高数试题下
高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
陕师大可用高数下册试题库
高等数学下册试题库一、填空题1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________3. 设k i b k j i aλ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧),(b a ____________5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则__________________,_______,===D B A6. 设直线)1(221-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则___________________,==λm7. 直线⎩⎨⎧==01y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面222y x z+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________10. 幂级数12nn n n x ∞=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3023x y z +-+==的平面方程是_________________ 12. 设),2ln(),(xyx y x f +=则__________)0,1('=y f13. 设),arctan(xy z=则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 14. 设,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________15. 设,yxz =则=dz _____________ 16. 设,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________17. 曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则=B __________18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ⋅=________， b a ⨯=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，则向量d=___________________23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-，则向量a 与b的夹角为_______________24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l ：⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d 是_________________26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：122112-=-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________ 27. 设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧28. 设知量b ,a 满足{}1,11,b a 3,b a -=⨯=⋅，则____________b ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧29. 已知两直线方程13z 02y 11x :L 1--=-=-，1z11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________ 30. 若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a ____________ 31. =∂∂=xz,x z y则______________. y z ∂∂=_________________32. 设 ()()()____________2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32='++-=则33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z y x xyz 222=+++确定()y x ,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______35. ()222yx f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ___________yzx z y =∂∂+∂∂36. 曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________ 40. )yx(x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 ____________yz y x z 2=∂∂+∂∂ 41. 已知22lny x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz42. 曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________43. 设()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ，求xz∂∂=________________ 44. 设()()xy x g y x f z,2+-=，其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶连续偏导数 有yx z2∂∂∂=___________________45. 已知方程yzln z x =定义了()y x z z .=，求22xz∂∂=_____________ 46. 设()z y x f u..=，()0..2=Φz e x y ，x y sin =，其中f，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z≠∂∂ϕ，求dx dz=______________________47. 交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy _______________________________48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y y⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(=___________________49. _________==⎰⎰dxdy xe I Dxy其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D50. =I________)23(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围51. =I ________1122=++⎰⎰dxdy yx D，其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52. =I ___________222=--⎰⎰dxdy y x a D，其中D ：222a y x ≤+53. =I ________)6(=+⎰⎰dxdy y x D ，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域54. ⎰⎰-2202x y dy e dx ＝ _____________________55.___________)(221221=+⎰⎰-xxdy y x dx56. 设L 为922=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________57. 曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y 3x z 2xy 22在点处切线方程为______________________ 58. 