函数与方程思想概述
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，在高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。
函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题，具体体现在：①运用函数的性质解决数学问题；②用映射、函数的观点去观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而解决问题；③对解不等式、讨论方程的解的个数或分布、某些参数范围的讨论问题等可通过构造函数，利用函数的性质解决。
方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系，从而建立方程（组）将问题解决的一种思想方法，具体体现在：①解方程及含参数方程的讨论；②可转化为方程（组）求解的讨论问题及构造方程（组）。
下面通过几个具体例题说明它们的应用。
一、运用函数、方程思想转化解决函数、方程和不等式问题【例】若a，b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
思维精析把方程转化成关于ab的不等式。
解法一：（看成函数的值域）：∵ab=a+b+3∴b=而b＞0∴＞0 即∵a＞0 ∴a＞1∴ab=a•==(a-1)++5≥9当且仅当a-1=,即a=3时取等号。
又a＞3时，a-1++5是关于a的单调增函数，∴ab的取值范围是［9,+∞）。
解法二：（看成不等式的解集）：∵a，b为正数，∴a+b≥2又ab=a+b+3∴ab≥2+3即( )2-2-3≥0即≥3或≤-1∴ab≥9解法三：解若设ab=t，则a+b=t-3∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根△=（t-3）2-4t≥0a+b=t-3＞0ab=t＝＞t≤1,t≥9t＞3t＞0 得t≥9 ，即ab≥9。
点拨：从以上解法可以看出，对于同一个问题，用不同的观点去看，会产生不同的想法，从而有不同的处理方法，解法一用函数观点去分析，则应将已知条件变形后去消元；解法二，解法三则利用题中和、积特征构造不等式、方程来求解，它们分别体现了用函数、用不等式、用方程来解决问题的意识，因此，在解题过程中，应多方位、多角度去思考、去探索，选用合理简明的解题途径，以求取得事半功倍之效。
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用（1）一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有时，还需要函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解决问题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。
另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
1.证明：若则为整数．解析：若x＋y＋z＋t＝0，则由题设条件可得，于是此时(1)式的值等于－4．若x＋y＋z＋t≠0，则由此可得x＝y＝z＝t．于是(1)式的值等于4．2.已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x 的方程f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．解：（1）g （x ）=ax 2﹣2ax+1+b ，函数的对称轴为直线x=1，由题意得： ①得②得（舍去）∴a=1，b=0 ∴g （x ）=x 2﹣2x+1，（2）不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，即k设，∴，∴k ≤（t ﹣1）2 ∵（t ﹣1）2min =0，∴k ≤0 （3）f （|2x ﹣1|）+t •（﹣3）=0，即|2x ﹣1|++﹣3t ﹣2=0． 令u=|2x ﹣1|＞0，则 u 2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0记方程①的根为u 1，u 2，当0＜u 1＜1＜u 2时，原方程有三个相异实根，记φ（u ）=u 2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或． ∴时满足题设． 3.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. （1）若()0f x ≤ 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+（*n N ∈且1n >）解：（1）0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数；易知k>0,则max 1()(1)0f x f k =+≤即1k ≥； （2）令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立, 即：ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来很强的创新能力. 因此，函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组，通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况，使问题得以解决．函数思想与方程思想的联系十分密切，解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值；求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数，正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面：(1) 借助有关初等函数的图象性质，解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式，讨论参数的取值范围等问题；(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型，由所构造的函数的性质、结论得出问题的解．由于函数在高中数学中的举足轻重的地位，因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点，对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握，另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视．一、函数思想的应用1．显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知，，若点在线段上，则的最大值为（）(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题，由所在直线方程可得x 与y 的函数关系，转化为函数求值域的问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络2．命题思路与知识要点：2．1一般函数2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：①点P(x ，y)在xy=0； 点P(x ，y)在y ； ②点P(x ，y)x=y ； 点P(x ，y)③点P(x ，y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ，－y)；点P(x ，y)关于y 轴对称的点的坐标是(－x ，y)； 点P(x ，y)关于原点对称的点的坐标是(－x ，－y)；确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
函数与方程思想
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，
建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，
或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善
本 于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中
讲 栏
求静，研究运动中的等量关系.
