北师大版数学必修4课时作业：2弧度制
高中数学必修4(北师版)第一章1.3 弧度制(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
10 < r < 10．于是扇形的面积为 π+1 1 10 S = (20 − 2r)r = −(r − 5)2 + 25( < r < 10)．当 r = 5 时，l = 10 ，α = 2，S 取得 2 π+1 最大值，此时最大值为 25cm2 ．故当扇形的圆心角 α 等于 2 弧度时，这个扇形的面积最大， 最大面积是 25cm2 ． 1 （2）设扇形的半径是 r ，弧长是 l ，扇形的周长为 y ，则 y = l + 2r．由题意得 lr = 25，则 2 50 50 ，所以 y = l= + 2r．利用函数单调性的定义可证明：当 0 < r ≤ 5 时，函数 r r 50 50 y= + 2r 是减函数；当 r > 5 时，函数 y = + 2r 是增函数．所以，当 r = 5 时，y r r l 取得最小值 20，此时 l = 10 ，α = = 2 ，即当扇形圆心角为 2 弧度时，扇形周长取最小值为 r 20． 0 < 20 − 2r < 2πr，所以
π rad 的角的正弦．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度 3 数是 0 ．如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧的长为 l ，那么角 α 的弧度数的绝对值是 l ．这里， α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定． |α| = r
角度与弧度的换算
π 表示 3
360 ∘ = 2πrad, 180 ∘ = πrad π rad ≈ 0.01745rad 1∘ = 180 180 ∘ 1rad = ( ) ≈ 57.30∘ = 57∘ 18 ′ π
解：15∘ = 15 × （1）一个扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出 这个扇形面积的最大值． （2）一个扇形的面积为 25cm 2 ，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的周长最小？并求 出这个扇形周长的最小值． 解：（1）设扇形的半径为 r ，则弧长为 l = (20 − 2r)．由 0 < l < 2πr ，得
北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》弧度制
7
抽象概括
4、任意一个0°～ 360°的角的弧度数为：
0 X 2
5、弧度制的定义：用弧度做单位来度量角的
制度叫做弧度制。 6、角度与弧度可以互化：
360 2 rad ;
1
180 rad ;
180 180 1rad ( ) 57.30 5718
得出结论：当圆的半径为1个单位长度时， 圆心角所对的弧长就是一个角的弧度数。所以， 我们可以用角的弧度数来度量角的大小。
6Hale Waihona Puke 抽象概括1、1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧 所对的圆心角叫做1弧度的角.符号是rad。
2、正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
正数
负数 零
3、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所 对的弧长（即圆周长）为2 ，所以周角的 弧度数是2 。
6 4
3
2
3
4
6
2
弧度制下的角与实数建立 一一对应关系
10
弧长与扇形面积公式
1、角度制下的弧长公式 弧度制下的弧长公式
l
n r 180
lr
n r
2
2、角度制下的扇形面积公式 S扇 弧度制制下的扇形面积公式 S 扇
360
1 lr 2
11
练习
2、把下列各弧度化成角度。
（1） 2 ; 2 （ 3） ; 3
换算关系
180 rad
基本关系
180 1rad 57.30 5718 13 导出关系
作业：
课本P11习题1-3 3、7
14
1、1º 的角是怎样规定的？
规定周角的1/360叫做1度的角。
数学必修四北师大版弧度制
2020/8/18
问题1：求证1元=1分。
• 1元=100分=10分×10分=0.1元×0.1元=0.01元=1分
问题2：角度制是几进制？
1 60’
1’ 60’’
问题3：
tan 60 3
问题4: 已知圆心角分别为 360和 18半0 径分别为1和2
，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的 比，有什么规律？
例1：将角度转化成弧度或把弧度转化成角度。
18
10
18
10
角 0 30 45 60 90 120 135 150 180 27 3 5 34 6
3 2
2
度
例2：把 写成的 形式，其中
。
730
2k
0 2
例3：用弧度制表示第一象限角的集合。
探究2：弧度制下的扇形的弧长与面积公式。
为1
，
rad
S
小结
1.弧度的定义。 2.角度和弧度的互化。 3.弧度制下弧长和面积公式。 4.弧度的意义：能为计算带来便利。
弧长l nr l r 180
面积S nr2
S 1 nr r 1 lr 1 r2
360
2 180 2 2
注：因为对于扇形来说，0 2，所以不用像课本
一样将 写成 。
例4：半径为2的圆中，求下列圆心角
3
所对的弧l 长 与扇形的面S积 。
例5：扇形的周长为6，扇形的圆心角 求扇形的面积 。
圆心角
360º
180º
r
1
2
1
2
l
2
4
2
l
2 2
r
弧度： n rad l ，其中rad通常省略不写。
北师大版数学高一(北师大)必修4学案 1.3弧度制 (2)
三角函数1.3 弧度制自主学习一、教学目标：（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R 之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
二、教学重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
三、教学难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
四、知识引导1.角度值：我们把周角的3601规定为1度的角。
弧度制：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，其中正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
2.角度和弧度直接的互化180°＝πrad ，360°＝2πrad1°＝180π≈0．01745rad ，1rad ＝（π180）°≈57.30°＝57°18’。
3.弧度制下扇形的弧长和面积L=|α|r 22121:R lR S α==扇形面积公式 对点讲练新课引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定 义我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．3．思考：（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r②整圆所对的圆心角为.22ππ=rr ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度： 2360；180；1801()57.305718rad ；180( )n n ．5．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．6．特殊角的弧度ll r r弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．知识点一角度值与弧度制的转化例1．把45°化成弧度。
