图论课件--平面性算法
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图论平面图
AD
f4
B D f2 DC
f1 F D
f3
DD
f1 : 边界:ABCDFDA f2 : 边界:ABCA f3 : 边界:ACDA f4 : 边界:ADA
deg(f1)=6 deg(f2)=3
deg(f3)=3 deg(f4)=2
欧拉公式
定理4.2 G是个连通的平面图, 设n、m、r分别表示G中
结点数、边数、面数, 则有 n-m+r=2. 称此式为欧拉公式.
的 extJ ，使得同一
类中的任意一对点能用 一条不与 J 相交的曲线 相连，而连接一对属于 不同类点的任意曲线必 须与 J 相交。
Jordan曲线定理: Jordan曲线把平面分为2部分， 连接内部与外部点的任意曲线必然与Jordan曲线 相交.
¾ 说明： 该定理看似无可置疑的明显结论。 该定理是 C.Jordan（1838－1933）首先提出， 并给出了（长而复杂又有缺陷）的证明，但后来 发现Jordan的证明有缺陷。 第一个严格的证明相当复杂，对于训练有素的数 学家来说，也是很难理解的。 对于多边形的Jordan曲线，证明是简单的。
u1
上的一条Jordan曲线，
C
设 v3 ∈ int C ,于是 (u1, v3), (u2, v3) 连同C将
v1
v2
u2 (2)
平面分成三个两两不
相交的的区域，而 u3 应落入这三个区域中的
某一个区域，不妨假设 u3 ∈ extC ，则由定理
知 (u3,v3)必须与C相交，故 K3,3 是非可平面图。
说明： 一个可平面图与其平面嵌入图拓扑同构， 因此我们将一个可平面图的平面嵌入也称为平面 图。
例如右图.就是
v1 D
图论及其应用
χ（G）表示。若χ（G）=k，就称G是k-点可 色图。
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
顶点染色
定理：对于任何一个图χ（G）≤ω（G）。 ω（G）为图G的团数，用来描述χ（G）的下 界，其中ω（G）=max{k|Kk属于G}。
顶点染色
给定图G=（V，E）的一个k-点染色。用Vi表示G中染以 第i色的顶点集合（i=1,2，…，k），则每个Vi都是G 的独立集。因而G的每一个K-点染色对应V(G)的一个划 分[V1,V2,…,Vk]，其中每一个Vi是一个独立集。反之 ，给出V(G)的这样一个划分（V1,V2,…,Vk），其中每 一个Vi均是独立集（1≤i≤k），则相应得到G的一个k点染色，称V(G)的这样一个划分为G的一个色划分，每 一个Vi称为色类。因此，G的色数χ(G)就是使这种划 分成为可能最小自然数k。
推论：若G是p(G) 3且g(G) 3的平图，则 q(G) g(G) ( p(G) 2)。 g(G) 2
平面图的性质
推论：任何一个简单平面图G，有 q(G)≤3p(G)-6
推论：设G是简单平面图，则δ(G)≥6.
