443-4参数方程的应用4-----直线的参数方程1-精选文档
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直线的参数方程及应用一、直线的参数方程1.定义：若α为直线l 的倾斜角，则称(cos ,sin )e =rαα为直线l 的(一个)方向向量.2.求证：若,P Q 为直线l 上任意两点，(cos ,sin )e =rαα为l 的方向向量,则有//PQ e u u u r r .证明：3.设直线l 过点000(,)M x y 的倾斜角为α，求它的一个参数方程. 归纳小结二、弦长公式、线段中点参数值 例1 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到,A B 两点的距离之积.例2 经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于,A B 两点.如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.练习1.设直线l 经过点0(1,5)M ，倾斜角为π.（1）求直线l 的参数方程；（2）求直线l 和直线0x y --=的交点到点0M 的距离；（3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积.2.已知经过点(2,0)P ，斜率为43的直线l 和抛物线22y x =相交于,A B 两点，设线段AB 的中点为M .求点M 的坐标.3.经过点(2,1)M 作直线l 交双曲线221x y -=于,A B 两点，如果点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程.4.经过抛物线22(0)y px p =>外的一点(2,4)A --且倾斜角为45︒的直线l 与抛物线分别相交于12,M M .如果1||AM ，12||M M ，2||AM 成等比数列，求p 的值.5.已知曲线14cos ,:3sin .x t C y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数),曲线28cos ,:3sin .x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（1）化1C 、2C 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2.x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 解：练习：1.直线l 的方程为12,2 3.x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则l 上任一点到点(1,2)的距离是A .tB .||t C|t D|t2.直线sin 203,cos 20.x t y t =-+⎧⎨=⎩o o（t 为参数）的倾斜角是 A .20o B .70o C .110o D .160o 3.已知直线00cos ,sin .x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为1t 、2t ，点P 分AB 所成的比为λ，则点所对应的参数是A .122t t + B .121t t λ++ C .121t t λλ++ D .211t t λλ++ 4.直线3490x y --=与圆2cos ,2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩的位置关系是A .相交但直线不过圆心B .相交且直线过圆心C .相切D .相离5.下列参数方程都表示过点0(1,5)M ，斜率为2的直线，其中有一个方程的参数的绝对值表示动点M 和0M 的距离，这个参数方程是A .1,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩ B.1,5.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C.1,5x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩D .11,25.x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩6.直线3cos ,2sin .x a y a θθ=+⎧⎨=-+⎩（a 为参数）与直线2sin ,3cos .x b y b θθ=--⎧⎨=-⎩（b 是参数）的位置关系为 CA .关于y 轴对称B .关于原点对称C .关于直线y x =对称D .互相垂直 7.曲线C 的参数方程为2cos ,sin .x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤≤），则yx 的取值范围是A.[B.(,)-∞+∞U C.[D.(,)-∞+∞U 8. 参数方程2cos ,2sin .x y θθ=-⎧⎨=⎩（22ππθ-≤≤）所表示的曲线是 .9.直线2,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上到点(2,3)M -M 下方的点的坐标是 .10.点(1,5)-与两直线1,5x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t是参数）及0x y --=的交点的距离是 .11.两圆32cos ,42sin .x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）与3cos ,3sin .x y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数）的位置关系是 .12.已知直线l 经过点(1,0)P ，倾斜角为6πα=.（1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与椭圆2244x y +=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积. B.化一般参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩为标准参数方程【巩固与应用】例 将下列直线的一般参数方程化成标准参数方程形式:(1) 42,3.x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (2)4,3.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数) (3)00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)结果(1) 43x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数) (2) 4,3.x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩(2t t '=为参数) (3)令00cos ,sin x x t y y t =+⋅⎧⎨=+⋅⎩ϕλϕλ则cos ,sin .a b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ϕλϕλ于是22222(cos )(sin )a b ⋅+⋅==+ϕλϕλλ,取λ则cos ϕ,sin ϕ,t ',于是得直线的标准参数方程为00x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t '为参数).例求直线14,:3.x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与直线2:20l x y +-=的交点到定点(4,3)的距离 题型三：参数方程00,.x x at y y bt =+⎧⎨=+⎩中参数t 具有几何意义的条件【巩固与应用】例4 求直线l ：12,2.x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)被曲线cos ,.x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）所截得的弦长.编排本题意图：通过两种解法说明“非标准参数方程中，只要参数t 系数平方和为1，则参数t 就有几何意义”这个事实.解一：消参得直线与椭圆的普通方程分别为：y 2213y x +=，联立消元，整理得 20x x -=，于是两交点为(0,A ，(1,0)B ，故||2AB =.解二：椭圆的普通方程为：2213y x +=，将直线参数方程代入并整理得，2680t t -+=，解得12t =或24t =，故12|||||24|2AB t t =-=-=．。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用1、 直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααs i n c o s00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.P 0P=t ∣P 0P ∣=t(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣t 2(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t +2.直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为ab k =的直线的参数方程是:⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数） 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义.例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y tx 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|;(2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π， (1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |； (2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.