8.2三角函数
三角函数教案 8月1号、8月2号
（一）角的概念知识要点：1、第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z2、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z3、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域。
4、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==P xyAOM T（二）任意角的三角函数知识要点：1、三角函数的定义(1)sec α=x r =αcos 1；(2)csc α=y r =αsin 1；(3)cot α=yx=αtan 1； 这就是说，sec α，csc ，cot 分别是α的余弦、正弦和正切的倒数。
2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。
3、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT4、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=，sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 5、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．【口诀：函数名称不变，符号看象限】()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 【口诀：正弦与余弦互换，符号看象限】απααπαtan 2cot ,cot 2tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απααπαtan 2cot ,cot 2tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-角α与α+（2k+1）π(k ∈Z)的三角函数间的关系 (7) cos[α+(2k+1)π]=-cos α (8) sin[α+(2k+1)π]=-sin α (9) tan[α+(2k+1)π]=tan α（三）三角函数的图象与性质知识要点：6、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴7、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象． 8、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．（四）三角恒等变换知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： （1）()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； （2）()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； （3）()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； （4）()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； （5）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；（6）()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： （1）sin 22sin cos ααα=．（2）2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． （3）22tan tan 21tan ααα=-．3、()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB =A．三角函数第一节角的概念的推广与弧度制【课堂讲解与练习】1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．2．已知扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．3．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于10 cm，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．7．若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．8．已知点P(sin 3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．9．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα<0，则k的值为________．10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．11．扇形AOB的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.12．(1)角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角β的终边在直线y＝3x上，用三角函数定义求sinβ的值．【课堂作业】1．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2 ④cos2α3．若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．4．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域为________．5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．6．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式【课堂讲解与练习】1．已知sin x＝2cos x，则sin2x＋1＝________.2．cos 10π3＝________.3．已知sinα＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于________．4．若tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝_________________.5．已知tan x＝sin(x＋π2)，则sin x＝___________________.6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________.7．已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)的值等于________．8．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.9．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，则f(－31π3)的值为________．10．求sin(2nπ＋2π3)·cos(nπ＋4π3)(n∈Z)的值．11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三内角．【课堂作业】1．若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________. 2．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________. 3．若sin(π6＋α)＝35，则cos(π3－α)＝________.4．已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x2sin x ＋cos x＝______.5．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ＝________.6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cos α，sin α的值．