定理：仅存在5种正多面体，即正四面体、正 方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
定理：每一个平面的色数不超过5
边染色
定义：无环图G的一个正常染色k-边染色（简 称k-边染色）是指一个映射φ：E(G)→{1,2， …，k}，使对G中任意两条相邻的边e1和e2，有 φ(e1)≠φ(e2)。若G有一个正常k-边染色，则 称G是k-边染色的。G的边色数是指G为k-边染 色的最小整数k的值，记为
χ'(G)。若χ'(G)=k，则称G是k-边可色的。
边染色
设G有一个正常k-边染色，置Ei为G中所有染 以第i种颜色的边的全体，则E1，E2，…，Ek 是G的k个边不相交的对集，并且
图论的基本算法分析67页PPT
39、没有不老的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
图论的基本算法分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
图论课件第六章平面图
A6
A2
A5
A3
A4
7
第7页，本讲稿共35页
例子3：3间房子和3种设施问题
问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管 道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道 不与另外的线或管道相交，能否办到？
上面问题可以模型为如下偶图：
G
W
E
H1
H2
H3
问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边 之间不会交叉？
1、平面图的次数公式
12
第12页，本讲稿共35页
定理1 设G=(n, m)是平面图，则：
deg(f )2m
f
证明：对G的任意一条边e, 如果e是某面割边，那么由面 的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边， 那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义 ，它也给总次数贡献2次。于是有：
19
第19页，本讲稿共35页
所以， l (n2)4(62)8
l2
2
而m=9，这样有：
m l (n 2) l 2
所以，由推论2，K3,3是非平面图。
推论3 设G是具有n个点m条边ф个面的简单平面图， 则：
m3n6
20
第20页，本讲稿共35页
证明：情形1，G连通。 因为G是简单图，所以每个面的次数至少为3，即l=3 。于是，由推论2得：
如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且 仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应 的图为：
A1
A6
A2
A5 A3
A4
于是，问题转化为：能否把上图画在平面上，使得边不 会相互交叉？
6
第6页，本讲稿共35页
通过尝试，可以把上图画为：
《离散数学课件图论》PPT课件
，m3n6为真. 否则G中含圈，每个面至少由l（l3）条边围成
，又
l 1 2
l 2 l 2
在l=3达到最大值，由定理17.11可知m3n6.
定理17.13 设G为n（n3）阶m条边的极大平面图，则m=3n6. 证明：由定理17.4, 欧拉公式及定理17.7所证。
定理17.14 设G 为简单平面图，则 (G)5. 证明： 阶数 n6，结论为真。 当n7 时，用反证法。否则会 推出2m6n m3n，这与定理17.12矛盾.
如上面的例子。
18
精选PPT
平面图与对偶图之间的关系
定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则d(v*i)=deg(Ri) 证明： (1)、(2)平凡 (3) 应用欧拉公式 (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两
20
精选PPT
自对偶图
定义：设G*是平面图G的对偶图，若G*G，则称G为自 对偶图. 概念： n阶轮图（ Wn ）、奇阶轮图、偶阶轮图 轮图都是自对偶图。 画出W6和W7的对偶图，并说明它们都是自对偶图。
21
精选PPT
第十七章 小结
❖ 主要内容 ▪ 平面图的基本概念 ▪ 欧拉公式 ▪ 平面图的判断 ▪ 平面图的对偶图
22
精选PPT
练习1
1. 设G是连通的简单的平面图，面数r<12，(G)3. (1) 证明G中存在次数4的面 (2) 举例说明当r=12时，(1) 中结论不真.
解 设G的阶数、边数、面数分别为n, m, r.
图论第6章 平面图
(4) 平面图在加环或平行边后还是平面图。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
图论课件平面图的判定与涉及平面性的不变量
02
平面图的群论性质可以用来研究图的结构和性质，以及图的分
类和识别等问题。
