2.1.1椭圆及其标准方程
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2.1.1椭圆及其标准方程 课件
，解得AB＝＝1184
，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
32
椭圆的焦点三角形问题
例 3 如图所示，点 P 是椭圆y52＋x42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
33
[分析] 由题目可获取以下主要信息： (1)椭圆方程为y52＋x42＝1； (2)F1，F2 是焦点，P 是椭圆上一点且∠F1PF2＝30°. 解答本题可先利用 a，b，c 三者关系求出|F1F2|，再利用 定义及余弦定理求出|PF1|、|PF2|，最后求出S . F1PF2
22
|PF1|＋|PF2|＝6. 而 |PF1|＋ |PA|＝ |PF1|＋ |PA|＋ |PF2|－ |PF2|＝ 6－ (|PF2|－ |PA|)． 在△PAF2 中，|PF2|>|PA|，|PF2|－|PA|≤|AF2|，当且仅当 P、A、F2 三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝ 2.所以当 P、A、 F2 三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为 6－ 2.
(2)由于椭圆 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)包含焦点在 x 轴上(A<B)和焦点在 y 轴上(A>B)两类情况，因此解法二的 处理避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
28
练 2 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准 方程．
29
[解] 方法一 ＋by22＝1(a>b>0)．
34
[解] 在椭圆y52＋x42＝1 中，a＝ 5，b＝2， ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由余弦定理知： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②
2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2
2
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由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
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7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示椭圆． k－2 5－k
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x y 1.如图所示，点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
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2.1.1-椭圆及标准方程
数学
即时训练 1 1:求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)a=5,c=2,焦点在 y 轴上; (2)焦距为 8,椭圆上一点到两焦点的距离之和为 12.
解:(1)因为 a=5,c=2,所以 b2=a2-c2=25-4=21. 又因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 y2 x2 =1.
因为椭圆经过两点 A(0,2)、B( 1 , 3 ), 2
0 4n 1,
m 1,
所以
1 4
m
3n
1,
解得
n
1 4
.
所求椭圆的方程为 x2+ y 2 =1. 4
数学
题后反思 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定 待定系数即可.即“先定位、后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进 行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中 分母不 含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.
数学
即时训练 3 1:(2015 贵阳高三模拟)已知 F1、F2 是椭圆 x2 + y 2 =1 的两个焦点,P 100 64
是椭圆上一点,且 PF1⊥PF2,则△F1PF2 的面积为
.
解析:a=10,b=8,c=6.
由椭圆定义知,|PF1|+|PF2|=2a=20 ①
在 Rt△PF1F2 中,由勾股定理得
m2、n2 的大小说明方程表示的各种图形. (不一定.当m2=n2时,方程化为x2+y2=m2,它表示圆;当m2>n2时,方程表示
2.1,1椭圆的定义与标准方程
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为
y2 x 2 2 1 (a>b>0). 2 a b 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) a , 依题意,知 3 3 1, ⇒ 4 2 2 a b 1 2 b . 1 2 ( ) 5 2 1 2 a y2 x 2 1. 故所求椭圆的标准方程为 1 1 4 5
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 1(6) 2 24 k 16 k m m 1
M xx x
O
M
O F2
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值 2a(2a>2c)
原创3：2.1.1 椭圆及其标准方程
【规律方法】 1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭 圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， a＞0，c＞0，且 a、c 为常数． 当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．
解得nm＝＝1511，5
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
题目类型三、求与椭圆有关的轨迹方程 例 3、已知圆 x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴 作垂线段 PP′，垂足为 P′，点 M 在 PP′上，并且P→M＝ 2M→P′，求点 M 的轨迹． 【思路探究】 设动点Mx，y，Px0，y0 → 找M，P的关系 → 用点M坐标表示点P坐标 → 代入圆方程 → 得点M轨迹
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
知识点一、椭圆的定义 【问题导思】 1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出 椭圆吗？ 【提示】 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画 出椭圆的关键． 2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足 的几何条件吗？ 【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离 之和始终等于绳长．
3．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a＞ |F1F2|?
