列二元二次方程组解应用题
二元二次方程练习题及解析
二元二次方程练习题及解析一、练习题1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 92. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 163. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 814. 解方程组：{(3x + 2y)² = 16(2x - y)² = 95. 解方程组：{(2x + y)² = 36(3x - y)² = 49二、解析1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 9解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 25 (1)(x² - 2xy + y²) = 9 (2)将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61解得：x = ±√(61/5)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
2. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 16解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 144 (1)(x² - 2xy + y²) = 16 (2)将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208解得：x = ±√(208/10)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
3. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 81解：将两个方程展开得到：(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9解得：x = ±√(74/45)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)
(完整版)二元二次方程解法练习题(四种方法)引言二元二次方程是一个常见的数学问题，解决这类问题可以帮助我们进一步理解二次方程的性质和求解方法。
本文将介绍四种不同的方法来解决二元二次方程，并提供相应的练题，以帮助读者巩固所学的知识。
方法一：代入法代入法是一种简单直接的解法，通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得未知数的值。
以下是一个代入法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}3x^2-4y^2&=5 \\x+y&=3\end{align*}解法：1. 将第二个方程中的 $x$ 替换为 $3-y$，得到新的方程 $3(3-y)^2-4y^2=5$。
2. 将该方程整理并解得 $y=1$。
3. 将 $y=1$ 代入第二个方程，解得 $x=2$。
因此，该方程组的解为 $x=2$，$y=1$。
练题：1. 求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\x+y&=2\end{align*}2. 求解方程组\begin{align*}4x^2-5y^2&=8 \\2x+y&=3\end{align*}方法二：消元法消元法是另一种常用的解法，通过将两个方程相加或相减，并适当选择系数，使得其中一个未知数的系数相同而相消，从而求解另一个未知数。
以下是一个消元法的例子：例题：求解方程组\begin{align*}2x^2-3y^2&=4 \\5x-2y&=1\end{align*}解法：1. 将第二个方程乘以 2，得到 $10x-4y=2$。
2. 将第一个方程乘以 5，得到 $10x^2-15y^2=20$。
3. 将第三步的方程与第二步的方程相减，得到$15y^2-4y=18$。
4. 解方程 $15y^2-4y=18$，得到 $y=2$。
5. 将 $y=2$ 代入第一个方程，解得 $x=1$。
因此，该方程组的解为 $x=1$，$y=2$。
方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案
方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案一、选择题1．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =?32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩． 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可． 【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.3．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【详解】解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0x ﹣2y =0或x +y =0原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．4．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝， 原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.5．计算：（1（2）解方程组：3534106x y x y -=-⎧⎨-+=⎩（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6234211132x x x x -≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩ 【答案】（1）12-；（2）035x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）21137x -≤≤. 【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12-（2）3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩①②①×2+②，得x=0把x=0代入①式 y=35所以，方程组的解是35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩（3）6234211132x xx x-≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①式得，x≥-23由②式得，x＜117所以，不等式组的解集是21137x-≤≤，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.6．解方程组：【答案】，．【解析】【分析】先由①得x=4+y，将x=4+y代入②，得到关于y的一元二次方程，解出y的值，再将y的值代入x=4+y求出x的值即可.