圆周运动临界态和周期性问题
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，kg m 1.0=上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，o 30o45当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体，的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
（）m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）0v C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，rvm mg 20=，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
gr v =00v （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）0v v =（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）0v v >（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）0v v <例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，kg m 1=绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
圆周运动中的临界问题专题(最新整理)
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过Rg 或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V 临≠Rg ②能过最高点的条件：v ≥，当v ＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．Rg Rg ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0，若v 0≤，则有关小球能够上升到最大高gR 310度（距离底部）的说法中正确的是（ ）A 、一定可以表示为B 、可能为 g v 2203R C 、可能为R D 、可能为R 35【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度时，汽车对弧顶的压力F N =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥gr v 面不能对汽车产生拉力．（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．①当v ＝0时，F N ＝mg （N 为支持力）②当 0＜v ＜时， F N 随v 增大而减小，且mg ＞F N ＞0，Rg F N 为支持力．③当v =时，F N ＝0Rg ④当v ＞时，F N 为拉力，F N随v 的增大而增大（此时F N 为拉力，方向指向圆心）Rg典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点．结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转，现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心，另一端系住一个质量为m 的物块A ，设弹簧劲度系数为k ，弹簧原长为L 。
圆周运动中的临界问题和周期性问题高中物理
圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源5、由牛顿第二定律r Tm r m r v m ma F n n 222)2(πω====……列方程求解 二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类： （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无 （2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力① 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界=Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度） 即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力． ③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg ，绳子长度为l=60cm ，求：（g 取10m/s 2）A 、最高点水不留出的最小速度？B 、设水在最高点速度为V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1）s m /6 （2）2.5N变式1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v =时，汽车对弧顶的压力FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体， 如图所示。
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
圆周运动_临界问题
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最高点的速度至少为多少？
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向 两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到 转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间 的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于
盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB
方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰
一次，且落点为B，则小球的初速度v＝
_________，圆盘转动的角速度ω＝
_________。
图3-6