例7：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.xy ,)例8：已知椭圆134)1(22=+-y x ，AB 是通过左焦点F 1的弦，F 2为右焦点， 求| F 2A |·| F 2B |的最大值.方法总结：利用直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数），给研究直线与圆锥曲线C ：F(y x ,)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把l 的参数方程代入圆锥曲线C ：F(y x ,)=0后，可得一个关于t 的一元二次方程，)(t f =0, 1、(1)当Δ<0时，l 与C 相离；(2) 当Δ＝0时，l 与C 相切；(3) 当Δ>0时，l 与C 相交有两个交点；2、 当Δ>0时，方程)(t f =0的两个根分别记为t 1、t 2，把t 1、t 2分别代入l 的参数方程即可求的l 与C 的两个交点A和B 的坐标.3、 l 被C 截得的弦AB 的长|AB|＝|t 1－t 2|；P 0A ·P 0B= t 1·t 2；弦AB 中点M 点对应的参数为221t t +；| P 0M |=221t t +基础知识测试1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-= 25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°3、 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21) C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、 已知直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l ：⎩⎨⎧+=+=bty y at x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣C 2221b a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、 已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.7、 直线⎩⎨⎧+-=+=t21y t x (t 为参数)与椭圆8222=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( ) 8、直线⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )A |t 1+t 2|B |t 1|＋|t 2|C |t 1－t 2| D221t t +9、 直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t211212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐标为(2,-1),则|PA|·|PB|=10、过点P(6, 27)的直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x 与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点，则点P 到A,B 距离之积为 11.直线⎩⎨⎧-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .。
直线的参数方程的应用
直线的参数方程的应用一、几何学应用1.直线的参数方程的可视化表示直线参数方程可以帮助我们直观地理解直线的特点和性质，例如直线在平面上的位置、方向、长度等。
通过改变参数的取值，可以观察到直线的移动、旋转、延长等变化，进而更直观地了解几何图形的特征。
2.直线的交点设有两条直线的参数方程分别为：L1:x=x1+a1t,y=y1+b1t,z=z1+c1tL2:x=x2+a2s,y=y2+b2s,z=z2+c2s我们可以通过求解参数方程的参数，找到这两条直线的交点。
通过求解方程组，可以得到唯一的交点坐标。
3.直线的方位角和倾斜角直线参数方程中的参数可以用来表示直线的方位角和倾斜角。
方位角是指直线与坐标轴的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
倾斜角是指直线与xy平面的夹角，可以通过直线的参数方程中的系数进行计算。
二、物理学应用1.运动学中的直线运动在物理学中，直线运动是指质点或物体在直线上的运动轨迹。
直线的参数方程可以用来描述其中一时刻的位置。
例如，设有直线运动的质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以表示成参数方程形式：x(t) = x0 + vxty(t) = y0 + vytz(t) = z0 + vzt其中，(x0, y0, z0)表示质点的初始位置，(vx, vy, vz)表示质点在x、y、z方向上的速度分量。
2.力学中的直线运动在力学中，直线运动还涉及质点或物体在直线上的加速度、力和运动的规律。
通过直线的参数方程，可以计算质点或物体在不同时刻的速度和加速度，并进一步得出运动的规律。
例如，设有质点在t时刻的位置为(x(t),y(t),z(t))，则可以通过参数方程求导得到速度和加速度：vx(t) = dx/dtvy(t) = dy/dtvz(t) = dz/dt3.光学中的直线传播在光学中，直线传播是指光线沿着直线路径传播的现象。
直线的参数方程可以用于描述光线在空间中的传播路径。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用基础知识点击：1、直线参数方程的标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是+=+=ααs i nc o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2，则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =的直线的参数方程是+=+=bt y y atx x 00 （t 为参数）点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l+=+=ααs i n c o s 00t y y t x x是所求的直线l 的参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方；② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；③当t<0时，点P 在点P 0的下方；特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y tx x④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧；⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合；⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧；问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣问题4：一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点则t 3＝221t t +基础知识点拨：1、参数方程与普通方程的互化例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t ∣的几何意义.点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.例2：化直线2l 的参数方程?+=+-= t 313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，说明∣t ∣的几何意义.点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程+=+=t y t x 233211（t为参数）和方程?+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.xy ,)xx问题5：直线的参数方程+=+= t331y tx 能否化为标准形式？是可以的，只需作参数t 的代换.(构造勾股数，实现标准化)2、直线非标准参数方程的标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，.例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π的直线l 的标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2的点的坐标.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t 的几何意义求M 点的坐标较容易.例5：直线-=+=20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 .基础知识测试1：1、求过点(6,7),倾斜角的余弦值是23的直线l 的标准参数方程.2、直线l 的方程：?+=-=25cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65°B 25°C 155°D 115°3、直线+-=-=t y t x 521511（t 为参数）的斜率和倾斜角分别是( )A) －2和arctg(－2) B) －21和arctg(－21)C) －2和π－arctg2 D) －21和π－arctg 214、已知直线?+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）上的点A 、B 所对应的参数分别为t 1,t 2，点P 分线段BA 所成的比为λ（λ≠－1），则P 所对应的参数是 .5、直线l 的方程： +=+=bty y atx x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数值t 1、t 2，那么|AB|等于( )A ∣t 1－t 2∣B 22b a +∣t 1－t 2∣ C 2221ba t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣6、已知直线l ：+-=+= t351y tx (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点M(1,－5)到点P 的距离.