【详解】解：由①得：x=4+y③，把③代入②得：（4+y ）2-2y 2=（4+y ）y ，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，. 【点睛】本题考查了解高次方程.7．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】 解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.8．阅读材料，解答问题材料：利用解二元一次方程组的代入消元法可解形如的方程组． 如：由（2）得，代入（1）消元得到关于的方程： ， 将代入得：，方程组的解为 请你用代入消元法解方程组：【答案】解：由（1）得，代入（2）得化简得：， 把，分别代入得：， ，【解析】这是阅读理解题，考查学生的阅读理解能力，把二元二次方程组利用代入消元转化成一元二次方程，解出一元二次方程的解，再求另一个未知数的解即可9．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】1212323222x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.【详解】由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20， 整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 12y 22将④代入③，得x 1＝22x ＝﹣2所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.10．解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①②【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x ，把x=-3代入③求出y 即可．【详解】解：由②得：y=7+3x(3)，把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，解得：x=-3，把x=-3代入③得：y=-2，所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．11．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①②由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝把1x ＝1413y ＝﹣（把1x ＝2413y ＝﹣（；所以原方程组的解为：1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩.【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.12．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．【详解】解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①②由①，得(x ﹣y )2＝16， 所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0所以原方程组可化为：430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩解这些方程组，得1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，3331x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.13．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩ 【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．14．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩，∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.15．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --=解得：3y =或139y = 将3y =12100-+=，解得：x =将139y =1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②+①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.16．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩ 【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y ， 将1y =代入1x y -=得：2x =，将12y 代入1x y -=得：12x =，故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．17．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=，∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.18．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。
列二元二次方程组解应用题
列二元二次方程组解应用题（1课时）教学目标1．能以二元二次方程组为工具，解决一些生活中的实际问题. 2．能列方程组求解方程和解释结果的实际意义和合理性. 3．能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效模型.教学重点及难点根据具体实际问题中的数量关系列出方程组，运用二元二次方程组解决实际问题.；运用方程组解决实际问题的关键在于正确分析问题中的数量关系.教学过程一、情景引入思考探究通过实际问题列得下列方程组(x-400)(y+10)=12000 (1)｛xy=12000+4000 (2)可以先把方程（1）展开，将方程（2）“_____”代入，消去_____ 项，得到一次方程，实现了_______.二、学习新课：例题1 某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.分析： 题中的等量关系是:五月份 A 型起重机产量=B 型起重机产量 × 2六月份 A 型起重机产量+B 型起重机产量 =54(台)解 设四月份生产B 型起重机X 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()⎩⎨⎧=⨯++++=+542312532125x y x y （解题过程见课件） ()()()()⎩⎨⎧=⨯++++=+5423125321252x y x y 例题2 某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?