北师大版高中数学必修四同步课时作业：1-3弧度制.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 弧度制 课时目标 1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度360°＝______ rad 2π rad ＝________180°＝____ rad π rad ＝______1°＝________rad ≈0．017 45 rad 1 rad ＝____________≈57．30°＝57°18′3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α (0<α<2π)为其圆心角，则度量单位 类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝________ l ＝____扇形的面积 S ＝____ S ＝____＝______一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝ ________________．三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4．12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．§3 弧度制 答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3．απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1．] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1．] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π， ∴θ＝－34π．] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a ．∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2． S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2． ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3．]7．－10π＋74π解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π． 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25． 9．73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π， －76π＋92π＝206π＝103π． 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π． 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100．∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． ∴当半径为10 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm 2． 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝42． 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60° ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216． 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216．。
高中数学北师大版必修四课件集弧度制
S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360
弧度 6
4
3
2
3
2
2
弧度 度
弧度 度
0
12
6
4
3
数学北师大版高中必修4数学教学案必修4：第02课时(弧度制)
总 课 题任意角、弧度 总课时 第 2 课时 分 课 题 弧度制 分课时 第 2 课时教学目标理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。
重点难点 弧度的意义，弧度与角度的换算引入新课1、问题：角度是怎样规定的？是否有其它方法来度量角？2、角度的定义：周角的3601为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
3、弧度的定义4、角度与弧度的换算5、特殊角的弧度数与角度制（1）_____360=︒ (2)rad rad ________1≈=︒(3)︒≈=30.57____1度rad6、弧长公式、扇形的面积公式例题剖析例1、把下列各角从弧度化为度：（1）53π （2）5.3例2、把下列各角从度化为弧度：（1）︒252 （2）'1511︒例3、已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。
巩固练习1、 把下列各角从角度化为弧度：（1）︒180 （2）︒90 （3）︒45（4）︒30 （5）︒120 （6）︒2702、把下列各角从弧度化为度：（1）π2 （2）2π （3）6π （4）π323、把下列各角从度化为弧度：（1）︒75 （2）︒-210 （3）︒135 （4）'3022︒4、把下列各角从弧度化为度：（1）12π （2）π52 （3）π34- （4）π12-5、若6-=α，则角α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、已知半径为mm 240的圆上，有一段弧的长是mm 500，求此弧所对的圆心角的弧度数。
课堂小结弧度数的定义，一些特殊角的弧度数；弧长公式、扇形的面积公式。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、︒1000的角的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、12π的角化成角度制是（ ） A 、︒15 B 、︒30 C 、︒60 D 、︒75 3、下列各角中与︒-120角终边相同的角为（ ）A 、π34B 、π65-C 、π34-D 、π674、集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k B Z k k A ,22|,,2|ππααππαα的关系是（ ） A 、B A = B 、B A ⊆ C 、B A ⊇ D 、以上都不对5、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A 、所对的弧长相等B 、所对的弦长相等C 、所对的弧长等于各自的圆的半径D 、所对的弦长等于各自的圆的半径二、提高题6、已知6πα=，角β的终边与α的终边关于直线x y =对称，则角β的集合为____________________.7、角rad 5的终边落在第______象限，角rad 3-的终边落在第______象限。
高中数学必修四课时作业4：1.1.2 弧度制
必修四第一章 三角函数1.1.2 弧度制1. 把'3067︒化成弧度（ ）。
A.π73B.π83C.π74D.π852.把35πrad 化成度（ ）。
A.180°B.60°C.108°D.160°3.已知扇形面积为 S ，求此最小值是（ ）。
A.4SB.SC.2SD.3S4.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍5.时钟经过一小时转过来多少弧度 A.6ππB.12πC.-6πD.-126.扇形AOB,弧AB的圆心角是60°，半径是50米，求弧AB？（精确到0.1米）A.52.5B.60C.50D.1007.已知扇形的周长为20cm,面积9cm²,求圆心角的弧度数。
8.已知半径为120mm的圆上，有一条弧的长时144mm，求此弧对应圆心角的弧度数？9.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为多少？面积为2R²的扇形的中心角等于多少弧度？[答案]1.B 因为6730'o 67.5=o ，所以3671567.51808rad ππ'=⨯=o o 2.C 35πrad 31801085=⨯=o o 3.A 周长最小值为4 S4.B 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.5.C 时针转一圈经过12小时，即转-2π弧度故可之选C6.A.33714851044πππ-=-=-+o 60°=3π，l=α·r= 3π×50≈52.5 7.解:设扇形半径rcm,弧长lcm 列方程: ①2r+l=20 ②(1/2)lr=9 解之得:r=1,l=18;r=9,l=2 ∴弧度数18,;-18;2/9;-2/98.根据弧长=半径乘弧度数可知所对圆心角的弧度数为144/120=1.2rad 9.L=R π34 根据l=αR,可得出结果。
高中数学必修四北师大版 弧 度 制 课时提升作业 含答案