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀 速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有 另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由 下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球 的角速度ω应满足什么条件？
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
高中物理必修二--5.15圆周运动中的临界问题
；3
2g r
(1)FA
10 7
mg；FB
0
(2)FA
FB
5 7
mg
(3)FA
0；FB
5 2
mg
例题5 ：如图所示，V形细杆A0B能绕其竖直的对 称轴00’转动，V形杆的两臂与转轴间的夹角均为 α=450．质量均为m=0.1kg的小环，分别套在V形 杆的两臂上，并用长为Ｌ=1.2m、能承受最大拉 力Fmax=4.5N的轻质细线连结，环与臂间的最大静 摩擦力等于两者间弹力的0.2倍．当杆以角速度ω 转动时，细线始终处于水平状态，取g=10m/s2． ⑴求杆转动角速度ω0的最小值； ⑵将杆的角速度从ω0最小值开始 缓慢增大，直到细线断裂，写出
fmax沿杆向下时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
∴ω2=5rad/s
FN cos 45 fmax sin 45 m22r
当细线拉力达到最大时，有：FN sin 45 fmax cos 45 mg
FN cos 45 fmax sin 45 Fmax m32r
5.14 圆周运动的临界问题
1、临界问题：
物体做圆周运动时，物体的受力、半径等因素 发生突变时的状态叫临界状态。
2、解决临界问题基本方法
⑴明确题意，抓住题目的关键词语，确定临界 状态。
⑵对圆周运动的过程进行动态分析(如角速度的 变化、半径的变化引起的系列变化）判断会发 生突变的物理量和这些物理量如何变化，并确 定临界条件。
只有B物体作匀速圆周运动，当绳子的拉力达到最大
值时的角速度为ω3，则，
3
Tmax 1mg
mr
圆周运动中的临界问题和周期性问题
mg Omg O 轨道圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究对象2、画出运动轨迹、找出圆心、求半径3、分析研究对象的受力情况，画受力图4、确定向心力的来源v 2 22π 2 5、由牛顿第二定律 F n = ma n = m r 二、临界问题常见类型：1、按力的种类分类： = m ω r = m () Tr ……列方程求解 （1）、与弹力有关的临界问题：接触面间的弹力：从有到无,或从无到有绳子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的弹力问题：从静到动，从动到静，临界状态下静摩擦力达到最大静摩擦 2、按轨道所在平面分类： （1）、竖直面内的圆周运动 （2）、水平面内的圆周运动 三、竖直面内的圆周运动的临界问题1、单向约束之绳、外轨道约束下的竖直面内圆周运动临界问题： 特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力1 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/R →v 临界= （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力②能过最高点的条件：v ≥ ，当 v ＞ 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v ＜V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动） 例 1、绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量 m=0.5kg ，绳子长度为 l=60cm ， 求：（g 取 10m/s 2） A 、最高点水不留出的最小速度？ B 、设水在最高点速度为 V=3m/s ，求水对桶底的压力？ 答案：（1） 6m / s（2）2.5NRg Rg RgRg Rg变式 1、如图所示，一质量为 m 的小球，用长为 L 细绳系住，使其在竖直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？(2)若小球在最低点受到绳子的拉力为 10mg ，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度v = gr 时，汽车对弧顶的压力 FN=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力．例 2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
创新微课
(2)绳子被拉断
创新微课 现在开始
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
创新微课
圆周运动中的临界问题
创新微课
1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
创新微课
圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题
浅析竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动往往是在一些理想模型约束下进行的,常见的有轻绳、轻杆、轨道、管道等, 下面将对这类临界状态问题进行综合分析。
一、轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧。
如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：1.临界条件：小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力提供。
根据牛顿第二定律得，mg=m，即v临界＝Rg。
这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度；也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。
2.小球能通过最高点的条件：当v>Rg时，这时绳子对球有作用力，称为拉力。
