高三数学下册知能演练检测试题46

1．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析：选D.∵a ，b ，c 恰有一个是偶数，即a ，b ，c 中只有一个偶数，其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数，故只有D 正确．
2．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )
A ．x <x ＋y 2<y <2xy
B ．2xy <x <x ＋y 2
<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2
<y 解析：选D.由不等式的性质可得D.
3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足________．
解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
<0， 所以b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.
答案：a 2>b 2＋c 2
4．(·高考大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n
＝1. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1－a n ＋1n
，记S n ＝∑n k ＝1b k ，证明：S n <1. 解：(1)由题设11－a n ＋1－11－a n
＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列，又11－a 1＝1，故11－a n
＝n . 所以a n ＝1－1n
. (2)证明：由(1)得b n ＝
1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n
－1n ＋1， S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑n k ＝1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1
<1.
一、选择题
1．设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a ≤b
解析：选A.∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，
而b ＝e x <e 0＝1故a >b .
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是
( )
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角都大于60度
C ．假设三内角至多有一个大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度
解析：选 B.根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.
3．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )
A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1
C ．a ＋1a >b ＋1b D.2a ＋b a ＋2b >a b
解析：选A.∵a >b >0，∴1b >1a
. 又a >b ，∴a ＋1b >b ＋1a
. 4．(·锦州质检)设a ，b 是两个实数，给出下列条件：
(1)a ＋b >1；(2)a ＋b ＝2；(3)a ＋b >2；(4)a 2＋b 2>2；(5)ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )
A ．(2)(3)
B ．(1)(2)(3)
C ．(3)
D ．(3)(4)(5)
解析：选C.若a ＝12，b ＝23
，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故(1)推不出；
若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故(2)推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，ab >1，故(4)(5)推不出；
对于(3)，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，
反证法：假设a ≤1且b ≤1，
则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，
因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1.
5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )
A ．P >Q
B ．P ＝Q
C ．P <Q
D ．由a 的取值确定
解析：选C.∵要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，
只要证：2a ＋7＋2
a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)， 只要证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，
只要证：0<12，
∵0<12成立，∴P <Q 成立．
二、填空题
6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．
解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，
明显6<7.∴a <b .
答案：a <b
7．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则在a ＋b,2ab ，a 2＋b 2和2ab 中最大的是________． 解析：法一：a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，a ＋b －(a 2＋b 2)＝a (1－a )＋b (1－b )>0，∴a ＋b 最大．
法二：特值法，取a ＝12，b ＝18
，计算比较大小． 答案：a ＋b
8．α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条直线，有下列三个条件：
①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.
如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．
解析：若填入①，则由a ∥γ，b ⊂β，b ⊂γ，b ＝β∩γ，则a ∥b .
若填入③，则由a ⊂γ，a ＝α∩β，则a ＝(α∩β∩γ)，又b ⊂γ，b ∥β，则b ∥a .
若填入②，不能推出a ∥b ，可以举出反例，例如使β∥γ，b ⊂γ，a ⊂β，则此时能有a ∥γ，b ∥β，但不一定a ∥b .或直接通过反例否定②.
答案：①或③
三、解答题
9．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .
证明：要证b 2－ac <3a ，
只需证b 2－ac <3a 2，
∵a ＋b ＋c ＝0，
只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，
只需证2a 2－ab －b 2>0，
只需证(a －b )(2a ＋b )>0，
只需证(a －b )(a －c )>0.
因为a >b >c ，所以a －b >0，a －c >0，
所以(a －b )(a －c )>0，显然成立．
故原不等式成立．
10．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．
(1)求证：数列{S n }不是等比数列；
(2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·
a 1·(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾，所以数列{S n }不是等比数列．
(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列，否则2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)，得q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．
11．(探究选做)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.
(1)证明：1a
是函数f (x )的一个零点； (2)试比较1a
与c 的大小．
解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，
∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，
又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，
∴1a 是f (x )＝0的一个根．
即1a 是函数f (x )的一个零点．
(2)假设1a <c ，∵1a >0，
由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，
这与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，
又∵1a ≠c ，∴1a >c .。