二、直线参数方程的应用例6：已知直线l 过点P （2，0），斜率为34和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M,求：(1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|点拨：利用直线l 的标准参数方程中参数t l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.x例7：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3π，(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ |；(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积.点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便.例8：设抛物线过两点A(－1,6)和B(－1,－2)，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y=2x +7被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程.点拨：(1)（对称性）由两点A(－1,6)和B(－1,－2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含P 一个未知量，由弦长AB 的值求得P ）.(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上最简单的几何图形之一，在数学中直线可以用多种方式来表示，其中一种常用的表示方式是参数方程。
本文将介绍直线的参数方程及其相关概念和性质。
什么是参数方程？参数方程是用参数表示的方程，其中参数是一个变量，可以取不同的值。
对于直线来说，参数方程可以用来描述直线上各点的坐标。
直线的参数方程表示设直线上一点的坐标为(x, y)，参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + bt其中 (x0, y0) 是直线上一点的坐标，a 和 b 是常数，t 是参数。
直线的参数方程的意义直线的参数方程的意义在于，通过改变参数 t 的取值，我们可以得到直线上不同点的坐标。
参数方程使我们能够更加灵活地描述直线，并进行计算和分析。
值得注意的是，直线的参数方程在某些特殊情况下可能并不唯一。
例如，在平行于坐标轴的直线上，参数方程可以有多种不同的表示方式。
直线的参数方程的性质直线的参数方程具有以下性质：1.直线上的任意两点，都可以通过参数方程表示。
2.参数方程中的参数 t 是一个实数，可以取任意值，因此可以描述出直线上的每一个点。
3.相同的直线可以有不同的参数方程表示，但所有的参数方程都会描述出同一条直线。
直线参数方程的应用直线的参数方程在数学和物理中有广泛应用。
例如，在几何学中，我们可以利用参数方程求直线的长度、直线与其他几何图形的交点等问题。
在物理学中，直线的参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
通过改变参数的取值，我们可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而研究其运动规律。
直线的参数方程是一种常见的表示直线的方法。
通过参数方程，我们可以更加灵活地描述直线上的各个点，进行计算和分析。
直线的参数方程具有多种性质，可以在几何学和物理学等领域中得到广泛的应用。
希望通过本文的介绍，读者对直线的参数方程有了更加深入的理解，能够灵活应用于实际问题的解决中。
直线参数方程的应用
直线参数方程的应用直线是平面几何中最基本的图形之一，具有广泛的应用。
直线参数方程是表示直线的一种常用方法，它通过参数化的方式，将直线上的每一个点表示为一个参数关于坐标的函数。
直线参数方程的应用范围广泛，涉及到建模、计算、曲线运动等多个领域。
下面将介绍一些直线参数方程的应用。
1.绘制直线图形直线参数方程可以用于绘制各种直线图形，如图形学中的线段、射线等。
通过给定直线的起点和终点，可以根据参数方程计算出每一个点的坐标，然后将这些点连起来，就可以得到一条直线。
绘制直线图形在计算机图形学、几何学等领域有广泛的应用，如绘制曲线、图形变换等。
2.直线的交点计算3.直线的切线计算直线参数方程可以用于计算曲线在其中一点的切线。
给定曲线的参数方程，通过对参数进行微分，求解导数，可以得到曲线在其中一点的切线的斜率，然后根据切线方程的形式，可以计算出切线的方程。
直线的切线计算在微积分、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算物体运动轨迹、求解函数的导数等。
4.直线的方向向量计算直线参数方程可以表示直线的方向向量。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数的变化量，得到直线上两个点的连线向量，从而得到直线的方向向量。
直线的方向向量计算在几何学、物理学、机器学习等领域有广泛的应用，如计算导航路径、计算梯度向量等。
5.表示平面内直线的垂线、平行线直线参数方程可以用于表示平面内直线的垂线、平行线。
给定直线的参数方程，可以通过求解两条直线的参数之间的关系，判断它们是否垂直或平行。
垂线、平行线的计算在几何学、物理学、工程学等领域有广泛的应用，如计算平行导线的电阻、计算直线的交点等。
6.参数方程与一般方程的转化直线的参数方程与一般方程之间可以相互转化。
给定直线的参数方程，可以通过计算参数表达式，得到直线的一般方程。
同样地，给定直线的一般方程，可以通过求解参数方程的参数，得到直线的参数方程。
参数方程与一般方程的转化在几何学、代数学等领域有广泛的应用，如计算函数的参数表示、计算曲线的方程等。
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线的参数方程及其应用举例
直线的参数方程及其应用举例直线是平面几何中的基本概念，它是由一点和一条在同一平面上延伸的无限长的路径所组成。
直线有多种表示方法，其中最常用的是参数方程。
直线的参数方程是将直线上的每个点都表示为一个参数的函数形式。
在世界上各个领域中，直线的参数方程都有重要的应用。
x=x₀+t*ay=y₀+t*b其中(x₀,y₀)是直线上的一点，(a,b)是直线的方向向量，t是参数。
1.几何图形构造：参数方程可以方便地绘制直线图形。
通过给定直线上的一点和方向向量，可以确定直线上的所有点并将其绘制出来。
这在计算机图形学中特别有用，用于构造直线段、射线、线段平移等各种图形。
2.线性插值：参数方程在计算机图形学中还可以实现线性插值的功能。
给定直线上的两个点A和B，可以用参数方程插值得到该直线上任意一点P的坐标。
这在图形渲染中常用于平滑曲线的生成和运动轨迹的计算。
3.射影变换：参数方程也被广泛应用于计算机视觉和计算几何中的射影变换。
在相机成像过程中，直线在二维图像上可能不再是直线，而是一个曲线。
通过参数方程将直线的三维参数化表示映射到二维图像上，可以更好地理解和分析图像中的直线形状和位置。
4.道路规划：在交通规划和导航系统中，直线的参数方程可以用于模拟道路和路径。
给定起点和终点的坐标，可以使用参数方程计算出这条道路上的其中一点的坐标。
这对于路径规划、导航引导和交通仿真都是非常有用的。
5.物理运动：参数方程也广泛用于物理运动的描述和模拟。
例如，在物理学中，直线的参数方程可以用来描述自由落体运动、斜抛运动等。
在工程领域，直线的参数方程用于描述机械装置的运动轨迹、机器人的路径规划等。
除了上述应用外，直线的参数方程还在数学的数值计算、曲线拟合、信号处理、经济学的需求曲线分析等领域中发挥着重要作用。
总结起来，直线的参数方程是一个非常有用的数学工具，广泛应用于几何图形构造、线性插值、射影变换、道路规划、物理运动等众多领域中。
参数方程的使用能够简化问题的表述、计算和分析，为解决实际问题提供了便利。
直线的参数方程
在物理学中的应用
在物理学中，直线的参数方程可 以用于描述物体的运动轨迹。
通过将物体的位置、速度、加速 度等物理量表示为时间的函数， 可以方便地研究物体的运动规律
和动力学特性。
直线的参数方程在物理学中的应 用还涉及到一些与直线运动相关 的课题，如简谐振动、弹性碰撞
等。
在工程中的应用
在工程中，直线的参数方程被广泛应用于机器视觉、图像处理等领域。
通过求解参数`t`的值，可以得 到直线上任意一点的坐标。
直线参数方程的应用场景
直线参数方程在物理学、工程学、计 算机图形学等领域都有广泛的应用。
在工程学中，直线参数方程可以用于 绘制直线图，以及在机器视觉中描述 物体的轮廓。
在物理学中，直线参数方程可以用于 描述质点的运动轨迹，以及在电路中 描述电流的变化情况。
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通过直线的参数方程，可以方便地描述图像中的直线段，实现图像分割 、边缘检测等任务。
直线的参数方程还可以用于工程设计中的几何建模，简化复杂形状的描 述和计算。
05 直线参数方程的扩展阅读 与参考文献
相关教材与参考书目
《解析几何与微分几 何》- 顾樵
《高等数学》- 同济 大学数学系
《微分几何》- 陈维 桓
当参数t变化时，直线上对应的点也会 发生变化，从而可以描述直线的运动 或变化。
浅谈直线的参数方程及其应用
浅谈直线的参数方程及其应用直线是平面上最简单和基本的几何图形之一，其参数方程是直线方程的一种表示方法。
直线的参数方程的一般形式为:x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上一点的坐标，a和b是与直线方向有关的常数，而t是一个自变量。
这种表示方法的优势在于可以方便地描述直线上的所有点，而不仅仅是端点。
在直线的参数方程中，t的取值范围可以是实数集合中的任意一个数字，因而可以由t的变化来确定了直线上的所有点。
例如，当t取值为0时，参数方程中的x和y分别等于(x0,y0)，即直线上的一点；当t取值为1时，参数方程中的x和y分别等于(x0+a,y0+b)，即直线上的另一个点。
直线的参数方程有广泛的应用，下面我们来介绍其中的几个重要应用。
1.直线的插值和曲线绘制:直线的参数方程可以方便地实现直线的插值和曲线绘制。
通过选取不同的a和b值，可以确定直线上的一系列点，从而连接这些点可以得到平滑的曲线。
2.直线的运动轨迹:在物理学和运动学中，许多物体的运动轨迹可以用直线的参数方程来表示。
通过设定不同的初始位置和速度，可以得到物体在不同时刻的位置，从而得到物体的运动轨迹。
3.直线的几何关系:直线的参数方程可以方便地用来研究直线之间的几何关系。
通过比较直线的参数方程的系数a和b，可以得到它们的斜率和截距，从而判断直线是否平行或垂直，以及它们的相对位置。
