小学奥数计数练习题：排列与组合
排列与组合最全最详细最经典练习题
检测题1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法．2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有________种不同的排法．3．a,b,c,d排成一行，其中a不排第一，b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法有_______种．4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是．5．下列各式中与排列数相等的是（）．A． B．C．D．6．，且，则等于（）．A．B．C．D．7．若，则的个位数字是（）．A．8 B．5 C．3 D．08．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（）．A．720种B．360种 C．1440种D．120种9．求和 .10．5名男生、2名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？参考答案:1．504 2．17280 3．9 4．3140 5．D 6.D 7．C 8．C 9．∵， .∴10．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次．（种）．检测题选择题1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（）．A．种B．种C．种D．不同于A、B、C的结论2．从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）．A．24 B．48 C．121 D．723．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（）．A．672 B．784 C．840 D．8964．…，为100条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为4k-3的直线都过某定点A．则这100条直线的交点个数最多为（）．A．4350 B．4351 C．4900 D．4901填空题1．在数字0，1，2，3，4， 5，6中，任取3个不同的数字为系数a,b,c，组成二次函数y=ax2+bx+c，则一共可以组成__________个不同的解析式？2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式．3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种．4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法．解答题1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法．2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？参考答案：选择题：1．A 2．D 3．C 4．B填空题：1．180 2．1680 3．144 4．3628800解答题：1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有种分法（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为，所以所求方法种数为.2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为；（ii）当9用时同样有个．根据加法原理得所求三位数的个数为：.排列与组合一、教材分析:1．基本概念:排列与排列数、组合与组合数从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示.从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.2．基本公式:=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= (规定0!=1).= (规定=1).3．排列组合的解题原则:（1）深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气.具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用，如果无“顺序”要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理.事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理.（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题.但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。
奥数 数字排列组合解题技巧
奥数数字排列组合解题技巧在奥数（奥林匹克数学竞赛）中，数字排列组合是一个常见的考查点，涉及到的技巧和方法有很多。
以下是一些常见的解题技巧：1. 全排列与重复排列：-全排列：n个元素的全排列有n!种情况，其中n!表示n的阶乘。
-重复排列：有重复元素时，全排列的总数要除以重复元素的阶乘。
2. 循环置换：-对于n个元素的排列，可以通过循环置换的方式进行计算。
循环置换的计算可以借助循环节的长度和总元素个数。
3. 组合公式：-对于从n个元素中选取m个元素的组合数，使用二项式系数的组合公式：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)4. 二项式定理：-利用二项式定理展开多项式，特别是在计算特殊值时，如计算(x+y)^n的展开式。
5. 递推关系：-有时候可以通过递推关系，找到某一项与前面项之间的关系，从而简化计算。
6. 逆向思维：-有时候可以从目标结果出发，逆向思考，找到排列组合的解。
7. 利用对称性：-利用对称性质，减少计算量。
例如，当问题中存在对称性时，可以利用对称性简化问题。
8. 鸽巢原理：-当分配的对象多于容器的个数时，至少有一个容器中含有两个或两个以上的对象。
这个原理在一些排列组合问题中经常被使用。
9. 图论中的排列组合：-在一些图论问题中，可以利用排列组合的知识，特别是在解决路径计数等问题时。
10. 二叉树与组合数学的关系：-一些问题可以通过构建二叉树的方式来求解，从而转化为组合数学的问题。
总的来说，对于奥数中的数字排列组合问题，关键是灵活运用数学知识，善于发现问题中的规律，并通过巧妙的思考和计算得到正确的结果。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
小学奥数思维训练排列组合专项练习
小学数学专项训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
小学奥数排列组合
小学奥数排列组合 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？5 87 66*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．组合公式：从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m nC ．12)112321m m n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．例1：排列数：121m n P n n n n m =---+（）（）（）1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
排列和组合的计算公式例题
排列和组合的计算公式例题好的，以下是为您生成的关于“排列和组合的计算公式例题”的文章：咱先来说说排列和组合这回事儿哈。
排列呢，讲究顺序，比如说从10 个人里选 3 个站成一排拍照，这顺序不同结果就不一样，这就是排列。
组合呢，不管顺序，还是从这 10 个人里选 3 个去干活儿，谁先谁后没关系，这就是组合。
咱来看个排列的例题。
比如说，要从 5 个不同颜色的球里选 3 个排成一排，有多少种排法？这就得用排列公式 A(5,3) = 5×4×3 = 60 种。
为啥呢？第一个球有 5 种选法，第二个球就剩 4 种选法，第三个球就剩 3 种选法，乘起来就是总的排法。
再看个组合的例题。
从 8 个水果里选 3 个做水果沙拉，有几种选法？这就用组合公式 C(8,3) = 8! / (3!×(8 - 3)!) = 56 种。
我记得之前有一次给学生们讲这部分内容的时候，有个特别好玩的事儿。
当时我在黑板上写了一道题：从 6 个同学里选 2 个参加比赛，有几种选法？有个学生特别积极，一下子就站起来说：“老师，这多简单啊，我觉得是 12 种。
”我就问他：“你咋算的呀？”他说：“一个同学能和另外 5 个同学组队，一共 6 个同学，那不就是 6×2 = 12 种嘛。
”其他同学听了都哈哈大笑，我也笑了，然后给他解释说：“这可不能这么算哦，这里不管谁和谁一组，顺序不重要，所以要用组合公式 C(6,2) = 6! / (2!×(6 - 2)!) = 15 种。
