精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第05课 二次函数的图象05
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第09课 二次函数综合复习
第09课 二次函数综合复习1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）A.y=-(x-2 )2-2 B.y=-(x-2 )2+6 C. y =-(x+2 )2-2 D. y=-(x+2 )2+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2-2 3.把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A.21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+-4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=126.二次函数522-+=x x y 有( )A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6 7.抛物线2)1(212+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线__________11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第06课 二次函数实际应用 二
第06课二次函数实际应用二例1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线my+=与该二次函数的图象交于A、B两点，x其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当h最大值时，求其P点坐标。
例2.如图，已知二次函数24=-+的图像经过点A和点B．y ax x c（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离.例3.如图，抛物线c=2与x轴交于A(-1,0),B(3,0) 两点.y++bxx(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y 轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.例4.某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程. 图中的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润S（万元）与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.根据图象提供信息，解答下列问题：（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；（4）求第8个月公司所获利是多少元？例5.如图，已知抛物线1-)1-2(22n x n x y ++= (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.课堂练习：1.在二次函数y=x 2+bx+c 中，若b+c=0，则它的图象一定经过点（ ）A ．（-1，-1）B ．（1，-1）C ．（-1，1）D ．（1，1）2.若ac ﹤0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点个数为（ ）A ．2个B ．l 个C ．0个D ．无法确定3.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列5个代数式：ab ，ac ，a-b+c ，b 2-4ac ，2a+b 中，值大于0的个数有（ ）5.在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax-1（a ≠0）的图象可能是图中的（ ）6.已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）7.如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的对称轴是直线x=1．下面给出了4个结论：①a ﹤O ，b ＞0；②2a+b=0；③a+b+c ＞0；④4a+2b+c=0．正确结论的序号是 .8.已知抛物线c x x y ++=221与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围；(2)抛物线c x x y ++=221与x 轴两交点的距离为2，求c 的值．9.如图所示，二次函数y=-x 2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求m 的值；（2）求点B 的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D （x ，y ）（其中x ＞0，y ＞0），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．10.如图，在平面直角坐标系中，已知直线3-+=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--圆-第05课 与圆有关的计算
第05课 与圆有关的计算知识点：(1)多边形内角和公式：01802⋅-）（n (2)边心距：过圆心作边的垂线段(3)把一个圆分成n(n ≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．(4)一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．(5)正n 边形的每一个内角等于________，它的中心角等于________，它的每一个外角等于_________ 几种特殊的正多边形：正三角形 正方形 正六边形a 34r 2==R a 21r 2==Ra r 32==R 弧长：如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长=l扇形面积计算： 方法一：如果已知扇形圆心角为n ，半径为r ，那么扇形面积=s 方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为r ， 那么扇形面积=s‴圆锥的侧面积与表面积:（1）h 为圆锥的 ，a 为圆锥的 ，r 为圆锥的 ，由勾股定理可得：a 、h 、r 之间的关系为：（2）圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。
故:圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。
圆锥的表面积= + 例1.正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）A. 1:2:3B.321：： C.321：： D.321：： 例2.如图，分别以△ABC 的三个顶点为圆心，6cm 为半径作三个等圆，与三边的交点分别是E 、 G 、H 、N 、M 、F ，求弧EF 、弧GH 、弧MN 的长度的和l ．例3.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm ，求此扇形的面积。
例4.如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，PA=2cm ，PC=1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A.2235cm π- B.2435cm π- C.24235cm π- D.2232cm π-例5.如图，把直角三角形 ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A ″B ′C ″的位置，设BC=1，AC= 3 ，则顶点A 运动到 A ″的位置时，点A 经过的路线与直线l 所围成的面积是____________（计算结果不取近似值）例6.如图，等腰直角△ABC 的斜边AB ＝4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ，求图中阴影部分的面积（结果用π表示）。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
2024-2025学年初中数学九年级上册(人教版)同步学案第05讲二次函数压轴专题训练(原卷版)
第05讲 二次函数压轴专题知识点01 二次函数的图像与系数的关系1. a 与开口方向的关系。
2. 对称轴与b a ，的关系；对称轴在y 轴左边或右边与b a ，的符号的关系；对称轴与±1的关系可得02与b a +以及02与b a -的关系。
3. 函数与y 轴交点坐标与c 的关系。
4. 函数与x 轴的交点个数与ac b 42-的关系。
