简单的线性规划(三)
简单线性规划三案
3.5.2 简单线性规划预习案自学指导：认真阅读课本90—91页，完成下列填空。
对于变量x、y的约束条件，都是关于变量的一次不等式，称其为；z=f(x,y)是欲达到的最值所涉及的变量x、y的解析式，叫。
当z=f(x,y)是关于x、y 的一次函数解析式时，z=f(x,y)叫做。
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为。
最优解是可行解是。
由所有可行解组成的集合叫做问题思考：1. 在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7,这些直线的位置关系如何？2．画出不等式组4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，表示的平面区域。
在该平面区域上，请思考：问题1：x有无最大（小）值？问题2：y有无最大（小）值？问题3：z=2x＋y有无最大（小）值？3.5.2简单线性规划导学案●学习目标（一）知识与技能目标1.了解线性规划问题，线性规划的意义.2.了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；4.培养学生的数学应用意识和解决问题的能力 （二）情感态度价值观目标 让学生树立数形结合思想. ●教学重点用图解法解决简单的线性规划问题. ●教学难点准确求得线性规划问题的最优解. ●教具准备多媒体课件（或幻灯片） ●教学过程一.课题导入上节课，咱们一起探讨了二元一次不等式表示平面区域，下面，我们再来探讨一下如何应用其解决一些问题.二．概念形成首先，请同学们来看预习案中的问题.设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x如何求z 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R. 可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0, 即t ＞0.而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.所以：z m ax =2×5+2=12, z m in =2×1+3=3.由上述问题总结得出相关概念：目标函数： 约束条件： 线性目标函数： 线性约束条件：线性规划问题： 最优解：三．典例讲评例1：设z ＝2x －y,式中变量x 、y 满足下列条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求ｚ的最大值和最小值。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
简单的线性规划问题
8）时，直线与原点的距离最近，即z的最小值为12.
解法二：特值验证法
由解法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的 左下侧靠近边界的整点，依次取满足条件的整点A0（0， 15），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4， 8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7）， A9（9，6），A10（10，6），…，A27（27，0）.
由图可见，当直线z=2x+y经过可行域上的点A时，截距最 大，即z最大.
解方程组 x - 4y 3 0, 3x 5y 25 0
，得A的坐标为(5,2).
∴zmax=2×5+2=12.
当直线z=2x+y经过可行域上的点B时，截距最小，即z
最小.
解方程组
x x
- 4y 1
返回
【解析】设进T 恤x件，运动鞋y双，则有
x 50,y 30,x,y N, x y 40, 36x 48y 2 400,
其目标函数为z=18x+20y. 作出它的可行域如图所示， 由图可知： 当x=50且y=12.5时，z取得最大值1 150. 但x,y∈N*,
（3）由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而 迅速地找出最优解，此时可将可能的数逐一检验即可分 晓.
假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和 资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能 进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要 T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T 恤每件36元，运动鞋每双48元.现在你有2 400元资金， 假设每件T恤的利润是18元，每双运动鞋的利润是20元， 问：如何进货可以使你获利最大？
简单的线性规划
不等式组所表示的平面区域如图所示：做直线y ＝2x，经过平移目标函数z＝y－2x在点A(5,3)处 取得最小值，即zmin＝3－10＝－7.
答案：A
某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50亩， 投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和 韭菜的产量、成本和售价如下表
年产量/亩 年种植成本/亩 1.2万元 0.9万元 每吨售价 0.55万元 0.3万元
y ∴ 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)． x－1
(3)∵x2＋y2－2x＋1＝(x－1)2＋y2 表示平面区域内的点(x，y) 1 2 到(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线 y＝x 的距离 d＝ ＝ 2 ， 2 1 ∴x ＋y －2x＋1 的最小值为 d ＝ ， 又(1,0)到 A(2,2)的距离的平 2
黄瓜 韭菜
4吨 6吨
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收 入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植 面积(单位：亩)分别为( ) A．50,0 B．30,20 C．20,30 D．0,50
【解析】 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x 亩、y 亩，总 利润为 z 万元，则目标函数为 z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－ 0.9y)＝x＋0.9y. x＋y≤50， 1.2x＋0.9y≤54， 线性约束条件为 x≥0， y≥0.
