2021年高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用自主学习
2022新高考第一轮复习 考点32 正弦定理、余弦定理的应用(解析版)
考点32 正弦定理、余弦定理的应用【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．【基础知识回顾】1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A ，B 两点的距离为____________．A ．20 2 mB ．302 mC ．402 mD ．502 m【答案】：D【解析】：由正弦定理得，则AB ＝502(m )．2． 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min ．若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m ．A ．503B ．505C ．507D ．5011【答案】：C【解析】连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507(m )．3． 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile ．此船的航速是__________n mile /h ．A ．16B ．32C ．64D ．128【答案】：B【解析】：设航速为v n mile /h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin30°＝12v sin45°， ∴ v ＝32 n mile /h ．4． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9海里/小时的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救，则舰艇靠近渔轮所需的时间为____________小时． A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】：B【解析】：如图，设舰艇在B ′处靠近渔轮，所需的时间为t 小时，则AB ′＝21t ，CB ′＝9t ．在△AB ′C 中，根据余弦定理，则有 AB ′2＝AC 2＋B ′C 2－2AC ·B ′C cos120°， 可得212t 2＝102＋81t 2＋2·10·9t ·12．整理得360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．故舰艇需23小时靠近渔轮．考向一利用正弦、余弦定理解决距离及角度问题例1、某市电力部门需要在A ，B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A ，B 两地距离． 现测量人员在相距 3 km 的C ，D 两地(假设A ，B ，C ，D 在同一平面上)，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A ，B 距离的43倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？【解析】：在△ACD 中，由已知可得∠CAD ＝30°，所以AC ＝ 3 km ．在△BCD 中，由已知可得，∠CBD＝60°．sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24． 由正弦定理，BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22． cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24． 在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC cos ∠BCA＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23·6＋22·cos75°＝5 ． 所以AB ＝5，故施工单位应该准备电线长为43 5 km变式1、如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心，半径为103 m 的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°． (1) 求烟囱AB 的高度；(2) 如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．【解析】：(1) 设AB 的高度为h ．在△CAB 中，因为∠ACB ＝45°，所以CB ＝h ．在△OAB 中，因为∠AOB ＝30°，∠AEB ＝60°， 所以OB ＝3h ，EB ＝33h ．由题意得3h －3h3＝103，解得h ＝15． 故烟囱AB 的高度为15 m ．(2) 在△OBC 中，cos ∠COB ＝OC 2＋OB 2－BC 22OC ·OB＝300＋225×3－2252×103×153＝56． 所以在△OCE 中，CE 2＝OC 2＋OE 2－2OC ·OE ·cos ∠COE ＝300＋300－600×56＝100．故CE 的长为10 m ．变式2、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 为(3－1) nmile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 为2 nmile 的C 处的缉私船奉命以10 3 nmile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 nmile /h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【解析】： 如题图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在△ABC 中求出BC ，再在△BCD 中求∠BCD ．设缉私船用t h 在D 处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中， ∵ AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴ 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6， ∴ BC ＝6．∵ cos ∠CBA ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC·AB ＝6＋（3－1）2－426·（3－1）＝22， ∴ ∠CBA ＝45°，即B 在C 正东．∵ ∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得 sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t sin120°103t ＝12， ∴ ∠BCD ＝30°．即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．变式3、如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上，此时到达C 处． (1) 求渔船甲的速度； (2) 求sin α的值．【解析】：(1) 依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20海里，∠BCA ＝α．在△ABC 中，由余弦定理， 得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28海里． 所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/小时．(2) 在△ABC 中，因为AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BCsin120°．即sin α＝AB ·sin120°BC＝12×3228＝3314． 方法总结：(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．考向二 正余弦定理在三角形中的运用例2、(2015南京、盐城、徐州二模）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点．已知∠B ＝60°，AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，则AB ＝________.【答案】263【解析】、在△ACD 中，因为AD ＝2，AC ＝10，DC ＝2，所以cos ∠ADC ＝2＋4－102×2×2＝－22，从而∠ADC＝135°，所以∠ADB ＝45°.在△ADB 中，AB sin45°＝2sin60°，所以AB ＝2×2232＝263变式1、(2015南通、扬州、淮安、连云港二调）如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边BC 上，∠BAD ＝45°，则tan ∠CAD 的值为________．【答案】8＋157【解析】、 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD ＝∠A －45°)，也可以从和的角度(∠A ＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A 的正切值，问题就迎刃而解了．解法1 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，由余弦定理可得cos A ＝32＋22－422×3×2＝－14，所以tan A ＝－15，于是tan ∠CAD ＝tan(A －45°)＝tan A －tan45°1＋tan A tan45°＝8＋157.解法 2 由解法1得tan A ＝－15.由tan(45°＋∠CAD )＝－15得tan45°＋tan ∠CAD1－tan45°tan ∠CAD ＝－15，即1＋tan ∠CAD 1－tan ∠CAD ＝－15，解得tan ∠CAD ＝8＋157.变式2、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在ABC △中，已知点D 在边AB 上，3AD DB =，4cos 5A =，5cos 13ACB ∠=，13BC =． （1）求cos B 的值； （2）求CD 的长．B D解析：（1）在ABC △中，4cos 5A =，(0,π)A ∈，所以3sin 5A ==．同理可得，12sin 13ACB ∠=． 所以cos cos[π()]cos()B A ACB A ACB =-+∠=-+∠sin sin cos cos A ACB A ACB =∠-∠312451651351365=⨯-⨯=． （2）在ABC △中，由正弦定理得，1312sin 203sin 135BC AB ACB A=∠=⨯=． 又3AD DB =，所以154BD AB ==． 在BCD △中，由余弦定理得，CD ===变式3、(2016徐州、连云港、宿迁三检）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π4，tan ∠ADC ＝－2.(1) 求CD 的长；(2) 求△BCD 的面积．解析： (1)因为tan ∠ADC ＝－2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－55.所以sin ∠ACD ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－∠ADC －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫∠ADC ＋π4＝sin ∠ADC ·cos π4＋cos ∠ADC ·sin π4＝1010，(6分)在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠DACsin ∠ACD ＝5(2) 因为AD ∥BC, 所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝55，sin ∠BCD ＝sin ∠ADC ＝255 在△BDC 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ，得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7, (12分)所以S △BCD ＝12BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×255＝7.变式4、（2017年苏北四市模拟）如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1) 求cos ∠BAC 的值；(2) 求sin ∠CAD 的值； (3) 求△BAD 的面积．解析： (1) 因为AB →·AC →＝||A B →||A C →cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC→||A B →||A C→＝5013×10＝513.(2) 在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65.由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35. 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(3) 由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35＋513×45＝5665.所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665方法总结：正余弦定理主要就是研究三角形综合的边与角的问题，许多题目中往往给出多边形，因此，就要根据题目所给的条件，标出边和角，合理的选择三角形，尽量选择边和角都比较多的条件的三角形，然后运用正余弦定理解决。
