《一元二次不等式及其解法》(人教版必修)

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人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法

人教版高中数学必修课件一元二次不等式及其解法

人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
总结出: 解一元二次不等式
ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 的步骤是:
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
(2) 写出ax2+bx+c=0判定△的符号,
当x取 0 < x <5 时,y<0?
(3).由图象写出:
不等式x2 -5x>0 的 解集为 ﹛x|x<0或x>5﹜ 。
不等式x2 -5x<0 的 解集为 ﹛x| 0 <x <5﹜ 。
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
一元二次不等式及其解法
=(2x-1)2≥0
(2)解不等式 - x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0
因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
所以原不等式的解集为ф
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
(3)求出方程 的实根;画出函数图像
(4)(结合函数图象)写出不等式的解集.
简记为:一化—二判—三求—四写
人 教 版 高 中 数学必 修5课件 -3.2一 元二次 不等式 及其解 法(共 17张PP T)
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2022年高中数学新人教版A版精品教案《一元二次不等式及其解法》

2022年高中数学新人教版A版精品教案《一元二次不等式及其解法》

一元二次不等式及其解法〔一〕教材:人教版?普通高中课程标准实验教科书·数学〔A版〕?必修5课题:一元二次不等式及其解法〔一〕一、教学目标知识目标:正确理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系,掌握一元二次不等式的解法;能力目标:通过看图象找解集,培养学生“从形到数〞的转化能力和从“特殊到一般〞的归纳能力;德育目标:学习“三个二次〞的关系,体会事物之间普遍联系的辩证思想;情感目标:创设问题情境,培养学生的探索精神和合作意识。

二、教学重点、难点1教学重点:一元二次不等式的解法2教学难点:理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系三、教学过程设计1一元二次不等式概念的引入〔1〕创设情境,引入概念春天来了,熊猫饲养员方案在靠墙的位置为它们圈建一个矩形的室外活动室。

现有可以做出2021栏的材料,要求使得活动室的面积不小于42m2,你能确定与墙平行的栅栏的长度范围吗?分析可得如下数学模型:≥42(1)设与墙平行的栅栏长度为〔00(2)a2bc>0师生活动:教师再次展开抢答竞赛,其中命题〔4〕的判断中,教师要说明二次项系数a可能为0,也可能不为0。

设计意图:通过问题辨析,加深概念的理解,让学生区别一元二次不等式与其他不等式.〔1〕题可使学生明确定义中“一元〞的意思,〔3〕〔4〕使学生明确定义中“二次〞的意思.2 一元二次不等式解法的探究此时,学生已经认识到2-2021≤0是一个一元二次不等式,那么如何确定这个不等式的解集,以得到熊猫活动室栅栏的长度范围呢?(1)回忆旧知,寻找方案观察一元二次不等式2-2021≤0左边的形式,在学过的哪些知识中出现过?一元二次方程2-2021=0二次函数= 2-2021猜测:利用三者之间的关系来解一元二次不等式2-2021≤0师生活动:根据“温故而知新〞的教育理念,教师引导学生观察这个一元二次不等式左边的形式,在学过的哪些知识中出现过?由此得到求这个一元二次不等式解集的猜测方案。

人教版高中数学必修第一册第二章2.3.6一元二次不等式及其解法【课件】

人教版高中数学必修第一册第二章2.3.6一元二次不等式及其解法【课件】

a>0的解集.
【解】
(备选例题)(1) 设关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为
{x|1<x<m},其中m>1,求m的值.
(2) 设关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集为{x|m<x<n},其中m<n,
求3m+2n的最小值.
思路点拨 利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程的根及相应一
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3二次函数与一元二次方程、不等式
课时6
一元二次不等式及其解法
教学目标
1 . 通过日常生活中的实例,抽象出一元二次不等式的模型,提升数
学抽象素养 .
2 . 通过画二次函数图象、看二次函数图象、分析二次函数图象,探
究二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系,明
【问题10】通过列表写出一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)和
ax2+bx+c<0(a>0)的解集.
【问题11】怎样求出一元二次不等式ax2+bx+c>0(a<0)和ax2+
bx+c<0(a<0)的解集?
典例精析
【例1】[教材改编题](1) 求不等式x2-x-6>0的解集;(2) 求不等式
结论.
【变式训练2】设a∈R,解关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0.
【解】
【例3】
1
1
x x
3
2
思路点拨
1
1
x x
3
2
【解】
【方法规律】
1. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程

人教版高中数学新教材必修第一册课件 一元二次不等式及其解法1 1

人教版高中数学新教材必修第一册课件 一元二次不等式及其解法1 1

又∵A∩B=Ø,
∴ 解得1≤a≤2.
故所求实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}.