此二次函数对应的抛物线的对称轴为直线 x0＝－34，
因为 x0≥ 3，所以当 x0＝ 3时，O→P·F→P取得最小值43×3＋2 3
本 －1＝3＋2 3，
讲 栏 目
故O→P·F→P的取值范围是[3＋2 3，＋∞).
开
答案 B
题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题 例 2 如果方程 cos2x－sin x＋a＝0 在(0，π2]上有解，求 a 的
栏 目
x(40－x)≥300，整理得 x2－40x＋300
开 ≤0，解不等式得 10≤x≤30.
答案 C
2.(2013·课标全国Ⅱ)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则
(D)
A.c>b>a
B.b>c>a
本
讲 C.a>c>b
D.a>b>c
栏
目 开
解析 设 a＝log36＝1＋log32＝1＋log123，b＝log510＝1＋log52
充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等
本 式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数
讲 栏
表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.
目 开
(2)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系减少变量
高中数学重要数学思想
一、高中数学重要数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。
这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。
函数与方程思想和数形结合思想
函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1．函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决；(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决；(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系．2．数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面；(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程；(3)数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野． 【百度百科】函数思想/view/2045453.htm 【百度百科】属性结合/view/134322.htm 要点热点探究► 探究点一 列方程（组）解题例1 (1)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90(2)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法，列方程组求数列的首项和公差；(2)根据弦长公式建立关于p 的方程．(1)C (2)2 【解析】 (1)由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，得2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋562d ＝32得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.故选C.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知过焦点的直线方程为y ＝x －p2，联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，消元后得x 2－3px ＋p 24＝0.又|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，解得p ＝2.► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5，则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________．(2)长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差，建立S n 关于n 的函数；(2)将向量坐标化，建立m ＋n 关于动向量OC →的函数关系．(1)4 (2)233 【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2.S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 变式题若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)B 【解析】 e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋(a ＋1)2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋1a 2，因为1a 是减函数，所以当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5，即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)．(1)设a >0，问是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得f (x 0)>g (x 0)？若存在，请求出实数a 的取值范围，若不存在，请说明理由；(2)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解答】 (1)假设存在，即存在x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3，使得， f (x 0)－g (x 0)＝x 0(x 0－a )2－[－x 20＋(a －1)x 0＋a ]＝x 0(x 0－a )2＋(x 0－a )(x 0＋1)＝(x 0－a )[x 20＋(1－a )x 0＋1]>0，当x 0∈⎝⎛⎭⎫－1，a3时，又a >0，故x 0－a <0， 则存在x 0∈⎝⎛⎫－1，a 3，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0， ①当a －12>a 3即a >3时，⎝⎛⎭⎫a 32＋(1－a )⎝⎛⎭⎫a 3＋1<0得a >3或a <－32，∴a >3； ②当－1≤a －12≤a 3即0<a ≤3时，4－(a －1)24<0得a <－1或a >3，∴a 无解．综上：a >3.(2)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．(i)g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝⎛⎭⎫a －12>1⇒a >1或a <－3； (ii)f (x )－1＝0有3个不同的实根，①当a3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍；②当a3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍；③当a 3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a3处取得极大值，f ⎝⎛⎭⎫a 3>1⇒a >3322；所以a >3322； 因为(i)(ii)要同时满足，故a >3322.