曲面22y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 59.∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛 60. 级数()∑∞=---1221n nn n 的敛散性是__________61.nn nx a∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞=1在3<x 时62. 若()∑∞=1ln n n a 收敛，则a 的取值范围是_________63. 级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为64. 求出级数的和()()∑∞=+-112121n n n =___________ 65. 级数∑∞=02)3(ln n nn的和为 _____ 66. 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n ns n ，则该级数为____________ 67. 幂级数nn n x n∑∞=12的收敛区间为68. ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数)(x s 为69. 幂级数∑∞=≤<0)10(n p np nx 的收敛区间为70. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时收敛 71. 级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ______72. 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 _____73. 231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 74. 设函数)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________ 75. 已知 1ln ln ln=++x z z y y x ，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zyy x x z ______ 76. 设xyy x z )1(22++= y,那么=∂∂xz_____________，=∂∂y z _____________ 77. 设D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________78. 设D是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________79.=+⎰Cds y x )(22________________,其中C为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x80.=-⎰Ldx y x )(22________________,其中L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
高数(下)试题1及解答
一．计算下列各题：1． [7分] 计算∑⎰⎰∑其中,zdS x 是x 2+y 2=1介于z=0,z=1之间部分.2．[7分]利用函数x-11麦克劳林公式逐项微分求级数∑∞=-112n n n 的和3. [7分] 判别级数∑∞=++111n nn是否收敛？若收敛求其和。
4．[7分] 计算I zdv Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面zyx222=+及平面2=z 所围成的区域。
5．[7分]求微分方程 (1-x)y ”=1的通解 二、[13分]在椭圆14222=+yx的第一象限部分上求一点，使过该点的切线，椭圆及坐标轴在第一卦限围成的图形的面积最小三．[11分]：设L 是⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin cos ππ从t=0至t=π 所对应的一段曲线计算：曲线积分⎰L (πx-y)dx+(x+πy)dy四．[11分]：求微分方程xdy+2y(lny-lnx)dx=0的通解 五．[13分] 求微分方程y ”-y ’-2y= 0通解六．[10分]：设级数∑∞=+-=12211)()(n nn n n xx x S x U 的部分和试求U n (x)及和函数S(x).七．[7分]设区域D 是由直线y=x 和曲线y=x 3围成，f(x,y)是D 上的连续函数，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(直角坐标系下两种次序的二次积分。
一．计算下列各题：1．[7分] 计算∑⎰⎰∑其中,zdS x 是x 2+y 2=1介于z=0,z=1之间部分.解：∑1记前半柱面介于z=1,z=2之间部分其在yoz 面投影D 为： 由对称性I=zdSx ⎰⎰∑2=zdxdy⎰⎰∑2=22．[7分] 利用函数x-11麦克劳林公式逐项微分求级数∑∞=-112n n n 的和解：211)1(1x nxn n -=∑∞=- 级数∑∞=-112n n n =43. [7分] 判别级数∑∞=++111n nn是否收敛？若收敛求其和。
答案：发散4．[7分] 计算.⎰⎰⎰Ω=zdv I ，其中Ω是由曲面z yx 222=+及平面2=z 所围成的区域。
高数考试试题及答案
高数考试试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，边长AB=3，AC=4，∠BAC=60°，则三角形ABC的面积为：A) 1.5B) 2C) 2.5D) 3答案：B) 22. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，则 f(-1) 的值为：A) -1B) 1C) 2D) 3答案：C) 23. 若 loga x = 2，loga y = 3，则 loga (x^2y) 的值为：A) 2B) 3C) 4D) 5答案：D) 5二、计算题1. 求函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 在 x = 2 处的导数。
解答：f'(x) = 4x - 5f'(2) = 4(2) - 5 = 32. 求函数 g(x) = e^x 的不定积分。
解答：∫g(x) dx = ∫e^x dx = e^x + C三、应用题1. 在一个圆形花坛周围修建一条宽3米的小道，小道的面积占整个花坛面积的1/4，求花坛的半径。
解答：设花坛的半径为 r，则整个花坛的面积为πr^2小道的宽度为3米，即内圆的半径为 r - 3小道的面积为π(r^2 - (r - 3)^2)根据题意，小道的面积占整个花坛面积的1/4，因此有：π(r^2 - (r - 3)^2) = 1/4 * πr^2化简得：9r - 36 = 0解得：r = 4因此，花坛的半径为4米。
2. 一枚硬币重2克，真币和假币放在一起共有20枚，其中假币的重量比真币轻0.5克。
用天平称重，最少称几次一定能找到假币？解答：将硬币分成两堆，每堆各取出一个硬币称重。
若两堆硬币重量相等，则假币在剩下的18枚硬币中，重量比真币轻，用天平称重一次即可找到假币。
若两堆硬币重量不等，则假币必然在较轻的一堆中。
将较轻的一堆硬币分成两堆，用天平称重一次即可找到假币。
因此，最少需要称重 2 次就能找到假币。
总结：本文介绍了高数考试中可能出现的选择题、计算题和应用题，并提供了相应的答案和解答过程。
期末高数试题及答案
期末高数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数是：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 4C. 3x^2 + 4x - 3D. 3x^2 + 4x + 3答案：A3. 曲线y = x^2在x = 2处的切线斜率是：A. 0B. 4C. -4D. 2答案：B4. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 1答案：B5. 无穷级数∑(1/n^2)的和是：A. π^2/6B. eC. ln(2)D. 1答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x) = 2x - 3，则f'(1) = 。