”这学生恍然大悟，挠挠头坐下了。
咱们继续说啊，排列组合在生活中用处可大了。
比如说抽奖，从100 个号码里抽 5 个中奖号码，这就是组合。
再比如，跑步比赛，给 8 个选手排定名次，这就是排列。
还有个例子，假设一个班级有 10 个男生和 10 个女生，要选 4 个同学参加活动，其中至少要有1 个男生和1 个女生。
这就得分类讨论了。
一种情况是 1 男 3 女，那就有 C(10,1)×C(10,3) 种选法；另一种情况是2 男 2 女，有 C(10,2)×C(10,2) 种选法；还有3 男 1 女，有C(10,3)×C(10,1) 种选法。
五年级奥数.计数综合.排列组合(ABC级).学生版
分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。
四年级奥数排列组合题及答案
四年级奥数排列组合题及答案四年级奥数排列组合题及答案1.排列、组合等问题从6幅国画，4幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法?解答：6×4=24种6×2=12种4×2=8种24+12+8=44种【小结】首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理。
当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理。
由此可知这是一道利用两个原理的综合题。
关键是正确把握原理。
符合要求的选法可分三类：设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在6张国画中选1张，第二步再在4张油画中选1张。
由乘法原理有6×4=24种选法。
第二类为：国画、水彩画各一幅，由乘法原理有6×2=12种选法。
第三类为：油画、水彩画各一幅，由乘法原理有4×2=8种选法。
这三类是各自独立发生互不相干进行的。
因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有24+12+8=44种。
2.排列组合从1到100的所有自然数中，不含有数字4的.自然数有多少个?解答：从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数.一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9;两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l、2、3、5、6、7、8、9这八种情况.个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4.三位数只有100.所以一共有8+8×9+1=81个不含4的自然数.。
小学奥数之排列组合问题
计 数 问 题教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等;5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数; 知识点拨： 例题精讲：一、 排 列 组 合 的 应 用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像,分别求出在下列条件下有多少种站法1七个人排成一排；2七个人排成一排,小新必须站在中间.3七个人排成一排,小新、阿呆必须有一人站在中间. 4七个人排成一排,小新、阿呆必须都站在两边. 5七个人排成一排,小新、阿呆都没有站在边上. 6七个人战成两排,前排三人,后排四人.7七个人战成两排,前排三人,后排四人. 小新、阿呆不在同一排;【解析】 1775040P =种;2只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =种.3先确定中间的位置站谁,冉排剩下的6个位置．2×66P =1440种．4先排两边,再排剩下的5个位置,其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= 种． 5先排两边,从除小新、阿呆之外的5个人中选2人,再排剩下的5个人,25552400P P ⨯=种.6七个人排成一排时,7个位置就是各不相同的．现在排成两排,不管前后排各有几个人,7个位置还是各不相同的,所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =种.7可以分为两类情况：“小新在前,阿呆在后”和“小新在前,阿呆在后”,两种情况是对等的,所以只要求出其中一种的排法数,再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880种．排队问题,一般先考虑特殊情况再去全排列;【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数【解析】 个位数字已知,问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题,已知5n =,2m =,根据排列数公式,一共可以组成255420P =⨯=个符合题意的三位数;【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数 【解析】 可以分两类来看：⑴ 把3排在最高位上,其余4个数可以任意放到其余4个数位上,是4个元素全排列的问题,有44432124P =⨯⨯⨯=种放法,对应24个不同的五位数；⑵ 把2,4,5放在最高位上,有3种选择,百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择,有3种选择,其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上,有336P =种选择．由乘法原理,可以组成33654⨯⨯=个不同的五位数;由加法原理,可以组成245478+=个不同的五位数;【巩固】 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列,则5687是第几个数【解析】 从高位到低位逐层分类：⑴ 千位上排1,2,3或4时,千位有4种选择,而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择,因为数字不重复,也就是从9个元素中取3个的排列问题,所以百、十、个位可有39987504P =⨯⨯=种排列方式．由乘法原理,有45042016⨯=个．⑵ 千位上排5,百位上排0~4时,千位有1种选择,百位有5种选择,十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题,即288756P =⨯=,由乘法原理,有1556280⨯⨯=个．⑶ 千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时,个位也从剩下的七个数字中选择,有116742⨯⨯⨯=个．⑷ 千位上排5,百位上排6,十位上排8时,比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个． 综上所述,比5687小的四位数有20162804252343+++=个,故比5687小是第2344个四位数．【例 3】 用1、2、3、4、5这五个数字,不许重复,位数不限,能写出多少个3的倍数【解析】 按位数来分类考虑：⑴ 一位数只有1个3； ⑵ 两位数：由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成,每一组可以组成22212P =⨯=个不同的两位数,共可组成248⨯=个不同的两位数；⑶ 三位数：由1,2与3；1,3与5；2,3与4；3,4与5四组数字组成,每一组可以组成333216P =⨯⨯=个不同的三位数,共可组成6424⨯=个不同的三位数；⑷ 四位数：可由1,2,4,5这四个数字组成,有44432124P =⨯⨯⨯=个不同的四位数； ⑸ 五位数：可由1,2,3,4,5组成,共有5554321120P =⨯⨯⨯⨯=个不同的五位数． 由加法原理,一共有182424120177++++=个能被3整除的数,即3的倍数．【巩固】 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取三张卡片组成三位数,一共可以组成多少个不同的偶数 【解析】 由于组成偶数,个位上的数应从2,4,6中选一张,有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张,有255420P =⨯=种选法．由乘法原理,一共可以组成32060⨯=个不同的偶数．【例 4】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字,只记得是由四个非0数码组成,且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6；1,1,2,5；1,1,3,4；1,2,2,4；1,2,3,3；2,2,2,3六种;第一种中,可以组成多少个密码呢只要考虑6的位置就可以了,6可以任意选择4个位置中的一个,其余位置放1,共有4种选择；第二种中,先考虑放2,有4种选择,再考虑5的位置,可以有3种选择,剩下的位置放1,共有4312⨯=种选择同样的方法,可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种,与第一种的情形相似,3的位置有4种选择,其余位置放2,共有4种选择．综上所述,由加法原理,一共可以组成412121212456+++++=个不同的四位数,即确保能打开保险柜至少要试56次．【例 5】 两对三胞胎喜相逢,他们围坐在桌子旁,要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻,同一位置上坐不同的人算不同的坐法,那么共有多少种不同的坐法【解析】 第一个位置在6个人中任选一个,有166C =种选法,第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个,有133C =种选法．同理,第3,4,5,6个位置依次有2,2,1,1种选法．由乘法原理,不同的坐法有11111163221163221172P P P P P P ⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=种;【例 6】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30,那么从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻,有A 为8,B 、D 应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选择两个不同的数字,所以有26P 种选法,而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字,所以有27P 种选法,所以共有26P ×27P =1260种选法;从8时到9时这段时间里,此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个;【例 7】 一个六位数能被11整除,它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列,最少还能排出多少个能被11整除的六位数 【解析】 设这个六位数为abcdef ,则有()a c e ++、()b d f ++的差为0或11的倍数．且a 、b 、c 、d 、e 、f 均不为0,任何一个数作为首位都是一个六位数;先考虑a 、c 、e 偶数位内,b 、d 、f 奇数位内的组内交换,有33P ×33P =36种顺序； 再考虑形如badcfe 这种奇数位与偶数位的组间调换,也有33P ×33P =36种顺序;所以,用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数包含原来的abcdef;所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数;【例 8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中,决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说：“很遗憾,你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析,5人的名次排列共有多少种不同的情况【解析】这道题乍一看不太像是排列问题,这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题,已知“甲和乙都未拿到冠军”,而且“乙不是最差的”,也就等价于5人排成一排,甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数,因为乙的限制最多,所以先排乙,有3种排法,再排甲,也有3种排法,剩下的人随意排,有333216P=⨯⨯=种排法．由乘法原理,一共有33654⨯⨯=种不同的排法;【例 9】4名男生,5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．【解析】⑴先排甲,9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以,有6种选择,剩下的8个人随意排,也就是8个元素全排列的问题,有888765432140320P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种选择．由乘法原理,共有640320241920⨯=种排法．⑵甲、乙先排,有22212P=⨯=种排法；剩下的7个人随意排,有7 776543215040P=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,共有2504010080⨯=种排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列,有22212P=⨯=种不同排列方法,再分别对男生、女生内部进行排列,分别是4个元素与5个元素的全排列问题,分别有4 4432124P=⨯⨯⨯=种和5554321120P=⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,共有2241205760⨯⨯=种排法．⑷先排4名男生,有44432124P=⨯⨯⨯=种排法,再把5名女生排到5个空档中,有5 554321120P=⨯⨯⨯⨯=种排法．由乘法原理,一共有241202880⨯=种排法;【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮,排成一排表演节目;如果贝贝和妮妮不相邻,共有种不同的排法;【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120种;如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人,那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24种;因为贝贝和妮妮可以交换位置,所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48种；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72种;【例 10】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．求：⑴当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序⑵当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序【解析】⑴先将4个舞蹈节目看成1个节目,与6个演唱节目一起排,则是7个元素全排列的问题,有【解析】777!76543215040P==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．第二步再排4个舞蹈节目,也就是4个舞蹈节【解析】目全排列的问题,有444!432124P==⨯⨯⨯=种方法．根据乘法原理,一共有504024120960⨯=种方法．⑵首先将6个演唱节目排成一列如下图中的“□”,是6个元素全排列的问题,一共有6 66!654321720P==⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．×□×□×□×□×□×□×第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间即上图中“×”的位置,这相当于从7个“×”中选4个来排,一共有477654840P=⨯⨯⨯=种方法．根据乘法原理,一共有720840604800⨯=种方法;【巩固】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会,要求任意两个合唱节目不相邻,开始和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目的编排方法共有多少种【解析】先排独唱节目,四个节目随意排,是4个元素全排列的问题,有44432124P=⨯⨯⨯=种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目,有三个节目,两个位置,也就是从三个节目选两个进行排列的问题,有2 3326P=⨯=种排法；再在独唱节目之间的3个位置中排一个合唱节目,有3种排法．由乘法原理,一共有2463432⨯⨯=种不同的编排方法．小结排列中,我们可以先排条件限制不多的元素,然后再排限制多的元素．如本题中,独唱节目排好之后,合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘,得出最后的答案;【例 11】 ⑴从1,2,…,8中任取3个数组成无重复数字的三位数,共有多少个只要求列式⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书,组织委员,宣传委员,共有多少种不同的选法 ⑶3位同学坐8个座位,每个座位坐1人,共有几种坐法 ⑷8个人坐3个座位,每个座位坐1人,共有多少种坐法⑸一火车站有8股车道,停放3列火车,有多少种不同的停放方法⑹8种不同的菜籽,任选3种种在不同土质的三块土地上,有多少种不同的种法【解析】 ⑴按顺序,有百位、十位、个位三个位置,8个数字8个元素取出3个往上排,有38P 种．⑵3种职务3个位置,从8位候选人8个元素任取3位往上排,有38P 种．⑶3位同学看成是三个位置,任取8个座位号8个元素中的3个往上排座号找人,每确定一种号码即对应一种坐法,有38P 种．⑷3个坐位排号1,2,3三个位置,从8人中任取3个往上排人找座位,有38P 种． ⑸3列火车编为1,2,3号,从8股车道中任取3股往上排,共有38P 种．⑹土地编1,2,3号,从8种菜籽中任选3种往上排,有38P 种;【巩固】 现有男同学3人,女同学4人女同学中有一人叫王红,从中选出男女同学各2人,分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： 1共有多少种选法2其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种 3参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种4参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有多少种 【解析】 1从3个男同学中选出2人,有223⨯=3种选法;从4个女同学中选出2人,有234⨯=6种选法;在四个人确定的情况下,参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法;3×6×24=432,所以共有432种选法;2在四个人确定的情况下,参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法; 3×6×12=216,所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种;3考虑参加数学小组的是王红时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人,从3个女同学中选出1人,3个人参加3个小组时的选法;3×3×3×2×1=54,所以参加数学小组的是王红时的选法有54种,432-54=378,所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种;4考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法,此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组,从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法;3×2×3=18,所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种,216-18=198,所以参加数学小组的不是女同学王红,且参加美术小组的是女同学的选法有198种;【例 12】 某校举行男生乒乓球比赛,比赛分成3个阶段进行,第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组,每组6人,分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组,每组4人,分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛,确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛【解析】 第一阶段中,每个小组内部的6个人每2人要赛一场,组内赛26651521C ⨯==⨯场,共8个小组,有158120⨯=场；第二阶段中,每个小组内部4人中每2人赛一场,组内赛2443621C ⨯==⨯场,共4个小组,有6424⨯=场；第三阶段赛224+=场．根据加法原理,整个赛程一共有120244148++=场比赛;【例 13】 由数字1,2,3组成五位数,要求这五位数中1,2,3至少各出现一次,那么这样的五位数共有________个;2007年“迎春杯”高年级组决赛【解析】 这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求1,2,3至少各出现一次,没有确定1,2,3出现的具体次数,所以可以采取分类枚举的方法进行统计,也可以从反面想,从由1,2,3组成的五位数中,去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可．法1分两类：⑴1,2,3中恰有一个数字出现3次,这样的数有135460C ⨯⨯=个；⑵1,2,3中有两个数字各出现2次,这样的数有2234590C C ⨯⨯=个．符合题意的五位数共有6090150+=个． 法2从反面想,由1,2,3组成的五位数共有53个,由1,2,3中的某2个数字组成的五位数共有53(22)⨯-个,由1,2,3中的某1个数字组成的五位数共有3个,所以符合题意的五位数共有5533(22)3150-⨯--=个;【例 14】 10个人围成一圈,从中选出两个不相邻的人,共有多少种不同选法【解析】 法1乘法原理．按题意,分别站在每个人的立场上,当自己被选中后,另一个被选中的,可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人,每个人都有7种选择,总共就有71070⨯=种选择,但是需要注意的是,选择的过程中,会出现“选了甲、乙,选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择,而却算作了两种,所以最后的结果应该是10111---10235⨯÷=种．法2排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况,总的组合数为210C ,而被选的两个人相邻的情况有10种,所以共有21010451035C -=-=种; 【例 15】 8个人站队,冬冬必须站在小悦和阿奇的中间不一定相邻,小慧和大智不能相邻,小光和大亮必须相邻,满足要求的站法一共有多少种【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间,就意味着只要为这三个人选定了三个位置,中间的位置就一定要留给冬冬,而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻,则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：3212372423P P P 3360C C ⨯⨯⨯⨯=种 同时满足第一、三个条件,满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：3222262322P P P P 960C ⨯⨯⨯⨯=种 因此同时满足三个条件的站法总数为：33609602400-=种;【例 16】 小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法 【解析】 我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”,则将lO 块糖分成了两部分;我们记从左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…,如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立,故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法;【巩固】 小红有10块糖,每天至少吃1块,7天吃完,她共有多少种不同的吃法 【解析】 分三种情况来考虑：⑴ 当小红最多一天吃4块时,其余各每天吃1块,吃4块的这天可以是这七天里的任何一天,有7种吃法；⑵ 当小红最多一天吃3块时,必有一天吃2块,其余五天每天吃1块,先选吃3块的那天,有7种选择,再选吃2块的那天,有6种选择,由乘法原理,有7642⨯=种吃法；⑶ 当小红最多一天吃2块时,必有三天每天吃2块,其四天每天吃1块,从7天中选3天,有3776535321C ⨯⨯==⨯⨯种吃法;根据加法原理,小红一共有7423584++=种不同的吃法．还可以用挡板法来解这道题,10块糖有9个空,选6个空放挡板,有639984==C C 种不同的吃法; 【巩固】 把20个苹果分给3个小朋友,每人最少分3个,可以有多少种不同的分法【解析】 法1先给每人2个,还有14个苹果,每人至少分一个,13个空插2个板,有21378C =种分法． 法2也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举;【巩固】 有10粒糖,分三天吃完,每天至少吃一粒,共有多少种不同的吃法 【解析】 如图：○○|○○○○|○○○○,将10粒糖如下图所示排成一排,这样每两颗之间共有9个空,从头开始吃,若相邻两块糖是分在两天吃的,就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的,九个空中画两条竖线,一共有98236⨯÷=种方法．