当v＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。
3.小球不能通过最高点的条件：v<Rg时，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道（如图）。
二、轻杆模型杆和光滑管道。
如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。
下面讨论小球(质量为m)在竖直平面内做圆周运动(半径为R)通过最高点时的情况：1.临界条件：由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点，临界速度是：v临界＝0。
此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。
2.如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg；当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<FN<mg；当v＝Rg时，FN＝0。
这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力；当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。
三、两种模型分析比较1.轻绳模型：均是没有支撑的小球，由mg＝m得v临＝gr。
圆周运动_临界问题
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g / l时
绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小 球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别 为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳 子始终张紧？
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
A
30°
B
L
45°
C ω
3、脱离与不脱离的临界问题
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点 的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度 ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mg FN
当v gr 时，FN =
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结1. 引言：圆周运动是物理学中的一个重要问题，涉及到质点在圆周轨道上运动的临界条件和相关结论。
通过对圆周运动的深入研究和分析，我们可以更好地理解质点运动的性质以及相应的临界条件。
2. 圆周运动的基本定义和参数：圆周运动是指质点沿着固定半径的圆周轨道做匀速运动。
它的参数包括半径r、角速度ω和线速度v等。
圆周运动的关键特征是质点受到向心力的作用，它的大小与质点的质量m、角速度ω和半径r有关，即F = mω²r。
3. 圆周运动的临界条件：圆周运动会出现临界情况，当质点的向心力等于或超过受力的上限时，圆周运动将发生变化。
这个临界条件可以用一个重要的方程来表示：F = mv²/r = mω²r。
当F > mω²r时，质点将脱离圆周轨道，产生离心力；当F = mω²r时，质点保持在圆周轨道上做匀速运动，达到临界情况。
4. 圆周运动的结论总结：通过对圆周运动的分析，我们可以得出以下结论：4.1 向心力是使质点保持在圆周轨道上运动的重要力量，它提供了质点的必要的向心加速度，进而产生了向心力。
4.2 圆周运动的临界条件是质点所受向心力等于或超过受力上限，当向心力小于受力上限时，质点无法保持在圆周轨道上做匀速运动。
4.3 圆周运动的临界条件方程为F = mω²r，其中F是向心力，m是质点的质量，ω是角速度，r是运动半径。
4.4 圆周运动的临界条件可以帮助我们计算或推导质点的角速度、线速度、运动半径等参数，从而更加深入地了解质点运动的性质。
5. 我的个人观点和理解：圆周运动的临界问题是一个非常有趣且重要的物理学问题。
通过对临界条件的研究和理解，我们可以更好地把握物体在圆周轨道上运动时的行为特征，推导出相关的运动参数，并进行定量分析。
这样，我们可以更深入、全面地了解物体运动的规律和特点，为实际问题的解决提供有力支持。
圆周运动中的临界问题
圆周活动中的临界问题1.在竖直平面内作圆周活动的临界问题⑴如图1.图2所示,没有物体支承的小球,在竖直平面作圆周活动过最高点的情况①临界前提：绳索或轨道对小球没有力的感化v 临界＝Rg②能过最高点的前提：v ≥Rg ,当v ＞Rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力.③不克不及过最高点的前提：v ＜v临界（现实上球没到最高点时就离开了轨道）.⑵如图3所示情况,小球与轻质杆相连.杆与绳不合,它既能产生拉力,也能产生压力①能过最高点v 临界＝0,此时支撑力N ＝mg②当0＜v ＜Rg 时,N 为支撑力,有0＜N ＜mg,且N 随v 的增大而减小③当v ＝Rg 时,N ＝0图 1 v 0图2 图 3④当v ＞Rg ,N 为拉力,有N ＞0,N 随v 的增大而增大例1 （99年高考题）如图4所示,细杆的一端与一小球相连,可绕过O 的程度轴自由迁移转变.现给小球一初速度,使它做圆周活动.图中a.b 分离暗示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球感化力可能是 （ ）A.a 处为拉力,b 处为拉力B.a 处为拉力,b 处为推力C.a 处为推力,b 处为拉力D.a 处为推力,b 处为推力例2m 的轻质细杆OA,A 端有一质量为mkgm ／s,g 取10m ／s 2,则此时细杆OA 受到 （ ）C.24N 的拉力D.24N 的压力 例3m,质量可以疏忽的的杆,其下端固定于O点,上端衔接着一个质量m ＝2kg 的小球A,A 绕O 点做圆周活动（同图5）,在A 经由过程最高点,试评论辩论鄙人列两种情况下杆的受力：①当A 的速度v 1＝1m ／s 时②当A 的速度v 2＝4m ／s 时2.在程度面内作圆周活动的临界问题图4 图 5在程度面上做圆周活动的物体,当角速度ω变更时,物体有远离或向着圆心活动的（半径有变更）趋向.这时,要依据物体的受力情况,断定物体受某个力是否消失以及这个力消失时偏向朝哪（特殊是一些接触力,如静摩擦力.绳的拉力等）.