第2章__流体运动学和动力学基础(复习+习题)

L L
上式中这个函数称为速度势函数或速度位，其存在的充分必要条件是无涡 流动。
；
速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即
1 ω = rotV = 0 2
φ = φ ( x, y , z , t )
速度势函数与速度分量的关系为
∂φ ∂ϕ u= = ∂x ∂y
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∂φ ∂ϕ v= =∂y ∂x
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2.3.2 流函数
φ(x,y)称为流函数 称为流函数
又 故有
∂ϕ ∂ϕ dϕ = dy + dx ∂y ∂x ∂ϕ ∂ϕ
vx = ∂y , vy = − ∂x
dϕ = vxdy − vydx
(2-23) (2-24)
(2-25)
速度位与流函数关系： 速度位与流函数关系：等位线族与流线族正交
2、Euler方法 、 方法
观察者相对于坐标系是固定不动的， 观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的 流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况， 流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场 的运动规律。 的运动规律。
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对于不可压缩流体，连续方程变为
dρ =0 dt
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∇ ⋅V = 0
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∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z
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结论：流体在运动时，应服从质量守恒定律，这条定理在空气动力学中的 流体在运动时，应服从质量守恒定律， 流体在运动时 数学表达式称为连续方程或质量方程. 数学表达式称为连续方程或质量方程
在密度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零。
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§ 2.2.4 旋度和位函数
流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量 表示为
1 1 ω = ω x i + ω y j + ω z k = rotV = ∇ × V 2 2
∂φ ∂ϕ u= = ∂x ∂y
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∂φ ∂ϕ v= =∂y ∂x
∂φ w= ∂z
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§ 2.3.2 Euler运动微分方程组 运动微分方程组
欧拉方程微分形式（牛顿第二定律的描述）(教材更直观)：
du = fx − dt dv = fy − dt dw = fz − dt 1 ∂p ρ ∂x 1 ∂p ρ ∂y 1 ∂p ρ ∂z
∂vx ∂v ∂v ∂v + vx x + v y x + vz x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y ay = + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz az = + vx + vy + vz ∂t ∂x ∂y ∂z ax =
一个速度场 沈阳航空工业学院飞行器设计教研室
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§2.1 描述流体运动的方法
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加速度描述
du ∂u ∂u ∂u ∂u = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z dv ∂v ∂v ∂v ∂v + w = +u +v dt ∂t ∂x ∂y ∂z dw ∂w ∂w ∂w ∂w = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
流体微团平动速度： 流体微团平动速度：
u ( x , y , z , t ), v ( x , y , z , t ), w ( x , y , z , t )
流体微团线变形速率： 流体微团线变形速率：
∂u ∂v ∂w θx = , θy = , θz = ∂x ∂y ∂z
流体微团角变形速率（剪切变形速率）： 流体微团角变形速率（剪切变形速率）：
2011年6月11日1时8分 沈阳航空工业学院飞行器设计教研室 第9页 共112页
§ 2.2.3 散度及其意义
三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度，符号为 散度， 散度 divV，即 ，
∂u ∂v ∂w divV = ∇ ⋅V = + + ∂x ∂y ∂z
散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率 相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增 相对体积膨胀率 长量）。
dV 1 = f − ∇p dt ρ
上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（1755年）。表明了流体质 点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另一种形式，为
这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。 ， 旋度。 旋度 即有旋度为旋转角速度的二倍 旋度为旋转角速度的二倍： 即有旋度为旋转角速度的二倍：ω = 2ε
一个流场，如果各处的ω都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动称为无 无 旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流 有旋流。根据数学上Stokes定律 旋流 有旋流
本章作业：习题 本章作业：习题1,3,6,8,9,10,11,13,15
§2.1 描述流体运动的方法 §2.1.1 拉格朗日方法与欧拉方法 Lagrange方法 拉格朗日方法，质点法） 方法（ 1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）
着眼于流场中每一个运动着的流体质点， 着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每一个流体质点的运动轨 迹以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化， 迹以及运动参数（速度、压强、加速度等）随时间的变化，然后综合所有流体 质点的运动，得到整个流场的运动规律。 质点的运动，得到整个流场的运动规律。
∂φ w= ∂z
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说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个方向的分量。
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§ 2.3.1 连续方程
微分形式的连续方程：
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρV ) = 0 ∂t ∂u ∂v ∂w ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ +u +v +w + ρ ∂x + ∂y + ∂z = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z dρ + ρ∇ ⋅V = 0 dt
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推广
算子
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂z ∂x ∂y
表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其 它变量也成立。如对于压强p，有
dp ∂p ∂p ∂p ∂p = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
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流线: 流线 流场中的瞬时光滑曲线， 流场中的瞬时光滑曲线，在曲线上流体质点的速度方向与各该点 的切线方向重合。 的切线方向重合。 迹线： 迹线： 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的集合。 流体质点在一定时间内所经过的所有空间点的集合。
A
其中，
V 是局部速度向量，
ρ 是密度，
n
是微元面积 dA 的法线向量
2.1.2 流线微分方程
dx dy dz ds = = = u v w V
或
dx dy dz = = vx v y vz
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§ 2.2.1 流体微团的基本运动形式
第二章 流体运动学和动力学基础
流场(流场及其描述方法 迹线、流线和流管) 流场及其描述方法,迹线 △ 流场 流场及其描述方法 迹线、流线和流管 散度、 ★流体微团运动的分析(散度、旋度和速度位 流体微团运动的分析 散度 旋度和速度位) ★连续方程和流函数(连续方程、流函数 连续方程、 连续方程和流函数 连续方程 流函数) 旋涡运动(涡线 涡管及旋涡强度、环量诱导速度及相关定理) 涡线、 △ 旋涡运动 涡线、涡管及旋涡强度、环量诱导速度及相关定理 欧拉运动方程、 ★欧拉运动方程及其积分(欧拉运动方程、伯努利方程 欧拉运动方程及其积分 欧拉运动方程 伯努利方程) 流体力学中的动量定理(一般原理及例子 一般原理及例子) ※ 流体力学中的动量定理 一般原理及例子
∫ V ⋅ dr = 0
L
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说明速度场的曲线积分与路径无关，仅是坐标位置的函数。
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பைடு நூலகம்
§ 2.2.4 旋度和位函数
在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即
dφ = V ⋅ dr = udx + vdy + wdz
；
∫ V ⋅ dr = ∫ dφ = 0
右边第1项 右边第 项： 表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的， 表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部 加速度，或当地加速度； 加速度，或当地加速度； 右边其他项： 右边其他项： 表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度， 表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加 速度，或对流加速度。 速度，或对流加速度。 二者的合成称为全加速度，或随体加速度。 二者的合成称为全加速度，或随体加速度。