【例 17】 某池塘中有A B C 、、三只游船,A 船可乘坐3人,B 船可乘坐2人,C 船可乘坐1人,今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船,为安全起见,有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同,那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同,所以儿童不能乘坐C 船．⑴若这5人都不乘坐C 船,则恰好坐满A B 、两船,①若两个儿童在同一条船上,只能在A 船上,此时A 船上还必须有1个成人,有133C =种方法；②若两个儿童不在同一条船上,即分别在A B 、两船上,则B 船上有1个儿童和1个成人,1个儿童有122C =种选择,1个成人有133C =种选择,所以有236⨯=种方法．故5人都不乘坐C 船有369+=种安全方法；⑵若这5人中有1人乘坐C 船,这个人必定是个成人,有133C =种选择．其余的2个成人与2个儿童,①若两个儿童在同一条船上,只能在A 船上,此时A 船上还必须有1个成人,有122C =种方法,所以此时有326⨯=种方法；②若两个儿童不在同一条船上,那么B 船上有1个儿童和1个成人,此时1个儿童和1个成人均有122C =种选择,所以此种情况下有32212⨯⨯=种方法；故5人中有1人乘坐C 船有61218+=种安全方法．所以,共有91827+=种安全乘法．【例 18】 从10名男生,8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下,分别有多少种选法 【例 19】 ⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生,某两名男生必须入选； 【例 20】 ⑷某两名女生,某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生,某两名男生最多入选两人;【解析】 ⑴恰有3名女生入选,说明男生有5人入选,应为3581014112C C ⨯=种； ⑵要求至少两名女生人选,那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法,从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010843758C C C C --⨯=；⑶4人必须入选,则从剩下的14人中再选出另外4人,有4141001C =种； ⑷从所有的选法818C 种中减去这4个人同时入选的414C 种：84181443758100142757C C -=-=．⑸分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选,共：817261441441434749C C C C C +⨯+⨯=;【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各一名,现要组成5人医疗小组送医下乡,按照下列条件各有多少种选派方法【巩固】 ⑴ 有3名内科医生和2名外科医生； 【巩固】 ⑵ 既有内科医生,又有外科医生； 【巩固】 ⑶ 至少有一名主任参加； 【巩固】 ⑷ 既有主任,又有外科医生;【解析】 ⑴ 先从6名内科医生中选3名,有3665420321C ⨯⨯==⨯⨯种选法；再从4名外科医生中选2名,共有2443621C ⨯==⨯种选法．根据乘法原理,一共有选派方法206120⨯=种．⑵ 用“去杂法”较方便,先考虑从10名医生中任意选派5人,有51010987625254321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4人,所以不可能只派外科医生．如果只派内科医生,有51666C C ==种选派方法．所以,一共有2526246-=种既有内科医生又有外科医生的选派方法;⑶ 如果选1名主任,则不是主任的8名医生要选4人,有488765221404321C ⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯种选派方法；如果选2名主任,则不是主任的8名医生要选3人,有388761156321C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方法．根据加法原理,一共有14056196+=种选派方法． ⑷ 分两类讨论：①若选外科主任,则其余4人可任意选取,有4998761264321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种选取方法；②若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余4人不能全选内科医生,用“去杂法”有4485876554326543214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯种选取法．根据加法原理,一共有12665191+=种选派方法;【例 21】 在10名学生中,有5人会装电脑,有3人会安装音响设备,其余2人既会安装电脑,又会安装音响设备,今选派由6人组成的安装小组,组内安装电脑要3人,安装音响设备要3人,共有多少种不同的选人方案【解析】 按具有双项技术的学生分类：⑴ 两人都不选派,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选派方法；⑵ 两人中选派1人,有2种选法．而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑,则还需2人安装电脑,有25541021C ⨯==⨯种选法,而另外会安装音响设备的3人全选派上,只有1种选法．由乘法原理,有10110⨯=种选法；若此人安装音响设备,则还需从3人中选2人安装音响设备,有2332321C ⨯==⨯种选法,需从5人中选3人安装电脑,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选法．由乘法原理,有31030⨯=种选法．根据加法原理,有103040+=种选法； 综上所述,一共有24080⨯=种选派方法． ⑶ 两人全派,针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑,则还需要从5人中选1人安装电脑,另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备,有515⨯=种选派方案；②两人一个安装电脑,一个安装音响设备,有22535432602121C C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方案；③两人全安装音响设备,有355433330321C ⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯种选派方案．根据加法原理,共有5603095++=种选派方案．综合以上所述,符合条件的方案一共有108095185++=种．【例 22】 有11名外语翻译人员,其中5名是英语翻译员,4名是日语翻译员,另外两名英语、日语都精通．从中找出8人,使他们组成两个翻译小组,其中4人翻译英文,另4人翻译日文,这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张【解析】 针对两名英语、日语都精通人员以下称多面手的参考情况分成三类：⑴ 多面手不参加,则需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择,需从4名日语翻译员中选出4人,有1种选择．由乘法原理,有515⨯=种选择．⑵ 多面手中有一人入选,有2种选择,而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译,则需从5名英语翻译员中再选出3人,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择,需从4名日语翻译员中选出4人,有1种选择．由乘法原理,有210120⨯⨯=种选择；如果参加日文翻译,则需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择,需从4名日语翻译员中再选出3名,有31444C C ==种选择．由乘法原理,有25440⨯⨯=种选择．根据加法原理,多面手中有一人入选,有204060+=种选择．⑶ 多面手中两人均入选,对应一种选择,但此时又分三种情况： ①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中,还需从5名英语翻译员中选出2人,有25541021C ⨯==⨯种选择．需从4名日语翻译员中选4人,1种选择．由乘法原理,有110110⨯⨯=种选择．情况②中,需从5名英语翻译员中选出4人,有41555C C ==种选择．还需从4名日语翻译员中选出2人,有2443621C ⨯==⨯种选择．根据乘法原理,共有15630⨯⨯=种选择．情况③中,两人各译一个语种,有两种安排即两种选择．剩下的需从5名英语翻译员中选出3人,有3554310321C ⨯⨯==⨯⨯种选择,需从4名日语翻译员中选出3人,有31444C C ==种选择．由乘法原理,有1210480⨯⨯⨯=种选择．根据加法原理,多面手中两人均入选,一共有103080120++=种选择． 综上所述,由加法原理,这样的分配名单共可以开出560120185++=张．二、 几何计数【例 23】 下图中共有____个正方形; 【解析】 每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个； 边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222432130+++=个正方形．现有5个44⨯的正方形,它们重。