第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质【课堂讲解与练习】1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6) 3．若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为__．4．函数f (x )＝sin 2x ＋2cos x 在区间[－23π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．5．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．6．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．①y ＝4sin(4x ＋π6)②y ＝2sin(2x ＋π3)＋2③y ＝2sin(4x ＋π3)＋2 ④y ＝2sin(4x ＋π6)＋28．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是________．10．已知函数f (x )＝3sin ωx －2sin 2ωx2＋m (ω>0)的最小正周期为3π，且当x ∈[0，π]时，函数 f (x )的最小值为0.(1)求函数f (x )的表达式；(2)在△ABC 中，若f (C )＝1，且2sin 2B ＝cos B ＋cos(A －C )，求sin A 的值．【课堂作业】1．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是．①函数f (x )的最小正周期为2π②函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数 ③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称④函数f (x )是奇函数2．函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数④最小正周期为π2的偶函数3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为________．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)．6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和．第四节 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像【课堂讲解与练习】1．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象如图所示，则φ＝________.3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象________．4．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ) 的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (0)＝________.5．将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－π12，0)中心对称．7．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为________．9．当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________．10．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．【课堂作业】1．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是________．2．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ等于________． 3．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为________．4．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)，x ∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为________．①函数f (x )的最小正周期为π2； ②函数f (x )的振幅为23；③函数f (x )的一条对称轴方程为x ＝712π；④函数f (x )的单调递增区间为[π12，712π]；⑤函数的解析式为f (x )＝3sin(2x －23π)．5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 1＋2010)成立，则ω的最小值为________．6．已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω>0)，在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6. (1)求ω；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间．三角恒等变换第一节 同角三角函数的基本关系【课堂讲解与练习】 1.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 2．已知cos(π4＋x )＝35，则sin2x －2sin 2x 1－tan x的值为________．3．已知cos(α＋π3)＝sin(α－π3)，则tan α＝________.4．设α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，cos(α－π4)＝35，sin(3π4＋β)＝513，则sin(α＋β)＝________.5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈(0，π2)，则cos(α－β)的值等于________．6．已知角α在第一象限，且cos α＝35，则1＋2cos(2α－π4)sin(α＋π2)＝________.7.tan10°tan70°tan70°－tan10°＋tan120°的值为______． 8．已知角α的终边经过点A (－1，15)，则sin(α＋π4)sin2α＋cos2α＋1的值等于________．9．求值：cos20°sin20°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°.10．已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．【课堂作业】1．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________．2．已知0<α<π2<β<π，cosα＝35，sin(α＋β)＝－35，则cosβ的值为________．3．如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sin(α＋β)cos(α－β)＝________.4．已知cos(α－π6)＋sinα＝453，则sin(α＋7π6)的值是___．5．已知α∈(π2，π)，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cosβ的值．第二节两角和与差及二倍角的三角函数【课堂讲解与练习】1．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.2．若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．5．若tanα＋1tanα＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．6．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．7．2cos5°－sin25°cos25°的值为________．8．已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.9．已知tanα＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α的值．10．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A的坐标为(35，45)，记∠COA＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC|2的值．11．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求角A，C.(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.【课堂作业】1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________. 2．已知π<θ<32π，则12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x )的最小值是________．6．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．。