4.直线的交点和相交角:直线的参数方程也可以用来求解直线的交点和计算直线的相交角。
通过将两条直线的参数方程联立方程组，可以求解得到它们的交点坐标。
而通过计算直线参数方程中斜率的差值，我们可以得到直线的相交角。
5.直线的最小二乘法拟合:最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合一组散点数据。
直线的参数方程可以用来构建最小二乘法拟合的模型，通过调整参数a和b的值，可以找到最佳拟合直线，从而可以预测和估计其他点的位置。
总之，直线的参数方程在几何学、物理学、运动学等领域中都有广泛的应用。
直线的参数方程
直线的参数方程
直线是数学中最著名的几何体，在几何学和数学中，几乎没有比直线更重要的几何体。
直线有着许多有趣的性质，这些性质被称为“参数方程”。
参数方程定义了一条直线的性质，并用来解决复杂的数学问题。
参数方程的定义是：一条直线的参数方程是一个二元一次方程，其形式为：Ax + By + C = 0。
其中A，B和C是常数，x和y 为坐标变量。
参数方程的根据直线的特征而定义的。
例如，如果一条直线的斜率是m，那么它的参数方程为：y-y1= m(x-x1)。
其中m=斜率，x1和y1为直线上的某一点的坐标。
如果一条直线经过坐标原点，其参数方程为：y=mx，其中m为斜率。
如果一条直线的斜率为无穷大，则它的参数方程为：x=c，其中c为直线的一个游离参数。
当一条直线的斜率为零时，它的参数方程为：y=c，其中c为直线的另一个游离参数。
因此，参数方程定义了一条直线在坐标系中的位置，并用它可以描述任何一条直线在数学上的特征。
参数方程在许多方面都很有用，它不仅可以描述直线，而且可以帮助定义和解决复杂的几何问题或数学问题。
参数方程可以帮助研究者求解复杂的几何问题，例如求解两条直线的交点、求解两条
直线的位置关系等。
此外，参数方程还可以帮助解决复杂的数学问题，例如求解一元多次方程、求解曲线积分等。
总而言之，参数方程是一种强大而有效的数学工具，它可以帮助研究者解决各类几何和数学问题。
它可以帮助研究者更有效地描述和研究直线的各种性质和特征。
因此，参数方程在几何学和数学中有着十分重要的地位，是几何学和数学研究的重要工具和理论基础。
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)是直线上的一点，a、b、c是直线的方向向量的分量，t是参数。
这样，通过调整参数t的值，就可以得到直线上的所有点。
一、几何中直线的参数方程的应用：1.直线的方向向量：2.直线的长度：直线的长度可以通过参数方程中的两点之间的距离公式来计算。
假设起始点为(x0,y0,z0)，终止点为(x1,y1,z1)，直线的长度为L，则公式为L=√((x1-x0)^2+(y1-y0)^2+(z1-z0)^2)3.直线与平面的交点：如果有一个平面的参数方程a1x + b1y + c1z + d1 = 0，直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
将直线的参数方程代入平面方程，解方程组可以求得直线与平面的交点坐标。
二、物理中直线的参数方程的应用：1.运动学中的直线运动：物体在直线上进行匀速直线运动时，可以通过参数方程来描述物体的位置。
其中(t)表示时间，直线的方向向量(a,b,c)表示物体的运动方向和速度。
2.振动运动的直线模型：在物理的振动运动中，例如简谐振动，可以使用直线的参数方程来表示振动的轨迹。
参数t可以表示时间，(x0,y0,z0)表示振动的平衡位置，(a,b,c)表示振动的幅度和方向。
三、计算机图形学中直线的参数方程的应用：1.直线的绘制：在计算机图形学中，直线常常使用参数方程来绘制。
通过给定起点和终点的坐标，使用参数方程可以描绘出直线的轨迹。
2.直线的旋转：在计算机图形学的3D建模中，直线可以经过旋转来创建复杂的几何体。
旋转直线可以使用参数方程中的旋转矩阵来实现。
3.直线的相交：在计算机图形学中，判断两条直线是否相交是一个常见的需求。
可以通过比较两条直线的参数方程来判断它们是否相交。
4.直线的裁剪：在计算机图形学中，通过直线的参数方程可以实现直线的裁剪。
直线的参数方程
直线的参数方程直线是平面上的一种线形图形，由无数个点组成。
在平面直角坐标系下，直线通常可以用线段的两个端点来确定，或者可以用点斜式和斜截式来表示。
另外，还有一种常见的表示直线的方法是使用参数方程。
参数方程是一种通过引入一个参数作为自变量来表示一个二维曲线的方法。
x=x₀+a·t,y=y₀+b·t,其中(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数，a和b是与直线的方向相关的参数。
参数方程的优点之一是可以直接通过给定的参数值来求解直线上的任意一点的坐标。
另外，参数方程还可以方便地描述直线的方向和倾斜角度。
下面将分别介绍直线的参数方程以及如何根据已知信息确定参数值的方法。
1.斜率-截距形式的直线方程假设直线方程为y = mx + c，我们可以将x表示为t的函数：x=t,y = mt + c.这样，我们就得到了直线的参数方程。
其中，t是参数，(x,y)是直线上的任意一点。
参数方程的参数a和b分别为1和m。
2.两点间的直线方程首先，我们可以求出直线的方向向量，即从点A到点B的向量。
该向量的分量为：a=x₂-x₁,b=y₂-y₁.然后，我们可以选择一个点作为原点，例如A点，将该点的坐标作为参数方程中的参数值：x₀=x₁,y₀=y₁.最后x=x₀+a·t=x₁+(x₂-x₁)·t,y=y₀+b·t=y₁+(y₂-y₁)·t.3.一般直线方程的参数方程假设直线方程为Ax+By+C=0，我们可以将x表示为t的函数：x=x₀+a·t,y=y₀+b·t.在这种情况下，参数方程的参数a和b可以表示为：a=-B,b=A.其中，(x₀,y₀)是直线上的一个点，t是参数。
总结起来，直线的参数方程可以用以上三种常见形式表示。
在给定直线的已知信息之后，我们可以根据特定的情况选择合适的参数方程形式，并确定参数值。
通过确定参数值，我们可以方便地求解直线上的任意一点的坐标，也可以直观地描述直线的方向和倾斜角度。
24.直线参数方程的应用
第19讲:直线参数方程的应用 157第19讲:直线参数方程的应用在课程标准中,直线参数方程是选修内容,被安排在《选修4-4》,是安徽高考的必考内容;直线参数的方程应用非常广泛,它是一种很有效的解析工具,具有独特的功能.1.参数方程:经过点M(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数);2.几何意义:若直线l 上的点P 对应的参数为t,则|PM|=|t|,且①当点P 在点M 上方时,t>0;②点P 与点M 重合时,t=0;③点P 在点M 下方时,t<0;3.基本性质:若直线l 上的点A 、B 对应的参数为t A 、t B ,则:①|AB|=|t A -t B |;②|MA||MB|=|t A t B |;③A 、B 两点的中点所对应的参数为2BA t t +;④M 是线段AB 中点的充要条件是t A +t B =0; 例1:点的坐标.[始源问题]:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设直线l:x=-1,由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线l 的距离⇒曲线C 是以F 为焦点,直线l 为准线的抛物线,其方程为y 2=4x; (Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧=+=θθsin cos t y t m x (t 为参数,θ∈[0,π)是直线AB 的倾斜角),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,即A(m+t 1cosθ,t 1sin θ),B(m+t 2cos θ,t 2sin θ),把⎩⎨⎧=+=θθsin cos t y t m x 代入y 2=4x 得t 2sin 2θ-4tcos θ-4m=0⇒t 1+t 2=θθ2sin cos 4,t 1t 2=-θ2sin 4m ;所以,FB FA ⋅<0⇔(m-1+t 1cos θ)(m-1+t 2cos θ)+t 1t 2sin 2θ<0⇔(m-1)2+(m-1)(t 1+t 2)cos θ+t 1t 2<0⇔(m-1)2+(m-1)θθ22sin cos 4-θ2sin 4m <0⇔(m-1)(m-5)sin 2θ<4对任意的θ∈[0,π)恒成立⇔(m-1)(m-5)<4⇔m ∈(3-22,3+22).利用直线的参数方程,首先要设点对应的参数,并由此写出对应点的坐标,从而解决相关问题.利用直线的参数方程解题的优势是无需考虑斜率是否存在.[原创问题]:己知点A(4,0),B(1,0),动点P 满足:AP AB ⋅=6||PB .(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程;(Ⅱ)设MN 是过轨迹C 的右焦点F 的弦,在x 轴上是否存在定点Q,使得QN QM ⋅是定值.若存在,求点Q 的坐标和该定值;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设点P(x,y),由AP AB ⋅=6||PB ⇒(-3,0)(x-4,y)=622)1(y x +-⇒4-x=222)1(y x +-⇒3x 2+4y 2=12⇒动点P 的轨迹C 的方程为3422y x +=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知轨迹C 的右焦点F(1,0),设直线MN:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数,θ∈[0,π)是直线AB 的倾斜角),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,即A(1+t 1cos θ,t 1sin θ),B(1+t 2cos θ,t 2sin θ),把⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x 代入3422y x +=1得:(4sin 2θ+3cos 2θ)158 第19讲:直线参数方程的应用t 2+6tcos θ-9=0⇒t 1+t 2=θθθ22cos 3sin 4cos 6+,t 1t 2=-θθ22cos 3sin 49+;假设存在定点Q(q,0),则QN QM ⋅=(1-q+t 1cos θ)(1-q+t 2cos θ)+t 1t 2sin 2θ=(1-q)2+(1-q)(t 1+t 2)cos θ+t 1t 2=(1-q)2+(1-q)θθθ222cos 3sin 4cos 6+-θθ22cos 3sin 49+=(1-q)2+θθ22cos 49cos )1(6---q 是定值⇔(-9):6(1-q)=4:(-1)⇔q=85. 