高考数学一轮复习专题训练—正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理和余弦定理及其应用考纲要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数一解两解 一解 一解 无解(1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．4．测量中的几个术语 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ．3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔ cos A <cos B ．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (3)已知三角时，不可求三边．(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 不一定为锐角三角形．2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则cos B ＝( ) A.1116 B ．1316C ．1114D ．1314答案 A解析 由余弦定理知cos B ＝22＋42－322×2×4＝1116.3.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得 AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA，又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠CBA ＝50×2212＝502(m)．4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B ．π3C ．π4D ．π6答案 C解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1. 又C ∈(0，π)，故C ＝π4.5．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A. 5 B ．2 5 C ．4 5 D ．8 5答案 C解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，得AB ＝3，所以AB ＝BC .过点B 作BD ⊥AC ，交AC 于点D ，则AD ＝12AC ＝2，BD ＝32－22＝5，所以tan ∠ABD ＝AD BD ＝25＝255，所以tan ∠ABC ＝2tan ∠ABD1－tan 2∠ABD＝4 5.故选C.6．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( ) A ．2B ．3C ． 2D ． 3答案 (1)75° (2)D解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b <c ，所以B <C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.(2)由正弦定理及b sin 2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.感悟升华 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 【训练1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则 sin C 的值为________．答案 (1)B (2)66解析 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵0°<B <180°，A ＝45°，b >a ，∴B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有2个． (2)设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3. 在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.考点二 正弦定理、余弦定理的应用角度1 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形． 角度2 三角形面积的计算【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，解得c ＝23，所以a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.角度3 以平面几何为背景解三角形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k ，k >0.又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以在△ABD 中，由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，在△BCD 中，因为BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC ，所以CD ＝7×27732＝433.感悟升华 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化． 3．求解几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示． (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【训练2】 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．(2)(2021·西安模拟)如图，在锐角△ABC 中，D 为边BC 的中点，且AC ＝3，AD ＝322，O 为△ABC 外接圆的圆心，且cos ∠BOC ＝－13.①求sin ∠BAC 的值； ②求△ABC 的面积． 解 ①如图所示，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴cos ∠BOC ＝cos2∠BAC ＝1－2sin 2∠BAC ＝－13，∴sin 2∠BAC ＝23，sin ∠BAC ＝63.②延长AD 至E ，使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ， 则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE ＝AB ， 在△ACE 中，AE ＝2AD ＝32，AC ＝3， ∠ACE ＝π－∠BAC ， cos ∠ACE ＝－cos ∠BAC ＝－1－⎝⎛⎭⎫632＝－33，由余弦定理得，AE 2＝AC 2＋CE 2－2AC ·CE ·cos ∠ACE ，即(32)2＝(3)2＋CE 2－2×3·CE ×⎝⎛⎭⎫－33， 解得CE ＝3，AB ＝CE ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝12×3×3×63＝322. 解三角形应用举例一、测量距离问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 【例1】如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°， 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 二、测量高度问题测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等，因而所画图形为立体图形．在画图时，要注意运用空间想象力，解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形，利用直角三角形中的特征关系解决问题，避免复杂的运算．【例2】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.答案30＋30 3解析在△P AB中，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．三、测量角度问题与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，利用正、余弦定理将这些边、角联系起来从而求解．【例3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ， 又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A ．1 B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B ． 5C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C ．12D ．23答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．6．(2021·郑州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( ) A.π12 B ．π6C ．π4D ．π3答案 B解析 由题意得A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，又a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，故cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6. 二、填空题7．(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC 中，若a ＝2，b ＝3，A ＝π6，则cos B ＝________. 答案74解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin Aa ＝3×122＝34，又△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－916＝74. 8.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2，则cos A ＝________.答案 0解析 设BD ＝x (x >0)，则AD ＝3x ，AC ＝2－3x ，BC ＝2－x ， 易知cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC . ∴9x 2＋2－2－3x 22×2×3x＝－x 2＋2－2－x22×2x，解得x ＝13，故AD ＝1，AC ＝1，∴cos A ＝AD 2＋AC 2－CD 22·AD ·AC＝0.9．(2020·长春二模改编)在△ABC 中，C ＝30°，cos A ＝－23，AC ＝15－2，则AC 边上的高为________． 答案5解析 依题意得sin A ＝1－cos 2A ＝53，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53×32－23×12＝15－26. 由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC ·sin A sin B ，所以AC 边上的高为BC ·sin C ＝AC ·sin A ·sin C sin B＝15－2×53×1215－26＝ 5.三、解答题10．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C . 解 (1)由题设及余弦定理， 得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°， 解得c ＝－2(舍去)或c ＝2，从而a ＝2 3. 因此△ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ， 所以sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )， 故sin(30°＋C )＝22. 而0°<C <30°，所以30°<30°＋C <60°， 所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.11．(2021·成都诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a －c )sin(A ＋B )＝(a －b )(sin A ＋sin B )． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，求a ＋c 的最大值．解 (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴(a －c )sin C ＝(a －b )(sin A ＋sin B )． 由正弦定理，得(a －c )c ＝(a －b )(a ＋b )，整理，得c 2＋a 2－b 2＝ac . ∴c 2＋a 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝4，∴a 2＋c 2－16＝ac ， 即(a ＋c )2－16＝3ac . ∵ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴(a ＋c )2－16≤3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴14(a ＋c )2≤16， ∴a ＋c ≤8，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴a ＋c 的最大值为18.B 级 能力提升12．(2021·西安一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝a tan A ＋btan B ，则角C ＝( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．π2答案 D 解析 ∵a ＋b ＝a tan A ＋b tan B， ∴a ＋b ＝a cos A sin A ＋b cos Bsin B ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝sin A cos A sin A ＋sin B cos Bsin B，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－B ， ∴A －π4＝π4－B 或A －π4＋π4－B ＝π，即A ＋B ＝π2或A －B ＝π(舍)，∴C ＝π2，故选D.13．(2020·太原调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ，则a ＋c 的最大值为________． 答案 8解析 由cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ， 得(1－sin 2C )－(1－sin 2B )＝sin 2A ＋sin A sin C ， 即sin 2B －sin 2C ＝sin 2A ＋sin A sin C ，结合正弦定理，得b 2－c 2＝a 2＋ac ，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ， 所以由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3，则A ＋C ＝π－B ＝π3，C ＝π3－A ，且0<A <π3.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由条件得πR 2＝16π， 解得R ＝4，所以由正弦定理，得a sin A ＝c sin C＝2R ＝8， 所以a ＝8sin A ，c ＝8sin C ，所以a ＋c ＝8sin A ＋8sin C ＝8sin A ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝8sin A ＋8⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝4sin A ＋43cos A ＝8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为π3<A ＋π3<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， 即A ＝π6时，a ＋c 取得最大值8.14．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32， ∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎫722－2×5×72×17＝1294， 因此△ABC 的中线AD ＝1292.。
研究课四正弦定理余弦定理的综合应用课件-2025届高三数学一轮复习
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，会用正弦定理、余弦定 理解决三角形中的综合问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析 题型一 多边形中的解三角形问题
例 1 [2024·江西九江模拟]在△ABC中，AC＝ 13，D为∠ABC的角 平分线上一点，且与B分别位于边AC的两侧，若∠ADC＝150°，AD ＝2.