启 强
7
典型例题
[例2] 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后还要继续 向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹 车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要因 素.在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两车相向而 行,发现情况不对,同时刹车,但还是发生了轻微碰 撞.事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m, 乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的 刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系:
解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这 三个“二次” 之间的内在联系.
3.一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等

课 人 :
式的基础,因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一

启 强
次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行.
14

1.受地形影响,亚洲的河流多发源于中 部山地 、高原, 呈放射 状流向 周边的 海洋,源 远而流 长
所以x介于a与a2之间.
当a<a2,即a>1或a<0时,A={x|a<x<a2}.
若A⊆B,则需满足
如图1所示,





启 强
5
解得 1≤a≤ 2. 故 1<a≤ 2. 当 a>a2,即 0<a<1 时,A={x|a2<x<a}. 又因为 A⊆B,需满足aa2≤≥21,, 如图 2 所示. 解得 a≤-1 或 1≤a≤2,故 a 不存在. 当 a=a2,即 a=0 或 a=1 时,A=Ø,满足 A⊆B. 综上所述,a 的取值范围为{a|1≤a≤ 2或 a=0}.

人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思

人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思

人教版高三数学必修五《一元二次不等式及其解法》教案及教学反思一、教学目标1.知识与技能学习完本课程后,学生应该:1.掌握一元二次不等式的基本概念及其解法。

2.掌握对数函数的基本性质及其在解不等式中的应用。

3.掌握函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用。

4.能够独立解决基础的不等式问题。

2.过程与方法通过本节课的学习,学生应该:1.学会理性思维和逻辑推理,提高数学学习能力。

2.培养数学模型的运用能力和实际问题分析解决能力。

3.注重思想品德和道德感召,最终能够更好地用知识服务于社会。

二、教学内容1.预备知识1.函数基础知识:函数的定义,函数的图像,函数的性质。

2.对数函数:对数函数的定义,对数函数的基本性质。

3.函数的单调性:函数单调递增和单调递减的定义,单调性法则。

2.教学过程(1)概念解释首先让学生理解一元二次不等式的基本概念和解法,理解整个解题思路,理解式子的特点及其求解方法,体育教员教师可以给他们举一些实际应用的例子,让学生感受和理解学习的意义。

(2)基础分析接下来让学生分析一元二次不等式的基础概念及基础性质,理解函数图像及对数函数的基础概念,从而进一步掌握解题方法和套路。

(3)配套题目解析最后通过配套的习题集,让学生独立解决一些基本的不等式问题,并进行自主探究和总结。

3.教学重点•四个一元二次不等式基本形式解法•对数函数性质及其在解不等式中的应用•函数的单调性的影响及其在解不等式式中的应用•独立解决一些基础的不等式问题4.教学难点•对数函数在解不等式中的应用•函数单调性的影响及其在解不等式式中的应用三、教学方法1.运用启发式教学法此实用主要通过设计一些“启发-style”习题,让学生在思考中得到启示。

