2.8 对数与对数函数
对数函数总结
对数函数总结对数函数是高中数学中的重要概念之一，它在各种科学与工程领域中都有广泛应用。
本文将对对数函数进行详细的总结，并介绍其定义、性质以及应用。
一、定义对数函数是指函数y = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x 和y是实数。
对数函数可以看作是指数函数y = aˣ的反函数。
对数函数y = logₐ(x)的定义域是正实数集合，值域是实数集合。
二、常用对数函数2. 通用对数：y = log₁₀(x)，其中a = 10。
3. 二进制对数：y = log₂(x)，其中a = 2三、性质1. 对数函数的图像：通用对数函数y = log₁₀(x)的图像是一条上升的曲线，自然对数函数和二进制对数函数也具有相似的性质。
2.对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集合，即x>0。
3.对数函数的值域：对数函数的值域是所有的实数集合，即(-∞,+∞)。
4.对数函数的基本性质：对数函数满足以下基本性质：（1）对数函数的对称性：logₐ(aˣ) = x；（2）对数函数的换底公式：logₐ(x) = logᵦ(x)/logᵦ(a)，其中a、b 是正实数且不等于1；（3）对数函数的推广：logₐ(m·n) = logₐ(m) + logₐ(n)，logₐ(m/n) = logₐ(m) - logₐ(n)，logₐ(mˣ) = x·logₐ(m)，其中a、m、n是正实数且不等于1五、对数函数的应用对数函数在各种科学与工程领域中都有广泛应用，主要包括以下几个方面：1.声音与音乐：声音的强度、功率以及音乐的音量等常用以对数函数作为数学模型。
2.生物学与医学：生物学中的激素浓度、细胞的增殖和死亡速率等可以使用对数函数进行建模。
此外，医学中的药物浓度、毒性等也可以通过对数函数进行分析。
3.经济学与金融学：经济学中的利润增长、利息的计算等可以使用对数函数进行建模。
金融学中的复利计算、收益率的估计等也可以通过对数函数进行分析。
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广袤天地中，对数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，就让我们一起深入了解对数的世界。
首先，我们来弄清楚什么是对数。
简单来说，对数是一种数学运算，表示要得到一个数，需要将某个固定的数（称为底数）乘多少次才能得到这个数。
例如，如果以 10 为底数，要得到 100，因为 10 的 2 次方等于 100，所以 100 以 10 为底的对数就是 2。
那为什么要引入对数呢？这是因为在很多数学和科学问题中，直接处理指数形式的数可能会很复杂，而通过对数可以将乘除运算转化为加减运算，大大简化了计算。
想象一下，如果要计算一个非常大的数的幂次方，直接计算可能会非常困难，但通过对数，就能够将问题变得相对简单。
对数有一些基本的性质和公式，这是我们理解和运用对数的关键。
其中一个重要的性质是：对数的底数不变，真数相乘，对数相加；真数相除，对数相减。
例如，以 a 为底数，m 和 n 为真数，那么logₐ(mn) ＝logₐ(m) ＋logₐ(n)，logₐ(m ／ n) ＝logₐ(m) logₐ(n)。
还有对数恒等式：a^（logₐN) ＝ N。
这个恒等式在解决很多对数相关的方程和问题时非常有用。
再来说说常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底数的对数，通常简记为 lg。
在日常生活和许多科学计算中，常用对数经常出现。
例如，在表示声音的强度、地震的震级等方面，常用对数都有应用。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底数的对数，通常简记为ln。
在微积分、概率论等高等数学领域，自然对数有着广泛的应用。
对数函数也是一个重要的概念。
对数函数是指形如 y ＝logₐx（a ＞0 且a ≠ 1）的函数。
它的定义域是 x ＞ 0，值域是全体实数。
对数函数的图像有着独特的性质。
当底数 a ＞ 1 时，函数单调递增；当 0 ＜ a＜ 1 时，函数单调递减。
高考第一轮复习数学：2.8 对数与对数函数
对数与对数函数●知识梳理 1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N .③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象a<11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基1.（2005年春季北京，2）函数f（x ）=|log 2x |的图象是C D解析：f （x ）=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案：A2.（2004年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.解析：由0≤log 21（3－x ）≤1⇒log 211≤log 21（3－x ）≤log 2121⇒21≤3－x ≤1⇒2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x 7y =z ，则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由log x 7y =z ⇒x z =7y ⇒x 7z =y ，即y =x 7z .答案：B5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.b ＜a ＜c D.c ＜a ＜b 解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D ●典例剖析【例1】 已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241 剖析：∵3＜2+log 23＜4，3+log 23＞4， ∴f （2+log 23）=f （3+log 23）=（21）3+log 23=241.答案：D【例2】 求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝.显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关于y 轴对称.又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜ y ＝log 2x .故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.1-1O xy评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.深化拓展已知y =log 21［a 2x +2（ab ）x －b 2x +1］（a 、b ∈R +），如何求使y 为负值的x 的取值范围?提示：要使y ＜0，必须a 2x +2（ab ）x －b 2x +1＞1，即a 2x +2（ab ）x －b 2x ＞0. ∵b 2x ＞0，∴（b a ）2x +2（b a）x －1＞0. ∴（b a ）x ＞2－1或（b a）x ＜－2－1（舍去）.再分b a ＞1，b a =1，ba＜1三种情况进行讨论.答案：a ＞b ＞0时，x ＞log ba （2－1）；a =b ＞0时，x ∈R ；0＜a ＜b 时，x ＜log ba （2－1）.【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练 夯实基础1.（2004年天津，5）若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42.答案：A2.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21B.－21 C.2 D.－2解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a 1）|，对称轴为x =a 1，由a1=－2得a =－21.