题型三 三角形中的最值、范围问题
例 3 (12分)[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知1c+ossinAA＝1+sicno2s B2B.
(1)若C＝23π，求B； (2)求a2c+2b2的最小值．
思路Байду номын сангаас引
(1)二倍角公式化简→去分母、两角和与差公式化简→求出sin B. (2)由角B，C正余弦关系→角B与角C，A的关系→a2c+2b2化成正弦→用 角B表示角A，C化简→角B的关系式→基本不等式．
而0＜B＜
π 3
，所以B
=
π 6
.→正确求出角B得1分
(2)由(1)知，sin 而sin B＝－cos
BC＝＝－sicnos(CC－＞π20)，→所用以诱π2导＜公C＜式π正，确0＜找B出＜角π2，B，C的正弦关系
得2分
所以C＝π2＋B，即有A＝π2－2B，→用角B表示角C，A得1分
所以a2c+2b2＝sin2sAin+2sCin2 B→正确用正弦定理化边为角得1分
(1)求△DAC的面积； (2)若∠ABC＝120°，求BD的长．
题后师说
平面几何中解三角形问题的求解策略
巩固训练1 [2024·河南焦作模拟]如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝90°， D＝60°，AC＝4，CD＝3. (1)求cos ∠CAD；
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
(优质课)正、余弦定理及其应用
BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城 的南偏西 由城A出发的一 某观测站 在城A的南偏西 °的方向 由城 出发的一 在城 的南偏西20°的方向,由城 条公路,走向是南偏东 ° 在 处测得公路上 处测得公路上B处有一 条公路 走向是南偏东40°,在C处测得公路上 处有一 走向是南偏东 千米,正沿公路向 城走去,走了 人,距C为31千米 正沿公路向 城走去 走了 千米后到 距 为 千米 正沿公路向A城走去 走了20千米后到 此时CD间的距离为 千米,问 这人还要走多少 达D处,此时 间的距离为 千米 问:这人还要走多少 处 此时 间的距离为21千米 千米才能到达A城 千米才能到达 城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、 正弦定理、余弦 定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB
正弦定理、余弦定理的综合应用 课件
规律技巧 将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形 解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角 形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定 理，必要时也可以列出方程(组)求解．
解 在△ABD中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB， 设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°， 即x2－10x－96＝0. ∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD. ∴BC＝BDsi·ns∠in∠BCCDDB＝1s6i·ns1in3350°°＝8 2.
解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝ b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得
a＝2b·a2＋2ba2b－c2，即a2＝a2＋b2－c2. 即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形． 综上知，△ABC为等腰直角三角形．
规律技巧 判定三角形形状时，如果条件中给出了边和 角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角 的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.
正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形问题的几种类型．
在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为
边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角 (如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角 A；由正弦定理求出b与c， 在有解时只有一解
已知条件 应用定理
解 解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得 a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝ 90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1 ＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝ 22.从而B＝45°， ∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
正弦定理与余弦定理的应用(优秀课件)
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应的角的正弦值的比等于三角形的外接圆直径与另一条边 与其对应的角的正弦值的比。数学公式表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，其中a、b、c分别代表 三角形的三边，A、B、C分别代表与边a、b、c相对的角，R代表三角形的外接圆半径。
三角函数值的计算
总结词
利用正弦定理和余弦定理解三 角形，进而计算三角函数值。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而计算三角函数值。
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决 三角形中的角度问题。
详细描述
通过已知的边长和角度，利用 正弦定理和余弦定理解三角形 ，进而解决三角形中的角度问
总结词
利用正弦定理和余弦定理解决经济学中的供需关系和价格波动问题，如预测商品价格、 分析供需平衡等。
详细描述
在经济学中，供需关系决定了商品的价格。通过正弦定理和余弦定理，我们可以分析供 需双方的周期性变化，预测商品价格的波动趋势，为企业制定生产和销售策略提供依据。
05
正弦定理与余弦定理的综 合应用
详细描述
利用正弦定理和余弦定理，可以 推导出海伦公式，从而方便地计 算出三角形的面积。
三角形形状的判断
总结词
通过比较三角形的边长和角度，可以利用正弦定理和余弦定理来判断三角形的 形状。
详细描述
根据正弦定理和余弦定理的性质，可以判断出三角形是否为等腰三角形、直角 三角形或等边三角形等。
03
正弦定理与余弦定理在三 角函数问题中的应用
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高考数学大一轮复习第五章解三角形第32课正弦定理与余弦定理的综合应用文
第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5P 16练习1改编)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则cos C = .【答案】-12【解析】由正弦定理知a ∶b ∶c =7∶8∶13，再由余弦定理得cos C =22278-13278+⨯⨯=-12.2.(必修5P 24复习题1改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a 2-b 2，sin CB ，则角A = .【答案】π6【解析】由sin CB 得c，代入a 2-b 2得a 2-b 2=6b 2，所以a 2=7b 2，a，所以cos A =222-2b c a bc +=，所以角A =π6.3.(必修5P 20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°方向、距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为n mile/h.(第3题)【答案】4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C-sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2，因此B=45°.5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.【答案】π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=222-2a c bac+=22-2a c acac+≥12，因为0<B<π，所以0<B≤π3.1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1 (2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且a sin B(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.【解答】(1)由正弦定理，得a sin B=b sin A.因为b=4，a sin Bsin A=.又0<A<π2，所以A=π3.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×12=28，所以a又因为a sin Bsin B=，所以cos B=.因为D为BC的中点，所以BD=DC在△ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，即AD2=36+7-=19，所以AD.变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sinA sin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90°，且aABC的面积.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac. 又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=222-2a c bac=14.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a所以△ABC的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例2 2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile 的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援.(例2(1))(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h ，求救援船到达客轮遇险位置的时间()；(2)求tan θ的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC 即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin ∠ACB ，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB ，再利用两角和的正切公式即可得出结果.(例2(2))【解答】(1)如图(2)， 在△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos 120°，即BC故救援船到达客轮遇险位置所需时间为403≈1.76 (h ).(2)在△ABC 中，由正弦定理可得sin AB ACB ∠=sin BCBAC ∠，则sin ∠ACB =ABBC ·sin ∠BAC=7.显然∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB=，tan ∠ACB=，而θ=∠ACB +30°.所以tan θ=tan(∠ACB +30°)=00tan tan301-tan30tan ACB ACB ∠∠+=.