【答案】 [5,7)
Hale Waihona Puke 小试身手 1 在直角坐标平面上，
y≤x＋2， y≥0， 不等式组 0≤x≤t
所表示的平面区域的面积
5 为2，则 t 的值为( A．－ 3或 3
) B．－5 或 1 C．1 D. 3
y≤x＋2， 解析： 不等式组y≥0， 0≤x≤t 部分所示．
简单的线性规划问题
解析:如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点A(1，3) ，
B(3，1)，C(7，9).
1 z4 . 作斜率为 k 1 的平行直线l. (1)设z=x+2y-4，则 y x 2 2 2
当l过C(7，9)时，截距最大，这时z也最大. 即z的最大值是7+2×9-4=21.
z 2.5x 4 y
作出可行域如图所示： 经试验发现，当
x 4, y 4
时，花费最少，为
2.5 4 4 4 26（元）
答：应当为该儿童预定4个单位的午餐和4个单位晚餐
考点
4
综合新题
x 2 y 19 0， 自学范例4 (1)设二元一次不等式组 x y 8 0， 所表示的平面区 2 x y 14 0
满足线性约束条件x、y的解(x，y)叫做可行解
所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小 值的问题
线性规划问题
解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下： (1)设出变量x、y
(2)
(3)
(4)
(5)求出最值，还原成实际问题的解.
点评
这是在高考中第一次以解答题的 形式考查简单的线性规划问题 . 本题是 一道应用题，以投资决策为背景，以 线性规划为素材，考查学生对数学的 应用意识和能力，不落俗套，令人耳 目一新.
19.（本小题满分12分2010年广东高考） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午 餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生 素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋 白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养 中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单 位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元 和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为 该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元
简单的线性规划问题
三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行 域上的点M时，纵截距 最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析
知识讲解简单的线性规划问题_基础
简单的线性规划问题【学习目标】1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；2. 掌握线性规划问题的图解法.3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.【要点梳理】要点一、线性规划的有关概念： 线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．线性目标函数：关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中，①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二、线性规划的应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三、确定线性规划中的最优解对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域；③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；④作答． 要点诠释：确定最优解的思维过程：线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：找整点---验证--- 选最优解 【典型例题】类型一：求目标函数的最大值和最小值.例1. 若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤1,1y y x xy 且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m－n ＝( )A ．5B ． 6C ． 7D ． 8【答案】B【思路点拨】 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数z=2x+y 过点B （2，-1）时取得最大值，过点A （-1，-1）时取得最小值. 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A ， 直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，由⎩⎨⎧=-=x y y 1，解得⎩⎨⎧-=-=11y x ，即A(－1，－1)，此时z ＝－2－1＝－3，此时n ＝－3，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点，B ， 直线y ＝－2x ＋z 的截距最大，此时z 最大，由⎩⎨⎧=+-=11y x y ，解得⎩⎨⎧-==12y x ，即B(2，－1)，此时z ＝2×2－1＝3，即m ＝3，则m －n ＝3－(－3)＝6， 故选：B ．【总结升华】1.本题的切入点是赋予“z ”恰当的几何意义：纵截距或横截距；2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．举一反三：【变式1】求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩.【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线35z x y =+在经过不等式组所表示的公共区域内的点时， 以经过点(2,1)B --的直线所对应的z 最小， 以经过点35(,)22A 的直线所对应的z 最大. 所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-，max 35351722z =⨯+⨯=.【变式2】（2015 天津）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】如图所示，阴影部分即为线性规划的可行域，当直线166zy x =-+经过点A （0，3）时，z 取得最大值18.故选: C 。
新课标人教A版数学必修5全部课件：简单的线性规划(三)
2012-10-1 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞
可行域
(5,2)
(1,1)
复习线性规划
解线性规划问题的一般步骤： 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 的最大值或最小值。
∴-2≤2a+2 b≤2，
-3≤2 b-a≤-1 ∴-1/3≤a≤5/3
m=5/3 ，n=-2/3
∴ a+3b=5/3×(a+b)-2/3×(a-2 b) ∵-1≤a+b≤1，1≤a-2 b≤3 ∴-11/3≤a+3 b≤1
2012-10-1 新疆奎屯市第一高级中学 王新敞
-4/3≤b≤0
∴-13/3≤a+3 b≤5/3
2012-10-1
新疆奎屯市第一高级中学 王新敞
探索结论
线性规划的实际应用
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产 甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨； 生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2 吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨 乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种 棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、 二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各 生 产 多 少 ( 精 确 到 吨 ) ， 能 使 利 润 总额最大?