三角函数公式(最全)
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
5、幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4* 6*7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)
上述两式相比可得： tan3a=tana·tan(60°-a) ·tan(60°+a)
6、四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)] cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4) tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
7、五倍角公式
5
应用欧拉公式
8、n倍角公式
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为： 所以
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而
三角函数详细讲解
三角函数详细讲解
三角函数是基本初等函数之一，是以角度（最常用的单位是弧度制）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。
它也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。
三角函数中的正弦函数、余弦函数和正切函数是最常见的。
这些函数的定义可以通过直角三角形来解释，其中θ是要找的角度，对边是指与θ所对应的直角三角形中的最短边，邻边是指与θ所对应的直角三角形中的最长边，斜边是指三角形的最长边。
正弦函数的定义为sinθ=对边/斜边，余弦函数的定义为cosθ=邻边/斜边，正切函数的定义为tanθ=对边/邻边。
这些函数的值是固定的，不会因为三角形的大小改变而改变。
例如，tan45°的值总是等于1，无论三角形的大小如何变化。
这是因为我们用的是直角三角形，所以每个三角形都有成比例的关系。
三角函数不仅用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。
另外，以三角函数为模版，可以定义一
类相似的函数，叫做双曲函数。
常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。
以上是关于三角函数的详细讲解，如需了解更多信息，建议查阅数学书籍或咨询专业人士。
新教材高中数学第八章 8.2三角恒等变换8.2.3倍角公式8.2.4三角恒等变换的应用教案新人教B版第三册
8.2.3 倍角公式 8.2.4 三角恒等变换的应用(教师独具内容)课程标准：1.能从两角差的余弦公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用相关三角公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式)．教学重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用.2.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.【知识导学】知识点一 二倍角公式S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α. 知识点二 半角公式sin α2＝□01± 1－cos α2； cos α2＝□02± 1＋cos α2； tan α2＝□03± 1－cos α1＋cos α＝□04sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点三 积化和差公式cos αcos β＝12[□01cos(α＋β)＋□02cos(α－β)]， sin αsin β＝－12[□03cos(α＋β)－□04cos(α－β)]． sin αcos β＝12[□05sin(α＋β)＋□06sin(α－β)]， cos αsin β＝12[□07sin(α＋β)－□08sin(α－β)]． 知识点四 和差化积公式cos x ＋cos y ＝□012cos x ＋y2cosx －y2，cos x －cos y ＝□02－2sin x ＋y2sinx －y2，sin x ＋sin y ＝□032sin x ＋y2cos x －y2， sin x －sin y ＝□042cos x ＋y 2sinx －y2.【新知拓展】1．倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．前提：所含各三角函数有意义．2．确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后再根据α2所在范围选用符号．(3)如给出的角α是某一象限角时，则根据下表决定符号：αα2sin α2 cos α2tan α2第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限第二、四象限＋、－－、＋－(4)由于tan α2＝sin α1＋cos α及tan α2＝1－cos αsin α不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan α2的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos2α＝2cos α都不成立．( )(4)若角α是第一象限角，则sin α2＝1－cos α2.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．做一做(1)sin15°sin75°的值为( ) A.12 B.14 C.32D.34(2)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63D ．±33(3)已知cos α＝13，则cos2α等于________．(4)tan22.5°＝________.答案 (1)B (2)A (3)－79(4)2－1题型一 利用倍角公式化简求值 例1 (1)计算：①cos4α2－sin4α2＝________；②12－cos 2π8＝________； (2)化简：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(3)化简：2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.[解析] (1)①cos 4α2－sin4α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2·⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2＋sin 2α2＝cos α.②原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(2)原式＝2cos 10°－60°2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. (3)原式＝cos2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αcos2α＝1.