排列和组合的基本计算练习题
排列和组合的基本计算练习题一、排列问题1. 从5个人中选取3个人排成一队，共有多少种排列方式？2. 一个由字母A、B、C、D、E组成的五位密码，每位密码不能重复，共有多少种排列方式？3. 一个班级有10个学生，要选取3名学生作为班级委员，共有多少种不同的委员组合？4. 一张音乐专辑中有10首歌曲，其中要选择5首歌曲放入一个播放列表，共有多少种不同的组合方式？5. 某公司有8个部门，要从8个部门中选取3个部门安排一次合作项目，共有多少种不同的组合方式？二、组合问题1. 一个有6个红球和4个蓝球的盒子，从中随机选取3个球，共有多少种不同的组合方式？2. 一家餐厅有7种汤和5种主菜，顾客可以选择一种汤和一种主菜组成一份套餐，共有多少种不同的组合方式？3. 一个班级有20个学生，要选取4个学生组成一个数学小组，共有多少种不同的小组组合？4. 一家服装店有8件上衣和6条裤子，如果一位顾客要买一件上衣和一条裤子，共有多少种不同的购买组合方式？5. 在一个农场，有9只鸡和5只鸭子，从中选取4只禽类作为宠物，共有多少种不同的组合方式？三、排列与组合的混合问题1. 一本书包含10个篇章，其中6个篇章是数学相关的，4个篇章是文学相关的。
要选择4个篇章开设一个讲座，共有多少种不同的组合方式，假设篇章顺序不重要？2. 一个班级有10个男生和12个女生，要从中选出一个男生和一个女生组成一对表演参赛，共有多少种不同的组合方式？3. 一家酒店有5间大床房和8间双人床房，要为一个团体安排3间房间，共有多少种不同的房间分配方式？4. 一条项链由6颗红宝石和4颗蓝宝石组成，要选择3颗宝石制作一条手链，共有多少种不同的组合方式？5. 一家餐厅有10种主菜和8种甜品，要选择一种主菜和一种甜品作为套餐，共有多少种不同的组合方式？。
排列与组合的计算综合练习题
排列与组合的计算综合练习题排列与组合是数学中常用的计算方法，用于解决不同对象的排列和组合问题。
通过这些计算方法，我们可以求出不同对象排列的方式以及从一组对象中选取特定数量的组合方式。
本文将为您提供一些排列与组合的综合练习题，以帮助您更好地理解和运用这些计算方法。
练习题1：桌上有7本不同的书，你需要选取其中3本放入书包中。
请问有多少种不同的选择方式？解答1：这是一个组合问题，我们需要从7本书中选取3本放入书包中。
根据组合的计算公式，可以得到选择方式的总数为C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 7! / (3! * 4!) = 7 * 6 * 5 / (3 * 2 * 1) = 35种。
练习题2：某班级有10个学生，其中3个学生参加了运动会，请问他们站成一排的方式有多少种？解答2：这是一个排列问题，我们需要计算3个学生排成一排的方式数。
根据排列的计算公式，可以得到他们排成一排的总数为P(3, 3) = 3! = 3 * 2 * 1 = 6种。
练习题3：小明准备选择自己的生日庆祝礼物，他在一家商场看中了8本图书和5款电子产品，但他最多只能选购3样商品。
请问他有多少种不同的购买方式？解答3：这是一个排列与组合相结合的问题，我们需要计算从8本图书和5款电子产品中选择3样商品的方式数。
首先，我们可以从8本图书中选取任意数量的商品，然后再从5款电子产品中选取剩余的数量。
根据排列与组合相乘的原则，可以得到购买方式的总数为C(8, 0) * C(5, 3) + C(8, 1) * C(5, 2) + C(8, 2) * C(5, 1) + C(8, 3) * C(5, 0) = 1 * 10 +8 * 10 + 28 * 5 + 56 * 1 = 10 + 80 + 140 + 56 = 286种。
练习题4：有6个人参加某项比赛，其中3个人获得了奖品，请问他们获得奖品的方式有多少种？解答4：这是一个组合问题，我们需要计算从6个人中选取3个获得奖品的方式数。
排列与组合练习题及答案
排列与组合练习题及答案排列与组合练习题及答案排列组合与古典概率论关系密切。
今天，店铺为大家整理了排列与组合练习题。
排列与组合练习题一、填空题1.市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是________.[解析] 由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共3×2×2=12种;如果是第二种偶奇奇的情况，个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0,1种情况)，共3×2×1=6种，因此总共12+6=18种情况.[答案] 182.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________种.[解析] 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C=5(种);二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C·C=60(种);三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种).[答案] 663.(2014·福州调研)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有________个.[解析] 分类讨论：若十位数为6时，有A=20(个);若十位数为5时，有A=12(个);若十位数为4时，有A=6(个);若十位数为3时，有A=2(个).因此一共有40个.[答案] 404.一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为________.[解析] 从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，共有圆C-C+1=53个.[答案] 535.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种.[解析] 分两种情况：选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C=6(种)方法;选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C=4(种)方法，不同的赠送方法共有6+4=10(种).[答案] 106.用数字1,2,3,4,5,6六个数字组成一个六位数，要求数字1,2都不与数字3相邻，且该数字能被5整除，则这样的五位数有________个.[解析] 由题可知，数字5一定在个位上，先排数字4和6，排法有2种，再往排好的数字4和6形成的3个空位中插入数字1和3，插法有6种，最后再插入数字2，插法有3种，根据分步乘法计数原理，可得这样的六位数有2×6×3=36个.[答案] 367.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法有________种.[解析]第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法CC=264(种);第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C-3C=220-12=208(种).由分类计数原理知不同的取法有264+208=472(种).[答案] 4728.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有________个.[解析] 在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有C·C·A=36(个).[答案] 36排列与组合练习题二、解答题9.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是多少?(用数字作答).[解] 分三类：选1名骨科医生，则有C(CC+CC+CC)=360(种);选2名骨科医生，则有C(CC+CC)=210(种);选3名骨科医生，则有CCC=20(种).骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590种.10.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法?(2)恰有一个空盒的放法共有多少种?[解] (1)每个盒子放一球，共有A=24(种)不同的放法;(2)法一先选后排，分三步完成.第一步：四个盒子中选一只为空盒，有4种选法;第二步：选两球为一个元素，有C种选法;第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法.故共有4×CA=144(种)放法.法二先分组后排列，看作分配问题.第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法;第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C种放法;第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种放法.故共有CCA=144种放法.。
小学奥数排列和组合试题及答案
小学奥数排列和组合试题及答案第一篇：小学奥数排列和组合试题及答案小学四年级奥数排列组合练习1.由数字0、1、2、3、4可以组成多少个①三位数？②没有重复数字的三位数？③没有重复数字的三位偶数？④小于1000的自然数？2.从15名同学中选5人参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种？①某两人必须入选；②某两人中至少有一人入选；③某三人中恰入选一人；④某三人不能同时都入选.3.如右图，两条相交直线上共有9个点，问：一共可以组成多少个不同的三角形？-------------------4.如下图，计算①下左图中有多少个梯形？②下右图中有多少个长方体？5.七个同学照相，分别求出在下列条件下有多少种站法？①七个人排成一排；②七个人排成一排，某两人必须有一人站在中间；③七个人排成一排，某两人必须站在两头；④七个人排成一排，某两人不能站在两头；⑤七个人排成两排，前排三人，后排四人，某两人不在同一排.-------------------答案：1.①100；②48；③30；④124.2.①C313＝286；②C515－C513＝1716；③C13·C412＝1485；④C515－C212＝2937.3.C15·C23＋C26·C13＝60；或C39－C36－C34＝60.4.①C26×C26＝225；②C25×C26×C25＝1500.5.①P77＝5040；②2P66＝1440；③2P55＝240；④5×4×P55＝2400；⑤2×3×4×P55＝2880.-------------------第二篇：小学奥数经典专题点拨：排列与组合排列与组合【有条件排列组合】例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。
（哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。
小学奥数 排列组合
一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？6*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课5 87 6①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．组合公式： 从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作．．例1：排列数：1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法？如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法？3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？n m 121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）m n ≤n 1m n m m n ≤n mm n C 12)112321m m n nm m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）121m n P n n n n m =---+（）（）（）4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
数学练习排列和组合
数学练习排列和组合数学练习：排列和组合在数学中，排列和组合是两个重要的概念，它们用于计算对象的不同排列方式和组合方式。
在这篇文章中，我们将深入了解排列和组合，并提供一些相关的数学练习题。
一、排列排列是指将一组对象按一定的顺序排列，形成不同的序列。
当我们有n个不同的对象，要从中选择r个对象按一定顺序排列时，我们使用排列计算公式：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n! 表示 n 的阶乘，即从1到n的连续整数的乘积。
为了更好地理解排列，我们来尝试解决一些排列问题：1. 从字母 A、B、C、D、E 中选择3个字母排列，有多少种排列方式？解：根据公式，我们有 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种排列方式。
2. 有5个不同的球，要将它们排成一行，有多少种不同的排列方式？解：根据公式，我们有 P(5, 5) = 5! / (5-5)! = 5! = 120 种排列方式。
二、组合组合是指从一组对象中选择若干个对象，形成一个组合集合。
与排列不同，组合不考虑对象的顺序。
当我们有n个不同的对象，要从中选择r个对象组合时，我们使用组合计算公式：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)同样地，n! 表示 n 的阶乘。
下面我们来解决一些组合问题：1. 从字母 A、B、C、D、E 中选择3个字母组合，有多少种组合方式？解：根据公式，我们有 C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 10 种组合方式。
2. 有5个不同的球，要从中选择3个球组合，有多少种不同的组合方式？解：根据公式，我们有 C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 10 种组合方式。
三、练习题1. 有10支不同的笔，从中选择4支笔排成一行，有多少种不同的排列方式？解：根据公式，我们有 P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10! / 6! = 5040 种排列方式。
排列与组合数学训练题
1．2排列与组合1．2.1排列1.了解基本计数原理与排列的关系．2.理解排列的概念及排列数公式．3．能用排列的概念、排列数公式解决一些简单的实际问题．1．排列的相关概念(1)排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)全排列：一般地，n个不同元素的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．(3)两个排列相同：组成排列的，并且元素的也相同．2．排列数与排列数公式(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的，用符号A m n表示．(2)排列数公式①排列数公式：A m n＝＝，这里n，m∈N＋，并且m≤n.②全排列数公式：A n n＝．③规定：0！＝．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()2．下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④3．A24＝________，A33＝________．4．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．排列的概念[学生用书P5]判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜； (3)选2个小组去种菜； (4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信．(1)判断一个问题是不是排列问题，关键看是否与元素的顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，与顺序无关，就不是排列问题，必要时可以变换元素的顺序比较是否有变化．(2)枚举所有排列时注意“树形图法”、“列表法”等方法的应用．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数．(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．排列数公式的有关运算或证明[学生用书P5](1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N ＋且n <55)；(2)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)求证：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n .排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．解不等式：A x8<6A x－28.排列的应用[学生用书P6]某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程表的排法？本例用间接法(法一)求解时，容易出现的错误是：在全排列中，排除了第一节排体育课，又排除了最后一节排数学课后，却未加上第一节排体育课且最后一节排数学课这种情况．事实上这种情况在两种情况(2A55)都被排除了，因而被排除了两次，但实际上只能排除一次，故需要重新加上这种情况．从六名教师中选四名教师去西藏、新疆、青海、甘肃援教，要求每个省份去一名教师，且这六名教师中甲、乙两名教师不去西藏，则有多少种不同的方案？————————————————————————————————————————————————1．排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式．在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可．(2)排列数的第二个公式A m n＝n！（n－m）！用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算．2．求解排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置续表定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法1．在排列数公式中，A m n中的m、n满足条件m≤n且m、n∈N＋，在解方程和不等式时，要注意限制条件．2．对于间接法，要清楚不适合题意的排法总数，不要“多减”或“少减”．1．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.2.已知A2n＋1－A2n＝10，则n＝________．解析：由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：53．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为________．解析：排法种数为A66＝720.答案：7204．5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有________种．解析：第1步，先排5位母亲的位置，有A55种排法；第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示：母亲____母亲____母亲____母亲____母亲____，共有A56种排法．由分步乘法计数原理可知，符合条件的站法共有A55·A56＝86 400种．答案：86 400[A基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a，b，c，d中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有() A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知A2n＝132，则n等于()A．11 B．12C．13 D．143．要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20 B．16C．10 D．64．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24 B．18C．12 D．65．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为()A．123B．312C．A312D．12＋11＋106．若集合P＝{x|x＝A m4，m∈N＋}，则集合P中共有________个元素．7．六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A44＝4×3×2×1＝24种．8．若A42x＋1＝140A3x，则x＝________．9．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．10．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数．11．某班从8名运动员中选取4人参加4×100米接力赛，则不同参赛方案的种数是() A．1 680 B．24C．1 681 D．2512．某停车站画出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种13．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？14．(选做题)高一年级某班的数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课安排在某一天，每门课一节，上午四节，下午两节，数学课必须在上午，体育课必须在下午，数、理、化三门课中任意两门不相邻，但上午第四节和下午第一节不叫相邻，则不同的排法种数为多少？。
小学数学排列与组合练习题
小学数学排列与组合练习题小学数学练习题：排列与组合1. 根据给定的条件，填写下表中的数字，使得每个答案都是唯一的：| 条件 | 结果 || ---------------------------- | ------- || 从6个不同的字符中选出3个字符 | _______ || 从5个相同的球中选出2个球 | _______ || 从4个不同的数字中选出3个数字 | _______ || 从7个相同的卡片中选出4个卡片 | _______ |2. 从字母A、B、C、D、E中选出3个字母，组成不同的三位字母单词，列举所有可能的组合。
3. 一个班级有10个学生，其中3个学生被选中参加一个小组活动。
问有多少种不同的选择方式？4. 一只有5种不同颜色的花束，每束花共包含10朵花。
求从这5种颜色中选取不同数量的花朵的所有可能性总数。
5. 用数字1、2、3、4、5组成一个5位数，要求每个数字只能使用一次且不能重复。
问有多少种不同的数字组成方式？6. 一个口袋里有3个红色球，2个绿色球和4个蓝色球。
从中随机取出3个球，问有多少种不同的取球方式？7. 在一个乐队中，有8名男生和6名女生。
从中选出4名乐手进行演出，要求至少有1名女生参加。
问有多少种不同的选人方案？8. 一个家庭有8本不同的书籍，父亲从中选取4本，母亲从剩下的书中选取3本。
问有多少种不同的选书方式？9. 从1、2、3、4、5、6、7、8中选出4个数字，组成一个4位数。
要求所选数字中至少有1个奇数和1个偶数。
问有多少种不同的选数方式？10. 从5个相同的红球和3个相同的蓝球中选出4个球，列举所有可能的选球方式。
以上题目都是关于小学数学排列与组合的练习题，通过解答这些题目可以加深对排列与组合概念的理解，提高解题能力。
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小学奥数计数练习题：排列与组合经典的排列与组合奥数题及答案
问题：小明所在的班级要选出4名中队长，要求每位同学在选票上写上名字，也能够写自己的名字。
结果全班的每位同学都在自己的选票上写了4个互不相同的名字。
当小明把同学们的选票收集后发现一个有趣的现象：就是任意取出2张选票，一定有且只有一个人的名字同时出现在2张选票上。
请问：小明所在的班级共有多少人?
总体逻辑思路：首先，假设题目所说的情况存有。
然后，得出班级人数。
最后，构造出一个例子，说明确实存有这种情况。
我们先来证明这个班每个人都恰好都被选了4次。
思路简介：我们首先用反证法证明没有人被选了4次以上。
因为平均每人被选了4次，既然没有人被选了4次以上，肯定也不存有被选了4次以下的人。
所以，能够得到每个人恰好被选了4次。
首先证明没有人被选了4次以上，我们用反证法。
假设有一个人被选了4次以上(因为很容易证明这个班的人数肯定很多于7人，所以我们能够假设有一个人被选了4次以上)，我们设这个人为A同学。
接下来我们来证明这种情况不存有。
把所有选择A同学的选票集中到一起，有5张或5张以上。
方便起见，我们把这些选票编号，记为A1选票，A2选票，A3选票，A4选票，A5选票，…。
意思就是选择A同学的第1张选票，选择A同学的第2张选票，…。
这些选票都选择了A同学。
因为任意2张选票有且只有1个人相同，所以这些选票上除了A同学外，其他都是不同的人。
我们还能够证明，这些并不是全部的选票，不是太难，就不证明了。
既然这些(所有选A同学的选票)不是全部的选票，我们再拿一张没有选择A同学的选票。
方便起见，称之为B选票。
根据任意2张选票有且只有1个人相同，A1选票上必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。
同样道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一个人和B选票上的一个人是相同的，而且这个人不是A同学。
因为B选票上只有4个不同的人，而A1、A2、…，的数量大于4.所以，A1、A2、A3、…选票中至少有2张选票，除了A同学外还有一个共同的候选人。
根据任意2张选票有且只有1个人相同，我们知道这是不能够的。
所以，没有人被选了4次以上。
因为平均每人被选4次，既然没有人被选4次以上，当然也就不可能有人被选4次以下。
所以，每个人恰好被选了4次!。