答案：-17. 函数y = ln(x)的原函数是：。
答案：xln(x) - x + C8. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6与x轴的交点个数是：。
答案：39. 若级数∑(-1)^n/n从n=1到无穷收敛，则其和S满足：S = 。
答案：ln(2)10. 函数y = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：y = 1 + x + 。
答案：x^2/2三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明函数f(x) = x^3 + 2x - 5在实数范围内单调递增。
答案：首先求导f'(x) = 3x^2 + 2，由于3x^2 + 2 > 0对所有实数x成立，因此函数f(x)在实数范围内单调递增。
12. 计算定积分∫(1到2) (2x + 1) dx。
答案：首先求不定积分，得到F(x) = x^2 + x + C。
然后计算F(2) - F(1) = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4。
高数试题下
高数试题下(总18页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除高数试题一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π. 2.函数 z = xe 2y在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ]. 2233();();();().2222A B C D -- 3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ].(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分11220xdx x y x dy -=⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ].3()()()()2.22A B C D ππππ；；；二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:3,x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz =三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高等数学试题(下)
高数II 试题一、选择题（每题4分，共16分）1．函数222222 0(,)0 0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点 . (A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。
2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ∂=∂ 。
(A )12121f yz f f x y f ''+''+-． (B )．12121f x y f f yz f ''--''+； (C )． 12121f yz f f x y f ''+''--；(D )．1212f xzf f yzf ''+''+。
3．设),(y x f 在()22:24D x y +-≤上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A )． 220 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰； (B )． 20 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(C )． 4cos 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰；(D )． 4sin 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰。
4．幂级数0(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0nnn a x∞=∑的收敛半径为 。
(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。
二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数y z x =，则函数yz x =的全微分 。
2．函数222u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP方向的方向导数为 ，其中O 为坐标原点。
杭州电子科技大学高等数学期末试题.doc
杭州电子科技大学高数期末下学期考试卷一、填空题（每小题3分，本题共18分）：1．[3分]设二元函数)sin(xy ez =，dz = ； 2．[3分]将二次积分⎰⎰-ππππ2),(y dx y x f dy 交换积分次序为 ；3．[3分] 设L 是抛物线x y =2从)0,0(O 到)1,1(A 的弧段，则⎰L xydx = ；4．[3分]函数xx f +=21)(展开成x 的幂级数为 ； 5．[3分] 微分方程0)(3)(2)(=-'-''x y x y x y 的通解为 ；6．[3分]幂级数n n n x n )1(21+∑∞=的收敛半径为 ；二、 试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：1．[5分] 设)sin(xy xez xy +=-，求y x z z '',； 2．[5分] 计算dxdy y x D ⎰⎰+)23( ，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；3．[5分] 判别级数 )1()1(1n n n n -+-∑∞=的敛散性，收敛的话，是条件收敛还是绝对收敛；试解下列各题（每小题5分，本题共15分）：1．[5分] 设y x e z 2-= ，其中3,sin t y t x ==，求全导数dtdz ； 2．[5分] 计算三重积分yzdxdydz x I ⎰⎰⎰Ω=2，这里Ω是由,402x y -≤≤02≤≤-x ，10≤≤z 所确定；3．[5分] 求微分方程xdx y ydy x sin cos sin cos =满足初始条件40π==x y的特解。
四、试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：1．[6分] 求椭球面623222=++z y x 在点)1,1,1(处的切平面方程和法线方程；2．[6分] 求圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+所割下部分的面积。
五、 试解下列各题（每小题6分，本题共12分）：1．[6分] 设⎩⎨⎧<<≤≤-=ππx x x x x f 0,0,2)(，试写出)(x f 的以π2为周期的傅立叶级数的和函数)(x s 在],[ππ-上的表达式。
高数下期末复习模拟试题3份
2
∂P ∂P = 在 D 内 连 续 ， 且 有 ∂x ∂y ， 则
∫
L
( P( x, y ) + y )dx + ( P( x, y ) − x)dy =（
）
2 − 2 a A、 ;
B、 − 2a ;
2
C、 − a ;
2
D、 a
→
2
7. 设流体速度场 v = ci + y j ( c 为常数 ), 则单 位时间内由半径为 2 的球面内部流出球
u = f ( x, xy ), v = g ( x + xy ) ，
∂u ∂u 求 ∂x , ∂y
。
x +t
∂u ∂u 2.（8 分）设 u ( x, t ) = ∫ x −t f ( z )dz ，求 ∂x , ∂t 。 四、求解下列问题（共计 15 分） 。
1.计算 I
= ∫ 0 dx ∫ x e dy 。 （7 分）
即
∫
x0 0
ydx −
1 2 x0 y 0 = x0 2
将 ( x 0 , y 0 ) 改为 ( x, y ) 得： 求导得： y ′ −
∫
x
0
ydx −
1 xy = x 2 2
