第2章_信息安全数学基础(复杂性) (2)

计算系统与网络安全
Computer System and Network Security
电子科技大学 计算机科学与工程学院
2012-2-21
计算复杂性基础
－古书《孟子 离娄上》有这样的记载： 古书《孟子·离娄上 有这样的记载： 离娄上》
淳于髡曰：男女授受不亲，礼與？ 淳于髡曰：男女授受不亲，礼與？ 孟子曰：礼也。 孟子曰：礼也。 嫂溺则授之以手乎？ 曰：嫂溺则授之以手乎？ 嫂溺不授，是豺狼也。男女授受不亲， 曰：嫂溺不授，是豺狼也。男女授受不亲，礼 嫂溺授之以手，权也。 也；嫂溺授之以手，权也。 虽然有“男女授受不亲”的原则存在， －虽然有“男女授受不亲”的原则存在，但嫂子落 水快淹死时，必须拉她、救她，这是“ 变通)， 水快淹死时，必须拉她、救她，这是“权”(变通 ， 变通 否则，见死不救，就是豺狼。 否则，见死不救，就是豺狼。 ：「今天下溺矣 夫子之不援何也？」 今天下溺矣， －曰：「今天下溺矣，夫子之不援何也？」 ：「天下溺援之以道 嫂溺援之以手。 天下溺援之以道； 曰：「天下溺援之以道；嫂溺援之以手。子欲手 援天下乎？」 援天下乎？」
算法复杂性（ 算法复杂性（续）
算法常见复杂性分类
一般而言，常数算法、线性算法、 一般而言，常数算法、线性算法、多项式算法和超多 项式算法统称为多项式算法 多项式算法。 项式算法统称为多项式算法。 所谓多项式，就是具有下列形式的一个函数： 所谓多项式，就是具有下列形式的一个函数：
f (n) = ck n k + ck −1n k −1 + ... + c1n + c0
问题 算法
2012-2-21
第2 章
信息安全数学基础（计算复杂性） 信息安全数学基础（计算复杂性） 算法复杂性 问题复杂性
2012-2-21
第2 章
信息安全数学基础（计算复杂性） 信息安全数学基础（计算复杂性） 算法复杂性 问题来自杂性2012-2-21
问题（ 问题（problem） ）
（问题）定义：即需要回答的一般性提问: 问题）定义：即需要回答的一般性提问
2012-2-21
图灵机
图灵机包括一个有限状态控制单元、 （ ） 图灵机包括一个有限状态控制单元、k（≥1）条纸 个读写头（ 带（Tape）和k个读写头（Tapehead）。 ） 个读写头 ）。
有限状态控制单元控制每个读写头访问一条纸带， 有限状态控制单元控制每个读写头访问一条纸带，并沿 着纸带左右移动 图灵机求解问题的输入是一个有限长度的字符串， 图灵机求解问题的输入是一个有限长度的字符串，该输 入占据每条纸带无限个单元的最左边的有限个单元。 入占据每条纸带无限个单元的最左边的有限个单元。 读写头对纸带的一次访问称之为一个合法移动 （Move）。 ）。
2012-2-21
图灵机（ 图灵机（续）
图灵机求解问题时， 图灵机求解问题时，被赋予一个初始状态 ），且一步一步地移动 （Initial State），且一步一步地移动，从而完成 ），且一步一步地移动， 对输入的扫描。 对输入的扫描。
如果图灵机最终扫描了整个输入串， 如果图灵机最终扫描了整个输入串，且满足了中止条件 而停止下来，则称图灵机识别了该输入。 而停止下来，则称图灵机识别了该输入。 否则，图灵机在某一点没有合法移动， 否则，图灵机在某一点没有合法移动，因此会没有识别 输入串而停止下来，此时称图灵机无法识别该输入。 输入串而停止下来，此时称图灵机无法识别该输入。 图灵机所识别的一个输入， 图灵机所识别的一个输入，称为一种可识别语言的一个 实例。 实例。
2012-2-21
算法复杂性（ 算法复杂性（续）
计算复杂性的表示符号为“ 计算复杂性的表示符号为“ O ”（称为“大O ”，即算法 （称为“ ， 的阶号），表示计算复杂性的数量级 ），表示计算复杂性的 的阶号），表示计算复杂性的数量级
例如：一个给定算法的时间复杂性为 2n2 +2n+5 。 （1）首先，随着 n 的增大，2 n2 的增长比较大，而低阶部分增长相对较小。所以， 较低阶函数部分均可忽略不计。 （2）最高项 n2 的系数 2 也可忽略不计。这是因为如果 T=O( n2 )，那么输入尺寸 增加一位，算法的运行时间变为 4 倍；如果 T=O(2 n2 )那么输入尺寸增加一位算 法的运行时间也增加为四倍。
2012-2-21
算法（ ）（续 算法（algorithm）（续） ）（
有关算法的几点注释： 有关算法的几点注释
算法总有输入和输出 算法输入大小一般用输入变量的长度（单位为位） 算法输入大小一般用输入变量的长度（单位为位） 来表示 一般来说， 一般来说，算法用某种编程语言来实现的计算机程序 一般来说， 一般来说，我们仅仅关注解决问题最有效的算法
它通常含有若干个参数。 它通常含有若干个参数。 对于一个问题进行描述应该包括两方面的内容： 对于一个问题进行描述应该包括两方面的内容：
