高中数学核心素养一题多解探讨
“多题同解”与“一题多解”在高中数学教学中的价值研究
ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｘ ＋ ｉ ） 的图象上各点通过怎样的变换，
＾ 丌 Biblioteka 、变式 教学 的理论 解 析
得到 ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｉ ＋ ｉ ） 的 图象７． 如何把 ｙ ＝ ｓ ｉ ｎ （ ｉ
耳 １ ， ｜
变式教学在具体 的教学过程 中可 以按 不 同的教学模式与内容 ，划分成三种类 型： 第一 ， 定理 与概念型 ； 第 二， 例题 与习题型 ； 第三 ，教学与学法型 而本文所展开论述的 “ 多题 同解”与 “ 一题多解 ”就属于例题与 习题型 ，具体地 说，就是在解题过程 中，在 学生掌握基本解法后，通过采取改变题 目原 条件或题 目所设原情境等方 法，巩固学生对 知识的掌握程度与变通 能力，使学生能够对 问题产生不同方 向、不同层次和不同角度 的 思考 ，从而提 出新 的问题 、发现同题的多种 解法 ，让 思维不再局限在固有不变的模式和 范 围内。 １ ． 针对 “ 多题同解 ”与 “ 一题 多解 ”的 界定 解题 是推进数学认知、培养学生 思维 能 力 的关键手段 ，更是数学教学的核心 内容 。 数 学家波利亚 曾说过 ， 掌握数学就意味着擅 长解题 。教师 要想提 高学生 的解题 能力，必 须 能够 为他们提供模仿与实践的大量机会 。 高中数 学最常见 的变式 “ 一题多解 ”，指 的 是将原题 目设为 中心点，再 向四方进行拓展 和 深化 ，层层揭示数学的非本质与本质属 性。这类 教学可 以加深学生对 问题 的认知 ， 减轻解题 的思维负担 ，并能在一定程度上激 发兴趣 ，开拓解题思路，实现提升发 散性 思 维的 目的，让学生更善于全面观察问题，综 合运用多方知识解题 。另一种从一道题 为出 发点，通过一系 列的逆 向或横 向的思维 改 变，将 原题扩展 为多类题 ，并对 “ 同根题 ” 进行研 究， 找 出共性， 形成完整 的知识 结构； 又或是归纳总结某个解题方法 ，将 其形成具 体技巧用以解 决其他题 目，实现 多题 归一的 目的。 这一种变式即是 “ 多题 同解 ”。 ２ ．两种教学方式在实践教 学中的现状 在新课改的推广过程 中，各种 变式教学 的理论纷纷涌现， “ 一题多解 ”与 “ 多题 同 解 ”的教 学理念逐渐深入人心 ，得到 了广泛 的认可 。调查结果显示 ，近 几年教师对变式 教学关注度明显上升，多数教师在教学过程 中经常使用 “ 一题多解 ”、 “ 一法 多用”、 “ 图形变式 ”以及 “ 引申教学 ”等方法 ，变 式教学逐渐成为高中主流教学方式 。经教学 实践证 明， 变式 教学作为一种有效 的、科学 的教学方式 ，虽不能为学习提供一条捷径 ，
教学中“一题多解”对数学核心素养的培养———以2022_年高考数学比大小为例
教学中 一题多解 对数学核心素养的培养以２０２２年高考数学比大小为例周宗全㊀闫化宇(莘县第一中学ꎬ山东聊城２５２４００)摘㊀要: 一题多解 是培养数学能力的一种行之有效的方法.将 一题多解 恰当地融入高中数学教学中ꎬ从多角度探讨解题规律ꎬ有助于学生掌握解题技巧ꎬ提高解题能力.关键词:一题多解ꎻ多解一题ꎻ不等式ꎻ泰勒公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３３－００２１－０３收稿日期:２０２３－０８－２５作者简介:周宗全(１９８３.３－)ꎬ男ꎬ山东省潍坊人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎻ闫化宇(１９９５.１０－)ꎬ男ꎬ河南省濮阳人ꎬ研究生ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀２０２２年高考试卷考点分布合理ꎬ总体难度有所增加ꎬ但未出现偏㊁难㊁怪的题目ꎬ以«普通高中数学课程标准»为依据ꎬ以«中国高考评价体系»为最高原则ꎬ发挥出了数学科目选拔人才的作用.要求考生立足于教材ꎬ不拘泥于教材ꎬ活用教材ꎬ注重知识点之间的关联㊁融合㊁升华ꎬ搭建知识体系ꎬ渗透数学思想方法[１].以常规解法为基础ꎬ充分运用一题多解.文章通过对２０２２年高考数学卷中比大小类型的题目进行分析和整合ꎬ培养学生发散思维和通性通法解题的能力.１真题再现２０２２年全国新高考数学Ⅰ卷７题ꎬ设ａ＝０.１ｅ０.１ꎬｂ＝１９ꎬｃ＝－ｌｎ０.９ꎬ比较大小.２解法展示比大小题目为高考常规题目ꎬ为了考查学生对于函数的综合运用能力ꎬ题目基本告别了 三段式 的结论ꎬ要求学生需具备构造函数㊁利用导数㊁函数放缩等多方面的解题方法和能力[２].２.１常规解法比大小ꎬ一般采取作商㊁作差的方法ꎬ其中会用到构造函数的思想.以真题为例.其具体步骤如下:细审题ꎬ发现ａꎬｂꎬｃ的共性ꎬ都与０.１有关联.巧构造ꎬ利用构造函数判断其单调性ꎬ利用导数法和初等函数的单调性进行判断.构造函数ｕ(ｘ)＝ｘｅｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬｖ(ｘ)＝ｘ１－ｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬｗ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则当０<ｘɤ０.１时ꎬｕ(ｘ)>０ꎬｖ(ｘ)>０ꎬｗ(ｘ)>０.首先设ｆ(ｘ)＝ｌｎ[ｕ(ｘ)]－ｌｎ[ｖ(ｘ)]＝ｘ＋ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｘ１－ｘ<０在(０ꎬ０.１]上恒成立ꎬ所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递减ꎬ则ｆ(０.１)<０＋ｌｎ(１－０)＝０ꎬ即ｌｎ[ｕ(０.１)]<ｌｎ[ｖ(０.１)]ꎬ又因ｌｎｘ在(０ꎬ¥)上单调递增ꎬ所以ｕ(０.１)<ｖ(０.１)ꎬ则０.１ｅ０.１<０.１１－０.１＝１９ꎬ即ａ<ｂꎬ排除Ｂ.接下来ꎬ我们需比较ａꎬｃ的大小ꎬ可采取作差法进行比较.设ｇ(ｘ)＝ｕ(ｘ)－ｗ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ｌｎ(１－ｘ)(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ－１１－ｘ(０<ｘɤ０.１)ꎬ再设ｈ(ｘ)＝(１－ｘ２)ｅｘ－１(０<ｘɤ０.１)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(１－２ｘ－ｘ２)ｅｘ>０在(０ꎬ０.１]上恒成立ꎬ即ｈ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增的ꎬ所以ｈ(ｘ)>(１－０２)ˑｅ０－１＝０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ０.１]上恒成１２立ꎬ所以ｇ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增ꎬ所以ｇ(０.１)>０ˑｅ０＋ｌｎ(１－０)＝０ꎬ即ｕ(０.１)－ｗ(０.１)>０ꎬ则ａ>ｃ.综上所述ꎬ可判断ｃ<ａ<ｂ.在判断ａꎬｂ大小时ꎬ可采用作商法ꎬ判断比值与１的大小关系ꎬ具体解法不再赘述.２.２放缩法高中阶段常见放缩公式有:ｅｘȡｘ＋１>ｘ>ｘ－１ȡｌｎｘ>１－１ｘ１２(ｘ－１ｘ)<ｌｎｘ<２(ｘ＋１)ｘ＋１ꎬ(０<ｘ<１)２(ｘ－１)ｘ＋１<ｌｎｘ<１２(ｘ－１ｘ)ꎬ(ｘ>１)三角函数放缩:ｔａｎｘ>ｘ>ｓｉｎｘ(０<ｘ<π２)ꎬｓｉｎｘȡｘ－１２ｘ２ꎬ１－１２ｘ２ɤｃｏｓｘɤ１－１２ｓｉｎ２ｘ以真题为例ꎬ其具体步骤如下:先比较ｂꎬｃꎬ先进行一些变形ꎬｂ＝１９＝１０９－１ꎬｃ＝－ｌｎ９１０＝ｌｎ１０９ꎬ根据公式ｘ－１ȡｌｎｘꎬ可得出ｂ>ｃ.再比较ａꎬｂꎬ先将ａꎬｂ扩大十倍分别变为ｅ０.１ꎬ１０９ꎬ再同时取其倒数１ｅ０.１＝ｅ－０.１ꎬ９１０＝－０.１＋１ꎬ根据ｅｘȡｘ＋１ꎬ得ｅ－０.１>－０.１＋１ꎬ则ａ<ｂ.最后比较ａꎬｃꎬ根据公式ｅｘ＋１ȡｘ＋１ꎬｌｎｘ<１２(ｘ－１ｘ)ꎬ(ｘ>１)ꎬ则ａ＝０.１ｅ０.１>０.１(０.１＋１)＝０.１１ꎬｃ＝ｌｎ１０９<１２(１０９－９１０)<０.１１ꎬ则ａ>ｃ.前两种方法较为常规ꎬ但不难看出前两种方法需要学生具备较强的逻辑能力ꎬ考场压力下会消耗大量时间ꎬ所以在平常的训练中还是推荐通法ꎬ但课下还是可以了解一下其他解法和原理.我们知道对于非特殊的指数和对数一般很难算出它们的值ꎬ但我们可借助高等数学和其他领域的知识ꎬ从而快速求解这类题目.接下来我们将采取 泰勒公式 和 帕德逼近 方法求解此题.２.３帕德逼近泰勒展开是一种很好的逼近方法ꎬ对许多函数都有很好的效果ꎬ然而ꎬ有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果不尽如人意ꎬ本质原因是因为多项式级数的局限性.为此ꎬ我们可以考虑用分式来逼近函数ꎬ也就是所谓的分式逼近ꎬ一种常用的分式逼近方法为帕德逼近ꎬ帕德近似(Ｐａｄｅａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ)是一种特殊的有理数逼近的一种方法ꎬ是一种非线性近似方法[３].帕德近似往往比截断的泰勒级数准确ꎬ而且当泰勒级数不收敛时ꎬ帕德近似往往仍然可行ꎬ以下列举了两种对数和指数的转换方式.这种方法比泰勒展开收敛速度更快.主要应用于计算机数学领域ꎬ但对于高中函数方面有一定的作用ꎬ学生和教师可以适当地了解一下ꎬ拓展自己的知识领域.ｌｎ(１＋ｘ)ʈ３ｘ２＋６ｘｘ２＋６ｘ＋６ｘɪ(－１ꎬ１)ꎬｅｘʈｘ２＋６ｘ＋１２ｘ２－６ｘ＋１２ｘɪ(－１ꎬ１)以第一题为例ꎬ其具体步骤如下:通过计算可得ａ＝０.１ｅ０.１＝０.１ˑ０.１２＋６ˑ０.１＋１２０.１２－６ˑ０.１＋１２ʈ０.１１０５１７０９ｃ＝－ｌｎ０.９＝－３ˑ(－０.１)２＋６ˑ(－０.１)(－０.１)２＋６ˑ(－０.１)＋６ʈ０.１０５３６０４.２.４背数法在高中数学阶段ꎬ熟记一些常见的特殊值也是必不可少的ꎬ对于一些题目的解答会带来不错的效果.下面根据题目进行变换ꎬ利用一些常见的数值带入比较其大小.常见的对数有:ｌｎ２ʈ０.６９３ꎬｌｎ３ʈ１.０９８ꎬｌｎ５ʈ１.６０９以真题为例ꎬ其具体步骤如下:对于ｃ:进行转变－ｌｎ０.９＝－ｌｎ９１０＝ｌｎ１０－ｌｎ９＝ｌｎ２＋ｌｎ５－２ｌｎ３ʈ０.１０６ꎬ对于ａꎬｂ我们易知都是大于０.１１ꎬ如何比较ａꎬｂ?因为ａ中出现了ｅꎬ我们可以考虑同取对数ꎬｌｎａ＝ｌｎ(０.１ｅ０.１)＝ｌｎ０.１＋ｌｎｅ０.１＝ｌｎ１１０＋１１０＝１１０－ｌｎ１０＝０.１－ｌｎ２－ｌｎ５ʈ－２.２０２ꎬｌｎｂ＝ｌｎ１９＝－２ｌｎ３ʈ－２.１９６ꎬ故ｌｎｂ>ｌｎａꎬ因为ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ在定义域中单调递增ꎬ所以ｂ>ａ.