）若方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根，求实数b的取值范围．解：（1）由f（x）是偶函数得：f（x）﹣f（﹣x）＝ln（e x+1）+kx﹣ln（e﹣x+1）﹣（﹣kx）＝＝＝（2k+1）x＝0恒成立，故2k+1＝0，即k＝﹣．（2）由（1）知f（x）＝ln（e x+1）x．由f（x）＝x+b得b＝ln（e x+1）﹣x，x∈[﹣1，0]．令g（x）＝ln（e x+1）﹣x＝，x∈[﹣1，0]．当x∈[﹣1，0]时，∈[2，1+e]，故ln（1）∈[ln2，ln（1+e）]．故b∈[ln2，ln（1+e）]时，方程f（x）＝x+b在区间[﹣1，0]上有实数根．即b的取值范围是[ln2，ln（1+e）]．。
辽宁省本溪市2023-2024学年高一下学期开学考试 数学含答案
2026届高一年级寒假验收考试数学试题（答案在最后）命题人：宋德霞考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4．本卷命题范围：人教B 版必修第一册，必修第二册，必修第三册7.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合则{}02A x x =<<，{}0,1,2B =，则A B = （）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}02．角2024°的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知幂函数()f x 的图象过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()18f x x=B ．()12f x x-=C ．()72f x x =-D ．()2132f x x =4．在ABC △中，D 为BC 的中点，E 为AC 边上的点，且3AE EC =，则ED = （）A ．1124AB AC-+B ．1223AB AC-C ．1223AB AC-+D ．1124AB AC-5．已知正实数a ，b ，设甲：11a a b b +<+>，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．去年4月，国内猪肉，鸡蛋，鲜果、禽肉、粮食，食用油、鲜菜价格同比（与前年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A ．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况B ．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍C ．前年4月鲜菜价格要比去年4月低D ．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过7%7．已知函数()231x f x x =++，()2log 31g x x x =++，()331h x x x =++的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c>>8．函数()()2445f x x x x x =--）A ．4B ．2C ．4120D ．2110二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．()10,0e = ，()21,1e =B ．()11,2e = ，()22,1e =-C ．()13,4e =- ，234,55e ⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()12,6e = ，()21,3e =--10．某射击运动员射击10次，中靶环数分别是7．8，9，7，6，5，10．9，5，7（单位：环），则（）A ．这组数据的中位数与众数相等B ．这组数据的30%分位数与极差相等C ．若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件D ．若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是对立事件11．已知()10y x x=>．则（）A x y 的最小值为2B ．28x y的最大值为34C ．229x y +的最小值为23D ．y y x -的最小值为14-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()()()11f x f x f x ++-=，()3g x -是偶函数，且()()32f x g x +-=，若()31g -=则（）A ．()112f =B ．()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()()6f x f x =+D ．()f x 为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知扇形OAB 的圆心角为2rad ，其弧长是1cm ，则该扇形的面积是______2cm ．14．已知()2,1a =-，()1,2b =- ，()()22a b a b m +- ∥，则m =______．15．甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．16．已知函数()()13mx f x an a +=+-其中m ，n ∈R ，0a >且1a ≠）的图象恒过定点()2,1，()1f =，则()2f m n +=⎡⎤⎣⎦______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合{}22150M x x x =--<，{}237N x m x m =-<<+．（1）当4m =-时，求()R M N ð；（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）设两个非零向量a 与b不共线．（1）若b A a B =+，28a b BC =+，()3b CD a =-，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）试确定实数k ，使ka b + 和a kb +反向共线．19．（本小题满分12分）已知函数()2221f x x x -=-+，函数()()1g x f x x=⋅．（1）求函数()g x 的解析式；（2）试判断函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性，并证明；（3）求函数()g x 的值域．20．（本小题满分12分）某校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解学生们的劳动情况，学校随机抽查了部分学生的劳动时间，并用得到的数据绘制成不完整的统计图表，如图所示：劳动时间（时）频数（人数）频率[)0,1120.12[)1,2300.3[)2,3x 0.4[]3,418y 合计m1（1）统计表中的x =______，y =______，补全频率分布直方图；（2）估计所有被调查学生劳动时间的平均数；（3）针对被调查的学生，用分层抽样的方法从劳动时间在[)0,1和[]3,4的两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人．求这2人全部来自劳动时间在[]3,4的概率．21．（本小题满分12分）已知不等式()214k x k k +≤++，其中x ，k ∈R ，（1）若3x =，解上述关于k 的不等式；（2）若不等式对[)4,k ∀∈-+∞恒成立，求x 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数()42log 6x f x x -=-，且()31f =-，()44221x x x xg x m m --=+-⋅-⋅+．（1）解不等式()1f x >；（2）设不等式()1f x >的解集为集合A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数m 的取值范围．2026届高一年级寒假验收考试·数学试题参考答案，提示及评分细则1．A 由()()2,00,2A =- ，{}0,1,2B =，则{}1A B = ，故选A ．2．C 20242245360︒=︒+⨯︒，因为224°的终边在第三象限，所以角2024°的终边在第三象限．故选C ．3．B 设幂函数()af x x =，将点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入ay x =得142a=，所以12a =-．所以幂函数的解析式为()12f x x-=．故选B ．4．D 如图，因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，又3AE EC =，所以34AE AC = ，所以()13112424ED AD AE AB AC AC AB AC =-=+-=- ．故选D ．5．C 由0a >，0b >及()1011a a a bb b b b +--=<++，得0a b <<，所以11a b >，显然>>可知110a b>>，则0b a >>，所以()1011a a a b b b b b +--=<++，即11a ab b +<+，所以甲是乙的必要条件．综上可知，甲是乙的充要条件．故选C ．6．D 由图可知，猪肉，鸡蛋，鲜果，禽肉，粮食，食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A 错误；因为34.4%58.5%<⨯，所以B 错误；前年4月鲜菜价格要比去年4月高．所以C 错误；因为()121.2%7.6%3%8.5%9.6%10.4%34.4%7⨯-++++++()122%7%3%8%9%10%34%7>⨯-++++++⎡⎤⎣⎦149%7%7=⨯=，所以D 正确．故选D ．7．B 令()0f x =，()0g x =，()0h x =得231xx =--，2log 31x x =--，331x x =--，则a 为函数2xy =与31y x =--交点的横坐标，b 为函数2log y x =与31y x =--交点的横坐标，c 为函数3y x =与31y x =--交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出2xy =，2log y x =，3y x =和31y x =--的图象，如图所示，由图可知，b c a >>，故选B ．8．C 由解析式易知()f x 的定义域为[]0,4，令)0t t =+>，所以24t =+2122t =-，由y =04x ≤≤，可知0y ≤≤248t ≤≤，则2t ≤≤所以()()(222114225255f x g x t t t t ⎛⎫==--=-++≤≤ ⎪⎝⎭，则()()2154141522020f xg t t ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为4120．故选C ．9．ACD A ，C ，D 中向量1e 与2e x 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e不共线，所以可作为一组基底．故选ACD ．10．AC由题知，这组数从小到大排列为5，5，6，7，7，7，8，9，9，10，所以这组数据的众数为7，中位数是()7727+÷=，所以这组数据的中位数与众数相等，故A 正确；因为100.33⨯=，所以这组数据的30%分位数为()672 6.5+÷=，极差为1055-=，不相等，故B 错误；若有放回地抽取两个数，则“一个小于8一个大于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，故C 正确；若不放回地抽取两个数，则“两个数都小于8”和“两个数都大于7”是互斥事件，但不是对立事件，故D 错误．故选AC ．11．AD 对于A ，因为0x >，0y >2≥=，当且仅当1x y ==时，等号成立，A 正确；对于B ．因为0x >，0y >，由基本不等式得328222x xx y+=≥==当且仅当3,1,x y xy =⎧⎨=⎩即x =3y =时，等号成立，故28x y 的最小值为B 错误；对于C ，由基本不等式得22966x y xy +≥=，当且仅当x =3y =时，等号成立，故229x y +的最小值为6，C 错误；对于D ，因为()10,0y x y x=>>，所以22111244y y y y y x ⎛⎫-=-=--≥-⎪⎝⎭，当12y =时，等号成立，故y y x -的最小值为14-，D 正确．故选AD 12．ABC因为()3g x -是偶函数，所以()()()()()()3323f x g x f x g x f x g x -+--=-+-==+-，所以()()f x f x =-．当0x =时，()()032f g +-=，又()31g -=，所以()01f =，所以()()()1101f f f +-==，所以，()112f =，故A 正确；由()()()11f x f x f x ++-=，得()()()21f x f x f x +-=-，两式相加得()()12f x f x -+=-，所以()()3f x f x =-+，又()()f x f x =-，所以，()()3f x f x -=-+，即()()30f x f x -++=，所以()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故B 正确；()()()36f x f x f x =-+=+，故C 正确；由()()f x f x =-可知()f x 为偶函数；D 不正确．故选ABC ．13．14设扇形的半径为R ，则12R =，所以12R =，所以扇形的面积为21111cm 224⨯⨯=．14．－6因为()2,1a =-，()1,2b =- ，所以()425,a b +=- ，()323,6a b m m m -=--，由()()23a b a b m +-∥，得()()564230m m -+-=，解得6m =-．15．1116由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛，则再进行两场比赛甲队获胜的概率为111224⨯=；再进行三场比赛甲队获胜的概率为11111112222224⨯⨯+⨯⨯=；再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111111322222222222216⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=，所以最终甲队获胜的概率为11311441616++=．16．22由题意，函数()()13mx f x an a +=+-恒过定点()2,1，可得210,30,m n +=⎧⎨-=⎩解得12m =-，3n =，所以15322m n +=-+=，()()1123x mx f x a n a a -++=+-=，()121f a ==2a =．则511445222f -+-⎛⎫==⎪⎝⎭，()221245222f m n f -⎛⎫⎡⎤⎛⎫+===⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭．17．解：{}{}2215035M x x x x x =--<=-<<．（1）当4m =-时，{}113N x x x =-<<，则{}R 113N x x x =≤-≥或ð，所以(){}R 35M N x x =≤< ð．（2）若x N ∈是x M ∈的必要不充分条件，则M N Ü，所以233,75,m m -≤-⎧⎨+≥⎩（等号不同时取得），解得20m -≤≤，故实数m 的取值范围为[]2,0-．18．（1）证明：∵b A a B =+ ，28a b BC =+，()3b C a D =- ，∴()()832833552a b a b a b BD B D a C b a b A C B ===++-=++-++=．∴AB 、BD共线，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．（2）解：∵ka b - 与a kb +向共线，∴存在实数()0λλ<，使即()bka b a k λ+=+即b ka b a k λλ+=+，∴()()1bk a k λλ=--∵a ，b是不共线的两个非零向量，∴10k k λλ-=-=，∴210k -=，∴1k =±，∵0λ<，∴1k =-．19：解：（1）令2t x =-，则2x t =+，∴()()()22221f t t t =+-++，∴()221f t t t =++，即()221f x x x =++，∴()()12f x g x x xx==++．（2）函数g （x ）在区间()1,+∞上单调递增．证明：任取121x x >>，则()()()()12121212121211122x x x x g x g x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又120x x ->，1210x x ->，120x x >，∴()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，∴函数()g x 在区间()1,+∞上是增函数．（3）当0x >时，()1224g x x x =++≥=，当且仅当1x =时．等号成立．当0x <时，()()112220g x x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=--+-+≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x =-时，等号成立．∴()g x 的值域为(][),04,-∞+∞ ．20．解：（1）由题意120.12100m m =⇒=，故0.440x m ==，180.18y m==，频率分布直方图如图所示：（2）平均劳动时间120.530 1.540 2.518 3.5214 2.14100100t ⨯+⨯+⨯+⨯===（时）．（3）由题意，劳动时间在[)0,1应抽取的人数为0.12520.120.18⨯=+（人），分别记为A ，B ；劳动时间在[]3,4应抽取的人数为0.18530.120.18⨯=+（人），分别记为a ，b ，c ．则该试验的样本空间()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c Ω=，()10n Ω=．设事件M =“抽取的2人均来自[]3,4”，则()()(){},,,,,M a b a c b c =，()3n M =，所以()310P M =，故所求概率为310．21．解：（1）若3x =，则不等式()214k x k k +≤++变形为2210k k -+≥，即()210k -≥，解得k ∈R ，故不等式的解集为R ．（2）不等式()214k x k k +≤++对[)4,k ∀∈-+∞恒成立．当1k =-时，()()20114≤-+-+，即04≤，x ∈R ；当1k >-时，241k k x k++≤+恒成立．∵24441113111k k k k k k k ++=+=++-≥=+++（当且仅当41,11,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪>-⎩即1k =时，等号成立）∴3x ≤；当41k -≤<-时，241k k x k++≥+时恒成立．∵()()244411115111k k k k k k k ⎡⎤++=++-=--++-≤-⎢⎥++-+⎣⎦（当且仅当41,141,k k k ⎧+=⎪+⎨⎪-≤<-⎩即3k =-时，等号成立），∴5x ≥-．综上，x 的取值范围为[]5,3-．22，解：（1）由条件()2log 6ax f x x -=-可知，206x x ->-，解得26x <<，故函数()f x 的定义域为()2,6，由()31f =-，可知1log 13a=-，得到3a =，即()32log 6x f x x -=-，解不等式()1f x >，即236x x ->-，解得56x <<，所以不等式()1f x >的解集为{}56x x <<．（2）由（1）可知{}56A x x =<<．设22x x t -=+，则当[]0,1x ∈时，[]21,2x∈，对于函数1y x x =+，[]1,2x ∈时为增函数，故5222,2x x t -⎡⎤=+∈⎢⎣⎦，则()()()22222211xx x x g x m t mt --=+-+-=--，设()21h t t mt =--，由题意知()5,6A =为52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()h t 的值域的子集，当22m ≤，即4m ≤时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()2325,5215 6.242h m h m =-≤⎧⎪⎨⎛⎫=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即得3110m -≤≤-；当5222m <<，即45m <<时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2h ，52h ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的较大者，令()2326h m =-≥，∴32m ≤-；令52156242h m ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，则316m ≤-，不合题意；当522m ≤，即5m ≥时，()h t 在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()2326,52155,242h m h m =-≥⎧⎪⎨⎛⎫=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩解得m ∈∅．综合上述，实数m 的取值范围为31,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．。
2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高一下学期期末数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年辽宁省葫芦岛市高一上学期期末数学试题的。
1.的值为( )A.B.C.D.2.在复平面内，对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.在中，，则的形状为( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形4.已知平面向量，，若向量与垂直，则实数的值为( )A. B.C.D.5.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )A. 复数为实数B. 对应点位于第二象限C. D.的最大值为16.已知角的终边经过点，则( )A.B.C.D.7.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球圆锥的顶点和底面上各点均在该球面上，且该圆锥的侧面积为，则此球的表面积为( )A. B.C. D.8.已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是( )A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题有( )A.若复数，满足，则且B. 若复数，则C. 若复数，满足，则或D. 若复数为实数，则z为实数或纯虚数10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法中正确的是( )A. 函数的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在上单调递增D. 函数在的取值范围为11.已知平面四边形ABCD，O是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是( )A. 若，则四边形ABCD是正方形B. 若，则四边形ABCD是矩形C. 若，则为直角三角形D. 若动点P满足，则动点P的轨迹一定通过的重心12.在长方体中，，分别为的中点，则下列选项中正确的是( )A.B. 三棱锥的体积为C.三棱锥外接球的表面积为D.直线被三棱锥外接球截得的线段长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题含答案 (2)
（2）问从种植起，第几年树木生长最快？
22.对于定义在D上的函数f(x)，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数f(x)的一个不动点.已知f(x)＝ax2＋1.