群论在图论中有着广泛的应用，例如在化学分子结构、计算机
03
科学、交通运输等领域中都有重要的应用价值。
05 平面图的算法与复杂性
平面图的算法
欧拉路径与欧拉回路
通过遍历图中的边和顶点，寻找一条路径或回路，满足起点和终点是同一点，且路径或回 路上的所有边和顶点都不重复。
的路径，其中k为正整数。
平面图的边数与顶点数的关系
平面图中顶点数v和 边数e满足：ve+n=1，其中n为平 面的数量。
当平面图为连通图时， 顶点数v和边数e满足： v-e+1>0。
当平面图为简单图时， 顶点数v和边数e满足： v-e+1=0。
平面图的群论性质
01
平面图的群论性质是指平面图在群论中的表现形式，包括对称 性和置换群等。
应用
通过寻找是否存在哈密顿回路来判断一个图是否为平面图。如果存 在哈密顿回路，则该图是平面图。
限制
哈密顿回路判定法不适用于有向图和加权图。
03 平面性的不变量
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个遍历图所有边且每条边只遍 历一次的路径。
欧拉回路
一个遍历图所有边且每条边只遍 历一次，且起点和终点是同一点 的路径。
图的着色问题
给定一个图，使用最少的颜色对图中的顶点进行着色，使得相邻的顶点颜色不同。这是一 个NP完全问题，可以使用贪心算法、回溯算法等求解。
最短路径问题
在图中寻找两个顶点之间的最短路径，可以使用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等求解 。
平面图问题的复杂性
平面图的判定问题
图论_第6章补充平面性算法
一、相关概念
定义 设H是图G的一个子图，在E(G)\E(H)上定义关系“～ ”如下：e1～e2当且仅当存在一条途径W，使得 (i) W的第一条边与最后一条边分别是e1与e2，并且 (ii) W的内部顶点与H不相交。
e3
易证关系～具有自反性，对称性和传 递性，从而是E(G)\E(H)上的一个等价 关系。 此等价关系的等价类导出的G -E(H)的 子图称为H中的桥。桥与H的公共顶点 称为附着顶点。
(5) 取B5及H2’的外部面作为f，再取B5中的路P2=2896。置 H3= H2∪P2，并将P2画入f 内得H3’，如下图:
8 4 2 3 1 9
H3的桥为：
6
5
{38}，{59} 的过程依次由图所示，其后步骤的每一座桥的可画 入平面均只有一个，可任取。
8 2 7 4 9 6 1
1
2 8 3 4 7 9 5
6
解 (1) 取圈H1=2315642，其中平面嵌入H1’如下图。H1的 桥，分别用边集表示。
4 2 3 1 6 5 1
H1的桥为：
B1={14} B2={17, 47, 76} B3={28, 38, 89, 96, 95}
2 8
7
6
9
5
3
G-E(H1)
4
(2) 对每个Bi，F(Bi, H1’)均含有两个Bi可画入的面，即圈H1’
e1
e4
e2
e5 e7
e6
B1 B2
B3
B4
由桥的定义可直接推出： (1) 若B是H的桥，则B是连通图; (2) B的任何两个顶点都有和H的内部不相交的路相连接; (3) 不计H的顶点，H的任意两座桥没有公共顶点。
例 在下图中取其子图，如实线所示。其余不同种类的线段 表示该子图的四座不同的桥：B1，B2，B3，B4。
平面性算法
应用举例
图2 G
为了说明这个算法，考察图2中的图G，从圈和G的一张桥的表开始(为了简洁起见，桥用其边集来表示)；在 每一步中。对于的桥B以粗体字标出。这个例子中，算法终止于G的一个平面嵌入，所以G是平面图。
感谢观看
图1(a) G
图1(b) G容许的嵌入
图1(c) G不容许的嵌入
若B是H(在G中)的任意一座桥，且B对于H的接触点都包含在的面的周界上，则称B在的面内是可画的。用表示 在中桥B是可画出的那些面的集。
相关定理
平面性算法是基于如下定理：
若是容许的，则对于H的每座桥B，。
证明：若是G容许的，则根据定义，存在G的一个平面嵌入，使得。显然，H的桥B所对应的的子图必然限制在 的一个面中，因此。
由于一个图是平面图当且仅当它的基础简单图的每个块都是平面图，所以只要考察简单块就够了。给定这样 的一个图G后。算法就确定了G的一个平面子图的递增序列，以及对应的平面嵌入，终止于G的一个平面嵌入。对 每一步，都应用定理的必要条件，来判断G的非平面性 。
具体过程
步骤如下： 1.设是G的一个圈，找出的一个平面嵌入，置 ； 2.若，则停止；否则，确定G中的所有桥；对于每座这样的桥B，找出集 ； 3.若存在一座桥B，使得，则停止，根据定理，G是非平面图，若存在一座桥B，使得，则令，否则令B是任一 座桥，且是任一使得的面； 4.选择一条连结B对于的两个接触顶点的路，置，并把画在的面内，得到的一个平面嵌，令，转入步骤2。 这个算法是一个有效算法，它的主要运算包括： (i)找出图G中的一个圈 ； (ii)确定G中的桥以及它们对于的接触顶点； (iii)对于的每个面确定 ； (iv)对于的每座桥B，确定 ；
基本介绍