综上:ｂ>ａ>ｃ.２２背数法固然可行ꎬ但对于有些题目无法化简成特殊数的形式ꎬ所以此方法适合一部分题目ꎬ不适合全部比较大小的题目.３一题多解的意义通过观察可以看出比大小题目类型多ꎬ方法不唯一ꎬ每种方法都有优缺点ꎬ所以一题多解的应用意义重大.现阶段高中数学教学中ꎬ存在教学方法不合理的情况ꎬ从而限制了学生思维的开发ꎬ也不利于学生学习高中数学.比如题海战术ꎬ该学习的方式是让学生通过做大量的习题来熟悉并掌握相关知识ꎬ但这种学习方式却给学生造成了很大的学习负担和时间压力ꎬ甚至导致部分学生厌恶学习数学ꎬ认为数学是一门既浪费时间ꎬ又收获不大的科目.学生机械性地去做老师布置的题目ꎬ没有时间对其所做的题目进行认真思考和总结ꎬ导致对需要掌握的知识不深入不具体.此外ꎬ很多学生受到此类教学方法的影响ꎬ导致学生的学习方法也会有一定的限制.很多学生只寻求一种解题方法ꎬ就认为已经满足自己对此模块知识的掌握要求ꎬ并未认真考虑是否有其他简便快捷的解题方式[４].因此ꎬ一题多解的教学思路应当在高中数学教学阶段普及ꎬ同时让学生从中获得更大的收获.４一题多解ꎬ发散思维ꎬ提高能力高中数学新课标指出ꎬ培养学生的数学思维能力是全面培养数学能力的主要途径ꎬ数学是思维的体现ꎬ解决问题是学习数学的目的.发散思维是一种不依常规㊁寻求变异㊁从多方面寻求答案的思维方式.这种思维方式ꎬ不受现代知识的局限ꎬ不受传统知识的束缚ꎬ与创造力有着直接联系ꎬ是创造性思维的核心.培养发散思维能力既是培养学生创造力的重要环节ꎬ也是发展其个性的有效手段.在数学科目上ꎬ一题多解是训练㊁培养学生思维能力的一种行之有效的教学方式ꎬ是让学生跳出单一思维模式ꎬ多种角度㊁多个方位地审视㊁分析问题ꎬ从而达到解决问题的目的.它能充分调动学生自行解决问题的主动性㊁积极性ꎬ让学生全方位地思考解题的多种方法ꎬ不断开发解题潜能.用问题促进思维的发展即通过合理设计疑问ꎬ以促进学生自身思维多方向㊁多角度的发展.在训练发散思维时ꎬ教师要注意使设计的问题既达到了激疑目的ꎬ又具有一定的开放性.用变化求得发散思维.在课本习题的基础上ꎬ通过变式进行训练ꎬ努力挖掘教材知识的深度和广度ꎬ寻求思维的发散点ꎬ结合已学和拓展的知识ꎬ从不同角度出发ꎬ寻找题目的最优解.教师需精心设计每一堂课ꎬ通过一步步的变式探究ꎬ一步步的引导ꎬ使学生在课堂上处于一种探究㊁探索的状态ꎬ通过多角度探究达到训练学生发散思维的目的.教师需转变教学思路ꎬ注重学生讨论环节.在很多情况下ꎬ学生之间具有互相启发的作用ꎬ他们之间的相互交流沟通ꎬ可使解题思路得到有效的分享.为了促进学生学习进步ꎬ教师应当采用学生分组合作学习的方式ꎬ小组成员之间共同探讨㊁交流解答教师所布置的任务以及有几种方法可以解答题目等ꎬ将多个学生的思维整合到一起ꎬ再以小组为单位展开探讨.这种方式既能烘托学习氛围ꎬ又能激发学生的求知欲望ꎬ学生学习数学的热情高涨ꎬ从而提高学生的学习效率ꎬ达到全体学生相互帮助㊁相互促进学习的目的ꎬ同时加深学生对一题多解的学习方式ꎬ逐渐使其养成良好的学习习惯[５].总而言之ꎬ熟练运用一题多解和多解一题是学生高中阶段不可或缺的能力ꎬ教师需提高自身教学能力和教学水平ꎬ丰富自身知识领域ꎬ从而优化学生综合素质ꎬ提高解题效率.参考文献:[１]都亦.高中数学 一题多解 的学习心得[Ｊ].中国校外教育ꎬ２０１６(３５):４１－４２.[２]何长斌.例谈高中数学习题课中的 一题多变㊁一题多解 教学策略[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０１５(１１):２６.[３]赵鲁辉.高中数学教学中 一题多解 对学生思维能力的培养[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１９):８６－８７. [４]秦曾复ꎬ朱学炎.数学分析[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９１.[５]蒋翠云.ｐａｄé逼近方法[Ｊ].阜阳师范学院学报(自然科学版)ꎬ１９９７(０４):４２－４４ꎬ２９.[责任编辑:李㊀璟]３２。
注重发散联想 提升核心素养——一道试题的多解思考、结论应用与教学展望
注重发散联想提升核心素养摘要：提升学生的学科核心素养是数学教学的核心目的，在尊重个体差异的前提下，借助问题在解题教学中实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究，培养学生养成解后反思的习惯，是提高学生学习兴趣和渗透数学学科核心素养的重要途径．关键词：一题多解；发散联想；核心素养收稿日期：2020-04-18作者简介：胡伟斌（1986—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教育与解题教学研究．——一道试题的多解思考、结论应用与教学展望胡伟斌解题教学是初中数学教学的重要组成部分.在实际教学中，部分教师常常将解题教学演变成解题训练，课堂旋律也常表现为“做完一题再做一题”的重复.事实上，过多的解题不仅不会促进学生思维能力的发展，反而容易使学生感到疲劳，降低学习兴趣.在解题教学中，教师如果能精选试题并不失时机地引导学生尝试一题多解，通过发散联想，使学生的思维触角伸向不同的方向和更高的层次，这样不仅能加深学生对所学知识的理解，而且能培养学生思维的发散性和灵活性，也有利于对学生创新意识的培养和核心素养的提升.基于此，以一道题目为例，分析解题思路，探寻多样解法，与广大同仁分享笔者的观点.一、题目呈现题目如图1，已知锐角∠AOB 内有一定点P ，过点P 任意作一条直线MN ，分别交射线OA ，OB 于点M ，N.现将直线MN 绕着点P 旋转，试问当直线MN 在什么位置时，△MON 的面积最小，并说明理由.图1初遇此题，还是其作为2013年中考江苏连云港卷压轴题中的一道小题，笔者当时就被其简洁的题设、丰富的内涵所吸引.时至今日，此题又在笔者所在学校九年级培优选拔性考试中出现，鉴于学生对该题的解法不尽相同，笔者心中燃起了对其进行研究的热情.二、解法探析该题是一道以角为载体、直线旋转为背景、探究三角形面积的最值问题.由于△MON 面积的变化规律不易发现，则增加了问题解决的难度.由于题中点P 的位置和∠AOB 的度数是确定的，我们便可以此为突破口，找出一些富有创意的想法，现将这些典型思路呈现如下.思路1：合理猜想，直观比较.当直线旋转到点P 是线段MN 的中点时，S △MON 最小.如图2，作过点P 的另外一条直线EF 分别交OA ，OB 于点E ，F.不妨设PF ＜PE ，过点M 作MG ∥OB 交EF 于点G.不难推出△MGP ≌△NFP.进而可得S 四边形MOFG =S △MON ，而S 四边形MOFG <S △EOF ，故S △MON <S △EOF .图2思路2：巧用面积比，“不等”来传递.如图3，过点P作CP∥OB，DP∥OA，分别交OA，OB于点C，D，则四边形CODP为平行四边形.设S△MCP=S1，S四边形CODP=S，S△PDN=S2.不难证明△MCP∽△PDN，则S1S=MC2PD=CP2DN=S4S2.因为S1+S2≥2S1S2= S.所以S△MON≥2S.当且仅当S1=S2时，等号成立，此时MP=PN.图3思路3：先局部，再整体，三角函数巧“联谊”.如图4，连接OP并延长，过点M作射线OP，OB的垂线，垂足分别为点C，E，过点N作射线OP 的垂线，垂足为点D.设sin∠AOB=a，sin∠AOP=b，sin∠POB=c，OP=k，OM=x，ON=y.不失一般性，MC ND =PM sin∠MPOPN sin()180°-∠NPO=PMPN=xbyc.而12ON∙ME=12OP∙MC+12OP∙ND，即12xay=12kxb+12kyc.则y=xkb xa-kc .因此S△MON=12yxa=kba-2kc x2+2a x.故当x=2kca时，S△MON最小，而此时y=2kb a，则可得PM PN=1.图4思路4：借助坐标系，数形来结合.如图5，以点O为坐标原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设tan∠AOB=a，点P的坐标为()m，n.当∠MNO=90°时，易求得S△MON=am 22；当∠MNO≠90°时，易知y OM=ax，y MN=kx+n-km.则可得点M，N的坐标分别为Mæèöøtk-a，atk-a，Næèöøtk，0（其中t=km-n）.所以S△MON=am 22æèçöø÷n2-mnat2+2n-ma t+1.故当t=2n()ma-n2n-ma时，S△MON取得最小值2mn-2n2a≤am22，而此时点M的纵坐标为2n，即点P为线段MN的中点.图5三、结论应用事实上，探究题目的价值不止于上述内容，更为难得的是题目中所蕴含的结论也可以作为求解某些问题的“提速之匙”.例如图6，在平面直角坐标系中，直线OH的解析式为y=3x，一次函数y=kx+3-3k（k≠0）的图象分别交射线OH和x轴的正半轴于点A，B，则OA∙OB的最小值为.图6解析：此题的原解是先利用两个函数的解析式求得点A，B的坐标，再通过求含k的代数式的最小值解决.方法常规易想，但过渡稍多，运算量较大.倘若运用上述结论，则可直捣黄龙，具体思路如下.易知函数y=kx+3-3k图象经过定点C()3，3.如图7，连接OC，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点D，E.易得OC=23，tan∠COE=则∠COE=30°.由y OH=3x，可知∠AOB=60°，因此OC是∠AOB的平分线.因为S△AOB=12OB∙AD=12OB∙OA sin∠AOB，所以要使OA∙OB最小，只需△AOB的面积最小.而根据题目中的结论，不难推知，当OC为AB边上的中线时，△AOB的面积最小，而此时△AOB恰为等边三角形，且OA=OB=4，故OA∙OB的最小值为16.图7四、教学展望1.多角度探究问题是培养学生发散思维的重要途径《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中指出，数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.而对于一道可以进行一题多解的题目，引导学生尝试从不同的角度对其进行探究，让学生充分经历分析问题的过程并体验解决问题方法的多样性，是体现上述理念的有效方式之一.例如，在上述题目的解题教学中，由于题中点P 的位置和∠AOB的度数确定，笔者便以此为突破口，引导学生就相关条件展开发散联想.启发环节1：由于点P的位置固定，笔者就鼓励学生猜想“当点P位于线段MN的哪一位置时，S△MON最小”，以此启发学生进行合情推理，最后通过演绎推理进行直观比较.启发环节2：由于在直线MN绕点P旋转的过程中，△MON的面积不断变化，故笔者尝试启发学生“动中取静”，提问：虽然△MON的面积是一个变量，但是根据图形你能发现哪些常量？借此引导学生发现过点P分别作OA，OB的平行线，所构成的平行四边形的面积始终不变.从而将问题转化为求余下两个三角形面积和的最小值问题.亦或连接OP，“一分为二”，引导学生借助定线段OP，定角∠MOP和∠NOP，利用相似或正弦定理将问题转化为求二次函数的最值问题.