分析： 根据计划总共能获利润12000元可得等量关系是: 计划销售运动衣的套数×计划每套运动衣的利润=12000元 根据实际总利润比计划多4000元可得等量关系是:实际销售运动衣的套数×实际每套运动衣的利润=12000+4000解 设实际销售运动衣X 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()⎩⎨⎧+==+-400120001200010400xy y x （解题过程见课件） 三、巩固练习教材61页 练习21.7(5) 1、2、3四、课堂小结在列方程解应用题中，要抓住关键词语，也可以利用画图列表等方法帮助分析等量关系，解决实际问题.五、作业布置作业：练习部分教学设计说明这节课是方程应用题的继续和发展性学习.根据课程标准的要求，以三维目标制定教学目标，由浅入深，通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，通过师生互动充分体会这个过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决生活中的实际问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.。
八年级数学下册综合算式专项练习题解简单的二元二次方程组的应用题的应用题
八年级数学下册综合算式专项练习题解简单的二元二次方程组的应用题的应用题一、问题描述现有一矩形花坛，长为x米，宽为y米。
其中一条长边比另一条长边长6米，且长边比短边长7米。
已知矩形花坛的面积为100平方米。
求矩形花坛的长和宽。
二、问题解答设矩形花坛的长为x米，宽为y米。
根据问题描述，我们可以得到以下两个方程：1. 矩形花坛的面积为100平方米：x * y = 100 -- 方程12. 矩形花坛的长边比短边长6米，并且比短边长7米：x - y = 6 -- 方程2x - y = 7 -- 方程3我们可以通过解二元二次方程组来求解矩形花坛的长和宽。
首先，将方程2和方程3联立，得到：x - y = 6 -- 方程4x - y = 7 -- 方程5为了消除变量y，将方程4减去方程5，可得：(x - y) - (x - y) = 6 - 70 = -1由上式可得出矛盾的结论，因此方程组无解。
所以，该矩形花坛的长和宽无法确定。
三、问题分析通过解答可知，该问题中给出的条件矛盾，无法求得矩形花坛的长和宽。
因此，我们可以得出结论：该问题无解。
四、总结通过本题的解答，我们学习了如何应用二元二次方程组解决简单的应用题。
在解决问题时，我们需要根据题目提供的条件，建立适当的方程，并通过合理的运算求解未知量。
同时，我们也需要注意题目中可能存在的条件矛盾或无解的情况，及时进行分析和判断。
希望通过这样的练习，能够加深对二元二次方程组的理解，提升解决实际问题的能力。
在今后的学习和生活中，我们将更加灵活地应用数学知识解决各种问题。
解二元二次方程组的练习题
解二元二次方程组的练习题解题思路：要解二元二次方程组，首先需要将方程组进行整理，消去一个变量，然后将得到的一元二次方程代入另一方程中，从而求解。
下面将通过一个实际的练习题来演示解题过程。
练习题：求解以下二元二次方程组：(1) 2x^2 - 3y^2 = 7x + y = 3解题步骤：Step 1: 将第二个方程变形成 x = 3 - y，并代入第一个方程中，得到： 2(3 - y)^2 - 3y^2 = 7Step 2: 展开并整理方程，得到：2(9 - 6y + y^2) - 3y^2 = 718 - 12y + 2y^2 - 3y^2 = 7-y^2 - 12y + 18 = 7Step 3: 移项并合并同类项，得到一元二次方程：-y^2 - 12y + 11 = 0Step 4: 求解一元二次方程，可以使用配方法或求根公式：首先，计算方程的判别式 D = b^2 - 4ac，其中方程形式为 ay^2 + by + c = 0，代入 a = -1，b = -12，c = 11，得到：D = (-12)^2 - 4(-1)(11) = 144 + 44 = 188判别式 D 大于 0，因此方程有两个不相等的实数解。
使用求根公式 y = (-b ± √D)/(2a) 计算解，代入 a = -1，b = -12，D = 188，得到： y1 = (-(-12) + √188) / (2(-1)) = (12 + √188) / -2y2 = (-(-12) - √188) / (2(-1)) = (12 - √188) / -2Step 5: 分别计算 y 对应的 x 值。
代入第二个方程 x + y = 3，得到： x1 = 3 - (12 + √188) / 2x2 = 3 - (12 - √188) / 2结果：利用计算器，我们得出以下结果：y1 ≈ -7.81，x1 ≈ 10.81y2 ≈ 1.81，x2 ≈ 1.19综上所述，原二元二次方程组的解为：(x1, y1) ≈ (10.81, -7.81)(x2, y2) ≈ (1.19, 1.81)通过以上的解题步骤，我们成功地解出了给定的二元二次方程组的解。
二元二次方程组经典例题
二元二次方程组经典例题二元二次方程组，这听起来是不是有点高大上？它就像你生活中的小麻烦，随时可能出现，得好好处理一下。
想象一下，某天你在街上遇到一个老朋友，聊着聊着，你们说到买房子的事。
老朋友说他想买个房子，结果发现，房子的价格和面积都是变量，就像那二元二次方程中的x和y。
于是，你俩一拍即合，决定用数学来解决这个“买房危机”。
你可能会觉得，哎呀，数学我最怕了。
可别着急，二元二次方程组其实并不复杂。
比如，有一个方程叫做y = ax² + bx + c，听上去很深奥，其实就像是你做饭时加的调料。
a、b、c分别代表了不同的调料，不同的比例，最后的味道才会不同。
我们把这些方程组结合起来，就能找到解决问题的钥匙。
想象一下，你和朋友一起决定，先写下两个方程，一个是房子的价格，另一个是面积。
然后你们就像侦探一样，开始破解这个数学谜题。
解方程就像解密游戏，先找到一个方程，弄明白它的意思，再去寻找另一个方程。
然后，就可以代入、消元，简简单单，就能找到x和y的值。
就好像打开了一扇门，瞬间看到光明的未来，房子终于在眼前了。
这里面有个小技巧，就是代入法和消元法。
就好比你跟朋友讨论，谁要去买零食，最后决定一个人去，那另一个人就可以省力。
你先算出一个变量，再把它代入另一个方程，哇，仿佛像在游戏中找到了一条捷径。
结果出来的那个x和y，就是你们的最终目标，房子的价格和面积都找到了。
做二元二次方程组的时候，咱们得注意一个事情，就是可能会有多个解。
就像生活中，我们可能有很多选择。
每个选择都有好坏之分，而方程的解也是如此。
有时候解出来的结果会让你眉头紧锁，有时候又会让你眉开眼笑。
选择就像一个游戏，有时候你得冒险，有时候你得稳妥，要做出最优的选择。
再说了，解二元二次方程的过程中，最重要的就是保持心态平和。
遇到困难，不要慌，深呼吸，理清思路。
就像一场马拉松，绝对不能中途放弃。
即使再复杂的方程，最终都能化为简单的答案。
人生不也如此吗？总会有难题，但只要你用心去解，总能找到属于自己的方向。
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组技巧及练习题附答案
把 代入②解得： ，
所以解为： ， ，
由③变形得：y=x，
把y=x代入②得： ，解得 ，
把 代入②解得： ，
所以解为： ， ，
综上所述解为： ， ， ， ．
【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．
3．解方程组：
【答案】
【解析】
∴方程组的解为 .