2012-10-1
新疆奎屯市第一高级中学 王新敞
线性规划的实际应用
• 解线性规划应用问题的一般步骤：
1、理清题意，列出表格； 2、设好变元，列出线性约束条件（不 等式组） 与目标函数； 3、准确作图； 4、根据题设精度计算。
第一部分 第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题
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x－y－2＝0， 解方程组 x＋2y－5＝0，
x＝3， 得最优解 y＝1.
∴z最大＝2×3＋3×1＋1＝10. 答案：(1)C (2)B
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[一点通]
解决线性规划问题的方法是图解法，即借
助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一族平行线)与平 面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或 最小值求解．其基本思路是 (1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表 示的平面图形准确地画出来；
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线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 变量x，y满足的一组条件
由x，y的 二元一次不等式(或方程) 组成
的不等式组 欲求 最大值 或 最小值 所涉及的变量x，
目标函数
y的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x，y的二元一次解析式
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名称 可行解
意义 满足 线性约束条件 的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的 可行解 在线性约束条件下，求线性目标函数 的最大值或最小值问题
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量 不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________
(百万元)．
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解析：可设需购买 A 矿石 x 万吨，B 矿石 y 万吨， x≥0， y≥0， 则根据题意得到约束条件为： 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2，
则目标函数 z＝2x＋3y＋1 的最大值为(
)
B．10 D．8.5
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[思路点拨]
先作出可行域的直线2x＋3y＝0，然
后平移直线2x＋3y＝0，根据直线的截距的几何意义确
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题篇一：典型例题：简单的线性规划问题典型例题【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验． 3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)①二元一次不等式Ax+By+C>0（或②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
3.3《简单的线性规划问题3》课件(苏教版必修5).
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图） 作出可行域（如图）
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N ∈ y≥0 y∈N ∈
y 15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y， ， 作出一组平行直线
甲产品 消耗量 产品 （1 杯） 资源 奶粉（ 奶粉（g） 咖啡(g) 咖啡(g) 糖(g) 利润（ 利润（元） 乙产品(1 乙产品 杯) 资源限额（ ） 资源限额（g）
9 4 3 0.7
4 5 10 1.2
3600 2000 3000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设每天应配制甲种饮料x 设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 乙种饮料y
y
x-y=0 1 x 1
(2,-1)
z=2x+y 叫做
线性目标函数 ；
都叫做可行解 满足 线性约束条件 的解(x,y)都叫做可行解； 都叫做可行解； 取得最大值 使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) 取得最大值的可行解为 且最大值为 3 ； ，
0
(-1,-1)
y=-1
2x+y=0
取得最小值 使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) ， 取得最小值的可行解 且最小值为
应 用
简单的线性规划
可行解 可行域
求解方法： 求解方法：画、 移、求、答
最优解
练习巩固
1.某家具厂有方木材 某家具厂有方木材90m3 ， 木工板 木工板600m3 ， 准备加工成 某家具厂有方木材 书桌和书橱出售， 已知生产每张书桌需要方木料0.1m3 、 书桌和书橱出售 ， 已知生产每张书桌需要方木料 木工板2m 生产每个书橱需要方木料0.2m3 ， 木工板 木工板 3 ； 生产每个书橱需要方木料 1m3 ， 出售一张书桌可以获利 元 ， 出售一张书橱可以 出售一张书桌可以获利80元 获利120元； 获利 元 （1）怎样安排生产可以获利最大？ ）怎样安排生产可以获利最大？ （2）若只生产书桌可以获利多少？ ）若只生产书桌可以获利多少？ （3）若只生产书橱可以获利多少？ ）若只生产书橱可以获利多少？
(教参)：第三章4.2简单线性规划Word版含解析