启发环节3：经过上述两个环节后，学生从“形”切入解析上述题目遇到瓶颈，故笔者引导学生思考：借助“形”达不到目的，还可以从哪个方面切入？以此启发学生将“形”转化为“数”，并借助平面直角坐标系求解.通过上述解题思路的引导，让学生体会对于某些问题可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解，逐步让学生养成多角度、多层次、多维度切入并思考问题的习惯，最终内化为学生自身的数学素养.同时，在解题的过程中，教师要鼓励学生提出凸显自己特点的解法，激发学生学习数学的兴趣，培养学生思维的发散性和灵活性，发展其创新意识. 2.学会解后反思是提升学生核心素养的重要方法《标准》中指出，要恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性.在平时的解题教学中，教师不仅要引导、传授学生多种解题方法，同时还要让学生学会解后反思，思考不同解法之间的区别和联系，辨别各种方法的优劣.例如，在上述题目的解法探究后，笔者引导学生对四种思路进行了比较，综观上述四种思路，殊途同归，又各具特色.思路1利用三角形全等，借此“移花接木”，欲以“无字证明”，较好地体现了利用几何直观解决问题的优势，妙不可言！思路2则利用三角形相似，找到各图形面积间的比例关系，进而利用基本不等式推得结果，可谓简约直观，精彩巧妙.思路3和思路4，虽然从不同的角度切入，但均通过设元，找到△MON的面积与某一变量之间的函数关系，最后化归为求二次函数的最值问题.这两种思路的实质都是将“形”转化为“数”，欲以细致分析达到微观题目之效，自然直接，但思路3的思维含量较高，过渡稍多，而思路4方法易想，但过程稍显复杂，计算量较大.通过上述的比较讨论，帮助学生更好地理解了问题的本质，深化了其对知识的认识，使其在今后再遇到类似问题时能以最快的速度找到解题突破口，实现对问题的有效解决.而使解题方法优化，探求简洁的解（下转第91页）地使用教材，可以帮助学生把握问题本质，开阔学生的数学思维.从教材例题引入，从“拓展原有命题—延伸条件—知识迁移”三个角度进行了变式，实现了原来问题的指向从单一到多向、从特殊到一般的延伸.在知识迁移的三个变式中，类比“借助线段传递证明三角形全等”的方法，学生比较容易想到图形的内在联系，从而实现线段最小值的求解.在这一基础上，搭建了思维阶梯，为思考后面的变式4和变式5做了准备.这样的变式思考，有助于学生对知识的理解，激发学生思考的兴趣，促使学生的思维向纵深发展.围绕教材例题进行变式，实际上是对知识应用和理解的深度挖掘，通过变式问题的探究可以实现思维拓展，有助于新知的沉淀，最终促进学生的思维生长. 3.探寻深度教学，提升思维品质本节课的教学立足于正方形的性质应用，以研究线段关系为起点，探究例题的多种解法，而后又经历问题变式.通过对教材中这道例题的深度挖掘，用一题多解和一题多变的形式，促进深度学习的开展与深化，让学生的思考与学习逐步深入，完善知识结构，养成良好的思维习惯，提升思维层次，培养学生的数学核心素养.对教材例题进行挖掘、变式、探究，既能抓住数学本质，加深学生的数学理解，又能提高解题能力，还可以实现教材例题教育功能的价值最大化，培养学生的数学思维能力.教材上的例题，具有较好的典型性和示范性.因此，在教学中，教师需要对教材上的例题实施“再创造”，挖掘其内在价值，实现深度教学，促进学生思维的成长.参考文献：［1］陈建国.学习方式变革与“高阶思维”课堂创设策略探索［J］.数学教学（上旬），2018（2）：12-14.［2］苏建强.几何解题教学应突出的三个关注点［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（4）：48-51.［3］姜晓翔.一道网格题的解答剖析与教学启示［J］.中学数学教学参考（中旬），2019（5）：41-43.题思路又可以使思维向最优路径收敛，在经验的不断积累中提升学生的数学能力和核心素养，逐步迈入高效学习的快车道.3.尊重个体差异是提升学生核心素养的必要前提在日常教学中，我们所面对的学生基础不同，个性迥异，思考问题的切入角度不尽相同.《标准》中指出，教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每位学生在原有基础上得到发展.例如，在上述题目的解法探究过程中，笔者鼓励学生以自己喜欢的研究方式去寻找解题方法，借此使每位学生都参与到学习中，并让他们通过积极思考，畅所欲言，提出各自解决问题的策略.无论学生的解法优劣，笔者都及时、有效地对其进行肯定和鼓励，发现其中的亮点，以此激发学生的学习热情和创新灵感.同时，通过不同解法的呈现，笔者引导学生就解法进行自我对比，以使不同层次的学生各有所思、各有所得、各有所悟，以此在原有知识方法、思想经验的基础上，进一步得到不同程度的应用改进和积累提高，进而促进学生核心素养的提升.笔者认为，在平时的解题教学前，教师应着重根据班级学生的个体差异精选试题，以激发学生探究的积极性，让每位学生都有机会参与到学习中.在教学过程中，教师应不失时机地借助问题实施一题多解，引导学生对问题条件进行发散联想，鼓励学生从不同角度对问题进行探究.而在一题多解之后，教师应特别注意为学生搭建比较、讨论的平台，以培养学生养成解后反思的习惯.如上的教学，课堂旋律将会变得跌宕起伏，而学生对问题本质的认识理解及核心素养的提升发展不仅有了空间和时间，也有了具体的路径和方法.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］张俊.一道试题的多解思考及其教学展望［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（7）：48-49.（上接第86页）。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的应用实践
住 数 学教 学 精髓 。 “ 一 题 多解 ”与 “ 多题 一 解 ”
当 且仅当÷ ＝ ＝ ， 也就是 ｘ ＝ ２ ， ｙ ＝ ４ 时 取得
是 目前 教 学 中 常 见 的 用 于 实 施 过程 性 变 式 的 方式 ，即教学理论 中的 “ 问 题 变 式 ”。 “ 一
化原则。 ２ ．教 学模 式
题 多解 ’ ’与 “ 多题一解＂ 在 高 中数学教学 中的应用实践
一
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【 摘
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梁静 斌
覃俊 明
＝
要】 在新 时期高 中数 学教 学模 式 题难关 的智囊 妙计。但是 ，再有效 的方法 也
需 要 经 过 长 期 的探 索 、应 用 、反 思 ， 才 能 扫
“
一
解法 ４ ：因为 ｘ ＞ Ｏ ， ｙ ＞ Ｏ ，÷ ÷ ＝ １ ，故可使
ｔ
， 一 ｃ ｏｓ
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１
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题多解” 中是将 原有 问题作 为思路的核心 ， 借助于不 同解 题思维拓展 出来 的各种各样 的 解题方式 ，用 于展现数学学科 中的本质属性 与非本 质属性。高 中数学教 学中运用 “ ～题 多 解 ” ，不 但 可 以 实 现 解 题 过 程 的 步 骤 化 、 层 次 化 ，深 化 学 生 对 题 目的 理 解 与 认 知 ，帮 助学生短 时间 内扩展思 维与思路 ，还可 以促 使学生集 中精神挖掘题 目本质。 （ ２ ） “ 多 题 ～ 解 ” 的 概 念 。数 学 中有 不 少 题 目具 有 相 同 特 性 与解 题 模 式 ，一 种 解 题 方 式 可 以 广 泛 应 用 于 多 种 问 题 解 答 。学 术 界 经 过 长期 观 察 ，找 出一 部 分 问 题 的 “ 题根 ” 具体通 性 ，只要抓住 这类问题 的 “ 题根 ”， 解题方 法 自然而然就 找到了。人们将归纳 出 来 的通性 解题方法用 于实践 ，最终得 出 “ 多 题 一 解 ” 。实 际上 ， “ 一 题 多解 ” 源 自于 “ 一 题 多 变 ”变 式 和 “ 一 法 多 用 ” 变 式 ，ｗ ＿ Ａ ＿ 威 克尔格伦将其称之为万能的 “ 通用解题法”。 二、 “ 一题多解 ”与 “ 多 题 一 解 ”在 高 中教 学应用现状 首 先 ，变 式 理 念 已 广泛 得 到 认 可。新 时 期 的 教 学 中心 理 念 为 “ 教 为 主 导 ，学 是 主 体 ”，由此 可见 ，高 中数学教 学中需要将学 生置 于重要位置 ，而 “ 一 题 多 解 ”与 “ 多题 解 ”的中心理念——变式 理念体现的正是 学生 “ 学 ”与 “ 教师 ”教 之间 的辩 证 统 一 关 系 ， 能够为提升数学教学质量提供有效途径。 其次 ，逐渐 成为变式教 学的主流方 式。 据相关 调查资料显示 ，大部 分高 中数学教 师 都倾 向于 “ 一题 多解 ”与 “ 多题一解”两 种 教 学 方 式 ，尤 其 是 习题 讲 解 时 ，通 常 会 通 过 以上 两 种 方式 引 导 学生 。此 外 ，调 查 显示 “ 一
以核心素养为导向的数学试题研究母题60题
以核心素养为导向的数学试题研究母题60题核心素养是指一系列与个人发展密切相关的基本素质和能力，包括思维能力、学习能力、沟通能力、创新能力等。
数学作为一门学科，不仅培养学生的数学知识和技能，更重要的是培养学生的核心素养。
因此，设计以核心素养为导向的数学试题十分重要。
我以核心素养为导向，设计了60题数学试题。
以下将就其中几道题目进行详细说明。
1.题目：小明家有100个苹果，他决定每天吃掉前一天剩下苹果数的一半，并每天再多吃5个苹果。
请问小明吃完所有苹果需要多少天？解析：这道题目主要考察学生的逻辑思维和推理能力。
学生需要从每天减半还加5个苹果来分析得出每天剩下的苹果数量，然后通过逐天进行计算，最终找出小明吃完所有苹果需要多少天。
2.题目：数列1, 2, 4, 8, 16, ...的第n项是多少？解析：这道题目主要考察学生的数学思维和推理能力。
学生需要观察数列的规律，发现每一项都是前一项的2倍，然后通过递推的方法计算出第n项是多少。
3.题目：已知一条直线上有3个点A(2, 4)，B(4, 6)和C(6, 8)，请问这三个点是否共线？解析：这道题目主要考察学生的几何思维和图形理解能力。
学生需要通过计算这三个点的斜率，来判断它们是否处于同一条直线上。
4.题目：某商场打折销售，原价100元的商品打8折后售价为多少？解析：这道题目主要考察学生的数学计算能力和实际应用能力。
学生需要计算出打折后的价格，然后将计算结果与原价进行比较，得出最终售价。
通过这些题目的设计，学生不仅能够学习和掌握基本的数学知识，更重要的是培养他们的核心素养，如逻辑思维、推理能力、数学思维、图形理解和实际应用能力等。
这些素养对学生未来的学习和工作发展都具有重要意义。