【提示】 只有当 2a＞|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭 圆；当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当 2a＜|F1F2|时 满足条件的点不存在．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准 方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
2.1.1椭圆及其标准方程
y
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a
x + c
2
2
, 0 2c + ca , 0 O x -F + y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2
x - c
2
+ y2 x - c + y2
a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a 2 - c2
2 2 2
2 设 a 2 -P cx = a x c + y ( x，y )是椭圆上任意一点
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
2 2
a2
b2
椭圆的标准方程
y (0,b)M (a,0) O
2
y F2 (0 , c)
M O F1 (0,-c)
x(-aΒιβλιοθήκη 0) F1 (-c,0)2
F2 (c,0) (0,-b)
x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆的标准方程的几点说明：
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2.1.1 椭圆及其标准方程
——“传说中的”飞碟
生活中 的椭圆
椭圆的定义
P(2x , y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c + y 2 = 2a
x + c
2
2
, 0 2c + ca , 0 O x -F + y 2F= c2 y2 1 -2
x
2
x + c + y 2 = 4a 2 - 4a
2
x - c
2
+ y2 x - c + y2
a2 - c2 x2 + a2 y2 = a2 a 2 - c2
2 2 2
2 设 a 2 -P cx = a x c + y ( x，y )是椭圆上任意一点
设F1 F=2 ，则有 F1(-c，0)、 F2(c，0) F1F2 以 F1c 、 F2 所在直线为 x 轴，线段 设 a - c = b b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系． x y + = 1 a > b > 0 即：
2 2
a2
b2
椭圆的标准方程
y (0,b)M (a,0) O
2
y F2 (0 , c)
M O F1 (0,-c)
x(-aΒιβλιοθήκη 0) F1 (-c,0)2
F2 (c,0) (0,-b)
x
x y 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆的标准方程的几点说明：
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
2.1.1 椭圆及其标准方程
——“传说中的”飞碟
生活中 的椭圆
椭圆的定义
2.1.1椭圆及其标准方程
x2 2 1 2 a b
2
y2 x 2 ＋ ＝1. 169 144
类型二
椭圆的定义及其应用
【典例】(2015·济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为
x 2 y2 ＋ ＝1， 求△ 4 PF 3 1F2的面积.
若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,
【解题探究】本题中求△PF1F2的面积需要用哪个公式?椭圆可以提供 哪些条件?如何求解本题? 提示:求△PF1F2的面积需要用
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|= .
【解析】由已知得a=2,b= 所以c=
3
,
在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos120°, 即4=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|·|PF2|.
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和
小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨
迹是
2. 1. 1椭圆及其标准方程
2.1.1椭圆的标准方程一预习目标理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．二预习内容1.什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？．2.圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？3．椭圆的定义：---------------------------------------------------------------- 轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的-------------，两焦点的距离叫做----------------。
b5E2RGbCAP4. 椭圆标准方程的推导：①建系；以-----------为轴，----------- 为轴，建立直角坐标系，则的坐标分别为：--------------------p1EanqFDPw②写出点集；设P< ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：------------------------------DXDiTa9E3d③坐标化；④化简<注意根式的处理和令a2-c2=b2）类似的，焦点在----- 轴上的椭圆方程为：-------------------------- 其中焦点坐标为：--------------------------RTCrpUDGiT三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标1..通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
2通过对椭圆标准方程的推导的教案，可以提高对各种知识的综合运用能力．重点：椭圆的定义的理解及其标准方程记忆难点：椭圆标准方程的推导二、学习过程1.思考：(1>动点是在怎样的条件下运动的？(2>动点运动出的轨迹是什么？得出结论：在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为2．推导椭圆的标准方程．1>建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y>，5PCzVD7HxA设两定点坐标为：F1(-c，0>，F2(c，0>，2>则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2>x2+a2y2=a2(a2-c2>．b2=a2-c2得：3.例题例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．设椭圆的标准方程为--------------------，因点在椭圆上，代入化简可得标准方程。
高二数学 2.1.1 椭圆及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭圆
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第二章 圆锥曲线与方程
2．1.1 椭圆及其标准方程
课前预习目标
课堂互动探究
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
课前预习目标梳理知识 夯实基础
第4页
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
课前热身
规律技巧 求轨迹问题常用的方法有直接法如教材P35例 3、相关点法如例4与教材P34例2、定义法如例3，最后要注 意检验，排除多余的点或找回遗漏的点.
第33页
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
随堂训练
1.已知两定点F1(－4,0)，F2(4,0)，点P是平面上一动点，且
|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹是( )
3．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ________.