4.2简单线性规划必备知识·自主学习导思1.什么是二元线性规划问题?2.如何确定二元线性规划问题的最值?1.基本概念名称意义约束条件变量x,y满足的二元一次不等式组目标函数欲求关于x,y的一个线性函数的最大值或最小值的函数可行解满足约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解二元线性规划问题在约束条件下,求关于两个变量的目标函数的最大值或最小值问题二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的几次不等式或方程的限制条件?提示:二元线性规划问题中约束条件是关于x,y的一次不等式或方程的限制条件.2.最值问题(1)最值位置:目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点或顶点处取得.(2)实际应用:求解实际应用问题时,只需要求出区域边界的交点,再比较目标函数在交点处的函数值大小,根据问题需求选择所需结论.目标函数z=2x-y,将其看成直线方程时,z的意义是什么?提示:z=2x-y可变形为y=2x-z,所以z的几何意义是该直线在y轴上截距的相反数.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)线性目标函数z=ax+by表示经过可行域的一组平行线. ( )(2)求线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解都是唯一的. ( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点上. ( )提示:(1)√.因为线性目标函数z=ax+by即y=-x+,斜率k=-为常数,截距是变量,所以二元一次方程z=ax+by表示经过可行域的一组平行线.(2)×.如果线性目标函数z=ax+by表示的直线与可行域的某一条边界直线平行,则线性目标函数z=ax+by取得最值的最优解不是唯一的.(3)×.线性目标函数取得最值的点可能在可行域的边界上,不一定非在顶点上.2.若x≥0,y≥0,且x+y≤1,则z=x-y的最大值为( )A.-1B.1C.2D.-2【解析】选B.直线x+y=1与坐标轴的交点坐标为A(1,0),B(0,1).则z=x-y即y=x-z,表示经过可行域的平行线组,-z是直线在y轴上的截距,当直线z=x-y经过点A(1,0)时,-z最小,z最大,最大值为z=x-y=1. 3.(教材二次开发:例题改编)已知实数x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.-1B.2C.7D.8【解析】选C.画出实数x,y满足约束条件,表示的平面区域如图:目标函数变形为-2x+z=y,则z表示直线在y轴上截距,截距越大,z越大,作出目标函数对应的直线L:y=-2x,由可得A(2,3).目标函数z=2x+y过A(2,3)时,直线的截距最大,z取得最大值为z=7.关键能力·合作学习类型一求线性目标函数的最值(直观想象)1.(2020·三明高一检测)已知实数x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )A.2B.C.1D.02.(2020·西安高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是 ( )A.无最大值也无最小值B.最小值为-2C.最大值为2D.最大值为33.(2020·南昌高一检测)设x,y满足,则z=x+y的取值范围是( )A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,+∞)D.(-∞,3]【解析】1.选B.作出实数x,y满足约束条件,对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+z,平移直线y=-x+z,由图象可知,当直线y=-x+z经过点A时直线y=-x+z的截距最大,此时z最大. 由,得A,此时z的最大值为z=+2×=.2.选B.作出不等式组对应的平面区域如图,由z=3x-y,得y=3x-z,平移直线y=3x-z,由图象可知当直线y=3x-z,经过点A时,直线y=3x-z 的截距最大,此时z最小.联立,解得A(0,2),故z min=3×0-2=-2.无最大值.3.选C.先根据约束条件画出可行域,z=x+y,则y=-x+z,由可得A(2,0),当直线y=-x+z经过点A(2,0)时,z最小,最小值为:2+0=2.没有最大值,故z=x+y的取值范围为[2,+∞).求目标函数z=ax+by最值的思路(1)化:把目标函数z=ax+by化为斜截式y=-x+.(2)定:z=ax+by中表示直线y=-x+在y轴上的截距.(3)找:把线性目标函数看成直线系,把目标函数表示的直线y=-x+平行移动,越向上平移越大,若b>0,则对应z越大,若b<0,则对应z越小. 特别提醒:当目标函数所在的直线与边界平行时最优解有无数个.【补偿训练】设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知当z=2x+3y-5经过点A(-1,-1)时,z取得最小值,z min=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.答案:-10类型二求非线性目标函数的最值(数学抽象、直观想象)角度1 可化为斜率最值的问题【典例】已知实数x,y满足不等式组(1)求不等式组表示的平面区域的面积;(2)试确定的取值范围.【思路导引】(1)依据线性约束条件,作出可行域,然后求出面积. (2)因为是分式形式,所以可联想其几何意义,求斜率的取值范围即可.【解析】(1)由实数x,y满足不等式组作出可行域,可知不等式组表示的平面区域是△ABC及其内部,如图,解方程组得A(1,1),同理,得B(3,3),C(2,6),记a==(2,2),b==(1,5),则S△ABC=|a||b|sin∠BAC=|a||b|=|a||b|===4(面积单位).(2)由(1)可知,1≤x≤3.令=k,则y=k(x+1)表示斜率为k且过点D(-1,0)与可行域有公共点的相交线族,由于k=tan α,α∈是增函数,其中α是相交线族的倾斜角,结合可行域知,k AD=,k CD=2,从而k∈,故∈.(2020·泉州高一检测)已知实数x,y满足约束条件,则的最大值为 ( )A.2B.C.1D.【解析】选D.令z=,由实数x,y满足约束条件,作出可行域如图,联立,解得A,z=的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,当过A时,斜率最大,即z==,所以z=的最大值为.角度2 可化为距离最值的问题【典例】已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.【思路导引】先画出可行域,再依据x2+y2的几何意义,求出最值即可得取值范围.