变式 如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km 的E 港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式)【解答】设∠ABE =θ，船的速度为v km/h ，则BC =43v ，BE =13v ，在△ABE 中，5sin θ=013sin30v，即sin θ=152v . 在△ABC 中，0sin(180-)AC θ=043sin120v ， 即AC=4sin v θ⋅=415v ⋅在△ACE 中，253v ⎛⎫⎪⎝⎭=25+2-2×5××cos 150°，化简得259v 2=25+4003+100=7753，即v 2=93，所以v例3 (2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O 为圆心、半径为的扇形区域OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB (不计B 离河岸的距离)，且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧CD 的交点为E .经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45°，30°和60°.(例3)(1)求烟囱AB 的高度；(2)如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB =h m ，在Rt △ABE 中，∠AEB =60°，可求得EB=h .(1)在Rt △ABO 中，∠AOB =30°，OB，由OEAB .(2)在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，BC =AB ，在△CBO 中，求出cos ∠COB ，在△CEO 中，求CE 的长.【解答】(1)设AB 的高度为h m. 在△CAB 中，因为∠ACB =45°， 所以CB =h .在△OAB 和△EAB 中，因为∠AOB =30°，∠AEB =60°，所以OB，EB=h .-h =15.答：烟囱的高度为15 m.(2)在△OBC 中，OC，OB，BC =15 m ，所以cos ∠COB =222-2?OC OB BC OC OB +=56，所以在△OCE 中，OC，OE，所以CE 2=OC 2+OE 2-2OC ·OE cos ∠COE =300+300-600×56=100.答：CE 的长为10 m.变式 (2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A 处以每小时30 n mile 的速度沿正北方向航行，乙船在B 处沿固定方向匀速航行，B 在A 南偏西75°方向且与A 相距n mile 处.当甲船航行20 min 到达C 处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D 处，此时两船相距10 nmile.(变式(1))(1)求乙船每小时航行多少海里?(2)在C 处的北偏西30°方向且与C相距 n mile 处有一个暗礁E ，暗礁E周围nmile 范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.(变式(2))【解答】(1)如图(2)，连接AD ，由题知CD =10，AC =2060×30=10，∠ACD =60°，所以△ACD 为等边三角形， 所以AD =10，又因为∠DAB =45°， 在△ABD 中，由余弦定理得BD 2=AD 2+AB 2-2AB ×AD cos 45°=100， BD =10，v =10×3=30(n mile/h).答：乙船的速度为每小时30 n mile.(2)在海平面内，以点B 为原点，分别以东西方向作x 轴，以南北方向作y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E 为圆心，半径为r因为∠DAB =∠DBA =45°， 易知直线BD 的方程为y，E 的横坐标为AB cos 15°-CE sin 30°，纵坐标为AB sin 15°+CE cos 30°+AC ，求得A，，C，，E592⎛++ ⎝， 点E 到直线BD 的距离为d 1=点E 到直线AC 的距离为d 2=3故甲船没有危险.以EBD 所得的弦长为l，所以乙船遭遇危险持续时间t=230=115(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续115h后脱险.解三角形中的不等关系微课9● 典型示例例4 如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OPM在线段PQ上.(例4)(1)若OMPM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OMOP由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得sin OM OPM∠=sin OP OMP∠，所以OM=sin45sin(45)OPα+，同理ON=sin45sin(75)OPα+，故S△OMN=12×OM×ON×sin ∠MON=14×22000sin45sin(45)sin(75)OPαα++=0001sin(45)sin(4530)αα+++=⎣⎦====.因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为● 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.● 题组强化1.若△ABC的内角满足sin A+B=2sin C，则cos C的最小值是.【答案】【解析】由sin AB=2sin C及正弦定理可得a=2c，所以cosC=222-2a b cab+=222-2a bab+⎝⎭=22328a bab+≥=，当且仅当3a2=2b2，即abcos C的最小值为.2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则ab的取值范围是.【答案】)【解析】因为A+B+C=180°，A=2B，△ABC为锐角三角形，所以30°<B<45°，所以ab=sin2sinBB=2cos B∈).3.已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.(第3题)【答案】70 43【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.因为AB =200，所以BD =200-80t ，问题就转化为求DE 最小时t 的值.由余弦定理，得DE 2=BD 2+BE 2-2BD ·BE cos 60°=(200-80t )2+2 500t 2-(200-80t )·50t =12 900t 2-42 000t +40 000.当t =7043时，DE 最小.4.(2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路X 'X ，Y 'Y ，交点为O ，甲、乙两人分别在OX ，OY 上，甲的起始位置与点O 相距3 km ，乙的起始位置与点O 相距1km.后来甲沿XX '的方向、乙沿YY '的方向同时以4 km/h 的速度步行.(第4题)(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2)设t h 后甲、乙两人的距离为d (t )，写出d (t )的表达式，当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.【解答】(1)(2)设t h 后两人的距离为d (t )，则当0≤t ≤14时，d (t当t >34时，d (t； 当14<t ≤34时，d (t所以d (tt ≥0)， 当t =12答：当t =121.(2015·北京卷)在△ABC 中，已知a =3，bA =2π3，则角B = . 【答案】π4【解析】由正弦定理，得sin a A =sin b B，即=，所以sin B=，因为b <a ，所以角B =π4.2.(2016·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A =2tan B ，a 2-b 2=13c ，则c = .【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A =2tan B ⇒2221-b c a +=2222-a c b +⇒3a 2-3b 2=c 2，又a 2-b 2=13c ，所以c 2-c =0，解得c =1或c =0(舍去)，故c =1.3.为了测量塔AB 的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C ，D ，E ，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD =30 m ，DE，则θ= ，塔高AB = m. 【答案】15°15(第3题)【解析】如图，设塔脚为B ，由题意得∠ADE =2∠ACD =2θ，可知△ACD 为等腰三角形，所以AD =30，同理△ADE 也是等腰三角形，AE=10，在△ADE 中，cos 2θ==，所以2θ=30°，所以θ=15°，AB =AE sin 4θ=AE=15(m).4.(2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点.已知∠B =60°，AD =2，ACDCAB =.(第4题)【答案】3【解析】在△ACD 中，因为AD =2，AC，DC所以cos ∠ADC=-2，从而∠ADC =135°，所以∠ADB =45°.在△ADB 中，0sin45AB =02sin60，所以AB=2⨯=3.5.(2015·苏州期末)如图，某生态园将三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200 m ，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(第5题)(1)若围墙AP ，AQ 的总长度为200 m ，问：如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大?(2)已知AP 段围墙高1 m ，AQ 段围墙高1.5 m ，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省? 【解答】(1)设AP =x m ，AQ =y m ， 则x +y =200，x >0，y >0.△APQ 的面积S =12xysin 120°=xy .因为xy ≤2x y 2+⎛⎫ ⎪⎝⎭=10 000，当且仅当x =y =100时取等号. 所以当AP =AQ =100 m 时，可使三角形地块APQ 的面积最大. (2)由题意得100×(1×x +1.5×y )=20 000， 即x +1.5y =200.在△APQ 中，PQ 2=x 2+y 2-2xy cos 120°=x 2+y 2+xy ，即PQ 2=(200-1.5y )2+y 2+(200-1.5y )y =1.75y 2-400y +40 000，其中0<y <4003. 则当y =8007，x =2007时，PQ 2取得最小值，从而PQ 也取得最小值. 所以当AP =2007 m ，AQ =8007 m 时，可使竹篱笆用料最省.【融会贯通】融会贯通 能力提升已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan C =222-ab a b c +.(1)求角C 的大小；(2)当c =1时，求a 2+b 2的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1) 由已知及余弦定理，得sin cos C C =2cos ab ab C ，所以sin C =12. (2)分因为C 为锐角，所以C =30°.………………………………………………4分(2)由正弦定理，得sin a A =sin b B =sin cC =112=2， …………………………5分所以a =2sin A ，b =2sin B =2sin(A +30°).a 2+b 2=4[sin 2A +sin 2(A +30°)]=401-cos21-cos(260)22A A ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=41111-cos2-cos2222A A A ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =4-3cos 2AAA -60°).……………………………………………………………………8分由000000900150-90A A ⎧<<⎨<<⎩，，得60°<A <90°，…………………………………………10分 所以60°<2A -60°<120°，2<sin(2A -60°)≤1 .