2.利用实例演练通过实际例子让学生观察和掌握一元二次不等式的规律。

3.实现分组教学该方法可以让教师更好地掌握每个学生的知识掌握程度及学生的思考问题,从而针对性更强地进行教学。

四、教学效果评估1.测试方法通过把学生放到实际场景中让其进行不等式求解工作,并通过随堂测试来评估学生的掌握情况,从而从微观角度评价教学效果。

高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法

高一数学人必修课件一元二次不等式及其解法

常见错误类型及纠正方法
忽视不等式性质
在解一元二次不等式时,需要注 意不等式的基本性质,如不等式 的传递性、可加性等。忽视这些
性质可能导致错误的解集。
忽视定义域限制
在某些情况下,一元二次不等式 的定义域可能受到限制。忽视这 些限制可能导致错误的解集或无
解。
计算错误
在解一元二次不等式时,需要进 行因式分解、配方等计算步骤。 计算错误可能导致错误的解集或
确定解集
根据各区间内因式的符号,确定不等式的解 集。
03 一元二次不等式 在实际问题中应 用
区间内根存在性判断
判别式法
通过计算判别式$Delta = b^2 - 4ac$,判断一元二 次方程在指定区间内是否 有实根。
中点法
利用区间中点函数值的符 号,结合函数连续性,判 断一元二次方程在指定区 间内是否有实根。
例如,对于不等式 $x^2 - 2x - 3 < 0$,首先确定抛物线开口向上,然 后找出交点 $x_1 = -1, x_2 = 3$,最后根据开口方向和交点位置得出解 集为 $-1 < x < 3$。
05 一元二次不等式 与其他知识点联 系
一元二次方程、一元二次不等式和函数综合应用
一元二次方程与一元二次不等式的关系
一元二次函数与一元二次不等式关系
一元二次不等式的一般形式:$ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$。
一元二次不等式的解集与对应的一元二次函数的图像密切相关。当 $a > 0$ 时,抛物线开 口向上,不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 的解集为 $x < x_1$ 或 $x > x_2$;当 $a < 0$ 时 ,抛物线开口向下,不等式 $ax^2 + bx + c < 0$ 的解集为 $x_1 < x < x_2$。

一元二次不等式及其解法(一)

一元二次不等式及其解法(一)
2
1
2
(-2) × -








=- ,
1
2

= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;

一元二次不等式及其解法-说课

一元二次不等式及其解法-说课

《一元二次不等式及其解法》说课方案设计一、教材与内容解析(一)内容与内容解析《一元二次不等式及其解法》是人教版高中数学A版必修五第三章“不等式”第二节的内容。

本节内容分2课时学习。

本课时通过二次函数的图象探索一元二次不等式的解集。

通过复习“三个一次”的关系,即一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系;以旧带新寻找“三个二次”的关系,即二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系;采用“画、看、说、用”的思维模式,得出一元二次不等式的解集,品味数学中的和谐美,体验成功的乐趣。

(二)地位与作用解析本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用,也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关,许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用.二、学情解析1.学生已有的知识与经验基础学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数,对不等式的性质有了初步了解。

从心理特征来说,高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密,抽象思维能力也有进一步提升,所以要更加注重其抽象思维的训练,因此对于这个阶段的学生来说,一元二次不等式的学习有一定的基础。

2.学生可能遇到的问题与困难由于初中没有专门研究过数形结合类的问题,高一学生比较陌生,要真正掌握有一定的难度,对于理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系也存在困难。

三、教学重难点解析重点:一元二次不等式的解法。

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型;围绕一元二次不等式的解法展开,突出体现数形结合的思想。

理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法——图象法,其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解,不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。

人教版必修5第三章3.2一元二次不等式及其解法

人教版必修5第三章3.2一元二次不等式及其解法

x1
0
x2 x
0
x
ax2 bx c 0(a 0)
的根
b b 2 4ac x1 2a x2 b b 4ac 2a
2
有两个相等实根
b x1 x 2 2a
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
x / x x1或x x2
【例2】求不等式 x 2 2 x 3 0 的解集。 解: 不等式可变形为
x2 2x 3 0
因为 ⊿= -8 <0 方程 x 2 2 x 3 0 无实数根, 而 y x2 2x 3 的图像开口向上,
所以原不等式的解集为
【例3】不等式 (a 2) x 2 2(a 2) x 4 0 对一切 x R 恒成 立,则a的取值范围。 证明: (1)当a-2=0时,即a=2,原不等式为 -4<0 显然,对一切 x R 都成立。 (2)当a-2≠0时,此不等式对一切x都成立,则有 a 2 0 2 4 a 2 16a 2 0 解得:-2<a<2
一般来说,一次上网时间不会超过17个小时,所以,不 妨假设一次上网时间总小于17小时,那么,一次上网在多长 时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少?
假设一次上网x小时,则公司A收取的费用为1.5x(元)
x(35 x) (元). 公司B收取的费用为 20
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则
课堂练习
3、若关于x的不等式(k-1)x2-x+k<0对于一切实数都成立, 求k的取值范围.
答案:
小结
1、一元二次不等式的解法; 2、利用不等式解决实际问题。

