发电厂电气课件——第3章 常用计算的基本理论和方法-2

得导体短路时发热的微分方程式
I
2 kt
0 (1
)
l S
d
t

m Slc0
(1

)d
式中：
Ikt －短路电流全电流的有效值（A）； S －导体的截面积（m2）;
ρ m －导体材料的密度(kg/m3)；
ρ 0 和c0分别为导体在0℃时的电阻率（Ω·m）和导体在0℃时
的比热容[J/(kg·℃)]；
二、短路电流热效应Qk的计算
•由电力系统短路计算可知，短路全电流的瞬时值ikt 的表达式为
t
ikt 2I pt cost inp0e Ta A
将ikt的表达式代入式3-25中，可得
Qk
tk 0
ik2tdt

tk 0
t 2
2I pt
cost inp0e
第三章 常用计算的基本理论和方法
第一节 导体载流量和运行温度计算 第二节 载流导体短路时发热计算 第三节 载流导体短路时电动力计算 第四节 电气设备及主接线的可靠性分析 第五节 技术经济分析
第二节 载流导体短路时发热计算
导体的短时发热，是指短路开始至短路切除为 止，很短一段时间内导体发热的过程。此时， 导体发出的热量比正常发热量要多得多，导体 温度升得很高。
短路电流的热效应 Qk 为
Qk Qp Qnp 602.4 156.8 759.2 kA2 s
（２）计算导体的最高温度
由导体的正常工作温度为４６℃，查图３-7曲线可得
Aw=0.35×1016J/（Ω ·m4）。代入式（３－26）得
1
1
Ah S 2 Qk Aw 100
短路电流周期分量的热效应 Qp 为
Qp

tk 12
(
I
"2
10
I
2 tk
/
2

I2 tk
)
1.2 (282 10 222 202 ) 602.4 (kA)2 s 12
短路电流非周期分量的热效应 Qnp 为
Qnp TI"2 0.2 282 156.8 [(kA)²·s]
8
2 759.2 0.351016
1000 1000
0.4686 1016 J m4
根据图３-7曲线，对应Ah可查得θ h = 60℃ < 200℃，导体不会因短时发热而损坏，满足热稳定要求。
t
np

Ta
I
2
1


e
2tk Ta



式中Ta取为0.05，当tk>0.1s时，
2tk
e Ta
0
★
于是由上式可得
tnp
I 2

0.05
I
2
0.05 2
2. 实用计算法 下面就周期分量和非周期分量的热效应分别进行计算。 1）周期分量的热效应
由数学分析可知，任意曲线y＝f(x)的定积分，可采用
如右图。
tk大于5s时tp按下式计算
t p t p 5s tk 5
（2） 非周期分量等值时间
短路电流非周期分量的热效应为
Qnp
tk 0
inp 2 dt

I
2
t
np
因短路电流非周期分量为
t
inp 2I e Ta
将inp代入Qnp积分式，整理后得：
Qnp

I
2
短时发热计算的目的，就是确定导体可能出现 的最高温度。校验导体是否满足热稳定性.
一、导体短路时发热过程 短路时均匀导体的发热过程如图3-6所示。
图3-6 短路时均匀导体的发热过程
一、导体短路时发热过程
短时发热的特点是： （1）短路电流大，持续时间很短，发出的热量来
不及向周围介质散布。因此耗失的热量可以不计， 基本上是一绝热过程。即导体产生的热量，全部 用于使导体温度升高。 （2）由于导体温度升得很高，温度变化很大，电 阻和比热容会随温度而变，故不能作为常数对待， 而应为温度的函数。
式中 tp－短路电流周期分量发热的等值时间(s);
tnp－短路电流非周期分量发热的等值时间(s) 。
（1） 周期分量等值时间
短路电流周期分量的热效应为
tk 0
I
p 2 dt

I2t p
★ 等值时间tp除了与短路切除 时间tk有关外，还与短路电流的 衰减特性 =I /I有关。 tp=f(tk, )的关系已作成曲线，

c0 m 0
2
ln(1 h )



h


c0 m 0
2
ln(1 W
)