………………………………12分所以7<a2+b2所以a2+b2的取值范围是(7，【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第63~64页.【检测与评估】第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、填空题1.轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25 n mile/h，轮船B的航行速度是15 n mile/h，下午2时两船之间的距离为.2.小明同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是.3.如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，今沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离为m.(第3题)4.已知△ABC的等比数列，则其最大角的余弦值为.5.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向、相距20 n mile 的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile 的C 处的乙船.设乙船朝北偏东θ度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ= .(第5题)6.如图，在△ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC=3，AD=3，那么BD的长为.(第6题)7.(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =2，cos C=-14，3sin A=2sin B ，则c = .8.(2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在北偏西60°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶D 在北偏西15°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m .(第8题)二、 解答题9.如图，在△ABC 中，sin 2ABC=3，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=3.(1)求BC 的长. (2)求△DBC 的面积.(第9题)10.(2015·南京三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a cos C+c cos A=2b cos A. (1)求角A 的大小；(2)求sin B+sin C 的取值范围.11.如图，在海岛A 上有一座海拔1 km 的山，山顶设有一个观察站P ，上午9时，测得一轮船在海岛北偏东30°、俯角为30°的B 处，到9时10分又测得该船(船直线航行)在海岛北偏西60°、俯角为45°的C 处. (1)求船的航行速度；(2)在C 处，该船改为向正南方向航行，且不改变速度，10min 后到达什么位置(以点A 为参照点)?(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在△ABC 中，已知·cos ·cos b C c B =1cos21cos2CB ++，则△ABC 的形状为 .13.在不等边三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B+C)<sin 2B+sin 2C ，则角A 的取值范围是 .【检测与评估答案】第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用1. 70 n mile 【解析】设轮船A ，B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE=25×2=50(n mile)，CF=15×2=30(n mile)，且∠ECF=120°，所以70.2.【解析】如图，由条件知AB=24×1560=6，在△ABS 中，∠BAS=30°，AB=6，∠ABS=180°-75°=105°，所以∠ASB=45°.由正弦定理知0sin30BS =0sin45AB ，所以BS=0sin45AB ·sin 30°=.(第2题)3.20【解析】如图，由题设知△BDC 为等腰直角三角形，故DB=40.由∠ACB=60°和∠ADB=60°知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠BAD=∠BCD=45°.在△BDA 中，运用正弦定理可得AB=(第3题)4.-4 【解析】设最小边为a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值为cos α.5.14 【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D ，则∠DAC=60°，AC=10，所以AD=5，CD=BD=25，BC=sin θ=sin ∠DCB=BD BC=14.(第5题)6.【解析】因为AD ⊥AC ，所以∠DAC=90°，所以在△ABD 中，cos ∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin ∠BAC=3，所以7. 4 【解析】由3sin A=2sin B 及正弦定理得3a=2b ，又因为a=2，所以b=3，由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=4+9-2×2×3×1-4⎛⎫⎪⎝⎭=16，所以c=4.8.【解析】在△ABC 中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根据正弦定理知sin BC BAC ∠=sin AB ACB ∠，即BC=sin AB ACB ∠×sin ∠BAC=×12=CD=BC×tan ∠DBC==9. (1) 因为sin2ABC∠=，所以cos ∠ABC=1-2×13=13.在△ABC 中，设BC=a ，AC=3b ，则由余弦定理可得9b 2=a 2+4-43a ， ①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB=2164-4b +，cos ∠BDC=2216-b a +.因为cos ∠ADB=-cos ∠BDC ，所以2164-4b +=-2216-b a +，所以3b 2-a 2=-6. ②由①②可得a=3，b=1，即BC=3.(2) 由(1)得△ABC的面积为12×2×3×=DBC的面积为.10. (1) 因为a cos C+c cos A=2b cos A，所以sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A，即sin(A+C)=2sin B cos A.因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin B.从而sin B=2sin B cos A，因为sin B≠0，所以cos A=1 2.因为0<A<π，所以A=π3.(2) sin B+sin C=sin B+sin2π-3B⎛⎫⎪⎝⎭=sin B+sin2π3cos B-cos2π3sin B=32sinB+cosπ6B⎛⎫+⎪⎝⎭.因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6.所以sin B+sin C的取值范围为2⎛⎝.11. (1) 如图，在Rt△APB中，∠APB=60°，PA=1，所以在Rt△PAC中，∠APC=45°，所以AC=PA=1.在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，所以2.所以船的航行速度是2÷16=12(km/h).(第11题) (2) 设10 min后该船到达点D.因为该船向正南方向航行，所以∠ACD=60°，CD=12×16=2.在△ACD中，由余弦定理得AD2=CD2+AC2-2CD×AC×cos ∠ACD=4+1-2×2×1×12=3，所以所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90°.而∠EAC=30°，所以∠EAD=90°-30°=60°，所以10 min后该船距离在点A南偏西30°、距离A处.12.等腰或直角三角形【解析】由题设得1cos21cos2CB++=222cos2cosCB=22coscosCB=·cos·cosb Cc B，所以coscosCB=bc.由正弦定理知bc=sinsinBC，所以sinsinBC=coscosCB，所以sin C cos C=sin B cos B，即sin 2C=sin 2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C=2B或2C+2B=180°，所以B=C或B+C=90°，故三角形为等腰或直角三角形.13.ππ32⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由题意得sin2A<sin2B+sin2C，再由正弦定理得a2<b2+c2，即b2+c2-a2>0，则cos A=222-2b c abc+>0，因为0<A<π，所以0<A<π2.又a为最大边，所以A>π3.因此角A的取值范围是ππ32⎛⎫ ⎪⎝⎭，.。
高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定
第32课正弦定理与余弦定理的综合应用一、填空题1. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=3sinAsinC,则角B= .2. 如图,在△ABC中,点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为.(第2题)3. 一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3h该船实际航行路程为.4. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B= .5. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若-2cosA cosCcosB=2-c ab,则sinCsinA= .6. 如图,测量河对岸的旗杆AB的高时,选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=75°,∠BDC=60°,CD=a,并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°,则旗杆高AB为.(第6题)7. 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=6,b=4,C=120°,那么sinB 的值是 .8. 已知甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高度相差 .二、 解答题9. 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79.(1) 求a,c 的值; (2) 求sin(A-B)的值.10. 甲舰在A 处,乙舰在A 的南偏东45°方向、距A 有9n mile 的B 处,并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲舰以28n mile/h 的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间,能尽快追上乙舰?11. (2014·南京、盐城一模)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=3.(1) 若△ABC 求a,b;(2) 若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用1. 6π解析:由正弦定理及已知可得a 2+c 2-b 2=3ac,所以cosB=222-b 2a c ac +=3ac =32,所以B=6π.2. 3 解析:cos ∠BAD=cos(∠BAC-90°)=sin ∠223,在△ABD中,BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·ADcos ∠BAD=2(32)+32-2×32×3×223=3,所以BD=3.3. 