总的来说，以核心素养为导向的数学试题设计能够使学生在学习数学的过程中培养和发展全面的素质和能力。
通过这些试题的练习和解题过程，学生不仅可以提高数学水平，还能为他们今后的学习和发展奠定坚实的基础。
关于数学核心素养的几个问题
关于数学核心素养的几个问题推荐理由：“核心素养”是近期教育界讨论的热门话题，就数学学科而言，如何理解数学核心素养，数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等之间的关系如何，马云鹏教授的这篇文章或许能给你启发。
随着基础教育课程改革的不断深入，人们越来越关注学生素质的培养。
就数学学科而言，更关注学生的数学素养的提高，特别是有关数学核心素养的问题更引起广泛的讨论。
如何理解数学核心素养，数学核心素养与数学基本思想、数学思想方法等之间的关系如何，本文试对这些问题谈一谈自己的理解。
一、对数学核心素养的理解数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。
数学核心素养是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称《标准》）明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。
在《〈义务教育数学课程教准（2011年版)〉解读》等一些材料中，曾把这些表述称为核心概念，但严格意义上讲，把这些表述称为"概念"并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。
因此，把这10个表述称为数学核心素养是恰当的。
数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。
核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。
核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。
核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性。
数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
"数学素养是指当前或未来的生活中为满足个人成为一个会关心、会思考的市民的需要而具备的认识，并理解数学在自然、社会生活中的地位和能力，作出数学判断的能力，以及参与数学活动的能力。
学生培养之一题多解培养学生数学核心素养
数学素养是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具有的品质，通常是人们与周围环境产生相互作用时所表现出来的思考方式和和解决问题的策略。
现在我国对人才的要求是综合化、创新化，如果缺乏对事物的“举一反三”能力，将很难面对今后的问题，很难适应社会的需要。
初中阶段的数学有着承上启下的作用，是非常关键的时期，它要求学生不再只拥有小学阶段简单的读题、算数能力，逐步开始培养他们逻辑开拓以及创新的能力。
一题多解是指利用不同的思维方法，对于同一个问题使用两种或者两种以上的方法进行求解。
一题多解是对同一个问题的不同解决过程作为变式，形成一个问题的多种解决方法，从而联结各种不同的解决方法。
“多解”的过程是积极引导学生以己学知识为基础，尽可能从不同的角度出发提出解题思路。
在这样的解题过程中，激发了学生学习数学的兴趣，培养了创新意识、创新思维，从而提高学生的思维能力，提高学生的解题能力，进而提升学生的数学核心素养。
能够进行一题多解的题目，往往是那些包含有众多知识点，具有代表性的题目。
通过一题多解，不但能够带出多种数学知识和方法，而且还能通过比较不同的解法更加灵活地运用知识，进而更深刻地理解数学知识，牢固掌握数学方法。
采取竞争学习的方法，一个同学利用一种方法解决了问题，其他同学会更加急切的用别的方法解决，在这种激烈的竞争氛围中养成学生善于思考、勤于动脑的良好习惯。
探索一题多解，可以使教学开展得更加生动，更能吸引学生的注意力，更能使教学过程系统化，培养和锻炼了学生们的数学思维能力，并在提高学生综合素质能力方面起到了积极的作用。
对于课本上的例习题来说，都是经过仔细地筛选后设置好的，这些例习题具有很强的示范性和代表性。
它们大都具有很丰富的内涵，因此对课本上的典型例习题要进行深入探讨和研究，通过一题多解来培养学生的数学核心素养。
例1、已知:如图，在ABCD中，E，F分别在对边BC，DA上，且AF=CE。
求证:四边形AECF是平行四边形。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
数学核心素养的理解与思考
数学核心素养的理解与思考作者：翟天明来源：《学校教育研究》2021年第03期核心素养是育人价值的集中体现，是通过学习而逐步形成的关键能力、必备品格与价值观念。
数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成和发展的，是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质与关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。
数学核心素养是落实课程目标的重要途径。
数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。
一、对数学核心素养的理解1.数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。
数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。
通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。
2.逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。
逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习，学生能提出和论证数学命题，掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题;发现和提出数学命题;探索和表述论证过程;能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络，把握知识结构，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强交流能力。
3.数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。
通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联;学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验;认识数学模型在科学、社会、工程技术诸多领域的作用，提升应用能力实践能力，增强创新意识和科学精神。
“题”醐灌顶之“一题多解”在高中数学教学中的应用探究
•34•理科考试研究•数学版2020年10月1日代入化简，可得\PQ\=空。
-:驴心岁,即VA2+B2+C2为点到平面的距离.4结束语总的来说，推导的点到直线的距离方法有很多,常见的为定义法、等面积法、向量法、三角形法等，但是要充分地挖掘公式推导过程中的育人价值,利用其推导过程来培养学生的数学核心素养.在课堂教学中，通过不同的角度来研究点到直线的距离公式，可以激活学生的数学思维,增加问题思考的角度，进而增强不同数学知识模块间的联结.如点到直线的距离推导，可以从几何、代数、向量、方程等不同的视角来看待同一个问题,可以提高学生对数学知识之间的认知水平，进而开发学生的元认知，促进学生数学核心素养的生成.当然，公式推导教学作为数学教学活动的重要成分，从不同的角度来推导公式，可以增加学习内容的关系性理解，对处理新情境、新问题、知识迁移型等问题是有益的，而数学核心素养形成的标志,就是用现有的知识、方法、思想等来解决新问题.因此，可以推断出，关系性理解的过程，就是学生数学核心素养生成的一个子过程.需要指出的是，数学核心素养并不是严格按照每个素养依次形成的，而是在数学教学活动和学生的自主学习、练习、反思、感悟、凝练等过程中相互作用而生成的.参考文献：[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2017.[2]唐柏令，杨贤其.关于点到直线距离公式的几种推导方法[J].数学通报,1983(01):5-6+3.[3]熊昌进.用柯西不等式推导点到直线的距离公式[J].数学通报,2002(03):32.[4]黄坪.奇思妙想自然来:从点到直线的距离公式推导所想到的[J].数学通报,2006(02)：28-30.[5]余树林，袁新宝.点到直线的距离公式的十三种证明方法[J].中学数学杂志,2009(01):20-23.[6]孙国泰.“点到直线距离公式”的三角形推导方法[J].上海中学数学,2O16(Z1)=90-92.[7]杨懿荔，汪晓勤.“点到直线的距离”：基于认知基础，选择历史方法[J].教育研究与评论(中学教育教学),2017 (02):60-64.[8]桂铁.点到直线距离公式的研究性学习成果[J].数学通报,2018(01)：47-49+56.[9]严永芳.点到直线距离公式的螺旋式推导[J].中学教研,2018(12)：29-30.[10]孙鑒.基于核心素养观下的运算教学案例：以点到直线距离公式的推导和应用为例[J].中学教研，2018 (03)：1-4.[11]林风.感知规律在数学公式教学中的应用与思考[J].教学月刊,2012(01)：25-28.[12]黄炳锋.充分发挥技术作用发展学生的数学核心素养[J].福建基础教育研究,2016(02)：10-12.[13]章建跃.数学学习与智慧发展(下)[J].中学数学教学参考,2015(07)：4-10.(收稿日期：2020-04-02)“题”醐灌顶之“一题多解”在高中教学教学中的应用探老辛淑媛(太和中学安徽太和236600)摘要：数学作为一门兼具复杂性和科学性的学科，在人们日常生活中扮演着重要的角色.核心素养下的数学课堂教学势必要改变单调统一的教学模式.本文殳足“一题多解”的教学方法，探究一题多解在高中数学教学中的几点应用.关键词：一题多解；高中数学；课堂教学；应用探究1"一题多解”的内涵特征与教学价值解”又称之为“问题变式”，主要包含“一题多变”与1.1“一题多解”的内涵特征“一法多用”两个过程•结合相关资料，笔者认为，“一作为高中数学教学中常见的过程变式，“一题多题多解”主要是指从一题出发,运用多种解题思维和基金项目：阜阳师范大学、阜阳市教育局校地联合基础教育研究课题“基于高中数学培养运算能力的实践策略与研究”(项目编号：2019JCJY21).