（1）当a＝－2时，求f(x)的不动点；
（2）若函数f(x)有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2.
【答案】（1） ；（2） ．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的定义域，并判断函数 的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于 的不等式 ．
【19题答案】
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，函数 既不是奇函数，也不是偶函数；（Ⅱ） .
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在区间 上 单调递增区间.
【20题答案】
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】D
6. “ ”是“ ”成立的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【6题答案】
【答案】B
7.函数 的部分图象如图所示.将 图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象的函数解析式是（）
A. B.
C. D.
【7题答案】
① 在区间 上是单调的；
②当定义域是 时， 的值域也是 ，则称 是函数 的一个“黄金区间”.
如果 可是函数 的一个“黄金区间“，则 的最大值为（）
A. B.1C. D.2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若 为第二象限角，则下列结论正确的是（）
A B. C. D.
【9题答案】
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省沈阳市高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．（ ）()o sin 1020=-A ．BC ．D ．1212-【答案】B【分析】利用诱导公式即可求解.【详解】.()()o sin 1020sin 603603sin 60-=︒-︒⨯=︒=故选：B.2．已知向量的夹角为，且，则（ ）,a b 23π||3,||4a b ==2ab +=A ．49B ．7C D【答案】B【分析】根据向量数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；a b ⋅ a +【详解】解：因为向量的夹角为，且，所以,a b 23π||3,||4a b ==，所以21346o32c s a ba b π⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⋅=⎭a+= ；7==故选：B3．函数的图象的对称中心是tan(2)4y x π=+A ．B ．(,0)4k k Zππ-∈(,0)24k k Z ππ-∈C ．D ．(,0)28k k Z ππ-∈(,0)48k k Z ππ-∈【答案】D【详解】试题分析：令2x+=，k ∈z ，求得x=-，k ∈z ．4π2k π4πk 8π故函数y ＝tan(2x+)的图象的对称中心是（-，0），k ∈z ，4π4πk 8π故选D ．【解析】正切函数的奇偶性与对称性．4．当时，若，则的值为（ ）()0,πθ∈2π3cos 35θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-4545±35【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可.【详解】因为，所以，()0,πθ∈()π,0θ-∈-所以，2ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因为，所以，2π3cos 035θ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭2ππ2π,323θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，2π4sin 35θ⎛⎫-==⎪⎝⎭又因为，π2ππ()33θθ+=--所以.π2π2π4sin sin πsin 3335θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选:B.5．的值为（ ）2π4πsin sin sin 33x x x ⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．C ．D ．01212-2【答案】A【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦展开公式求解即可.【详解】原式2π2π4π4πsin sin coscos sin sin cos cos sin 3333x x x x x =++++ππππsin sin cos πcos sin πsin cos πcos sin π3333x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππsin sin cos cos sin sin coscos sin3333xx x x x =-+--11sin sin sin 0.22x x x x x =--=故选:A.6．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度（ ）．α=注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等；（ⅱ）取等于3进行计算．πA ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位【答案】A【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位.【详解】有题意得：1密位=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，2π160001000=所以，因为，所以迫击炮转动的角度为30密位.5431800100α==31301001000÷=故选：A7．已知为所在平面内一点，且满足，则点（ ）O ABC 22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ O A ．在边的高所在的直线上B ．在平分线所在的直线上AB C ∠C ．在边的中线所在直线上D ．是的外心AB ABC 【答案】A【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可得，进而可判断.BA OC ⊥ 【详解】由得，所以22||||BA OA BC AB OB AC ⋅+=⋅+ 220BA OA BC AB OB AC ⋅+-⋅-= ,()()()0BA OA BC AC BC AC BA OB BA OA OB BC AC ⋅+⋅-+⋅++⋅++⇒==,所以，所以在边的高所在的直线上，20BA OC ⋅= BA OC ⊥O AB 故选：A8．设，，若函数恰好有三个不同的零点，分别为、()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()y f x a =-1x 、，则的值为（ ）2x ()3123x x x x <<1232x x x ++A ．B ．C ．D ．π34π32π74π【答案】C【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由，得对称轴，()242x k k Z πππ+=+∈()28k x k ππ=+∈Z ，由，解得，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 90288k πππ≤+≤124k -≤≤当时，对称轴，时，对称轴.0k =8x π=1k =58x π=由得，()0f x a -=()f x a=若函数恰好有三个不同的零点，等价于函数与的图象有三个交点，()y f x a=-()y f x =y a =作出函数的图象如图，得，()f x ()0f 1a ≤<由图象可知，点、关于直线对称，则，()()11,x f x ()()22,x f x 8x π=124x x π+=点、关于直线对称，则，()()22,x f x ()()33,x f x 58x π=2354x x π+=因此，.1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、多选题9．若满足，，则可以是（ ）,αβ1sin 2α=-1cos()2αβ-=βA ．B ．C ．D ．6π2π56ππ【答案】AC【分析】利用特殊角的三角函数值求解.【详解】因为，，1sin 2α=-所以或，112,6k k Zπαπ=-+∈2252,6k k Z παπ=-+∈因为，1cos()2αβ-=所以或，332,3k k Zπαβπ-=+∈442,3k k Zπαβπ-=-+∈所以()131322,,2k k k k Zπβπ=-+-∈或，()2323722,,6k k k k Z πβπ=-+-∈或，()141422,,6k k k k Zπβπ=+-∈因为范围不定，,αβ当时，，当时，=，14k k =6πβ=231k k -=β56π故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（ ）a b cA ．，B ．可能成立R λ∃∈()a b a bλ+=⋅ ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ C ．若，则D ．若，则或a b b c ⋅=⋅a c= 1a b ⋅= 1a = 1b = 【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A 选项；利用特例法可判断BCD 选项.【详解】仍是向量，不是向量，A 错；()+a bλ a b ⋅ 不妨取，，，则，()1,1a =()2,2b =()3,3c =()()()43,312,12a b c ⋅⋅==，此时，B 对；()()1212,12a b c a ⋅⋅==()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ 若，，，则，但，C 错；()1,0b = ()3,2a = ()3,3c = 3a b b c ⋅=⋅= a c ≠若，，则，但，，D 错.()2,1a = ()1,1b =- 1a b ⋅= 1a > 1b > 故选：ACD.11．在平面四边形ABCD 中，，，则（ ）2221AB BC CD DA DC ===⋅= 12⋅=BA BC A ． B ．21AC = CA CD CA CD+=-C ．D ．AD = BD CD ⋅=【答案】ABD【分析】根据所给的条件，判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可.【详解】由已知可得，1AB BC CD ===又由，可得，12⋅=BA BC 3B π=所以△ABC 为等边三角形，则 ，故A 正确；21AC = 由 ，得，2CD DA DC =⋅ ()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=所以，则，故B 正确；AC CD ⊥CA CD CA CD+=- 根据以上分析作图如下：由于BC 与AD 不平行，故C 错误；建立如上图所示的平面直角坐标系，则，，，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02C⎛⎫ ⎪⎝⎭12D ⎫⎪⎪⎭，，12BD ⎫=⎪⎪⎭ 12CD ⎫=⎪⎪⎭所以D 正确；BD CD ⋅ 故选：ABD.12．设函数的最小正周期为，且过点，则()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭π下列正确的为（ ）A ．4πϕ=-B ．在单调递减()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．的周期为(||)f x πD ．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为()f x 2π()g x ()2g x x =【答案】BC【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项．【详解】由已知，())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++=++⎥⎦所以，，2T ππω==2ω=又，，又，所以，A错误；()4f x πϕ=+=242k ππϕπ+=+Z k ∈2πϕ≤4πϕ=，时，，由余弦函数性质得B 正确；())22f x x xπ=+=0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,x π∈是偶函数，，周期为，C 正确；()f x (||)()f x f x =π把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数解析式这()f x 2π，D错．()2())22g x x x xππ+=+=故选：BC ．三、填空题13__________.=【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为，()()2220cos 20sin 20cos 20sin 20cos s 0i 2n -=-+，()cos155cos 25cos 4520=-=--，20sin 20=- cos 20sin 20=-==()()cos 20sin 2021cos 20sin 202+==+故答案为：2.14．已知函数在区间上的最小值为-1，则__________．sin (0)y x x ωωω=+>[0,6πω=【答案】5【详解】整理函数的解析式有：，2sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,,,63363x x πππωππω⎡⎤⎡⎤∈∴+∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 函数的最小值为，则：.1-7,5636ωπππω+=∴=15．已知，又在方向上的投影向量为，则的值为__________.||4,||3,6a b a b ==⋅= a b c ()c a b⋅+ 【答案】10【分析】由已知先求出在方向上的投影向量的，再计算的值.a b c ()c a b ⋅+ 【详解】由已知，可得，||4,||3,||||cos 6a b a b a b θ==⋅=⋅⋅= 1cos 2θ=所以在方向上的投影向量，a b 2cos 3b c a bb θ=⋅⋅=所以.()2222263103333c a b c a c b b a b b ⋅+=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= 故答案为：1016．如图，在中，已知，点分别在边上，且ABC ∆4,6,60AB AC BAC ==∠=︒,D E ,ABAC ，点为中点，则的值为_________________.2,3AB AD AC AE == F DE BF DE【答案】4【详解】试题分析：1111()()()()2223BF DE BD DF DA AE AB DE AB AC ⋅=+⋅+=-+⋅-+111113111()()()()246234623AB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+⋅-+=-+⋅-+223113111163646624 4.818381832AB AC AB AC =+-⋅=⨯+⨯-⨯⨯⨯=+-= 【解析】向量数量积四、解答题17．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角的终边与单位圆交于点α，角的终边所在射线经过点.34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭β(,)(0)Q m m m -<（1）求的值；sin tan αβ⋅（2）求.223sin sin 22sin()sin 2sin cos ππαβπαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++【答案】（1）；（2）.4574-【分析】（1）根据三角函数的定义求和的值，即可求解.sin αtan β（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可求解.【详解】（1）点到原点O 的距离，P 11r =由三角函数定义知4sin 5α=-由角的终边所在射线经过点，由知，β(,)m m -0m <|||OQ m =由三角函数定义知，sinβ==cos β==则tan 1β=-所以.4sin tan 5αβ⋅=（2）22223sin sin cos cos 22sin()sin 2sin cos sin sin 2sin cos ππαβαβπαβββαβββ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+++-+21tan tan 2tan αββ=-++由三角函数定义知，，所以且 4sin 5α=-3cos 5α=-4tan 3α=tan 1β=-所以原式.3174124=-+=--18．已知向量．(1,1),(3,1)a b ==-(1)若有，求值；(2)()a b a b λ-⊥+2()a b λ+ (2)若，向量与的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．(2,)c m = 2a b - c 【答案】(1)136(2)6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）根据向量的坐标运算可得，，再由2(5,3)a b -=- (3,1)a b λλλ+=+-代入坐标运算求出，再求即可；(2)()0a b a b λ-⋅+= λ2()a b λ+（2）由向量与的夹角为钝角，首先满足，再排除与的夹角为平角的2a b - c (2)0a b c -⋅< 2a b - c 情况即可得解.【详解】（1）由题可得：，2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-，(1,1)(3,1)(3,1)a b λλλλ+=+-=+-因为，所以有，(2)()a b a b λ-⊥+(2)()0a b a b λ-⋅+= 所以，解得，515330λλ--+-=9λ=-(1,1)(3,1)=(3,1)(6,10)a b λλλλ+=+-+-=--故的值为136．2()a b λ+ （2）2(1,1)2(3,1)(5,3)a b -=--=-向量与的夹角为钝角，2a b -c 首先满足，得：，所以．(2)0a b c -⋅< 3100m -<103<m 其次当与反向时，，所以．(2)a b - c 650m +=65m =-所以且，即m 的取值范围是．103<m 65m ≠-6610,,553⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 19．如图：四边形ABCD 是边长为4的菱形，∠ABC =，E 为AO 的中点，3π（）．CF CD λ=01λ≤≤(1)求；BE BD ⋅ (2)求当取最小值时，的值．EF λ【答案】(1)24(2)38λ=【分析】（1）由平行四边形法则结合数量积公式得出；BE BD ⋅ （2）当时，取到最小值，再由直角三角形的边角关系得出，进而得出的值．EF CD ⊥EF CF λ【详解】（1），BD BA BC =+ 11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=（2）当时，取到最小值，此时EF CD ⊥EF 33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．已知，，．()cos ,5sin m x x = ()sin ,cos nx x x =- ()f x m n =⋅+ (1)将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求的解析式及最小正周期；()f x π3()g x ()g x (2)当时，求函数的单调递增区间、最值及取得最值时的值．,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x ()g x x 【答案】(1)，最小正周期为()π6sin 23g x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭π(2)函数的单调增区间为；的最大值为，此时；的最小值为，()g x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()g x 6π12x =()g x 6-此时512x π=-【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式可得函数，再进行伸()f x 缩平移可得及其图象性质；()g x （2）利用整体代入法可得单调区间，进而得最值.【详解】（1）由已知得，()()cos sin 5sin cos x x x x x f x =⋅-++2cos sin 5sin cos x x x x x =⋅-+⋅+26cos sin x x x =⋅-+1cos 23sin 22x x +=-+3sin 22x x=-．6sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，()f x 3π()g x 所以．()6sin 26sin 2333g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=+-=+⎭⎝⎭所以的最小正周期．()g x 22T ππ==（2）由（1）得，当时，．()6sin 23g x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦242,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦令，解得，2232x πππ-≤+≤51212x ππ-≤≤所以函数的单调增区间为，()g x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以的最大值为，此时，；()g x 6232x ππ+=12x π=的最小值为，此时，．()g x 6-232x ππ+=-512x π=-21．已知函数的部分图像如图所示.()()cos (0,0,)2f x A x a πωϕωϕ=+>><(1)求的解析式；()f x(2)设为锐角，的值.,αβ()cos sin ααβ=+=2f β⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭713-【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式A ωϕ和正弦公式进行化简求解．试题解析：(1)由图可得,ππ3πω2f cos 0,ω88844A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+⇒==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()1A cos ,244A f x x ππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭(2)为钝角，()cos sin αααβαβ==>+=∴+，()()125cos sin sin cos 1313αββαβαβ+==+-===.7cos sin 2413f βπβββ⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析()sin y A x ωφ=+()sin y A x ωφ=+式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小,,A ωφA 值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，ω2T πω=2T 4T φA ω通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.22．已知函数()2sin 23f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求函数的单调区间()f x （2）将函数的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到()f x 6π函数的图象.若对任意的，不等式成立，求实数()h x 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦的取值范围.p【答案】（1）增区间；（2）.5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (,6p ∈-∞+【分析】（1）将函数转化为，然后利用正弦函数的性质求解；()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）根据平移变换和伸缩变换得到，然后将不等式()sin h x x =恒成立，转化为，成立()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求解.【详解】（1），()2sin 23fx x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 2sin 2cos sin cos 2332xx x ππ+=+-，1sin 2222x x x =，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭由于的单调增区间为，，sin y θ=2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 令，，22,2322x k k πππππ⎡⎤-∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 得：，，5,1212x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ∴单调增区间为，.()f x 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），()sin 23πfx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位得，6πsin 2sin 263x xππ⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：，1sin 2sin 2x x ⋅=故，()sin h x x =不等式，()()1122p h x h x h x π⎡⎤⎛⎫⋅-⋅+-<⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦即，()sin 1sin 1sin 22p x x x π⎡⎤⎛⎫⋅-+-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，成立，()()sin 1cos 1sin 2p x x x ⋅--<0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此时，，，()sin 0,1x ∈()cos 0,1x ∈(]sin 20,1x ∈∴，，()()sin 1cos 10x x -->sin 20x >当时，不等式恒成立，0p ≤当时，，0p >()()max sin 1cos 11sin 2x x p x --⎡⎤>⎢⎣⎦令，()()()sin 1cos 1sin 2x x F x x --=sin cos 1cos sin 11cos sin 2sin cos 22sin cos xx x x x xx xx x +----==+设，则，cos sin 4t x x x π⎛⎫=+=+∈⎪⎝⎭22sin cos 1x x t =-则，211113(0,21212t y t t -=+=-∈-+所以，即，132p >06p <<+综上，.(,6p ∈-∞+。