例2:弦长问题.[始源问题]:(2008年安徽高考试题)己知椭圆C:12222=+b y a x (a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)己知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求证:|AB|=θ2cos 224-;(Ⅲ)过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A,B 和D,E,求|AB|+|DE|的最小值.[解析]:(Ⅰ)由22a =4,a 2-b 2=4⇒a 2=8,b 2=4⇒椭圆C:x 2+2y 2=8;(Ⅱ)设直线AB:⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t x (t 为参数),代入x 2+2y 2=8得:(1+sin 2θ)t 2-4tcos θ-4=0⇒t 1+t 2=θθ2sin 1cos 4+,t 1t 2=-θ2sin 14+ ⇒|AB|=|t 1-t 2|=θ2sin 124+=θ2cos 224-;(Ⅲ)由|AB|=θ2cos 224-⇒|DE|=)90(cos 22402θ+-=θ2sin 224-⇒|AB|+|DE|=)sin 2)(cos 2(21222θθ--≥42.利用参数方程求弦长,若直线的参数方程代入二次曲线方程后,所得关于参数t 的方程为at 2+bt+c=0,则弦长=||a ∆. [原创问题]:F 为双曲线C:1x 2222=-b y a(a>0,b>0)的右 y 焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方,M 为左 M M 1 P 准线上一点,O 为坐标原点,四边形OFPM 为菱形. H O F x (Ⅰ)求双曲线C 的离心率e;(Ⅱ)经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两 点,若|AB|=12,求此时的双曲线方程.[解析]:(Ⅰ)由|PF|=|OF|⇒|PF|=c,设点M 1是PM 与双曲线右准线的交点,由|PF|:|PM 1|=e ⇒|PM 1|=e 1|PF|=ec ,又由|PM|=|OF|⇒ec c a +22=c ⇒e 2-e-2=0⇒e=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:e=2⇒c=2a,且|PF|=c ⇒|OM|=c ⇒|MH|=a c a c OH OM 215)(||||22222=-=-⇒P(a a 215,23);设直线AB的倾斜角为θ,则sin θ=410,cos θ=46,直线AB:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t a x 410462(t 为参数),代入132222=-a y a x 得:t 2+66at+18a 2=0⇒|AB|= 12a=12⇒a=1.故双曲线方程为x 232y -=1. 例3:线段的比.第19讲:直线参数方程的应用 159 [始源问题]:(2010年辽宁高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为600,AF =2FB . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)如果|AB|=415,求椭圆C 的方程. [解析]:(Ⅰ)设F(c,0),直线MN:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ty t c x 2321(t 为参数),点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,代入2222b y a x +=1得:(3a 2+b 2)t 2+ 4b 2ct-4b 4=0⇒t 1+t 2=-22234b a c b +,t 1t 2=-22434b a b +;而AF =2FB ⇔t 1+2t 2=0⇒t 2=22234b a c b +,2t 22=22434b a b +⇒2(22234b a c b +)2=22434b a b +⇒3a 2+b 2=8c 2⇒2a=3c ⇒离心率e=32; (Ⅱ)|AB|=22238ba ab +=415⇒a=3,b=5⇒椭圆C:92x +52y =1. 利用直线参数方程解题的关键是理解、掌握,并灵活利用参数t 的几何意义,而关注参数t 的符号是正确使用直线参数方程解题、防止失分的正确途径.过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点,点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,AP =λPB ,则:t 1+λt 2=0.[原创问题]:设过点P(4,3),且斜率为23的直线l 与椭圆C:3222y a x +=1(a>b>0)交于两个不同的点A 、B,且PA =2PB .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设M 为椭圆上任意一点,且OB OA OM μλ+=(λ,μ∈R),证明:λ2+μ2为定值.[解析]:(Ⅰ)设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ=23⇒sin θ=73,cos θ=72⇒直线l:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ty t x 733724(t 为参数),代入3222y a x +=1得:(73a 2+712)t 2+(76a 2+748)t+48=0⇒t 1+t 2=-123)243(7222++a a ,t 1t 2=1234872+⋅a ;而PA =2PB ⇔t 1=2t 2⇒3t 2=- 123)243(7222++a a ,2t 22=1234872+⋅a ⇒2[-123)243(7222++a a ]2=9⋅1234872+⋅a ⇒8(3a 2+24)2=9⋅48(3a 2+12)⇒a=2⇒椭圆C:42x +32y =1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆方程为3x 2+4y 2=12,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x,y),则由OB OA OM μλ+=⇒x=λx 1+μx 2,y=λy 1+μy 2⇒3(λx 1+μx 2)2+4(λy 1+μy 2)2=12⇒λ2(3x 12+4y 12)+μ2(3x 22+4y 22)2+2λμ(3x 1x 2+4y 1y 2)=12⇒12(λ2+μ2)+2λμ(x 1x 2+4y 1y 2)=12;又由(Ⅰ)知t 1+t 2=-37,t 1t 2=14⇒x 1x 2=(4+72t 1)(4+72t 2)=0,y 1y 2=(3+73t 1)(3+73t 2)=0⇒x 1x 2+3y 1y 2=0⇒λ2+μ2=1为定值.例4:线段的积.[始源问题]:(人教版.《坐标系与参数方程》(选修4-4).习题2.3(P39)第4题)经过抛物线y 2=2px(p>0)外的一点A(-2,-4)且倾斜角为450的直线l 与抛物线分别交于M 1、M 2.如果|AM 1|,|M 1M 2|,|AM 2|成等比数列,求p 的值.[解析]:由题知可设直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数),点M 1、M 2对应的参数为t A 、t B ;把直线l 的参数方程代入y 2=2px 得:t 2-22(p+4)t+8p+32=0⇒t 1+t 2=22(p+4),t 1t 2=8p+32;由|AM 1|,|M 1M 2|,|AM 2|成等比数列⇔|AM 1||AM 2|= |M 1M 2|2⇔|t 1t 2|=|t 1-t 2|2(由点A 在抛物线外⇒t 1与t 2同号⇒t 1t 2>0)⇔(t 1+t 2)2=5t 1t 2⇔8(p+4)2=5(8p+32)⇔p=1. 过点P 的直线与二次曲线交于A 、B 两点,点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2,则:|PA||PB|=|t 1t 2|;本题为解决抛物线中160 第19讲:直线参数方程的应用三线段长成等比数列问题提供了直线方程的参数解法,具有移植价值.[原创问题]:若直线l 与抛物线C:y 2=2px(p>0)分别交于A 、B 两点,且直线l 分别与x 、y 轴交于点Q 、P.求证:|PA|,|PQ|,|PB|成等比数列.[解析]:设P(0,b),直线l 的参数方程为:⎩⎨⎧+==ααsin cos t b y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;令y=0得:t=-αsin b⇒|PQ|=|t|=αsin b ,把直线l 的参数方程代入y 2=2px 得:t 2sin 2α+2(bsin α-pcos α)t+b 2=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=α22sin b =|PQ|2⇒|PA|,|PQ|,|PB|成等比数列.考虑到求轨迹方程,尤其是轨迹方程为直线的问题是安徽高考命题所寻觅的,构造上题的一个逆命题可得:[原创问题]:已知离心率e=21的椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过点F 1且与x 轴垂的直线l 被椭圆截得的弦长为3.动圆P 过点F 2且与直线l 相切,动圆的圆心P 的轨迹为C. (Ⅰ)求轨迹C 的方程;(Ⅱ)过点F 2的动直线与轨迹C 交于A 、B 两点,若直线AB 上的点Q,满足:|F 2A||F 2B|=|F 2Q|2,求点Q 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由e=221a b -=21,ab 22=3⇒a=2,b=3⇒直线l:x=-1,点F 2(1,0);由动圆P 过点F 2且与直线l 相切⇒圆心P 到点F 2的距离等于P 到直线l 的距离,由抛物线的定义知,轨迹C 是以F 2为焦点,直线l 为准线的抛物线,其方程为y 2=4x; (Ⅱ)设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ<π),参数方程为:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入y 2=4x得:t 2sin 2θ-4tcos θ-4=0⇒|F 2Q|2=|F 2A||F 2B|=|t 1t 2|=θ2sin 4⇒|F 2Q|=θsin 2⇒|F 2Q|sin θ=2⇒点Q 到x 轴的距离等于2 ⇒点Q 的轨迹方程是y=±2.