5. c b a ++是自变量为 的函数值，c b a +-是自变量为 的函数值。
c b a ++24是自变量为 的函数值，c b a +-24是自变量为 的函数值。
c b a ++39是自变量为 的函数值，c b a +-39是自变量为 的函数值。
【即学即练1】1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a +c ＞0；③4a +2b +c ＞0；④2a +b ＝0；⑤b 2＞4ac ．其中正确的结论的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【即学即练2】2．如图，根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到如下结论：①abc ＞0 ②2a ﹣b ＝0 ③a +b +c ＝0 ④3a +c ＜0 ⑤当x ＞﹣2时，y 随x 的增大而增大 ⑥一定存在实数x 0，使得ax +bx 0＞a ﹣b 成立．上述结论，正确的是（ ）A ．①②⑤B ．②③④C ．②③⑥D ．③④⑤【即学即练3】3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①abc ＞0；②2a ﹣b +c ＜0；③4a +2b +c ＝0；④2a ﹣b ＝0；⑤．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】4．某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（）①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③；④8a+c＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点02 二次函数的最值问题1.求线段最值问题：2.求图形的面积最值问题：将线段的最值与面积的最值统统转化为二次函数的最值求解。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数-第05课 二次函数实际应用 一
第05课 二次函数实际应用 一例1.求下列二次函数的最值：(1)求函数3-22x x y +=的最值;)32-(≤≤x (2)求函数3-22x x y +=的最值．)30(≤≤x例2.已知：二次函数c x ax y +=4-2的图象经过点A(1，-8)和点(-2，7)．(1)求该二次函数的解析式；(2)将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．例3.抛物线kx m x k y 4-)2-(22+=的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线221-+=x y 上，求抛物线解析式。
例4.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。
设每件商品的售价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元，（1）求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？例5.如图，二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，-2）、N （-1，6）． （1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式．（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB=900，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5. 将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离．课堂练习：1.小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.3512+-=x y 的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是( ).A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m 2.把抛物线142-2++=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 （ ）A.6)1-(2-2+=x yB.6-)1-(2-2x y =C.6)1(2-2++=x yD.6-)1(2-2+=x y 3.若直线y=x-n 与抛物线n x x y --2=的交点在x 轴上, 则n 的取值一定为 ( ) A.0 B.2 C.0或2 D.任意实数 4.不论x 为何值,函数)0≠(2a c bx ax y ++=的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<05.若函数432)1(+++=m m x m y 是二次函数，则m 的值为6.已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是7.二次函数5-6-2x x y +=，当x 时， y<0，且y 随x 的增大而减小．8.如图,抛物线c bx ax y ++=21和直线n mx y +=2的图象，观察图象，y 2≥y 1时，x 的取值范围____________ 9.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第07课 二次函数图象性质
y ax 2 bx c 的值为 m 的自变量 x 的值．
例 2.如图为二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中： ①ac＜0；②方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大． 正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上） ．
第 07 课 二次函数图象性质
知识点： ⑴ 一 元 二 次 方 程 ax 2 bx c 0 的 实 数 根 就 是 对 应 的 二 次 函 数 y ax 2 bx c 与 的 .（即把 y 0 代入 y ax bx c ）
2
x 轴交点
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下： （一元二次方程的实数根记为 x1、x2 ）
例 5.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为 例 6.如图，一元二次方程 ax 2 bx c 3 的解为
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。 。
课堂练习：
1.已知抛物线 y=ax +bx,当 a>0,b<0 时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 B.一、二、四象限 C.一、三、四象限
0
8.已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示，则 a___0，b___0，c___0， b 2 4ac ____0；
2
9.一元二次方程 ax 2 bx c 0 的解为____________
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10.抛物线 y ( x 2)( x 5) 与坐标轴的交点分别为 A、B、C，则△ABC 的面积为__________ 11.如图，是二次函数 y ax 2 x a 2 1 的图象，则 a=________
人教版九年级数学上二次函数第5课时教案教学设计教学案课时作业试卷同步练习含答案解析