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年辽宁省大连市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数是（ ）()i 12i z =-i z A ．B ．C ．D ．2i -2i+12i+12i-A【分析】结合复数乘法、共轭复数等知识求得正确答案.【详解】.()2i 12i i,2iz z =+==--故选：A 2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）12cos 13α=αtan αA ．B ．C ．D ．125125-512512-D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角，12cos 13α=α所以，5sin 13α==-.sin 5tan cos 12ααα==-故选：D3．若、是空间中两条不同的直线，则的充分条件是（ ）a b a b ∥A ．直线、都垂直于直线B ．直线、都垂直于平面a b l a b αC ．直线、都与直线成角D ．直线、都与平面成角a b l 30°a b α60︒B【分析】根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，都与垂直，可能，A 选项错误.,a b l a b ⊥B 选项，都垂直于平面，则，B 选项正确.,a b αa b ∥C 选项，都与成角，可能相交，C 选项错误.,a b l 30°,a bD 选项，都与平面成角，可能异面，D 选项错误.,a b α60︒,a b 故选：B4．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径，16cm AB =圆柱体的高，圆锥体的高，则这个陀螺的表面积是（ ）8cm BC =6cm CD =A ．B ．C ．D ．2192πcm 2208πcm 2272πcm 2336πcm C【分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【详解】圆柱、圆锥的底面半径为，8cm，10cm =所以陀螺的表面积是.22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=故选：C5．如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，CD AB 高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰12m M B M D A C 角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物15︒60︒A C 30°的高度为（ ）（精确到CD 1m 1.414≈ 1.732≈A ．B ．C ．D ．42m 45m 51m 57mD【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，进而求得.AM CM CD 【详解】在直角三角形中，，ABM 1212sin15,sin15AM AM ︒==︒在三角形中，，ACM 301545,1806015105CAM CMA ∠=︒+︒=︒∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒由正弦定理得,sin 45sin 45sin 30sin 30CM AM AM CM ==⋅︒=︒︒︒在直角三角形中，CDM sin60,sin60CDCD CMCM︒==⋅︒======.363612 1.73257m=+=+⨯≈故选：D6．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A B C D，，，A．若与共面，则与共面AC BD AD BCB．若与是异面直线，则与是异面直线AC BD AD BCC．若==，则AB AC DB，DC AD BC⊥D．若==，则=AB AC DB，DC AD BCD【分析】由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共AC BD A B C D AD，，，是四点共面，则BC面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面AC BD,,,A B C D AD BC直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，A B C D，，，当四点不共面时，取BC的中点M，连接,,,A B C DAM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．7．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，sin 2y x =ϕcos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则的值可以是（ ）ϕA ．B ．C ．D ．12π6π3π23πD【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于的ϕ等式，即可得出结果.【详解】因为，2cos 2sin 2sin 26623y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数sin 2y x =ϕ的图象，()()sin 2sin 22y x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦由题意可得，可得，当时，，()2223k k ππϕ=-∈Z ()3k k πϕπ=-∈Z 1k =23ϕπ=故选：D.8．已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为．且该圆台45︒上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．100π5003π200π7003πB【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积.【详解】由题意，轴截面如下图示，1AE DE ==若球体半径为R ，则，可得.229(1R -=5R =所以该球体积为.3450033R ππ=故选：B 二、多选题9．设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出1z 2z 1OZ 2OZ的是（ ）12OZ OZ ⊥A ．B ．C ．D ．12i z z =122z z =12=z z 1212z z z z +=-AD【分析】A 根据的几何意义判断；B 由即可判断；C 由12i z z =122OZ OZ =即可判断；D 由并结合向量数量积的运算律即可12||||OZ OZ = 1212OZ OZ OZ OZ +=- 判断.【详解】A ：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符12i z z =2OZ 90︒1OZ 12OZ OZ ⊥合；B ：等价于，即共线，不符合；122z z =122OZ OZ =12,OZ OZ C ：等价于，但不一定有，不符合；12=z z 12||||OZ OZ =12OZ OZ ⊥ D ：等价于，两边平方并应用数量积的运算律1212z z z z +=-1212OZ OZ OZ OZ +=-可得，即，符合.120OZ OZ ⋅=12OZ OZ ⊥ 故选：AD10．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）A．B．C．D．ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误.故选：ABC11．下列各式正确的是（）A．B．()()1tan11tan442+︒+︒=12sin10-=︒C．D．23sin7022cos10-=-︒︒)tan70cos102012︒⋅︒︒-=AC【分析】结合三角恒等变换对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，()tan1tan44tan45tan144,11tan1tan44︒+︒︒=︒+︒=-︒⋅︒，tan1tan441tan1tan44︒+︒=-︒⋅︒所以()()1tan11tan441tan1tan44tan1tan44+︒+︒=+︒+︒+︒⋅︒，A选项正确.tan1tan44tan1t211an44︒⋅︒+︒⋅+-︒==B选项，1sin10=︒()()2cos60cos10sin60sin102cos601011sin20sin2022︒︒-︒︒︒+︒==︒︒，B选项错误.cos70sin20444sin20sin20︒︒=⋅=⋅=︒︒C 选项，，C 选项正确.23sin 703cos 203cos 2021cos 203cos 202cos 10222--︒-︒===+︒-︒-︒-︒D选项，)sin 70tan 70cos10201cos101cos 70⎫︒︒⋅︒⋅︒-=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒cos10︒，D 选项错误.()sin 20301sin10︒-︒===-︒故选：AC12．已知函数在区间上单调，且满足()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭有下列结论正确的有( )73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若，则函数的最小正周期为；()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x πC ．关于x 的方程在区间上最多有4个不相等的实数解()1f x =[0,2)πD ．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为()f x 213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ω8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦ABD【分析】A ：在上单调，，，故()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=；203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ：求出区间右端点关于的对称点，由题可知在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=()f x 上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭知是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭512x π=倍即可求出ω，从而求出其周期；()214k k +∈Z C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，据此即可求ω的范围.213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 【详解】A ，∵，∴在上单调，又7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 73,124ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴，故A 正确；73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73212423πππ+=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，区间右端点关于的对称点为，∵，f (x )在75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭56x π=23x π=2x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知在上单调，∴75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭为的最小正周期，即3，又，∴.若512(62322T T ππππω-==⋅ ()f x )ω0>ω03ω< ，则的图象关于直线对称，结合，得()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 512x π=203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即，故()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ()42k k ω=+∈Z k ＝0，，故B 正确.2,T ωπ==C ，由，得，∴在区间上最多有3个完整的周期，而03ω< 23T π()f x [)0,2π在1个完整周期内只有1个解，故关于的方程在区间上最多()1f x =x ()1f x =[)0,2π有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由知，是函数在区间，上的第1个零点，而在203f π⎛⎫=⎪⎝⎭23π()f x 23π⎡⎢⎣136π⎫⎪⎭()f x 区间上恰有5个零点，则，结合，得，213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13252632T T ππ<- 2T πω=81033ω< 又，∴的取值范围为，故D 正确.03ω< ω8,33⎛⎤⎥⎝⎦故选：ABD.本题综合考察的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，()()()sin 0f x x ωϕω=+>解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的倍.()214k k +∈Z 三、填空题13．函数的最小正周期为___________.()tan2xf x =2π直接由正切函数的周期公式可得答案.【详解】.212T ππ==故答案为.2π14．如图，在正四棱柱中，，是棱的中点，异面直1111ABCD A B C D-1AB =E BC 线与所成角的余弦值为，则______．1AB 1CE m m=127-【分析】作辅助线，根据异面直线的定义找到与所成角，解三角形即可求得1AB 1C E 答案.【详解】在正四棱柱中，连接 ,1111ABCD A B C D-1DC 则由于四边形是平行四边形，故 ,1111,AD B C AD B C =∥11AB C D 11AB DC ∥故异面直线与所成角即为与所成角,1AB 1C E 1DC 1C E 即即为异面直线与所成角或其补角，1DC E ∠1AB 1C E 设,则所以 ,12AA=1AB ==112,4CC DC ====1DE C E ===所以,1cos DC E ∠==故异面直线与所成角的余弦值为，则1AB 1C E m m =15．已知函数不是常数函数，且函数满足：定义域为，的图象关于()f x ()f x R ()f x 直线对称，的图象也关于点对称．写出一个满足条件的函数2x =()f x ()1,0______．（写出满足条件的一个即可）()f x （答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭【分析】根据对称性确定正确答案.【详解】依题意，不是常数函数，定义域为，()f x R 图象关于直线对称，也关于点对称，2x =()1,0所以符合题意.()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭故（答案不唯一）()ππsin 22f x x ⎛⎫- ⎝=⎪⎭16．如图，四边形为正方形，平面，，若ABCD AG ⊥ABCD ////AG DF CE ，，，则______．3AG AB ==2DF =1CE =:B EGD G BEF V V --=22:1【分析】将几何体补全为正方体，由、G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGA V V V V V V ------=----求出体积，即可得结果.B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABD V V V V V V ------=----【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，G BEF ABCD GIHJ G HEBJ G HIFE B CDFE B DFGAV V V V V V ------=----111111112735333333335332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.3=B EGD ABCD GIHJ G HEBJ G HIDE E BCD G ABDV V V V V V ------=----111111112735335313333332323232=-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯.6=所以.:2:1B EGD G BEF V V --=故2:1四、解答题17．已知向量，．()1,2a =(),3b x =(1)若，求的值；()3a b b -⊥ x (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围．a b x(1)；x =(2)或.362x -<<32x >【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标3(3,3)a b x -=- 表示即可求参数值；（2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x 值即可.60a b x ⋅=+> a b【详解】(1)由题设，，又，3(3,3)a b x -=- ()3a b b-⊥ 所以，即，(3)90x x -+=2390x x --=可得.x =(2)由题设，，即，60a b x ⋅=+>6x >-当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角a b a b λ= 0λ>132x λλ=⎧⎨=⎩32x =a b 为锐角，综上，或.362x -<<32x >18．如图1，菱形中，，，垂足为点，将沿翻折ABCD 60A ∠=︒DE AB ⊥E AED DE 到，使，如图2．A ED ' A E BE '⊥(1)求证：平面；A E '⊥EBD (2)在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求的值；若不存A D 'F EF ∥A BC 'DFFA '在，说明理由．(1)证明见解析；(2)存在，.1DFFA ='【分析】（1）推导出，由此能证明平面.,,DE AE A E DE A E BE ⊥⊥⊥''A E '⊥BCDE（2）分别取的中点，连接，推导出四边形是平行,A D A C '',F M ,,EF FM BM EBMF 四边形，，从而在线段上存在一点，使平面，且.//EF BM A D 'F //EF A BC '1DFFA ='【详解】(1)在菱形中，，ABCD ,DE AB DE AE ⊥∴⊥ ，,,A E DE A E BE DE BE E ''∴⊥⊥⋂= 平面.A E '∴⊥EBD (2)在线段上存在一点，使平面.A D 'F EF //A BC '理由如下：分别取的中点，连接，,A D A C '',F M ,,EF FM BM 为的中位线，，且，FM A DC 'FM DC ∴∥12FM DC =在菱形中，，且，ABCD EB DC ∥12EB DC=，且四边形是平行四边形，，FM EB ∴∥,FM EB =∴EBMF EF BM ∴∥平面平面，EF ⊄ ,A BC BM '⊂A BC '平面，EF ∴ A BC '为中点，F A D '.1DFFA ∴'=19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数O ()sin cos f x a x b x =+(),a M b O =的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．()f x ()f x OM (1)若向量为的相伴特征向量，求实数的值；()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭λ(2)记向量的相伴函数是，求在的值域．()5,12m =()f x ()f x 20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(1)(2)⎤⎥⎦【分析】（1）根据已知相伴特征向量的定义可得，即可求解；()2sin 2cos h x x x =+（2）根据相伴函数的定义结合三角恒等变换得到函数的解析式，利用正弦型函数()f x 的性质求解值域即可.【详解】(1)解：因为向量为的相伴特征向量，()2,2m =()sin 4h x x πλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则，()sin 2sin 2cos 44h x x x x x ππλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.λ=(2)解：因为向量的相伴函数是()5,12m =，()5125sin 12cos 13sin cos 1313f x x x x x ⎛⎫=+=⨯+ ⎪⎝⎭设，则，512cos ,sin 1313θθ==sin 1θ<<32ππθ<<所以，()13sin()f x x θ=+当时，，20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,3x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦当时，函数有最大值为13，2x πϕ+=()f x 当时，即，函数有最小值为23x πϕϕ+=+23x π=()f x，222()5sin 12cos 333f πππ=⨯+⨯=故函数的值域为.()f x ⎤⎥⎦20．如图，在直三棱柱中，，且111ABC A B C -AC BC ⊥AC ==BC ，是棱的中点，是棱上的点，满足．12AA AB=D 1BB E 1CC 15CE EC =(1)证明：平面；AD ⊥1A DE (2)求直线与平面所成角的正弦值．AE 1ABB (1)证明见解析【分析】（1）先根据数量关系证明线线垂直，然后可得线面垂直；（2）先求解到平面的距离，然后根据线面角的定义求解正弦值.E 11ABB A【详解】(1)证明：因为，且;AC BC ⊥AC ==BC 3AB =因为，所以；12AA AB =16AA =因为是棱的中点，所以，D 1BB 1AD A D ==因为，所以；22211AD A D AA +=1AD A D ⊥因为，，所以；15CE EC =16AA =11,5C E CE ==在直角梯形中，，所以.11C B DE 11B C =13B D =DE =在直角三角形中，，所以ACE AC ==5CE AE 因为，所以.222AD DE AE +=AD DE ⊥由，，且，所以平面.1AD A D ⊥AD DE ⊥1=A D DE D ⋂AD ⊥1A DE (2)在直角三角形中，作于，如图，ACB CH AB ⊥H由等面积法可得；CH 由直棱柱的性质可得，所以平面;1AA CH ⊥CH ⊥11ABB A因为平面，所以到平面，1//CC 11ABB A E 11ABBA 设直线与平面所成角为，则AE 1ABB θsinθ==21．已知平面四边形中，，，．ABCD AB AD =AB AD ⊥AC =1BC =(1)若，求四边形的面积；56ACB π∠=ABCD (2)若记，．()0ACB θθπ∠=<<()CD f θ=①求的解析式；()f θ②求的最小值及此时角的值．CD θ(2)①②，此时．()f θ=CD 14πθ=【分析】（1）由余弦定理求得，，继而得，，根据三AB =cos CAB ∠sin DAC ∠AD 角形的面积公式可求得答案；（2）①由余弦定理求得，再由正弦定理求得，继而得，AB sin CAB ∠cos DAC ∠，根据余弦定理可求得；AD ()f θ②由角的范围和正弦函数的性质可求得的最小值及此时角的值．CD θ【详解】(1)在中，，，所 以ABCAC=1BC =56ACB π∠=，222+2cos AB AC CB AC BCACB =-⋅∠即，所以2225+11cos6AB π=-⨯AB =所以，222cos 2CA AB BCCABCA AB +-∠===⋅又，，所以AB AD =AB AD ⊥sin DAC ∠=AD AB ==所以，151sin 26ABC S π=⨯=19sin 24ADC S DAC =∠= 所以四边形ABCD (2)①在中，，，所 以ABC AC =1BC =ACB θ∠=，222+2cos AB AC CB AC BC θ=-⋅即，所以，222+11cos AB θ=-⨯24AB θ=-又，所以sin sin AB CB CAB θ=∠sinCAB ∠=又，，所以AB AD =AB AD⊥co s DAC ∠=，224A AB D θ=-=所以2222+cos AD AC CD AD AC DAC-⋅=∠4+3θ=--，7+4πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以；()CD f θ==②因为，所以，0θπ<<5444πππθ<<+所以当，即时，，42ππθ=+4πθ=min 14CD f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以，此时．CD 14πθ=关键点睛：本题主要考查运用正弦定理、余弦定理解三角形，关键在于运用正弦定理 、余弦定理表示其边和角得的解析式.()f θ22．如图，在四棱锥中，，底面为正方形．记直线S ABCD -SAB SAD∠=∠π2≤ABCD 与平面所成的角为．SA ABCD θ(1)求证：平面平面；SAC ⊥SBD (2)若二面角的大小为，求的值；B SA D --2π3cos θ(3)当时，、中点为，，点为线段上的动点（包括端点），π2θ=SB BC M N P CD ，二面角的大小记为，求的取值范围．2SA AB =M NP A --αtan α(1)证明详见解析(3)2⎤⎦【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.BD ⊥SAC SAC ⊥SBD （2）判断出直线与平面所成的角，解直角三角形求得.SA ABCD θcos θ（3）作出二面角的平面角，结合三角函数值域的求法，求得的取值M NP A --tan α范围.【详解】(1)连接，交点设为，连接.,AC BD O SO 依题意可知，所以，SAB SAD ≅ AB SD =所以三角形中，，SBD SO BD ⊥由于，,BD AC AC SO O ⊥⋂=所以平面，BD ⊥SAC 由于平面，BD ⊂SBD 所以平面平面.SAC ⊥SBD (2)过作，垂足为，连接，B BK SA ⊥K DK 由已知，得，SAB SAD ≅ DK SA ⊥所以是二面角的平面角，BKD ∠B SA D --所以.2π3BKD ∠=设正方形的边长为，则，ABCD a BD =所以，,BK DK AK ===由于，,,DK SA BK SA DK BD K ⊥⊥⋂=所以平面，则.SA ⊥DKB SA KO ⊥过作，垂足为，S SE AC ⊥E 由于平面，所以，BD ⊥SAC BD SE ⊥由于，所以平面，AC BD O = SE ⊥ABCD 所以，即是直线与平面所成角.SAC θ∠=SAC ∠SA ABCD 在中，，Rt AKOAO =所以cos AK AO θ==(3)取中点，过作，垂足为，连接，AB Q Q QR NP ⊥R ,MQ MR 则为二面角的平面角，即，MRQ ∠M NP A --MRQ α∠=则，tan MQ QR α=由已知，设正方形的边长为，则，=MQ AB ABCD a MQ AB a ==在正方形中，设，ABCD PNC β∠=，当时，在三角形中，QN =π,arc tan 24PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR ，3π3ππarc tan 2,442QNR β⎡⎤∠=-∈-⎢⎥⎣⎦()()3π3π3πsin arc tan 2sin cos arc tan 2cos sin arc tan 2444⎛⎫-=- ⎪⎝⎭==，3πsin 4β⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦.3πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.tan MQ QRα==当时，在三角形中，，π0,4PNC β⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦QNR πππ,442QNR β⎡⎤∠=+∈⎢⎥⎣⎦，.πsin 4β⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦πsin 4QR QN β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.tan 2MQQRα⎤==⎦综上所述，的取值范围是.tanα2⎤⎦。