答案：B 评述：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1. ∴4a +1=1或4a +1=－1.∵a ≠0，∴a =－21.3.（2004年湖南，理3）设f －1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 23解析：∵f －1（x ）=2x －1，∴［1+ f －1（a ）］［1+ f －1（b ）］=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8，∴a +b =3.答案：C4.（2004年春季上海）方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________. 解析：由lg x +lg （x +3）=1，得x （x +3）=10，x 2+3x －10=0. ∴x =－5或x =2. ∵x ＞0，∴x =2. 答案：25.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|.（1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0.综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜ x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|.培养能力7.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D.又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排除B. 答案：C8.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ， ∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ， ∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，从而f （log 2x ）=log 22x －log 2x +2=（log 2x －21）2+47. ∴当log 2x =21即x =2时，f （log 2x ）有最小值47. （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1.探究创新9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f （x ）=3x +k （k 为常数），A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点.（1）求实数k 的值及函数f －1（x ）的解析式；（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）的图象，若2 f－1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，试求实数m 的取值范围.解：（1）∵A （－2k ，2）是函数y = f －1（x ）图象上的点， ∴B （2，－2k ）是函数y =f （x ）上的点. ∴－2k =32+k .∴k =－3. ∴f （x ）=3x －3.∴y = f －1（x ）=log 3（x +3）（x ＞－3）.（2）将y = f －1（x ）的图象按向量a =（3，0）平移，得到函数y =g （x ）=log 3x （x ＞0），要使2 f－1（x +m －3）－g （x ）≥1恒成立，即使2log 3（x +m ）－log 3x ≥1恒成立，所以有x +x m +2m ≥3在x ＞0时恒成立，只要（x +x m+2m ）min ≥3. 又x +x m ≥2m （当且仅当x =x m ，即x =m 时等号成立），∴（x +xm +2m ）min =4m ，即4m ≥3.∴m ≥169.●思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识.拓展题例【例1】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4，∴当x ＝4时，y min ＝lg4.【例2】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A。
高三：对数与对数函数
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3. 则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是
则f(a2)＋f(b2)＝________. 解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lg a2 ＋lg b2＝2(lg a＋lg b)＝2lg(ab)＝2lg 10＝2. 答案：2
1.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在
无M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
1 4 3 1 ＝ ×(5lg 2－2lg 7)－ × lg 2＋ (lg 5＋2lg 7) 2 3 2 2 5 1 ＝ lg 2－lg 7－2lg 2＋ lg 5＋lg 7 2 2 1 1 1 1 ＝ lg 2＋ lg 5＝ lg(2×5)＝ . 2 2 2 2
(2)由 2a＝5b＝m 得 a＝log2m，b＝log5m， 1 1 ∴a＋b＝logm2＋logm5＝logm10. 1 1 ∵a＋b＝2， ∴logm10＝2，即 m2＝10. 解得 m＝ 10(∵m>0)．
A.0，
(
B. 2 ，1 2
)
2 2
C．(1， 2)
D．( 2，2)
[自主解答]
(1)由1－x>0，知x<1，排除选项A、
B；设t＝1－x(x<1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝ln t 为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
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自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
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跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
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考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数公式及对数函数的总结
对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。
对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。
下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。
一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。
a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。
对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。
2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。
常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。
二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。
2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。