必须对问题的所有给定参数给出一般性描述； 必须对问题的所有给定参数给出一般性描述； 必须描述该问题的答案（或解）应该满足的性质。 必须描述该问题的答案（或解）应该满足的性质。
2012-2-21
图灵机（ 图灵机（续）
例如：请设计一个图灵机， 例如：请设计一个图灵机，用于证明某个非负整 数是否能被3整除 整除。 数是否能被 整除。
图灵机有三个状态 q0，q1 和 q2 分别对应完成扫描串 3k，3k＋1 和 3k＋2： q0：对应完成扫描串 3k（对应能否被 3 整除） q1：对应完成扫描串 3k＋1（对应被 3 除余 1） q2：对应完成扫描串 3k＋2（对应被 3 除余 2）
其中， 和 是常数， 称为多项式的次数， 其中，k和ck是常数，且ci≠0。当k>0时，k称为多项式的次数， 。 时 称为多项式的次数 ci称为多项式的系数。 称为多项式的系数。
2012-2-21
算法复杂性（ 算法复杂性（续） 算法复杂性
算法的分类及其运行时间
算法类型 常数算法 线性算法 多项式算法 二次多项式算 法 三次多项式算 法 指数算法 复杂性 O(1) O(n) O(n2) O(n3) O(2n) 1 106 1012 1018 10301030 运算次数 n＝106 ＝ 时间 1微秒 微秒 1秒 秒 11.6天 天 32,000年 年 10301006年
2012-2-21
算法复杂性（ 算法复杂性（续） 算法复杂性
算法复杂度的增长速度
对任意常数ε，c, 其中0 < ε < 1 < c，有： 1 < ln ln n < ln n < exp
ln n ln ln n
<n <n <n
c
ε
ln n
<c <n <c
n n
cn
亚指数 多项式
指数
2012-2-21
当问题的所有参数都有了确定的取值时，我们称得到了 当问题的所有参数都有了确定的取值时， 该问题的一个实例（instance）。 该问题的一个实例（ ）。
2012-2-21
算法（ 算法（algorithm） ）
定义（算法） 定义（算法） ：即求解某个问题的一系列具体步 通常被理解为求解所需的通用计算程序）。 骤（通常被理解为求解所需的通用计算程序）。
算法复杂性（ 算法复杂性（续）
算法常见复杂性分类
（1）常数算法（constant Algorithm）： ）常数算法（ ）： 如果运行时间是O ，即该算法的复杂性不依赖于n。 如果运行时间是 (1)，即该算法的复杂性不依赖于 。 （2）线性算法（linear Algorithm）： ）线性算法（ ）： 如果运行时间是O(n)。 如果运行时间是 。 （3）多项式算法（polynomial Algorithm）： ）多项式算法（ ）： 如果运行时间是O(nm)，其中 是一个常数。具有多项式复杂性的算法 是一个常数。 如果运行时间是 ，其中m是一个常数 族被称为多项式时间算法。 族被称为多项式时间算法。 （4）超多项式算法（superpolynomial Algorithm）： ）超多项式算法（ ）： 如果运行时间是，其中c是一个常数 是一个常数， 是关于n的大于常数而小于 如果运行时间是，其中 是一个常数，而s(n)是关于 的大于常数而小于 是关于 线性的函数。 线性的函数。 （5）指数算法（exponential Algorithm）： ）指数算法（ ）： 其中t是大于 的常数， 是大于1的常数 是关于n的多项式 如果运行时间是 O(t f ( n ) ) ，其中 是大于 的常数，f(n)是关于 的多项式 是关于 函数。 函数。 2012-2-21
好处： 好处： 使算法复杂性度量与处理器的运行速度和指令运行时间无关； 使算法复杂性度量与处理器的运行速度和指令运行时间无关； 明确地揭示了输入的数据长度对算法复杂性的影响。 明确地揭示了输入的数据长度对算法复杂性的影响。
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（3）最后，这个给定算法的时间复杂性可以表示为 O(n2)。
算法总是针对具体问题而言的， 算法总是针对具体问题而言的，求解一个问题的算法通 常不止一个。 常不止一个。 当某个算法能够回答一个问题的任何实例时， 当某个算法能够回答一个问题的任何实例时，我们称该 算法能够回答这个问题。 算法能够回答这个问题。 当一个问题至少有一个能够回答该问题的算法时， 当一个问题至少有一个能够回答该问题的算法时，我们 称该问题可解（ ），否则称该问题不可解 称该问题可解（resolvable），否则称该问题不可解 ）， （unresolvable）。 ）。
算法复杂性（ 算法复杂性（续）
研究问题的内在复杂性，即在图灵机上解决最难 研究问题的内在复杂性，即在图灵机上解决最难 图灵机 的问题实例所需的最小时间和空间条件。 的问题实例所需的最小时间和空间条件。 图灵机是一种具有无限读、 图灵机是一种具有无限读、写存储带的有限状态 机，可以被当作一个实际可用的计算模型 。