计算机仿真技术基础3

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例3设系统的微分方程为 设系统的微分方程为
y + 6 + 11 y + 6 y = + 8u + 17u + 8u y u
式中y为输出量，u为输入量，试求系统的状态空间描述。 把微分方程的系数直接代入式(11)，进行求解。首先列写 该微分方程的系数
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1. 化微分方程为状态方程 a)以单输入单输出系统为例，首先假设系统的输入量中 不含导数项，系统的数学模型如式（1）所示
y ( n ) (t ) + a1 y ( n 1) (t ) + + a n 1 y (t ) + a n y (t ) = u (t )
现取
（1）
x1 = y x = y 2 x n = y ( n 1)
作为状态变量，则式(1)可以改写为
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x1 = x 2 x = x 3 2 x = x n 1 n x n = a n x1 a n 1 x 2 a 2 x n 1 a1 x n + u
第2章 系统建模的基本方法与模型处理技术 章
2.2.2连续系统数学模型之间的转换 连续系统数学模型之间的转换 通常，系统的微分方程作为描述动态性能的基本形式， 当作为共性的内容进行分析时，又常常将其转换为传递函 数形式，而在计算机中，利用系统的状态空间描述最方便。 所以，讨论系统数学模型之间的转换具有实际的指导意义。 为了利用仿真手段对实际系统进行分析、试验和设计， 往往需要从各个方面复现这个真实系统，紧紧依靠外部模 型计算出输入和输出量是不够的，必须复现系统内部的状 态变量，因此，在进行系统仿真的时候更多地采用系统内 部模型。下面主要介绍将一个系统的外部模型转化为系统 的内部模型的常用方法。
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对上式 所示的传递函数，若传递函数的特征方程
s n + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n = 0
部分分式的形式
（16）
有n个互异的特征根 λ1 , λ2 ,, λn ，则可以把传递函数展开成
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取状态变量为
x1 = z x = z 2 x n = z ( n 1) 便可以得到系统的可控标准型形式的状态方程
X = AX + Bu y = CX 0 0 1 0 0 1 a n 2 a1
b1 ]
0 0 A= 0 a n
，
b1 a1b0 b a b 2 0 2 B= bn 1 a n 1b0 bn a n b0
C = (1 0 0 0) D = b0
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例2 设系统的微分方程为，
y + 6 + 11 y + 6 y = 6u y
1 0 0 a n 1
0 0 B = 0 1
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(14)
C = [bn
bn 1 b2
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2) 化为可观标准型
假设系统的传递函数为
b1 s n 1 + + bn 1 s + bn Y (s) G(s) = = n U ( s ) s + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n
，
（2）
可以进一步写成状态方程的标准形式 X = AX + Bu 其中
x1 x 2 X = x n 1 xn
0 0 A= 0 a n 1 0 0 a n 1 0 1 0
（3）
0 0 0 0 B = 1 0 1 a1 电力电子与电力传动实验室
1) 化为可控标准型
将式（12）改写成
1 G( s) = n (b1 s n 1 + + bn 1 s + bn ) s + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n Z ( s) Y (s) = U ( s) Z (s)
(13)
将
Z (s) 1 = n U ( s ) s + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n Y (s) = b1 s n 1 + + bn 1 s + bn Z (s)
令 （7）
x n = a n y + bn u
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又
[ y ( n 1) b0 u ( n 1) ] + [a1 y ( n 2 ) b1u ( n 2) ] + + [an 2 y bn 2u ] = an 1 y + bn 1u + xn
写成状态方程的标准形式为
X = AX + Bu y = CX
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(15)
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0 1 A = 0 0
an 0 0 a n 1 0 0 a2 0 1 a1 0 0
bn b n 1 B = b2 b1
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C = [1 0 0] , D = b0 = 1
则系统的状态方程为 x1 6 1 0 x1 2 x = 11 0 1 x + 6u 2 2 x3 6 0 0 x3 2 2 化传递函数为状态方程