(注：a >334也对)下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立； 若存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1， 由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ，得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0，当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合，舍去； 当x 0≠a 时，即有x 20－ax 0＋x 0＋1＝0 ①；又由g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1 ②； 联立①②式，可得a ＝0；而当a ＝0时，H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]＝(x 3－1)(－x 2－x －1)＝0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．变式题函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2(a >0)，满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个，则实数a 的取值范围是________．⎝⎛⎦⎤4916，8125 【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )＝(2x －1)2，g (x )＝ax 2的图象，则由两个函数的图象可知，y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点，令：h (x )＝f (x )－g (x )＝(4－a )x 2－4(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个，则需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)<0，h (5)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49－16a <0，81－25a ≥0⇒4916<a ≤8125.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)(2)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫14，－1B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2) 【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数，问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值，通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可；(2)画出抛物线，根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，把问题归结为两点之间的距离．(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4(x <－3)，2x ＋2(－3≤x <1)，4(x >1).画出函数f (x )的图象，如图，可以看出函数f (x )的最大值为4，故只要a 2－3a ≥4即可，解得a ≤－1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，PF ＋PQ ＝PS ＋PQ ，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，代入y 2＝4x 得x ＝14，故点P 坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1，正确选项为A.► 探究点五 数量分析解决图形问题（以数助形）例5 (1)下列四个函数图象，只有一个是符合y ＝|k 1x ＋b 1|＋|k 2x ＋b 2|－|k 3x ＋b 3|(其中k 1，k 2，k 3为正实数，b 1，b 2，b 3为非零实数)的图象，则根据你所判断的图象，k 1，k 2，k 3之间一定成立的关系是( )图22－1A．k1＋k2＝k3B．k1＝k2＝k3 C．k1＋k2>k3D．k1＋k2<k3(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是()图22－2【分析】(1)含有绝对值问题的函数，常去绝对值，转化为分段函数来解决；(2)乌龟的速度是恒定的，表现在时间和路程的图象上是直线上升的，这个过程没有变化；兔子的速度也是恒定的，表现在时间与路程的图象上也是直线上升的，并且比乌龟的时间和路程的图象上升的要快，但中间一段时间内，函数图象是水平的．(1)A(2)B【解析】(1)当x足够小时，y＝－(k1＋k2－k3)x－(b1＋b2－b3)，当x足够大时，y＝(k1＋k2－k3)x＋(b1＋b2－b3)，可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1＋k2－k3＝0.(2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地，故选B.规律技巧提炼1．在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当试题与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量．2．当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想．3．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过形分析这些数量关系，达到解题的目的．4．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
以减少参数的个数， 充分利用条件. 解 :⑴略. (2 ) 设'#=(#+1- ( ， *„=^|~#2 +!-吾 "
(#2+(2-()#+ A =(2 #2 +2( 1-(+")#+( 1-(+")2， 移项得（ （ - ( ) #2 + ((-2") #+! - (1-(+" )2 =0. 所以（ -(2 =0， （ _2"=0 ， A - (1-(+" )2 =0. 解之， 得 (=1， "= ! ， A= 4 . .
I f 为等差数列， 这种方法运算量相对较大， 从函数与方
所以由题得"+厂"„=#+1， 由累加法可得"#=
2
数列的本质是函数， 与其他函数的最大差别:定义 域是离散的， 这就使得很多学生还是不太认可数列是一 种函数， 解决 数 列 问 题 时 ， 也很难想到从函数的角度着 手， 因此对数列难题充满了畏惧.本文只着重研究了函 数与方程思想在解决等差数列含参问题中的应用， 其实 函数与方程思想在解决数列其他问题， 例如， 数列最值 问题、 数列通项公式等方面都非常有帮助， 值得进一步 挖掘. 2.在二次方程的实根分布中的运用 对于一元二次方程根的分布有以下几个类型： （ 1)方 程角度， 其关键是根的判别式及韦达定理 ;（ 2)函数角度， 主要依据是函数图像， 对称轴、 最高点 与 最 低 点 ； （ 3)零 点角 度 ， 主要是零点存在定理. 例3 关于3 的方程"32-2("+1 )3+"-1=0,求当"为何 值时， 分别有以下的结论： (1)方程有一个根； ( ) 方程有一正一负两个根； (3) 两个相异的根都大于1; (4) 一根大于1， 一根小于1 . 解析： （ 1)当"=0时 ， 方程化为-23-1=0,得到3=-■ —， 2 符合题意； 当" + 0时 ， 方程为二次方程， 因为方程有一根， 则# = 12"+4=0， 得到"=-~—. 综上可知， 当"=0或"=-■^■时， 关于3 的方程"32 -2("+ 1 )3+"-1=0 有一根.
