电磁感应中的能量转换问题-经典

在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型. 类型“电—动—电”型“动—电—动”型示意图棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计分析S闭合，棒ab受安培力F＝BLER，此时a＝BLEmR，棒ab速度v↑→感应电动势BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速棒ab释放后下滑，此时a＝gsin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动形式变加速运动变加速运动最终状态匀速运动vm＝EBL匀速运动 vm＝mgRsin αB2L21、如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．1、解析(1)如右图所示，ab 杆受重力mg ，竖直向下；支持力FN ，垂直斜面向上；安培力F ，平行斜面 向上．(2)当ab 杆速度为v 时，感应电动势 E ＝BLv ，此时电路中电流 I ＝E R ＝BLv Rab 杆受到安培力F ＝BIL ＝B2L2vR根据牛顿运动定律，有ma ＝mgsin θ－F ＝mgsin θ－B2L2vRa ＝gsin θ－B2L2vmR .(3)当B2L2v R ＝mgsin θ时，ab 杆达到最大速度vm ＝mgRsin θB2L22、如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L＝1.0 m，导轨平面与水平面间的夹角为30°，磁感应强度为B的磁场垂直于导轨平面向上，导轨的M、P两端连接阻值为R ＝3.0 Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m ＝0.20 kg，电阻r＝0.50 Ω,重物的质量M＝0.60 kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系如下表所示，不计导轨电阻，g取10 m/s2.求：时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6上滑距离/m 0 0.05 0.15 0.35 0.70 1.05 1.40(1)ab棒的最终速度是多少？(2)所加磁场的磁感应强度B为多大？(3)当v＝2 m/s时，金属棒的加速度为多大？2、解析(1)由表中数据可以看出最终ab 棒将做匀速运动．vm ＝st ＝3.5 m/s(2)棒受力如图所示，由平衡条件得 FT ＝F ＋mgsin 30° FT ＝MgF ＝B BLvm R ＋rL联立解得B ＝ 5 T(3)当速度为2 m/s 时，安培力F ＝B2L2vR ＋r对金属棒ab 有FT －F －mgsin 30°＝ma 对重物有Mg －FT ＝Ma联立上式，代入数据得a ＝2.68 m/s23、 边长为L 的正方形闭合金属线框，其质量为m ，回路电阻为R.图中M 、N 、P 为磁场区域的边界，上下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B ，方向如图4所示．现让金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M 和P 两界面的过程中均为匀速运动．已知M 、N 之间和N 、P 之间的高度差相等，均为h ＝L ＋5m2gR28B4L4，金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，当地的重力加速度为g.试求： (1)图示位置金属线框的底边到M 的高度d ；(2)在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热；(3)金属线框的底边刚通过磁场边界N 时，金属线框加速度的大小．3、解析(1)根据题意分析可知，金属线框在穿过M 界面时做匀速运动，设为v1，根据运动学公式有v 21＝2gd 在金属线框穿过M 的过程中，金属线框中产生的感应电动势 E ＝BLv1金属线框中产生的感应电流I ＝ER 金属线框受到的安培力F ＝BIL根据物体的平衡条件有mg ＝F ，联立解得d ＝m2gR22B4L4(2)根据能的转化和守恒定律，在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热为Q ＝mg(2h ＋L)解得Q ＝mg(3L ＋5m2gR24B4L4)(3)设金属线框的底边刚通过磁场边界N 时，金属线框的速度大小为v2，根据题意和运动学公式有 v 22－v 21＝2g(h －L)此时金属线框中产生的感应电动势E′＝2BLv2金属线框中产生的感应电流I′＝E′R 金属线框受到的安培力F′＝2BI′L 根据牛顿第二定律有F′－mg ＝ma′ 解得金属线框的加速度大小为a′＝5g4、如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l，所在平面的正方形区域abcd内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直斜面向上．