作者简介：辛淑媛(1989-),女，安徽太和人，本科，中学一级教师，研究方向：高中数学教育.2020年10月1日理科考试研究•数学版•35•系列改变，将一道题变为一类具有共性的题，帮助学生形成知识体系.与此同时，数学教师引导学生将解题方法归纳总结，形成答题技巧和“套路”，用以解决相同类型的其它的题目.1.2“一题多解”的教学价值作为数学教学活动中的重要内容,解题不仅是检验学生学习效果的有效手段，也是培养学生发散思维、推进数学认知发展和锻炼迁移能力的重要手段.“一题多解”也有利于激发学生的学习热情，提升学生学习数学的自信心,帮助学生逐渐由“要我学”转变为“我要学”，真正在数学学习中实现乐学、会学与学会.总而言之，“一题多解”有以下四个方面的教学价值:一是有利于拓展学生的发散思维能力；二是有利于提升学生认知能力水平;三是有利于切实提高学生解决数学问题的能力；四是有利于增强学生学习数学的自信心.2“一题多解”的具体实施策略2.I博观约取，选取典型问题数学教学中有太多的知识点，不能一概而论，要想帮助学生更好更快地进步，需要数学教师不断提高自身素质，坚持“一题多解”的教学理念，结合学生实际和教学大纲，选取典型问题进行讲解,延伸“一题多解”和“一法多用”•数学教师在选择或者创设问题时，一定要充分考虑到该题是否具备多样解法的模式，是否有代表性，难易是否适中以及是否适合不同数学学习能力的学生•例如:笔者在讲一道向量的问题时，选取了一道非常经典的例题.题目已知三个向量a,b,c共面,且均为单位向量,a•b-0,则la+b-cl的取值范围是().A.W-1,Q+1]C.[Q,Q]D.[72-1,1]解法1(基底角度)由于向量a"不共线且单位长度为1,并且a丄"所以a”可以作为一组基底(单位正交基底).设c=xa+yb,IjllJ由I c I=1,平方得x2+y2=1.因为丨a+b-c\=|(1-x)a+(1|= J(1_x)2+(l_y)2可看成定点(],1)与动点(X,y)的距离，而动点在/+犷=1上，问题转化为定点到圆上距离的最值问题.由圆心到定点(1,1)距离为所以可知\a+b-c\w[Q-l,Q+l].解法2(建系角度)由于题目中给出的是单位向量，因此可以建立平面直角坐标系，从向量的坐标运算入手,不妨设a=(1,0)上=(0,1),c=(x,y),于是a+〃一c=(l1一y)・因为x2+y2=1,所以la+b-cl=7(1-x)2+(1-y)2.求解方法同解法1.解法3(模长角度)因为\a+b-c\=+b)2+c2-2c•(a+Z>)=/3-2c・(a+b)=/3-2|c|•|a+方|cos<c,a+b>=y3-2/5"cos<c,a+b>,由于一1W cos v c,a+b〉W1,所以\a^b-c\e[Q-1,Q+1].解法4(数形结合角度)设OA=a,OB=b,a+b=丽,由题意，可知设页丄丽，且祸=血.由lei=1可知，向量c=况的终点C在以点0为圆心，半径为1的圆上.所以a+Z>_c=帀-况=叭帀|表示圆上点C到点P的距离.所以\a+b-c\e[Q-l,Q+l].从以上解法可以发现，多角度、多途径、多层次地探讨问题，在题目上发散数学知识，在思想和方法上发散思维，旁通数学知识的各种横向联系，揭示其内在的纵向联系与规律，从中提炼数学思想、数学方法,有层次地认识和理解数学思想和本质,从而提升和培养学生的数学综合能力和核心素养.2.2繁简择优，选取通性通法高中的数学教学在不断地改革，这就要求教师能够深入浅岀地以高效率的方式进行授课.在教学过程中为了达到更好的效果，就需要教师深入贯彻“一题多解”和“多题一解”的思想.虽然很多题目都可通过多种途径获得正确答案,但其繁简程度却存在着很大的差别.因此，就要求我们要在深入理解相关知识点• 36 •理科考试研究•数学版2020年10月1日的基础上，能够找出最为行之有效的解题方法.从另 一个方面来说，对于同一种类型的问题，我们也可以 通过运用“通法”来解决.比如,学生在学习等比数列时，教师可以通过生动的示例来引入，即计算在64个 方格中放入米粒，第一格放入一粒，后一个是前一个的二倍，直至每个格子里都按要求放好，然后计算 数量.第一种方法:直接求和T= \ +2 +…+2".显然 这种方法计算量较大，比较繁琐.第二种方法:引导学生观察发现后一格的数量与 前一格的数量比始终都等于2,因此也可以把其视为公比为2的等比数列来进行计算求和.所以，原式可 以转化为丁」雹；64).2.3 结合全书，体现知识系统高中数学具有很强的系统性和逻辑性，虽然知识点繁多，但我们可以很好地对其整理归纳.如何有效地提高教学质量,提高学生的学习效率关键取决于能 否让学生掌握良好的学习方法.在解题时，要做到举一反三，能够旁征博引，融会贯通，化繁为简，掌握解 题的核心能力，这才是数学教学所要达到的目的.例如笔者在函数教学中讲函数的对称轴及对称中心时, 选取了一道比较有代表性的题目为学生提供指导.题目再现 证明：函数y = lg(% + J/ + i )的图象关于原点对称.解析该函数定义域为R,关于原点对称.因为/(-%) +/(%) = lg(-X + ■/ (-X )2 + 1 ) + lg(x +\/x 2 +\ )= lg[ ( - X + a /(-X)2 + 1 ) • (X + \/x 2 + 1 )]=lgl =0,所以f(-x) =-f(x),该函数为奇函数，即得图 象关于原点对称.为了帮助学生更好地理解这类函数对称的问题, 教师可以通过一系列的典型变化，来延伸一题多变与 一题多解，为学生提供指导.变式1 已知函数y =/(«)满足/( - % + 1)=-_/•(% + 1),则y =/(%)的图象关于(1,0)对称.引入通法:针对等比数列是否都可以按照这个公 式来计算？通过讨论发现，要排除公比为1的情况. 所以针对等比数列求和的通解可以得到公式T,,=解析因为A-x + i) =-/(^+ 1),所以y=/(x+ 1)为奇函数，即y=/(x + l)的图象关于原点(0,0)对称，故y=/(x)的图象关于(1,0)对称.变式2已知函数y=/(x)满足/©)+/(-%) =2,则函数y=f(x)的图象关于(0,1)对称.解析 因为/■(%)+/(-”)=2,所以/(-小-1 =-[/(”) -1].所以 y=/(x) -1 为奇函数，即 y=/(x) -1的图象关于(0,0)对称，所以y=/(x)的图象关于(0,1)对称.2.4关注学生，做好总结反思在新课改的背景下.教师要转变自己的思想，做到在课堂上以学生为主体，才能激发学生的自主学习、自主反思的能力，从而有效地掌握相关知识.例 如:在对函数/'(龙)=x+-图象性质的研究上,教师可X 以运用下面的方法•学生通过用代入坐标进行描点的 方法，来大致画出该函数的图象轨迹.由此可以发现：该函数图象关于原点对称，故此函数为奇函数，当X >1或X < 1 <0时,/(%)随着％的增大而增大;当0<力<1或-1 <% <0时,/(%)随着x 的增大而减小.这样学 生就进行了一种有效的自主学习，明确了图象决定性质，获取了对函数性质的认识，其学习的主动性和创 造性得到了充分的发挥,因而取得较好的教学效果.3结语随着高中数学新课改的深入，对教师教学和学生学习提岀了更高的要求和挑战.新时期的高中数学教 学,不单单是让学生学会基本解题技巧，更是在提升 学生数学素养的前提下，激发学生的数学学习兴趣，用更灵活多样的解题思路和方式方法,去打破传统高 中数学解题思维的弊端,改变单调统一的教学模式. 因此,在教学中要做到四点，即:博观约取，选取典型 问题;繁简择优，选取通性通法;结合全书，体现知识系统;关注学生，做好总结反思.通过这些途径的实施，可以有效地提高学生“一题多解”的能力，从而更 好地提高学生的数学核心素养.参考文献：[1] 刘为民.高中数学反思性教学方法浅析[J].学周刊,2011(04) ：75,[2] 冯青.数学核心素养下的有效教学策略[J].中学数学教学参考,2019(22) ：31 -34.(收稿日期：2020 -07 - 18)。
高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索
高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践探索摘要：解题研究是很多数学教师的自觉追求与教研兴趣,特别是由一些知名教授、解题教学名家提出的问题更容易引起数学教师的研究兴趣。
前段时间,单博先生在他的微信公众号“单谈数学”上发布了一个平面几何求角度的问题,引发很多初、高中教师的兴趣，经过大家的共同讨论,对这个问题的研究做到了求深、悟透。
整理了这个问题的“一题多解”与“走向一般”,并给出个人对教师研究的几点建议,以期教师的解题研究有所启发。
基于此，本篇文章对高中数学“一题一课多解变式”教学模式的理论构建与实践进行研究，以供参考。
关键词：高中数学；一题一课多解变式；教学模式；理论构建与实践引言新课标的内容与传统的教学内容有很大的区别，要求教师积极培养学生独立思考与解题能力。
为了更好地适应新课程改革，教师需要做出改变和努力．新课标指出：教师需改变传统的“教师扮演的角色”，必须从知识的传播者转变为学生学习的指导者与合作者。
同时，学生也应从被动学习者转变为积极进取的学习者，教师在处理问题时不再是积极的解释者，而是使学生逐渐成为解决数学问题的引领者。
高中教学的主要目标是提高学生独立解决问题的能力，使学生在课堂占主导地位是实现教学目标的基础。
教师要为学生创建多种教学情境，同时运用不同教学方式吸引学生的注意力，让学生从心理上对数学问题产生自主探索的望，提高解决问题的能力。
一、在高中数学教学中培养学生解题能力的重要意义在新课改背景下，高中数学教学应当更加重视对学生解题能力的培养，而非简单停留在数学知识的传授层面。
这既是新时期对学生综合能力与品质培养的体现，也是促进学生全面发展的重要渠道。
通过培养学生的解题能力，首先能够激发他们的数学兴趣与学习积极性，不少学生之所以对数学缺乏兴趣，甚至感到枯燥乏味，一部分原因在于他们不能充分体会到学习数学的乐趣，对数学的奥秘缺乏必要的好奇心，而在数学教学中强化解题能力的培养，能够让学生从之前的机械化记忆式解题转变主动化、灵活化地探索与思考。
例谈核心素养下的问题驱动、分析探究的课堂——一道题引发的讨论和反思
2018.No2699例谈核心素养下的问题驱动、分析探究的课堂——一道题引发的讨论和反思黄林华（重庆市荣昌区永荣中学）十九大以来，中国教育进入了新时代，要求全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，推进教育公平，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人，办好人民满意的教育。
为此，高中数学新课标提出了六个数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。
我们教师在教学中要注意自身角色的转变：当好学生的教学向导；引导学生在学习中提出问题，解决问题，在解题过程中不断反思，养成良好的思考习惯。
这将大大提升数学学习的有效性，全面提高学生的核心素养。
下面例谈问题驱动、分析探究的课堂。