【点睛】
此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．
【详解】
解：设实际销售运动衣x套,实际每套运动衣的利润是y元.
根据题意，可列方程组
解得，原方程的解是 ， ．
考点：高次方程．
18．解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
，
由①得（x+y）（x-2y）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得（x+y）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程组化为 或 或 或 ，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
19．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组专项训练及解析答案(1)一、选择题1．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①② 由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则2．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：沿x 轴翻折后，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F （点F 在点E 的右侧）．（1）求直线AB的解析式；（2）若线段DF∥x轴，求抛物线的解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，在抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，使得直线PQ既平分△AFH的周长，又平分△AFH面积，如果存在，求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，∵直线，直线AB与x轴交于同一点（-2，0）∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称∴B（0，），∴解得k＝，b＝，∴直线AB的解析式为.（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），抛物线解析式为：∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴，解得 h1=3，h2＝（舍去），∴抛物线的解析式为.（3）解：过M作MT⊥FH于T，∴Rt△MTF∽Rt△AGF．∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，又∵S△MNF＝S△AFH．∴＝24，解得k＝=或k=2 （舍去），∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，∴M（，））、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，解得：k=，b=4，∴y＝x+4，联立y＝x+4与y＝,求得P（1，），Q（3，0）．答：存在P的坐标是（1，），Q的坐标是（3，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．3．直角坐标系xOy 中，有反比例函数()830y x =＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．②设一抛物线过A 、B 、C 三点，在该抛物线上是否存在点Q ，使△QBP 的面积是菱形ABCP 面积的12？若存在，求出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）①A （0，3B （2，0），C （6，0）；②存在，满足条件的Q 点有（0，314，1638，36，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P 分别与两坐标轴相切时，PA ⊥y 轴，PK ⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且PA ＝PK ，进而得出PK 2，即可得出OP 2的值；（2）①连接PB ，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP 3=，P （m ，32），进而得出答案； ②求直线PB 的解析式，利用过A 点或C 点且平行于PB 的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q 点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴PA ⊥OA ，PK ⊥OK ．∴∠PAO ＝∠OKP ＝90°．又∵∠AOK ＝90°，∴∠PAO ＝∠OKP ＝∠AOK ＝90°．∴四边形OKPA 是矩形．又∵AP ＝KP ，∴四边形OKPA 是正方形，∴OP 2＝OK 2+PK 2＝2PK •OK ＝2xy ＝=（2）①连结BP ，则AP ＝BP ，由于四边形ABCP 为菱形，所以AB ＝BP ＝AP ，△ABP 为正三角形，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP =，P （m）， 将P 点坐标代入到反比例函数解析式中，则2m 2＝解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），故P （4，），则AP ＝4，OA ＝OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，故A （0，B （2，0），C （6，0）；②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），将A 点坐标代入得，a =，故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP所在的直线解析式为：y =-故直线l的解析式为y =+l与抛物线的交点是方程组2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2214x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0，Q （14，同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，则设其解析式为：y =+e ，则0＝e ，解得：e ＝﹣，故其解析式为：y =﹣其直线与抛物线的交点是方程组234323 363y x xy x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩的解，可求得Q1（8，23）和（6，0）．故所求满足条件的Q点有（0，23），（14，163），（8，23）和（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．4．解方程组221444y xx xy y=+⎧⎨-+=⎩【答案】1143xy=-⎧⎨=-⎩，221xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221?444y xx xy y①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y-=③，把①代入③，得()2214x x⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x+=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x1=-4,x2=0,把x1=-4,x2=0,分别代入①，得y1=-3,y2=1.所以，方程组的解是1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.5．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①② , 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．6．