辽宁省铁岭市开原市第二高级中学2021届高三第一次模拟考试数学试题 Word版含答案
2020-2021学年度（上）高三第一次模拟考试数学试卷（满分150分 时间120分钟）一、单选题:每小题5分，共40分.1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2D ．{}2,32．设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“x A ∀∈，2x B ∉”的否定是 （ ) A ． x A ∃∈，2x B ∈ B ．x A ∃∉，2x B ∈ C ． x A ∀∉，2x B ∉D ．x A ∀∉，2x B ∈3．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则(3)f -的值为（ ） A ．7B ．1C ．1-D ．12-4．函数21()f x x x=+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．35．已知0.130.2log 0.2,log 0.3,10,a b c ===则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．已知0x >,0y >,且191x y+=,则xy 的最小值为（ ） A ．100B ．81C ．36D ．97．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感 染病例数增加1倍需要的时间约为（ ） A ．天 B ．天 C ．天D ．天8．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞二、多选题: 每小题5分，共40分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A ．“5a <”是“3a <”的必要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件C ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件10．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( ) A ．0a > B ．0c > C ．0a b c ++>D ． 0a b c -+>11．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=； ②对于定义域上的任意12,x x ，当12x x >时，恒有1212()()0f x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”。
2021-2022年高一下学期第一次月考数学试题 含答案
2021年高一下学期第一次月考数学试题 含答案一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1．已知半径为2的扇形面积为，则扇形的圆心角为 。
2．若，则 。
3．设a<0,角的终边经过点P(-3a,4a),那么= 。
4. 若,则=++αααα22cos 3cos sin 2sin 。
5．若为第一象限角，那么, ,,中必定是正值的是 。
6．函数的值域是 。
7．在ABC 中，已知，则这个三角形的形状是 。
8．如图，E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则 。
9．化简：若，则=-++αα2sin 12sin 1 。
10．已知等腰三角形顶角的正弦为，则底角的余弦值为 。
11．在△ABC 中，A,B,C 分别为a,b,c 三条边的对角，如果b=2a,B=A+60o,那么∠A= 。
12．若是三角形的一个内角，且函数6sin 4cos 2+⋅-⋅=x x y θθ对任意实数均取正值，那么所在区间是 。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。
13．命题p:“α是第二象限角”，命题q:“α是钝角”，则命题p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14．若0cos sin 1cos 1sin 22=-+-ββββ，则以下结论正确的是（ ） A ．sin<0且cos>0 B ．sin>0且cos<0 C ．tan<0D ．tan>0 15．设，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则a 与b 的大小关系为（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定三、解答题（本题满分48分，解答本题必须写出必要步骤）17．(本题满分8分)化简：)2sin()23cos()sin()cos()2cos()2sin(απαπαπαπαπαπ--⋅-++-⋅+。
东北三省三校2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题含答案解析
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i - D.1i+3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A .3- B.3C.13D.13-4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.235.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55B.70- C.30D.25-6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A.9πB.36πC.4πD.4π37.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C .若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP=D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是311.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.14.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.18.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求M N ⋂即可.【详解】由对数函数的性质可得：不等式()2log 212x -≤成立，需要满足202124x <-≤=，解得1522x <≤，即15(,]22N =，且{}1,2M =，则M N ⋂={}1,2M =，故选：C.2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i -+B.1i --C.1i- D.1i+【答案】A 【解析】【分析】先由i 1i z ⋅=-，得到1iiz -=，利用复数的除法运算法则求出z ，进而求出复数z 即可.【详解】由于i 1i z ⋅=-，得1i (1i)(i)1i i i (i)z --⋅-===--⋅-，则1i z =-+，故选：A.3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A.3- B.3C.13D.13-【答案】B 【解析】【分析】借助奇函数的性质计算即可得.【详解】()()383f f =-=--，故()38f -=，故()()23383af -=-+=-，解得3a =.故选：B.4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】先求直线AB 的斜率，再求过左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程，求出点D 的坐标后，由关系式2OD DB =得出关于,,a b c 的方程，化简即可.【详解】由椭圆C ：22221x y a b +=的方程可得：(,0),(0,),(,0)A a B b F c --，其中c =则00()AB b b k a a-==--，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程为：()by x c a=+，将0x =代入该直线方程，可得点D 的坐标为(0,bca，若2OD DB = ，则23bc b a =，得23c a =.故选：D.5.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55 B.70- C.30D.25-【答案】C 【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()5x y -，有()()55155C 1C k kk k k k kk T x y x y --+=-=-，令2k =，有()2252232351C 10T x y x y -=-=，令3k =，有()3353323451C 10T x y x y -=-=-，则()32233221101030x x y x y x y y ⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，故()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为30.故选：C .6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A .9πB.36πC.4πD.4π3【答案】B【解析】【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.【详解】如图，设P 在底面ABCD 的射影为H ，则PH ⊥平面ABCD ，且H 为,AC BD 的交点.因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且12AH =⨯=，故1641633PH ⨯⨯=，故4PH =.由正四棱锥的对称性可知O 在直线PH 上，设外接球的半径为R ，则4OH R =-，故()2284R R =+-，故3R =，故正四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为4π936π⨯⨯=，故选：B.7.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】B 【解析】【分析】求导()222e2e xx f x a -'=+-，令()()222e 2e 0x x g x a x -=+-≥，利用导数判断函数()g x 的单调性，再由a 分类讨论即可得解.【详解】由()22e e xx f x ax -=--，得()222e 2e x x f x a -'=+-，令()()222e2e 0xx g x a x -=+-≥，则()224e4e xx g x -'=-，因为函数224e ,4e x x y y -==-在[)0,∞+上都是增函数，所以函数()224e4e xx g x -'=-在[)0,∞+上是增函数，所以()()00g x g ''≥=，所以函数()222e2e xx g x a -=+-在[)0,∞+上是增函数，所以()()min 04f x f a ''==-，当4a ≤时，()222e2e 40xx f x a a -'=+-≥-≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，满足题意；当4a >时，则存在()00,x ∈+∞，使得()00f '=，且当[)00,x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以()()000f x f <=，故()0f x ≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围是(],4∞-.故选：B.8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1a >，1b <，1c <，即可得a b >，a c >，再比较b 与c 的大小关系，借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】10331ee a >==，11ln110b =<，ln 2.2110c =<，故a b >，a c >，要比较11ln 10与ln 2.210的大小，即比较1011ln 10⎛⎫ ⎪⎝⎭与ln 2.2的大小，等价于比较()101.1与2.2的大小，等价于比较()91.1与2的大小，又()()()()98441.1 1.1 1.1 1.1 1.21 1.1 1.2=⨯=⨯>⨯()()221.1 1.44 1.1 1.4 1.11.962=⨯>⨯=⨯>，故()91.12>，即11ln2.2ln 1010>，即b c >，故c b a <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与c 的大小关系，可借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C.若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n 项和公式逐项分析判断即得.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，对于A ，374a a +=，1937989(1)9()22S a a a a ++===，A 正确；对于B ，11515815()1502a a S a +=>=，则80a >，116168916()8()02a a S a a +==+<，则890a a +<，980a a <-<，因此22898989()()0a a a a a a -=+-<，即2289a a <，B 错误；对于C ，5634122()()17a a a a a a +=+-+=，则675483252()()a a a a a a +=++=-，C 正确；对于D ，设{}n a 的公差为d ，由810a S =，得1171045a d a d +=+，解得1938d a =-，则9111189369()019S a d a a =+=->，1011815(2)038S a a =-<，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP= D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是3【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出()1,0F 及准线方程，由抛物线定义得到PF PA =，当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到PQ PF ≥；C 选项，求出()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，求出直线PF 的方程，得到81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求出23QF FP = ；D 选项，得到PF PQ =，由抛物线定义得到点Q 与点A重合，由等边三角形的性质结合2WF =得到4PQ PF ==，从而求出点P 的横坐标.【详解】A 选项，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，设准线与x 轴交点为W ，过点P 作PA ⊥抛物线C 的准线，垂足为A ，由抛物线定义可知，PF PA =，则PQ PF PQ PA +=+，故当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，显然，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，最小值为1OW =，故2PQ PF PA +=的最小值为2，A 正确；B 选项，由A 选项知PQ PA PF ≥=，当点Q 与点A 重合时，等号成立，故B 正确；C 选项，当点P 的纵坐标为4时，令24y x =中的4y =得，4x =，故()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，直线PF 的方程为014041y x --=--，即4340x y --=，4340x y --=中，令=1x -得83y =-，故点81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时()82,,3,43QF FP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时23QF FP =，C 错误；D 选项，若PQF △是等边三角形，则PF PQ =，因为PF PA =，所以PA PQ =，即点Q 与点A 重合，则PQ ⊥y 轴，则π3PQF QFW ∠=∠=，又2WF =，则224πcos3WFQF ==⨯=，所以4PQ PF ==，故点P 的横坐标是413-=，D 正确；故选：ABD11.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD 【解析】【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A B C D →→→，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为11112228⨯⨯=，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于1553=步，可能顺时针A D →走5步概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可能逆时针A D →走3步概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭，或者逆时针A D →走5步，即概率为31313C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率概率为1131832324++=，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A H G F E D →→→→→，概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以逆时针走5步，概率为51515C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率为153532321632+=≠，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为2116677C C C 7232++=，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据面积公式和数量积的定义可求tan A =，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.【详解】因为22ABC S AB AC=⋅△，故1sin cos 2AB AC A AC A = ,故tan A =，故A为锐角，故sin 3A =，132=，故答案为：3.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AB ⊥，又四边形ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AP AB AD分别为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且2PA AB ==，则()0,0,2D ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，又M 是线段PB 的中点，则()1,1,0M ，则()1,1,2DM =- ，()2,0,0AP = ，则6cos ,626AP DM AP DM AP DM ⋅==⋅，设异面直线DM 与PA 所成角为θ，即6cos cos ,6AP DM θ=<>=，则230sin 1cos 6θθ=-=，所以sin tan 5cos θθθ==，即异面直线DM 与PA 5.514.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.【答案】274【解析】【分析】求出圆心()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，和()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，利用垂径定理得到AB =，表达出ABC S =，换元后得到面积的最大值.【详解】()2249x y -+=的圆心()4,0M ，半径为3，则()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，解得297k <，()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，AB =，故12ABCS AB h =⋅==t =，由于3d =<，故34t <，则6ABCS === ，当328t =时，ABC S取得最大值，最大值为274=.故答案为：274四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）22y x =+（2）单调递减区间为π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z 【解析】【分析】（1）先求原函数的导函数，再求出0x =处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；（2）求()f x 的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式()0f x '≤的解集即可.【小问1详解】由于()sin 22cos f x x x =+，其导函数为：()2cos 22sin f x x x =-'，得：()02f '=，()02f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()220y x -=-，即22y x =+；【小问2详解】由于()2cos 22sin f x x x =-'，得：()()()22212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x =--=-+-'，若()0f x '≤，则()222sin sin 10x x -+-≤，即()()22sin 1sin 10x x --+≤，由于1sin 1x -≤≤，则sin 10x +≥，只需1sin 2x ≥即可，解得π5π[2π,2π66x k k ∈++，k ∈Z ，故()f x 的单调递减区间为：π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z .16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DB =，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出11DD =，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒ ，60DAB ∴∠=︒.4DA = ，8AB =，由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=，DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥，又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，且1DA DD D = ，DB ∴⊥平面11ADD A ，又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥.【小问2详解】四棱台中1111ABCD A B C D -的体积为2833，(111113ABCD A B C D V S S ∴=++，(11111283133DD AD DB A D D B ∴=⋅⋅⋅+⋅+，1133DD ∴=⋅⋅11DD =.如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()4,0,0A，()0,B，()4,C -，()10,B ，()4,0,0BC ∴=-，()10,BB =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则有140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(0,1,n = 平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ，则cos cos ,13m nm n m n θ⋅====.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）甲班（2）25，35（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则需要求()P A B 和()P A B ，而这需要先求()P B A 和()P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，最后用贝叶斯公式求解即得；（3）先求出X 的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得X 的分布列.【小问1详解】由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.【小问2详解】由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分；乙班中有34的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则()12P A =，()12P A =，()12P B A =，()34P B A =，()()()()()()()1131522428P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅=⨯+⨯=()()()()()()11222558P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====()()()()()()13324558P A P B A P AB P A B P B ⨯====所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为25，35.