6km 解析:如图,在△ABC 中,AB=23,BC=43,∠ABC=60°,所以AC 2=2(23)+2(43)-2×23×43cos60°=36,故AC=6.(第3题)4. 3π或23π 解析:由(a 2+c 2-b 23得a 2+c 2-b 2=3ac ,根据余弦定理得cosB=222-2a c b ac +,所以cosB=3,即tanBcosB=3,所以sinB=3,所以B=3π或B=23π.5. 2 解析:由正弦定理得-2cosA cosC cosB =2-c a b =2-sinC sinAsinB ,即sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB,即sin(A+B)=2sin(B+C),即sinC=2sinA,所以sinCsinA =2.6. a 解析:在△BCD 中,由正弦定理得045a sin =060BC sin ⇒a,在Rt △ABC中,AB=BCtan60°aa.7. 解析:因为c 2=a 2+b 2-2abcosC=62+42-2×6×4cos120°=76,所以.由正弦定理得sinB=bsinCc4.8. m 解析:由直角三角形中的边角关系,可知甲、乙两楼的高度相差m.9. (1) 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB, 即b 2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又a+c=6,b=2,cosb=79,所以ac=9,解得 a=3,c=3.(2) 在△ABC 中,由正弦定理得sinA=asinB b=.因为a=c,所以A 为锐角,所以=13,故sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=10. 设甲舰沿南偏东θ,th 能最快追上乙舰,相遇点记为C(如图所示),(第10题)则在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120°. 由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BCcos ∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t ×1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭,整理得128t 2-60t-27=0,解得t=34, 故BC=15n mile,AC=21n mile.由正弦定理得0120AC sin =BCsin BAC ∠,所以sin ∠BAC=1521×3=53,sin θ=sin(45°-∠BAC)=112-56,θ≈6.8°.故甲沿南偏东6.8°,34h 能最快追上乙舰.11. (1) 由余弦定理及已知条件得a 2+b 2-ab=4. 又因为△ABC 的面积为3,所以123,得ab=4.联立方程组22-4,4,a b ab ab ⎧+=⎨=⎩ 解得a=2,b=2.(2) 由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 所以sinBcosA=2sinAcosA.若cosA=0,则A=2π,B=6π,a=43,b=23,所以△ABC 的面积S=12bc=23.若cosA ≠0时,则sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立22-4,2,a b abb a⎧+=⎨=⎩解得a=,b=.所以△ABC的面积S=12absinC=.综上,△ABC的面积为.。
高考数学统考一轮复习课后限时集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析新人教
学习资料课后限时集训（三十二) 正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时:40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°,且AC＝BC，则点A在点B 的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示,由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°。
利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．]2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为（) A．错误!m B．错误!mC．错误!m D．错误!mA［如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°,∴∠BCA＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200 m，∴AC＝错误!m。
在△ACD中，由正弦定理,得错误!＝错误!，即DC＝错误!＝错误!（m）．］3．（2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B，C两点间的距离是（）A．6错误!海里B．6错误!海里C．8错误!海里D．8错误!海里A［由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°,∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°－65°＝45°，∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°。
又AB＝24×0.5＝12，在△ABC中，由正弦定理得ABsin 45°＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC＝6错误!，故选A．］4．已知△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为()A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!C［因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当a＝b时等号成立,故选C．］5．在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)（a＋b＋c)＝3ab,且c＝4，则△ABC面积的最大值为(）A．8 3 B．4 3 C．2 3 D．错误!B[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab,则cos C＝错误!＝错误!＝错误!.由C∈（0，π)，所以sin C＝错误!。
【步步高】（广东专用）2021高考数学大一轮温习 5.2 正弦定理和余弦定理应用举例导学案 理(1)
正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方式解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理 1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如下图)2．方位角一样指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． 3．方向角：相关于某一正方向的水平角．(如下图) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°抵达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°抵达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如下图) 5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝h l＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的大体思路运用正、余弦定理处置实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也确实是如何把握一个抽象、归纳的问题，即成立数学模型．自我检测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，那么α，β之间的关系是 ( ) A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．(2020·承德模拟)如下图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，那么灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°3．如下图，为了测量某障碍物双侧A 、B 间的距离，给定以下四组数据，不能确信A 、B 间距离的是 ( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角别离是30°、60°，那么塔高为________m. 5．(2020·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探讨点一 与距离有关的问题例1 (2020·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船当即前去营救，其航行速度为30海里/时，该救援船抵达D 点需要多长时刻？变式迁移1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 动身有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米抵达D ，现在测得CD 为21千米，求这人在D 处距A 还有多少千米？探讨点二 测量高度问题例2 如下图，测量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得∠BCD ＝α，∠BDC ＝β，CD ＝s ，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，假设沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探讨点三 三角形中最值问题例3 (2020·江苏)某爱好小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)，示用意如下图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析假设干测得的数据后，以为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，能够提高测量精度．假设电视塔实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？变式迁移3 (2020·宜昌模拟)如下图，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 别离在PC 的双侧，求四边形OPDC 面积的最大值．1．解三角形的一样步骤 (1)分析题意，准确明白得题意．分清已知与所求，尤其要明白得应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)依照题意画出示用意．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算进程中，要算法精练，计算正确，并作答．(4)查验解出的答案是不是具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． (总分值：75分)一、选择题(每题5分，共25分)1．若是等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( ) A.518B.34C.32D.782．(2020·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就能够够计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．503 mC ．252 mD.2522m3．△ABC 的两边长别离为2,3，其夹角的余弦值为13，那么其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928D ．924．(2020·沧州模拟)某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离起点恰好是 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．