平面性算法(planarity algorithm)是一种求平面嵌入的算法，指判断一个给定的图是否是可平面图，并且 如果它是可平面图，则要找出它的平面嵌入来。设H是图G的一个可平面子图，是H在这个平面中的一个嵌入，若G 是可平面图，且存在G的一个平面嵌入，使得，则称是G容许的。例如，图1表示G的一个平面子图的两个嵌人；一 个是G容许的，而另一个则不是。
图论课件--平面图的判定与涉及平面性的不变量
m=3(n2+2)
对于完全图的亏格曾经是一个长期的，有趣的，困难 的和成功的努力。1890年希伍德提出如下猜想：
(Kn) (n31)2 (n4) (*)
希伍德由推论(1)证明了：
(Kn)(n31)2(n4)
同时希伍德也证明了γ(K7)=1. 1891年，赫夫曼对n= 8---12 进行了证明； 1952年，林格尔对n= 13 进行了证明； 记阶数n=12s+r
u1
G1
u2
u3
u4
u5
v1
v2
G2
v3
v4
w1
v5
w2
G
w3
G3
w4
w5
பைடு நூலகம்
F GK3
注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷 贝中的边没有画出。图中虚线不是对应的Gi中边。
可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。 尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于 K5与K3,3得到了图的平面性判据。 1、相关概念 定义1 在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分 成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度 顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在 2度顶点内收缩。
库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一 事实而提出的平面性判定方法。
所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。 一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是 G不含子图K5和K3,3。 上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？
十分遗憾！下面例子给出了回答：NO!
下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。 考虑 F=G×K3
( 3 ) , 若 G 每 个 面 是 三 角 形 ， 则 ： m = 3 ( n 2 + 2 ) ( 4 ) , 若 G 每 个 面 是 四 边 形 ， 则 ： m = 2 ( n 2 + 2 )
对于完全图的亏格曾经是一个长期的，有趣的，困难 的和成功的努力。1890年希伍德提出如下猜想：
(Kn) (n31)2 (n4) (*)
希伍德由推论(1)证明了：
(Kn)(n31)2(n4)
同时希伍德也证明了γ(K7)=1. 1891年，赫夫曼对n= 8---12 进行了证明； 1952年，林格尔对n= 13 进行了证明； 记阶数n=12s+r
u1
G1
u2
u3
u4
u5
v1
v2
G2
v3
v4
w1
v5
w2
G
w3
G3
w4
w5
பைடு நூலகம்
F GK3
注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷 贝中的边没有画出。图中虚线不是对应的Gi中边。
可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。 尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于 K5与K3,3得到了图的平面性判据。 1、相关概念 定义1 在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分 成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度 顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在 2度顶点内收缩。
库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一 事实而提出的平面性判定方法。
所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。 一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是 G不含子图K5和K3,3。 上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？
十分遗憾！下面例子给出了回答：NO!