解方程组2210260x y x x y -+=⎧⎨--+=⎩【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】由（1）得21y x =+，代入到（2）中整理为关于x 的一元二次方程，求出x 的值，并分别求出对应的y 值即可.【详解】解： ()()221012602x y x x y ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩， 由（1），得21y x =+（3），把（3）代入（2），整理，得2540x x -+=，解这个方程，得121,4x x ==，把11x =代入（3），得13y =，把24x =代入（3），得29y =，所以原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2249x y =⎧⎨=⎩.. 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，用代入消元法消去一个未知数，转化为解一元二次方程是解题关键.7．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．8．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x yx y⎧-++=⎨+=⎩①②,①式左边分解因式得，()20x y x y-++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）22208x yx y-+=⎧⎨+=⎩或（ii）22+08x yx y=⎧⎨+=⎩解方程组（i）得，12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.9．解下列方程组：（1）222220560x yx xy y⎧+=⎨-+=⎩（2）217,111.x y x yx y x y⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-，所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．10．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩ 【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或2293x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】利用因式分解法求22560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得20x y -=或30x y -=， 2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，2293x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨=⎩和 2293x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.11．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+1经过A （﹣1，0），B （1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝k 1x+b 1（k 1，b 1为常数，且k 1≠0），直线l 2：y ＝k 2x+b 2（k 2，b 2为常数，且k 2≠0），若l 1⊥l 2，则k 1•k 2＝﹣1．解决问题：①若直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，则m 的值是____；②抛物线上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M 是抛物线上一动点，且在直线AB 的上方（不与A ，B 重合），求点M 到直线AB 的距离的最大值．【答案】（1）y ＝﹣12x 2+12x+1；（2）①-12；②点P 的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（35. 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据垂线间的关系，可得PA ，PB 的解析式，根据解方程组，可得P 点坐标；（3）根据垂直于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值【详解】解：（1）将A ，B 点坐标代入，得10(1)11(2)a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 抛物线的解析式为y ＝211x x 122-++； （2）①由直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝mx+2互相垂直，得2m ＝﹣1，即m ＝﹣12； 故答案为﹣12；②AB的解析式为1122 y x=+当PA⊥AB时，PA的解析式为y＝﹣2x﹣2，联立PA与抛物线，得21112222y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=--⎩，解得1xy=-⎧⎨=⎩（舍），614xy=⎧⎨=-⎩，即P（6，﹣14）；当PB⊥AB时，PB的解析式为y＝﹣2x+3，联立PB与抛物线，得21112223y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩（舍）45xy=⎧⎨=-⎩，即P（4，﹣5），综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）如图：，∵M（t，﹣12t2+12t+1），Q（t，12t+12），∴MQ＝﹣12t2+12S△MAB＝12MQ|x B﹣x A|＝12（﹣12t2+12）×2＝﹣12t2+12，当t＝0时，S取最大值12，即M（0，1）．由勾股定理，得AB ＝2221+＝5，设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h ＝5＝5． 点M 到直线AB 的距离的最大值是5． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键12．温州三垟湿地的瓯柑名气很大，但今年经济不景气，某经销商为了打开销路，对1220斤瓯柑进行包装优惠出售．包装方式及售价如下图．假设用这两种包装方式恰好装完全部瓯柑．（1）若销售2箱纸盒装和3筐萝筐装瓯柑的收入共 元(请直接写出答案).（2）假如预计这批瓯柑全部售完，总销售额为3210元时．请问纸盒装包装了多少箱，箩筐装包装了多少筐？（3）但由于天气原因，瓯柑腐烂了a 斤（不能出售），在售价不变的情况下，为了保证总．销售额为．．．．3210元，剩余瓯柑必须用以上两种方式重新包装，且恰好装完,那么纸盒装 箱, 箩筐装 箱.(请直接写出答案)【答案】（1）495；（2）纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐；（3）41，6【解析】（1）根据题意可得出方程解出即可；（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据等量关系列出方程组，解出即可； （3）根据（3）问的条件直接写出答案即可.解：（1）495元（2）设纸盒装包装了x 箱，箩筐装包装了y 筐，根据题意得：20501220601253210x y x y +=⎧⎨+=⎩1618x y =⎧⎨=⎩解得 答：纸盒装包装了16箱，箩筐装包装了18筐.（3）41箱，6箱.“点睛”本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是仔细审题，理解题目所给条件，转化为方程思想求解.13．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.14．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.15．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．16．一个三位数的中间数字是0,其余的两个数字的和为9,且这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数.【答案】306【解析】【分析】设百位数字是x ，个位数字是y ．