W

将上式改写为
1 S2
Qk

Ah

AW
其中
Qk
tk 0
I
2 kt
dt
Qk称为短路电流热效应。
Ah

c0 m 0
2
★ 根据θ = f (A)曲线计算短时发热最高温度的方法：
（１）由短路开始温度θ w（短路前导体的工作温度），查出
对应的值Aw ； （２）如已知短路电流热效应Qk ，可按式（3-34）计算出Ah ； （３）再由Ah查出短路终了温度θ h ，即短时发热最高温度。
如果θ h <θ al ，导体不会因短时发热而损坏，称之满足 热稳定要求。
继电保护动作时间tpr=1s，断路器全开断时间tbr=0.2s,短路电 流I″=28kA,I0.6=22kA,I1.2=20kA。计算短路电流的热效应和 导体的最高温度。
解 （1）计算短路电流的热效应
短路电流通过的时间等于继电保护动作时间与断路 器全开断时间之和，即
tk t pr tbr 1 0.2 1.2(s)Ta来自 dt


tk I 2 dt
0 pt
i e dt tk 2
2t Ta
0 np0
QP Qnp ( A2 s)
式中的第一项积分为短路电流周期分量热效应Qp，第二项积 分为短路电流非周期分量热效应Qnp，下面分别计算。
1.等值时间法
Qk
tk o
I k2t dt
根据导体短时发热过程中的热量平衡关系：
电阻损耗产生的热量=导体的吸热量，即
QR Qw
在时间dt内，由上式可得:
ik2t Rθ d t mcθ d (J/m)
短时发热过程中，导体的电阻和比热容与温度的函 数关系为
Rθ

0 (1 )
1 S
cθ c0(1 )
将R 、 c 及m的值代入式(3－31)，即
f(x)＝Ipt2，a＝0， b＝tk 。 当取n＝4时，则
y0＝I″2 ，y1＝I tk/4 2 ， y2＝I tk/2 2 ，
y3＝I
3tk/4
2，
y4＝I
2 tk
。为了进一步简化，
可以认为y2＝（y1+y3）/2 。将这些数据代
入式（3－41），即得：
★
Qp

b a
I
2 pt
dt

ln(1 h )



h

Aw

c0 m 0
2
ln(1 w )


w

可以看出：Ah和Aw具有相
同的函数关系,有关部门给出
了常用材料的θ =f (A)曲线，
如图3-13所示。
短路终了时的A值为:
★
Ah
1 Aw S 2
Qk
图3-7
tk 12
I 2

10I
2 tk
/2

I2 tk
（3－30）
(2)非周期分量热效应的计算
2tk
★
Qnp

I
t2
np
Ta (1 e
Ta )I"2 TI"2
[(kA)²·s]
T-为非周期分量等效时间（s），其值可由表3-3查得。
表3-3 非周期分量等效时间T
短路点
发电机出口及母线 发电机升高电压母线及出线 发电机电压电抗器后
α 和β 分别为ρ 0 和c0的温度系数（℃-1）。
整理得
1 S2
I
2 kt
dt

c0 m 0
1 1

d

对上式两边积分，时间从0到 tK ，温度对应从θ W 升
到θ h ，得
1
S2
tk 0
I
2 kt
dt

c0 m 0
h 1 d W 1
t k ≤0.1s
0.15
0.08
T/s
t k >0.1s
0.2
0.1
变电站各级电压母线及出线
0.05
当短路切除时间tk >1s时，导体的发热主要由周期分量热
效应来决定，非周期分量热效应可略去不计。
【例3-2】铝导体型号为LMY-100×8，正常工作电压UN=10.5kV, 正常负荷电流Iw=1500A，正常负荷时，导体的温度w=46℃,
辛卜生法 近似计算，即 ：
b
a
f
xdx

ba 3n
y0

yn 2y2

y4

yn2 4y1

y3
yn1
式中 b、a为积分区间的上、下限， n为把整个区间 分成长度相等的小区间数（偶数），yi为函致值(i＝1， 2，……，n)。