b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。
c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。
d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。
三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。
例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。
（完整版）对数公式及对数函数的总结
（完整版）对数公式及对数函数的总结对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数。
③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =?=>≠>。
常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中2.71828e =…）．对数函数及其性质类型一、对数公式的应用1计算下列对数=-3log 6log 22 =?31log 12log 2222=+2lg 5lg =61000lg=+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333=++c b a 842log log log =+++200199lg 43lg 32lgΛ =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 22222 解对数的值：18lg 7lg 37lg214lg -+- 0 =-+-1)21(2lg 225lg-1 13341log 2log 8??-? ???的值0 提示：对数公式的运算如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么（1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a aMM N N-= （3）数乘：log log ()na a n M M n R =∈ （4）log aN a N = （5）log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈（6）换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log =类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是)1,31(-2设()x x x f -+=22lg，则??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4Y --3函数()f x = ]1,0()0,1(Y - ）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1≠=x xy 。
对数与对数函数
对数与对数函数什么是对数？对数是数学中的一个重要概念，在许多领域中都得到了广泛的应用。
对数的概念最早由苏格兰数学家约翰·纳皮尔斯·纳皮尔斯发现并提出。
对数可以帮助我们解决许多数学问题，特别是在指数运算中起到了重要的作用。
在数学中，对数是指一个数与某个给定的正数之间的关系。
具体来说，如果a^x = b，那么x就是以a为底数的对数。
用符号表示就是log_a(b) = x。
在这里，a被称为底数，b被称为真数，x被称为对数。
对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质使得对数在数学中得到了广泛的应用。
1.对数的底数不能为0或1：对数的底数不能为0或1，这是因为0没有正数的幂，而1的任何幂都等于1。
因此，对数函数的底数通常选择大于1的正数。
2.对数的特殊性质：log_a(1) = 0，对数的底数为多少，对应的对数值就是多少。
3.对数的运算律：对数具有一系列的运算律，如log_a(mn) = log_a(m) +log_a(n)，log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)，log_a(m^k) = klog_a(m)等。
对数函数及其图像对数函数是指以对数为自变量的函数。
对数函数的基本形式是y = log_a(x)，其中a为底数，x为真数，y为对数值。
对数函数的图像呈现出一些特点。
当底数a大于1时，对数函数的图像逐渐向右上方倾斜；当底数a在0和1之间时，图像逐渐向右下方倾斜。
对数函数的图像会经过点(1, 0)，并且与x轴和y轴相交。
对数函数的应用对数函数在许多领域中都有广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用。
1. 倍数增长问题在经济学中，对数函数可以用来描述某个指标的倍数增长。
例如，GDP的增长通常是以指数形式增长的，我们可以用对数函数来表示这种增长。
通过对数函数，我们可以方便地比较不同时间段的经济增长率。
2. 计算器的对数函数对数函数在计算器上得到了广泛的应用。
计算器上的对数函数通常以10为底，可以方便地计算一个数的对数值。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材新高考新人教A版) 对数与对数函数
所以a＋2b>3， 所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞).
思维升华
对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的 特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则logaM＝logaN.( × )
(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.( × )
(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × )
(4)函数y＝log2x与y＝log 1
C.(0,1)
B.(1,3) D.(1，＋∞)
令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数. 又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减， 可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1， 故有a6>－12，a≥0， 解得 1<a≤3.
(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝logax2－ax＋12 (a>0，且a≠1)有最小值， 则实数a的取值范围是_(_1_，___2_)_.
命题点3 对数函数的性质及应用 例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)
√A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B.是奇函数，且在(－3,3)上单调递减 C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增 D.是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}， f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|， 令g(x)＝|x2－9|， 则f(x)＝ln g(x)， 函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知， 当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增， 由复合函数单调性同增异减得单调区间. 由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数.
对数与对数函数
对数与对数函数1．对数定义域为(0，＋∞)[小题体验] 1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0 C ．(1,0)D ．(0,1)2．(教材习题改编)计算：(1)log 35－log 315＝______.(2)log 23·log 34·log 45·log 52＝______.3．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．1．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[小题纠偏]1．函数y ＝log 0.5(4x －3)的定义域为______．2．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是______．考点一 对数式的化简与求值(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 32＋log 34＝________.3．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷10012－＝______. 4．(2016·山东乳山市模拟)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________.[谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第1题易错．考点二 对数函数的图象及应用(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题] 作函数y ＝|log 2(x －1)|的图象．[类题通法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[越变越明][变式1]试写出函数y＝|log(x－1)|的减区间________．2[变式2]函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是()[变式3](2014·山东高考)已知函数y＝log(x＋c)(a，c为常数，a其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <考点三 对数函数的性质及应用角度一：求函数的定义域1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]角度二：比较对数值的大小2．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( ) A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c角度三：简单对数不等式的解法3．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是__________．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·南昌一模)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 3．(2016·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c4．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 5．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．二保高考，全练题型做到高考达标1．(2014·天津高考)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)2．(2016·江西八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5 B ．3 C ．－1 D.723．(2016·皖北联考)设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c4．已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<16．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______.8．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．9．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．。
对数对数函数知识点
对数对数函数知识点对数函数是指以对数为变量的函数。
在数学中，对数函数常用于解决指数方程和指数不等式的问题。
了解对数函数的性质和应用十分重要。
以下将介绍对数函数的定义、性质以及常用的应用方面的知识。
一、对数函数的定义：对数函数的定义如下：对于任意正实数a>0且a≠1，以a为底的对数函数（logarithmic function）是指一个函数f(x)，它满足以下条件：f(a)=1,f(a^x)=x,这里，a被称为对数函数的底数，x被称为实数a的对数。
常用的对数函数有自然对数函数(ln x,以e为底)和常用对数函数(log x,以10为底)。
二、对数函数的性质：对数函数具有以下性质：1.对数函数的定义域为正实数集合R+，值域为实数集合R。
即对数函数的自变量必须为正数，而因变量可以是任意实数。
2.对数函数的图像：（1）以10为底的对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
（2）以e为底的自然对数函数的图像是一条连续递增的曲线，通过点（1，0）。
3.对数函数的反函数：对数函数的反函数为指数函数，即指数函数f(x) = a^x是对数函数f(x) = loga(x)的反函数。
4.对数函数的性质：（1）loga(mn) = loga(m) + loga(n)：对数函数的乘法性质。
（2）loga(m/n) = loga(m) - loga(n)：对数函数的除法性质。
（3）loga(m^k) = k∙loga(m)：对数函数的幂性质。
三、常用的对数函数应用：对数函数在数学和其他科学领域中有广泛的应用。
以下是对数函数的一些常见应用：1.解指数方程和指数不等式：对数函数可以通过将指数方程或指数不等式转化为对数方程或对数不等式来解决复杂的指数问题。
2.模型和估计：对数函数可以用于建立各种类型的数学模型，例如经济学、生物学和物理学等领域中的增长模型和衰减模型。
对数函数还可以用于对大量数据进行估计和预测。
3.数据缩放：对数函数可以在可视化数据时使用，帮助将大范围的数值缩小到较小的比例，以便更好地观察数据之间的关系。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要知识点之一，它广泛应用于数学、物理、经济学等领域。
本文将对对数函数的定义、性质和应用进行详细总结，帮助读者全面了解对数函数。
一、对数函数的定义1. 对数函数的定义：对于任意正实数a（a≠1）和正实数x，称y=logₐx为以a为底x的对数，其中x被称为真数，a被称为底数，y被称为对数。
记作y=logaₐx。
2. 以10为底的对数函数：y=log₁₀x，通常将其简写为y=logx。
3. 自然对数函数：以e≈2.71828为底的对数函数，记作y=loge x或y=lnx。
二、对数函数的基本性质1. 对数函数与指数函数的互为反函数性质：对数函数y=logₐx与指数函数y=aˣ满足关系方程aˣ=x，x>0，a>0且a≠1。
2. 对数函数的定义域和值域：对数函数y=logₐx的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
3. 对数函数的对称关系：对于任意正实数x和定义域内的正实数a，有对称关系logₐx=y↔aʸ＝x。
4. 对数函数的性质：（1）等式性质：logₐx=logₐy→x=y；logₐx=logb x/lobb a；logₐ1=0；l ogₐa=1。
（2）倒数性质：loga(1/x)=-logₐx。
（3）指数性质：logₐxⁿ=nlogₐx。
（4）乘法性质：logₐ(xy)=logₐx+logₐy。
（5）除法性质：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy。
三、对数函数的图像与性质1. 对数函数y=logₐx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
（4）曲线在x轴的右侧均为上升曲线。
（5）曲线在x=1处有一垂直渐近线。
2. 自然对数函数y=lnx的图像特点：（1）定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
（2）过点(1,0)。
（3）随着x的增大，y增大，但增长速度逐渐减小。
高考数学理一轮复习 2-8对数与对数函数 精品课件
(4)命题等价于x2－2ax＋3＞0的解集为 {x|x＜1或x＞3}． ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3，即a＝2.
(5)∵y＝f(x)≤－1，∴u＝g(x)值域为[2，＋∞)．
∴3－a2＝2，即a＝±1.
[规律总结]
(1)定义域为R的问题实质上是不等式恒成
立问题，一般转化为求函数的最值问题．,(2)值域为R的问题
[解] 设 u＝g(x)＝x2－2ax＋3 ＝(x－a)2＋3－a2. (1)∵u＞0 对 x∈R 恒成立， ∴umin＝3－a2＞0， ∴－ 3＜a＜ 3(或由 x2－2ax＋3＞0 的解集为 R 得 Δ ＝ 4a2－12＜0 求出－ 3＜a＜ 3)． (2)∵f(x)的值域为 R， ∴Δ＝4a2－12≥0，即 a≥ 3或 a≤－ 3. ∴实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]∪[ 3，＋∞)．
实质是 x 能取遍某区间上的所有值，一般利用方程有解的条
件求参数的取值范围．
备选例题2
题型三
对数函数的图象与性质 ①对数函数的图象 思维提示 ②对数函数的定义域、值域及单调性 例3 已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过 这两点的直线平行于x轴； (3) 当 a 、 b 满足什么条件时， f(x) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上恒取正 值．
(3)由 f(x)在[－1，＋∞)上有意义， 知 u＝x2－2ax＋3＞0 对 x∈[－1，＋∞)恒成立． ∵g(x)的对称轴为 x＝a， ∴当 a＜－1
a＜－1 时，g(－1)＞0，即 2a＋4＞0
，
解得－2＜a＜－1. 当 a≥－1 时，Δ＜0，即－ 3＜a＜ 3， ∴－1≤a＜ 3. 故所求 a 的取值范围是(－2，－1)∪[－1， 3)， 即(－2， 3)．
2020年高考数学第一轮复习数学2.8 对数与对数函数
2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数（一）知识梳理 1．对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log aaa MMN N=- log log n a a M n M=其中a>0,a ≠0,M>0,N>0；log log (0,01,01)log m a m NN N a a m m a=>>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称 指数函数 对数函数一般形式Y=a x(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数性０＜a<1,在(-∞,+ ∞)上为减函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0?4．几个注意点1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则 解：利用中间值和1来比较:372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，2. （江西文4）若01x y <<<，则A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y <3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --=的定义域为 ．4.（2020年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）5.(2020北京春季高考)函数f(x)=|log 2x|的图象是( )解析:f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 答案:A（三）题型剖析考点一：对数函数性质应用例1：取值 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ 3．指对数互化例2．已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小 思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。
对数与对数知识点
对数与对数知识点在数学的广阔天地中，对数是一个十分重要的概念。
它就像一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决许多复杂的数学问题。
接下来，让我们一起深入探索对数的世界。
一、什么是对数简单来说，对数就是一种表示数的方法。
假设我们有一个等式 a^b ＝ N（其中 a 是底数，b 是指数，N 是幂），那么 b 就叫做以 a 为底 N 的对数，记作logₐN。
例如，2³＝ 8，那么 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝ 3。
对数的出现，其实是为了简化计算。
在没有对数的概念之前，计算一些复杂的乘除幂运算可能会非常繁琐，而对数的引入大大降低了计算的难度。
二、对数的性质1、对数的零和负数无意义因为对数是指数的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能为零或负数，所以对数中的真数（也就是幂的值）必须大于零。
2、logₐa ＝ 1因为 a^1 ＝ a，所以logₐa ＝ 1。
3、logₐ1 ＝ 0因为 a^0 ＝ 1，所以logₐ1 ＝ 0。
4、logₐ(M × N) ＝logₐM ＋logₐN这一性质可以通过指数运算的规律推导出来。
假设logₐM ＝ p，logₐN ＝ q，那么 a^p ＝ M，a^q ＝ N，所以 M × N ＝ a^p × a^q ＝ a^（p ＋ q)，从而得出logₐ(M × N) ＝ p ＋ q ＝logₐM ＋logₐN。
5、logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN同样可以通过指数运算来推导。
6、logₐM^n ＝n logₐM假设logₐM ＝ p，那么 M ＝ a^p，所以 M^n ＝（a^p)＾n ＝ a^（pn)，从而得出logₐM^n ＝ pn ＝n logₐM。
三、常用对数和自然对数在实际应用中，有两种常见的对数：常用对数和自然对数。
常用对数是以 10 为底的对数，记作 lg N。
例如，lg 100 ＝ 2。
自然对数是以无理数 e（约等于 271828）为底的对数，记作 ln N。
对数与对数函数
对数与对数函数对数是数学中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在初等数学中，对数通常被定义为指数运算的逆运算，它可以将幂运算转化为乘法运算，使得计算更加简便。
首先，我们需要明确什么是指数运算。
在数学中，指数是表示乘积中重复因子的方法。
例如，2的3次方(记作2³)表示将2连乘3次，即2³=2×2×2=8。
指数运算可以方便地表示大量重复因子的乘积。
然而，当我们需要求解指数运算的逆运算时，即求解2的几次方等于8时，对数的概念就派上用场了。
对数函数可以将指数运算转化为乘法运算，使我们能够更轻松地求解指数方程。
对数的定义为：对于任意正数a，b（a≠1），若a的x次方等于b，则称x为以a为底b的对数，记作logₐb，即aˣ=b⇔logₐb=x。
其中，a称为对数的底数，b称为真数，x称为对数。
对数函数是一个连续的函数，其定义域为正实数，值域为实数。
在实际应用中，常用的对数函数是以10为底的对数函数（常用对数）和以e为底的自然对数函数。
这两个对数函数在科学计算、工程技术等领域中具有广泛的应用。
常用对数函数被记作log₁₀x或lgx，其中10作为底数。
自然对数函数被记作lnx，其中e≈2.71828作为底数。
常用对数和自然对数是对数学习和使用非常重要的两个基础函数。
对数函数具有一些重要的性质。
首先，对数函数的定义域为正实数，对于负数和零它是 undefined。
其次，对数函数的图像具有特殊的性质，形状呈现出上升趋势，但增速逐渐减缓。
此外，对数函数的反函数是指数函数，即对数函数和指数函数是互为逆函数的。
对数函数在数学中有着广泛的应用。
在代数中，对数函数可以简化指数方程的求解过程。
在几何中，对数函数可以转化为直角坐标系中的一条直线，方便研究数学模型。
在概率论与统计学中，对数函数可以将乘法转化为加法，便于进行概率运算。
在微积分中，对数函数可用于求解微分方程和对数法则的证明。
高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
第十讲对数与对数函数
第十讲对数与对数函数对数与对数函数是高等数学中的重要概念，它们在数学、工程、物理等领域有广泛应用。
本文将从对数的定义、性质以及对数函数的图像等方面进行详细介绍。
首先，对数的定义是通过指数运算与对数运算的逆运算得出的。
假设a^x=b，其中a>0且a≠1，则x称为以a为底b的对数，记作x=log_a b。
例如，10^2=100，所以log_10 100=2、一般来说，我们常用的对数是以10为底的对数，记作logb=log_10 b。
此外，我们也经常使用以e为底的对数，记作ln x。
对数的一些重要性质如下：1. loga (1)=0，即任何数以其本身为底的对数都等于0。
2. loga (a)=1，即任何数以其本身为底的对数都等于13. loga (b·c)=loga (b)+loga (c)，即对数运算中的乘法转化为加法。
4. loga (b/c)=loga (b)-loga (c)，即对数运算中的除法转化为减法。
5. loga (b^c)=c·loga (b)，即对数运算中的指数转化为乘法。
接下来我们来看一下对数函数的图像。
对数函数y=log_a x的图像特点如下：1. 当0<a<1时，对数函数y=log_a x的图像在第一象限下单调递减。
当x=1时，y=0；当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0。
2. 当a>1时，对数函数y=log_a x的图像在第一象限下单调递增。
当x=1时，y=0；当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0。
3. 当a=1时，对数函数y=log_a x的图像是常数函数，即y=0。
对数函数的图像还有以下一些特点：1.对数函数的图像关于直线y=x对称。
2.对数函数的图像在点(1,0)处有一个水平渐近线。
3.对数函数的图像在x轴的右侧和y轴的上方处无定义。
4.对数函数的图像在y>0时是增长函数，在0<y<1时是减小函数。
对数函数表达式
对数函数表达式对数函数是一个常见的数学函数，但并不是所有的人都能够轻松理解它的表达式。
本文将对对数函数的定义及其表达式进行详细介绍，以便为读者解决一些概念上的问题。
首先，让我们来看看什么是对数函数。
简而言之，对数函数是一个函数，它用一个底数来衡量指定数值的大小。
这个底数可以是任何不同的数字，但是最常见的底数是10或e，其中e是自然对数，约为2.7。
要计算对数函数，可以使用以下格式：y=logx其中，log是任何底数，例如以10为底的常规对数，或以e为底的自然对数，而x是要计算的数值。
要理解这个表达式，我们首先要弄清楚什么是对数。
对数是指按照一定规则进行计算，得到一组数字并将其乘方，以获得原始计算值之间的关系。
具体来说，如果我们取一个数字，比如10，然后以10为底数，将它乘方，那么我们可以得到10的多少次幂的大小。
因此，如果我们想要计算任意两个数之间的关系，我们可以检查它们的有多少次幂相等。
当我们讨论对数函数时，这个想法尤其重要，因为这是对函数的定义：对数函数是一个满足以下关系的函数：logx = y这里logx表示底数为x的对数，而y表示要求解的次幂数。
例如，如果我们想要找到以10为底数的5的次幂，我们可以将上面的关系写成：log10 = y我们可以将y解释为5，因此得出结论：log10 = 5这就是我们经常看到的对数函数表达式。
当我们谈到对数函数时，要记住它的一个重要特性：它是一个可逆函数。
这意味着，如果我们把以10为底的对数函数取反，那么它的结果是以10为底的指数函数。
因此，我们可以将以下表达式写成： y=10x这就是以10为底的指数函数的常见表达式。
最后，我们说到如何使用对数函数来求解数值之间的关系。
我们知道，当我们需要比较两个数字时，我们可以使用对数函数来找到它们之间的有多少倍关系。
例如，设a=10，b=100，我们可以使用以下方式来计算它们之间的关系：log10 = ylog100 = x由于log10 = 1，因此，x=2.所以，我们知道，a=10，b=100时，它们的比值为10的2次幂。
2.8对数和对数函数
2.8对数与对数函数高三数学组学习目标：1.理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
2.掌握对数函数的概念、图像和性质。
3.能够运用对数函数的性质解决某些简单的实际问题学习重点：对数函数的概念、图像和性质。
【基础知识复习】课堂提问背诵内容：1、 对数(1)对数的概念:(2)两个特殊对数:(3)对数的性质① 没有对数; ②log 1a = ; ③log a a = ; ④log a N a= 2.对数的运算性质(0,1,0,0)a a M N >≠>>(1)log ()a MN = ; (2)log aM N = ; (3)log n a M = ; (4) log log b a M b=(换底公式) (5)log n n a M = . （6）log a b ·log b c =____；（7）log a b ·log b a =____；3.对数函数(1)对数函数的定义:函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做 .（2）画出指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图像，并总结其性质：【基础训练题】1、lg83lg5+=( )A.3-B.1-C. 1D. 32、对于1,0≠>a a ，下列说法中，正确的是（ ）(A)N M N M a a log log ,==则若 (B) N M N M a a ==则若,log log(C) N M N M a a ==则若,log log 22 (D) 22log log ,N M N M a a ==则若3．（08北京2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 4．函数12log (32)y x =-的定义域是：（ ） A ．[1,)+∞ B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．23(,1]5. 化简 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+=【巩固与提升训练】1．下面不等式成立的是 ( )A ．322log 2log 3log 5<<B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<2．已知01a <<，log 2log 3aa x =+，1log 52a y =， l o g 21l o g 3a a z =-，则（） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >> 3．下列四个数中最大的是（ ）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 24.设2323log 3,log 2,log (log 2),P Q R ===则（A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P << （D ）R P Q <<5.若01x y <<<，则（ ）A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y < 6.已知1122log log 0m n <<，则（ ）(A) n ＜m ＜ 1 (B) m ＜n ＜ 1 (C) 1＜ m ＜n (D) 1 ＜n ＜m7.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( ) (A)a b c <<a<b<c (B c b a << (C)c a b << (D)b a c <<8．若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a9． 设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，a =( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．410．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 11.设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则p n m ,,的大小关系为（ ）(A) n ＞m ＞p (B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p (D) p ＞m ＞n12．已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a c b << 13.函数20.5log (43)y x x =-的定义域为14.如图中的曲线是对数函数y=log a x 的图象,已知a 取 3 ,43 ,35 ,110四个值,则相应于曲线c 1,c 2,c 3,c 4 的a 之值依次为_________15.方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为 ．。
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2.8 对数与对数函数
一、选择题
1．已知1＜x ＜10，那么lg 2x ，lg x 2，lg(lg x )的大小顺序是( ) A ．lg 2x ＜lg(lg x )＜lg x 2 B ．lg 2x ＜lg x 2＜lg(lg x ) C ．lg x 2＜lg 2x ＜lg(lg x )
D ．lg(lg x )＜lg 2x ＜lg x 2
解析：∵1＜x ＜10，∴0＜lg x ＜1，∴lg(lg x )＜0，0＜lg 2x ＜2lg x ，∴lg(lg x )＜lg 2x ＜lg +x 2. 答案：D
2．若函数y ＝log a |x －2|(a >0且a ≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f (x )在区间(2，＋∞)上的单调性为( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．单调递增
D ．单调递减
解析：本题考查复合函数的单调性．因为函数f (x )＝log a |x －2|(a >0且a ≠1)在区间(1,2)上是增函数，所以f (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)在区间(1,2)上是增函数，故0<a <1；函数f (x )＝log a |x －2|(a >0且a ≠1)在区间(2，＋∞)上的解析式为f (x )＝log a (x －2)(a >0且a ≠1)，故在区间(2，＋∞)上是一个单调递减函数． 答案：D
3．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．[2，＋∞)
解析：①用特殊值检验．a ≠1，应排除B 项．当a ＝2时，x ＝1不在定义域内，排除D
项．再取a ＝1
2，此时y ＝，函数在[0,1]上是增函数，不合题意，排除A 项．
②函数定义域为{x |x <2a }．[0,1]应在定义域内，则2
a ＞1，所以0＜a ＜2.又因为y 在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，即a ＞1，故1＜a ＜2. 答案：C
4．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，log a 3) D ．(log a 3，＋∞) 解析：由f (x )<0，即a 2x －2a x －2>1，整理得(a x －3)(a x ＋1)>0，则a x >3.∴x <log a 3. 答案：C 二、填空题
5．若正整数m 满足10m －
1＜2512＜10m ，则m ＝__________.(lg 2≈0.301 0)
解析：不等式10m －
1＜2512＜10m 同时取以10为底的对数．
则⎩
⎪⎨⎪⎧
m －1＜512 lg 2m ＞512 lg 2，∴154.112＜m ＜155.112，∴m ＝155.
答案：155 6．若f (x )＝
，且f (lg a )＝10，则a ＝________.
解析：f (lg a )＝＝a lg a a
＝10，∴a lg a ＝
，两边取常用对数，得
(lg a )2＝1
2
(1＋lg a )，
∴2(lg a )2－lg a －1＝0，解得lg a ＝1或lg a ＝－12.∴a ＝10或a ＝10
10.
答案：10或
10
10
7．函数f (x )＝log 0.5(3x 2－ax ＋5)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：设g (x )＝3x 2－ax ＋5，由已知⎩⎪⎨⎪⎧
a 6≤－1，g (－1)≥0，解得－8≤a ≤－6.
答案：[－8，－6] 三、解答题
8．求值：lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27
.
解答：解法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3
(4－3)lg 3
＝11
5.
解法二：原式＝
.
9．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域；(2)讨论函数f (x )的单调性． 解答：(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0；
当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故
，∴log a (
－1)<log a (
－1)，
∴f (x 1)<f (x 2)，故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．
10．设a 、b ∈R ，且a ≠2，若奇函数f (x )＝lg 1＋ax
1＋2x 在区间(－b ，b )上有定义．
(1)求a 的值；
(2)求b 的取值范围；
(3)判断函数f (x )在区间(－b ，b )上的单调性． 解答：(1)f (－x )＝－f (x )，即lg 1－ax 1－2x ＝－lg 1＋ax
1＋2x
， 即
1－ax 1－2x ＝1＋2x
1＋ax
，整理得：1－a 2x 2＝1－4x 2，∴a ＝±2，又a ≠2，故a ＝－2. (2)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x
的定义域是⎝⎛⎭⎫－12，12，∴0<b ≤1
2. (3)f (x )＝lg 1－2x 1＋2x ＝lg －(1＋2x )＋2
1＋2x
＝lg ⎝⎛⎭⎫－1＋21＋2x .∴函数在定义域内是单调递减的．
1．(2010·南开中学月考)若a ＝ln 264，b ＝ln 2 ln 3，c ＝ln 2π
4，则a 、b 、c 的大小关系是( )
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＜b ＜c
D ．a ＞c ＞b
解析：a ＝ln 264＝(ln 2＋ln 3)
2
4＞ln 2ln 3＝b ，又4ln 2ln 3＝ln 4ln 9＞ln 2π，
即b ＝ln 2 ln 3＞ln 2π
4＝c ，因此a ＞b ＞c .
答案：A
2．已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．求证：(1)函数f (x )的图象在y 轴的一侧； (2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0. 证明：(1)由a x －1>0得：a x >1，
∴当a >1时，x >0，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数f (x )的图象在y 轴右侧； 当0<a <1时，x <0，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数f (x )的图象在y 轴左侧． ∴函数f (x )的图象在y 轴的一侧．
(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上任意两点，且x 1<x 2， 则直线AB 的斜率k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2，y 1－y 2
＝log a (－1)－log a (
－1)＝log a
，
当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2， ∴1<
<
2，∴0<
－1<－1，∴0<
<1，∴y 1－y 2<0，
又x 1－x 2<0，∴k >0；当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0， ∴
>ax 2>1，∴
－1>
－1>0，∴
>1，∴y 1－y 2<0，
又x 1－x 2<0，∴k >0.∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.。