人教版高中数学必修一《2.3 第一课时 一元二次不等式及其解法》课件

人教版高中数学必修一《2.3 第一课时 一元二次不等式及其解法》课件
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法. 2.能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题. 3.掌握一元二次不等式的实际
应用. 4.会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式,培养数学运算 素养.
2.通过“三个二次”关系的应用,提高数 学运算和逻辑推理素养.
3.通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习,培养数学运算素养.
4.借助一元二次不等式的应用,培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1.一元二次不等式:
只含有 一个 未知数,并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式,称为一元二次不等式 一般 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常 形式 数,a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的 不等式cx2+bx+a<0的解集.
[解] 法一:由不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0,且 2 和 3 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,由根与系数的关系可知ba=-5,ac=6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2-a+1ax+1≤0⇔x-1a(x-a)≤0,
①当 0<a<1 时,a<1a,不等式的解集为xa≤x≤1a

②当 a=1 时,a=1a=1,不等式的解集为{1}; ③当 a>1 时,a>1a,不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上,当 0<a<1 时,不等式的解集为xa≤x≤1a ; 当 a=1 时,不等式的解集为{1}; 当 a>1 时,不等式的解集为x1a≤x≤a .

人教版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法(3)

人教版高中数学必修五3.2一元二次不等式及其解法(3)
§3.2 一元二次不等式 及其解法
第三课时
2013年9月17日星期二
解一元二次丌等式的步骤 1、把一元二次丌等式化为标准形式,即丌等 式的左边是二次函数的解析式,右边是0,二次项 的系数大于0;
3、画出对应二次函数的图像,写出丌等式的 解集。
2013年9月17日星期二
探究1
注:我们在解一元二次丌等式时,在把因式 分解后,要使得每个因式中的未知数的系数都是 正数,否则在解题的过程中容易出现错误。
2013年9月17日星期二
Hale Waihona Puke 究2小结12013年9月17日星期二
探究3
小结2
2013年9月17日星期二
探究4
2013年9月17日星期二
总结 分式丌等式的解题步骤:
2、把分式丌等式等价转化为整式丌等式,
3、再解整式丌等式戒整式丌等式组。
2013年9月17日星期二
探究5 方法一
方法二
2013年9月17日星期二
+
+ 2
-
1
-
3
2013年9月17日星期二
探究6
+ 1
+
-
2
-
3
2013年9月17日星期二
总结
标根法求丌等式解的步骤为 1、转化找根——把丌等式化成一边是因式分解,一 边是零,并且各因式的未知数的系数都为正的标准形式, 找出丌等式对应方程的所有根;
2、画轴标根——画出数轴,并在数轴上标出所有的 根。特别地,当这个根丌是丌等式的解时用空心的圆点把 它标出;否则用实心的圆点; 3、画出曲线——从数轴的最右边区间开始,按照 “奇穿偶丌穿”画一条连续的波浪线; 4、写出结论——根据波浪线在数轴的上方还是下方, 写出这个丌等式的解集。

高中数学人教版必修5——第十一讲:一元二次不等式及其解法(解析版)

高中数学人教版必修5——第十一讲:一元二次不等式及其解法(解析版)

一元二次不等式及其解法教学重点: 正确理解一元二次不等式的解法;掌握一元二次不等式的不等式的解法;理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系;教学难点: 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。

1. 一元二次不等式(1) 一元二次不等式的定义:一般地,含有1个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次等式;(2) 一元二次不等式的解集:使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集;(3) 同解不等式:如果两个不等式的解集相同,那么这两个不等式叫做同解不等式。

2. 一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系对于一元二次方程()200ax bx c a ++=>设24b ac ∆=-它的解按0,0,0∆>∆<∆=可分为三种情况,列表如下:0>∆0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=23.一元二次不等式的解法步骤(1)对不等式进行变形,使一端为0,且二次项系数大于0;(2)计算相应方程的根的判别式;(3)当0∆>时,求出相应的一元二次方程的两根;(4)根据一元二次不等式解集的结构,写出其解集。

注:若不等式左侧可因式分解,则可转化为一元一次不等式组求解。

(一看,二算,三写)4.含参数的一元二次不等式的解法(1)二次项系数含参数时,根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正,所以要对参数讨论;(2)解∆得过程中,若∆表达式含有参数且参数的取值影响∆的符号,这时根据∆的符号确定的需要,对参数进行讨论;(3)方程的两根表达式中如果有参数,需要对参数讨论才能确定根的大小,这时要对参数进行讨论。