【小问3详解】依题X 的所有可能取值为0，1，2，3()3064310C C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===()1264310C C 32C 10P X ===，()0364310C C 14C 30P X ===所以X 的分布列为：X123P161231013018.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析（3）3⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）设出M 、N 两点坐标，借助点差法计算即可得；（2）联立直线与双曲线方程，可得与M 、N 两点坐标有关韦达定理，通过计算0EM EN ⋅=即可得MEN 为直角三角形；（3）设直线AB 方程为：x my n =+，()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，结合题意计算可得()()()()22222244554545332331x y xy x x y y λλλ-+-+-=+，又224430x y -= ，225530x y -=，可得()245453132x x y y λλ+-=，联立直线AB 与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得()222316312n m λλ+-=-，结合面积公式计算即可用λ表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.【小问1详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x +=，126y y +=，M ，N 两点在双曲线C 上，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩①②，由①－②得22221212220x x y y a b ---=，即2221222212y y b x x a -=-，()()()()2121221212y y y y b x x x x a+-∴=+-，22OQ MNb k k a ∴⋅=，即2213b a∴⋅=，223b a ∴=，又1a = ，23b ∴=，∴双曲线C 的方程为：2213yx -=；【小问2详解】由已知可得，直线MN 的方程为：()311y x -=⋅-，即2y x =+，联立22222470330y x x x x y =+⎧⇒--=⎨--=⎩，1656720∆=+=>，则122x x +=，1272x x =-，()()()()112212121,1,11EM EN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()12121212112225x x x x x x x x =--+++=+++722502⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，EM EN ∴⊥，EMN ∴△为直角三角形；【小问3详解】由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+，设()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，AP PB λ=，()()34345353,,x x y y x x y y λ∴--=--，()()4533453345345311x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+∴⇒⎨⎨-=-+⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，点P 在双曲线C 上，22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴-=，()()()2224545331x x y y λλλ∴+-+=+，()()()()22222244554545332331x y x y x x y y λλλ∴-+-+-=+③，又224430x y -= ，225530x y -=，()()245452331x x y y λλ∴-=+，()245453132x x y y λλ+∴-=④，联立()222223031630x y m y mny n x my n⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，()2222231033Δ3612310m m m n n m ⎧-≠⎪⇒≠±⎨=-->⎪⎩，452631mn y y m -+=-⑤，2452331n y y m =-⑥，A ，B 分别在第一象限和第四象限，450y y ∴<，2310m ∴-<，由④式得：()()()245453132my n my n y y λλ+++-=，()()()22245453131332m y y mn y y n λλ+∴-+++=⑦，将⑤⑥代入⑦得：()()2222223136313331312n mn m mn n m m λλ+--++=--，()222316312n m λλ+-∴=-，12132323sin 2433AOB S OA OB AOB y y ∴=⋅⋅∠=⋅⋅⋅⋅△212231n y y m ===-()231122λλλλ+⎫==++⎪⎭令()1h λλλ=+，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数性质可得()h λ在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,2上单调递增，()102,3h λ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，433AOB S ∴∈⎦△.【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用λ表示出该三角形面积，难点在于计算.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）2；（ⅱ）9841【解析】【分析】（1）借助二进制的定义计算可得()()832S n S n +=+，()()432S n S n +=+，即可得证；（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出()260111100=，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从1n =到511n =中，()0I n =、()1I n =、L ，()9I n =的个数，即可得()51112I n n =∑.【小问1详解】32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0183112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0143112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，()()8343S n S n ∴+=+；【小问2详解】（ⅰ）()54321260321684121212120202111100=+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()602I ∴=，（ⅱ）()021121=⨯=，()8765432102511121212121212121212111111111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故从1n =到511n =中，()0I n =有()21、()211、L 、()2111111111共9个，()1I n =有111128C C C ++⋅⋅⋅+个，由11121289C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有29C 个()2I n =有222238C C C ++⋅⋅⋅+个，由22232389C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有39C 个……，()9I n =有89891C C ==个，()511021329899912922C 2C 2C I n n ==⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑11223399999922222C C C C ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=001122339999999C C C C C 2222212⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=()912198412+-==.【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到()021121=⨯=，()2511111111111=，通过组合数的计算得到()0I n =、()1I n =、L 、()9I n =的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.。
辽宁省部分高中2023届高三下学期普通高考模拟考试(一)数学试题
f
x
f
y
f
xy
1
xy
，且
f
1 2
1
．当
x 0,1 时， f x 0 ，则（ ）
A． f 0 0
B． f x 是偶函数
C． f x 为增函数
D．当
xn
0 ，且
xn1
2 xn2
xn
1
，
x1
1 2
时，
f
xn
2n1
三、填空题 13．为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，小明分别计算了甲、乙、
设点 D 为 AC 的中点，连接 BD ， BC ．则
|
AD |
T
1，|
BD
|
2
| OA |
2a sin(0
π )
3a ．
2
3
因为 VABC 是等腰直角三角形，
所以 | AD || BD | ，
所以 a 3 3
故选：C.
7．D
【分析】设 A(x0 , y0 ) ， B x1, y1 ，则 D x1, y1 ，将点 A, B 的坐标代入椭圆方程作差得到
为
1 4
，求点
B
到平面
AB1E
的距离．
21．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1，a
0,b
0 的一条渐近线方程是 x 2 y
0 ，坐标原点
试卷第 4 页，共 5 页
到直线 AB 的距离为 2 5 ，其中 Aa, 0 ， B 0, b ． 5
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)过点 D 2,1 直线 l 与双曲线 C 交于 M，N 两个不同的点，过 M 作 x 轴的垂线分别交
2023-2024学年辽宁省名校联盟高一下学期7月期末数学试题(含答案)
2023-2024学年辽宁省名校联盟高一下学期7月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果复数z 满足：z +|z |=2+4i ，那么z =( )A. −3+4iB. 3+4iC. −5+4iD. 5+4i2.已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a−b |，则a +b 在b 上的投影向量为( )A. −bB. bC. 12bD. −12b3.设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面命题中正确的是( )A. 若m//α，α//β，n ⊂β，则m//n B. 若m//n ，m//α，n//β，则α//βC. 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αD. 若l ⊥β，m ⊥β，m ⊥α，则l ⊥α4.如图，在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，所有棱长都相等，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则异面直线DF 与C 1E 所成角的余弦值是( )A.1910B. ±910C. −910D. 9105.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内按正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin6∘的近似值为( )(π取近似值3.14)A. 0.314B. 0.157C. 0.105D. 0.0526.在ΔABC 中，若sin C ⋅sin B =cos 2A2，则ΔABC 是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中A′C′//O′B′，B ′C ′⊥O ′B ′，A′C′=1，O′B′=2，则以原四边形AOBC 的边AC 为轴旋转一周得到的几何体的体积为( )A. 142π+8πB. 1423πC. 323πD. 403π8.二面角α−m−β的平面角的大小为90∘，A ，B 为半平面α内的两个点，C 为半平面β内一点，且AC =BC =2 3，若直线BC 与平面α所成角为30∘，D 为BC 的中点，则线段AD 长度的最大值是.( )A.21B.19C.3 72D.302二、多选题：本题共3小题，共15分。
精品解析：辽宁省教研教改联合体2025届高三第一次调研考试数学试题(解析版)
辽宁省教研教改联合体2025届高三第一次调研考试数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{}2|1B x x =>，则()R A B =I ð（）A.{}2,1,0,1-- B.{}1,0,1- C.{}2,2- D.{}1,1-【答案】B 【解析】【分析】根据补集结合一元二次不等式求B R ð，再根据交集运算求解.【详解】因为{}2|1B x x =>，则{}{}2|1|11x x x B x =≤=≤-≤R ð，所以()R A B =I ð{}1,0,1-.故选：B.2.已知复数13i1iz +=-的实部为()2,i 2i a z =+的虚部为b ，则()1i z a b =++在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的除法得到1z ，从而得到实部a 的值，由复数的乘法得到2z ，从而得到虚部b 的值，从而得到z ，得到对应的点，得到所在象限.【详解】()123i 3i 1i12i,i 2i 12i 1i 1i 1iz z +++==⋅=+=+=-+--+，所以1,2a b ==，所以13i z =+，其在复平面内的对应点为()1,3，位于第一象限．故选：A ．3.设a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据向量数量积分析可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ，可得22a b = ，即a b = ，可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b =，若a b = 或a b =- ，可得a b =，即()()0a b a b +⋅-= ，可知必要性成立；若()()0a b a b +⋅-= ，即a b =，无法得出a b = 或a b =- ，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b = ，但a b ≠ 且a b ≠- ，可知充分性不成立；综上所述，“()()0a b a b +⋅-=”是“a b ≠ 且a b ≠- ”的必要不充分条件.故选：B.4.下列结论正确的是（）A.已知一组样本数据1x ，2x ，…，n x (12n x x x <<⋯<)，现有一组新的数据122x x +，232x x +，…，12n nx x -+，12n x x +，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大B.已知具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4C.50名学生在一模考试中的数学成绩()2~120,X N σ，已知(140)0.2P X >=，则[]100,140X ∈的人数为20人D.已知随机变量1~,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()316E X +=，则5n =【答案】D 【解析】【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A ；利用贺归直线过样本中心点，可求m ，可判断B ；可求得(100140)0.6P X ≤≤=，进而可判断C ；由已知得(31)1E X n +=+，计算可判断D.【详解】对于A ：新数据的总和为23112123222n n x x x x x x x x x x ++++++=++++ ，与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变，因为12n x x x <<⋯<，而1112121()0222n n n n n x x x x x xx x x x --+-+-+---=<，即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小，说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A 错误；对于B ：因为回归直线方程ˆ0.3yx m =-必经过样本中心点(,2.8)m ，所以0.3 2.8m m -=，解得4m =-，故B 错误；对于C ：因为一模考试中的数学成绩2(120,)XN δ ，(140)0.2P X >=，所以(120140)0.3P X ≤≤=，所以(100140)0.6P X ≤≤=，所以[100,140]X ∈的人数为0.65030⨯=人，故C 错误；对于D ：因为1(,3X B n ，所以1()3E X np n ==，(31)3()116E X E X n +=+=+=，解得5n =，故D 正确.故选：D.5.已知双曲线22:1,3y C x O -=为坐标原点，若直线2y x =+与双曲线C 的两条渐近线分别交于点,A B ，则OAB 内切圆的半径等于（）A.1- B.2 C.2 D.1-【答案】C 【解析】【分析】求出渐近线方程，与直线2y x =+联立，求出点,A B 的坐标，求出OAB 的三边长，及点O 到直线2y x =+的距离d ，利用等面积法即可求解OAB 内切圆的半径.【详解】双曲线22:13y C x -=的渐近线方程为b y x a =±=，联立方程2y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩同理联立2y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得13x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，不妨设(1,3,1AB +--，则))21,21,OA OB AB ===，点O 到直线2y x =+的距离d ==设OAB 内切圆的半径为r ，则有()1122OAB S AB d OA OB AB r =⋅=++ ，即))2121r ⎡=+++⎣，解得2r =.故选：C6.已知函数()ln e x xf x =的极值点为0x ，则010e ln x x =（）A.2eB.2C.1eD.1【答案】D 【解析】【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性的关系、零点存在定理，求出函数的极大值点，然后利用指对互化求解即可.【详解】由()ln e xx f x =得()1ln ex x x f x -'=，0x >，设()1ln g x x x =-，则()2110g x x x'=--<，所以()g x 在()0,∞+单调递减，又()110g =>，()13ln 303g =-<，由零点存在定理知，存在()01,3x ∈，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0g x >，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当0x x >时，()0g x <，()0f x '<，函数单调递减，0()0f x '=，所以0x x =是函数()f x 的极大值点，则001ln x x =，即010e x x =.所以010001e ln 1x x x x =⨯=.故选：D7.在菱形ABCD 中，2AB =，AC =ABC 沿对角线AC 折起，使点B 到达B '的位置，且二面角B AC D '--为直二面角，则三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为（）A.5πB.16πC.20πD.100π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定三棱锥B ACD '-的外接球的球心位置，再求出球半径即可计算作答.【详解】如图所示：由题意在菱形ABCD 中，,AC BD 互相垂直且平分，点E为垂足，12,2AB BC CD DA EC EA AC =======由勾股定理得1BE DE ====，所以2π3ADC ∠=，设点1O 为ACD 外接圆的圆心，则ACD外接圆的半径为1122sin 2AC r O D ADC ===∠，11211O E O D DE =-=-=，设点2O 为ACB '△外接圆的圆心，同理可得ACB '△外接圆的半径为222r O B '==，22211O E O B B E ''=-=-=，如图所示：设三棱锥B ACD '-的外接球的球心、半径分别为点,O R ，而,DE B E '均垂直平分AC ，所以点O 在面ADC ，面ACB '内的射影12,O O 分别在直线,DE B E '上，即12,OO DE OO B E '⊥⊥，由题意,AC DE AC B E '⊥⊥，且二面角B AC D '--为直二面角，即面DAC ⊥面ACB '，DE B E E '⋂=，所以E B E D '⊥，即21O E EO ⊥，可知四边形12O OO E 为矩形，所以121O O O E ==，由勾股定理以及2222115OD O O O D R =+==，所以三棱锥B ACD '-的外接球的表面积为24π4π520πS R ==⨯=.故选：C.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.8.设a 、b 、()0,1c ∈满足sin a b =，cos b c =，tan c a =，则（）A.2a c b +<，2ac b <B.2a c b +<，2ac b >C.2a c b +>，2ac b <D.2a c b +>，2ac b >【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，利用导数分析函数()f x 在()0,1上的单调性，结合()0,1b ∈，可得出a c +与2b 的大小关系，再结合基本不等式以及不等式的基本性质可得出ac 与2b 的大小关系.【详解】a 、b 、()0,1c ∈且sin a b =，cos b c =，tan c a =，则()tan tan sin c a b ==，先比较()sin tan sin a c b b +=+与2b 的大小关系，构造函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，则0sin 1x <<，所以，()cos1cos sin 1x <<，则()()()()()222cos 2cos sin cos cos cos 2cos sin cos sin x x x xf x x x x -+'=+-=，令()21cos 12g x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，其中()0,1x ∈，则()sin g x x x '=-，令()sin p x x x =-，其中01x <<，所以，()1cos 0p x x '=->，所以，函数()g x '在()0,1上单调递增，故()()00g x g ''>=，所以，函数()g x 在()0,1上单调递增，则()21cos 102g x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，即211s 2co x x >-，因为()0,1x ∈，则0sin sin1x <<，所以，()()()222111cos sin 1sin 11cos 1cos 222x x x x >-=--=+，所以，()()2221cossin 1cos 4x x >+，因为cos 20x -<，所以，()()()()2221cos 2cossin cos cos 21cos cos 4x x x x x x-+<-++()()()35432211cos 2cos 2cos 4cos 5cos 2cos 1cos cos 2044x x x x x x x x =-+-+-=-++<，所以，对任意的()0,1x ∈，()()()()22cos 2cos sin cos 0cos sin x x x f x x -+'=<，故函数()f x 在()0,1上单调递减，因为()0,1b ∈，则()()()sin tan sin 200f b b b b f =+-<=，故2a c b +<，由基本不等式可得02a c b <≤+<（a c ≠，故取不了等号），所以，2ac b <，故选：A.【点睛】方法点睛：在解决比较两个数大小的问题时，常常有三种解决方法：（1）作差法，即两个数作差，若0a b ->，则a b >，若0a b -<，则a b <；（2）作商法，即两个数坐商，若()10a b b>>，则a b >，若()10ab b <>，则a b <；（3）单调性法，即借助函数的单调性比较两个数的大小.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()22sin cos f x x x x =-，则下列说法正确的是（）A.()f x 的值域为22⎡---⎣B.()f x 的对称中心为ππ,062k ⎛⎫+⎪⎝⎭，Z k ∈C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单减区间为ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在50,π6⎛⎫⎪⎝⎭上的极值点个数为1【答案】AD 【解析】【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，借助正弦型函数的值域、对称性、单调性与极值点逐项计算并判断即可得.【详解】()2π2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭，对A ：由[]πsin 21,13x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则()22f x ⎡∈---⎣，故A 正确；对B ：令π2π3x k -=，Z k ∈，解得ππ62k x =+，Z k ∈，故()f x 的对称中心为ππ,62k ⎛+ ⎝，Z k ∈，故B 错误；对C ：令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，Z k ∈，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈，则()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的单减区间为5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭，故C 错误；对D ：令ππ2π32x k -=+，Z k ∈，即5ππ122k x =+，Z k ∈，则()f x 在50,π6⎛⎫ ⎪⎝⎭上的极值点有5π12x =一个，故D 正确.