[答案] (1)①cos α ②－24(2) 2 (3)1 金版点睛倍角公式转化的策略(1)探究角之间的“倍、半”关系，是恰好运用倍角公式的前提． (2)注意角之间的“互补、互余”关系，能有效地进行角之间的互化． (3)分析题设条件中所给式的结构特征，是有效进行三角变换的关键．提醒：在化简求值时要关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[跟踪训练1] 求下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12；(2)2tan15°1－tan 215°. 解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. (2)2tan15°1－tan 215°＝tan30°＝33. 题型二 半角公式的应用例2 已知sin φcos φ＝60169，且π4<φ<π2，求sin φ，cos φ的值．[解] ∵sin φcos φ＝60169，∴sin2φ＝120169，又∵π4<φ<π2，∴π2<2φ<π，sin φ>0，cos φ>0，∴cos2φ<0，∴cos2φ＝－1－sin 22φ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫1201692＝－119169，∴sin φ＝1－cos2φ2＝ 1＋1191692＝1213，cos φ＝ 1＋cos2φ2＝ 1－1191692＝513. 金版点睛利用半角公式化简的基本思路(1)降次．一般运用公式cos 2α2＝1＋cos α2，sin2α2＝1－cos α2化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数．(2)统一函数名称．化多种三角函数为单一的三角函数． (3)统一角．化多角为单一角，减少角的种类．(4)弦切互化．一般地，若要化简的式子中含有正切，则需要将正切化为正余弦；有时候也需要将弦化为切，要视已知条件或式子结构而定．[跟踪训练2] 已知cos α＝－35，180°<α<270°，求sin α2，cos α2，tan α2.解 ∵180°<α<270°，∴90°<α2<135°，即角α2是第二象限的角．∴sin α2>0，cos α2<0，tan α2<0， ∴sin α2＝ 1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－352＝－55， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351－35＝－2. 题型三 证明三角恒等式 例3 证明下列等式：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos2A cos2B .[证明] 左边＝1＋cos 2A ＋2B 2－1－cos 2A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos2A cos2B －sin2A sin2B ＋cos2A cos2B ＋sin2A sin2B )＝cos2A cos2B ＝右边，所以原等式成立． 金版点睛证明的原则及一般步骤(1)化繁为简，观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)变异为同，证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．[跟踪训练3] 证明：sin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1sin2x ＝tan x2.证明 左边＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋1－2sin 2x 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1＋2sin 2x 2＋1sin2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 24sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋sin x 2sin x 2cos x2cos x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2－sin 2x 2·si n x 2cos x2·cos x＝cos x ·si nx2cos x2·cos x＝tan x2＝右边，所以原等式成立.题型四 运用公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合； (2)函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin x cos x ＋1＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋2＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )取得最大值2＋ 2.函数f (x )取得最大值时自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π8，k ∈Z. (2)由(1)，得f (x )＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由题意，得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增，因此函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )． 金版点睛利用公式研究三角函数性质的思路要研究三角函数的性质，需将所给函数式利用和(差)角公式和二倍角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而依据y ＝sin x 或y ＝cos x 的性质对所求函数进行性质研究．[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 所以当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.1．已知cos α＝－35，则cos2α等于( )A.725B．－725C.2425D．－2425答案 B解析cos2α＝2cos2α－1＝－725.2．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan2α的值为______．答案4 3解析由角α的终边经过点P(1，－2)，则tanα＝－2，由倍角公式得tan2α＝2tanα1－tan2α＝43.3．函数y＝sin2x的最小正周期为__________．答案π解析因为y＝sin2x＝1－cos2x2＝－12cos2x＋12，所以T＝2π2＝π.4．化简1＋sin98°＝__________.答案2cos4°解析1＋sin98°＝sin49°＋cos49°2＝|sin49°＋cos49°|＝sin49°＋cos49°＝2sin(49°＋45°)＝2sin94°＝2cos4°.5．已知cosα8＝－45，8π<α<12π，求sinα4，cosα4，tanα4.解∵8π<α<12π，∴π<α8<3π2，∴sinα8＝－1－cos2α8＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫－452＝－35，∴sinα4＝2sinα8cosα8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－35×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝2425，cosα4＝2cos2α8－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－452－1＝725，∴tanα4＝sinα4cosα4＝247.。
初中数学常用三角函数公式表
平方关系
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
两角和差公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
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初中数学常用三角函数公式表