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课时提升作业三弧度制一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2016²榆林高一检测)与角-终边相同的角是( )A. B. C. D.【解析】选C.与-终边相同的角为2kπ-，k∈Z，当k=1时，此角等于.2.设扇形的周长为10，面积为4，则扇形的圆心角是(弧度)( )A. B.8 C.π D.或8【解析】选A.设扇形的半径为r，所以弧长为：10-2r，扇形的圆心角为：，因为扇形的面积为4，所以(10-2r)r=4，解得r=1或r=4，所以扇形的圆心角为：8或.因为8>2π，应舍去.【误区警示】本题易忽视检验扇形的圆心角不会超过2π而导致增解.3.扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( )A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍【解析】选B.设原来的半径和弧长分别为r和l，则扩大后分别变为2r，2l，所以原扇形的面积为l r，后来〃2l〃2r=2l r，面积变为原来的4倍，故A和C错误；原扇形的圆心角为，后来为，故D错误.4.(2016²滁州高一检测)周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于( )A.1B.C.πD.2【解析】选D.设扇形的半径为R，所以2R+R=6，所以R=2，扇形的弧长为2，半径为2，扇形的面积为：S=×2×2=2.5.若角α满足α=+(k∈Z)，则α的终边一定在( )A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】选D.α=+(k∈Z)，当k=3n时，α=2nπ+，为第一象限角；当k=3n+1时，α=2nπ+，为第二象限角；当k=3n+2时，α=2nπ+为y轴非正半轴上的角；所以α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.二、填空题(每小题5分，共15分)6.下列结论不正确的是________.(只填序号)①rad=60°；②10°=rad；③36°=rad；④rad=115°.【解析】rad=×°=112.5°，所以④错.答案：④7.工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为50cm，内圆半径为20cm.则制作这样一面扇面需要的布料为________cm2(用数字作答，π取3.14).【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××50×50-××20×20≈2198cm2.答案：21988.(2016²泉州高一检测)设集合M={α|α=-，k∈Z}，N={α|-π<α<π}，则M∩N=________.【解题指南】在集合M中给k赋值.【解析】分别取k=-1，0，1，2，得α=-，-，，.答案：【补偿训练】集合A={x|x=kπ+，k∈Z}与集合B={x|x=2kπ±，k ∈Z}之间的关系是________.【解析】因为角的集合{x|x=2kπ+，k∈Z}与{x|x=2kπ-，k∈Z}分别表示终边落在y轴的正、负半轴上的角的集合，所以B表示终边落在y轴上的角的集合，所以A=B.答案：A=B三、解答题(每小题10分，共20分)9.某电动机的飞轮直径为1.5m，每分钟按顺时针方向旋转1000转，求：(1)飞轮每秒钟转过的弧度数.(2)轮周上一点每秒钟经过的弧长.【解析】因为飞轮转速1000转/分=转/秒，。
2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：1-3 弧度制 Word版含解析
课时作业3 弧度制时间：45分钟 满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．下列角度与弧度转化结果错误的是( C ) A ．60°化成弧度是π3 B ．－103π化成度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π12化成度是15°解析：对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－5π6；对于D ，π12＝112×180°＝15°.2．下列各角中与240°角终边相同的角为( C ) A.2π3 B ．－5π6 C ．－2π3D.7π6解析：240°＝4π3，而－2π3＝4π3－2π.故选C.3．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是( B ) A ．3π B.3π2 C ．6πD.3π4解析：设该扇形的圆心角的弧度数为n ，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，则l ＝|n |πr 180，∴r ＝180l |n |π＝3，∴S ＝12lr ＝12π·3＝3π2.4．若α＝－3，则角α的终边在( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：－3≈－172°，故为第三象限角，或由－π<－3<－π2，知－3为第三象限角．5．已知扇形AOB 的面积为4，圆心角的弧度数为2，则该扇形的弧长为( A )A ．4B ．2C ．1D ．8解析：由S ＝12α·r 2得4＝12×2×r 2， ∴r ＝2.∴l ＝α·r ＝2×2＝4.6．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( A ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：－11π4＝－2π－3π4，故选A.7.若角α的终边落在右图中的阴影部分，则角α的范围是( C )A ．[π6，23π]B ．[－43π，π6]C ．[2k π＋π6，2k π＋23π]，k ∈ZD ．[2k π－4π3，2k π＋π6]，k ∈Z解析：靠近x 轴正半轴的终边表示的角为2k π＋π6，k ∈Z ，靠近y 轴正半轴的终边的角为2k π＋23π，k ∈Z ，所以阴影部分表示的角的范围为[2k π＋π6，2k π＋23π]，k ∈Z .8．若圆的半径变成原来的2倍，扇形的弧长也变成原来的2倍，则( B )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增加到原来的2倍D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍解析：扇形的圆心角α＝l R ，l ，R 均变为原来的2倍，则α＝2l 2R ＝lR ，故α不变．二、填空题(每小题5分，共15分)9．三角形的三个内角的度数之比为123，其最小内角的弧度数为π6.解析：三角形的三个内角的弧度数分别为π6，π3，π2，因此最小的弧度数为π6.10．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，则θ的终边所在的象限是第一或第二象限．解析：当k 为偶数(k ＝2m ，m ∈Z )时，α＝2m π＋π4(m ∈Z )，当k 为奇数(k ＝2m －1，m ∈Z )时，α＝(2m －1)π－π4＝2m π－5π4(m ∈Z )，∴θ的终边在第一或第二象限．11．若角θ的终边与角85π的终边相同，则在(0,2π)内终边与θ4的终边相同的角是2π5，9π10，7π5，19π10.解析：因为θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )，所以θ4＝k π2＋25π. 又因为0<θ4<2π，即0<k π2＋2π5<2π. 解得－1＋15<k <3＋15，又k ∈Z . 所以k 可取0,1,2,3.当k ＝0时，θ4＝25π；k ＝1时，θ4＝9π10； k ＝2时，θ4＝7π5；k ＝3时，θ4＝1910π.三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知角α＝2 005°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π<41π36<3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z . 由－5π≤2k π＋41π36<0，可得－52－4172≤k <－4172. ∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36. 13．(13分)半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知P 点在1秒钟内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A 处．求：(1)θ的大小；(2)线段OP 每秒钟扫过的扇形的面积． 解：(1)∵0<θ<π，∴0<2θ<2π. 又2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴k ＝0.∴π2<θ<3π4.①又14θ＝2n π(n ∈Z )，∴θ＝n π7(n ∈Z )．② 由①②可得θ＝4π7或θ＝5π7. (2)由(1)知θ＝4π7或θ＝5π7， 又S 扇形＝12θr 2＝12θ， ∴S 扇形＝2π7或S 扇形＝5π14.即线段OP 每秒钟扫过的面积是2π7或5π14.——能力提升类——14．(5分)如图所示，半径都为1的三个圆两两相交，且AB ︵＝BC ︵＝AC ︵，CD ︵的长度等于π2，则图中阴影部分的面积为3π2＋3.解析：如图所示，因为CD ︵长度为α·R ＝π2，所以α＝π2，故图中阴影部分的面积为π4－12.所以可得原题中阴影部分的面积为3π－3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝3π2＋3.15．(15分)(1)如图①所示，在半径为6的圆中，求长度为6的弦AB 和它所对的劣弧围成的弓形的面积；(2)如图②所示，在半径为10，圆心角为π3的扇形铁皮ADE上截去一个半径为4的小扇形ABC，求留下部分的面积．解：(1)如图所示，连接OA，OB，∵AB＝6，OA＝OB＝6，∴∠AOB＝π3.∴S扇形AOB＝12α·R2＝12×π3×62＝6π.又∵△AOB是等边三角形，∴S△AOB＝34×62＝9 3.∴弓形面积S＝6π－9 3.(2)∵圆心角α＝π3，∴S 扇形DAE ＝12α·AD 2＝50π3，S 扇形BAC ＝12α·AB 2＝8π3， ∴留下部分的面积S ＝50π3－8π3＝42π3＝14π.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
高一数学必修4同步练习：1-1-2弧度制
1-1-2弧度制一、选择题1．在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径 [答案] D2．下列各式正确的是( ) A.π2＝90 B.π18＝10° C ．3°＝60πD ．38°＝38π[答案] B3．α＝－2π3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] α＝－23π＝－(23π×180π＝－120°，则α的终边在第三象限．4．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是( ) A.π3 B ．－π3C.π6 D ．－π6[答案] C5．下列各对角中，终边相同的是( ) A.3π2和2k π－3π2(k ∈Z ) B ．－π5和22π5C ．－7π9和11π9D.203π和122π9[答案] C[解析] ∵－7π9－11π9＝－2π，∴选C.6．圆的半径是6cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2 [答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．7．(2011～2012·南昌高一检测)若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．2πcm 2 [答案] A8．在半径为2cm 的圆中，若有一条弧长为π3cm ，则它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 [答案] A[解析] 设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.9．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 [答案] B[解析] 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.10．已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k π8－π4，k∈Z }，则( )A ．M ∩N ＝ØB ．N MC ．M ND ．M ∪N ＝N[答案] C[解析] M ＝{x |x ＝2(k ＋2)π8－π4，k ∈Z }＝{x |x ＝2n 8π－π4，n ∈Z }，又N ＝{x |x ＝2k π8－π4或2k －18π－π4，k ∈Z }，所以M N .二、填空题11．(2011～2012·淮安高一检测)把角25π6化成α＋2k π(0≤α<2π)的形式为________．[答案] π6＋4π12．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． [答案] {α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }[解析] 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z . 13．若三角形的三内角之比为1 2 3，则此三角形的最小内角的弧度数为________．[答案] π6[解析] 设最小内角为α，则α＋2α＋3α＝π，∴α＝π6.14．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．[答案] (－π，0)[解析] 由题意，得－π2<α<π2，－π2<－β<π2，∴－π<α－β<β.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.三、解答题15．已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°，试求这两个角各是多少弧度．[解析] 设两个角的弧度数分别为x 、y ，因为1°＝π180 rad.依题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝π180⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋π360y ＝12－π360，即所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.16．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，判断θ所在的象限．[解析] (1)当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，α为第一象限角．(2)当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋34π，α为第二象限角，∴θ为第一或第二象限角．。
高中数学北师大版必修4 1.3 基础练习 《弧度制》(数学北师大高中必修4)
《弧度制》基础练习本课时编写：双辽一中 张敏1.已知扇形的半径为R ，面积为R2，那么这个扇形圆心角的弧度数是( )A.1 C.2 D.42.-247°30化为弧度是( )11111111A. B. C. D.4848ππ-π-π 3.56π化为度，结果为________.4.把-570°化为2k π+α(0≤α<2π,k ∈Z)的形式为________.5.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.6.240°化成弧度制是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π37.针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( )A.π3 B ．－π3C.π6 D ．－π68.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为( )A ．1B ．2C ．3D ．49.半径为1 m 的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )A.π3B.π6C ．60D ．110.已知扇形面积为3π8，半径是1，则扇形的圆心角是( )A.3π4B.3π8C.3π16D.3π211.半径为2，圆心角为π3的扇形的面积为( )A.4π3 B ．πC.2π3D.π312.扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( )A ．16π B．32πC ．16D ．3213.已知扇形的周长为6 cm ，面积为2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数为( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或414.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ，若扇形的周长是一定值C(C ＞0)，该扇形 的最大面积为( )A.C 4B.C 24C. C 216D. C 2215.把－11π4表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4。
高中数学 第一章 三角函数 2 弧度制课时作业 北师大版必修4
C. D．2
答案：C
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为 r，∴θ＝ ＝ .
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是________．
答案：－8π＋
8．若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
2弧度制
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1. 化为角度是()
A．110°B．160°
C．108°D．218°
答案：C
解析： ＝ ×180°＝108°.
2．若扇形的面积为 ，半径为1，则扇形的圆心角为()
∴该扇形的圆心角的大小为 rad或6 rad.
(2)θ＝ ，
∴S＝ ·r2· ＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
∴当r＝2，即θ＝ ＝2时，Smax＝4 cm2.
此时弦长AB＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．
∴扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad，弦AB的长度为4sin1 cm.
12．单位圆上两个动点M，N同时从点P(1,0)出发，沿圆周运动，点M按 rad/s的速度逆时针方向旋转，点N按 rad/s的速度顺时针方向旋转，试求它们出发后第一次相遇时各自转过的弧度．
解：设从点P出发后，ts时M，一次相遇，
则有 t＋ t＝2π，解得t＝4，
故点M转过的弧度为 ×4＝ π，
点N转过的弧度为－ ＝－ π.
答案：{α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z}
解析：该阴影部分在(0,2π)内对应的取值范围为[ π， π]，所以该阴影部分的取值范围是{α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ ，k∈Z}．
高中数学必修四课时作业2：1.1.2 弧度制
1．1.2 弧度制一、基础达标 1．－300°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53π C ．－54π D ．－76π[答案] B 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是 ( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对[答案] A3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 1 [答案] C[解析] r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C ．k ·360°－315°(k ∈Z ) D ．k π＋5π4(k ∈Z )[答案] C5．已知α是第二象限角，且|α＋2|≤4，则α的集合是______．[答案] (－1.5π，－π)∪(0.5π，2][解析] ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∵|α＋2|≤4，∴－6≤α≤2，当k ＝－1时，－1.5π＜α＜－π，当k ＝0时，0.5π＜α≤2， 当k 为其它整数时，满足条件的角α不存在．6．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________． [答案] 34[解析] 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝ 34S .7．已知α＝1，β＝60°，γ＝π3，δ＝－π6，试比较这四个角的大小． 解 β＝60°＝π3＞1＞－π6， ∴β＝γ＞α＞δ. 二、能力提升8．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9 [答案] B[解析] 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切圆＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切圆∶S 扇形＝2∶3. 9．第四象限角集合可写成( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π－π2＜α＜2k π，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜2k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π－π2＜α＜k π，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z[答案] A10．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }， 集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. [答案] [－4，－π]∪[0，π] [解析] 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．11．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2rad ，半径为152cm 时，面积最大，为2254 cm 2.12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4， 又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7， 从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7. 三、探究与创新13．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6 ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32 (cm 2)．(2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2RR ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫R －c 42＋c 216.当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。
高中数学北师版必修4 弧制2
高中数学北师版必修4 弧制2一、课题：弧度制（2）二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；3．求扇形面积的最值。
三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。
四、教学过程：（一）复习：（1）弧度制角如何规定的？||lrα=（其中l表示α所对的弧长）（2）1801()π=；1180π=．说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360．（练习）写出阴影部分的角的集合：（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r，圆心角为n所对弧长为||||2360180n n rl rππ=⨯=；扇形面积为22||||360360n r nS rππ=⨯=．（二）新课讲解：1．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？∵||lrα=（其中l表示α所对的弧长），xyo3060xyo150210OAB 所以，弧长公式为||l r α=⋅．]2．扇形面积公式：扇形面积公式为：22||1222lr S r r lrαππππ=⋅==． 说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位． 3．例题分析：例1 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？ 解：（1）因为21203π=，所以，21112||36122223S lr r παπ===⋅⋅=．（2）设弧长为l ，半径为r ，由已知220l r +=，所以202l r =-，202||l rr r α-==，从而222211202||10(5)2522r S r r r r r r α-==⋅⋅=-+=--+，当5r =时，S 最大，最大值为25，这时2022lrrr α-===．例2 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。
2019-2020学年北师大版数学必修4课时作业：2弧度制 Word版含解析
θR＝6 解析：设扇形的圆心角的弧度数为 θ，半径为 R，由题意，得1
2θR2＝6
，解得 θ＝3，
故选 C. 答案：C
3．角α的终边落在区间－3π，－52π内，则角α所在的象限是(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5 解析：－3π 的终边在 x 轴的非正半轴上，－ π 的终边在 y 轴的非正半轴上，故角 α 为第三
.
又∵γ∈－π2，π2，∴－π2<2kπ＋149π<π2，易知当且仅当 k＝－1 时，不等式成立，∴γ＝－2π
14π 4π
＋ ＝－ .
9
9
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
π 解析：(1)设弧长为 l，弓形面积为 S，则 α＝60°＝ ，
3
π
10π
R＝10 cm，l＝ ×10＝ (cm)，
3
3
1 10π S＝S 扇－S△＝ × ×10－
23
43×102＝530π－25
(2)设扇形的弧长为 l，
则 l＋2R＝20，即 l＝20－2R(0<R<10)，
3cm2.
14π
14π
14π
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，又 280°＝ ，∴α＝ ＋(－3)×2π，∴α 与
9
9
9
的终边相同，∴角 α 的终边在第四象限．
14π (2)∵与 α 角终边相同的角可以表示为 2kπ＋α，k∈Z，又 α 与 的终边相同，
高中数学 课下能力提升(二)弧度制 北师大版必修4
课下能力提升(二) 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，真命题是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 2．α＝－2 rad ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．时钟的分针在1时到3时20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.14π3 B ．－14π3 C.7π18 D ．－7π184．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋（－1）k×π2，k ∈Z ，B ＝{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，则集合A 与B 之间的关系为( )A ．AB B ．A BC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅ 二、填空题5．在半径为2的圆内，弧长为2π3的圆心角的度数为________．6．终边落在直线y ＝x 上的角的集合用弧度表示为S ＝________．7．已知θ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋（－1）k×π4，k ∈Z ，则角θ的终边所在的象限是________．8．已知扇形的面积为25，圆心角为2 rad ，则它的周长为________． 三、解答题9．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．10. 如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．答案1．解析：选D 由弧度制定义知D 正确．2．解析：选C ∵－π<－2<－π2，∴α的终边落在第三象限，故选C.3．解析：选B 显然分针在1时到3时20分这段时间里，顺时针转过了213周，其弧度数为－(2π×73)＝－14π3rad.4．解析：选C 对于集合A ，当k ＝2n (n ∈Z )时，x ＝2n π＋π2，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，x ＝2n π＋π－π2＝2n π＋π2∴A ＝B ，故选C.5．解析：设所求的角为α，角α＝2π32＝π3＝60°.答案：60°6．解析：S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝5π4＋2k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z ∪{α|α＝π4＋(2k ＋1)π，k ∈Z }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋n π，n ∈Z .答案：{α|α＝π4＋n π，n ∈Z }7．解析：当k 为偶数时，α＝2n π＋π4，终边在第一象限；当k 为奇数时，α＝(2n ＋1)π－π4＝2n π＋34π，终边在第二象限． 答案：第一、二象限8．解析：设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则由S ＝12αr 2＝25，得r ＝5，l ＝αr ＝10，故扇形的周长为20. 答案：209．解：(1)图①中，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )．∴阴影部分内的角的集合为{α|－2π3＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z }．(2)图②中，以OA 为终边的角为π3＋2k π，k ∈Z ；以OB 为终边的角为2π3＋2k π，k ∈Z .不妨设右边阴影部分所表示集合为M 1，左边阴影部分所表示集合为M 2， 则M 1＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }，M 2＝{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }． ∴阴影部分所表示的集合为：M 1∪M 2＝{α|2k π<α<π3＋2k π，k ∈Z }∪{α|2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }＝{α|2k π<α<π3＋2k π或2π3＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }．10．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ， 则t ×π3＋t ×|－π6|＝2π，所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s .如图，设第一次相遇点为C ，第一次相遇时已运动到终边在π3×4＝4π3的位置，则x c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12＝－2，y c ＝－42－22＝－23，所以C 点的坐标为(－2，－23)．P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3， Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.。
高中数学必修四课时作业16：1.1.2 弧度制
1．1.2 弧度制一、选择题1．下列说法中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC．1 rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[考点]弧度制[题点]弧度制定义、应用[答案] D[解析]根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.2．下列说法中，错误的是()A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度[考点]弧度制[题点]弧度制定义[答案] D[解析]根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．3．－240°化为弧度是( )A ．－43πB ．－53πC ．－74πD ．－76π[考点] 弧度制[题点] 弧度制角度制互化[答案] A[解析] －240°＝－240×π180＝－43π.4．设角α＝－2弧度，则α终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[考点] 弧度制[题点] 弧度制应用[答案] C[解析] ∵－π<－2<－π2，∴2π－π<2π－2<2π－π2，即π<2π－2<32π，∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．5．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为() A ．α＋β＝0 B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z )[考点] 弧度制[题点] 弧度制应用[答案] D6．