下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。 考虑 F=G×K3
( 3 ) , 若 G 每 个 面 是 三 角 形 ， 则 ： m = 3 ( n 2 + 2 ) ( 4 ) , 若 G 每 个 面 是 四 边 形 ， 则 ： m = 2 ( n 2 + 2 )
图论课件--平面图的判定与涉及平面性的不变量共34页文档
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
图论课件--平面图的判定与涉及平面 性的不变量
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法பைடு நூலகம்和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
图论平面图
定理: K5是非可平面图 证明： 反证法 若G是与K5对应的平面图, v1 , v2 , v3 , v4 , v5 是G 的顶 点， 因为G是完全图，任意两点邻接， 所以 回路 C = v1v2 v3v1 是一个Jordan曲线，则 v4 ∈ int C 或 v4 ∈ extC 。
设 v4 ∈ int C ，（v4 ∈ extC 同理），那么边 (v4 , v1),(v4 , v2 ),(v4 , v3 ) int C1 , int C2 , int C3 这里 将 int C 分成3割区域： C1 = v1v4 v2 v1 , C2 = v2 v4 v3v2 , C3 = v3v4 v1v3 v5 一定在4个区域中的一个区域内，如果 v5 ∈ extC 那么因为 v4 ∈ int C 根据 Jordan定理，边(v4 , v5 ) 一定 与 C 相交， 这就与G是平面图的假设矛盾，对于 v5 ∈ int Ci 可以按照同样的方法处理。
v3*
证明：
若
D
v5
v2
D
D
F1 F2 Dv * 2
D v1 Dv1* D v3
F3
D v4ห้องสมุดไป่ตู้
9.2.10 举例说明下列命题： “平面图G有度 数为1 的顶点，则其对偶图G*含有环；若G有 度数为2的顶点，则G*含有重边。”的逆命题不 真。
9.2.10 举例说明下列命题： “平面图G有度 数为1 的顶点，则其对偶图G*含有环；若G有 度数为2的顶点，则G*含有重边。”的逆命题不 真。 提示：它的对偶图既含环又含重边。
定义:如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度 数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2 D 次结点内同构. D D D D D 例如右边3个图就是 D D D D D D 在2度结点内同构. 定理4.7 (Kuratowski定理)一个图是平面图的充分且必 要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2次结点内同构的子 图. (此定理证明略.) 判断下面彼得森(Petersen)图: D v1 D v1 Dv6 v Dv6 v Dv1 Dv8 Dv9 v7 v 10 7 10 Dv3 v2 D D Dv4 D Dv5 v2 D D D Dv5 Dv10 Dv8 Dv9 Dv8 Dv9 Dv2Dv7 Dv6 Dv5 Dv3 Dv4 Dv3 Dv4
图论讲义第7章-平面图
第七章 平面图§7.1 平面图的概念定义7.1.1 如果图G 能画在曲面S 上，使得任意两边互不交叉，则称G 可嵌入曲面S 。
若图G 可嵌入平面，则称G 是可平面图或平面图，画出的无交叉边的图形称为图G 的平面嵌入。
例如，下面是三个平面图及其平面嵌入。
根据定义，下列定理是显然的。
定理7.1.1 若图G 是平面图，则G 的任何子图都是平面图。
定理7.1.2 若图G 是非平面图，则G 的任何母图都是非平面图。
定理7.1.3 若图G 是平面图, 则在G 中添加重边或环边后所得之图仍是平面图。
注：由以上定理知(1) K n ( n ≤4 ) 和 K 1,n (n ≥ 1)及其所有子图都是平面图。
(2) 环边和重边不影响图的平面性。
故以下讨论平面性时总假定图G 是简单图。
定义7.1.2 设图G 是平面图 (已平面嵌入)，G 的边将平面划分出的若干区域都称为图G 的面。
其中面积无限的面称为无限面或外部面，面积有限的面称为有限面或内部面。
包围一个面的所有边称为该面的边界。
一个面边界上的边数称为该面的次数 (割边按两次计)，面R 的次数记为deg (R )。
定理7.1.4 平面图G 中所有面的次数之和等于G 的边数的两倍，即其中R 1, R 2, … , R r 是G 的所有面。
证明： 对G 的任何一条边e ，若e 是两个面 R i 和 R j 的公共边界，则在计算R i 和 R j 的次数时，e 各提供了1；若e 只是某一个面的边界，则在计算该面的次数时，e 提供了2。
可见每条边在计算总次数时，都提供2。
因而结论成立。
1deg()2().r ii R G ε==∑定义7.1.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u, v之间加边uv 后，所得之图成为非平面图，则称G是极大平面图。
易见K1, K2, K3, K4, K5– e 都是极大平面图。
定义7.1.4 若非平面图G任意删除一条边后，所得之图都是平面图，则称G为极小非平面图。
图论第四章 平面图及着色
是v-1阶极大平面图,由归纳假设,G’有平面表示 G~'
使 G~' 的每条边都是直线. (b)考和虑图(Gc~)')中.这边样P得z1到和的Pz图2,将G~它就分是裂G成的两平个面三表角示形,而(图 且每条边都是直线段.定理得证.