三角函数公式表整理
sin是对边比斜边，cos是邻边比斜边，tan是对边比邻边cot邻边比对边。
sin30是二分之一，sin45是二分之根二，sin60是二分之根三。
cos30是二分之根三，cos45是二分之根二，cos60是二分之一。
tan30是三分之根三，tan45是一，tan60是根三。
cot30是根三，cot45是一，cot60是三分之根三。
三角函数常用公式集锦
积的关系
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
八年级数学上册专题：三角函数
八年级数学上册专题：三角函数1. 引言三角函数是数学中重要且应用广泛的概念。
它们被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域中，以解决与角度相关的问题。
理解三角函数的基本概念和性质对于学生掌握数学的基础知识至关重要。
2. 正弦函数与余弦函数2.1 正弦函数的定义和性质正弦函数是三角函数中的一种，通常用sin表示。
它表示一个角度对应的正弦值。
正弦函数的定义域是所有实数，值域是[-1, 1]，周期是360度或2π弧度。
在直角三角形中，正弦值等于斜边与对边的比值。
2.2 余弦函数的定义和性质余弦函数是三角函数中的另一种常用函数，通常用cos表示。
它表示一个角度对应的余弦值。
余弦函数的定义域是所有实数，值域也是[-1, 1]，周期同样是360度或2π弧度。
在直角三角形中，余弦值等于斜边与邻边的比值。
3. 正切函数和割函数3.1 正切函数的定义和性质正切函数是三角函数中另一个重要的函数，通常用tan表示。
它表示一个角度对应的正切值。
正切函数的定义域是除去所有余弦值为0的实数，值域是所有实数。
在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。
3.2 割函数的定义和性质割函数是三角函数中的另一个相关函数，通常用csc表示。
它表示一个角度对应的割值。
割函数的定义域是除去所有正弦值为0的实数，值域同样是所有实数。
在直角三角形中，割值等于斜边与对边的比值的倒数。
4. 应用举例三角函数在实际应用中有广泛的应用。
例如，它们可以用于测量高楼大厦的高度、导航系统中确定航向、天文学中计算星体的位置等等。
三角函数的应用可以帮助我们解决许多实际问题。
5. 总结通过研究三角函数，学生可以理解角度和三角关系之间的重要性，并且能够应用他们解决实际问题。
掌握三角函数的基本概念和性质对于数学的研究和实践具有重要意义。
以上是关于八年级数学上册专题“三角函数”的简要介绍。
希望本文可以帮助学生们更好地理解和掌握这一重要概念。
三角函数知识点
三角函数知识点三角函数是数学中一种重要的函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
它们以角度为自变量，并输出对应的正弦、余弦、正切等数值。
本文将介绍三角函数的定义、性质及常见应用。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最常见的一种。
它表示一个角的对边与斜边之比，常用符号为sin。
正弦函数的定义如下：在直角三角形中，设角A的对边为a，斜边为c，则正弦函数sinA 等于a与c的比值。
sinA = a / c其中，A为角A的度数，a和c分别表示对边和斜边的长度。
正弦函数的取值范围为-1到1，即-1 ≤ sinA ≤ 1。
当A为0度、180度或360度时，sinA为0；当A为90度时，sinA为1。
二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。
它表示一个角的邻边与斜边之比，通常记作cos。
余弦函数的定义如下：在直角三角形中，设角A的邻边为b，斜边为c，则余弦函数cosA等于b与c的比值。
cosA = b / c余弦函数的取值范围也为-1到1，即-1 ≤ cosA ≤ 1。
当A为0度时，cosA为1；当A为90度时，cosA为0。
三、正切函数（Tangent Function）正切函数是另一种常见的三角函数，它表示一个角的对边与邻边之比，一般用tan表示。
正切函数的定义如下：在直角三角形中，设角A的对边为a，邻边为b，则正切函数tanA等于a与b的比值。
tanA = a / b正切函数的取值范围为负无穷到正无穷，即tanA的值可以是任意实数。
四、反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）除了常见的三角函数，反三角函数也是三角函数中的重要概念。
它们代表了三角函数的逆运算，常用反函数的形式表示。
常见的反三角函数有反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）和反正切函数（arctan）等。
它们的定义如下：1. 反正弦函数（arcsin）：将给定数值（-1≤x≤1）作为正弦函数的值，返回该角度（-90°≤A≤90°）的度数。
初二数学中常见的三角函数问题
初二数学中常见的三角函数问题三角函数是初中数学中的重要内容，也是数学建模和高中数学的基础知识。
初二数学涉及的三角函数问题主要包括角度的度数与弧度的转换、基本三角函数的定义与性质、三角函数的图像与性质、解三角函数方程等。
下面将分别对这些问题进行详细的介绍和解答。
一、角度的度数与弧度的转换角度的度数与弧度的转换是初二数学中常见的三角函数问题。
在解决这类问题时，我们需要掌握以下基本原理：1. 角度的度数转换为弧度时，需要用到以下公式：弧度 = 度数× π / 1802. 弧度转换为角度的度数时，需要用到以下公式：度数 = 弧度× 180 / π通过这些公式，我们可以方便地在角度度数与弧度之间进行转换。
二、基本三角函数的定义与性质初二数学中最常见的三个基本三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们分别记作sinθ、cosθ和tanθ。
这些函数的定义和性质如下：1. 正弦函数的定义与性质：正弦函数sinθ定义为直角三角形中对边与斜边的比值，其中θ为对应的角度。
其性质包括：sin(90°+θ) = cosθ，sin(-θ) = -sinθ，sin(180°-θ) = sinθ等。
2. 余弦函数的定义与性质：余弦函数cosθ定义为直角三角形中邻边与斜边的比值，其中θ为对应的角度。
其性质包括：cos(-θ) = cosθ，cos(180°-θ) = -cosθ，cos(360°+θ) = cosθ等。
3. 正切函数的定义与性质：正切函数tanθ定义为直角三角形中对边与邻边的比值，其中θ为对应的角度。
其性质包括：tanθ = sinθ / cosθ，tan(-θ) = -tanθ，tan(180°+θ) = tanθ等。
了解并掌握这些基本三角函数的定义与性质，可以帮助我们更好地解决与三角函数相关的问题。
三、三角函数的图像与性质初二数学中，还经常涉及到三角函数的图像与性质的问题。
八年级三角函数知识点全方面教程
八年级三角函数知识点全方面教程本文旨在为八年级学生提供全方位的三角函数知识点教程，涵盖了一系列基础和高阶知识，并为读者提供了数学运算技巧和解题方法。
一、基础知识1. 三角比在三角形ABC中，以边a为底边，则对角A的正弦比为a/c，余弦比为b/c，正切比为a/b。
此外，还有余切比、正割比和余割比。
2. 弧度和角度角度是用度数来表示的量，其中360度表示一个圆周；弧度是用弧长来表示的量，其中一个完整圆的弧长为2π。
转换角度和弧度可以使用下列公式：角度=弧度×180/π，弧度=角度×π/180。
3. 三角函数三角函数是指正弦、余弦、正切等函数，它们反映了三角形的角度与边比之间的关系。
三角函数可以表示为一个比值或一个角度，因此在求解时应根据具体情况选择适当的函数。
4. 三角函数的周期性三角函数都是周期性的，也就是它们的值在一定角度范围内重复出现。
正弦和余弦函数的周期为2π，而正切、余切、正割和余割函数的周期为π。
二、高阶知识1. 反三角函数反三角函数是指arcsin、arccos和arctan等函数，它们是三角函数的反函数。
反三角函数有助于解决三角方程，其定义域一般为[-1,1]或实数集。
2. 复合函数复合函数是指由一个函数作为另一个函数的输入的函数。
例如，如果f(x)和g(x)都是函数，则(f∘g)(x)=f(g(x))是一个复合函数。
在三角函数中，复合函数可以用来解决一些复杂的题目。
3. 三角函数的扩展除了基本三角函数之外，三角函数还有一些变体和扩展，包括双曲正弦、双曲余弦、双曲正切等。
这些函数在数理物理、工程学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