故选：AD.10.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点（点A 在第一象限），1||FA 与1||FB 的等差中项为12．抛物线在点A 、B 处的切线交于点M ，过点M 且垂直于y 轴的直线与y 轴交于点N ，O 为坐标原点，P 为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）A.1p =B.tan AOB ∠的最大值为43-C.||||PN PFD.22MA MB +的最小值为16【答案】BCD 【解析】【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，且110,0x y >>,设直线:2pl y kx =+，联立直线l 和抛物线方程得韦达定理，再结合两角和与差的正切公式，导数运算等知识，对各个选项逐一分析即可.【详解】显然当直线斜率不存在时不合题意，则设直线:2pl y kx =+，与22x py =联立得2220x pkx p --=．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x pk +=，212x x p =-，2122y y pk p +=+，2124p y y =．1211111||||22p p FA FB y y +==+=++()122121224y y p p p y y y y +++⋅++()()()()22222222222212122112424p k p k pk p p p p p p p k p p k pk p ++++=====+++++，因此2p =，A 选项错误．()21212121212144tan tan 13114y y x x x x x xAOB xOB xOA y y x x ---∠=∠-∠===++⋅-433==≤-，B 选项正确．24x y =,2xy '=，切线()2111:42x x MA y x x -=-，即21124x x y x =-，同理222:24x x MB y x =-，联立解得1214M x x y ==-，故(0,1)N -．不妨设0P x ≥，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，则||||PN PF =||1||sin PN PQ PNQ=∠．当直线PN 与抛物线相切时，PNQ Ð最小．1y kx =-与24x y =联立，消去y 得：2440x kx -+=，令2Δ16160k =-=，解得1k =±，则4PNQ π∠≥，故||1||sin PN PQ PNQ=≤∠，C 选项正确．1214MA MB x x k k ==-，故MA MB ⊥，则()()22222212216116MA MB AB y y k +==++=+≥，D 选项正确．故选:BCD ．【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根的判别式0∆>.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．11.已知函数()e ln xf x a a x =--，则下列说法正确的有（）A.若a<0，则()f x 的值域为RB.若1a =，则过原点有且仅有一条直线与曲线()y f x =相切C.存在0a >，使得()f x 有三个零点D.若()0f x ≥，则a 的取值范围为[]0,e 【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据x 趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A 正确；B 选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点()0,0代入切线方程得()000ln 1e xx x =-，此方程只有一个根，故B 正确；C 选项，分ln x a <与ln x a >两种情况，推导出()f x 至多两个零点；D 选项，先得到0a <不合要求，0a =满足要求，考虑0a >，()0,1x ∈时，满足要求，故只需[)1,x ∞∈+时，()0f x ≥恒成立，若e a>，()()ln ln 0ln f a a a =-<，故不合要求，若0e a <≤，结合导函数得到函数单调性和最值，得到0e a <≤满足要求，得到答案.【详解】A 选项，若a<0，则e 0x a ->，故()e ln e ln ,0xxf x a a x a a x x =--=-->，当x 趋近于0时，ln a x -趋近于负无穷，此时()e ln xx a f x a -=-趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，ln a x -和e x 都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，因此函数()f x 的值域为R ，A 正确；B 选项，函数定义域为()0,∞+，1a =时，()e 1ln xf x x =--，因为0x >时，e 10x ->，故()e 1ln xf x x =--，则()1e xf x x '=-，设切点坐标为00()x ,y ，故()01e x f x x '=-，则在0x x =处，()y f x =的切线方程为()()0000011e ln exx y x x x x ⎛⎫--= ⎪⎭---⎝，把点()0,0代入切线方程得，()()00000e 1ln 1e 0x x x x x ⎛⎫---=- ⎪⎭-⎝，化简得()000ln 1e xx x =-，当001x <<时，()000ln 01e xx x <<-，此方程无解，当01x >时，()000ln 01e xx x >>-，此方程无解，当01x =时，()000ln 01e xx x ==-，且函数()ln 1e xy x x =--此时为增函数，故方程()000ln 1e xx x =-只有01x =这1个解，即过原点有且仅有一条切线和()y f x =相切，B 正确；C 选项，0a >，当ln x a <时，e 0x a -<，()e ln xf x a x a =--+，则()e 0xaf x x'=--<，故()f x 单调递减，故在此区间上函数最多一个零点，要想这个零点存在，需()()ln ln 0ln f a a a =-<，当ln x a >时，e 0x a ->，()e ln xx a f x a -=-，则()xae xf x =-'，显然这是一个增函数，要想()f x 函数零点尽可能多，则需存在一个1x 使得()10f x '=成立，此时()f x 在()1ln ,a x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，若在()0,ln x a ∈上存在一个零点，则()ln 0f a <，故此时在()ln ,a +∞上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求，若在()0,ln x a ∈上不存在零点，则()ln 0f a >，又()f x 在()1ln ,x a x ∈上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，故此时函数最多有两个零点，不合要求，综上，不存在0a >，使得函数存在三个零点，C 错误；D 选项，由A 知，当a<0时，函数的值域为R ，不满足()0f x ≥，当0a =时，()e 0xf x =>，满足要求，当0a >时，()0,1x ∈时，()e ln 0xf x a a x =--≥，满足要求，故只需[)1,x ∞∈+时，()e ln 0x f x a a x =--≥恒成立，若e a >，()()ln ln 0ln f a a a =-<，故不合要求，若0e a <≤，()e ln xx a f x a -=-，则()xae xf x =-'，显然这是一个增函数，()()e e 01x af x f a x''=->=-≥，函数()f x 单调递增，则()()e 01f x f a ≥=-≥，故0e a <≤满足题意，又0a =也满足要求，因此[]0,e a ∈，D 正确；故选：ABD【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在数列{}n a 中，已知112a =，()12n n n a na ++=，则数列{}n a 的前2024项和2024S =__________．【答案】20242025【解析】【分析】由()12n n n a na ++=，得到12n n a na n +=+，利用累乘法得到数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消，即可求解.【详解】因为()12n n n a na ++=，所以12n n a na n +=+，所以()3211211121111234111n n n a a a n a a a a a n n n n n --=⋅⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋅⋯⋅==-+++，因此20241111120241223202420252025S =-+-+⋯+-=，故答案为：20242025.13.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()0,2πβ∃∈，使()()2sin cos (αβαβα+++--成立，则β=__________．【答案】9π4【解析】2π)(4αβα++=+,得到两边只能等于，求得α，回代求出β.【详解】由()()2sin cos (αβαβα+++-=-可得，2π)(4αβα++=+设2π()),()(4f g βαβαα=++=+.依题意，()f β≤≤，而()g α≥，故()()f g βα==由()g α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得，α=，又由π())4f ββ=+=可得，π)14β++=，因()0,2πβ∈ππ9π444β<++<，ππ5π9ππ,3π2424<+<<<，故π5π42β++=，解得，9π4β=.故答案为：9π4-.14.设严格递增的整数数列1a ，2a ，…，20a 满足11a =，2040a =.设f 为12a a +，23a a +，…，1920a a +这19个数中被3整除的项的个数，则f 的最大值为________，使得f 取到最大值的数列{}n a 的个数为________.【答案】①.18②.25270【解析】【分析】第一个空，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，通过枚举法分析即可得到结果；第二个空，满足要求的数列必须为相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，而1-40中有27个数满足要求，再利用捆绑思想和特殊位置讨论即可得到结果.【详解】第一个空，设某个数除以a 余数为b ，则称该数模a 余b (a ，b 均为整数，且b a <)，为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组合，这样它们之和才会被3整除.而11a =，2040a =均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以f 的最大值为18.第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求的20个数.第一步，在1a 到20a 这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得f 的最大值为18.第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有421C 种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数中，由18C 种，共有421C 18C 种.③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有3212C 种，此时加回来的数必定是删去的两端之一中的1或40，有1种选法，共3212C 种.第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而对于删去的数，假设为A ，它旁边两个数分别为,B C ，即排列为,,B A C ，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合为BA ，然后删去，再补回B ；或者为AC ，然后删去，再补回C ，这两种删去方式结果相同.综上，共有()413218211C C 2C 252702+=种.故答案为：18；25270【点睛】关键点点睛：对于排列组合与初等数论结合的题目，通过列举出一些符合题意的数列，找出一定的规律，再利用排列组合的思想进行求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且cos sin b A A a c =+（1）求B ；（2）若2,b ABC =△的面积为D 为AC 边上一点，满足2CD AD =，求BD 的长．【答案】（1）π3B =；（2）3.【解析】【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去C ，由和差公式和辅助角公式化简可得；（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出,a c ，然后在ABD △中利用余弦定理可得.【小问1详解】由正弦定理有sin cos sin sin sin B A B A A C +=+，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin B A B A A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+，由()0,π,sin 0A A ∈≠1cos B B =+，可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()ππ5π0,π,,666B B ⎛⎫∈-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ66B -=，则π3B =．【小问2详解】由π1,sin 32B S ac B ===4ac =又2222cos b a c ac B =+-可得228a c +=，联立2284a c ac ⎧+=⎨=⎩解得2a c ==，所以ABC 为正三角形，所以2π,33AD A ==，在ABD △中，由余弦定理得222221282223329BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故BD 的长为3.16.已知函数2)()(e x f x x ax =-.（1）若曲线()y f x =在=1x -处的切线与y 轴垂直，求()y f x =的极值.（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a .【答案】（1）极小值1e-，无极大值；（2）2e 4a =.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，结合几何意义求出a ，再分析单调性求出极值.（2）由函数零点的意义，等价变形得2e xa x=在(0,)+∞只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.【小问1详解】函数2)()(e x f x x ax =-的定义域为R ，求导得2()(1)e 3x f x x ax '=+-，(1)3f a '-=-，依题意，(1)0f '-=，则0a =，()e ,()(1)e x x f x x f x x '==+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，因此函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以函数()f x 在=1x -处取得极小值1(1)f e-=-，无极大值.【小问2详解】函数2)()(e x f x x ax =-在(0,)+∞只有一个零点，等价于2e x y ax =-在(0,)+∞只有一个零点，设2()e xg x ax =-，则函数()g x 在(0,)+∞只有一个零点，当且仅当()0g x =在(0,)+∞只有一解，即2e xa x =在(0,)+∞只有一解，于是曲线2e (0)x y x x=>与直线y a =只有一个公共点，令2e ()(0)x x x x ϕ=>，求导得3e (2)()x x x xϕ-'=，当2x <时，()0x ϕ'<，当2x >时，()0x ϕ'>，因此函数()ϕx 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，函数()ϕx 在2x =取得极小值同时也是最小值2e(2)4ϕ=，当0x →时，()x ϕ→+∞；当x →+∞时，()x ϕ→+∞，画山2()xe x xϕ=大致的图象，如图，()g x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e (2)4a ϕ==，所以()f x 在(0,)+∞只有一个零点吋，2e4a =.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ，90ABC ∠=︒，且PA PD AD ==，PC PB =.（1）若O 为AD 的中点，证明：平面POC ⊥平面ABCD ；（2）若60CDA ∠=︒，112AB CD ==，线段PD 上的点M 满足DM DP λ= ，且平面PCB 与平面ACM夹角的余弦值为7，求实数λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）取BC 中点为E ，利用直角梯形中位线的性质，线面垂直的性质判定推理即可；（2）通过正三角形证明CO AD ⊥，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用二面角得向量求法计算求解即可.【小问1详解】取BC 中点为E ，由条件可得OE 为梯形ABCD 的中位线，则OE BC ⊥，又PB PC =，则PE BC ⊥，且PE OE E = ，PE ⊂平面POE ，OE ⊂平面POE ，根据线面垂直的判定定理，得BC ⊥平面POE ，PO ⊂ 平面POE ，BC PO ∴⊥.由PA PD =，则PO AD ⊥，又AD ，BC 为梯形的两腰，则AD 与BC 相交，PO ∴⊥平面ABCD ，又PO ⊆平面POC ，所以平面POC ⊥平面ABCD .【小问2详解】取CD 的中点为Q ，由112AB CD ==，60CDA ∠=︒，则AQ CD ⊥，22AD CD QD ===，因此△ACD 为等边三角形，CO AD ⊥.由（1）知PO ⊥平面ABCD ，OP ，OA ，OC 两两垂直，如图，以OC ，OA ，OP分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由2CD DA PA PD ====，60CDA ∠=︒，则3OP OC ==，()0,1,0A ，33,,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)3,0,0C ，(3P ，()0,1,0D -由()0,3DM DP M λλλ=⇒-，所以3,0,3PC =，33,,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，)3,1,0AC =-，()0,3AM λλ=-，设平面PCB 的一个法向量为()1,,n a b c =，由11330,0,330,0,22a c n PC n BC a b ⎧-=⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎩⎩取3a =1b =，3c =13,1,3n =.设平面ACM 的一个法向量为()2,,n x y z =，由()2230,0,230,0,x y n AC y z n AM λλ⎧⎧-=⋅=⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩取3y λ=，得x λ=，2z λ=-，即平面ACM 的一个法向量为()23,2n λλλ=-.记平面PCB 与平面ACM 夹角的大小为θ，所以121242cos 7n n n n θ⋅==⋅ ，化简得()2320λ-=，即23λ=，所以实数λ的值为23.18.测试发现，某位惯用脚为右脚的足球球员甲在罚点球时，踢向球门左侧、中间和右侧的概率分别为0.5，0.1和0.4，并且，踢向左侧、中间和右侧时分别有0.1，0.2和0.2的概率踢飞或踢偏（没有射正）.守门员在扑点球一般会提前猜测方向.测试发现，某位守门员乙在扑点球时猜右侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门左侧）、中间和左侧（即足球运动员甲在罚点球时，踢向球门右侧）的概率分别为0.6，0.1和0.3.当他猜中方向为左侧或者右侧来时扑出点球的概率均为0.5，当他猜中方向为中间时，扑出点球的的概率为0.8.（1）求球员甲面对守门员乙时，第1次罚点球罚丢的概率；（2）若球员甲在上一轮罚丢点球，则下一轮面对球员甲罚点球时，守门员乙的信心将会激增，在猜中方向的前提下，所有方向扑出点球概率都会在原来的基础上增加0.1；若球员甲在上一轮罚进点球，守门员乙将会变得着急，会有0.2的概率提前移动，在守门员乙提前移动的情况下，若球员甲罚丢点球，则可获得重罚机会.已知守门员乙提前移动时扑出三个方向点球的概率均会增加0.1.假定因为守门员乙提前移动球员甲重罚点球仍属于第二轮，且重罚时守门员乙不再提前移动.（i ）求球员甲第二轮罚进点球的概率；（ii ）设()P k 为球员甲在第k 轮罚进点球的概率，若ξ满足对于{}1,2,3,4,5k ∀∈，()1()P P k ξ≥，直接写出符合题意的ξ.（注：最终结果均保留两位小数.）【答案】（1）0.34；（2）（i ）0.67；（ii ）5ξ=.【解析】【分析】（1）由互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可.（2）（i ）球员甲第二轮罚进点球包含4个互斥事件：第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，但重罚后罚进，第一轮未罚进，第二轮罚进，分别求出对应的概率，相加即可得解；（ii ）分析可得()P k （{}1,2,3,4,5k ∈）随k 的增大而增大，由对于{}1,2,3,4,5k ∈，均有()1()P P k ξ≥，由此可得答案．【小问1详解】设球员甲罚点球时，踢向左侧、中间、右侧的事件分别为123,,A A A ，球员甲踢飞或踢偏（没有射正）的事件为D ，守门员乙在扑点球时扑向右侧、中间、左侧的事件分别为123,,B B B ，守门员乙扑出点球的事件为E ，则1234))(0.5,(0.(0.)1,P A P A P A ===，123(|0.1,(0.2,(0.2)|)|)P D A P D A P D A ===，123123(0.6,(0.1,(0.3,(|0.5,(0.8,5)))|))|)(0.P B P B P B P E B P E B P E B ======，设球员甲第1次罚点球罚丢的事件为F ，则,,F D E D E = 为互斥事件，则3311()()()()(|)()(|)()(|)()i i i i i i i i P F P D E P D P E P D A P A P D A P A P E B P B ====+=+⋅∑∑ 0.50.10.10.20.20.40.90.50.60.50.80.10.10.80.80.40.30.5=⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.33940.34=≈.【小问2详解】（i ）当球员甲在上一轮罚丢点球时，守门员乙所有方向扑出点球的概率都增加0.1，或者守门员乙提前移动时，所有方向扑出点球的也增加0.1，因此球员甲第二轮罚进点球包含以下4个互斥事件：①第一轮罚进，第二轮守门员乙未提前移动且罚进，概率为(10.34)0.8(10.34)0.34848-⨯⨯-=；②第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动且罚进，此时罚丢点球的概率为0.50.10.10.20.20.40.90.60.60.50.90.10.10.80.80.40.30.6⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.37680.38=≈，此时罚进的点球的概率为(10.34)0.2(10.38)0.08184-⨯⨯-=；③第一轮罚进，第二轮守门员乙提前移动未罚进，此时罚进的概率为(10.34)0.20.38(10.34)0.0331056-⨯⨯⨯-=；④第一轮未罚进，第二轮罚进，此时罚进的概率为0.34(10.38)0.2108⨯-=，所以第二轮球员甲罚进的概率为0.348480.081840.03310560.21080.67422560.67+++=≈.（ii ）5ξ=.由（1）及（2）（i ）知，(1)10.340.66,(2)0.67P P =-==，则第三轮的情况如第二轮时情形，但第二轮罚进点球的概率增加了，因此第三轮罚进点球的概率比第二轮时要高，从而()({1,2,3,4,5})P k k ∈随k 的增大而增大，于是若ξ满足对于{}1,2,3,4,5k ∀∈，均有()1()P P k ξ≥，则5ξ=.【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.19.设A ，B 为椭圆C ：22143x y +=的短轴端点，P 为椭圆上异于A ，B 的任意一点，D 在直线4x =上．（1）求直线PA ，PB 的斜率的乘积；（2）证明：5π12APB ∠>；（3）过右焦点F 作x 轴的垂线l ，E 为l 上异于F 的任意一点，直线DF 交C 于M ，N 两点，记直线ED ，EM ，EN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在1k ，2k ，3k 的某个排列，使得这三个数成等差数列？若存在，加以证明；若不存在，请说明理由．【答案】（1）34-（2）证明见解析（3）存在；证明见解析【解析】【分析】（1）根据斜率公式结合点P 在椭圆上即可求解；（2）由椭圆的对称性，不妨设P 位于第一象限或长轴右端点，设直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则()tan tan π1PB PA PA PB k k APB k k αβ-⎡⎤∠=--=⎣⎦+⋅，结合（1）及基本不等式可得tan APB ∠≥，根据正切函数的单调性即可证明；（3）设()()1,0E n n ≠，①当D 在x 轴上时，可得2312k k k +=；②当D 不在x 轴上时，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ky =+，与椭圆方程联立，证明2312k k k +=即可．【小问1详解】不妨设(A，(0,B ，设()()000,0P x y x ≠，则直线PA ，PB的斜率分别为010y k x -=，020y k x +=，所以2012203y k k x -⋅=．又因为2200143x y +=，所以2200334y x =-，故2012203344x k k x -⋅==-，即直线PA ，PB 的斜率的乘积为34-．【小问2详解】由椭圆的对称性，不妨设P 位于第一象限或长轴右端点，设直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则()()tan tan πtan 1PB PA PA PB k k APB k k αββα-⎡⎤∠=--=-=⎣⎦+⋅．由（1）知，34PA PB k k ⋅=-，故314PA PBk k =-⋅，从而3tan 4PB PB APB k k ∠=+≥，当且仅当2PB k =时等号成立，此时P 为C 的右顶点．因为15πππtan tan 12463+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭231226++==+，又因为π0,2APB ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，且5πtan tan 212APB ∠≥>=+所以5π12APB ∠>．【小问3详解】设()()1,0E n n ≠，①当D 在x 轴上时，()4,0D ，不妨设()2,0M ，()2,0N -，13n k -=，2k n =-，33n k =，从而2312k k k +=；②当D 不在x 轴上时，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：()10x ky k =+≠，由4,1,x x ky =⎧⎨=+⎩得34,D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以113n k k =-．由221,1,43x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690k y ky ++-=，因为直线MN 过点F ，则0> ，从而122634k y y k -+=+，122934y y k -=+（*），又12231211y n y n k k x x --+=+--()()()()()()()21121212121211211x y n x y n y y n y y x x ky y --+---+==--．将（*）式代入上式，得23118622293kn n k k k k k -++==-=-．综上，可得2312k k k +=，即2k ，1k ，3k 或3k ，1k ，2k 成等差数列．【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.。