1 y = −4 ，且 y (1) = 1 x
该方程的通解为 y = (c + (−4)e
∫
−
∫ x dx1dx源自e∫ x dx∂ 2u ∂ 2u 数，则 x ∂x 2 + y ∂y 2
等于（
）
（A） x + y （B） x ； (C) y
(D)0 。
合肥学院高数下册试题库(按知识点分)
高等数学下册试题库一、填空题 1.平面01=+++kz y x 与直线112zy x =-=平行的直线方程是___________2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________3. 设k i b k j i aλ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧),(b a ____________5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则__________________,_______,===D B A6.设直线)1(221-=+=-z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则___________________,==λm7.直线⎩⎨⎧==01y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面222y x z+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________10. 幂级数12nnn n x ∞=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3023x y z +-+==的平面方程是_________________ 12. 设),2ln(),(xyx y x f +=则__________)0,1('=y f13. 设),arctan(xy z =则____________,__________=∂∂=∂∂yz x z 14. 设,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________15. 设,yxz =则=dz _____________ 16. 设,),(32y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________17. 曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则=B __________18. 曲面22y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ⋅=________， b a ⨯=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，则向量d=___________________23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a 4-，则向量a 与b的夹角为_______________24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l ：⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d 是_________________26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：122112-=-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________ 27. 设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==∧28. 设知量b ,a满足{}a b 3,a b 1,1,1⋅=⨯=-，则____________b ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧29. 已知两直线方程13z 02y 11x :L 1--=-=-，1z11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________ 30. 若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a ____________31. =∂∂=xz,x z y则______________. y z ∂∂=_________________ 32. 设 ()()()____________2,1z ,x y x,sin x 11y z x 32='++-=则33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z y x xyz 222=+++确定()y x ,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______35. ()222yx f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ___________yzx z y =∂∂+∂∂36. 曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________ 40. )yx(x z 2ϕ=,(u)ϕ可微，则 ____________yz y x z 2=∂∂+∂∂ 41. 已知22lny x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz42. 曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________43. 设()y x z z .= 由方程02=+--z xy e z e ，求xz∂∂=________________ 44. 设()()xy x g y x f z,2+-=，其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶连续偏导数 有yx z2∂∂∂=___________________45. 已知方程y zln z x =定义了()y x z z .=，求22xz∂∂=_____________46. 设()z y x f u..=，()0..2=Φz e x y ，x y sin =，其中f，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z≠∂∂ϕ，求dx dz=______________________47. 交换积分次序=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy _______________________________48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y y⎰⎰⎰⎰-+2120100),(),(=___________________49. _________==⎰⎰dxdy xe I Dxy其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D50.=I ________)23(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围51. =I ________1122=++⎰⎰dxdy yx D，其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52. =I ___________222=--⎰⎰dxdy y x a D，其中D ：222a y x ≤+53. =I ________)6(=+⎰⎰dxdy y x D，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域54.⎰⎰-2202xy dy edx ＝ _____________________55. 设L 为922=+y x ，则→→→-+-=j x x i y xy F )4()22(2按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________ 56. 