三、数学运算技巧和解题方法1. 化简表达式在解题时，有时需要将三角函数表达式化简为更简单的形式。
这可以通过等同变形、平方差公式、倍角公式等方法来实现。
2. 解三角方程三角方程是指包含三角函数的方程，解这类方程时需要运用三角函数的周期性、性质等知识。
教学设计1：8.2.3 倍角公式
8.2.3 倍角公式教学目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．教学知识梳理知识点一 倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 思考 倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？【答案】倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况． 知识点二 倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α， cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 2．倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式(1)升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(2)降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 教学小测1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(3)对任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A.75B.125C.1225D.2425【答案】D3．计算cos 215°－sin 215°结果等于( )A.12B.22C.33D.32 【答案】D4．已知α为第三象限角，cos α＝－35，则tan 2α＝________. 【答案】－247教学案例案例一 给角求值例1.求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14； (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24. 反思感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式． 跟踪训练1.(1)2tan 150°1－tan 2150°； (2)sin 10°sin 50°sin 70°.解：(1)原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－3；(2)原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝18·sin 160°sin 20°＝18.案例二 给值求值例2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 解：∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 反思感悟 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化．(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． 跟踪训练2.已知sin(π4－x )＝513，0<x <π4，求cos 2x cos （π4＋x ）的值． 解：∵0<x <π4，∴π4－x ∈(0，π4)． 又∵sin(π4－x )＝513，∴cos(π4－x )＝1213. 又cos 2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169， cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413. 案例三 化简与证明例3.化简：11－tan θ－11＋tan θ； 解：原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. 反思感悟 证明问题的原则及一般步骤(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．跟踪训练3.化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 解：方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 案例四 倍角公式的应用例4.已知函数f (x )＝23sin 2x ＋3sin 2x － 3.(1)求f (x )的周期及对称中心；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，求f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝23×1－cos 2x 2＋3sin 2x －3 ＝3sin 2x －3cos 2x ＝6⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.∴T ＝π.令2x －π4＝k π，k ∈Z ，∴x ＝π8＋12k π，k ∈Z . ∴对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z . (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－34π，π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎭⎫－1，22， ∴f (x )∈[－6，3)．∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4时，f (x )的值域为[－6，3)． 反思感悟 要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等等)，需先把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式．跟踪训练4.已知f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx (ω>0)，且f (x )的图像中相邻的最高点之间的距离为π.(1)求f (x )的最大值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)f (x )＝－(cos 2ωx －sin 2ωx )＋3sin 2ωx＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6. 依题意T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )max ＝2. (2)令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z . 课堂小结1．知识清单：(1)倍角公式的推导．(2)利用倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．2．方法归纳：整体思想．3．常见误区：倍角公式的余弦公式易混淆． 课堂检测1.12sin 15°cos 15°的值等于( ) A.14 B.18C.116D.12【答案】B【解析】原式＝14sin 30°＝18. 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°－cos 15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．cos 215°＋sin 215°【答案】B【解析】A ：2sin 15°－cos 15°≠32， B ：cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32， C ：2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32， D ：cos 215°＋sin 215°＝1.故选B.3．已知tan α＝12，则tan 2α＝__________. 【答案】43【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43. 4．若tan(α＋π4)＝3＋22，求1－cos 2αsin 2α的值． 解:由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，∴tan α＝22，1－cos 2αsin 2α＝2sin2α2sin αcos α＝tan α＝2 2.∴。