则依据“两个数字的和为9；这两个数字颠倒后的三位数比这两个数字之积的33倍还多9”列出方程组．【详解】设百位数字是x ，个位数字是y ．则9100339x y y x xy +⎧⎨++⎩＝＝， 解得36x y ⎧⎨⎩＝＝，90x y ⎧⎨⎩＝＝（不符合题意，舍去）． 答：这个三位数是306．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．17．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可.【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①② 由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解这两个方程组得原方程组的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.18．()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】3022x y =-⎧⎨=⎩【解析】【分析】运用代入法进行消元降次，即可得解.【详解】()28024x y x y x ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①② 由①，得8x y +=-③将③代入②，得6424x +=，解得30x =-④将④代入①，得22y =∴方程组的解为3022x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.19．解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1131x y =⎧⎨=⎩ 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】利用因式分解把方程①转化为两个二元一次方程，再分别与方程②组成方程组，解二元一次方程组即可得到答案．【详解】解：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由①得：x 3y 0-= 或 x y 0+=原方程组化为： 302x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或02x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ ∴ 原方程组的解为1131x y =⎧⎨=⎩ 或 2211x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握利用因式分解降次是解题关键．20．解方程组22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩． 【答案】原方程组的解是114,32;3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩224,32;3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩334,2;x y =⎧⎨=⎩444,2.x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由①得x+2y=0，或x-2y=0，由②得x-y=2，或x-y=-2，从而可将原方程组化为4个二元一次方程组求解．【详解】22224024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩①②， 由①得(x+2y)(x-2y)=0，∴x+2y=0或x-2y=0，由②得(x-y)2=4，∴x-y=2或x-y=-2，∴原方程组可化为202x y x y +=⎧⎨-=⎩，202x y x y +=⎧⎨-=-⎩，202x y x y -=⎧⎨-=⎩，202x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 分别解这四个方程组得114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩， ∴原方程组的解是114323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，224323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3342x y =⎧⎨=⎩，4442x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，将原方程组化为4个二元一次方程组求解是解答本题的关键．。
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(真题测试)(解析版)
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【真题测试】 一、选择题1. （黄浦2018期中3）下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ） A.02x y x y +=⎧⎨-=⎩； B.123224x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩；C.21x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩； D.324x xy =⎧⎨=⎩.【答案】D ；【解析】解：A 、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确； B 、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B 选项不正确； C 、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C 选项不正确； D 、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D 选项正确． 故选：D ．2. （浦东2018期中3）由方程组2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩消去y 后化简得到的方程是（ ） A.22260x x --=； B. 22250x x ++=； C. 2250x +=； D. 22250x x -+= 【答案】D 【解析】解：2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩①②，由①，得x=y+1③，将③代入②，得（x-1）2+x 2+4=0，化简，得2x 2-2x+5=0，故选：D ．3. （杨浦2019期中16）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（ ）A ．⎩⎨⎧=-+=2232x xy x y B.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+102122y x x y xy c.⎩⎨⎧-=-=+135y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=53132y x x y【答案】A ；【解析】A 、二元二次方程组，符合题意；B 、含分式方程，故不符合题意；C 、二元一次方程组，不符合题意；D 、含无理方程，不符合题意；因此答案选A.4.（浦东四署2019期末4）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x 千米/小时，下列所列方程正确的是（ ） A.350350130x x -=-； B. 350350130x x -=-； C. 350350130x x -=+； D. 350350130x x-=+. 【答案】C ；【解析】提速前所用时间为：350x，提速后所用时间为：35030x +，依题可得：350350130x x -=+. 二、填空题5.（浦东四署2019期中9）方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩的根是 .【答案】121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】2235x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，则①+②得2280x x +-=，解得24x x ==-或，当2x =时，1y =；当4x =-时，11y =-；故原方程组的解为121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. 