小学数学：方程和函数思想
方程和函数思想1．方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具，它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系，因此，本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程，只需要同时满足两个条件：一个是含有未知数，另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题：χ=0 和χ=1是不是方程？根据方程的定义，他们满足方程的条件，都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数，可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等，这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号（常用χ、y等字母）表示，根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合Ａ、Ｂ是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?，如果对于集合Ａ中的任意一个数χ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是χ的函数，记作y＝f(χ)。
其中χ叫做自变量，χ的取值范围Ａ叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与χ相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围Ｂ叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的，自变量只有一个，与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系，一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也相应发生变化，中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化，这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数，但实际上它是存在的，如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：Ｖ＝πr2h。
半径和高有一对取值，体积就会相应地有一个取值；也就是说，体积随着半径和高的变化而变化。
3-24函数与方程思想
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考情分析
化为方程模型加以解决．函数与方程思想几乎渗透到中 学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用．
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要点串讲
函数与方程思想是高中数学的一条主线，也是数学 最本质的思想之一．函数思想使常量数学进入了变量数 学，高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何 等问题都可以转化为函数与方程问题．
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[证明] 令 f(n)＝ (n＝2,3，„)． 则 f(n＋1)＝
1 1 1＋ 1 1＋ 1＋ „ 3 5 2n－1
1＋2n
1 1 1＋ 1 1＋ 1 1＋ 1＋ „ 3 5 2n－1 2n＋1
④
由③④可得所求实数 a 的取值范围是－ 2 1－ 10 ≤a≤ . 2
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[点评] 此类已知恒成立的不等式求参数的问题，常 见的解题思路： 一是分离参数与已知范围的变化， 通过求 函数最值来确定参数的取值范围； 二是数形结合， 寻找参 数满足的关系式， 进而求出参数的取值范围． 在解题过程 中注意区分以下情形： (1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max； (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min； (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min； (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
方程思想涉及的知识点多、知识面广，在概念性、理解
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性、应用性等方面都有一定的要求，所以是高考考查的重 点．我们应用函数与方程思想解题时可以从以下几个方面去
函数与方程思想
一、函数与方程思想(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )>0(或f (x )<0)，就是求函数y ＝f (x )的正(或负)区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．[例1] 长度都为2的向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC ＝m OA ＋n OB ，则m ＋n 的最大值是________．[思维流程]四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．1．(1)若a ，b 是正数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．(2)如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝⎛⎦⎤0，π2上有解，则a 的取值范围为________． [例2] 设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0[思维流程]解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．2．已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，则实数k 的取值范围为________．[例3]已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意x 1∈(0,2)，x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数b 的取值范围．[思维流程]不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．3．设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：(1)当x >1时，f (x )<32(x －1)； (2)当1<x <3时，f (x )<9(x －1)x ＋5.[例4] 若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝_______.[思维流程]数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究． 第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列,求{a n }的通项公式．[例5]椭圆C 的中点为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP ＝3PB(1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围．[思维流程]求椭圆方程→设直线l →联立直线l 与椭圆C 的方程→由Δ>0→得出m 的取值范围 利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．5．如图，椭圆C ：x 2＋y 2m＝1(0<m <1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．(1)若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫95，435，求m 的值； (2)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围．应用函数与方程思想解决问题时应注意以下五个方面的思考和切入(1)函数与不等式的相互转化．对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图像和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．(4)解析几何中的许多问题，如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( )A.12B.13C.25D.492．若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，5) C ．[2，5] D ．(3，5)3．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3) 4．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥05.如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ ＝OA ＋OP ，四边形OAQP 的面积为S ，当OA ·OP ＋S 取得最大值时θ的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π26．已知函数f (x )＝cos x (x ∈(0,2π))有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4.若把这四个数按从小到大的排列构成等差数列，则实数m 的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32二、填空题7．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是________．8．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．9．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．三、解答题10．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．11．如图，曲线M ：y 2＝x 与曲线N ：(x －4)2＋2y 2＝m 2(m >0)相交于A ，B ，C ，D 四个点．(1)求m 的取值范围；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值及此时对角线AC 与BD 的交点坐标．12．已知函数f (x )＝ax 3＋(2－a )x 2－x －1(a >0)．(1)若a ＝4，求f (x )的单调区间；(2)设x 1，x 2,1为关于x 的方程f (x )＝0的实根，若x 1x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的取值范围．。