例5:选择参量.[始源问题]:(2011年天津高考试题)在平面直角坐标系xOy 中,点P(a,b)(a>b>0)为动点,F 1,F 2分别为椭圆22ax +22b y =1的左右焦点.已知△F 1PF 2为等腰三角形. (Ⅰ)求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点,M 是直线PF 2上的点,满足AM ⋅BM =-2,求点M 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由△F 1PF 2为等腰三角形⇒|F 1F 2|=|PF 2|⇒4c 2=(a-c)2+b 2⇒a 2-ac=2c 2⇒2e 2+e-1=0⇒e=21;(Ⅱ)设M(x 0,y 0),因2PF k =ca b-=ca c a --22=c a c a -+=e e -+11=3⇒直线PF 2的倾斜角=600⇒直线PF 2:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y y tx x 232100(t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1,即224c x +223c y =1得:15t 2+4(3x 0+43y 0)t+4(3x 02+4y 02-12c 2)=0⇒t 1t 2=154 (3x 02+4y 02-12c 2);由AM ⋅BM =-2⇒t 1t 2=-2⇒154(3x 02+4y 02-12c 2)=-2;又因2MF k =3⇒cx y -00=3⇒c=x 0-33y 0⇒154[3x 02+4y 02-12(x 0-33y 0)2)=-2⇒18x 02-163x 0y 0-15=0⇒y 0=0203161518x x -⇒c=020481530x x +>0⇒x 0>0⇒点M 的轨迹方程:18x 2-163xy -15=0(x>00). 经过点M(x 0,y 0),且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数),选择始点M(x 0,y 0)和倾斜角α是灵活使用直线参数方程的一条途径.[原创问题]:己知椭圆G:12222=+by a x (a>b>0)过点(1,e)和(2e,21),其中是椭圆的离心率.第19讲:直线参数方程的应用 161(Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)过点M(1,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2,设直线l 1与椭圆G 交于A 、B 两点,直线l 2与椭圆G 交于C 、D 两点,求AC ⋅BD 的最大值.[解析]:(Ⅰ)由21a +22b e =1,224a e +41=1⇒b 2+c 2=a 2b 2,c=43a 2⇒b=1,a=2⇒椭圆G:42x +y 2=1;(Ⅱ)设直线AB 的倾斜角为θ,则直线CD 的倾斜角为θ+2π,直线AB:⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x (t 为参数),代入42x +y 2=1得:(1+3sin2θ)t 2+2tcos θ-3=0⇒t A t B =-θ2sin 313+⇒t C t D =-)2(sin 3132θπ++=-θ2cos 313+;由AB ⊥CD ⇒MA ⋅MD =MB ⋅MC =0⇒AC ⋅BD =(MC -MA )(MD -MB )=MC ⋅MD +MA ⋅MB -(MA ⋅MD +MB ⋅MC )=MC ⋅MD +MA ⋅MB =t C t D +t A t B =-(θ2sin 313++θ2cos 313+)=-53[(1+3sin 2θ)+(1+3cos 2θ)](θ2sin 311++θ2cos 311+)≤-53(1+1)2=-512;等号当且仅当(1+3sin 2θ)=(1+ 3cos 2θ),即θ=4π时成立. 例6:四点共圆.[始源问题]:(人教版.《坐标系与参数方程》(选修4-4).例4(P38))AB,CD 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的两条相交弦,交点为P,若直线AB 与CD 的倾斜角互补.求证:|PA||PB|=|PC||PD|.[解析]:设直线AB 的倾斜角为θ(0≤θ<π),则直线CD 的倾斜角为π-θ,设P(x 0,y 0),直线AB 参数方程为:⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x(t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1得:(a 2sin 2θ+b 2cos 2θ)t 2+2(b 2x 0cos θ+a 2y 0sin θ)t+(b 2x 02+a 2y 02-a 2b 2)=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=θθ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;同理可得:|PC||PD|=)(cos )(sin ||222222202202θπθπ-+--+b a b a y a x b =θθ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+⇒|PA||PB|=|PC||PD|.根据圆幂定理的逆定理,|PA||PB|=|PC||PD|⇔A 、B 、C 、D 四点共圆.自然的想法是考虑逆命题:[共圆定理]:AB,CD 是椭圆G:22a x +22b y =1(a>b>0)的两条相交弦,交点为P.求证:A 、B 、C 、D 四点共圆的充要条件是直线AB 与CD 的倾斜角互补.[解析]:设直线AB 的倾斜角为α(0≤α<π),直线CD 的倾斜角为β(0≤β<π,α≠β),设P(x 0,y 0),直线AB 参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22a x +22b y =1得:(a 2sin 2α+b 2cos 2α)t 2+2(b 2x 0cos α+a 2y 0sin α)t +(b 2x 02+a 2y 02-a 2b 2)=0⇒|PA||PB|=|t 1t 2|=αα222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;同理可得:|PC||PD|=ββ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+;所以,A 、B 、C 、D四点共圆⇔|PA||PB|=|PC||PD|⇔αα222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+=ββ222222202202cos sin ||b a b a y a x b +-+⇔a 2sin 2α+b 2cos 2α=a 2sin 2β+b 2cos 2β⇔a2+(b 2-a 2)cos 2α=a 2+(b 2-a 2)cos 2β⇔cos 2α=cos 2β⇔cos α+cos β=0(cos α-cos β=0舍去)⇔α+β=π.巧妙选取该定理的特殊情况是高考命题的常用手法.如2002年河南、江苏高考试题、2005年湖北高考试题、2011年全国大纲卷高考试题中的四点共圆问题均是该定理的特殊情况,考虑到安徽高考解析几何试题的命题情结,构造如下:[原创问题]:已知椭圆C:22a y +22b x =1(a>b>0)的离心率e=36,经过点P(1,3)的直线与椭圆C 交于A 、B 两点,如果点P162 第19讲:直线参数方程的应用为线段AB 的中点,且|AB|=62. (Ⅰ)求椭圆C 与直线AB 的方程;(Ⅱ)若经过点P 的另一条直线与椭圆C 交于M 、N 两点,且A 、M 、B 、N 四点均在圆Q 上,求直线MN 与圆Q 的方程.[解析]:(Ⅰ)设直线AB 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 3cos 1t y t x (t 为参数),点A 、B 对应的参数为t A 、t B ;代入22ay +22bx =1得:(a 2cos 2α+b 2sin 2α)t 2+2(a 2cos α+3b 2sin α)t+(a 2+9b 2-a 2b 2)=0;由点P 为线段AB 的中点⇒t 1+t 2=0⇒a 2cos α+3b 2sin α=0⇒tan α=-223b a ;又由e=221a b -=36⇒a 2=3b 2⇒tan α=-1⇒直线AB:x+y-4=0;t 1t 2=αα22222222sin cos 9b a b a b a +-+= 23(4-b 2)⇒|AB|=|t 1-t 2|=212214)(t t t t -+=)4(62-b =62⇒b=4⇒椭圆C:482y +162x =1; (Ⅱ)设直线MN 的倾斜角为β(0≤β<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ββsin 3cos 1t y t x (t 为参数),点M 、N 对应的参数为t A 、t B ;代入482y +162x =1得:(48cos 2β+16sin 2β)t 2+96(cos β+sin β)t-16×36=0⇒|PM||PN|=ββ22sin 16cos 483616+⨯;由(Ⅰ)知,|PA||PB|=18;所以,A 、M 、B 、N 四点共圆⇔|PA||PB|=|PM||PN|⇔48cos 2β+16sin 2β=32⇔sin β=22⇔tan β=1⇒直线MN:y=x+2;t 2+32t -18=0⇒MN 的中点Q 对应的参数t=-223⇒点Q(-21,23)⇒|PQ|2=245⇒R 2=245+(32)2=281⇒圆Q:(x+21)2+(y-23)2=281. 例7:共轭点的轨迹.[始源问题]:(2008年安徽高考试题)设椭圆C:2222b y a x +=1(a>b>0)过点M(2,1),左焦点为F 1(-2,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q,满足:||||||||PB AQ QB AP ⋅=⋅,证明:点Q 总在某定直线上.