【解析】不等式组所表示的平面区域是以点(0,2),(1,0),(2,3)为顶点的三角形及其内部,如图所示.因为原点到直线2x+y-2=0的距离为,所以(x2+y2)min=,又当(x,y)取点(2,3)时,x2+y2取得最大值13,故x2+y2的取值范围是.答案:[,13]线性规划求目标函数的常见类型(1)整式是截距:形如ax+by型的线性目标函数,设为z=ax+by,表示平行线族,通过平行线扫描可行域,求线性目标函数的最值或取值范围.(2)分式是斜率:形如(ac≠0)型的非线性目标函数,设为k==·(ac≠0),将问题转化为过定点P以及可行域内的动点Q(x,y)的相交线族的斜率,通过相交线扫描可行域,求斜率的最值或取值范围.(3)根式是距离:形如型的非线性目标函数,将问题转化为d=,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离,再求距离的最值或取值范围.(4)平方和是距离的平方:形如x2+y2-2ax-2by+a2+b2型的非线性目标函数,将问题转化为d2=()2,几何意义为连接定点A(a,b)与可行域内的动点Q(x,y)的距离的平方,求两点间的距离的最值或取值范围,再求平方即可.1.(2020·成都高一检测)设x,y满足约束条件则的最大值是( )A.-B.C.D.【解析】选C.设z=,画出满足条件的平面区域,如图,由z=的几何意义是可行域内的点与D(-2,0)连线的斜率,由图形可知AD的斜率取得最大值,代入A(3,4),即可得到z最大值,所以z的最大值是.2.(2020·邯郸高一检测)设变量x,y满足约束条件则z=(x-3)2+y2的最小值为( )A.2B.C.4D.【解析】选D.画出变量x,y满足约束条件的可行域,可发现z=(x-3)2+y2的最小值是(3,0)到2x-y-2=0距离的平方.取得最小值:=.3.实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:(1)点(a,b)对应的区域的面积;(2)的取值范围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.【解析】方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得不等式组⇔由解得A(-3,1); 由解得B(-2,0);由解得C(-1,0).所以在如图所示的坐标平面aOb内,满足约束条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).(1)△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=(h为A到Oa轴的距离).(2)的几何意义是点(a,b)和点D(1,2)连线的斜率.k AD==,k CD==1.由图可知,k AD<<k CD.所以<<1,即∈.(3)因为(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,所以(a-1)2+(b-2)2∈(8,17).类型三已知目标函数的最值求参数的取值范围(逻辑推理、数学运算)【典例】已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( )A. B. C.1 D.2【思路导引】先由前2个条件确定部分区域,再由z=2x+y的最小值为1,即可确定一个平面区域,再结合y≥a(x-3)的几何意义即可求出a的值.【解析】选B.作出不等式组表示的可行域,如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z=2x+y过交点B时,z取最小值,由得因为z min=2-2a=1,解得a=.由目标函数的最值求参数的解题思路已知目标函数的最值,求线性约束条件的参数问题,可以先画出线性约束条件中的已知部分,由于最值一般在可行域的顶点或边界处取得,常常利用数形结合的方法求解.设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=a x的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是 ( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.[3,+∞)【解析】选A.由线性约束条件画出平面区域D,图中阴影部分,观察图形可知当指数函数y=a x为增函数时,可能过区域D,又当底数越大,在第一象限它的图像越靠近y轴,所以当y=a x过x+y-11=0与3x-y+3=0的交点A(2,9)时,底数最大.即9=a2,所以a=3,因此1<a≤3.课堂检测·素养达标1.(2019·浙江高考)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )A.-1B.1C.10D.12【解析】选C.由线性约束条件可得可行域为图中阴影部分所示:由解得所以A(2,2),所以z max=3×2+2×2=10.2.(2020·德阳高一检测)已知实数x,y满足,则关于目标函数z=3x-y的描述正确的是( )A.最小值为-2B.最大值为3C.最大值为2D.无最大值也无最小值【解析】选A.由实数x,y满足,作出可行域,如图.目标函数z=3x-y可以化为y=3x-z.则z表示直线y=3x-z在y轴上的截距的相反数.由图可知,当直线y=3x-z过点B时,直线y=3x-z在y轴上的截距最大,无最小值.所以z有最小值-2,无最大值.3.(教材二次开发:习题改编)(2019·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为( )A.2B.3C.5D.6【解析】选C.已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距,故目标函数在点A处取得最大值.由得A(-1,1),所以z max=-4×(-1)+1=5.4.(2020·洛阳高一检测)若x,y满足约束条件则z=的最大值为 ( )A. B. C. D.3【解析】选C.由题意知,目标函数z=表示经过点A和可行域内的点(x,y)的直线的斜率,作出不等式组表示的可行域如图所示,根据目标函数z的几何意义,由图可知,当直线过A,C两点时,目标函数z=有最大值,联立方程解得所以点C,代入目标函数可得,z=的最大值为.5.若变量x,y满足则x2+y2的最大值是. 【解析】作出不等式组表示的平面区域,x2+y2表示平面区域内点到原点距离的平方,由得A(3,-1),易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.答案:10。