2018级第一次诊断考试结束，我评讲试卷，离下课还有十多分钟时，讲到21题第一问，引发了学生的大讨论。
题目是：已知函数f (x )=x ln x +ax 2(a ≠0)存在唯一极值点。
求a 的取值范围。
部分学生采用了二次求导的办法解决，解答如下：f′(x )=ln x +1+2ax ， f″(x )=12xa +，当a >0时，f″(x )>0，故f'(x )在(0,+∞)上单调递增，又x →0时，f ′(x )<0，f′(1)=2a +1>0,故f '(x )＝0在(0,+∞)内有唯一实根，即f (x )在(0,+∞)内有唯一极值点；当a <0时，f x x a "()>⇒>−012，f x x a"()>⇒>−012,故f′(x )在(012,)−a 上单调递增，在(−12a ,+∞)上单调递减，若f′()−12a≤0，则f′(x )≤0恒成立，f (x )在(0,+∞)单调递减，此时，f (x )无极值点；若f′()−12a>0，又x →0时，f′(x )<0，x →+∞时，f′(x )<0，此时，f (x )有两个极值点。
核心素养数学试题及答案
核心素养数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B二、填空题1. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
答案：162. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，那么斜边的长度是________。
答案：5三、简答题1. 什么是勾股定理？请用数学公式表示。
答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，数学公式表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边，a 和b是两个直角边。
2. 解释什么是等差数列，并给出一个例子。
答案：等差数列是一个序列，其中每一项与其前一项的差是一个常数。
例如，数列2, 4, 6, 8, 10是一个等差数列，因为每一项与前一项的差都是2。
四、计算题1. 计算下列表达式的值：(3x + 2)² - 4(x - 1)²答案：首先展开平方项：(3x + 2)² = 9x² + 12x + 44(x - 1)² = 4(x² - 2x + 1)然后计算差：9x² + 12x + 4 - 4(x² - 2x + 1) = 9x² + 12x + 4 - 4x² + 8x - 4最后合并同类项：5x² + 20x2. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0答案：首先分解因式：(x - 2)(x - 3) = 0所以，x = 2 或 x = 3五、解答题1. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米。
求这个长方形的周长和面积。
答案：长方形的周长是长和宽的两倍之和，即：周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (10 + 5) = 30厘米长方形的面积是长乘以宽，即：面积 = 长× 宽= 10 × 5 = 50平方厘米2. 一个数列的前三项是2, 5, 8，且每一项都比前一项多3。
指向高中数学核心素养的“一题一课多解变式”教学实践探索
指向高中数学核心素养的“一题一课多解变式”教学实践探索一、引言随着社会的发展和教育改革的推进，高中数学课程也在不断地进行调整和改革。
传统的教学模式已经不能完全满足学生的需求和学科发展的要求。
为了培养学生创新思维能力和解决实际问题的能力，我们需要探索一种更为灵活、多样化的教学模式。
而“一题一课多解变式”就是这样一种可行的教学模式，本文将对这一模式进行探索和实践，以期指向高中数学核心素养的提升。
二、“一题一课多解变式”教学模式的概念和特点“一题一课多解变式”教学模式是指在每一课中，以一道问题作为教学的核心，通过不同的解题思路和方法，来培养学生的多元思维和问题解决能力。
这种教学模式的特点有以下几点：1. 强调问题驱动：每一课的核心是一个具体的问题，这个问题能够引发学生的思考和求解欲望。
问题驱动的教学模式可以增加学生对知识的兴趣和学习动力。
2. 多元解法：通过引导学生寻找问题的不同解法，培养学生的多元思维能力。
每个解法都可以展示出不同的思维方式和数学思考的特点，丰富了学生的解题思路和方法。
3. 拓展思维：问题的变式可以帮助学生进一步思考和拓展相关的数学概念，提高学生的数学思维能力。
三、“一题一课多解变式”教学模式的实践策略1. 选取适当的问题：问题应具有一定的难度和挑战性，并与高中数学课程内容相关。
一个好的问题能够引发学生的思考和探究欲望。
2. 引导多元解法：在引导学生解题时，给予学生一定的自主空间，鼓励学生通过不同的思路和方法来解决问题。
教师可以给予适当的提示和指导，但不限制学生的思考和解题过程。
3. 探索变式：通过问题的变式，引导学生进一步思考和拓展相关的数学概念，帮助学生加深对数学知识的理解和运用。
4. 学生展示和交流：学生解题完毕后，可以组织学生进行展示和交流，让学生互相借鉴和学习。
这也可以提高学生的表达和沟通能力。
四、通过“一题一课多解变式”教学模式培养高中数学核心素养的实践效果通过实践，“一题一课多解变式”教学模式在培养学生数学核心素养方面取得了一定的效果。
一题多解是培养学生数学核心素养的一种手段
一题多解是培养学生数学核心素养的一种手段作者：邢森栋何卫华来源：《理科考试研究·高中》2017年第03期摘要：本文通过一道例题解答谈谈一题多解在落实数学核心素养中的作用.关键词：一题多解；核心素养作者简介：邢森栋（1983-），男，中学二级教师，主要从事数学教学与数学解题的研究.数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养是数学课程目标的集中表现，它在学生自主发展中发挥不可替代的作用，是在数学学习过程中逐步形成的.数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力，是数学知识、技能、思想、经验及情感、态度、价值观的综合体现.作为一线教师，笔者常常思考如何在课堂教学中有效发展学生的核心素养？从平凡的日常教学中思考落实新理念的方法，在数学的教学中寻找发展学生数学核心素养的途径，应成为思考的基础出发点.数学离不开解题，本文就通过对例题的一题多解来谈一谈笔者对于核心素养在课堂教学中落实的思考.一、问题解析问题已知等差数列{an}，公差为d，满足a21+a23=10，求a4最大值.上述问题，看似求单变元a4最值问题，实际是a1+3d的二元最值问题，我们要通过现象抽象出本质.二元问题一般先考虑利用条件消去a1+3d中的a1或d，转化为单变量函数最值问题，本题较复杂不好转化，我们考虑其它想法.解法1 数形结合（线性规划）a4=-12a1+32a3，故可转化为线性规划问题：已知实数x，y满足x2+y2=10，求-12x+32y 的最大值.（解略）.评注本解法实际就是将看似数列问题抽象概括为线性规划问题.数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数与形看似对立，实则统一.当要求的目标函数有比较明显的几何意义，或经过等价转化后式子中产生有几何意义的部分，我们可以考虑用线性规划解决.例如：目标函数为|x+y-2|，可将其转化为2·|x+y-2|2，原问题就转化为可行域内的点到直线x+y-2=0距离的2倍，当然本例也可分类讨论解决.在数学教学活动中，注重抽象能力的培养，有利于学生更好的理解数学的概念、命题、结构和系统，有利于学生在其他学科的学习中化繁为简，理解数学学科的知识结构和本质特征.解法2 换元法令a1=10cosθa3=10sinθ（θ∈[0，2π）），通过待定系数法得a4=-12a1+32a3=-1210cosθ+3210sinθ=5sin（θ-φ）≤5，当且仅当sinθ=310，cosθ=-110时取等号.评注事物间是普遍联系的，有时两者间的表面上毫无联系，实际是隐隐中联系着的.题目中已知和未知之间的关系比较复杂，我们可以引入一个中间量，利用中间量起到纽带的作用改善这种复杂关系.看到△2+◇2=a2转化为（△a）2+（◇a）2=1，联想到cos2θ+sinθ=1这个模型，就可以进行三角换元了.解法3 主元法（a4-3d）2+（a4-d）2=10化简得5d2-4a4d+a24-5=0，关于d的方程有解，故△≥0，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5 .评注方程是沟通已知变量和未知变量的桥梁.主元法是通过不同的角度看待题中的参数，构造与问题相应的二次方程，考虑方程在实数集R上有解利用Δ≥0求解最值.若变量a1>0，d>0，考虑△≥0，就有问题.因为△≥0只能保证方程有解，而不一定有正数解，解题时使用该法要慎重.本解法实际上就是二次方程有实数解Δ≥0这一模型的实际应用.解法4 配方法a21+a23=10化为a21+2a1d+2d2-5=0.a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ.令△=（6+2λ）2-4（9+2λ）（1+λ）=0，解得λ=0（舍）或λ=-5.所以a24=（a1+3d）2+λ（a21+2a1d+2d2-5）=（1+λ）a21+（6+2λ）a1d+（9+2λ）d2-5λ=-4a21-4a1d-d2+25=-（2a1+d）2+25≤25，-5≤a4≤5.评注从整体考虑问题，借助待定系数法令△=0解出相应系数，这样的操作必然会使多项式配成完全平方，再利用不等式放缩获得关于a24的不等式.灵感来自圆系方程和△=0时二次方程有等根.解题时要学会知识的迁移，这就要求我们要从整体认识数学课程，因为知识和知识之间不是孤立的，而是普遍联系着的. 本解法实际上就是二次方程有两个相等实数解△=0这一模型的实际应用.培养学生的建模素养，有利于学生养成从整体的角度思考问题和解决问题的习惯；有利于学生养成数学应用意识，提升学生数学应用能力.有利于学生感悟数学与现实世界的联系，认识数学的价值，提升学生学习数学的兴趣和解决现实问题的自信.解法5 不等式法（1）基本不等式法a24=（-12a1+32a3）2.即4a24=a21-6a1a3+9a23=10+8a23+6（-a1）a3=10+8a23+6（-ka1）a3k≤10+8a23+6k2a21+a23k22=10+（8+3k2）a23+3k2a21.令8+3k2=3k2，得k2=3.于是4a24≤10+9a23+9a21=100，-5≤a4≤5，所以（a4）max=5（当且仅当a1=-1a3=3时取到）.（2）柯西不等式法（14+94）（a21+a23）≥（-12a1+32a3）2=a24，当且仅当a1-12=a332，即a1=-1a3=3时取等号.评注逻辑推理是得到数学命题、构建数学体系的基础.在解决较为复杂问题时，我们要有预见性，这样才能使问题中的隐性关系显性化.