初二数学公式集锦：三角函数万能公式
初二数学公式集锦：三角函数万能公式学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。
编辑了初二数学公式：三角函数万能公式，希望对您有所帮助!(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC三角函数万能公式为什么万能万能公式为：设tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)tanA=2t/(1-t^2)(A≠2kπ+π，k∈Z)cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2)k∈Z)就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.小编为大家整理的初二数学公式：三角函数万能公式就先到这里，希望大家学习的时候每天都有进步。
〖2021年整理〗《整合教案8.2.4 三角函数的积化和差与和差化积》优秀教案
第2课时三角函数的积化和差与和差化积学习目标核心素养α±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．难点2了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．重点1通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养1积化和差公式co αco β＝错误![coα＋β＋coα－β]；in αin β＝－错误![coα＋β－coα－β]；in αco β＝错误![inα＋β＋inα－β]；co αin β＝错误![inα＋β－inα－β]．2和差化积公式设α＋β＝，α－β＝，则α＝错误!，β＝错误!这样，上面的四个式子可以写成，in ＋in ＝2in 错误!co 错误!；in －in ＝2co 错误!in 错误!；co ＋co ＝2co 错误!co 错误!；co －co ＝－2in 错误!in 错误!思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示]只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．105°co 75°的值是A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!B[in 105°co 75°＝错误!in 180°＋in 30°＝错误!]2021co70°＋in10°·in50°的值为A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!B[in2021co70°＋in10°·in50°＝错误!错误!＋错误![co10°－50°－co错误!]＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!－错误!in 50°＋错误!co 40°＝错误!－错误!in 50°＋错误!in 50°＝错误!故选B．]3下列等式正确的是A．in ＋in ＝2in 错误!in 错误!B．in －in ＝2co 错误!co 错误!C．co ＋co ＝2co 错误!co 错误!D．co －co ＝2in 错误!in 错误!C[由和差化积公式知C正确．]积化和差问题2求值：in 2021n 40°in 60°in 80°[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解]1in 2021o 70°＋in 10°in 50°＝错误!in 90°－in 50°－错误!co 60°－co 40°＝错误!－错误!in 50°＋错误!co 40°＝错误!－错误!in 50°＋错误!in 50°＝错误!2原式＝co 10°co 30°co 50°co 70°＝错误!co 10°co 50°co 70°＝错误!错误!＝错误!co 70°＋错误!co 40°co 70°＝错误!co 70°＋错误!co 110°＋co 30°＝错误!co 70°＋错误!co 110°＋错误!＝错误!积化和差公式的功能与关键(1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质(2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数22021co250°＋in 2021o 50°的值．[解]原式＝错误!＋错误!＋错误!in 70°－in 30°＝1＋错误!co 100°－co 40°＋错误!in 70°－错误!＝错误!＋错误!－2in 70°in 30°＋错误!in 70°＝错误!－错误!in 70°＋错误!in 70°＝错误!和差化积问题错误!错误![思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．[解]∵co α－co β＝错误!，∴－2in错误!in错误!＝错误!①又∵in α－in β＝－错误!，∴2co错误!in错误!＝－错误!②∵in错误!≠0，∴由①②，得－tan错误!＝－错误!，即tan错误!＝错误!∴inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!1变结论本例中条件不变，试求coα＋β的值．[解]因为co α－co β＝错误!，所以－2in 错误!in 错误!＝错误!①又因为in α－in β＝－错误!，所以2co 错误!in 错误!＝－错误!②因为in 错误!≠0，所以由①②，得－tan 错误!＝－错误!，即tan 错误!＝错误!所以coα＋β＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!2变条件将本例中的条件“co α－co β＝错误!，in α－in β＝－错误!”变为“co α＋co β＝错误!，in α＋in β＝－错误!”，结果如何？[解]因为co α＋co β＝错误!，所以2co 错误!co 错误!＝错误!①又因为in α＋in β＝－错误!，所以2in 错误!co 错误!＝－错误!②所以co 错误!≠0，所以由①②，得tan 错误!＝－错误!，所以inα＋β＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!和差化积公式应用时的注意事项(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项(3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如错误!－co α＝co 错误!－co α公式的综合应用1解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？[提示]注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．2在△ABC中有哪些重要的三角关系？[提示]在△ABC中的三角关系：in A＋B＝in C，co A＋B＝－co C，in错误!＝co错误!，co错误!＝in错误!，in2A＋2B＝－in 2C，co2A＋2B＝co 2C．【例3】在△ABC中，求证：in A＋in B－in C＝4in错误!in错误!co错误![思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π[解]左边＝in B＋C＋2in错误!·co错误!＝2in错误!co错误!＋2in错误!co错误!＝2co错误!错误!＝4in错误!in错误!co错误!＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证2在△ABC中，求证：in A＋in B＋in C＝4co 错误!co 错误!·co 错误![证明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－A＋B，即错误!＝90°－错误!，∴co 错误!＝in 错误!∴in A＋in B＋in C＝2in错误!·co错误!＋in A＋B＝2in错误!·co错误!＋2in错误!·co错误!＝2in错误!错误!＝2co 错误!·2co 错误!·co错误!＝4co 错误!co 错误!co 错误!，∴原等式成立．1公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”正代表in α，余代表co α2公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导75°－in 15°的值为A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!B[in 75°－in 15°＝2co错误!in错误!＝2×错误!×错误!＝错误!故选B．]＝in错误!co 的最大值为A．错误!B．错误!C．1 D．错误!B[∵＝in错误!co＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!in错误!－错误!∴函数的取最大值为错误!]α＋β＝错误!，inα－β＝错误!，则in αco β＝________错误![in αco β＝错误!inα＋β＋错误!inα－β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!] 4．化简下列各式：1错误!；2错误![解]1原式＝错误!＝错误!＝错误!＝tan 错误!2原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
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1．要得到)4
2sin(3π
+=x y 的图象只需将3sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移
4π个单位 B ．向右平移4π
个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8
π
个单位
2．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移
12个单位 D ．向右平移1
2
个单位 3．要得到函数sin(2)4
y x π
=-
的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 ( ) A ．向左平移
4π单位 B ．向右平移4π
单位 C ．向左平移
8π单位 D ．向右平移8
π
单位 4．已知g （x ）=sin2x 的图像，要得到f （x ）=sin （2x-4
π
），只需将g （x ）的图像（ ） A ．向右平移
8π
个单位 B ．向左平移8π
个单位
C ．向右平移4π
个单位
D ．向左平移4
π
个单位
5．将函数sin()4
y x π
=+的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
所得图象的函数解析式是（ ）
A ．cos 2y x =
B ．sin(2)4
y x π
=+
C ．1sin()2
8y x π
=+
D ．1sin()24
y x π
=+
6．为了得到函数1sin 32y x x =的图象，只需把函数sin(3)6y x π=+的图象
（ ）
A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3π
个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6
π
个单位
7．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．
的是
A ．函数()x f 的最小正常周期为π
B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6
π
个单位得到 C ．函数()x f 的图象关于直线6
π
=x 对称
D ．函数()x f 在区间[0，
6
π
]上是增函数 8．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象（ ） A.向左平移
2π个单位长度 B.向右平移2π
个单位长度 C.向左平移
4π个单位长度 D.向右平移4
π
个单位长度 9．要得到函数cos(2)3
y x π
=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移
6π个长度单位 B ．向右平移12π
个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移12
π
个长度单位
10．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()
4
f π
的值为（ ）
A ．0 C ．1 D 11．函数()sin 24f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
在区间[0,
]2
π
上的最小值是
A ．-l
B ．
2 C ．2
- D ．0 12．将函数sin y x =的图象向左平移2
π
个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A.()y f x =是奇函数
B.()y f x =的周期是π
C.()3y f x =的图像关于直线2
x π
=对称
D.()y f x = 的图像关于02π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，对称 13．函数sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，x R ∈是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π
的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2
π
的偶函数
14．将函数sin(2)3y x π=+的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12
π
-中心对
称，则向量α的坐标可能为（ ）
A ．(,0)12π-
B ．(,0)6π-
C ．(,0)12π
D ．(,0)6
π 15．函数5sin(2)2
y x π
=+图像的一条对称轴方程是（ ） A ．2π-=x B ． 4π-=x C ． 8π=x D ．4
5π
=x
16．函数)2
20)(sin(2)(π
ϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则ϕω，的值分别是（ ）
A.32π-，
B.62π-，
C.321π-，
D.6
21π
， 17．函数f(x)＝sin x －cos 6x π⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值域为( )
A ．[－2，2]
B ．[．[－1，1] D. ⎡⎢⎣
⎦
18．已知函数()sin 2f x x =()y g x =，下列关于
()y g x =的说法正确的是（ ）
A
B
C D
19．已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63
x ππ
∈-
，求()f x 的最大值和最小值. 20．已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值与最小值. 21．已知函数πf(x)cos(x )sin 222x 3
=-+，
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)若α为锐角，且αf()324
=，求sin α的值.
22．（本小题满分12分）已知函数2
π()2cos ()14
f x x x =+-- （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间ππ[,]32
-上的取值范围．
23．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2
sin 262sin 2)(-⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-=π，R x ∈ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,1)2
(===c b B f ，
求a 的值．。