二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质(第5课)【目标导航】1.会用配方法确定二次函数图象的顶点坐标、开口方向和对称轴.2.会利用图象的对称性画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，会利用三种形式求抛物线解析式.【要点梳理】1.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标与对称轴一般地，我们可以用配方法求抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标与对称轴.y =ax 2+bx +c =a (x + )2+ .因此，抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是 ，顶点坐标是 . 2.二次函数y =ax 2+bx +c 的性质（1）当a >0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x =2b a -，顶点坐标坐标2424b ac b a a(,)--， 在对称轴左侧，即当x <2b a -时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧，即当x >2b a-时，y 随x 的增大而增大，当x = 时，y 最小值= .（2）当a<0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x =2b a -，顶点坐标坐标2424b ac b a a(,)--， 在对称轴左侧，即当x <2b a -时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，即当x >2b a-时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，y 最大值= .【课堂操练】 例1 （2011新疆维吾尔自治区）已知抛物线243y x x =-+-与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点的坐标；（2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x 取何值时，函数值大于零； （3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平移后图象的函数表达式．x y练一练：1.用配方法将二次函数23212+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式为 ， 它的开口方向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ．2.已知抛物线2214y m x mx m ()=-++-的图象过原点，且开口向上.（1）求m 的值，并写出函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标和对称轴.3.已知抛物线562+-=x x y 部分图象如图，则抛物线对称轴为直线 ， 满足0<y 的x 的取值范围是 ，将抛物线562+-=x x y 向 平移 个单位，则得到抛物线962+-=x x y ．4. （2011江西）已知二次函数y=x 2+bx －2的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ）.A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）5、在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，已知ac b =2，且当0=x 时，4-=y ，那么y 的 最 值为 ．例2 分别在下列范围内求函数223y x x =--的最大值或最小值.（1）02x <<；（2）23x ≤≤.例3已知抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图所示． （1）求抛物线解析式和顶点坐标；（2）画出抛物线y ＝ax 2＋b x ＋c 当x ＜0时的图象； （3）利用抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，写出为何值时，y ＞0．练一练：1、（2011山东威海）二次函数223y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3B ．x ＜－1C ． x ＞3D ．x ＜－1或x ＞32、（2011浙江温州）已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值3、（2011自贡）有下列函数：①3y x =- ②1y x =- ③1(0)y x x=->④221y x x =++，其中函数值y 随自变量x 增大而增大的函数有 （ ）A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④ 例4已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标坐标为（1，-4）． （1）求此函数关系式．（2）在直角坐标系中，画出它的图象．（3）根据图象说明：当x 为何值时，函数值为0？当x 为何值时，函数y 随x 的增大而增大？当x 为何值时，y >0？例5已知二次函数经过点A (2,4),B (－1,0)且在x 轴上截得的线段长为2,求函数的解析式．【课后盘点】1. （2011江苏淮安）抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .2.抛物线2245y x x =++的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．3.二次函数14312+--=x x y 的最 值是 ，此时x = ． .4.抛物线c bx ax y ++=2过点（1，2），顶点坐标为（2，3），则=a ，=b ，=c ．5.若二次函数24y x x c =++的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝_______（只要求写出一个即可）6.若二次函数22224y x kx k =++-的图象与x 轴的一个交点为A （－2，0），那么该二次函数的顶点坐标为____________.7. 已知函数2y ax bx c =++，当x ＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），则此函数的解析式为______________.8. （2011陕西）若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则321y y y 、、大小关系正确的是（ ）A ．321y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．213y y y >>9. （2011山东枣庄）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是12x =； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．10.将2(1)3y x =-+-的图象绕顶点旋转180°后，得到的函数的解析式为 ． 11.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为0，则 （ ） A ．2040a b ac >-=， B ．2040a b ac <->，C ．2040a b ac >-<， D ．2040a b ac <-=，12.已知二次函数y ＝2x 2＋9x +34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与 （ ） A ．x ＝1时的函数值相等 B ．x ＝0时的函数值相等C ．x ＝41时的函数值相等D ．x ＝－49时的函数值相等13.已知一个二次函数的图象经过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，-3）三点；（1）求此函数解析式；（2）对于实数m ，点M （m ，-5）是否在这个二次函数的图象上？说明理由．14.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求函数解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．15. (2011江苏南京)已知函数y =mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．16.已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++ 上，且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这条抛物线的顶点坐标．17.已知抛物线21312y x x =+-和直线y x k =-． （1）当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？（2）当k 为何值时，抛物线与直线只有一个公共点？（3）当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？参考答案【要点梳理】1、答案：a b 2，a b ac 442- 直线a b x 2-= ，（-ab ac a b 44,22-）2、答案：（1）-a b 2 ， a b ac 442- （2）-a b 2， ab ac 442- 。
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第06课 二次函数解析式求法
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10.已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0） 、B（3，0）两点，且函数有最大值是 2. (1)求二次函数的图象的解析式；(2)设次二次函数的顶点为 P，求△ABP 的面积.
11.已知某绿色蔬菜生产基地收获的大蒜， 从四月一日起开始上市的 30 天内， 大蒜每 10 千克的批发价 y （元）是上市时间 x (天)的二次函数，有近几年的行情可知如下信息：
2
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日期：
1.已知 y mx m A.0，-3
课堂测试题 06 满分：100 分 姓名：
） C.0 ） B.x>0 时 y 随 x 增大而增大。 D.若 a>0 则 y 有最大值。
得分：
是二次函数，则 m 的值为（ B.0，3
D.-3
2.关于二次函数 y ax 2 b ，命题正确的是（ A.若 a>0,则 y 随 x 增大而增大 C.若 x>0 时，y 随 x 增大而增大
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9.如图：(1)求该抛物线的解析式；(2)根据图象回答：当 x 为何范围时，该函数值大于 0。
10.如图，已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm，∠B=30°，若边长 AB=x(cm)。 (1)写出□ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式，并求自变量 x 的取值范围。 (2)当 x 取什么值时，y 的值最大?并求最大值。 (3)求二次函数的函数关系式
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例 4.已知二次函数 y
1 2 、B（0，－6）两点。 x bx c 的图象经过 A（2，0） 2
（1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连结 BA、BC，求△ABC 的面积。
精品 2014年九年级数学上册暑期讲义+同步练习--二次函数 第03课 函数的图象与性质02
第03课 函数2)(h x a y -=的图象与性质知识点：函数2)(h x a y -=图象性质（1）形状：二次函数2)(h x a y -=的图象是 ，（2）开口方向：当a 0时，开口向_____；当a 0时，开口向_____； （3）顶点坐标： ⇔反映在坐标系中： （4）对称轴：（5）最值：当a 0时，有最 值；当a 0时，有最 值。
（6）增减性：当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；当a 0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；（7）图象左右平移：2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>-=k k x a y 2ax y =向 平移 个单位后解析式为）（0)(2>+=k k x a y 例1.在同一坐标系中画出二次函数22x y =，2)1(2-=x y ，2)1(2+=x y 的图象，它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这三个函数的图象之间有什么关系?总结：1.函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2-=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
函数2)1(2+=x y 与22x y =的图象开口方向 、对称轴和顶点坐标 ；函数2)1(2+=x y 的图象可以看作是函数22x y =的图象向 平移 个单位得到的，它的对称轴是 ，顶点坐标是 。
2.函数2)1(2-=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
函数2)1(2+=x y 的图象当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的左右平移与 有关平移规律：若抛物线顶点落在x 轴上⇔042=-ac b增大而增大；当x=______时，函数取得最______值y=______。
2014年 九年级数学上册同步教案+同步练习--二次函数
C. y 2 x 2 1
6.如图,A，B 分别为 y x 2 上两点，且线段 AB⊥y 轴，若 AB=6，则直线 AB 的表达式为（ A.y=3 B.y=6 C.y=9 D.y=36
（ 2 - 1）x 2 ，抛物线上三点坐标分别为 A(x1，y1),B(x2，y2),C(x3，y3)，满足 x1<x2<x3<0, 7.已知抛物线 y =
2 2
2
C.与 y 轴不相交
2
D.最高点是原点
3 2
4.观察：① y 6 x ；② y 3 x 5 ；③y=200x ＋400x＋200；④ y x 2 x ；⑤ y x ⑥ y x 1 x 2 ．这六个式子中二次函数有
2
1 3； x
。 （只填序号）
九年级数学上册同步教案
第 02 课 二次函数图像性质 二
知识点： 函数 y = a( x - h) 2 图象性质 （1）形状：二次函数 y = a( x - h) 2 的图象是 ， 若抛物线顶点落在 x 轴 （2）开口方向：当 a 0 时，开口向_____；当 a 0 时，开口向_____； 2 （3）顶点坐标： 反映在坐标系中： 上 b - 4ac = 0 （4）对称轴： （5）最值：当 a 0 时，有最 值；当 a 0 时，有最 值。 （6）增减性：当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随 x 的增 大而______；当 a 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而______，在对称轴的右侧，y 随 x 的增 大而______； （7）图象左右平移： y = ax 2 向
※14.二次函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 中，若当 x 取 x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当 x 取 x1 + x 2 时， 函数值等于 15.已知函数 y = (m + 2)x m
九上暑假先修班讲义二
九上先修班讲义二、二次函数的概念与性质（二）知识点：1、二次函数的图象在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b2a)2+4a24ac-b的形式,先确定顶点(-b2a,4a24ac-b),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2、理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b2a时,y最小值=4a 24ac-b;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b2a时y最大值=4a24ac-b.例题精讲1、填空:根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.2、探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>03、归纳:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1).顶点坐标与对称轴(2).位置与开口方向(3).增减性与最值巩固题组一1、巩固练习：（1）指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：222222)9(432)4(5.0 5)2(2143)1(5.2 5)3(2--=++=+-=--=+-=--=x y x y x y x y x y x y（2） 由抛物线y=2x ²向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到y= 2(x +1)2 –3（3）函数y= 3(x - 2)2 +21的图象可以由抛物线 向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到的。
九年级数学培优训练第5讲二次函数.doc
第五讲 二次函数基础（2）—二次函数与方程、不等式一【知识点回顾】1．二次函数2(1)y x m x m =-++的图象与x 轴的关系是（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．至少有一个交点 2．二次函数223y x x =--，当y ＞0时，x 的取值范围是____________；当y ＜0时，x 的取值范围是_____________．3．抛物线232y x x =-+与y 轴的交点坐标是_______；与x 轴的交点坐标是_______________．4．在坐标系中，将抛物线26y x x =--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．65．若关于x 的二次函数277y kx x =--的图象和x 轴有交点，则k6．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c++的解集是___________________．7．若函数2(1)(0)y a x b a =+-≠有最小值，则a 、b 的大小关系为8．对于二次函数223y x mx =--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点； ②如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；③如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．其中正确的说法是_________________（填上你认为正确的序号） 9．直线1322y x =-+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标为________________． 二【二次函数与方程（组）结合】例1．如图，在坐标系中，P （0，2m ）（m ＞0）在y 轴正半轴上，过点P 作平行于x 轴的直线，分别交抛物线221:4C y x =于点A 、B ，交抛物线211:C y x =于点C 、D ，求AB．练习1．已知二次函数2()()(y a x m a x m a m =---≠、为常数，且a 0)，该函数图象的顶点为C ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若△ABC 的面积等于1，求a 的值．2．已知抛物线212y x x =-与直线y=2x 交于点O （0,0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式．三【二次函数与全等相结合】 例2．已知抛物线257266y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，若C （0，-3），连AC ，平移线段AC ，若点A 、点C 正好落在抛物线上，A 、C 的对应点分别为F 、G ，求F 、G 的坐标．练习：如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，点P 在x 轴上，且∠PCB =∠CBD ，求点P 的坐标．四【二次函数与勾股定理相结合】 例3．如图，抛物线257266y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在第四象限的抛物线上，BH 交x 轴于E 点，且∠OAB =∠ABE ，求H练习1：如图，二次函数图象的顶点在原点O ，且经过点1(1,)4，点F （0,1）在y 轴上，直线y=-1 与y 轴交于点H ． （1）求二次函数的解析式；（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y=-1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ；（3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．2．已知抛物线2114y x =-与x 轴正半轴交于C 点，顶点为D ， （1）求点C 、D 的坐标；（2）如图1，过O 任作直线交抛物线于A 、B ，过B 作B E ⊥x 轴于E求OB-BE 的值；（3）如图2，过P （0，-2）作直线交y 轴右侧的抛物线于M 、N ， 若PM=PN ，求直线MN的解析式．五【二次函数与平行相结合】 例4．已知抛物线2722y x x =-++与直线122y x =+交于C 、D 两点，其中C 在y 轴上，点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作P E ⊥x 轴于点E ，交CD 于F ，若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F练习：如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作B C ⊥x 轴，垂足为C （3,0），动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒1个单位的速度向C 移动，过点P 作P N ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，设点P 移动的时间为t 秒，当t 为何值时，四边形BCMN 为菱形？。
精品2014年九年级数学上册暑期讲义同步练习--二次函数第04课二次函数的图象03
(4) 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；
(5) 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；
时， y 随 x 的增大而减小 .