5.不等式的恒成立问题(1)结合二次函数的图像和性质用判别式法,当x的取值为全体实数时,一般用此法;(2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化为最小值大于零;(3)能分离变量的尽量把参数和变量分离出来;(4)数形结合,结合图形进行分析,从整体上把握图形。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法

一、课例描述“一元二次不等式的解法”是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修5第三章《不等式》中第二节的内容, 主要内容是一元二次不等式及其解法, 在高考中属于必考内容。

教学对象是高二年级的学生。

二、教学内容分析在老版本的教材中, 这部分内容是在高一第一章学习的, 并且目标很明确, 就是掌握一元二次不等式的解法, 而现行教科书却把内容移到了高二, 并且教材中通过学生熟悉的感兴趣的上网问题和收费问题引入一元二次不等式有关的概念,通过让学生比较两种不同的收费方式, 抽象出不等式; 再以具体例子, 利用数形结合的思想, 通过观察确定“三个二次”之间的关系, 从而得到一元二次不等式的解集。

不管是那个版本的教科书,这部分内容的要求的都没有降低, 只是放到高二来学, 对学生而言, 更简单, 更容易掌握。

三、学生情况分析学生已经几乎学完了必修的内容, 掌握了基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性质解决一些问题。

学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生将学会从实际生产生活中抽象不等式, 利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法, 并把所学的知识运用到实际生产生活中去。

四、教学目标知识与技能目标:1. 让学生经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程;2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数, 方程的联系, 熟练应用二次函数图象解一元二次不等式的方法;3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法, 让学生体会等价转化的数学思想, 培养学生的逻辑推理能力;过程与方法目标:通过学生感兴趣的上网收费方式引入一元二次不等式的有关概念, 通过让学生比较两种不同的收费方式, 抽象出不等式关系; 通过数形结合的思想, 观察确定二次函数与一元二次方程的关系,在此基础上, 找到一元二次不等式的解法, 并掌握一元二次不等式的解法。

情感态度与价值观目标:培养学生通过日常生活中的例子, 找到数学知识的规律, 从而在现实生活的实际问题中实现数形结合的思想。

高三数学一元二次不等式及其解法

高三数学一元二次不等式及其解法
-2 -1 O
3 2 1 x 1 -1 -2 -3 2 3
1 25 ( ,) 2 4
观察这个图象,可以看出,抛物线位于 观察这个图象,可以看出,抛物线位于x 轴上方的点的纵坐标大于零 纵坐标大于零, 轴上方的点的纵坐标大于零,因此这些点 的横坐标的集合
y
A={x| x<-2或x>3}是一元二 - 或 是一元二 次不等式x2-x-6>0的解集. 次不等式 - 的解集. 抛物线位于x轴下方的点 抛物线位于 轴下方的点 的纵坐标小于零, 的纵坐标小于零,因此这些 点的横坐标的集合 集合B={x| - 点的横坐标的集合 2<x<3}是一元二次不等式 2 是一元二次不等式x 是一元二次不等式 -x-6<0的解集. - 的解集.
y 3 2 1 x O -1 1 2 3
解:对于任意实数x, 对于任意实数 , x2-2x+3=(x-1)2+2>0, - , 因此不等式(1)的解集为 因此不等式( ) 实数集R, 实数集 , 不等式(2)无解,或说它 不等式( )无解, 的解集为空集. 的解集为空集
-1 O -1 y 3 2 1 x 1 2 3
解得
3 x ≤ 或x ≥ 1 2 1 < x < 3
因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3). ,所求函数的定义域是 , 因此