3_3_3 简单的线性规划问题(3)
3.3.3简单的线性规划问题（3）教学目标：1．掌握线性规划问题中整点问题的求解方法．2．理解线性规划的思想方法在其他方面的应用．的理解和理解，拓宽视野．4．体会线性规划这个数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性，激发学习数学的兴趣．教学重点：线性规划的应用．教学难点：将实际问题转化为线性规划问题，并给予求解．教学过程：这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用．一、例题讲解例1某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A型车4次，B型车3次．每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低，若只调配A型或B型卡车，所花的成本费分别是多少？解设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司花费成本z元，将题中数据整理成如下表格：则约束条件为10,4631018008,04,,x y x y x y x y +≤⎧⎪⋅+⋅≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，Ｚ. 即1045300804,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，，，Ｚ．目标函数为y x z 504320+=．作出可行域：当直线z y x =+504320经过直线3054=+y x 与x 轴的交点（7.5，0）时，z 有最小值，因为（7.5，0）不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是2560504320=+y x ，经过的整点是（8，0），它是最优解．答 公司每天调出A 型车8辆时，花费的成本最低，即只调配A 型卡车，所花最低成本费25608320=⨯=z （元）；若只调配B 型卡车，则y 无允许值，即无法调配车辆．例2 学校有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程．A 套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分，全学期20周，网络每周开播两次，每次均独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟，两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析，特别注意求整体、可解性和选择性．解 设选择A 、B 两套课程分别为y x 、次，z 为学分，则40,40321400,20401000,,.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩Ｎ图示： 目标函数y x z 45+=，由方程组解得点A （15，25），B （25，12.5）（舍）答 选A 课和B 课分别为15次和25次才能获得最好学分成绩例3 私人办学是教育发展的一个方向，某人准备投资1200万元创办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场实行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）：市场调查表根据物价部门的相关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费，初中每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个）．教师实行任聘制．初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年能够收回全部投资？分析 这是一道线性规划问题，可假设初中编制为x 个班级，高中编制为y 个班级，利用题设先列出不等式组，求出目标函数，然后画出它在直角坐标平面内所表示的区域，利用图形法加以求解．解 设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班，则依题意有*203028581200,x y x y x y ⎧≤+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩，，Ｎ． （★） 又设年利润为s 万元，那么y x y x s 44.2)10000150040()1000060050(--÷⨯+÷⨯=，即y x s 26.0+=．现在直角坐标系中作出（★）所表示的可行域，如下列图所示问题转化为在如下图的阴影局部中，求直线y x s 26.0+=在y 轴上的截距的最大值，如图，虚线所示的为一组斜率为3.0-的直线，显然当直线过图中的A 点时，纵截距取最大值．解联立方程组⎩⎨⎧=+=+,12005828,30y x y x 得⎩⎨⎧==1218y x将12,18==y x 代入s 中，得8.34max =s 设经过n 年可收回投资，则第1年利润为6.116.15.241000015004042.12610000600506=⨯⨯-÷⨯⨯+⨯⨯-÷⨯⨯ 第2年利润为2.236.112=⨯（万元）以后每年的利润均为34.8万元，故依题意应有1200)2(8.342.236.11=-++n 解得5.35≈n故学校规模以初中18个班、高中12个班为宜，第一年初中招生6个班约300人，高中招生4个班约160人，从第三年开始年利润为34.8万元，约经过36年能够收回全部投资．二、课堂小结通过这节课的学习，使我们对线性规划有了更深刻的理解，拓宽了我们的视野，让我们体会到线性规划问题在现实生活中具有非常广泛的应用．三、布置作业要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表： 规格 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板123今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？。
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
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3.最优解的几何意义是什么 (最优解可以转化为什么几何意义 最优解的几何意义是什么 最优解可以转化为什么几何意义 最优解可以转化为什么几何意义)?