函数与方程的思想
函数与方程的思想1、专题概述函数思想，就是通过建立函数关系式或构造函数，运用函数的概念和性质等知识去分析、转化和解决问题。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征，重在对问题的变量的动态研究。
方程的思想，就是分析变量间的等量关系，通过构造方程，从而建立方程〔组〕或方程与不等式的混合组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。
方程的思想与函数的思想是密切相关的，方程0)(=x f 的解，就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标，函数式)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-x f y ；函数与不等式也可以相互转化，对于函数)(x f y =，当0＞y 时，就化为不等式0)(＞x f ，借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性态，也离不开不等式。
这种函数与方程、不等式之间的关系表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点，应注意函数思想与方程思想是相辅相成的。
利用函数思想方法解决问题，要求我们必须深刻理解掌握初等图像与性质，以及函数与反函数、最值或值域、图像的变换、函数图像的交点个数，这是必备的基础。
因此，在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。
运用函数思想解题具体表现在：〔1〕遇到变量，构造函数关系，利用函数沟通知识间的联系；〔2〕有关的不等式恒成立、方程根的个数及其一元二次方程根的分布、最值、值域之类的问题转化为函数问题；〔3〕含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，使问题得以解决；〔4〕等差、等比数列中，通项公式、前n 项和公式都可以看成关于自然数n 的函数，因此数列问题可以用函数思想解决；〔5〕解析几何中的直线与直线、直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过方程或方程组解决；〔6〕利用函数)()()(+∈+=N n b a x f n 用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题；〔7〕通过构造函数〔或建立函数关系〕，解决实际或应用问题。
函数与方程思想专题
函数与方程思想专题淮南三中 蔡田1 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函 数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
3函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x 轴交点问题，方程f(x)=a 有解，当且仅当a 属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
例1．若a 、b 是正数，且满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围。
解析：方法一：（看成函数的值域）∵3++=b a ab，∴()31+=-a a b ∵1=a 不满足上式，∴1≠a∴13-+=a ab ，由于0>b ，∴013>-+a a 可得1>a 或3-<a （舍） ∴514)1(14)1(5)1(131322+-+-=-+-+-=-+=-+⋅=a a a a a a a a a a a ab∵1>a ，∴01>-a 由基本不等式得9≥ab当且仅当14)1(-=-a a，即3=a 时，等号成立. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二(看成不等式的解集) ∵a 、b 为正数, ∴ab b a 2≥+，又因为3-=+ab b a∴ab ab 23≥- 即032)(2≥--ab ab解得3≥ab 或1-≤ab （舍去）∴9≥ab ，即ab 的取值范围是[9,+∞).例2：已知a ，b ，c R ∈，0=++c b a ，01=-+bc a ，求a 的取值范围。
函数与方程思想
第一讲 函数与方程思想Z 知识整合hi shi zheng he一、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论， 从而使问题获解．三、函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f (x )＝0，就是求函数y ＝f (x )的零点，解不等式f (x )>0(或f (x )<0)，就是求函数y ＝f (x )的正(或负)区间，再如方程f (x )＝g (x )的解的问题可以转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点问题，也可以转化为函数y ＝f (x )－g (x )与x 轴的交点问题，方程f (x )＝a 有解，当且仅当a 属于函数f (x )的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．命题方向1 函数与方程思想在不等式中的应用例1 (1)已知f (x )＝log 2x ，x ∈[2,16]，对于函数f (x )值域内的任意实数m ，使x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立的实数x 的取值范围为( D )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] 因为x ∈[2,16]，所以f (x )＝log 2x ∈[1,4]，即m ∈[1,4]．不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，即为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立．设g (m )＝(x －2)m ＋(x －2)2， 则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋(x －2)2>0，4(x －2)＋(x －2)2>0，解得x <－2或x >2.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)>f (－2)，则a 的取值范围是(12，32).[解析] 由f ()x 是偶函数且f ()x 在()－∞，0上单调递增可知，f (x )在()0，＋∞上单调递减．又因为f ()2||a －1>f ()－2，f ()－2＝f ()2，所以2||a －1<2，即||a －1<12，解得12<a <32.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．G 跟踪训练en zong xun lian1．(2018·太原一模)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )ex <1的解集为( B )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] 构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x·f ′(x )－e x·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又因为g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )ex <1.即g (x )<1，所以x >0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(0，12]恒成立，则a 的最小值为( C )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3[解析] 因为x 2＋ax ＋1≥0，即a ≥－x 2－1x ＝－(x ＋1x )，令g (x )＝－(x ＋1x )，当0<x ≤12时，g (x )＝－(x ＋1x )递增，g (x )max ＝g (12)＝－52，故a ≥－52，即a 的最小值为－52.命题方向2 解决图象交点或方程根的问题例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x∈[－2,0]时，f (x )＝(13)x －6.若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则实数a [解析] 由f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为4， 因为当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(13)x －6.所以若x ∈[0,2]，则－x ∈[－2,0]， 则f (－x )＝(13)－x －6＝3x －6，因为f (x )是偶函数， 所以f (－x )＝3x －6＝f (x )， 即f (x )＝3x －6，x ∈[0,2]，由f (x )－log a (x ＋2)＝0得f (x )＝log a (x ＋2)， 作出函数f (x ) 的图象如图．当a >1时，要使方程f (x )－log a (x ＋2)＝0恰有3个不同的实数根， 则等价于函数f (x )与g (x )＝log a (x ＋2)有3个不同的交点，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g (2)<f (2)，g (6)>f (6)，即⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3， 解得34<a <2，故a 的取值范围是(34，2)．『规律总结』利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题．(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．G 跟踪训练en zong xun lian已知函数f (x )＝12x －cos x ，则方程f (x )＝π4所有根的和为( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．3π2[解析] ∵f (x )＝12x －cos x ，∴f ′(x )＝12＋sin x ，当x ∈(－π6，7π6)时，∵sin x >－12，∴f ′(x )＝12＋sin x >0，∴f (x )＝12x －cos x 在(－π6，7π6)上是增函数．∵f (π2)＝π4－cos π2＝π4，∴在区间(－π6，7π6)上有且只有一个实数x ＝π2满足f (x )＝π4.当x ≤－π6时，有12x ≤－π12，－cos x ≤1，∴x ≤－π6时，f (x )＝12x －cos x ≤－π12＋1<π4，由此可得：当x ≤π6时，f (x )＝π4没有实数根．同理可证：x ≥7π6时，f (x )＝7π6－1>π4，∴方程f (x )＝π4也没有实数根．综上可知f (x )＝π4，只有实数根π2.故选C ．命题方向3 解决最值或参数范围问题例3 直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则|AB |的最小值为( D )A ．3B ．2C ．324D ．32[解析] 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t ，则t ＋ln t ＝a ，则|AB |＝⎪⎪⎪⎪t －a 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t －t ＋ln t 2＋1＝⎪⎪⎪⎪t 2－ln t 2＋1. 设g (t )＝t 2－ln t2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1，当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0； 当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0， 所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以|AB |≥32，所以|AB |的最小值为32.『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解． (2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．G 跟踪训练en zong xun lian如图，A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，OQ →＝OA →＋OP →，四边形OAQP 的面积为S ，当OA →·OP →＋S 取得最大值时θ的值为( B )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[解析] ∵OA →＝(1,0)，OP →＝(cos θ，sin θ)，∴OA →·OP →＋S ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，故OA →·OP →＋S 的最大值为2，此时θ＝π4.故选B ．命题方向4 函数与方程思想在解析几何中的应用例4 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1， 得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2，因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 则3(x 2＋x 2)2＋4x 1x 2＝0， 即3·(－2km k 2＋2)2＋4·m 2－1k 2＋2＝0，整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0， 当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2，又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0，解得－1<m <－12或12<m <1，即所求m 的取值范围为(－1，－12)∪(12，1)．『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤 第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．G 跟踪训练en zong xun lian若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( B )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[解析] 由c ＝2，得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3.∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y ) ＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)内单调递增， g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．。
六大数学思想之一：函数与方程_最新修正版
数学六大思想之一：函数与方程1、函数零点的定义：（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。
（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点：①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。
②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。
③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。
2.映射定义：设非空集合A,B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A 到B的对应为映射。
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立n m个映射。
3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。
相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。
(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。
5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。
6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。
7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。
第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。
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故曲线C的方程为 。
（Ⅱ）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 ，
故 。
若 ，即 。
而 ，
于是 ，
化简得 ，所以 。
（Ⅲ）
。
因为A在第一象限，故 ，由 知 ，从而 ，又 ，
故 ，
即在题设条件下，恒有 。
[点评]凡是直线与圆锥曲线相交问题中所涉及的知识都要从构建的方程组的解的角度来考虑，同时必须在有解的约束条件下，利用韦达定理代入求解。
(2)函数与不等式之间相互转化的考查：对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；
(3)函数与数列的考查：由于数列是一种特殊的函数，特别是数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，可从函数的观点处理数列问题。
(4)函数 (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；
解：在 中，有 ，
于是有： ，
又由于A，B，C成等差数列，得到 ，
故： ，
因此 是方程 的两根，
解方程得： ，
不妨设 ，则 ，于是
解三角形易求得： 。
[点评]整体考虑，构造方程（组）是运用方程思想的重要环节，应充分使用条件，减少未知数的个数，为解方程创造条件。
模式4、函数、方程思想解二项式定理中的项与值等问题
可看出两函数的图象有两个交点，
所以原方程有两个实根.故选（C）.
[点评]对于求解方程的根的个数时，当不能直接求解时，
可分别构造函数，通过其图象来求解，这是一种处理非常见方程的好方法。
模式二:函数、方程思想解不等式问题
函数、方程与不等式密切相关，利用函数的概念、性质、图象，把方程、不等式问题转化为函数问题来求解，特别在不等式的证明与含参数的范围问题中更有着广泛的应用。
函数与方程思想概述(数学周报藏保将约稿)
(约稿时间：10.27日---------交稿时间11.5****************m)
吉安县二中:肖圣明(343100)
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。其可分为函数思想与方程思想。
函数思想是：运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象或性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决，其精髓是构造函数。
从而有 ，故所求值为0。
[点评]利用二项式定理的特点是构造函数，然后用赋值法比较系数是解这种类型题的通性通法，其关键是函数的构造与赋值的确定。
模式5、函数、方程思想解几中的最值问题
解析几何中的直线与圆锥曲线的相交的弦长问题的处理主要是构建一元二次方程利用韦达定理化简求解，而涉及到圆锥曲线上的动点在某个条件下的变化过程中的相互联系，相互制约的关系则可构成函数关系，借用函数思想来处理。从近年的考题来看常见的题型主要是借用方程思想过渡求其他问题，但韦达定理却起着约束作用。构建函数求最值是其一个亮点。
解：记 ，
依题只须： ，故选Ｂ
［点评］对于一个函数中出现几个变量时，应分析以各个变量为主元下的函数问题的处理难易度，本题若视为以x为主元，a为次元，则应为一种关于x的二次函数，处理起来难度非常大，为此换位思考，则体会到数学的精妙与神奇，激发学习数学与探索数学奥秘的兴趣。
3、分析结构、构造函数求解方程
函数 与二项式定理密切相关，利用这个函数可用赋值法的比较系数法求解与二项式定理有关的问题。从高考卷来看主要见于求值
例8：计算： 的值。
分析：这是一个关于二项式值的计算问题，通过观察其结构特点，可视为一个二项式定理的展开式来处理。
解：考察函数 ，易知 ，
令 ，则一方面有： ，
另一方面有： ，
故得等式： ，
1、构造函数，利用性质求解、证明不等式
例4：证明不等式：
分析：证明不等式常见的方法且最重要的方法是比较法，有作差与作商比较两种，依此思想可转化为要证： ， 成立，
再构造函数 ，从而要证 即可，由函数的单调性入手进行求证。
证明：记 ， ，
又 ，所以 ，即 是递增的。
又 ，所以 ，故原不等式成立。
[点评]对数列型不等式，一改数学归纳法的传统证法，巧用单调函数（数列），妙证不等式.这种证法的一般步骤是：要证 ，可构造 来证 是增函数，且 ；或构造 来证 是增函数，且 （其中 ）。
（1） 恒成立
（2） 恒成立
（3） 有解
（4） 有解
对于“恒成立”的不等式，一般的解决方法是分离然后求函数的最值。
模式3：函数、方程思想解数列问题
数列是一种特殊的函数，故其具有函数所具有的性质，但又受其本身的定义域的限制，因些其取值上又受到限制，常见的应用主要在求范围与最大项问题较多。
1、利用函数求解数列的最值问题
2、求解最值问题
例10：已知椭圆方程 ，在椭圆上是否存在点 到定点 的距离的最小值为1，若存在，求出a的值与点P的坐标，若不存在，请说明理由。
分析：本题属于探索性问题，应先建立目标函数，然后转化为求函数最值的方法求解。
解：设存在点P（x,y）满足条件，则有 ，
由于 ，所以有 ，
，
，即得到： 时， ，
分析：首先应将函数 的表达式求出，再由函数表达式确定图象。
解析：如图示:分别过M、N作其在平面ABCD内的投影 与 ，
易知对应点分别在AB、BC边上，由于过点P的直线MN
与平面 垂直,故其在平面ABCD上投影 与
平面ABCD也垂直,且过点P在底面ABCD上的投影 ,
例3：方程 实根的个数是（ ）
（A）0个 （B）1个
（C）2个 （D）无数多个