z3
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x
x
y
(a)
y z1
(b)
p
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(c)
凸多面体
推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w) 从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了
w-1次.).所以有:
例2 对哪些n,存在n条棱的凸多面体？
解:以多面体的顶点为图的顶点,以多面体的棱为图的边, 得到一个平面图G,若p(G),q(G),f(G)分别表示G的顶点数, 边数和面数,则p(G)4, f(G) 4,且每个面的度数是3,由 Euler公式易得q(G) 6,即没有棱小于6的凸多面体.四面 体是棱数为6的凸多面体.若有7条棱的凸多面体,则存在 满足上述条件, q(G) =7的平面图,由Euler公式p(G) +f(G)= q(G)+2=9,但G的每个面的度数至少是3,故 2q(G)=G(m) 3f(G)(m为G的面),
第四章 平面图
第一节 平面图
定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G% 称为G的平面表示。
使 G~' 的每条边都是直线. (b)考和虑图(Gc~)')中.这边样P得z1到和的Pz图2,将G~它就分是裂G成的两平个面三表角示形,而(图 且每条边都是直线段.定理得证.
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y z1
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p
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z1
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(c)
凸多面体
推论3 设G是带v个顶点，e条边，r个面的平面图， 则 v- e+ r=1+w。其中w为G的连通分支数。
证明:由欧拉公式有: vi- ei+ ri=2(i=1,2,…,w) 从而有 vi- ei+ ri =2w 又 vi=v, ei=e, ri =r+(w-1)(外部面被重复计算了
w-1次.).所以有:
例2 对哪些n,存在n条棱的凸多面体？
解:以多面体的顶点为图的顶点,以多面体的棱为图的边, 得到一个平面图G,若p(G),q(G),f(G)分别表示G的顶点数, 边数和面数,则p(G)4, f(G) 4,且每个面的度数是3,由 Euler公式易得q(G) 6,即没有棱小于6的凸多面体.四面 体是棱数为6的凸多面体.若有7条棱的凸多面体,则存在 满足上述条件, q(G) =7的平面图,由Euler公式p(G) +f(G)= q(G)+2=9,但G的每个面的度数至少是3,故 2q(G)=G(m) 3f(G)(m为G的面),
第四章 平面图
第一节 平面图
定义1 如果图G能画在曲面S上且使得它的边仅在端 点处相交，则称G可嵌入曲面S。如果G可嵌入平面 上，则称G是可平面图，已经嵌入平面上的图 G% 称为G的平面表示。
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于是，H的桥B所对应的 G 的子图，必然限制在 H 的 某个面内。所以：
F(B, H )
注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条 件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,
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使得对于某桥B，有 F (B, H )= ，那么，G是非
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v1 v2
v8 v7
v2 f2 f1
v6 f3
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B1 G[v1v4] F(B1, H2 ) f1, f3
B2 G[v2v7] F(B2, H2 ) f3
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B6 G[v4v5] B7 G[v5v8]
F(B6 , H1) f1, f2 F(B7 , H1) f1, f2
B8 G[v6v8] F(B8, H1) f1, f2
(3) 取B1和f1. (4) 取P1=v1v3
B2
f2
G
解：
F(B1, H) f2, f3 F (B2 , H )
F(B3, H) f3
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定理1 设 H
是G容许的，则对于H的每座桥B:
F(B, H )
证明：因 H 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌 入 G ，使得：H G
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B6 G[v6v8] F(B6 , H3) f1
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(3) 取B1和f1. (4) 取P3=v1v4
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v2 f2
f1 f4 v3
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图G
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B1 G[v2v6] F(B1, H4 ) f3
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证明：由条件易知：
n 2
由欧拉公式得： 2 n m n
2
于是得： m
3n 2
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例5 设G是一个(n, m)单图，图G分解为可平面的最少 个数称为G的厚度θ(G).求证：
(1)
(G)
m 3n
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(一)、涉及算法的相关概念
关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判 定方法：
(1) 对于简单图G=(n, m)，如果m>3n-6，则G是非可 平面的；
(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l≥3, 且m>(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；
由惠特尼定理得： (G) k(G) 5