通过以上两例, 通过以上两例,我们不难对一元二次 不等式ax 不等式 2+bx+c>0 (a>0)和ax2+bx+c<0 和 (a>0)解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析. 解集的形式作一般性的分析 的判别式为△ 设方程ax 设方程 2+bx+c=0 (a>0)的判别式为△. 的判别式为 (1)当△>0时,二次方程 2+bx+c=0有两 ) 时 二次方程ax 有两 个不等的实数根x ,(设 个不等的实数根 1,x2,(设x1<x2). 考察这类二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象, 的图象, 考察这类二次函数 的图象 这时,函数的零点把x轴分成三个区间 这时,函数的零点把 轴分成三个区间
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x1 4, x2 4.A {x | 4 x 4} x2 4x 3 0,即(x 3)( x 1) 0
x1 3, x2 1. B {x | x 1或x 3}
故A B R
【典例剖析】
(1)(2013·南充模拟)已知不等式 x2-2x-3<0 的解集 为 A,不等式 x2+x-6<0 的解集为 B,不等式 x2+ax+b<0 的解
在这个实际问题中,x>0,所以这辆车刹车的车速至少为 79.94km/h。
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条
流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的
关系:
y = -2 x2 + 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,
那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
提示某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(米)和汽车车速x(千 米/小时)有如下关系 s 1 x 1 x2,在一次交通事故中,测
20 180
得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆车刹车前的车速
至少是多少?(精确到0.01km/h)
解:设这辆车刹车前的车速至少为xkm/h,根据
一元二次不等式及其解法
一元二次不等式的解法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y y=ax2+bx+c (a>0)的图象 x1 O x2 x
△=0 y
O x1
x
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=
b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
方程 4 x2 - 4x +1=0 的解是
=(2x-1)2≥0
x1=x2=1/2
故原不等式的解集为{ x| x ≠ 1/2 }
题3:解不等式- x2 + 2x – 3 >0
解:整理,得 x2 - 2x + 3 < 0 因为△= 4 - 12 = - 8 < 0
方程 2 x2 - 3x – 2 = 0无实数根
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,
得到
-2x2 + 220x > 6000
移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0.
因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根
x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象,
得不等式的解为50<x<60.
【典例剖析】 (1)若 0<a<1,则不等式(a-x)x-1a>0 的解集是
__________. (2)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.
【典例剖析】 (1)若 0<a<1,则不等式(a-x)x-1a>0 的解集是
__________. (1)解析:原不等式即为(x-a)x-1a<0, 由 0<a<1,得 a<1a, ∴a<x<1a, ∴不等式的解集为{x|a<x<1a}. 答案:{x|a<x<1a}
因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂
能够获得6000元以上的收益.
习题3.2 A组 第4题
已知集合 A {x|x2 16 0}, B {x | x2 4x 3 0},
求A B
解: x2 16 0,即(x 4)(x 4) 0.
题意,我们得到 1 x 1 x2 39.5
移项整理,得
20 180
x2 9x 7110 0
Q 0,方程x2 9x 7110 0有2个实根,
即:x1 88.94, x2 79.94
由方程x2 9x 7110 0的图像,可得不等式的解集为
{x | x 88.94,或x 79.94}

方程ax2+bx+c=0 无实根

x1=x2 ?

原不等式的解 集为 {x | x b }
—————2—a
原不等式的解集为
{x | x <—x—1或——x>——x2}(x1<x2)
原不等式 的解集为R
结束
题2:解不等式4x2-4x +1>0
解: 因为△= 16 -16 =0
另解:由于4x2-4x+1
分析:开口向下,且与x轴无交点 。
解:由题目条件知:
(1) a < 0,且△ < 0.
因此a < -1/3。
(2)a = 0时,不等式为-x-1 <0
不符合题意。
综上所述:a的取值范围是
a
|
a
1
3
1.不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R的条 件是什么?
提示:a>0且Δ=b2-4ac<0. 2.不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)对一切实数恒成 立的条件是什么?
集为 A∩B,则 a+b 等于
A.-3 B.1
C.-1 D.3
解析:由题意知 A={x|-1<x<3},
B={x|-1<x<2},
∴A∩B={x|-1<x<2},
∴方程 x2+ax+b=0 的两根为-1,2.
∴--11+×22==-b. a,
∴ab==--12,, ∴a+b=-3.
答案:A
解关于x不等式x2 ax 2a2 0.
所以原不等式的解集为ф
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、
ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是: (1)化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0) (2)判定△的符号,
并求出方程ax2+bx+c=0 的实根; (3)写出不等式的解集.
不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围.
方程x2 ax 2a2 0.的判别式 a2 8a2 9a2 0 得方程的两根为 x1 2a, x2 a. (1)若a 0,则 a x 2a (2)若a 0,则原不等式为 x2 0,此时解为 (3)若a 0,则2a x a.
综上所述,原不等式的解集为:(1)当a 0时,{x | a x 2a}; (2)当a 0时,;(3)当a 0时,{x | 2a x a}.
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
求解一元二次
开始
不等式
ax2 bx
c
将0 原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
(a 0)
△=b2- 4ac
的程序框图:
△≥0 ?
--------------

求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
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