分析：从结构式来看所给的方程既不是关于x二次函数方程也不是对数方程，不能套用高中解方程的方法来处理，必须分析结构式，将其移项后适当变形不难发现原方程可化为 ，构造两个函数借用图象处理。
解：原方程可化为：
构造函数 ，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，
记函数 ，由双勾函数图象易知函数在区间 内单调递减，故 有最小值，且 ，从而 ，
因此 ，故选C
[点评]对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立的问题。而对构造的新函数的求解要充分利用其性质与图象，对双勾函数的图象与性质的了解与掌握可大大简化求解思路。另要记住几个常见的有关不等式的恒成立的等价命题：
2、利用方程思想过渡求解
例7：已知 的三个内角A、B、C的大小成等差数列，且有 ，又知顶点C的对边c上的高等于 ，求 的三边a,b,c及三个角。
分析：由题分析应从寻找 为切入口，然后从方程的韦达定理考虑，但是如何由 去求解 ，这又是一个思路转折问题，因此要注意其前提是在三角形中求解，为此从真正入手要从三角形中有关性质来考察。
方程思想是：通过分析问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析，转化问题，使问题易于解决，其精髓是方程（组）的确定。
函数思想与方程思想密切相关，因为函数式也可视为方程式，如：函数式 可看做是二元一次方程： ；又如令 ，得到关于x方程： ，这种相互转化关系十分重要，正因为这样，可以说函数与方程思想几乎渗透到中学教学的各个领域，因此在每年的高考题中凸显其重要性。为帮助同学们更好地掌握这一思想，现从如下几个方面加以概述。
(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，可通过解二元方程组解决，或有些问题通过构造造成函数来解。
(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
四：典例分析
模式一、函数与方程的思想解其相互间性质等问题
运用函数的方法与方程思想来研究和解决问题，其精髓是构建函数或确定方程，通过对近年高考试卷的分析主要体现在下面几个方面。
立体几何中的“运动问题”、“最值问题”等等往往可以借助于函数思想，构建相应的关系式，转化为函数问题来解决。从近年高考的趋势来看常见的有确定图象形状、求长度、面积、体积最值等。
1、构建函数确定其动态变化的图象
例11：如图，动点 在正方体 的对角线 上．过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 ．设 ， ，则函数 的图象大致是（ ）
二：应用模式
模式1、函数与方程的思想解其相互间性质等问题；
模式2、函数、方程思想解不等式问题；
模式3、函数、方程思想解数列问题；
模式4、函数、方程思想解二项式定理中的值问题；
模式5、函数、方程思想解几中的最值问题；
模式6、函数、方程思想解立几中的问题；
模式7、函数、方程思想解决一些实际问题；
三：重要考点解读
［点评］通过对原函数的特点的分析，重新选用变元，确立一种新的函数是一种化难为易的方法，但要注意新函数的定义域的变化。
２、选定主元，揭示函数关系
例２：已知对于任意的 ，函数 的值总大于0，则x的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． 或 Ｃ． Ｄ． 或
分析：由于题意给出的 ，因此可视为以a为主元，x为次元，
重新揭示函数的关系，不妨记 ，得到关于a的一次函数关系了，因此题意转化为在 下求x的范围。
函数与方程思想是高中数学中一种很重要的数学思想，尤其体现在知识点相互渗透的结合中，因此在平时的学习或各种考试中同学们要熟悉这种思想的常见结合形式与处理问题的方法，并会通过一些模式来快速切入。
(1)函数和方程之间转化的考查：对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。同样对于方程f(x)＝0，也可记函数y＝f(x)，或方程y－f(x)＝0，记函数y＝f(x)，从函数的角度来研究。
2、分离变量求解含参数不等式的范围