[解析]:(Ⅰ)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21122222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==2422b a ,故所求椭圆C 的方程为2422y x +=1;(Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 4t y t x (t 为参数),点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;把直线l 参数方程的代入2422y x +=1得:(cos 2α+2sin 2α)t 2+4(sin α+2cos α)t+14=0⇒t 1+t 2=-αααα22sin 2cos )cos 2(sin 4++,t 1t 2= αα22sin cos 214+;由||||||||PB AQ QB AP ⋅=⋅⇒||||QB QA =||||PB AP ⇒t t t t --21=21t t ⇒t=21212t t tt +=-ααcos 2sin 7+⇒x=4-αααcos 2sin cos 7+,y=1-αααcos 2sin sin 7+⇒2(4-x)+(1-y)=7(αααcos 2sin cos 2++αααcos 2sin sin +)=7⇒2x+y-2=0.[原创问题]:己知椭圆C:12222=+by a x (a>b>0),其相应于焦点F(2,0)的准线方程为x=4.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A 、B 时,在线段AB 上取点Q,满足:AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0,证明:第19讲:直线参数方程的应用 163点Q 总在某定直线上.[解析]:(Ⅰ)由22a =4,a 2-b 2=4⇒a 2=8,b 2=4⇒椭圆C:x 2+2y 2=8; (Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π),参数方程为:⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 4t y t x (t 为参数),点A 、B 、Q 对应的参数分别为t 1、t 2、t;把直线l 参数方程的代入x 2+2y 2=8得:(cos 2α+2sin 2α)t 2+4(sin α+2cos α)t+10=0⇒t 1+t 2=-αααα22sin 2cos )cos 2(sin 4++,t 1t 2=αα22sin cos 210+;由AP ⋅QB +AQ ⋅PB =0⇒||||QB QA =||||PB AP ⇒t t t t --21=21t t ⇒t=21212t t tt +=-ααcos 2sin 5+⇒x=4+tcos=4-αααcos 2sin cos 5+,y=1+tsin α=1-αααcos 2sin sin 5+⇒2(x-4)+(y-1)=-ααααcos 2sin sin 5cos 10++=-5⇒2x+y=4⇒点Q 总在某定直线:2x+y=4上.[始源问题]:(《中学数学研究》.2013年9期P 24)若抛物线y 2=2px(p>0)的准线与对称轴的交点为A,过点A 作抛物线的割线交抛物线于B 、C 两点,作倾斜角与BC 互补的割线交抛物线于M 、N 两点,交x 轴于点F,且|FM||FN|=|AB||AC|,则点F 为抛物线的焦点.[解析]:设F(x 0,0),直线BC 的倾斜角为θ,则直线MN 的倾斜角为π-θ,直线BC:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t p x (t 为参数),代入抛物线方程得:t 2sin 2θ-2tcos θ+p 2=0⇒|AB||AC|=t 1t 2=θ22sin p ;同理可得:|FM||FN|=θ20sin 2px ;由|FM||FN|=|AB||AC|⇒θ22sin p =θ20sin 2px ⇒x 0=2p⇒点F 为抛物线的焦点. 推广该命题,考虑到安徽高考命题的轨迹方程情结,使用推广命题的逆命题:[原创问题]:已知点Q(2,1)到抛物线C:y 2=2px(p>0)焦点F 的距离为3.(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)过点Q 的动直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,倾斜角与直线l 的倾斜角互补的直线MN 交抛物线C 于M 、N 两点.若直线MN 上的点P,满足:PM ⋅PN +QA ⋅QB =0,求点P 的轨迹方程.[解析]:(Ⅰ)由点Q(2,1)到抛物线C 焦点F 的距离=点Q(2,1)到抛物线C 的准线:x=-2p ⇒2+2p =3⇒p=2⇒抛物线C:y 2= 4x;(Ⅱ)设P(x 0,y 0),直线l 的倾斜角为θ,则直线MN 的倾斜角为π-θ,直线MN:⎩⎨⎧+=-+=-=-+=θθπθθπsin )sin(cos )cos(0000t y t y y t x t x x (t 为参数),代入抛物线方程得:t 2sin 2θ+2(y 0sin θ+2cos θ)t+y 02-4x 0=0⇒PM ⋅PN =|PM |⋅|PN |=t 1t 2=θ2020sin 4x y -;同理可得:QA ⋅QB=-θ2sin 7;由PM ⋅PN +QA ⋅QB =0⇒θ2020sin 4x y --θ2sin 7=0⇒y 02=4x 0+7⇒点P 的轨迹方程:y 2=4x+7.例8:两点参数方程.[始源问题]:(1982年全国高考试题)抛物线y 2=2px 的内接三角形有两边与抛物线x 2=2qy 相切,证明这个三角形的第三边也与x 2=2qy 相切.[解析]:不失一般性,设p>0,q>0.设y 2=2px 的内接三角形顶点为A(2pa 2,2pa),B(2pb 2,2pb),C(2pc 2,2pc),则直线AB:y-2pa=ba +1(x-2pa 2)⇒(a+b)y=x+2pab,同理可得直线AC:(a+c)y=x+2pac,直线BC:(b+c)y=x+2pbc;因直线AB 与抛物线x 2=164 第19讲:直线参数方程的应用2qy 相切⇔(a+b)2y 2-2[2pab(a+b)-q]y+4p 2a 2b 2=0有等根⇔[2pab(a+b)-q]2-4p 2a 2b 2(a+b)2=0⇔q=4pab(a+b);同理:直线AC 与抛物线x 2=2qy 相切⇔q=4pac(a+c),直线BC 与抛物线x 2=2qy 相切⇔q=4pbc(b+c);若直线AB 、AC 与抛物线x 2=2qy 相切,则 q=4pab(a+b)=4pac(a+c)⇒(a+b)b=(a+c)c(b ≠c)⇒a+b+c=0⇒q=4pab(a+b)=-4pabc=4pbc(b+c)⇒直线BC 与抛物线x 2=2qy 相切.圆锥曲线的外切三角形有许多优美的性质,他们可能成为今后高考命题的生长点,现给出直线的另一种参数方程的应用例子.[原创问题]:如图,△ABC 为抛物线y 2=2px(p>0)的 y M外切三角形,切点分别为N 、M 、R,若AN =λ1NB ,BR C =λ2RC ,CM =λ3MA ,求证:λ1λ2λ3=1. A R[解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),直线AB 的参 B O x数方程:x=λλ++121x x ,y=λλ++121y y (λ为参数,λ≠-1), N 代入y 2=2px 得:(y 22-2px 2)λ2+2(y 1y 2-px 1-px 2)+(y 12-2px 1)=0,由直线AB 与抛物线y 2=2px 相切于点N,且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1,由韦达定理知,λ12=22212122px y px y --;同理可得:λ22=32322222px y px y --,λ32=12132322px y px y --⇒λ12λ22λ32=1;又因λ1<0,λ2>0,λ3<0⇒λ1λ2λ3>0⇒λ1λ2λ3=1.[原创问题]:如图,△ABC 为椭圆2222b y a x +=1(a>b>0)的 A y 外切三角形,切点分别为N 、M 、R,若AN =λ1NB ,BR = R C λ2RC ,CM =λ3MA ,求证:λ1λ2λ3=1. B M[解析]:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),直线AB 的参数 N O x方程:x=λλ++121x x ,y=λλ++121y y (λ为参数,λ≠-1),代入 2222b y a x +=1得:(b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2)λ2+(2b 2x 1x 2+2a 2y 1y 2-2a 2b 2)λ+(b 2x 12+a 2y 12-a 2b 2)=0;由直线AB 与椭圆2222by a x +=1相切于点N,且点N 对应的参数为λ1⇒该方程有等根λ1,由韦达定理知,λ12=2222222222212212b a y a x b b a y a x b -+-+;同理可得:λ22=2223223222222222b a y a x b b a y a x b -+-+,λ32 =2221221222232232ba y a xb b a y a x b -+-+⇒λ12λ22λ32=1;又因λ1<0,λ2>0,λ3<0⇒λ1λ2λ3>0⇒λ1λ2λ3=1.[原创问题]:设椭圆C:2222by a x +=1(a>b>0)过点M(1,23),右焦点为F(1,0). (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点F 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于点P,且PA =λAF ,PB =μBF .证明:λ+μ为定值.[解析]:(Ⅰ)由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+114912222b a b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a ,故所求椭圆C 的方程为3422y x +=1; (Ⅱ)设P(0,p),由PA =λAF ⇒A(λλ+1,λ+1p ),PB =μBF ⇒B(μμ+1,μ+1p );又由点A 、B 在椭圆C 3422y x +=1上⇒3(λλ+1)2+4(λ+1p )2=12,3(μμ+1)2+4(μ+1p )2=12⇒λ、μ是关于t 的方程3(t t +1)2+4(t p +1)2=12,即9t 2+24t+12-4p 2=0的两根⇒λ+μ=-38为定值.。
苏教版4-4_4.3直线的参数方程及应用
y y0
sin
x x0
cos
t.