辽宁省鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学科试卷一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 与角终边相同的角是（ ）A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ）A. B. C D. 3. 已知复数z 满足，则（ ）A. B. C. D. 4. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ）A. B. 4C. D. 5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 若相邻两条对称轴的距离为，则；B. 若，则时，的值域为；C. 若在上单调递增，则；.20- 300- 280- 320340()2tan 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭6x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭,6x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ,26k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ()1i i +-z z =1i-1i+22i-22i+OAB V OAB '''V OAB '''V B x ()2ππsin 2sin 22cos 1(0)66f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=++-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π22ω=1ω=π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x []1,1-()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦203ω<≤D. 若在上恰有2个零点，则.6. 已知，则的值为（ ）A. 1B.C. 2D. 7. 设m 、n 为空间中两条不同直线，、为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（）A. 若m 上有两个点到平面的距离相等，则B.若，，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 若，，，则D. 若m 、n 是异面直线，，，，，则8. 如图，在正四面体中，是棱上三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（ ）A.B.C. D. 二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分）.9. 下列命题正确的是（ ）A. “是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件B. 若C. 在中，若，则为锐角三角形D. 已知，且，则10. 下列有关向量的命题正确的是（）的()f x []0,π11171212ω≤<20α=︒tan 4sin αα+αβαm αP m α⊥n β⊂m n ∥αβ⊥αβ⊥m α⊂n β⊂m n⊥m α⊂m βP n β⊂n α∥αβ∥ABCD ,E F CD C AB E --,E AB F F AB D ----123,,θθθ123θθθ==123θθθ<<132θθθ=>132θθθ=<:p α:q cos 0α<p q α+=ABC V tan tan 1A B ⋅>ABC V π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos2α=tan α=A. 若均为非零向量，且，则B. 已知单位向量满足，则C. 在中，若，且，则为等边三角形D. 若点在所在平面内，且，则点的轨迹经过的外心．11. 如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P 是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（ ）A.B. 平面平面C. 直线与平面所成角D. 若的轨迹的长度为三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分）.12. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为，且，则______．13. 四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则_________的,,a b c a b a c ⋅=⋅ b c= ,,a b c 2340a b c ++= 14a b ⋅=ABC V 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅= ABC V P ABC V ,2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λλ⎛⎫+ ⎪=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭R u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r P ABC V 111ABC A B C -112,,AA M M =11,AB A B 11AA B B 11MM C C ⊥11AA B BCP 11AA B B CP =P 2πABC V ,,a b c 222,4a c b ac +-==AB BC ⋅=P ABCD -E PD 35PE PD =PF PC λ=//BF ACE λ=14. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为__________．四、解答题（本大题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 在中，内角所对的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积．16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点．（1）求证：平面；ABCD ,ADE BCF V V EF P ,4CD EF =ABC V ,,A B C ,,,6a b c b=cos sin b C a B =+B BAC ,D BD =E AC 2EC EA =BDE V 111ABC A B C -6AC =10AB =3cos 5CAB ∠=18AA =D AB 1//AC 1CDB（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．17. 已知向量，函数．（1）求函数在上的单调递减区间；（2）若，且，求的值；（3）将图象上所有点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．18. 已知函数的图象如图所示，点B ，D ，F 为与x 轴的交点，点C ，E 分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.（1）求参数φ的值；（2）若，求向量与向量夹角余弦值；（3）若点P 为函数图象上的动点，当点P 在C ，E 之间运动时，恒成立，求A 的取值范围.19. 如图，四面体中，，，，为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设，，点在上；①点为中点，求与所成角的余弦值；的的1AC BC ⊥11A B CD -(cos ,2sin ),(2cos )a x x b x x ==()f x a b =⋅()f x a b =⋅ [0,π]()0115f x =0ππ,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos2x ()g x π6()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x m =m π()sin (0,π)2f x A x A ϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x ()f x ()f x 12x =-1A =2BC CD - 3BC CD +()f x 1BP PF ⋅≥ABCD AD CD ⊥AD CD =ADB BDC ∠=∠E AC BED ⊥ACD 2AB BD ==60ACB ∠=︒F BD F BD CF AB②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．AFC △CF ABD鞍山市第一中学等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学科试卷答案一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】D二、选择题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分）.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABC三、填空题（本大题共3道小题，每小题5分，共15分）.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##四、解答题（本大题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1） （2【16题答案】【答案】（1）证明略 （2）证明略 （3）64【17题答案】【答案】（1） （2 （3）【18题答案】【答案】（1） （2） （3）【19题答案】【答案】（1）证明略 （2．-1332π332π32π3B =π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)11,02⎧⎫-⋃⎨⎬⎩⎭π4ϕ=-(A ∈。
2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期开学初数学试题 扫描版
沈阳市郊联体2020-2021学年度第二学期开学初高一年级数学学科答案1---4 ADBC 5---8 .ADBB9.ABD 10.ACD 11.BD 12.BC13.14.15.16.17.【答案】解：因为，又与共线，，所以，解得． ------------------5分因为，，所以，所以．当且仅当时取等号，即的最小值为，此时． --------------10分18.【答案】解：众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，即众数的估计值为-----------------------3分平均数估计值为；--------------------6分由频率分布直方图得，成绩在内的人数为人，内的人数为人，内的人数为人，内的人数为人，内的人数为人，内的人数为人，按照分层抽样方法，抽取20人，则成绩在的1人，的2人，的4人，的6人，的5人，的2人，记成绩在内的5人分别为，成绩在的2人分别为，则从成绩在内的学生中任意取2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中成绩在中至少有1人的基本事件有，，，，，，，，，，，共11种，所以2人中至少有一人成绩在内的概率-----------------------12分19.【答案】解：函数的对称轴为，可得在递增，可得的最小值为，最大值为，解得，；---------------5分由，不等式在上恒成立，即为，即在上恒成立，由在递增，可得的最大值为，则，即，则k的取值范围是．-----------------12分20.【答案】解：设2，分别表示甲、乙在第i次投篮投中，则乙获胜的概率为：． -----------------6分投篮结束时，乙只投了2个球的概率为：．-----12分21.【答案】解：Ⅰ当时，函数，依题得，，，，，函数的次不动点为0；----------------------6分Ⅱ根据已知，得在上无解，在上无解，令，，在区间上无解，在区间上无解，设，在区间上单调递减，故，或，又在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立，设，在区间上单调递减，故，，综上实数a的取值范围．----------------12分22.【答案】解：，因为是R上的奇函数，所以恒成立，即，解得；------------------2分由知，，即，所以在上是单调增函数，证明：设，且，则，因为，所以，所以，即，又，，，所以，即，所以，所以在上是单调增函数，不等式即为，即，所以，所以；-----------7分不等式即为，即，当时，，则在恒成立，设，即，则在上为减函数，所以，所以实数b的取值范围是．---------------12分。
辽宁省盘锦光正实验学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
辽宁省盘锦光正实验学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点(P -，则cos α=（ ）A ．B ．2-C ．12-D 2．二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（ ）A ．3π4B ．πC ．5π4 D ．3π23．在四边形ABCD 中AB DC =u u u r u u u r ，若AD AB BC BA -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定 4．函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12x π=5．要得到π3sin()6y x =+的图象只需将3sin y x =的图象（ ） A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π2个单位 D ．向右平移π2个单位 6．已知向量()13,,1,3a m b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭r r .若a r P b r ，则实数m =（ ） A ．1 B ．1- C ．9D ．9-7．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<8．函数()21cos 31x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．二、多选题9．(多选)下列说法正确的有（ ）A ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B ．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D ．余弦线和正切线的始点都是原点10．（多选题）下列诱导公式正确的是（ ）A ．sin(3π)sin αα+=B ．7πsin cos 22αα+⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．5πcos 2sin 22αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．cos(9π3)cos3αα-=11．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若78OC =，tan 2NCM ∠=，则（ ）A ．()πsin π8f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．()f x 的单调递增区间为()53,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 图象关于点5,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()f x 图象关于直线58x =-是对称三、填空题12．已知扇形的圆心角为6π，弧长为23π，则该扇形的面积为 13．若π4cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 14．若函数()sin 3sin f x x x =+在[]0,2πx ∈的图象与直线2y a =有两个交点，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．（1）计算：()()22sin 120cos180tan 45cos 330sin 210++--+-o o o o o ；（2）已知()()sin π2cos παα+=-，求2sin cos sin cos αααα-+. 16．已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求当()f x 取得最大值时，x 的取值集合；(2)求()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. (3)完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,π上的图象.π.2α<< (1)求2211sin cos αα+的值；(2)求sin cos αα-的值；(3)求tan α的值．18．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为2π3，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P 在风车的最低点（此时P 离地面60米）.设点P 转动t （秒）后离地面的距离为S （米），则S 关于t 的函数关系式为()()()sin 0,0,πS t A t B A ωϕωϕ=++>><.(1)求()S t 的解析式；(2)求叶片旋转一圈内点P 离地面的高度不低于80米的时长.19．已知函数()()sin (0,0π)f x A x A ϕϕ=+><<，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点π1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 的单调区间；(3)求()()()223g x f x f x =+-的最值．。
辽宁省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月联合考试数学试题
PACKAGING INFORMATION Orderable DeviceStatus (1)Package Type Package Drawing Pins Package Qty Eco Plan (2)Lead/Ball Finish MSL Peak Temp (3)SN74HC00QDRQ1ACTIVE SOIC D 142500Pb-Free (RoHS)CU NIPDAU Level-2-250C-1YEAR/Level-1-235C-UNLIM SN74HC00QPWRQ1ACTIVE TSSOP PW 142000Pb-Free (RoHS)CU NIPDAU Level-1-250C-UNLIM (1)The marketing status values are defined as follows:ACTIVE:Product device recommended for new designs.LIFEBUY:TI has announced that the device will be discontinued,and a lifetime-buy period is in effect.NRND:Not recommended for new designs.Device is in production to support existing customers,but TI does not recommend using this part in a new design.PREVIEW:Device has been announced but is not in production.Samples may or may not be available.OBSOLETE:TI has discontinued the production of the device.(2)Eco Plan -The planned eco-friendly classification:Pb-Free (RoHS),Pb-Free (RoHS Exempt),or Green (RoHS &no Sb/Br)-please check /productcontent for the latest availability information and additional product content details.TBD:The Pb-Free/Green conversion plan has not been defined.Pb-Free (RoHS):TI's terms "Lead-Free"or "Pb-Free"mean semiconductor products that are compatible with the current RoHS requirements for all 6substances,including the requirement that lead not exceed 0.1%by weight in homogeneous materials.Where designed to be soldered at high temperatures,TI Pb-Free products are suitable for use in specified lead-free processes.Pb-Free (RoHS Exempt):This component has a RoHS exemption for either 1)lead-based flip-chip solder bumps used between the die and package,or 2)lead-based die adhesive used between the die and leadframe.The component is otherwise considered Pb-Free (RoHS compatible)as defined above.Green (RoHS &no Sb/Br):TI defines "Green"to mean Pb-Free (RoHS compatible),and free of Bromine (Br)and Antimony (Sb)based flame retardants (Br or Sb do not exceed 0.1%by weight in homogeneous material)(3)MSL,Peak Temp.--The Moisture Sensitivity Level rating according to the JEDEC industry standard classifications,and peak solder temperature.Important Information and Disclaimer:The information provided on this page represents TI's knowledge and belief as of the date that it is provided.TI bases its knowledge and belief on information provided by third parties,and makes no representation or warranty as to the accuracy of such information.Efforts are underway to better integrate information from third parties.TI has taken and continues to take reasonable steps to provide representative and accurate information but may not have conducteddestructive testing or chemical analysis on incoming materials and chemicals.TI and TI suppliers consider certain information to be proprietary,and thus CAS numbers and other limited information may not be available for release.In no event shall TI's liability arising out of such information exceed the total purchase price of the TI part(s)at issue in this document sold by TI to Customer on an annual basis.PACKAGE OPTION ADDENDUM 29-May-2007Addendum-Page 1IMPORTANT NOTICETexas Instruments Incorporated and its subsidiaries(TI)reserve the right to make corrections,modifications,enhancements, improvements,and other changes to its products and services at any time and to discontinue any product or service without notice. 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辽宁省沈阳市回民中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为 .设“甲不输”为事件A，可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P（A）＝ .