将甲、乙两阻值相同、质量均为m的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距l.静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨向下的外力F，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsin θ，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动．(1)甲、乙的电阻R为多少；(2)设刚释放两金属杆时t＝0，写出从开始释放到乙金属杆离开磁场，外力F随时间t的变化关系；(3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q，试求此过程中外力F对甲做的功．4、解析(1)对乙受力分析知，乙的加速度大小为gsin θ，甲、乙加速度相同，所以当乙刚进入磁场时，甲刚出磁场，乙进入磁场时v ＝2glsin θ 对乙由受力平衡可知mgsin θ＝B2l2v 2R ＝B2l22g lsin θ2R故R ＝B2l22glsin θ2mgsin θ(2)甲在磁场中运动时，外力F 始终等于安培力，F ＝F 安＝IlB ＝Blv2R lB 因为v ＝gsin θ·t所以F ＝Bl·gsin θ·t 2R lB ＝mg2sin2 θ2glsin θt 其中0≤t≤2lgsin θ甲出磁场以后，外力F 为零．(3)乙进入磁场前做匀加速运动，甲乙产生相同的热量，设为Q1，此过程中甲一直在磁场中，外力F 始终等于安培力，则有WF ＝W 安＝2Q1，乙在磁场中运动产生的热量Q2＝Q －Q1，对乙利用动能定理有mglsin θ－2Q2＝0，联立解得WF ＝2Q －mglsin θ.5、如图9所示，长L1＝1.0 m，宽L2＝0.50 m的矩形导线框，质量为m＝0.20 kg，电阻R＝2.0 Ω.其正下方有宽为H(H>L2)，磁感应强度为B＝1.0 T，垂直于纸面向里的匀强磁场．现在，让导线框从cd 边距磁场上边界h＝0.70 m处开始自由下落，当cd边进入磁场中，ab尚未进入磁场时，导线框做匀速运动．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：(1)线框完全进入磁场过程中安培力做的功是多少？(2)线框穿出磁场过程中通过线框任一截面的电荷量q是多少？5、解析(1)当线框匀速运动时：满足mg ＝BIL1，而E ＝BL1v ，E ＝IR.线框由静止到刚好进入磁场过程中，由动能定理有mg(L2＋h)＋W ＝mv22－0， 解得安培力做的功W ＝－0.8 J.(2)线框穿出磁场过程中通过线框任一截面的电荷量：q ＝I t ＝ΔΦR ，即q ＝BL1L2R ， 代入数据解得q ＝0.25 C.6、如图所示，绝缘细绳绕过轻滑轮连接着质量为m的正方形导线框和质量为M的物块，导线框的边长为L、电阻为R0，物块放在光滑水平面上，线框平面竖直且ab边水平，其下方存在两个匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，方向水平但相反，Ⅰ区域的高度为L，Ⅱ区域的高度为2L.开始时，线框ab边距磁场上边界PP′的高度也为L，各段绳都处于伸直状态，把它们由静止释放，运动中线框平面始终与磁场方向垂直，M始终在水平面上运动，当ab边刚穿过两磁场的分界线QQ′进入磁场Ⅱ时，线框做匀速运动．不计滑轮处的摩擦．求：(1)ab边刚进入磁场Ⅰ时，线框的速度大小；(2)cd边从PP′位置运动到QQ′位置过程中，通过线圈导线某横截面的电荷量；(3)ab边从PP′位置运动到NN′位置过程中，线圈中产生的焦耳热．6、解析(1)在线框下降L 过程中，对线框和物块组成的整体，由动能定理得mgL ＝12(m ＋M)v 21，所以线框的速度：v1＝ 2mgLm ＋M.(2)线框从Ⅰ区进入Ⅱ区过程中，ΔΦ＝BS －(－BS)＝2BL2，E ＝ΔΦΔt ，I ＝ER ，所以通过线圈导线某截面的电量：q ＝IΔt ＝2BL2R .