y
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* ∈ y≥0 y∈N* ∈
打网格线法
15
B(3,9)
C(4,8)
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t 作出一组平行直线 = x+y， ，
x 78
2x+y=15
18
27
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时 但它不是最优整数解， 当直线经过点 时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，在可行域内打出网格线， 但它不是最优整数解 在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移， 继续向上平移， 将直线 继续向上平移 经过可行域内的整点B(3,9)和 C(4,8)且和原点距离最近的直线是 经过可行域内的整点 和 且和原点距离最近的直线是 x+y=12，它们是最优解 ，它们是最优解.
设生产甲、 分别为x 解:设生产甲、乙两种产品 分别为 设生产甲 乙两种产品.分别为 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y.
t、yt,利润总额为 元,那么 、 利润总额为 利润总额为z元 那么 y
75
50 40
画出以上不等式组所表示的可行域 出直线L 作出直线 600x+1000y=0. 把直线L向右上方平 把直线 向右上方平移
某工厂生产甲、乙两种产品 已知生产甲种产品 需消耗A种矿石 已知生产甲种产品1t需消耗 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 需消耗 种矿石 设生产甲、乙两种产品.分别为 、 利润总额为z元 分别为x 10t、B种矿石 、、煤4t；生产乙种产品利润总额为 元 种矿石 、B 种矿石5t、 吨需消耗A种矿石 、 设生产甲 乙两种产品 分别为 t、yt,利润总额为 种矿石4t、 种矿石 ；生产乙种产品1吨需消耗 吨需消耗 把题中限制条件进行转化： 把题中限制条件进行转化： 约束条件 元 每 乙种产品的利 种矿石4t、 甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利 种矿石 、煤9t.每1t甲种产品的利润是 每 甲种产品的利润是 润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 种矿石不 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不 润是 10x+4y≤300 元 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 超过300t、 消耗 种矿石不超过200t、消耗煤不超过 超过 5x+4y≤200 种矿石不超过 、 消耗B种矿石不超过 、消耗煤不超过360t.若你 4x+9y≤360 你应如何安排甲乙两种产品的产量 精确到0.1t),才能使利 你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到 是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量 精确到 才能使利 x≥0 目标函数：z=600x+1000y. 润总额达到最大? 润总额达到最大
1。画（画可行域） 。 画可行域） 2。作（作z=Ax+By=0时的直线 。） 时的直线L 。 时的直线 平移直线L 寻找使纵截距取得最值时的点） 3。移（平移直线 。寻找使纵截距取得最值时的点） 。 4。答（求出点的坐标，并转化为最优解） 求出点的坐标，并转化为最优解） 。
给定一定量的 人力.物力 物力, 人力 物力 资金等资源
Β
线性目标函数
四个步骤： 四个步骤：
1。画 。 2。作 。 3。移 。 4。答 。
0
代数问题
(线性约束条件 线性约束条件) 线性约束条件
图解法
想一想(结论): 想一想(结论): 三个转化
线性约束条件
图
转化 转化
可行域
解 法
+
线性目标函数 Z=Ax+By
Α = Β
一组平行线
最优解
转化
四个步骤：
Ζ 寻找平行线组的 最大（ 最大（小）纵截距 Β
2.该工厂生产哪些产品 该工厂生产哪些产品? 该工厂生产哪些产品 200
3.各种产品对原材料 资源 有怎样的要求 各种产品对原材料(资源 有怎样的要求? 各种产品对原材料 资源)有怎样的要求 360 9 4.该工厂对原材料 资源 有何限定条件 该工厂对原材料(资源 有何限定条件? 该工厂对原材料 资源)有何限定条件 1000 5.每种产品的利润是多少 利润总额如何计算? 每种产品的利润是多少?利润总额如何计算 每种产品的利润是多少 利润总额如何计算
原 料 奶粉(g) 奶粉 咖啡(g) 咖啡 糖(g) 利 润(元) 元 每配制1杯饮料消耗的原料 每配制 杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 设每天应配制甲种饮料x 乙种饮料y
2.目标函数经过 目标函数经过A(3.6,7.8)时Z的值是多少 的值是多少? 目标函数经过 时 的值是多少
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解 经过的整点是 直线 经过的整点是 和 ， 的最小值可能是多少 答（略 你能否猜测一下Z的最小值可能是多少） 的最小值可能是多少? 你能否猜测一下它们是最优解.