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－34πB ．－2πC ．πD ．－π[考点] 弧度制的应用[题点] 弧度制的应用[答案] A[解析] ∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π， ∴θ＝－34π. 7．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2[考点] 弧度制[题点] 扇形面积公式[答案] B[解析] ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 8．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增加到原来的2倍D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍[考点] 弧度制、扇形面积与弧长公式[题点] 扇形面积公式[答案] B[解析] 设原来的扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后的扇形的半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，l ＝αr ,2l ＝2rβ，所以α＝β.二、填空题9．若角θ的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角θ4的终边相同的角是 ． [考点] 弧度制[题点] 弧度制应用[答案] 2π5，9π10，7π5，19π10 [解析] ∵θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，∴θ4＝2π5＋k π2，k ∈Z .当k ＝0,1,2,3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0,2π]． 10．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 ．[考点] 扇形弧长与面积公式[题点] 扇形弧长公式[答案] 2 3[解析] 设圆的半径为r ，其外切正三角形的边长为a ，则r ＝13×32×a ＝36a ，又弧长为a ， 所以圆心角为α＝a r ＝a 36a ＝63＝2 3. 11．如果圆心角为2π3的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 ． [考点] 扇形弧长与面积公式、弧度制应用[题点] 扇形弧长公式、面积公式[答案] 4π3[解析] 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3，则AF ＝3，∠ABF ＝π3. ∴AB ＝AF sin ∠ABF＝2，即R ＝2. ∴弧长l ＝|α|R ＝4π3，∴S ＝12lR ＝4π3.12．已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为 ． [考点] 弧度制[题点] 角度、弧度互化[答案] α<β<γ<θ＝φ[解析] 方法一 (化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12. 显然π12<π10<1<7π12，故α<β<γ<θ＝φ. 方法二 (化为角度)：β＝π10＝π10×⎝⎛⎭⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝105°. 显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.三、解答题13．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～－180°范围内找出与它们终边相同的所有角．解 (1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6， α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6. 故α1＝－19π6，α2＝25π6， α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π3＝－13×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k 1·360°(k 1∈Z )，θ2＝－60°＋k 2·360°(k 2∈Z )，则由－720°≤θ1<－180°(k ∈Z )，－720°≤θ2<－180°(k ∈Z )，即－720°≤108°＋k 1·360°<－180°(k 1∈Z )，－720°≤－60°＋k 2·360°<－180°(k 2∈Z )，得k 1＝－2，－1，k 2＝－1.故在－720°～－180°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°.14.如图所示的图中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求¼ACB 的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积． [考点][题点]解 设圆半径为r ，¼ACB 的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，所以OD ＝12OA ＝r 2.所以CD ＝12OC ＝r 2＝a .所以r ＝2a .所以m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23.又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.所以S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎫4π3－3a 2.15．如图，已知一个长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．[考点] 扇形的弧长与面积公式[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用解 AA 1所在圆弧的半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2所在圆弧的半径是1 dm ，圆心角为π2； A 2A 3所在圆弧的半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(dm)； 3段圆弧所对的扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4(dm 2)．。
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答案：C 5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧 度数为( ) π 2π A.3 B. 3 C. 3 D．2 解析：
如右图，设圆的半径为 R，则圆的内接正三角形的边长为 3R，所以圆弧长 3R 度为 3R 的圆心角的弧度数 α＝ R ＝ 3. 答案：C 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) π π 6．下列四个角：1,60° ，3，－6由大到小的排列为________． π π π 解析：只需把 60° 化成弧度数，因为 60° ＝60×180＝3，所以四个角为 1，3， π π π π ，－ . 所以 60° ＝ >1> － 3 6 3 6. π π 答案：60° ＝3>1>－6 7．若三角形三内角之比为 345，则三内角的弧度数分别是________． 解析：设三角形三内角弧度数分别为 3k,4k,5k，则由 3k＋4k＋5k＝π，得 k π π π 5π ＝12，所以 3k＝4，4k＝3，5k＝12. π π 5π 答案：4，3，12 8．弧长为 3π，圆心角为 135° 的扇形的半径为________，面积为________． 135π 3π 3π 解析：135° ＝ 180 ＝ 4 ，所以扇形的半径为3π＝4， 4 1 面积为2×3π×4＝6π. 答案：4 6π 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．将下列角度与弧度进行互化： 7π 11π (1)20° ；(2)－15° ；(3)12；(4)－ 5 . 20 π 解析：(1)20° ＝180π＝9.