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
自 1.椭圆 椭圆的焦点 椭圆的焦距
我 2.P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}
校 对
3.ax22＋by22＝1(a>b>0)
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
自测自评
1.椭圆2x52 ＋y92＝1的焦点坐标为(
)
A．(5,0)，(－5,0)
B．(9,0)，(－9,0)
C．(4,0)，(－4,0)
D．(0,4)，(0，－4)
答案 C
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
2．椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，椭圆上一点到两焦
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第二章 圆锥曲线与方程
2．1 椭圆
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第二章 圆锥曲线与方程
2．1.1 椭圆及其标准方程
课前预习目标
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课前预习目标梳理知识 夯实基础
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课前热身
规律技巧 求轨迹问题常用的方法有直接法如教材P35例 3、相关点法如例4与教材P34例2、定义法如例3，最后要注 意检验，排除多余的点或找回遗漏的点.
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随堂训练
1.已知两定点F1(－4,0)，F2(4,0)，点P是平面上一动点，且
|PF1|＋|PF2|＝8，则点P的轨迹是( )
3．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ________.
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自 1.椭圆 椭圆的焦点 椭圆的焦距
我 2.P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}
校 对
3.ax22＋by22＝1(a>b>0)
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
自测自评
1.椭圆2x52 ＋y92＝1的焦点坐标为(
)
A．(5,0)，(－5,0)
B．(9,0)，(－9,0)
C．(4,0)，(－4,0)
D．(0,4)，(0，－4)
答案 C
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第二章 · 2.1 · 2.1.1
2．椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，椭圆上一点到两焦
课件8：2.1.1 椭圆及其标准方程
设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)．
因为 c2＝16，且 c2＝a2－b2，故 a2－b2＝16.
①
又点( 3，－ 5)在椭圆上，所以(－a25)2＋( b32)2＝1，
即a52＋b32＝1.
②
由①②得 b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.
题型三 椭圆的定义及其应用 例 3 已知 P 为椭圆1x22 ＋y32＝1 上一点，F1，F2 是椭圆的
3 2.
【答案】A
3．椭圆 9x2＋16y2＝144 的焦点坐标为________． 【解析】椭圆的标准方程为1x62 ＋y92＝1， ∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在 x 轴上， ∴焦点坐标为(－ 7，0)，( 7，0)． 【答案】(－ 7，0)，( 7，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2 3)且 a＝2b， 则椭圆的标准方程为________________． 【解析】∵c＝2 3，a2＝4b2， ∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，b2＝4，a2＝16. 又∵焦点在 y 轴上，∴标准方程为1y62 ＋x42＝1. 【答案】1y62 ＋x42＝1
类题通法
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞ |F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到 两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2， 称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常
要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
知识点二 椭圆的标准方程 提出问题 在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0， －4)． 问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
课件11：2.1.1 椭圆及其标准方程
牛刀小试
1．已知F1、F2是两点，|F1F2|＝8， (1)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则点M的轨迹是______. (2)动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则点M的轨迹是_______. 【答案】 (1)以F1、F2为焦点，焦距为8的椭圆 (2)线段F1F2
【解析】 (1)因为|F1F2|＝8且动点M满足|MF1|＋|MF2| ＝10>8＝|F1F2|， 由椭圆定义知，动点M的轨迹是以F1、F2为焦点， 焦距为8的椭圆．
B．16
C．8
D．4
【解析】 由题设条件知△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2| ＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16. 【答案】 B
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 8； (2)两个焦点的坐标分别为(0，－4)，(0,4)，并且椭圆 经过点( 3，－ 5)．
解法二：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
由题意得1a82 ＋1b62 ＝1 a2＝b2＋4
，解得ab22＝＝3362 .
∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
(3)解法一：若椭圆的焦点在 x 轴上， 设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(3)经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)．
解：(1)由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上， 且 c＝4，2a＝10， ∴a＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)解法一：∵椭圆的焦点在 y 轴上， ∴可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 由椭圆的定义知 2a＝ (4－0)2＋(3 2＋2)2＋ (4－0)2＋(3 2－2)2＝12， 所以 a＝6.又 c＝2，所以 b2＝a2－c2＝32. ∴椭圆的标准方程为3y62 ＋3x22 ＝1.
2.1.1椭圆及其标准方程
c2=a2-b2
y
F1 O
y
F1 F2
x
O
F2
x
2 2 x2 y2 y x 1 2 1 2 2 2 a b a b 方 （1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； 程 （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a、b、c都有特定的意义，
特
点
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距. 有关系式 a 2 b 2 c 2 成立。
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点( , ),求它的标准方程。
例2 如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的 垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的 中点M的轨迹是什么？ y
P M
o
x
D
例3 设点A，B的坐标分别为(-5,0)， (5,0).直线AM，BM相交于点M，且它 们的斜率之积为-4/9，求点M的轨迹方程。
1.椭圆的定义：
点M满足的几何条件： MF1 MF2 常数 （常数大于 , F1F2 ）
定点F1,F2叫做 椭圆的焦点. 两个焦点间 的距离叫做 椭圆的焦距.
M
F1
F2
2.椭圆的标准方程: 步骤1：建系 以F1F2所在直线为x轴， F1F2中垂线为y轴 步骤2：设点
设椭圆上任意点 M ( x, y)
2.1.1 椭圆及其标准方程
平面内到两个定点的距离之和等于 定长的点的轨迹是什么？动点满足 怎样的几何条件?
(1) MF1 MF2 F1 F2 时， 取一条定长的细绳，两端拉开一段距离，分别固定 在纸板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， 轨迹是椭圆； 画出轨迹。 (2) MF1 MF2 F1 F2 时， 轨迹是线段F1 F2； (3) MF1 MF2 F1 F2 时， 轨迹不存在 .
课件12：2.1.1 椭圆及其标准方程
3．代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：
F(x，y)＝0 上的动点 Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把 点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求 轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
跟踪训练 2．(1)已知 x 轴上一定点 A(1,0)，Q 为椭圆x42＋y2＝1 上任一点，求线段 AQ 中点 M 的轨迹方程．
解：设中点 M 的坐标为(x，y)，点 Q 的坐标为(x0，y0)． 利用中点坐标公式，
得x＝x0＋2 1， y＝y20，
∴xy00＝ ＝22xy－ . 1，
∵Q(x0，y0)在椭圆x42＋y2＝1 上， ∴x420＋y20＝1． 将 x0＝2x－1，y0＝2y 代入上式，得(2x－4 1)2＋(2y)2＝1． 故所求 AQ 的中点 M 的轨迹方程是 x－122＋4y2＝1．
(2)求关系式：用点 M 的坐标表示出点 P 的坐标， 即得关系式xy11＝ ＝ghxx， ，yy， . (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求 动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可． 所求点 M 的轨迹方程为x42＋y2＝1．
例 3 (1)已知 P 是椭圆x42＋y82＝1 上一动点；O 为坐标 原点，则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为______________． (2)一个动圆与圆 Q1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 Q2： (x－3)2＋y2＝81 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
2.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标
核心素养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方 1．通过椭圆标准方程及椭圆
程．(重点)
焦点三角形的有关问题学习，
2.1.1椭圆及其标准方程
aM
bc
a F1 o
F2
x
焦点在 x 轴上
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
y
F2
a
ca M
ob
x
F1
焦点在 y 轴上
x2 y2 b2 a2 1
a b 0
二.类比探究 形成概念
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
二.类比探究 形成概念
1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
(1) F1F2 0, 轨迹为圆.
M
(2)2a F1F2 , 轨迹为椭圆. M
F1
F1
y
M (x,y)
F1 (-c,0) O F2 (c,0) x
(1)建系: 以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 因为椭圆的焦距为2c(c>0)，则F1(-c,0)、F2(c,0).
(2)设点: 设M(x,y)是椭圆上任一点， 则 MF1 MF2 2a(a 0).
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2
P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2.1.1椭圆及其标准方程
焦点F1(c, 0)、F2(c, 0) 在x轴上 c2=a2b2
思考-猜测
焦点在y轴上的椭 圆的标准方程与焦 点在x轴上的椭圆 的标准方程一样吗？ 有何不同？
简单是真理的标志,
美丽为数学所蕴含。
y
F1
O
F2
x
两种形式
x y 形式1： 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b 说明：1表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是 F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2
x2 y2 1的方程， ⑤遇到形如 m n
当m 0, n 0且m n时，方程表示椭圆。
当m n 0时， 方程表示焦点在x轴上的椭圆。 当n m 0时， 方程表示焦点在y轴上的椭圆。
快速反应
x2 y2 1. 2 2 1, a ___, b ___ 3 5 3
1 m 5 n 1 4
故5x 2 4 y 2 1即为所求。
结论：用待定系数法求椭圆方程
当无法确定焦点在x轴还是y轴时， x2 y2 设椭圆方程为 1 其中m 0, n 0, 且m n m n
一般用于已 知两点求椭 圆方程
课时小结
1．一个定义： MF1 MF2 2a 2a 2c
图形
F1 F2 x
F1
x
焦点坐标 定 义
F1(- C, 0)
F2(C, 0)
F1( 0 ,- C) F2( 0 , C)
MF1 MF2 2a 2a 2c
相 同 点
a b c 的关系 焦点位置 的判断
a 2 b2 c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上．
(完整)2.1.1-椭圆及其标准方程
与两焦点的距离的和等于 10;
(2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2);
14
(3)经过两点(2,- 2), -1,
.
2
思路分析:(1)由已知可得 a,c 的值,由 b2=a2-c2 可求出 b,再根
据焦点位置写出椭圆的方程.
(2)利用两点间的距离公式求出 2a,再写方程;也可用待定系
点的距离
答案:A
解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-5=5.
目录
退出
x2 y2
(2)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭
16
9
圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度
为
.
思路分析:结合图形,利用定义求第三边.
先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点
三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定
义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形
1
的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S=2absin C 把|PF1||PF2|看成一个整
目录
退出
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的定义用集合语言表示为
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
预习交流 1
(1)已知 F1,F2 是平面内的两个定点,且平面内动点 M 满足
(2)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3 2);
14
(3)经过两点(2,- 2), -1,
.
2
思路分析:(1)由已知可得 a,c 的值,由 b2=a2-c2 可求出 b,再根
据焦点位置写出椭圆的方程.
(2)利用两点间的距离公式求出 2a,再写方程;也可用待定系
点的距离
答案:A
解析:点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=10,10-5=5.
目录
退出
x2 y2
(2)已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭
16
9
圆于 A,B 两点,在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度
为
.
思路分析:结合图形,利用定义求第三边.
先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点
三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定
义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识,对于求焦点三角形
1
的面积,若已知∠F1PF2,可利用 S=2absin C 把|PF1||PF2|看成一个整
目录
退出
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的
距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的定义用集合语言表示为
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.
预习交流 1
(1)已知 F1,F2 是平面内的两个定点,且平面内动点 M 满足
椭圆及其标准方程
2．1.1 椭圆及其标准方程(一)
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
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选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程
2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中你见过哪些椭圆的物体或图形呢？
一、复习引入
圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹
椭圆的定义是什么？
固定一条细绳的两端 , 用笔尖将细绳拉紧并运动， 它的轨迹是什么呢？ 问题： 1、绳长一样，但画出的椭圆不尽一样，为什么呢？
F1 (c,0), F2 (c,0)
这里，a b c ，
2 2
2
我们的推导过程及结论是把焦点放在x轴上的。 那如果焦点F1、F2在y轴上，且F1、F2的坐标分别 为(0,-c),(0,c), a 、b意义同上，那么椭圆的方程是 什么呢？
y
y 2 x2 2 1 2 a b
F
M
(a b 0)
求 m 的值
先定型再定量 练习： 求下列方程表示的椭圆的交点坐标：
x2 y 2 （） 1 1;(2)8 x 2 3 y 2 24 36 24
例2、已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0）， 3 , ) ,求它的标准方程。 （2，0），并经过点 ( 5 2 2
待定系数法，定义法
课堂小结
2.标准方程
如何适当地建系？
y M
F1
O
F2
x
以过焦点F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平 分线为Y轴，建立直角坐标系。 椭圆的焦距是2c，F1(-c,0) ， F2(c,0). 设M（x,y）为椭圆上的任意一点，MF1 MF2
2a
x y 2 1 2 2 a a c
2
2
x y 2 2 1 2 a a c
所做的实验并不是所有情况都能成为椭圆。当在什 么条件下才能使轨迹是椭圆呢？
此时笔尖这个动点又是满足什么条件？
二、新课讲解
1.定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点的距离叫做椭圆的焦距，约定为2c 。