曲线()⎩⎨⎧+==1,2,7y3x z 2xy 22在点处切线方程为______________________ 57. 曲面22y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 58.∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛 59. 级数()∑∞=---1221n nn n 的敛散性是__________60.nn nx a∑∞=1在x=-3时收敛，则n n n x a ∑∞=1在3<x 时61. 若()∑∞=1ln n n a 收敛，则a 的取值范围是_________62. 级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为63. 求出级数的和()()∑∞=+-112121n n n =___________ 64. 级数∑∞=02)3(ln n nn的和为 _____ 65. 已知级数∑∞=1n n u 的前n 项和1+=n ns n ，则该级数为____________ 66. 幂级数nn n x n∑∞=12的收敛区间为67. ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数)(x s 为68. 幂级数∑∞=≤<0)10(n p np nx 的收敛区间为69. 级数∑∞=+011n na当a 满足条件 时收敛 70. 级数()2124nnn x n ∞=-∑的收敛域为 ______71. 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 _____72. 231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 73. 设函数)21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________ 74. 已知1ln ln ln =++x z z y y x ，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zyy x x z ______ 75. 设xy y x z )1(22++= y,那么=∂∂xz_____________，=∂∂y z _____________ 76. 设D 是由2=xy及3=+y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________77. 设D是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=⎰⎰Ddxdy _______________78.=+⎰Cds y x )(22________________,其中C为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x79.=-⎰Ldx y x )(22________________,其中L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。
大学生高数试题及答案
大学生高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则lim(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)的值为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 33. 以下哪个选项是微分中值定理的条件之一？（）A. 函数在区间内连续B. 函数在区间内可导C. 函数在区间内单调D. 函数在区间内无界4. 函数f(x)=x^3-3x+1的极值点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx的值一定存在。
2. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=3，则lim(x→a) [f(x)-f(a)-3(x-a)]/(x-a)^2的值为______。
3. 曲线y=x^3在点(2,8)处的切线方程为______。
4. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值是______。
三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1,4]上的最大值和最小值。
2. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2+6x-1，求f(x)的单调区间。
答案：一、选择题1. C2. C3. B4. D二、填空题1. 正确2. 03. y=12x-164. 1三、解答题1. 函数f(x)=x^2-6x+8的导数为f'(x)=2x-6，令f'(x)=0得x=3，此时f(3)=1为最小值。
当x=1时，f(1)=3；当x=4时，f(4)=0，故最大值为3。
2. 函数f(x)=2x^3-3x^2+6x-1的导数为f'(x)=6x^2-6x+6，令f'(x)=0得x=1或x=1，故函数在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增，在(1,1)上单调递减。
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高数试题 2008.7一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.设直线1724:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=⎧⎨+=⎩则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π.2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, ?1)方向的方向导数为[ ].3.函数2222221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点[ ]. (A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。
4.积分110x dx =⎰⎰[ ].1111()()()()341224A B C D 。
5.设?是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω=⎰⎰⎰[ ].二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是2.设2224,:x y z z ⎧++=⎪Γ⎨=⎪⎩则2x ds Γ=⎰3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 xx y y ex y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 的解为y ＝ ．4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz = 三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解．四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ? 1上的最大值和最小值。
. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为? = x 2 + y 2, 求该物体的质量.六、（9分）设直线0,:30,x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面? 上，而平面? 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, ?2, 5)，求a , b 的值。