(6) 该函数图象可由 y 3x 2 的图象经过怎样的平移得到的？
，对称轴是
，当 x=
时，
y 有最
值为
。当 x
时， y 随 x 的增大而增大 .
8. 若抛物线 y
a( x 1) 2
k 上有一点 A（ 3， 5），则点 A 关于对称轴对称点
/
A
的坐标为
____________
9. 一条抛物线的对称轴是 x=1，且与 x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式 为 ________________ 10. 已知抛物线的顶点坐标为 (2,1) ，且抛物线过点 (3,0) ，则抛物线的关系式是 11. 若函数 y x2 mx m 2的图象经过 (3 ，6) 点，则 m=______
P 的坐标； P 的坐标；
P 的坐标。
课堂练习：
1. 要得到 y 2( x 2) 2 3 的图象，需将抛物线 y 2 x2 作如下平移 ( )
A. 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B. 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
C. 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 D. 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位
1 x
2 2 向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为
3
_______
，当 x＝
9. 若把函数 y
5x
2
2
3 的图象分别向下 , 向左移动 2 个单位 , 则得到的函数解析式为
。
10. 二次函数 y (x 1) 2 2的最小值为 ____________
沪科版数学九年级上册二次函数精品习题讲义
沪科版数学九年级上册二次函数[讲义]【考点一：二次函数定义】例1、下列函数中是二次函数的是（）、A. y=1x2B. y=2x+1 C. y=12x2+2x3 D. y=−4x2+5变式1-1、已知y=mx|m−2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A.0B.1C.4 D．0或4变式1-2、二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1,-6,-1 B. 1,6,1 C. 0,-6,1 D. 0,6,-1变式1-3、有下列函数：①y=5x−4②y=2x3−8x+3③y=3x2−1x−2④y=38x2−1x2−6x其中属于二次函数的是_____________（填序号）.⑤y=23变式1-4、函数y=2(m+2)x m2−2+2x−1（x≠0）当m＝________时，它是二次函数，当m＝___________时，它为一次函数.2．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm²．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系【考点二：列二次函数表达式】例2、若二次函数y=mx2+(2m+n)x+3n的二次项系数比一次项系数小12，一次项系数比常数项大8，则这个二次函数的解析式为___________.变式2-1．（2022秋·承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件，已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（)A. w=(99−x)[200+10(x−50)]B.w=(x−50)[200+10(99−x)]×10]C. w=(x−50)[200+x−995D. w=(x−50)[200+x−995×10]变式2-1．（2023·金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（c㎡），则y与x之间的函数关系式为（）A. y=−x2+50xB. y=x2−50xC. y=−x2+25xD. y=−2x2+25变式2-2（2023春·沈北新区期末）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（)A. y=x(12−x)2B. y=x(12−x) C. y=x(24−x)2D. y=x(24−x)变式2-3．（2022秋·亭湖区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m²)，垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：_____________（并写出自变量的取值范围）变式2-4（2023春·石景山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），ΔAPQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为________1．（2022秋·蜀山区校级月考）若y=(a+1)x|a+3|−x+3是关于x的二次函数，则a的值是（)A. 1B. -5C. -1 D．-5或-12．（2022秋·石景山区期末）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD.设AP＝x cm，BP＝y cm，正方形APCD的面积为S cm²，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（)A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系3．（2020秋·龙凤区校级月考）已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．4．（2020秋·滨州月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．。
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第05课 二次函数2y ax bx c =++的图象
知识点：
2y ax bx c =++的图象性质：
(1)开口方向： (2)对称轴：
(3)顶点坐标：
(4)最值： ；
(5)增减性： (6)开口大小：
例1.问题：①你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ ②你有办法解决问题（1）吗？
解：
∴222++=x x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 .