数学语言： 令椭圆上任一点M，
a为已知条件“绳长”2a的一半，有其几何意义， 那么 a 2 c 2 有没有几何意义呢？
2
2
设 a c b
2 2
2
2 2 x y 椭圆方程可化为： 2 1 2 a b
(a b 0)
x2 y 2 称方程 2 2 1 (a b 0) a b
为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。 焦点分别为
2、如果使图钉间的距离持续增大，而细绳的长度保持 不变，不妨设绳长为2a （1）两个图钉之间的距离从0开始增大，画出的图形是 什么？ （2）当绳长等于两个图钉之间的距离时，这时还是固定 一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动，画出的图形 是什么？ （3）图钉间的距离继续变大，使绳长小于两图钉 之间的距离，此时是什么情况？
1．知识总结： 椭圆的定义，椭圆的标准方程 2．思想方法总结： 类比，分类讨论，待定系数法，转化，数形结合
作业：
1.课本37页A组 2.分层训练2.1.1
O F
x
叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程 焦点分别为
F1 (0, c), F2 (0, c)
， 这里，a b c
2 2
2
对比两个方程，焦点在不同轴上，你是如何根 据方程判断焦点所在轴的呢？
三、应用举例
例1、(1)求椭圆 (2)
2 y x2 1 的焦点坐标 4
x2 y2 椭圆 9 m 1的焦距为4,
MF1 + MF2 = 2a(a > c)
前面我们根据圆的定义，为了进一步研究圆的性质，通过坐标法推导出圆的标准方程。那么你能根据椭圆的定义推导椭圆的方程形式吗？
注意：
①平面内（这是大前提） ②任意一点到两个定点的距离的和等于常数 ③常数大于 |F1 F2 |
前面为了进一步研究圆的性质，我们根据圆的定 义通过坐标法推导出圆的标准方程。那么你能根据椭圆 的定义推导椭圆的方程形式吗？
2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中你见过哪些椭圆的物体或图形呢？
一、复习引入
圆的定义是什么？ 平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹
椭圆的定义是什么？
固定一条细绳的两端 , 用笔尖将细绳拉紧并运动， 它的轨迹是什么呢？ 问题： 1、绳长一样，但画出的椭圆不尽一样，为什么呢？
F1 (c,0), F2 (c,0)
这里，a b c ，
2 2
2
我们的推导过程及结论是把焦点放在x轴上的。 那如果焦点F1、F2在y轴上，且F1、F2的坐标分别 为(0,-c),(0,c), a 、b意义同上，那么椭圆的方程是 什么呢？
y
y 2 x2 2 1 2 a b
F
M
(a b 0)
求 m 的值
先定型再定量 练习： 求下列方程表示的椭圆的交点坐标：
x2 y 2 （） 1 1;(2)8 x 2 3 y 2 24 36 24
例2、已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0）， 3 , ) ,求它的标准方程。 （2，0），并经过点 ( 5 2 2
待定系数法，定义法
课堂小结
2.标准方程
如何适当地建系？
y M
F1
O
F2
x
以过焦点F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平 分线为Y轴，建立直角坐标系。 椭圆的焦距是2c，F1(-c,0) ， F2(c,0). 设M（x,y）为椭圆上的任意一点，MF1 MF2
2a
x y 2 1 2 2 a a c
2
2
x y 2 2 1 2 a a c
所做的实验并不是所有情况都能成为椭圆。当在什 么条件下才能使轨迹是椭圆呢？
此时笔尖这个动点又是满足什么条件？
二、新课讲解
1.定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点的距离叫做椭圆的焦距，约定为2c 。
数学语言： 令椭圆上任一点M，
a为已知条件“绳长”2a的一半，有其几何意义， 那么 a 2 c 2 有没有几何意义呢？
2
2
设 a c b
2 2
2
2 2 x y 椭圆方程可化为： 2 1 2 a b
(a b 0)
x2 y 2 称方程 2 2 1 (a b 0) a b
为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。 焦点分别为
2、如果使图钉间的距离持续增大，而细绳的长度保持 不变，不妨设绳长为2a （1）两个图钉之间的距离从0开始增大，画出的图形是 什么？ （2）当绳长等于两个图钉之间的距离时，这时还是固定 一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动，画出的图形 是什么？ （3）图钉间的距离继续变大，使绳长小于两图钉 之间的距离，此时是什么情况？
1．知识总结： 椭圆的定义，椭圆的标准方程 2．思想方法总结： 类比，分类讨论，待定系数法，转化，数形结合
作业：
1.课本37页A组 2.分层训练2.1.1
O F
x
叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程 焦点分别为
F1 (0, c), F2 (0, c)
， 这里，a b c
2 2
2
对比两个方程，焦点在不同轴上，你是如何根 据方程判断焦点所在轴的呢？
三、应用举例
例1、(1)求椭圆 (2)
2 y x2 1 的焦点坐标 4
x2 y2 椭圆 9 m 1的焦距为4,
MF1 + MF2 = 2a(a > c)
前面我们根据圆的定义，为了进一步研究圆的性质，通过坐标法推导出圆的标准方程。那么你能根据椭圆的定义推导椭圆的方程形式吗？
注意：
①平面内（这是大前提） ②任意一点到两个定点的距离的和等于常数 ③常数大于 |F1 F2 |
前面为了进一步研究圆的性质，我们根据圆的定 义通过坐标法推导出圆的标准方程。那么你能根据椭圆 的定义推导椭圆的方程形式吗？