(3)线框ab 边运动到位置NN′之前，只有ab 边从PP′位置下降2L 的过程中线框中有感应电流，设线框ab 边刚进入Ⅱ区域做匀速运动的速度是v2，线圈中电流为I2，则I2＝2BLv2R此时M 、m 均做匀速运动，2BI2L ＝mg ，v2＝mgR4B2L2.根据能量转化与守恒定律有mg·3L ＝12(m ＋M)v 22＋Q ，则线圈中产生的焦耳热为Q ＝3mgL －m ＋M m2g2R232B4L4.7、(2011·天津·11)(18分)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为L＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？(2)棒ab受到的力F多大？(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？7、解析 (1)对cd 棒受力分析如图所示 由平衡条件得mgsin θ＝BIL (2分)得I ＝mgsin θBL ＝0.02×10×sin 30°0.2×0.5 A ＝1 A ． (1分) 根据楞次定律可判定通过棒cd 的电流方向为由d 到c. (1分) (2)棒ab 与cd 所受的安培力大小相等，对ab 棒受力分析如图所示， 由共点力平衡条件知F ＝mgsin θ＋BIL (2分) 代入数据解得F ＝0.2 N ．(3)设在时间t 内棒cd 产生Q ＝0.1 J 的热量， 由焦耳定律知Q ＝I2Rt(2分)设ab 棒匀速运动的速度是v ，其产生的感应电动势E ＝BLv(2分)由闭合电路欧姆定律知I ＝E2R (2分) 时间t 内棒ab 运动的位移s ＝vt(2分)力F 所做的功W ＝Fs(2分) 综合上述各式，代入数据解得W ＝0.4 J ．(1分)8、(15分)如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化的图象；(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.8、(1)B2L2v0Rd (R ＋r)2 (2)nB2L2v0d R ＋r (3)见解析 (4)BLd R ＋r 或0解析 (3)如图所示9、(16分)如图所示，在水平面上固定一光滑金属导轨HGDEF，EF//GH，DE＝EF＝DG＝GH＝EG＝L.一质量为m足够长导体棒AC垂直EF方向放置在金属导轨上，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．现对导体棒AC施加一水平向右的外力，使导体棒从D位置开始以速度v0沿EF方向做匀速直线运动，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．(1)求导体棒运动到FH位置，即将要离开导轨时，FH两端的电势差．(2)关于导体棒运动过程中回路产生的感应电流，小明和小华两位同学进行了讨论．小明认为导体棒在整个运动过程中是匀速的，所以回路中电流的值是恒定不变的；小华则认为前一过程导体棒有效切割长度在增大，所以电流是增大的，后一过程导体棒有效切割长度不变，电流才是恒定不变的，你认为这两位同学的观点正确吗？请通过推算证明你的观点．(3)求导体棒从D位置运动到EG位置的过程中，导体棒上产生的焦耳热．9、解析 (1)E ＝BLv0 (2分)UFH ＝45BLv0 (3分)(2)两个同学的观点都不正确． (2分)取AC 棒在D 到EG 运动过程中的某一位置，MN 间距离设为x ， 则DM ＝NM ＝DN ＝x ，E ＝Bxv0，R ＝3rx ， I ＝Bv03r ，此过程中电流是恒定的． (2分) AC 棒在EG 至FH 运动过程中，感应电动势恒定不变， 而电阻一直在增大，所以电流是减小的． (2分) (3)设任意时刻沿运动方向的位移为s ，则s ＝32x ，安培力与位移的关系为FA ＝BIx ＝B2v0x 3r ＝23B2v0s9r(2分) AC 棒在D 到EG 上滑动时产生的电 热，数值上等于克服安培力做的功，又因为FA ∝s ，所以Q ＝0＋FA 2×32L ＝3B2L2v012r(2分) 全过程中，导体棒上产生的焦耳热始终为全部的三分之一，所以，导体棒上产生的焦耳热Q′＝13×0＋FA 2×33L ＝3B2L2v036r (1分)10、（重庆市2012（春）高三考前模拟测）（16分）如题23-1图所示，边长为L、质量为m、总电阻为R的正方形导线框静置于光滑水平面上，处于与水平面垂直的匀强磁场中，匀强磁场磁感应强度B随时间t变化规律如题23-2图所示．求：（1）在t=0到t=t0时间内，通过导线框的感应电流大小；（2）在t=2t时刻，a、b边所受磁场作用力大小；（3）在t=0到t=t0时间内，导线框中电流做的功。