.七、（9分）计算曲面积分333()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑++++++++⎰⎰其中?为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关，且对任意t ，有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求Q (x , y ).九、（6分）设当1x >-时，可微函数()f x 满足01()()()d 01xf x f x f t t x '+-=+⎰， (0)1f =. 1. 求()f x '；2. 证明：当0x ≥时，()x f x e -≥．答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D.二、1.24231x y z --==-；2.1233dz dx dy =+；3. tan(1)4xy e π=+-；4. 10(1)(2)3nn n n x ∞+=--∑；三、1212cos 2sin 2cos sin 39y C x C x x x x =+++.四、max min 11,22f f ==-.五、611245a , 六、a = ?5,b = ?2.七、59(25R π.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1.高数试题 2009.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；(C) 00000lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→∆-∆-∆=，ρ=(D) 00000(,)(,)lim0x y z f x y x f x y xρρ→∆-∆-∆=.2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].(A) 44()R r πμ-； (B) 441()2R r πμ-；(C) 441()4R r πμ-； (D) 441()6R r πμ-.3. 微分方程x x e xe y y y 3265+=+'-''的特解形式为（ ） (A)x x cxe e b ax x y 32)(*++=； （B ）x x e c x b ae y 32)(*++=； （C ）x x ce e b ax y 32)(*++=； (D) x x cxe e b ax y 32)(*++=4. 设Ω是由球面2222 (0)x y z a a ++=>所围成的闭区域，则Ω= [ ](A) 443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 412a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分） 1. 已知3a =，26b =，72a b ⨯=，则a b ⋅= 2．函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ++⎰= 4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分，则4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰=6. 以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿． 三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线723123x y z ---==的距离. 2．已知一平面通过球面x 2 + y 2 +z 2 = 4(x ? 2y ? 2z )的中心, 且垂直于直线L :0x y z =⎧⎨+=⎩,求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求yx u∂∂∂2.4．计算二重积分D⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域.5求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0) 3 x y xy y y '''⎧+=⎨'==⎩．四、 (8分)计算积分222(cos cos cos )I x y z dS αβγ∑=++⎰⎰, ?是抛物线z = x 2 + y 2被z =4割下的有限部分的下侧, cos ?, cos ? , cos ?是?上各点法线方向余弦.五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且(1)2f =，对任一闭曲线L 有34()0Lx ydx f x dy +=⎰。
求曲线积分34()Lx ydx f x dy +⎰的值.其中L 是圆周4)2()2(22=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧.六、(8分)经过点1(2,1,)3P 作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.七、(6分) 设函数f (x )在[1, +?)上连续，由曲线y = f (x ),直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，又已知2(2)9f =，求f (x ).答案 一、1.D ；2.B ；3.A ；4.C.二、1.?30；2.(1, 1)；；4.2?；5. 6.y ??+ 4y = 0. .三、1.?y + z = 0, 22241600.x y x y z ⎧+-+=⎨=⎩; 3.f 1 + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ;4.655; 5. y = x 3 + 3x + 1.四、643π.五、68, 六、163x y z ++=.七 31x y x=+. 高数试题 2010.7一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）1. 函数222)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2 + y 2 ? 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。
2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=⎰⎰ydx y x f dy 010),( [ ].(A) ⎰⎰110),(y dx y x f dy ； (B) ⎰⎰y dx x y f dy 010),(； (C) ⎰⎰110),(x dy y x f dx ； (D) ⎰⎰xdy y x f dx 010),(. 3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则⎰⎰⎰Ω++dv z y x )(= [ ](A) 61； (B) 81； (C)121； (D) 241. 4. 设y 1 , y 2是二阶线性方程y ? + P (x )y ? + Q (x )y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 +C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是[ ]．(A) 12210''+=y y y y ； (B) 12210''+≠y y y y ； (C) 12210''-=y y y y ； (D) 12210''-≠y y y y ． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）1. 已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为4π，则=+||b a2．设?是由曲面221y x z --=与z = 0围成的立体，则?的形心坐标为 3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分⎰Γ++ds z y x )(= 4. 设?为锥面22y x z +=被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=⎰⎰∑zdS ．5. 若方程y ? + y tan x = ?2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则0()lim→=x f x x＿＿＿＿．三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.2．求函数u = x 2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。