③像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.
④用配方法把下列二次函数化成顶点式： (1)22-2+=x x y (2)522
12
++=
x x y (3)c bx ax y ++=2
⑤归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以用配方法转化成顶点式： ， 因此抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标是 ；对称轴是 ， 注意：用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
例2.用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
①4322+-=x x y ②222++-=x x y ③x x y 42--=
例3.用描点法画出122
12
-+=
x x y 的图像. （1）顶点坐标为 ；
（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）
（3）描点，并连线：
例4.把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.
例5.二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象过点（1,0）（0,3），对称轴x=-1. ①求函数解析式；
②若图象与x 轴交于A 、B （A 在B 左）与y 轴交于C,顶点D ，求四边形ABCD 的面积。
（4）观察：
①图象有最 点，即x= 时，y 有最 值是 ； ②x 时，y 随x 的增大而增大；x 时y 随x 的增大而减小。
③该抛物线与y 轴交于点 。
④该抛物线与x 轴有 个交点.
课堂练习：
1.二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）
A.6，4
B.-8，14
C.-6，6
D.-8，-14 2.二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）
A.22
B.23
C.32
D.33 3.填空：
(1)抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是_______； (2)抛物线2
5
222-
-=x x y 的开口_______，对称轴是_______； (3)抛物线8422+--=x x y 的开口_______，顶点坐标是_______； (4)抛物线422
12
++-
=x x y 的对称轴是_______； (5)二次函数a x ax y ++=42的最大值是3，则a=_______．
4.试写出一个开口方向向上，对称轴为直线2-=x ，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 把二次函数2
5
3212---
=x x y 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
5.函数x x y +-=22有最____值，最值为_______
6.二次函数c bx x y ++=22的顶点坐标是（1，-2），则b=_______，c=________．
7.已知二次函数6822---=x x y ，当___________时，y 随x 的增大而增大； 当x=________时，y 有_________值是___________．
8.函数2
y x px q =++的图象是以（3,2）为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 9.如果抛物线2
y ax bx c =++与y 轴交于点A(0,2)，它的对称轴是1-=x ，那么b
ac
= 10.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)x x y 22+-=
(2)122--=x x y
(3)8822-+-=x x y (4)342
12
+-=x x y
11.用两种方法求二次函数x x y 232+=的顶点坐标．（配方法，公式法）
12.二次函数mx x y +-=2中，当x=3时，函数值最大，求其最大值．
13.已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点
(1)求一次函数的关系式； (2)判断点(-2.5)是否在这个一次函数的图象上
14.如图:△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在x 轴上,点C 在第一象限,AC 与y 轴交于点D,点A 的坐标为（-1,0）.(1)求 B 、C 、D 三点的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点，求它的解析式.
6
4
2
5
D O C
A
B
课堂测试题05
日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分：
1.已知二次函数42)1(22-+-=kx x k y 与x 轴的一个交点A(-2,0)，则k 值为（ ） A.2
B.-1
C.2或-1
D.任何实数
2.函数142++-=x x y 图象顶点坐标是（ ）
A.（2，3）
B.（-2，3）
C.（2，1）
D.（2，5）
3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ).
A.直线3-=x
B.直线x=3
C.直线2-=x
D.直线x=2 4.二次函数2x y =的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ） A 22-=x y B.2)2-(x y = C.22+=x y D.2)2(+=x y 5.若二次函数222222-+-=m mx x y 的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C.±2 D.±2 6.下列关于二次函数的说法错误的是（ ） A.1322++-=x x y 的对称轴是直线x=
3
4
B.点A(3,0)不在322--=x x y 的图象上
C.2)2(2-+=x y 的顶点坐标是（-2,-2）
D.3422-+=x x y 的图象的最低点在（-1，-5） 7.抛物线942
++=x x y 的对称轴是
8.抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 9.将322+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，则 y=＿＿＿＿ 10.抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为________
11.二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 12.通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）152+-=x x y （2）2822-+=x x y （3）44
12
-+-=x x y
13.已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式.
14.求二次函数62
+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标。
15.已知函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x>0时,求使y ≥2的x 取值范围.
16.已知c bx x y ++-=2的图象如图，它与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。
(1)求此二次函数的解析式；(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。