23C.3或2 3 D．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，那么这只船的速度是每小时( )A．5海里B．53海里C．10海里D．103海里6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到那个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2020·台州模拟)某校运动会揭幕式上举行升旗仪式，旗杆正益处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角别离为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．假设国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2020·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B 行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，那么运动开始________h后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2020·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角别离为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探讨图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精准到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如下图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，现在两船相距20海里．当甲船航行20分钟抵达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，现在两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2020·福建)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部份为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部份为折线段MNP ，为保证参赛运动员的平安，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离； (2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 答案 自我检测 1．B 2.B 3.A 4.40035．解 由cos∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin∠ADC ＝45，从而sin∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin∠ADC cos B －cos∠ADC sin B ＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得，AD sin B ＝BDsin∠BAD ，因此AD ＝BD ·sin Bsin∠BAD ＝33×5133365＝25.课堂活动区例1 解题导引 这种实际应用题，实质确实是解三角形问题，一样都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，第一要正确地画出符合题意的示用意，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要适当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要适当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin∠DAB ＝ABsin∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin∠ADB ＝53＋3·sin 45°sin 105°＝53＋3·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)， ∴需要的时刻t ＝3030＝1(小时)．故救援船抵达D 点需要1小时． 变式迁移1 解如下图，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，因此sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin Bsin A＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)， 因此AD ＝AB －BD ＝15.故这人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确明白得仰角、俯角的概念，画出准确的示用意，恰本地选取相关的三角形和正、余弦定理慢慢进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin∠BDC ＝CDsin∠CBD ，因此BC ＝CD ·sin∠BDCsin∠CBD＝s ·sin βsin α＋β， 在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝s ·tan θsin βsin α＋β.变式迁移2 解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°， 由正弦定理得，CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时， 测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°. 在Rt△BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. ∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中， AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)． 故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题一般是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方式加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．假设研究最值，常利用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd .因此tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ＝h d ＋H H －h d≤h 2H H －h，当且仅当d ＝H H －hd，即d ＝H H －h ＝125×125－4＝555时，上式取等号，因此当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，那么0<α－β<π2，因此当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ， 那么在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ.∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.因此四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C 6．30 2 km8.7043 解析如下图：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，那么AD ＝80t ，BE ＝50t . 因为AB ＝200，因此BD ＝200－80t ， 问题确实是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60° ＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12900t 2－42000t ＋40000. ∴当t ＝7043时，DE 最小．9．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，因此CD ＝AC ＝0.1.………………………………………………………………………(2分) 又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 因此△ABC ≌△CBD ，因此BA ＝BD .……………………………………………………………………………(6分) 在△ABC 中，AB sin∠BCA ＝ACsin∠ABC ，即AB ＝AC ·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)因此BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分) 10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分)因此乙船的速度大小为 10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)11．解方式一 (1)依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分)当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分)(2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5. 设∠PMN ＝θ，那么0°<θ<60°. 由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分) ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分) ∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分) 方式二 (1)同方式一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分) 即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25.故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， ……………………………………………………………………………………………(10分)从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033. 当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学-人教版高三全