(12)
下面介绍把传递函数转化为状态方程的几种不同的实现方式。
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可控性和可观性是系统的一种特性。这两个概念是卡 尔曼在60年代提出的，是现代控制理论中的两个基本概 念。 可控性是检查每一状态分量能否被控制，是指控制作 用对系统的影响能力； 可观性表示由观测量y能否判断状态X,它反映由系统输 出量确定系统状态的可能性。 因此，可控性和可观性从状态的控制能力和状态的识 别能力两个方面反映系统本身的内在特性。 可将单输入单输出系统唯一地表示为可控标准型和可 观标准型。根据其可控标准型和可观标准型容易判断系 电力电子与电力传动实验室 统的可控性和可观性。 Bring Ideas Together Lab of PEED
x1 y = [1 0 0] x 2 + u x3
同样对于一个可实现的传递函数或传递函数矩阵，求得的 状态方程不是唯一的。 假设系统的传递函数如式(12)所示
b1 s n 1 + + bn 1 s + bn Y ( s) G ( s) = = n U ( s ) s + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n
令 同理有 （8）
x n 1 = x n a n 1 y + bn 1u
i = 1,2 , n
（9）
xi = xi +1 ai y + bi u
取 y b0 u = x1 则
y = x1 + b0 u 代入式（9）得 xi = xi +1 ai ( x1 + b0 u ) + bi u = ai x1 + xi +1 + (bi ai b0 )u i = 1,2 , n
a1 = 6, a 2 = 11, a3 = 6 b0 = 1, b1 = 8, b2 = 17, b3 = 8
，
则可以利用式(11)得到
a1 A = a2 a3 1 0 6 1 0 0 1 = 11 0 1 0 0 6 0 0
b1 a1b0， 2 B = b2 a 2 b0 = 6 b3 a3b0 2
( m)
(t ) + b1u
( m 1)
(t ) + + bm 1u (t ) + bmu (t )
（6）
一般输入量中的导数的次数小于或等于n即（m≤n) 这里仅讨论等于n的情况(m=n)，当输入量的导数的次数小 于n时，所推导得公式仍适用。对公式（6）进行变换得到
[ y ( n ) b0 u ( n ) ] + [a1 y ( n 1) b1u ( n 1) ] + + [an 1 y bn 1u ] = an y + bnu
x1 0 x + 2 u 2ξω 2 ω 1
x1 y = (1 0) x2
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b) 依旧以单输入单输出系统为例，系统的输入量含有导数 时，系统的微分方程为
y ( n ) (t ) + a1 y ( n 1) (t ) + + an 1 y (t ) + an y (t ) = b0 u
（10）
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因xn+1=0，将式（10）写成状态方程的标准形式为
X = AX + Bu y = CX + Du
（11）
其中
a1 a 2 A= an 1 an 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
取拉普拉斯反变换，得
z ( n ) (t ) + a1 z ( n 1) (t ) + + a n 1 z (t ) + a n z (t ) = u (t )
y (t ) = b1 z ( n 1) (t ) + + bn 1 z (t ) + bn z (t )
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式中y为输出量，u为输入量，试求系统的状态空间描述。 取系统的状态变量为
x1 = y x2 = y
则
x1 = x 2 x 2 = x3
x3 = y
x3 = 6 x1 11x 2 6 x3 + 6u
写成状态方程的标准形式为
1 0 x1 0 x1 x1 0 x = 0 x + 0u y = [1 0 0] x 2 0 1 2 2 x3 x3 6 11 6 x3 6
取一组状态变量
xn = y xn 1 = y + a1 y b1u = xn + a1 xn b1u xn 2 = + a1 y + a2 y b1u b2u = xn 1 + a2 xn b2u y x0 = y ( n ) + a1 y ( n 1) + + an y b1u ( n 1) bn u = x1 + an xn bn u
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取状态变量为
x1 = y x2 = y
则系统的状态方程为
x1 = x 2 x 2 = ω 2 x1 2ξωx 2 + ω 2 u
写成标准形式为
x1 0 x = ω 2 2
输出方程为
C = [0 0 0 1]
， 系统的特征值是描述系统动力学特性的一个重要参量，下 面标准形式直观的反映系统的特征值，不难理解系统的特 征值就是系统传递函数的极点
3) 化为对角线标准型形式的状态方程 假设系统的传递函数为
b1 s n 1 + + bn 1 s + bn Y (s) G (s) = = n U ( s ) s + a1 s n 1 + + a n 1 s + a n
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a n2
系统的输出方程为
y = x1
写成标准形式为 其中
（4） （5）
y = CX
C = (1 0 0 0)
例1 系统的常微分方程描述为
+ 2ξωy + ω 2 y = ω 2 u y
输入为u，输出为y，试写出系统的状态方程和输出方程。