对于一个问题，未知与已知之间的关系有时是比较显性的，解题就比较顺畅；而有时又是隐性的，解题就比较坎坷.我们利用逻辑推理就可以结合基本不等式和柯西不等式改善求解目标的结构后便于解题. 逻辑推理是科学素养的思维核心.一个人具有逻辑推理的素养，就可能会理性地观察、理解和解释周边事物.在数学教学活动中，逻辑推理素养的养成，有利于学生理解数学结论的来龙去脉，形成举一反三的能力；有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯；有利于学生提升探究事物本源的能力；有利于学生形成创新意识，提升创新能力.二、问题启示二元最值问题一般解法可归纳为：消元法，换元法，不等式法，主元法，和线性规划，配凑法等，主要用到方程思想（主元法），函数思想（消元法，换元法），等价转化思想（不等式法、配凑法），数形结合思想（线性规划）.这需要我们平时解题时选用恰当的方法，更要加强经验积累，并做好解题后的反思，因为解题思想来源于实践又对实践有指导作用.当然这类问题在高等数学范围内就是条件极值问题，我们可以用拉格朗日乘数法，这里就不加叙述了.美国著名数学教育学家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面.使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”因此，在日常解题教学中可以通过例题的一题多解一方面使学生在原有认知基础上进行再认知，深化理解知识间的联系，从而达到复习知识，提升能力，优化已有知识网络结构的目的；另一方面，可以让学生体会站在系统的高度上看问题给解题获取思路带来的便利.在一点一滴的积累过程中，提高学生对数学的理解，借助数学学科发展学生的核心素养.数学教学应体现学生的主体参与，不要教师一讲到底，因为“告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；如果让我参与，我会真正理解”.教学不仅要授鱼，更要授渔，通过一题多解，激发学生内心深处的创新意识，使得学生有创新的冲动，化被动为主动，就是说教学还要授人以渔.核心素养的养成不是一朝一夕之功，需要教师在数学教学过程中，引导学生站在系统的高度用联系的观点看待教材各章节的知识，整体把握知识框架，做透教材中的例题，习题，体会蕴含其中的解题技巧，思想方法，从而冲破题海，提高学习效率.当然，数学的核心素养不仅仅是掌握知识点和技能，更重要的是在知识学习中表现出的人格特征和智慧特征，是学科内在和潜在价值、精神和文化在学生身上的体现.本文若能给您带来一些启发，笔者将倍感欣慰.。
浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
培养学生数学核心素养的重要手段一题多解
培养学生数学核心素养的重要手段一题多解黄旭明(福建省福安市第三中学㊀３５５００２)摘㊀要:本文就高中数学课堂教学中ꎬ如何培养学生的数学核心素养ꎬ实践探索了一种重要方法 一题多解.注重学生的思维拓展和思维创新ꎬ提升学生的自主学习㊁合作探究的能力.关键词:核心互养ꎻ培养ꎻ一题多解中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０７－０００８－０２收稿日期:２０１８－１２－０５作者简介:黄旭明(１９７７.１２－)ꎬ男ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁关注数学核心素养的培养价值随着国家倡导的素质教育的不断推进ꎬ关注学生 核心素养 的提高日益被提上日程.培养学生的 核心素养 主要是指培养学生适应社会发展和终身发展的能力和水平ꎬ它更加注重学生个人素质的提高.而数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和处理能力ꎬ是数学知识㊁技巧㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现.而数学抽象㊁逻辑推理㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现.而数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算和数据分析等数学素养是数学课程目标的集中表现.简而言之ꎬ数学解题能力的高低是数学素养的直接展现.正如美国数学教育家波利亚在名著«怎样解题»中所说: 掌握数学意味什么?那就是善于解题. ㊀㊀二㊁培养数学核心素养的实践探索培养学生的数学核心素养要从多方面着手ꎬ而在数学教学中采用一题多解的方式无疑对培养学生思维品格有着显著的作用.因此教师应在教学中善于选择那些典型的题目对学生进行一题多解的训练.在三角函数复习课上ꎬ我挑选了下面一道高考题:案例１㊀(２０１１年新课标卷理５)已知角θ的顶点与原点重合ꎬ始边与ｘ轴的正半轴重合ꎬ终边在直线ｙ＝２ｘ上ꎬ则ｃｏｓ２θ＝(㊀㊀).Ａ.－４５㊀㊀Ｂ.－３５㊀㊀Ｃ.３５㊀㊀Ｄ.４５此题展示出后ꎬ引导学生先画出终边直线ｙ＝２ｘꎬ启发学生:你想到了什么?给学生五分钟时间小组合作探究交流ꎬ然后让学生展示探究成果.生１:我想到了三角函数的定义.引入单位圆ꎬ把ｙ＝２ｘ与ｘ２＋ｙ２＝１联立ꎬ可解得ｘ２＝１５ꎬｙ２＝４５.那么ｓｉｎ２θ＝ｙ２＝４５ꎬｃｏｓ２θ＝ｘ２＝１５ꎬ从而ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ＝－３５.生２:我想到了几何法.在终边上取一点Ｐ(１ꎬ２)ꎬ那么ｘ＝１ꎬｙ＝２ꎬ这样ｔａｎθ＝ｙｘ＝２ꎬｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ＝ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１－ｔａｎ２θ１＋ｔａｎ２θ＝－３５.生３:同上ꎬ知ｘ＝１ꎬｙ＝２ꎬｒ＝５ꎬ得ｃｏｓθ＝ｘｒ＝１５ꎬｓｉｎθ＝ｙｒ＝２５.ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ＝－３５.生４:我是按ｔａｎθңｔａｎ２θңｓｅｃ２２θңｃｏｓ２２θ的思路求解ꎬ但是ｃｏｓ２θ的符号不好确定.生５:要是取直线下方一点Ｑ(－１ꎬ－２)ꎬ结果又是如何呢?生６:我想到了初中的方法ꎬ构造直角三角形ꎬ用图形来解.不妨取点Ｐ(１ꎬ２)或Ｑ(－１ꎬ－２)ꎬ画出相应的直角三角形ＲｔәＯＡＰꎬＲｔәＯＢＱꎬ如图１.对于ＲｔәＯＡＰ可参考生３的解法.对于ＲｔәＯＢＱꎬｘ＝ＯＢ＝－１ꎬｙ＝ＢＱ＝－２ꎬｒ＝ＯＱ＝５.ｓｉｎθ＝ｙｘ＝ＢＱＯＱ＝－２５ꎬ那么ｃｏｓ２θ＝１－２ｓｉｎ２θ＝－３５.在以上过程中ꎬ学生的思维被充分激发了出来ꎬ各种疑问㊁思路㊁方法不断涌现.正如美国著名数学教育家波８利亚所说: 一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目ꎬ去帮助学生挖掘问题的各个方面ꎬ使得通过这道题ꎬ就好象通过一道门户ꎬ把学生引入一个完整的理论领域. 因此ꎬ在平时的教学中ꎬ挑选恰当的题目进行一题多解ꎬ能够充分调动学生的学习兴趣ꎬ激发学生的广阔思维ꎬ促使学生在原有的基础上进行再认知ꎬ深化理解知识间的联系ꎬ从而达到复习知识ꎬ优化结构ꎬ探究方法ꎬ提升能力的目的.另一方面也可以使学生在系统的高度上来审视问题ꎬ理顺思维方向ꎬ优化解题思路.无疑ꎬ这对于学生数学核心素养的培养和提升有着十分积极的作用.㊀㊀三㊁数学核心素养成效的展示为延续课堂教学ꎬ进一步提升学生思维空间ꎬ在案例１之后ꎬ我选择了案例２㊀已知ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１５ꎬβɪ(０ꎬπ)ꎬ求ｔａｎβ的值.㊀㊀该题是人教Ａ版高中数学必修４Ｐ１４７的一道题ꎬ也是１９９４年高考题ꎬ我将这道题布置为课后思考题ꎬ鼓励学生挖掘该题的多种解法.结果ꎬ从交上来的作业中ꎬ发现有的学生给出了三㊁四种解法ꎬ现整理如下.思路１㊀(方程组法)联立ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１５ꎬｓｉｎ２β＋ｃｏｓ２β＝１ꎬ{消去ｃｏｓβңｓｉｎβңｔａｎβ.思路２㊀(平方法１)㊀将ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１５平方⇒ｓｉｎβｃｏｓβ＝－１２２５ꎬ再由(ｓｉｎβ－ｃｏｓβ)２＝１－２ｓｉｎβｃｏｓβ＝４９２５⇒ｓｉｎβ－ｃｏｓβ＝４５.联立求出ｓｉｎβꎬｃｏｓβ⇒ｔａｎβ.思路３㊀(平方法２)将ｓｉｎβ＝１５－ｃｏｓβ平方⇒ｃｏｓβ⇒ｓｉｎβ⇒ｔａｎβ.思路４㊀(齐次式法)同思路２ꎬ有ｓｉｎβｃｏｓβｓｉｎ２β＋ｃｏｓ２β＝－１２２５⇒ｔａｎβｔａｎ２β＋１⇒ｔａｎβ.思路５㊀(平均值代换)由ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝２ˑ１１０ꎬ可设ｓｉｎβ＝１１０＋ｄꎬｃｏｓβ＝１１０－ｄꎬ代入原式求出ｄ＝７１０.思路６㊀(辅助式法)由ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝１５ꎬ构造辅助式ｓｉｎβ－ｃｏｓβ＝ｘꎬ两式平方和⇒ｘ＝７５.思路７㊀(几何模型法)由已知式联想到点Ｐ(ｓｉｎβꎬｃｏｓβ)在直线ｘ＋ｙ＝１５及单位圆ｘ２＋ｙ２＝１上.两式联立⇒ｓｉｎβꎬｃｏｓβ.思路８㊀(二倍角公式法)已知式化为２ｓｉｎββ２ｃｏｓββ２＋(ｃｏｓ２ββ２－ｓｉｎ２ββ２)ｓｉｎ２ββ２＋ｃｏｓ２ββ２＝１５⇒ｔａｎβ２⇒ｔａｎβ.思路９㊀(万能公式法)将万能公式代入已知式⇒ｔａｎβ２⇒ｔａｎβ.思路１０㊀(辅助角公式法)已知式⇒ｓｉｎ(β＋π４)＝２１０⇒ｃｏｓ(β＋π４)⇒ｔａｎ(β＋π４)⇒ｔａｎβ.批阅欣赏着学生们异彩纷呈的解答ꎬ深为学生们数学素养的显著提升而欣喜.核心素养是高中教育教学的灵魂ꎬ尤其是高中数学学科更是学生核心素养的重要阵地.因此在高中数学课堂教学中应充分体现学生的主体参与过程ꎬ不能是教师的一言堂.因为 告诉我ꎬ我会忘记ꎻ分析给我ꎬ我可能记住ꎻ如果让我参与ꎬ我会真正理解. 通过一题多解ꎬ激发了学生的探究兴趣和参与意识ꎬ使得学生有了创新的冲动ꎬ化被动接受为主动参与㊁积极探索.㊀㊀四㊁持续数学核心素养的培养数学核心素养的培养不是一蹴而就的ꎬ它需要教师在长期的数学教学中ꎬ站在系统的高度用联系的观点看待各章节的知识框架ꎬ做透教材中的例题㊁习题ꎬ体会其中蕴含的思想方法技巧ꎬ从而回避题海ꎬ提高学生的学习效率.当然数学核心素养不仅仅是掌握知识和技巧ꎬ更重要的是在学习过程中表现出的人格品质和智慧空间ꎬ这是数学学科的潜在价值㊁精神和文化在学生身上的体现.我们相信ꎬ随着社会的发展㊁新课改的不断深化ꎬ高中数学课堂教学对于学生数学核心素养的重视程度会越来越深ꎬ会创造出各种各样的高效课堂ꎬ必然会促使学生的数学核心素养得到较大提高.㊀㊀参考文献:[１]刘文娣.如何发挥典型题的 典型性 [Ｊ].中学数学ꎬ２０１３(４).[２]龙卫海.分析高中数学教学中创新思维能力的培养[Ｊ].理科考试研究ꎬ２０１５(８).[责任编辑:杨惠民] ９。
一节“一题多解”课的听课感悟
一节“一题多解”课的听课感悟作者：范叔旺来源：《学习与科普》2019年第14期摘要：习题课的教学，尤其高三数学课，以复习课为主，为达到攻克重点、难点，教师大多采用一题多解、一题多变的形式教学。
但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍对学生更好在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者思考的问题。
前一阶段，笔者听了堂一题多解课，颇有感触。
关键词：解题思路感悟1.题目展现由于不同学生思考问题的角度不完全一样，因此展示两类方法6种解法，帮助学生建立相对完整的处理这类问题的方法体系，这样的体系，具有导向作用。
虽然坐标法和基底法都是处理向量问题的通行通法，但是由于处理的方式不一样，导致运算量不同。
这说明通性通法虽然思路具有较强的规律性，但解题效率存在着差异。
因此，一题多解的实质不在方法的罗列，而在思路的分析和方法的对比，在对比中揭示方法的优劣，让学生在今后的解题活动中，有序提取解题方法，有效提高解题效率。
从而也挖掘了习题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高。
2.评说2.1精炼选题，让学生有充分的发挥空间整节课只有一个例子，后面的也是这道题的变式，此例虽然是一道老题，但有分量，有代表性，基本上能将向量的思想与方法体现出来，体现了转化与化归思想，做到了少而精。
2.2学生参与度高学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（两边平方与坐标法）掌握得不错，教师在这方面下的工夫得到了体现，作为一所省二级重点高中的中等学生来说，非常难得。
2.3教学环节流畅自然课堂内容饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精想讲、精炼、废话很少，能将大部分时间还给学生，使学生有充分时间思考、解题。
课堂衔接自然、流畅，整节课下来，教师没有多余的话语，让学生多动、多想、多写，学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错。
2.4没有小结没有课堂小结.笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的。
谈高中数学“一题多解”的学习心得
谈高中数学“一题多解”的学习心得1. 引言1.1 了解一题多解的背景意义在学习高中数学的过程中，我们常常会遇到一题有多个解法的情况，即所谓的“一题多解”。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习至关重要。
一题多解能够帮助我们更加深入地理解数学知识，突破传统的解题方式，拓展我们的思维眼界。
通过探讨不同的解题方法，我们可以培养自己的创新意识，激发我们对数学的兴趣和热情。
多解题也能够帮助我们从不同的角度去思考问题，培养我们的多角度思考能力，提高我们的逻辑思维能力和分析问题的能力。
通过研究一题多解，我们还可以拓展数学的应用能力，将抽象的数学知识与实际问题相结合，提升我们解决实际问题的能力。
丰富的解题方法也可以帮助我们在考试中更灵活地运用知识，提高我们的解题效率和准确率。
了解一题多解的背景意义对于我们的数学学习有着重要的意义，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提高我们的数学学习成绩。
1.2 高中数学中一题多解的普遍现象高中数学中一题多解的普遍现象是指在解决数学问题时，同一个问题可能有多种不同的解法。
这种现象在高中数学中非常普遍，各种类型的数学题目都存在一题多解的情况。
这不仅体现了数学的丰富性和多样性，也对学生的数学能力提出了更高的要求。
在高中数学课程中，很多问题可以通过不同的方法和角度来解决，而且这些解法可能是同等有效的。
这种一题多解的现象反映了数学问题的复杂性和多样性，同时也在一定程度上激发了学生对数学的兴趣和探索欲望。
通过研究高中数学中一题多解的现象，不仅可以加深对数学问题本质的理解，还可以培养学生的数学思维能力和创新意识。
多种解法的比较和分析也有助于学生形成更全面、更灵活的解题思路，提高他们的数学解决问题的能力和水平。
了解和掌握高中数学中一题多解的普遍现象对学生的数学学习和发展具有重要意义。
2. 正文2.1 提高数学思维能力提高数学思维能力是高中数学中一题多解的重要意义之一。
通过探索不同的解题方法和思路，学生可以逐渐培养出灵活的数学思维，从而更好地理解和应用数学知识。
善用“一题多解”提升学生的数学素养
善用“一题多解”提升学生的数学素养作者：范连众徐志强来源：《辽宁教育·教研版》2020年第02期摘要：“一题多解”因其能发展学生的思维能力、促进课堂教学改革等原因而在当下初中数学课堂很盛行，但实际教学中，应用“一题多解”时仍存在喧宾夺主、冲淡教学目标等误区。
只有不忘初中数学教育的初心，了解对问题进行“一题多解”的思考方向，以助力课堂教学目标的实现为宗旨，把握实施节奏，处理好教师研究与课堂实施的关系，才能善用“一题多解”，提升学生的数学素养。
关键词：一题多解; 初中数学; 素养提升一、对“一题多解”教学现状的回顾人们对“一题多解”内涵的理解不尽相同，单从字面意义上理解，“一题多解”就是通过不同的思维方式，运用至少两种以上的方法或途径，对同一道题进行解答。
换一个角度思考，“一题多解”是指在原有基本解法的基础上，充分发挥发散性思维的优势，对原有解法进行提炼和加工，并以原解法為中心拓展，“上下求索”“左右逢源”，寻找其他多个解决问题的途径。
还有人将“一题多解”称为“问题变式”，就是以原题为中心，向它蕴涵的方方面面进行拓展和深化，揭示数学概念的本质属性和非本质属性;但不管怎样，对一个问题不同解决方法的探索是“一题多解”的显性特征。
（一）“一题多解”在初中课堂中备受重视“一题多解”在当下初中数学课堂中备受重视，有其内在的理由。
解题研究是初中教学的主要学习途径之一，运用“一题多解”进行解题研究，首先是引导学生从不同的角度，不同的层次，对一道问题进行思考和分析，进而提出不同的解决方案。
这样的学习过程不仅能使学生已有的内在知识有机地联系起来，促进知识的转化;不仅能拓宽学生的思路，消除思维定式的影响;还由于多种解法的“百花齐放”，各种思维“火花”的摩擦碰撞，从而能极大地调动学生的学习积极性，锻炼学生思维的灵活性。
此外，心理学研究表明，当人们遇到的问题不是模式化的问题时，就需要创新思维。
因此，“一题多解”作为过程性变式教学实现的途径，被认为是培养学生创造性思维的有效手段。
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高中数学核心素养一题多解探讨
概要：高中数学的教育工作对于学生的发展具有重要的影响，因此
在进行教学方式的探索中，必须结合学生们的实际情况，采取合适的
手段，开展教育工作。
其中，“一题多解”有利于拓宽学生的思维空间，打破传统的固有思维模式，是一项有创造性的工作，因此高中数
学教育工作者們应该加强“一题多解”的应用，从而培养出全面能力
的新时代人才。
简单来说，一题多解有利于培养学生的逻辑思维能力，具体表现在
数学教师在进行解题的过程中，通过对一道题目列举多种解答方式，
有助于学生对该题目进行不同角度的分析，在一定程度上拓宽了他们
的逻辑思维能力，打破了固有传统的思考方式，进而将提高了学生的
整体思维能力。
在数学的解题过程中，通过对一道数学题进行多中解
题思路处理与解题方式计算，可以引发学生们的思考，带领他们对两
种方式进行比较思考，发现两者之间案的共性，提高他们的思维转换
能力、思维应变能力以及对数学的观察力。
比如以“三角函数”为例，我们在进行解题的过程中，即可以利用三角函数方程的方式，将三角
函数当作未知数进行整体求解，再用已知三角函数值求角的知识求解，还可以采取的是利用反三角函数的方式进行解题；同时还可以利用三
角函数的公式进行解题，拓宽了学生的思维。
（一）一题多解，温故而知新
一题多解的过程中，学生们不仅解决了实际的问题，同时在解题过
程也是对过去的一种温习，有助于学生们进一步的了解，加深记忆，
丰富了知识储备，在以后的运用过程中更加得心应手。
同时，教师在
进行一题多解的过程中，需要注意的是知识之间的关联性，即解题思
路必须明确，有助于带领学生们进行自主思考，一方面可以提高学生
学习的效率，另一方面也不易使学生陷入思维的泥潭而难以自拔。
（二）对数学的学习产生浓厚的兴趣
一题多解的数学学习，打破了传统固有“一对一”的解法模式，在
一定程度上有助于提升学生对于数学的学习兴趣，调动自主学习意识。
“一题多解”在应用过程中，学生们可以从不从的角度分析问题，满
足了高中阶段学生的求知欲和好奇心，因此在解决问题时，他们会积
极的参与到解题中去，不仅降低了教师教学的难度，也对提高学生的
实践能力、思维能力有着极其重要的影响。
一、“一题多解”的注意事项
“一题多解”是当下为缓解数学教育矛盾而新兴的一种教学手段，
其应用尚处于试验阶段，因此高中数学教育工作者在进行应用的过程中，应该注意题目之间的关联性，同时还必须保障解题思路的清晰明确。
二、“一题多解”的应用实例
（一）一题多解，实战演练
比如如下这道题，我们在进行解题的过程中，可以通过不同的思路，采取不同的计算方式，但是都能达到解题的目的。
例题：直线l被另外的两条直线所截，其中所得的一条线段的中点
为坐标原点，已知两条直线的方程分别为：L1：4x+y+6=0，L2：3x-
5y-6=0，试求直线L的方程。
通常我们在进行直线L求方程的过程中，最先想到的就是过原点设
方程，即L的方程为y=kx，然后将L与L1和L2的交点分别求出来，
在代入上述的方程中，就
（二）举一反三的具体应用
“一题多解”的具体应用，有利于培养学生举一反三的能力，即总
结同类型问题，联相关知识点、定理以及解题规律，通过对解题办法
进行整理、归纳，可以提高学生们从多个角度看待问题，熟练了解和
掌握问题当中的相关知识点，并予以合理的利用，以确定解题的策略
和方法。
以平面向量数量积问题为五、结语
综上所述，高中数学的教育工作对于学生的发展具有重要的影响，
因此在进行教学方式的探索中，必须结合学生们的实际情况，采取合
适的手段，开展教育工作。
其中，“一题多解”有利于拓宽学生的思
维空间，打破传统的固有思维模式，是一项有创造性的工作，因此高
中数学教育工作者們应该加强“一题多解”的应用，从而培养出全面
能力的新时代人才。
参考文献：
[1]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师. 2016（09）
[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学. 2015（05）
[3]杨育池.基于“再创造”理论的教学设计实践——《抛物线及其
标准方程》教学设计[J].中学数学. 2011（01）。