析 问 题 :
x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数: 目标函数 z=x+y
∈
约束条件: 约束条件 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, y≥0 目标函数:z= x+y ∈
y 15
{
调整优解法
图例题4.gsp示
10 B(3,9) C(4,8) 8 画可行域 6 A(3.6,7.8) x+y =0 4 作出直线L:x+y=0， 2 作出直线 ， 0 2 4 6 8
平移L找交点及交点坐标 平移 找交点及交点坐标
12
2x+y=15
x+y=12 x+2y=18
18
x 27
x+3y=27
作直线x+y=12 当直线L经过点 时 但它不是最优整数解. 作直线 当直线 经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解 经过点 1.满足哪些条件的解才是最优解 满足哪些条件的解才是最优解? 满足哪些条件的解才是最优解 解得交点B,C的坐标 的坐标B(3,9)和C(4,8) 解得交点 的坐标 和
经过可行域上的点M时 目标函数 经过可行域上的点 时,目标函数 轴上截距最大. 在y轴上截距最大 轴上截距最大 此时z=600x+1000y取得最大值 此时 取得最大值. 取得最大值 0
M (12.4,34.4) 4x+9y=360
10 10 20 30 40 5x+4y=200 90
x
由
{
5x+4y=200 4x+9y=360
调整Z的值使不定方程 存在最大（ 调整 的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小） 的值使不定方程 存在最大 的整点值，最后筛选出整点最优解． 的整点值，最后筛选出整点最优解．
巩固练习一
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则 设每天应配制甲种饮料 杯 乙种饮料 杯
咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉 咖啡4g、 咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡 、糖 9 x + 4 y ≤ 3600 4 x + 5 y ≤ 2000 3g,乙种饮料每杯含奶粉 、咖啡 、糖10g．已知每天原料 乙种饮料每杯含奶粉4g 咖啡5g、 乙种饮料每杯含奶粉 ． 的使用限额为奶粉3600g ，咖啡 咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 的使用限额为奶粉 如果甲种饮 3x + 10 y ≤ 3000 料每杯能获利0.7元 乙种饮料每杯能获利1.2元 料每杯能获利 元，乙种饮料每杯能获利 元，每天在原料 x ≥ 0 的使用限额内饮料能全部售出， 的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少 目标函数为： 目标函数为：z =0.7x +1.2y y ≥ 0 杯能获利最大？ 杯能获利最大 练习一.gsp 将已知数据列为下表： 解：将已知数据列为下表：
精打细算 最优方案
完成的任务量最大 经济效益最高
统筹安排
给定一项任务
最佳方案
所耗的人力. 所耗的人力 物力资源最小 获取最大的利润
降低成本
二.实际应用
探索问题一: 探索问题一:
某工厂生产甲、乙两种产品 已知生产甲种产品 已知生产甲种产品1t需消 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 需消 种矿石10t、 种矿石 种矿石5t、 耗A种矿石 、B种矿石 、煤4t；生产乙种产品 吨需 种矿石 ；生产乙种产品1吨需 消耗A种矿石 、 种矿石 种矿石4t、 消耗 种矿石4t、B种矿石 、煤9t.每1t甲种产品的利润 种矿石 每 甲种产品的利润 是600元,每1t乙种产品的利润是 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两 元 每 乙种产品的利润是 元 工厂在生产这两 种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 种产品的计划中要求消耗 种矿石不超过300t、 消耗 种 种矿石不超过 、 消耗B种 矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.若你是厂长,你应如 、消耗煤不超过 你应如 矿石不超过 何安排甲乙两种产品的产量(精确到 何安排甲乙两种产品的产量 精确到0.1t),才能使利润总额 精确到 才能使利润总额 达到最大? 达到最大
结论1: 结论1: