2019-2020学年内蒙古赤峰市宁城县高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年内蒙古赤峰市宁城县高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．顶点在原点，焦点是()0,2的抛物线的方程是( ) A ．28y x = B ．28x y = C ．28x y = D ．28y x =【答案】B【解析】设抛物线方程为22x py =，0p >，由此能求出抛物线方程.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，焦点为()0,2F ，则设抛物线方程为22x py =，0p >，所以，22p=，即4p =， 故抛物线方程为：28x y =. 故选：B. 【点睛】本题考查抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用，属于基础题.2．已知,,a b c ∈R ,给出下列条件：①22a b >；② 11a b<；③ 22ac bc >，则使得a b >成立的充分而不必要条件是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．①②③【答案】C【解析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是a b >成立的充分而不必要条件即可. 【详解】由①22a b >，得：||||a b >，不一定有a b >成立，不符； 对于②，当1,1a b =-=时，有11a b<，但a b >不成立，所以不符； 对于③，由22ac bc >，知c ≠0，所以，有a b >成立，当a b >成立时，不一定有22ac bc >，因为c 可以为0，符合题意； 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.4．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤L ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤L ， 中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++L ，后来平均数234817x x x x x '=+++L （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦L 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点M 为AC 与的BD 的交点，AB a =u u u rr，AD b =u u u r r ，1A A c =u u ur r ，则下列向量中与1B M u u u u r 相等的是（ ）A ．1122a b c -++r r rB ．1122a b c ++r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122a b c --+r r r【答案】A 【解析】【详解】因为利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出11111()222B M B BM c c a B b B AD A =+=+-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r rr r r ，选A6．直线运动的物体，从时刻t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为( )A ．从时刻t 到t t +∆时，物体的平均速度B ．从时刻t 到t t +∆时位移的平均变化率C ．当时刻为t ∆时该物体的速度D ．该物体在t 时刻的瞬时速度 【答案】D【解析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t t +∆时，时间的变化量为t ∆，而物体的位移为s ∆，那么0lim t st∆→∆∆为该物体在t 时刻的瞬时速度.故选：D. 【点睛】本题考查变化率的定义，涉及导数的定义，属于基础题．7．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 【解析】【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.8．已知12F F ，分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．3⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，说明12F PF ∠在最大时都有12120F PF ∠<︒，列出不等式再转化求解椭圆的离心率的范围即可. 【详解】由题意，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，即在椭圆C 上任意点P 使12120F PF ∠<︒.根据焦点三角形的性质，当()0,P b ±时，12F PF ∠最大， 取()0,P b ，又()1,0F c -，()2,0F c ，1PF a =，所以1sin sin 60c F PO a ︒∠=<=0e <<. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的性质，椭圆的离心率的求法，属于基础题.9．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=,24699a a a ++=,以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A ．21 B ．20C ．19D ．18【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知135105a a a ++=,24699a a a ++=,得： 1136105{3999a d a d +=+=，解得：139{2a d ==-， 412n a n =-，由4120n a n =-≥，得：1202n ≤， ∴当120n ≤≤时，0n a >，当21n ≥时，0n a <，故当20n =时，n S 达到最大值. 故选B ．【考点】等差数列的前n 项和．【易错点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式，及等差数列前n 项和取最值的条件及求法，如果从等数列的前n 项和公的角度，由二次函数求最值时，对于n 等于21还是20时，取得最大值，学生是最容易出错的.10．设A ，B ，C ，D 是空间内不公面的四点，且满足0,0AB AC AD AC •=•=u u u r u u u r u u u r u u u r，0AB AD •=u u u r u u u r，则BCD ∆是A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形【答案】B 【解析】略11．已知双曲线2212y x -=，过点P (1，1)作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，下面结论正确的是( ) A ．直线l 存在，其方程为210x y --= B ．直线l 存在，其方程为210x y -+= C ．直线l 存在，其方程为230x y +-= D ．直线l 不存在【答案】D【解析】假设存在这样的直线l ，分直线斜率存在和斜率不存在设出直线l 的方程，利用点()1,1P 为A ，B 的中点，建立关系式解得即可. 【详解】①当过点()1,1P 的直线方程斜率不存在时，此时直线方程为：1x =，与双曲线只有一个交点，不满足题意；②当过点()1,1P 的直线方程斜率存在时，设直线方程为：()11y k x -=-，由()221122y k x x y ⎧-=-⎨-=⎩，得()()2222222230k x k k x k k -+--+-= 当直线与双曲线相交于两个不同点， 则必有：()()()22222242230k kk k k ∆=----+->，即32k <， 又()1,1P 为()11,A x y ，()22,B x y 的中点，则21222222k k x x k-+==-， 解得2k =，此时不满足条件， 综上，符合条件的直线l 不存在. 故选：D.【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，解题时要特别注意韦达定理的重要应用，学会判断直线与曲线位置关系的判断方法，属于中档题．二、填空题12．双曲线2214x y -=一个焦点到一条渐近线的距离为______【答案】1【解析】求出双曲线的渐近线方程，用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】根据对称性，2214x y -=焦点坐标F ，渐近线方程为12y x =，即20x y -=，1=.故答案为:1 【点睛】本题考查双曲线简单几何性质，属于基础题.13．曲线()ln(1)f x x =+在点()0,0处的切线方程为__________. 【答案】0x y -=【解析】求出原函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，再由直线方程的斜截式得答案． 【详解】由曲线()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+， 所以()10101f '==+， 故曲线()()ln 1f x x =+在点()0,0处的切线方程为：y x =，即0x y -=. 故答案为：0x y -=. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．14．某部门在同一上班高峰时段对某地铁站随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）.将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]L 分组，制成频率分布直方图，则a =__________；在上班高峰时段在该地铁站乘车等待时间少于20分钟人数的估计值为____________.【答案】0.036 25【解析】由频率分布直方图的性质能求出a ；由频率分布直方图求出乘客在地铁站平均等待时间少于20分钟的频率，即可得到结论． 【详解】解：0.012530.040520.048551a ⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=Q ， 0.036a ∴=．由题意知乘客在地铁站平均等待时间少于20分钟的频率为：(0.0120.0400.048)50.5++⨯=，500.525∴⨯=．∴在上班高峰时段在该地铁站乘车等待时间少于20分钟人数的估计值为 25．故答案为：0.036，25． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．将自然数1，2，3，4，…排成数阵（如右图所示），在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，…，则转第100个弯处的数是______．【答案】2551【解析】观察由1起每一个转弯时增加的数字，可发现为“1，1，2，2，3，3，4，4，…”， 即第一、二个转弯时增加的数字都是1， 第三、四个转弯时增加的数字都是2， 第五、六个转弯时增加的数字都是3， 第七、八个转弯时增加的数字都是4， …故在第100个转弯处的数为：()5015012(12350)1225512+++++⋯+=+⨯=.故答案为2551.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．三、解答题16．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知1365,127a S ==.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最大值. 【答案】（1）()587n a n =-；（2）当7n =或8时，最大值为20. 【解析】（1）结合等差数列的通项公式及求和公式可求1a ，d 进而可求， （2）结合等差数列的前n 项和公式及二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）Q 等差数列{}n a 中，1365,127a S ==，15a ∴=，1633127a d +=+，解得57d =-，∴555(1)(8)77n a n n =--=-；（2）()225755515112558271414256n n n nS n n -⎛⎫⎛⎫=+-==--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当7n =或8时，前n 项的和n S 取得最大值，此时7820S S ==．n S 的最大值为20．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，属于基础题． 17．如图，在四边形ABCD 中，7,2,AC CD AD ==2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长. 【答案】（121（27【解析】（1）ACD ∆中，设(0)AD x x =>，利用余弦定理得到1x =，再利用正弦定理得到答案.（2）利用面积关系得到sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠化简得到cos 2.AB CAD AD ⋅∠=根据（1）中21sin 7CAD ∠=解得答案. 【详解】（1）在ACD ∆中，设(0)AD x x =>， 由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π 整理得277x =，解得1x =. 所以1, 2.AD CD ==由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得21sin 7DAC ∠= （2）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=， 所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠= 因为21sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以227cos 1sin CAD CAD ∠=-∠=. 代入计算2721AB ⨯=⨯ 因此7.AB = 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生利用正余弦定理解决问题的能力.18．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）710；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解析】（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解 【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”． 根据题意，()42P A 105==． （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况， 所以所求概率为710. （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题19．已知在平面直角坐标系中，动点P 到定点F (1,0)的距离比到定直线x =-2的距离小1.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与（1）中轨迹C 交于A ，B 两点，通过A 和原点O 的直线交直线x =-1于D ，求证：直线DB 平行于x 轴. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析.【解析】（1）判断轨迹为抛物线，转化求解抛物线方程即可．（2）画出图形，设直线AB 的方程为1x my =+代入抛物线方程，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，取得BD 的纵坐标，然后推出结果．【详解】（1）解：动点P 到(1,0)F 的距离比到定直线2x =-的距离小1，则与到定直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹为以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，其方程为24y x =①（2）证明：设直线AB 的方程为1x my =+② ②代入①，整理得2440y my --=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124y y =-，所以点B 的纵坐标214y y=-③ 因为2114y x =，所以直线OA 的方程为1114y y x x x y ==④ 可得D 的纵坐标为14D y y =-⑤ 由③⑤知，//DB x 轴．【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 20．已知函数()()2f x lnx ax a 2x =+++，a R ∈．(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当a 0<，证明：()2f x 2a≤--．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ)求出原函数的导函数，可得当a 0≥时，()f'x 0>，()f x 在()0,∞+上是单调增函数；当a 0<时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，当a 0<时，求出函数的最大值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，问题转化为11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭在a 0<时恒成立，换元后利用导数求最值得答案． 【详解】解：(Ⅰ()()2)f x lnx ax a 2x =+++，()()22ax a 2x 11f'x 2ax a 2(x 0)x x+++=+++=>．当a 0≥时，()f'x 0>，()f x 在()0,∞+上是单调增函数；当a 0<时，()112a x x a 2f'x x⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，当1x 0,a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()f'x 0>，当1x ,a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()f'x 0<，()f x ∴在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，当a 0≥时，()f x 在()0,∞+上是单调增函数，当a 0<时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，当a 0<时，max 111a 2f (x)f ln a a a a +⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 1a a⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．要证()2f x 2a ≤--，即证11ln 10a a⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭恒成立， 令1t a =-，()g t lnt t 1(t 0)=-+>，则()11t g't 1t t-=-=， 当()t 0,1∈时，()g't 0>，()g t 单调递增， 当()t 1,∞∈+时，()g't 0<，()g t 单调递减．()g t ∴的最大值为()g 10=，故当a 0<，()2f x 2a≤--． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法． 21．（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA AB = ，点E 是PD 的中点，作EF PC ⊥交PC 于F .（Ⅰ）求证：PB ∥平面EAC ； （Ⅱ）求证：PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角A PC D --的大小.【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）详见解析;（Ⅲ）60︒.【解析】试题分析：（Ⅰ）连结BD ，与AC 交于G .由中位线可得EG ∥PB .根据线面平行的判定定理可证得PB ∥平面EAC .（Ⅱ）由PA ⊥底面ABCD 可证得PA CD ⊥,又因为ABCD 是正方形,根据线面垂直判定定理可证得CD ⊥平面PAD ,从而可得CD AE ⊥.根据等腰三角形中线即为高线可得AE PD ⊥,根据线面垂直判定定理可证得AE ⊥平面PCD ,从而可得AE PC ⊥又EF PC ⊥可得PC ⊥平面AEF .（Ⅲ）以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系. 设1AB =,可得各点的坐标,从而可得各向量坐标.根据向量垂直数量积为0可得面APC 和面DPC 的法向量.根据数量积公式可得两法向量夹角的余弦值,可得两法向量夹角. 两法向量夹角与二面角相等或互补.由观察可知所求二面角为锐角.试题解析：解：（Ⅰ）连结BD ，与AC 交于G ， ∵ABCD 是正方形，∴则G 为BD 的中点 ∵E 是PD 的中点， ∴EG ∥PB∵EG ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ∴PB ∥平面EAC 3分（Ⅱ）∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ∴PA CD ⊥∵CD AD ⊥，PA AD A =I ∴CD ⊥平面PAD 4分∵AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥∵E 是PD 的中点，PA AD = ∴AE PD ⊥ ∵PD CD D =I∴AE ⊥平面PCD 6分 而PC ⊂平面PCD ， ∴AE PC ⊥又EF PC ⊥，AE EF E =IPC ⊥平面AEF 8分（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点，设1AB =则(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,0,0)(0,0,1)(1,0,1)AP AC DC PD ====-=-u u u r u u u r u u u r u u u r9分设平面APC 的法向量是111(,,)m x y z =u r ，则0,0AP m AC m ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r，所以10z =，110x y +=，即(1,1,0)m =-u r10分设平面DPC 的法向量是222(,,)n x y z =r ，则0,0DC n PD n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r所以20y =，220x z -=，即(1,0,1)n =r11分1cos ,222m n m n m n⋅<>===⋅⋅u r ru r r u r r ，即面角A PC D --的大小为60︒. 12分【考点】1线面平行;2线面垂直;3空间向量法解决立体几何问题.。