故选：C
【点睛】
本小题主要考查对立事件、互斥事件与和事件概率计算，属于基础题.
6938
7481
A．08B．07C．02D．01
5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙胜的概率为 ，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（）
A． ，定义域是（ ）
A．[ ， ]B．[2kπ ，2kπ ]（k∈Z）
C． D． （k∈Z）
7．下列四个函数中,既是 上的减函数,又是以 为周期的偶函数的是( )
A． B． C． D．
8．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
9．已知某 个数据的平均数为 ,方差为 .现又加入一个新数据 ,此时这 个数的平均数为 ,方差为 ,则( )
A． ， B． ， C． ， D． ，
10．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为 ，则 的值是（）
（1）化简 ；
（2）若 ，且 ，求 的值
19．2021年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（ ）分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如图的频率分布直方图．
3．B
【解析】
分析：根据三角函数周期变换与相位变换的性质，逐一验证四个选项即可得结果.
详解： 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，
得到 的图象，再向左平移 个单位 ，
所以，为了得到函数 的图象，只需要把函数 的图象上，
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高一下学期第一次考试数学试题考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教B 版必修3第二、三章40%，必修4第一章、第二章第一节结束60%.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了7次，则下列说法正确的是 （ ）A.正面朝上的概率为0.7B.正面朝上的频率为0.7C.正面朝上的概率为7D.正面朝上的概率接近于0.72.设集合2{|13},{|40}A x x B x x =+=-剟，则A B ⋂=（ ）A. (,2]-∞-B. (,4]-∞-C. [2,2]-D. (,2]{2}-∞-⋃3.已知角α的终边过点2)-，则sin(3)απ-=（ ）A. 3-5 C. 23 D 23- 4.在平行四边形ABCD 中，AB AC DA +-=u u u r u u u r u u u r（ ） A. 2AC u u u r B.0 C. 2AD u u u r D. 2BD u u u r5.函数()|3sin(2)|12f x x π=-+是（ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 6.为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从50合取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001,002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为（ ） A.217 B.206 C.245 D.2127.函数()ln 23xf x x =+-的零点所在的区间是（ ） A. (0,1) B. (2,3) C. (1,2) D. (3,4) 8.已知2sin2cos 2θθ+=-，那么2cos 2sin θθ-=（ ）A.1B. 2-C. 1-D.29.已知243,log 3ab ==，则4a b -=（ ） A.3 B.1 C.12 D. 1310.若函数()3sin(2)6f x x π=+的图象向右平移4π个单位长度后，得到()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法中，正确的是（ ）A.函数()g x 的图象关于直线724x π=对称 B.函数()g x 的图象关于点(),024π对称 C.函数()g x 的单调递增区间为[2,2],412k k k ππππ-++∈Z D.函数5()12g x π+是偶函数 11.定义在[7,7]-上的奇函数()f x ，当07x <„时，()26xf x x =+-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A. (2,7] B. (2,0)(2,7]-⋃ C. (2,0)(2,)-⋃+∞ D. [7,2)(2,7]--⋃ 12.已知函数())14f x x π=++，对于任意的[0,1)a ∈，方程()1(0)f x a x m -=<„仅有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A. (5,88]ππB. [5,88)ππC. 33,8[4)ππD. 33,8(4]ππ第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.13.若函数2sin ,0()61,0x x f x x x π⎧>⎪=⎨⎪+⎩„，则((1))f f -=_________. 14.甲、乙、丙、丁四人参加运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：则参加运动会的最佳人选应为________.15.已知一个扇形的周长为8cm ，则当该扇形的半径r =___cm 时，面积最大. 16.下列四个命题： ①函数()3sin(2)4f x x π=+与()3cos(2)4g x x π=-的图象相同； ②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π； ③函数()2cos f x xx =的图象关于直线x π=对称； ④函数()sin(2)3f x x π=-+在区间5,]12[12ππ-上是减函数.其中正确的命题是________（填写所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） （1）求1019113sin)tan()3423πππ---的值； （2）求3tan(2)cos(2)sin()2cos()sin()ππαπαααππα---+-+-+的值.18.（12分）从某校期中考试数学试卷中，抽取样本，考察成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中各小组的长方形面积之比从左至右依次为1: 3: 6: 4: 2，第一组的频数是4. （1）求样本容量及各组对应的频率；（2）根据频率分布直方图估计成绩的平均分和中位数（结果保留两位小数）.19.（12分）已知函数1()2cos()336f x x π=--+.（1）求()f x 图象的对称轴方程；（2）求()f x 的最小值及此时自变量x 的取值集合. 20.（2分）已知函数1()3sin()(0),()()2263f x x f f πππϕϕ=+<<=，且函数()f x 在区间(,63)ππ上有最大值，无最小值.（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 的单调区间. 21.（12分）某班在一次个人投篮比赛中，记录了在规定时间内投进n 个球的人数分布情况：其中3n =和4n =对应的数据不小心丢失了，已知进球3个或3个以上，人均投进4个球；进球5个或5个以下，人均投进2.5个球.（1）投进3个球和4个球的分别有多少人？（2）从进球数为3,4,5的所有人中任取2人，求这2人进球数之和为8的概率. 22.（12分）已知函数()2sin()(0)23x f x m m ππ=+≠.（1）若1m =，求不等式()1f x …的解集；（2）若2()22g x x x =-+，对于任意的12[0,1],[0,2]x x ∈∈都有12()1()f x g x +≠，求m 的取值范围.2018～2019学年高一下学期第一次考试数学试题参考答案1. B 正面朝上的频率是70.710=，正面朝上的概率是0.5. 2. D (,2],(,2][2,),(,2]{2}A B A B =-∞=-∞-⋃+∞∴⋂=-∞-⋃Q . 3. C 由已知得2sin 3α=-，则2sin(3)sin 3απα-=-=.4. A. 2AB AC DA AB AD AC AC AC AC +-=++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.5. D 因为()|3sin(2)|1|3cos 2|12f x x x π=-+=+，所以函数()f x 是周期为2π的偶函数. 6. B 由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217,157， 245,217,206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206.7. C 因为()ln 23xf x x =+-单调递增，且2(1)02310,(2)ln 223ln 210f f =+-=-<=+-=+>，所以()f x 的零点所在的区间是(1,2). 8. A 因为2sin2cos 20θθ++=，所以2cos 2cos 30θθ--=，解得cos 1θ=-或cos 3θ=（舍去），所以sin 0θ=，所以2cos 2sin 1θθ-=.9. D 因为2log 3b =，所以224(2)39bb ===，则111443493a b a b -=⨯=⨯=. 10. D 由题意可得()3sin(2)3g x x π=-，所以5()3sin(2)3cos 2122g x x x ππ+=+=为偶函数. 11. B 当07x <„时，()26xf x x =+-，所以()f x 在(0,7]上单调递增。
因为2(2)2260f =+-=，所以当07x <„时，()0f x >等价于()(2)f x f >，即27x <„.因为()f x 是定义在[7,7]-上的奇函数，所以不等式()0f x >的解集为(2,0)(2,7]-⋃.12. A 方程()1(0)f x a x m -=<„仅有一个实数根，等价于函数()1y f x =-与函数y a =的图象的交点个数为1，结合图象可知，当[0,1)a ∈时，588m ππ<„.因为2(1)(1)12f -=-+=，所以((1))(2)sin 3f f f π-===.14. 乙 从表格中可以看出乙和丙的平均数较髙，故平均成绩最好，但乙的方差较小，故乙发挥得比丙稳定，故最佳人选应为乙.15. 2 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则28r l +=，扇形的面积为211(82)422rl r r r r =-=-+，所以当2r =时，面积最大为4.16. ①②④ 因为()2cos f x x x =，所以(0)0,()2,(2)4f f f ππππ==-=.因为(0)(2)f f π≠，所以函数()f x 的图象不关于直线x π=对称，故③错，其余都对.17.解：（1）原式231sin(4))tan(4)3423ππππππ=-+++ 2分231sintan 3423πππ=-+ 3分1()22=-+分 1=. 5分（2）原式tan cos sin()2cos [sin()]πααπααπα-+-=--- 7分tan [sin()]2sin πααα--=- 8分 tan (cos )sin ααα-=- 9分sin cos 1cos sin αααα=⋅=. 10分 18.解：（1）因为第一组频数为4，从左到右各小组的长方形的面积之比为1:3:6:4:2，所以设样本容量为n ，得(13642):1:4n ++++=，则64n =，即样本容量为64. 1分所选各组频率依次为10.062516=. 2分 30.187516=. 3分 60.37516=. 4分 40.2516=. 5分 20.12516=. 6分 （2）平均数1364255.565.575.585.595.577.381616161616x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈. 9分 设中位数为x ，则1361(70.5)0.516161610x ++-⨯⨯=，解得77.17x ≈（分）. 12分 19.解：（1）令1()36x k k ππ-=∈Z . 2分解得3()2x k k ππ=+∈Z . 4分故()f x 图象的对称轴方程为3()2x k k ππ=+∈Z . 5分（2）min ()2131f x =-⨯+=. 7分此时，1cos()136x π-=即12()36x k k ππ-=∈Z . 9分 解得6()2x k k ππ=+∈Z . 11分故()f x 的最小值为1，此时自变量x 的取值集合为|6{2},x x k k ππ=+∈Z . 12分20.解：（1）因为()()63f f ππ=，又函数()f x 在区间(,63)ππ上有最大值，无最小值.所以函数()f x 在6324x πππ+==处取得最大值. 2分 所以12()242k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，即32()8k k πϕπ=+∈Z . 4分又因为02πϕ<<，所以38πϕ=. 5分所以13()3sin()28f x x π=+. 6分 （2）由1322()2282k x k k πππππ-++∈Z 剟，得74444k x k ππππ-+剟. 得函数()f x 的单调递增区间是7[4,4]()44k k k ππππ-+∈Z . 9分 由13322()2282k x k k πππππ+++∈Z 剟， 得函数()f x 的单调递减区间是9[4,4]()44k k k πππππ++∈. 12分 21.解：（1）设投进3个球和4个球的分别有,x y 人，则3410422634 2.512x y x y x y x y ++⎧=⎪++⎪⎨++⎪=⎪++⎩. 2分解得22x y =⎧⎨=⎩. 4分故投进3个球和4个球的分别有2人和2人. 4分（2）若要使进球数之和为8，则1人投进3球，另1人投进5球或2人都各投进4球.记投进3球的2人为12,A A ；投进4球的2人为12,B B ；投进5球的2人为12,C C . 6分 则从这6人中任选2人的所有可能事件为：121112111221222122121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A C A C A B A B A C A C B B B C B C B C B C C C .共15种8分其中进球数之和为8的是1112212212(,),(,),(,),(,),(,)A C A C A C A C B B ，有5种. 10分所以这2人进球数之和为8的概率为51153P ==. 12分 22.解：（1）当1m =时，()2sin()23x f x ππ=+. 1分所以2sin()123x ππ+…，即1sin()232x ππ+…. 2分所以522()6236x k k k ππππππ+++∈Z 剟, 3分所以1441()3k x k k -+∈Z 剟， 4分故原不等式的解集为1[4,41]()3k k k -+∈Z 5分(2)当[0,2]x ∈时, ()[1,2]g x ∈. 6分 当[0,1]x ∈时,则5[,]2336x ππππ+∈,所以1sin()[,1]232x ππ+∈. 7分 当0m >时, ()1[1,21]f x m m +∈++ ,所以12m +>,所以1m >； 9分 当0m <时, ()1[21,1]f x m m +∈++,所以11m +<,所以0m <. 11分 综上, 0m <或1m >. 12分。