所以： 2m deg(v) 5n vV (G)
另一方面：G是5连通简单可平面图，所以有：
m 3n 6 于是得：2.5n m 3n 6
即：0 m 2.5n 0.5n 6
所以：n≥12。
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(5) 置i=i+1转(2)。
例5 用平面性算法考察下图G的平面性。
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v3 v4
v6 v5 图G
解：(1) 取G的一个圈H1,并作平面嵌入：
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图论及其应用
应用数学学院
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本次课主要内容
平面性算法
(一)、涉及算法的相关概念 (二)、平面性算法
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入，否则，称B在面 f 内不可画入。
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对于G的桥B,令：
F(B, H ) f f 是H的面，且B在f内可画入
例4 红色边的导出子图是H,如果取 H =H 确定H的桥在 H
中可以画入的面集合。
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证明：若不然，则：2m deg( f ) 6 f
由欧拉公式得： 2 n m m
3
于是得：2m 3n 6
另一方面：由δ(G)≥3得：2m≥3n >3n-6
这样导出矛盾。 例4设G是一个(n, m)图。 求证：若G是外可平面图， 且没有三角形，则：m≦(3n-4)/2
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v1
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v5 图G
v1 v2
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v6 v5 H1
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H1
(2) B1 G[v1v3] F(B1, H1) f1, f2
B2 G[v1v4] F(B2 , H1) f1, f2 B3 G[v2v7] F(B3, H1) f1, f2 B4 G[v2v6] F(B4 , H1) f1, f2 B5 G[v3v7] F(B5, H1) f1, f2
可平面的。
根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G 的平面性问题：
先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是 H1
对于H1的每座桥B,如果：F (B, H1)= ，则G非可
平面。
否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面
f F (B1, H1)
将B1画入 H1 的面 f 中。
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容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。
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定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ~” 的等价类 在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。 桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。
(3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有 与K5或K3,3同胚的子图；
(4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够 收缩成K5或K3,3的子图；
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上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个
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设G是至少三个顶点的简单块。
(1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 H1 。置i=1;
(2) 若E(G)-E(Hi)=Φ,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥，
并对每座桥B，求出
F (B, H；i )
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图G
f4
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H3
B1 G[v1v4] F(B1, H3) f1
B2 G[v2v6] F(B2 , H3) f3 B3 G[v3v7] F(B3, H3) f1, f4 B4 G[v4v5] F(B4 , H3) f1, f4
B5 G[v5v8] F(B5, H3 ) f1
v1 v2
v8 v7
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v5 图G
v1 v2
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G
算法分析：主要运算包括：
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（i）找出块G中的一个圈Hi；
（ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；
（iii）对于 Hi 的每个面 f 确定其周界；
B2 G[v3v7] F(B2, H4 ) f5
B3 G[v4v5] F(B3, H4 ) f1, f5
F(B, H )
注：定理1实际上给出了一个图是可平面图的一个必要条 件。这个必要条件表明：如果存在G的一个可平面子图H,
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使得对于某桥B，有 F (B, H )= ，那么，G是非
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v8 v7
v2 f2 f1
v6 f3
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B2 G[v2v7] F(B2, H2 ) f3
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B6 G[v4v5] B7 G[v5v8]
F(B6 , H1) f1, f2 F(B7 , H1) f1, f2
B8 G[v6v8] F(B8, H1) f1, f2
(3) 取B1和f1. (4) 取P1=v1v3
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解：
F(B1, H) f2, f3 F (B2 , H )
F(B3, H) f3
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定理1 设 H
是G容许的，则对于H的每座桥B:
F(B, H )
证明：因 H 是G容许的，由定义，存在G的一个平面嵌 入 G ，使得：H G
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B6 G[v6v8] F(B6 , H3) f1
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(3) 取B1和f1. (4) 取P3=v1v4
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证明：由条件易知：
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由欧拉公式得： 2 n m n
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于是得： m
3n 2
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例5 设G是一个(n, m)单图，图G分解为可平面的最少 个数称为G的厚度θ(G).求证：
(1)
(G)
m 3n
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(一)、涉及算法的相关概念
关于图的平面性问题，我们建立了一些可平面性判 定方法：
(1) 对于简单图G=(n, m)，如果m>3n-6，则G是非可 平面的；
(2) 对于连通图G=(n, m)，如果每个面次数至少为l≥3, 且m>(n-2)l /(l-2)，则G是非可平面的；
由惠特尼定理得： (G) k(G) 5
所以： 2m deg(v) 5n vV (G)
另一方面：G是5连通简单可平面图，所以有：
m 3n 6 于是得：2.5n m 3n 6
即：0 m 2.5n 0.5n 6
所以：n≥12。
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(5) 置i=i+1转(2)。
例5 用平面性算法考察下图G的平面性。
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解：(1) 取G的一个圈H1,并作平面嵌入：
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本次课主要内容
平面性算法
(一)、涉及算法的相关概念 (二)、平面性算法
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入，否则，称B在面 f 内不可画入。
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对于G的桥B,令：
F(B, H ) f f 是H的面，且B在f内可画入
例4 红色边的导出子图是H,如果取 H =H 确定H的桥在 H
中可以画入的面集合。
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证明：若不然，则：2m deg( f ) 6 f
由欧拉公式得： 2 n m m
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于是得：2m 3n 6
另一方面：由δ(G)≥3得：2m≥3n >3n-6
这样导出矛盾。 例4设G是一个(n, m)图。 求证：若G是外可平面图， 且没有三角形，则：m≦(3n-4)/2
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(2) B1 G[v1v3] F(B1, H1) f1, f2
B2 G[v1v4] F(B2 , H1) f1, f2 B3 G[v2v7] F(B3, H1) f1, f2 B4 G[v2v6] F(B4 , H1) f1, f2 B5 G[v3v7] F(B5, H1) f1, f2
可平面的。
根据上面的结论：我们可以按如下方式来考虑G 的平面性问题：
先取G的一个可平面子图H1, 其平面嵌入是 H1
对于H1的每座桥B,如果：F (B, H1)= ，则G非可
平面。
否则，取H1的桥B1,作：H2=B1∪H1,再取一个面
f F (B1, H1)
将B1画入 H1 的面 f 中。
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容易验证：上面的关系是E(G)-E(H)元间的等价关系。
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0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
定义2 设B是E(G)-E(H)关于二元关系“ ~” 的等价类 在G中的边导出子图，则称B是G关于子图H的一座桥。 桥与H的公共顶点称为桥B在H中的附着顶点。
(3) 库拉托斯基定理：G是可平面的当且仅当G不含有 与K5或K3,3同胚的子图；
(4) 瓦格纳定理：G是可平面的当且仅当G不含有能够 收缩成K5或K3,3的子图；
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
上面的方法，局限性很大。这次课我们将给出一个
11
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
设G是至少三个顶点的简单块。
(1) 取G的一个圈H1,求出H1的一个平面嵌入 H1 。置i=1;
(2) 若E(G)-E(Hi)=Φ,则停止；否则，确定G中Hi的所有桥，
并对每座桥B，求出
F (B, H；i )
v7
v4
v5
图G
f4
v4
v8
H3
B1 G[v1v4] F(B1, H3) f1
B2 G[v2v6] F(B2 , H3) f3 B3 G[v3v7] F(B3, H3) f1, f4 B4 G[v4v5] F(B4 , H3) f1, f4
B5 G[v5v8] F(B5, H3 ) f1
v1 v2
v8 v7
v3 v4
v6
v5 图G
v1 v2
v3 v4
v5 v6
v7 v8
G
算法分析：主要运算包括：
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
（i）找出块G中的一个圈Hi；
（ii）确定G中Hi的桥以及它们对于Hi的附着点；
（iii）对于 Hi 的每个面 f 确定其周界；
B2 G[v3v7] F(B2, H4 ) f5
B3 G[v4v5] F(B3, H4 ) f1, f5