【南方凤凰台】（某某专用）2016届高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学要点导学 各个击破正、余弦定理的综合应用在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且bsin A=3acos B.(1) 求角B 的大小;(2) 若b=3,sin C=2sin A,求a,c 的值.[思维引导]对于(1),可结合正弦定理将bsin A=acos B 转化为角的关系,然后再求角B 的大小;对于(2),可先结合余弦定理求边a,然后再求c.[解答](1) 因为bsin A=3acos B,由正弦定理可得sin Bsin A=3sin Acos B,即3,所以B=3π.(2) 因为sin C=2sin A,由正弦定理得c=2a,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accosB,9=a 2+4a 2-2a ·2acos 3π,解得a=3,所以c=2a=23.【题组强化·重点突破】1. 在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若sinA=3sinC,B=30°,b=2,则△ABC 的面积是.[答案]3[解析]由正弦定理得a=3c,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB,即4=3c 2+c 23c ·c ·cos30°,所以c=2,a=23,所以S=12acsin30°3.2. (2014·某某质检)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足a=2sinA,cosB cosC +2a c +bc =0.(1) 求c的值;(2) 求△ABC面积的最大值.[解答](1) 因为cosBcosC+2ac+bc=0,所以ccosB+2acosC+bcosC=0,所以sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0, 所以sinA+2sinAcosC=0.因为sinA≠0,所以cosC=-1 2,因为0<C<π,所以C=23π,所以c=asinA·.(2) 因为cosC=-12=22-32a bab+,所以a2+b2+ab=3,所以3ab≤3,即ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号,所以S△ABC=12absinC≤,所以△ABC面积的最大值为.3. (2014·某某期末)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+12c=b.(1) 求角A的大小;(2) 若求边c的大小.[解答]方法一:(1) 由正弦定理和acosC+12c=b,得sinAcosC+12sinC=sinB.因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以12sinC=cosAsinC.因为sinC ≠0,所以cosA=12.因为0<A<π,所以A=3π.(2) 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA,a=15,b=4,得15=16+c 2-2×4×c ×12,即c 2-4c+1=0,解得c=2±3.方法二:(1) 由射影定理及acosC+ccosA=b,得cosA=12,而0<A<π,所以A=3π.(2) 由正弦定理asinA =b sinB 及sinA=32,a=15,b=4,解得sinB=255.由三角形大边对大角,小边对小角,知cosB=±55,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sin BcosA=32×55⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭+12×255=251510±,再由正弦定理得a sinA =csinC ,求得c=2±3.解三角形的实际应用问题如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=5,AC=9,∠BCA=30°,∠ADB=45°,求BD 的长.(例2)[思维引导]由于AB=5,∠ADB=45°,因此要求BD,可在△ABD 中,由正弦定理求解,关键是确定∠BAD 的正弦值.在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠ACB=30°,因此可用正弦定理求出sin ∠ABC,再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可.[解答]在△ABC中,AB=5,AC=9,∠BCA=30°.由正弦定理得ABsin ACB∠=ACsin ABC∠,则sin∠ABC=·AC sin BCAAB∠=9305sin⨯=910.因为AD∥BC,所以∠BAD=180°-∠ABC,所以sin∠BAD=sin∠ABC=9 10.同理,在△ABD中,AB=5,sin∠BAD=910,∠ADB=45°,由正弦定理得ABsin ADB∠=BDsin BAD∠,解得BD=922.[精要点评]此题需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,求cosθ.(例3)[思维引导]先由正弦定理求得sin∠BAC,注意到θ=∠ACB+30°,再利用两角和的余弦求解.[解答]在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2 800,所以7 .由正弦定理得sin∠ACB=ABBC ·sin∠BAC=217.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,故cos∠ACB=27 7.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=277×32-217×12=2114.[精要点评]恰当选择三角形利用正、余弦定理解出所需要的边和角,再利用两角和与差的三角函数公式求解.(2014·某某卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7 .(1) 求cos∠CAD的值;(2) 若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=216,求BC的长.[解答](1) 在△ADC中,由余弦定理得cos∠CAD=222-2?AC AD CDAC AD+27277.(2) 设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-714,所以sin∠21-cos CAD∠2271-7⎛⎫⎪⎪⎝⎭=21,sin∠BAD=21-cos BAD∠=271--14⎛⎫⎪⎪⎝⎭=32114.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=32114×277-7-14⎛⎫⎪⎪⎝⎭×217=3 2.在△ABC中,由正弦定理得BCsinα=ACsin CBA∠,故BC=ACsinsin CBAα∠=372216⨯=3.如图,在一条海防警戒线上的点A,B,C处各有一个水声监测点,B,C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8s后A,C点同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(X题赏析)(1) 设点A到目标P的距离为x km,用x表示点B,C到目标P的距离,并求x的值;(2) 求目标P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01 km).[规X答题](1) 依题意,有PA=PC=x,PB=x-1.5×8=x-12.(2分)在△PAB中,AB=20,cos∠PAB=222-2?PA AB PBPA AB+=22220-(-12)220x xx+⨯=3325xx+.(4分)同理,在△PAC中,AC=50,cos∠PAC=222-2?PA AC PCPA AC+=22250-250 x xx+⨯=25x.(6分)因为cos∠PAB=cos∠PAC,所以3325xx+=25x,解得x=31.(8分)(2) 作PD⊥AC于点D,则D为AC的中点,AD=25. 在△ADP中,由cos∠PAD=2531,得sin∠PAD=21-cos PAD∠=42131.(12分)所以PD=PA·sin∠APD=31×42131=421≈18.33 km.故静止目标P到海防警戒线AC的距离约为18.33 km.(14分)1. 如果某人朝正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好为3km,那么x=.[答案]3或3[解析]由余弦定理可得x2+32-2×3×xcos 30°3)2,解得x=233.2. 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=.[答案]2 3π3. 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为m.(第3题)[答案]502[解析]由正弦定理得ABsin ACB∠=ACsinB,所以AB=ACsin ACBsinB∠=250212⨯=502(m).4. 在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时,风向是北偏东30°,风速是20 km/h;水的流向是正东方向,流速是20 km/h.若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东,速度的大小为km/h.[答案]60°203[解析]如图,∠AOB=60°,(第4题)由余弦定理知OC2=202+202-800cos 120°=1 200,故OC=203.易得∠BOC=30°,所以救生艇漂行的方向为北偏东60°. [温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第63-64页).。
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2021年高考数学大一轮复习第五章第32课正弦定理与余弦定理的综合应
用自主学习
1. 测量问题的有关名词
(1) 仰角和俯角:是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角,目标视线在水平视线下方时叫作俯角.
(2) 方向角:是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30°,南偏西45°.
(3) 方位角:是指北方向顺时针转到目标方向线的角.
(4) 坡角:是指坡面与水平面所成的角.
(5) 坡比:是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.
2. 求解三角形实际问题的基本步骤
(1) 分析:理解题意,弄清已知和未知,画出示意图;
(2) 建模:根据条件和目标,构建三角形,建立一个解三角形的数学模型;
(3) 求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求数学模型的解;
(4) 检验:检验上述所求的角是否符合实际意义,从而得到实际问题的解.
1. (必修5P16练习1改编)在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13,则cos C=.
[答案]-
[解析]由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13,再由余弦定理知cos C==-.
2. (必修5P24复习题1改编)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=.
[答案]
[解析]由sinC=2sinB得c=2b,代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a=b,所以cosA==,所以A=.
3. (必修5P24复习题2改编)在△ABC中,若a-b=ccosB-ccosA,则△ABC的形状为.
[答案]等腰或直角三角形
[解析]方法一:因为a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sin(B+C)-sin(A+C)=sinCcosB-sinCcosA,所以sinBcosC+cosBsinC-sinAcosC-cosAsinC=sinCcosB-sinCcosA,所以cosC·(sinB-sinA)=0,所以cosC=0或sinB=sinA,所以C=90°或B=A,所以△ABC为等腰或直角三角形.
方法二:因为a-b=ccosB-ccosA,所以a-b=c-c,所以(a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2,所以△ABC为等腰或直角三角形.
4. (必修5P17习题6改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A+csin C-asin C=bsin B,那么B=.
[答案]45°
[解析]由正弦定理得a2+c2-ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,故cos B=,因此B=45°.
5. (必修5P24复习题7改编)如图,已知∠A为定角,点P,Q分别在∠A的两边上,PQ为定长,则△APB的面积最大值为.
(第5题)
[答案]
[解析]设∠A=α,PQ=a,AP=x,AQ=y,其中α,a为定值,由余弦定理得a2=x2+y2-2xycos
=xysinα≤,α≥2xy-2xy·cosα=2xy(1-cosα),因为1-cosα>0,所以xy≤,所以S
△APQ
当且仅当x=y时取等号. <?29707 740B 琋25157 6245 扅24711 6087 悇"20777 5129 儩w23456 5BA0 宠 h35873 8C21 谡g31408 7AB0 窰。