例4 如图6所示,两绳系一质量为mkg 的小球,上面绳长L ＝2m,两头都拉直时与轴的夹角分离为30°与45°,问球的角速度在什么规模内,两绳始终张紧,当角速度为 3 rad ／s 时,上.下两绳拉力分离为多大？例5kg 的物体,静止在程度肌,另一端经由过程滑腻的小孔吊着质量mkgm,并知M 和程度面的最大静摩擦力为2N.现使此平面绕中间轴线迁移转变,问角速度ω在什么规模m 会处于静止状况？（g ＝10m ／s 2）解释：一般求解“在什么规模内……”这一类的问题就是要剖析两个临界状况.3.巩固演习 1.汽车经由过程拱桥颗极点的速度为10 m力为车重的34.假如使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力,则汽车的速度为（ ）C 图 6 图 7A.15 m ／sB.20 m ／sC.25 m ／sD.30m／s 2.如图8所示,程度转盘上放有质量为m 的物块,当物块到转轴的距离为r 时,衔接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）.物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍.求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时,细绳的拉力T 1. ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r 时,细绳的拉力T 2. 三.小结 1.解圆周活动的问题时,必定要留意找准圆心,绳索的悬点不必定是圆心.2.把临界状况下的某物理量的特点抓住是症结.如速度的值是多大.某个力正好消失照样不消失以及这个力的偏向若何.答案例1剖析：答案A 是准确的,只要小球在最高点b 的速度大于gL ,个中L 是杆的长;答案B 也是准确的,此时小球的速度有0＜v ＜gL ;答案 C.D 确定是错误的,因为小球在最低点时,杆对小球必定是拉力.图 8例2解法：小球在A 点的速度大于gL 时,杆受到拉力,小于gL 时,杆受压力.V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s因为v m ／s ＜ 5 m ／s,我们知道：过最高点时,球对细杆产生压力.小球受重力mg 和细杆的支撑力N由牛顿第二定律 mg －N ＝m v2LN ＝mg －mv2L＝6.0N 故应选 B. 例3解法一：（同上例） 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力,小于 5 m ／s 时受压力.①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时,小球受向下的重力mg 和向上的支撑力N由牛顿第二定律 mg －N ＝m v2LN ＝mg －m v2L＝16N 即杆受小球的压力16N.②当v 2＝4m ／s ＞ 5 m ／s 时,小球受向下的N重力mg 和向下的拉力F由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v2LF ＝m v2L－mg ＝44N 即杆受小球的拉力44N.解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支撑力,是以杆受小球的感化力也可所以拉力或者是压力.我们可不去做具体的断定而假设一个偏向.如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上面解法中的②的情况.由牛顿第二定律 mg ＋F ＝mv2L得到 F ＝m （v2L －g ）当v 1＝1m ／s 时,F 1＝－16N F 1为负值,解释它的现实偏向与所设的偏向相反,即小球受力应向上,为支撑力.则杆应受压力.当v 2＝4m ／s 时,F 2＝44N. F 2为正值,解释它的现实偏向与所设的偏向雷同,即小球受力就是向下的,是拉力.则杆也应受拉力.例4解析：①当角速度ω很小时,AC和BC与轴的夹角都很小,BC 其实不张紧.当ω逐渐增大到30°时,BC才被拉直（这是一个临界状况）,但BC绳中的张力仍然为零.设这时的角速度为ω1,则有：T AC cos30°＝mgT AC sin30°＝mω12Lsin30°将已知前提代入上式解得ω1 rad／s②当角速度ω持续增大时T AC减小,T BC增大.设角速度达到ω2时,T AC＝0（这又是一个临界状况）,则有：T BC cos45°＝mgT BC sin45°＝mω22Lsin30°将已知前提代入上式解得ω2 rad／s所以当ω rad／s≤ω≤ rad／s,AC.BC两绳始终张紧.本题所给前提ω＝3 rad／s,此时两绳拉力T AC.T BC都消失.T AC sin30°＋T BC sin45°＝mω2Lsin30°T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg将数据代入上面两式解得T AC＝0.27N, T BC留意：解题时留意圆心的地位（半径的大小）.假如ω rad／s时,T BC＝0,AC与轴的夹角小于30°.假如ωrad／s时,T AC＝0,BC与轴的夹角大于45例5解析：要使m静止,M也应与平面相对静止.而M与平面静止时有两个临界状况：当ω为所求规模最小值时,M有向着圆心活动的趋向,程度面临M摩擦力2N.此时,对M应用牛顿第二定律.图7 有T－f m＝Mω12r 且T＝mg解得ω1 rad／s当ω为所求规模最大值时,M有变节圆心活动的趋向,程度面临M的静摩擦力的偏向向着圆心,大小还等于最大静摩擦力2N.再对M应用牛顿第二定律.有T＋f m＝Mω22r解得ω2 rad／s所以,题中所求ω rad／s＜ω rad／s。
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A M
ω
m B
F
迁移应用
的光滑斜面上， [例题4]如图所示，在倾角α=300 的光滑斜面上， 例题4]如图所示， 4]如图所示 有一根长L=0.8m的细绳，其一端固定在O L=0.8m的细绳 有一根长L=0.8m的细绳，其一端固定在O点，另一端 系一质量m=0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动， m=0.2kg的小球 系一质量m=0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动，试计 算通过最高点A的最小速度。（ 。（g 算通过最高点A的最小速度。（g取10m/s2）
O
R