整理，得到
x y
x0 y0
t t
cos sin
(t是参数)
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解： 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （x, y) (x0 y0) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则
解: M0M te M0M te y
又 e是单位向量， e 1
M
M0M t e t
所以,直线参数这方就程是中t参的几何 数t的绝对值等于意直义线,要上牢记 动点M到定点M0的距离.
|t|=|M0M|
M0
e
O
x
建构数学
直线的参数方程(标准式）
直
线
的
参
数
方
程xy
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
即，x x0 t cos, y y0 t sin
y
所以，该直线的参数方程为
e
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
M(x,y) M0(x0,y0)
O
x
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗？
此时，若t 0，则 M0 M 的方向向上； 若t 0，则 M0 M 的方向向下； 若t 0，则 M 点与 M0 重合.
并且，直线参数方程中参数t 的绝对值等于直线上动点M到 定点M0的距离.
直线的参数方程及其应用不错哦放心用
x直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2•熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3•禾U 用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题;基础知识点击：1直线参数方程的标准式⑴过点P o (x o ,y °),倾斜角为 的直线I 的参数方程是(t 为参数)t 的几何意义：t 表示有向线段P o P 的数量，P(x ,y )x xo at(t 为参数)y y o bt点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1：(直线由点和方向确定)求经过点P o (x o ,y °)，倾斜角为 的直线I 的参数方程. 设点P(x , y )是直线I 上任意一点，(规定向上的"方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线，过 P o 作x 轴的平行线，两条直线相交于 Q 点._______1) 当P o P 与直线I 同方向或P o 和P 重合时， o /p o p = | P o P| 贝U P o Q = P o PcosQ P = P o Psin2) 当PO P 与直线I 反方向时，P op 、P oQ 、Q P 同时改变符号P o P = — | P o P| P o Q = P o Pcos Q P = P o Psin 仍成立设P o P = t ，t 为参数， 又P o Q = x x o ，x x 0 t cos y y o tsin为直线上任意一点 t 2, P o P=t I P o P I =t⑵若P i 、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t i 、 贝U P l P 2=t 2— t i I P l P 2 I = I t 2 — t 1 I(3)若P i 、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为则P i P 2中点P 3的参数为t 3= W , I P o P 3 I =2⑷若 P o 为 P i P 2 的中点，贝U t i +12= o ， t i • t 2<o 2、直线参数方程的一般式 过点P o (X o ,y o )，斜率为k -的直线的参数方程是a t i 、 t 2、 t 3 t it22P (x ,y )x x ° tcosP oQI+ yP(QQ P = y y •-y y °=t sin即x X 。
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或向右（ l的倾斜角为 0 ）的单位方向向量（单 位长度
设直线 l 的倾斜角为 ，定点 M 、动点 M 的坐 0 分别为 ( x , y ) 、 ( x , y ) 0 0
( 1 ) 如何利用 写 倾出 斜直 l 角 的 线 单位方 e向 ？ 向
( 2 ) 如何 e 和 用 M 的坐标表示直 一线 点 M 的 上 坐 任 0
( 1 )e (cos ,sin )
( 2 ) M M ( x , y ) ( x , y ) ( x x , y y ) 0 0 0 0 0
又 M //e 0M
存在惟 t 一 R ， 实 使 M 数 得 M t e 0
注：（ 1 ）直线的参数方程中哪 些是变量？哪些是常 ？ （ 2 ）参数 t的取值范围是什么？ （ 3 ）该参数方程形式上有 什么特点？
直线的参数 t 的 方 几 程 何 t 中 表 意 参 示 义 t 对 数 参 是 应 数 ： M 的 t 取负数 M 与 ； M 重 当 合 点 t 时 0 . ， 0
到定 M 的 点 距离 M M 与 。 e 同 当 向 t 取 时 正 ， 数 M M 与 ； e 异 当 向 0 0 0
三、例题讲解
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A ， B 所对应的参数 t ， t ? 1 2
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与 t ， t 有什么关系？ 1 2
（ 1 ） M M t t 1 2 1 2
t1 t2 （ 2 ）t 2
1 5 1 5 由 (*) 解x 得 ： ， x 1 2 2 2
求解本题呢？ຫໍສະໝຸດ 3 5 3 5 y ， y 1 2 2 2
1 53 5 1 53 5 记直线与抛物线的交点 坐标 A ( , ) ， B ( , ) 2 2 2 2
1 5 3 5 1 5 3 5 2 2 2 2 则 MA MB ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 2
x y 1 0 2 如果在学习直线的参数方程之前 ,你会怎样 解 ： 由 得 x ： x 1 0 (*) 2 y x
由韦达定理得： x x 1 ， x x 1 1 2 1 2 2 2 AB 1 k ( x x ) 4 x x 2 5 10 1 2 1 2
线被曲线所 长 截 ， 得 与 的 中 弦 点 的 t . 对
0 x 3t sin 20 B （ 1 ） 直 线 （ t为 参 数 ） 的 倾 斜 角 ）是 （ 0 20 y t cos 0 0 0 0 A .20 B .70 C .110 D .160
2 x 1 t 2 （ t为 参 数 ） y 2t （ 2 ） 直x 线 y10 的一个参数方 。 2 程是
四、课堂练习
四、课堂小结
本节课我们主要学习了 直线的参数方程的推 及其简单 学习后要把握以下几个 知识点：
（ 1 ）直线的参数方程与普 通方程 y y tan ( x x ) 的联 0 0
（ 2 ）直线的参数方程与向 量知识的联系；
（ 3 ）参数 t的几何意义；
（ 4 ）应用： t 表 用 示 参 点 数 的坐 两 标 点 、 间 直 的 线 距
4.4.3
参数方程的应用(4) -----直线的参数方程
一、课题引入
在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么?
根据直线的几何条件,你认为用哪个几何条件来建立 参数方程比较好？
一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线
根据直线的这个几何条件,你认为应当怎样选择参数?
二、新课讲授
设 e 是与直线 l平行且方向向上（ l的倾斜角不为 0 ） 与坐标轴的单位长度相 同）