课时作业 2 弧度制 |基础巩固|(25 分钟，60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．1 920° 的角化为弧度数为( ) 16 32 A. 3 B. 3 16 32 C. 3 π D. 3 π π 解析：∵1° ＝180rad， π 32 ∴1 920° ＝1 920×180rad＝ 3 π rad. 答案：D 2．一个扇形的弧长与面积的数值都是 6，则这个扇形的圆心角是( A．1 B．2 C．3 D．4
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(1)把 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出 α 的终边在第几象限； π π (2)求 γ 角，使 γ 与 α 的终边相同，且 γ∈－2，2. 14π 14π 解析： (1)∵－800° ＝－3×360° ＋280° ， 又 280° ＝ 9 ， ∴α＝ 9 ＋(－3)×2π， 14π ∴α 与 9 的终边相同，∴角 α 的终边在第四象限． 14π (2)∵与 α 角终边相同的角可以表示为 2kπ＋α， k∈Z， 又 α 与 9 的终边相同， 14π ∴γ∈ββ＝2kπ＋ 9 ，k∈Z . π π π 14π π 又∵γ∈－2，2，∴－2<2kπ＋ 9 <2，易知当且仅当 k＝－1 时，不等式成 14π 4π 立，∴γ＝－2π＋ 9 ＝－ 9 . 14．已知一扇形的圆心角为 α(α>0)，所在圆的半径为 R. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时，这个扇形的 面积最大？ π 解析：(1)设弧长为 l，弓形面积为 S，则 α＝60° ＝3， π 10π R＝10 cm，l＝3×10＝ 3 (cm)， 1 10π 3 50 S＝S 扇－S△＝2× 3 ×10－ 4 ×102＝ 3 π－25 3cm2. (2)设扇形的弧长为 l， 则 l＋2R＝20，即 l＝20－2R(0<R<10)， 1 1 ∴扇形的面积 S＝2lR＝2(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25. ∴当 R＝5 cm 时，S 有最大值 25 cm2， l 此时 l＝10 cm，α＝R＝2 rad. 因此，当 α＝2 rad 时，这个扇形的面积最大．
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15 π (2)－15° ＝－180π＝－12. 7π 7π 180 7 (3)12＝(12× π )° ＝(12×180)° ＝105° . 11π 11π 180 11 (4)－ 5 ＝(－ 5 × π )° ＝(－ 5如图，扇形 AOB 所在圆的半径为 10，AB＝10.求： (1)圆心角 α 的大小； (2)扇形 AOB 的周长． 解析：(1)由半径 r＝10，AB＝10，知△AOB 为等边三角形， π 所以 α＝∠AOB＝60° ＝3. π 10π (2)由(1)知弧长 l＝αr＝3×10＝ 3 ， 10π 所以扇形 AOB 的周长为 2r＋l＝20＋ 3 . |能力提升|(20 分钟，40 分)
)
θR＝6 解析：设扇形的圆心角的弧度数为 θ，半径为 R，由题意，得1 2 ， θR ＝6 2 解得 θ＝3，故选 C. 答案：C 5π 3．角 α 的终边落在区间－3π，－ 2 内，则角 α 所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5 解析：－3π 的终边在 x 轴的非正半轴上，－2π 的终边在 y 轴的非正半轴上， 故角 α 为第三象限角． 答案：C 9π 4．下列与 4 的终边相同的角的表达式中，正确的是( ) A．2kπ＋45° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ 4 (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 5π D．kπ＋ 4 (k∈Z) 解析：A，B 中弧度与角度混用，不正确． 9 π 9 π π ＝ 2π ＋ ，所以 π 与 4 4 4 4终边相同． －315° ＝－360° ＋45° ，所以－315° 也与 45° 终边相同．故选 C.
π π 11．集合αkπ＋4≤α≤kπ＋2，k∈Z 中的角所表示的范围(如图中阴影部 分所示)是( )
π π 解析： 当 k＝2m， m∈Z 时， 2mπ＋4≤α≤2mπ＋2， m∈Z； 当 k＝2m＋1， m∈Z 5π 3π 时，2mπ＋ 4 ≤α≤2mπ＋ 2 ，m∈Z，故选 C. 答案：C 3 12．如果一扇形的弧长变为原来的2倍，半径变为原来的一半，则该扇形的 面积为原扇形面积的________． 1 3 1 解析：由于 S＝2lR，若 l′＝2l，R′＝2R， 1 1 3 1 3 则 S′＝2l′R′＝2×2l×2R＝4S. 3 答案：4 13．已知 α＝－800° .