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题4]如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水 例题4]如图所示， 4]如图所示 平桌面上，其轴线沿竖直方向， 平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间 的夹角θ=30 一条长为L的绳（质量不计）， 的夹角θ=300 ，一条长为L的绳（质量不计）， 一端固定在圆锥体的顶点O 一端固定在圆锥体的顶点O处,另一端拴着一个质 量为m的小物体（物体可看作质点）， ），物体以速 量为m的小物体（物体可看作质点），物体以速 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。 求绳对物体的拉力。 （1）当 V = 1 g L 时，求绳对物体的拉力。
A vo
h
R
o
B
圆 周 运 动 的 周 期 性 问 题
例3：如图所示：B物体放在光滑的水平地面上， ：如图所示： 物体放在光滑的水平地面上，
在水平力F的作用下由静止开始运动， 在水平力F的作用下由静止开始运动，B物体质量为 同时A物体(质量为M) M)在竖直面内由图示位置开 m，同时A物体(质量为M)在竖直面内由图示位置开 始做半径为r,角速度为ω的匀速圆周运动，求力F r,角速度为 始做半径为r,角速度为ω的匀速圆周运动，求力F 多大时可使A 两个物体在某些时刻的速度相同？ 多大时可使A、B两个物体在某些时刻的速度相同？
M
r
o
m
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题5]杂技演员在做水流星表演时，用 例题5]杂技演员在做水流星表演时， 5]杂技演员在做水流星表演时 绳系着装有水的桶, 绳系着装有水的桶,在竖直平面内做圆周 运动，水的质量m=0.5kg ,绳长 绳长L=60cm. 运动，水的质量m=0.5kg ,绳长L=60cm. (1)最高点水不流出的最小速率 最高点水不流出的最小速率； 求:(1)最高点水不流出的最小速率； (2)水在最高点速率 (2)水在最高点速率 桶底的压力。 桶底的压力。
思考： 思考：若题中对角度 没有任何限制， 没有任何限制，则结 果又会是什么呢？ 果又会是什么呢？
圆 周 运 动 的 周 期 性 问 题
例2：如图所示：在半径为R的水平圆板绕中 ：如图所示：在半径为R
心轴匀速转动，其正上方高h处的A 心轴匀速转动，其正上方高h处的A点水平抛出一 个小球。已知当圆板的半径OB OB转到与小球的初速 个小球。已知当圆板的半径OB转到与小球的初速 度方向平行时，将小球开始抛出，不计空气阻力， 度方向平行时，将小球开始抛出，不计空气阻力， 如果小球与圆板只碰一次且落点为B 如果小球与圆板只碰一次且落点为B，则小球的 初速度多大？圆板转动的角速度ω应为多少？ 初速度多大？圆板转动的角速度ω应为多少？
6
（2 ）当 V
=
3 gL 2
时，求绳对物体的拉力 θ
O
小结：关键是要准确的找出临界态； 常见的有出现最大静摩擦力、弹力为 零（绳子或接触面）
圆周运动的 周期性问题
圆 周 运 动 的 周 期 性 问 题
的纸制圆筒， 例1：如图所示，直径为d 的纸制圆筒， 如图所示， 匀速转动， 使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子 弹沿直径穿过圆筒。 弹沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒旋转不 两个弹孔， 到半周时在圆筒上留下a、b两个弹孔，已 求子弹的速度。 知aO、bO夹角为φ，求子弹的速度。
A
C B
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题3]在一水平面放置的圆盘上放有一劲度系数 例题3]在一水平面放置的圆盘上放有一劲度系数 3] 的弹簧,如图所示， 为k的弹簧,如图所示，弹簧的一端固定于轴 O 上 另一端挂质量为m 的物体A, ,另一端挂质量为m 的物体A, 物体与盘面间的动 摩擦因数为μ,开始时弹簧未发生形变,长度为R , 摩擦因数为μ,开始时弹簧未发生形变,长度为R μ,开始时弹簧未发生形变 求: 盘的转速n 多大时，物体A开始滑动? （1）盘的转速n0 多大时，物体A开始滑动? 弹簧的伸长量Δx （2）当转速达到 2n0 时，弹簧的伸长量Δx 是多少？ 是多少？ A
A
L O B
α
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题2]如图所示,细绳一端系着质量为M=0.6kg 例题2]如图所示,细绳一端系着质量为M=0.6kg 2]如图所示 的物体，静止在水平面上， 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小 孔吊着质量m=0.3kg的物体， m=0.3kg的物体 孔吊着质量m=0.3kg的物体，M的中心与圆孔距 0.2m， 离为 0.2m，并知 M 和水平面的最大静摩擦力 2N,现使此平面绕中心轴转动 问角速度ω 现使此平面绕中心轴转动, 为2N,现使此平面绕中心轴转动,问角速度ω在 什么范围内m 处于静止状态?（g取10m/s2） 什么范围内m 处于静止状态?
圆周运动的 临界态问题
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题1]如图所示，小球质量m=0.8kg,用两根长 例题1]如图所示，小球质量m=0.8kg,用两根长 1]如图所示 m=0.8kg, 均为l=0.5m l=0.5m的细绳拴住并系在竖杆上的 A,B两 均为l=0.5m的细绳拴住并系在竖杆上的 A,B两 AB=0.8m,当直杆转动带动小球在水平 点，已知 AB=0.8m,当直杆转动带动小球在水平 面内绕杆以ω=40rad/s 的角速度匀速转动时， 面内绕杆以ω=40rad/s 的角速度匀速转动时， 求上下两根绳上的张力。
圆 周 运 动 的 临 界 问 题
[例题6]长L=0.5m的轻杆，其一端连接着一 例题6]长L=0.5m的轻杆， 6] 的轻杆 个零件A 零件A的质量m=2kg 现在让A m=2kg。 个零件A，零件A的质量m=2kg。现在让A在竖 直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示， 直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示， 通过最高点时，求下列两种情况下A 在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆 的作用力。 的作用力。 （取 g=10m/s2） 的速率为1m/s （1）A的速率为1m/s 的速率为4m/s （2）A的速率为4m/s