6．（普陀2018期末9）把方程x 2+4xy ﹣5y 2＝0化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 【答案】x +5y ＝0和 x ﹣y ＝0；【解析】解：∵x 2+4xy ﹣5y 2＝0，∴（x +5y ）（x ﹣y ）＝0，∴x +5y ＝0或x ﹣y ＝0. 7. （浦东2018期末7）如果21x y =⎧⎨=-⎩是方程22mx y xy +=的一个解，那么m=______．【答案】34-； 【解析】解：把方程的解21x y =⎧⎨=-⎩代入方程22mx y xy +=，可得4m+1=-2，∴4m=-3，解得m=34-.8. (奉贤2018期末12)某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x ，那么可列方程：______ 【答案】100（1+x ）2=179；【解析】解：设平均每次涨价的百分比为x ，那么可列方程： 100（1+x ）2=179． 故答案为：100（1+x ）2=179． 9.（浦东一署2018期中14）一项工程．乙队先单独做2天后，再由甲乙两队合作10天就能完成．已知乙队单独完成此工程比甲单独完成此工程少用5天．设甲队单独完成此工程需要x 天，那么根据题意可列出方程______． 【答案】121015x x+=- 【解析】解：设甲队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需（x-5）天． 由题意，得121015x x +=-，故答案为：121015x x+=-．10.（浦东四署2019期中13）一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车列车平均速度每小时快105千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，如果设高铁的平均速度是x 千米/小时，则根据题意可列方程： .【答案】131813183105x x-=-；【解析】高铁所用时间为1318x ，动车所用时间1318105x -，因为高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，故得131813183105x x-=-.11.（崇明2018期中20）甲、乙二人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成，若两人合作，则8天可以完成，设甲单独工作x 天完成，列方程得 .【答案】88112x x +=+； 【解析】甲的工作效率为1x ，乙的工作效率为112x +，因为合作8天完成，故得88112x x +=+.12．（闵行2018期末13）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，那么根据题意，列出的方程为 ． 【答案】220(120%)(1)11.56x --=；【解析】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x ，有题意，得：220(120%)(1)11.56x --=． 三、解答题13.（金山2018期中21）解方程组：22312230x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②. 【答案】121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=，即300x y x y -=+=或，所以原方程组可化为：312312300x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得：121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以原方程组的解为121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.14. （黄浦2018期中20）解方程组：231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①②.【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩；【解析】解：由②得：y =7+3x ③，把③代入①得：3x （7+3x ）-（7+3x ）2=14，解得：x =-3，把x =-3代入③得：y =-2，所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩.15．（浦东四署2018期中21）解方程组：225602x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②【答案】121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩；【解析】解法1：由①得：(2)(3)0x y x y ++=，2030x y x y ∴+=+=或，故原方程组可化为203022x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，分别解这两个方程组，得121243,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩. 解法2：由②得2y x =-③，把③代入①得225(2)6(2)0x x x x +-+-=，整理，得27120x x -+=，解得1234x x ==，，当13x =时，11y =-；当24x =时，22y =-；所以原方程组的解为121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩.16. （杨浦2019期中22）解方程组：2223441x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②. 【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩； 【解析】解：由方程②得：21x y -=±，因此原方程组可以化成新的方程组：23232121x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩或，解这两个方程组得：2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以原方程组的解为：2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩.17. （浦东2018期末20）解方程组：223820x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩.【答案】16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或；【解析】解：∵x2+xy-2y2=（x+2y ）（x-y ），∴原方程组可化为：3838200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解这两个方程组得原方程组的解为：16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或．18. (长宁2018期末20)解方程组：22211x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩； 【解析】解：由②得x =y +1③， 把③代入①得：22(1)(1)21y y y y +-+-=，整理得：220y y -=，解得102y y ==或，将0y =代入③得1x =，将12y =代入③得32x =，故得2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，故原方程组的解为2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩. 19．（闵行2018期末20）解方程组：2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩.【答案】0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩；【解析】解：2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩①②， 由①得：2(2)9x y +=，23x y ∴+=±；由②得：00x x y =+=或；所以原方程组可化为：23232323,,,0000x y x y x y x y x x y x x y +=+=+=-+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=+==+=⎩⎩⎩⎩，解之得：0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩.所以原方程组的解为：0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．20.（静安2019期末21）解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩①②. 【答案与解析】解：由①得：300x y x y -=+=或，原方程组化为22223033x y x y x xy y x xy y -=+=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩或， 解这两个方程组得原方程组的解为：1234341232132111,,,11212177x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩.21.（浦东四署2019期末21）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②，由①得20x y -=或x-3y=0，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以原方程组的角为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.22. （黄浦2018期中22）某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑，这笔钱大家平均承担．实际捐款时又多了2名教师，因为购买电脑所需的总费用不变，于是每人少捐90元．问共有多少人参加捐款？原计划每人捐款多少元？． 【答案】10人，450元；【解析】解：设实际共有x 人参加捐款，那么原来有（x -2）人参加捐款，实际每人捐款（元），原计划每人捐款（元），依据题意，得，即，两边同乘以x （x -2），再整理，得 x 2-2x -80=0，解得 x 1=10，x 2=-8，经检验，x 1=10，x 2=-8都是原方程的根，但人数不能为负数，所以取x =10，当x =10时，（元），答：共有10人参加捐款，原计划每人捐款450元．23. （黄浦2018期中25）如图，x 轴表示一条东西方向的道路，y 轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发，小丽沿着x 轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P 点处，古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米．问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？【答案】（1）149；（2）1110；【解析】解：（1）设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），∵PA=PB，∴（2-4x）2+32=22+（3-5x）2，解得149x=或（舍弃），答：经过149小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．（2）设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F．∵B，P，A共线，∴∠BPE=∠PAF，∴tan∠BPE=tan∠PAF，∴533242yy-=-，解得：1110y=或（舍去），答：离开路口经过1110小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上24. （杨浦2019期中26）甲、乙两城间的铁路路程为1600千米，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/小时，请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再提速。
二元二次方程组专项解析练习[优质文档]
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二元二次方程组专项解析训练【例题精选】例1 解方程组解:由,得——————,xy,,322 把,代入,，得， ()()yyy,，，,,343212 整理得 yy,,,120( ？,,,yy34,12把代入,，得 y,,3x,,6;1x,1 把y,4代入,，得( 2x,,6,x,1,,, ？原方程组的解为,,y,,3;y,4.,,小结:由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入消元法解，当求出一个未知数的值后，一定要代入到二元一次方程中去求另一个未知数的值(例2 解方程组——————, 解法一由,得 yx,,2622 将,代入,，得 xxxx,,，,,5266260()()218,1538720xx,，,即 ,x,2,4x,,,15 ？原方程组的解为 ,,y,2,6181,,y,.xx,,4, 解得 112,5,5解法二由,得()()xyxy,,,230x,4y,2, 把代入,得11 xyxy,,,,2030或186xy,. 把,代入,得2255 原方程组可化为两个二元一次方程组:26xy,,,26xy,,,,, ,,xy,,20,xy,,30.,,18,x,,2,4x,,,15 ？原方程组的解为,,y,2,61,,y,.1,5,例3 解方程组113,x 解法一由,得 , y,224113(),113,113,xxxx,,2 把,代入,，得 x,，4，,x2?,,20.,,,,222 2421270xx,，,. 整理得9 ？,,xx3,.124把x,3代入,，得y,1, 11917 把x代入,，得y,. ,22849,x,,2,3,x,,,14 ？原方程组的解为 ,,y,1;171,,y,.2,8,解法二方程,可化为2()(),xyxy,，,,,2220即()(),xyxy,，,,,22210？,，,,,,xyxy220210,.于是原方程组可化为xy,，,220,xy,,,210,,, 和,,32110xy，,,;32110xy，,,.,,9,x,,2,x,3,,,14 分别解得 ,,y,1;171,,y,.2,8,例4 解方程组解析:此题可用代入法解，对于这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把xy,xy,看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求(2zz,，,7120xy, 解:设原方程组的是一元二次方程的两个根，解这个方程，得zz,,34,.或x,3,x,4,,,12 所以原方程组的解是 ,,y,4;y,3.12,,2 小结:(1)设原方程组的的两个根，所设的一xyzz、是一元二次方程,，,7120元二次方程的未知数(这里是这样才能避免字母的混乱;zmnxy，也可以是…应异于,,),,x,3,,1 (2)当解出一元二次方程的解得出原方程组的解zz,,34,后，12,y,4,1, x,4,,2这是两个对称解，解这类题时，注意别丢掉一组解( ,y,3.2,例5 解方程组解析:先将分式方程组化为整式方程组解:由,得， , 65100xxyy，,,,由,得， , 2360xy,，,解由,、,组成的二元二次方程组36y, 由,得 x, , 2236yyy,36,6?，,,,5100y 将,代入, 2214 解得yy,,,4,. 123将y,4代入,，x,3 1114y,,x,,10将代入,， 223x,,10,,2x,3,,,1经检验原方程组的解为; .14,,y,4.y,,1,2,3,例6 解方程组解析:首先要将第,个方程化为有理方程(解:由,得xy,，,20 ,2xxyxy,，,，,250 由,得 ,xy,，,20, 于是原方程组变为 ,2xxyxy,，,，,250,x,3, 解这个方程组，得 ,y,5.,x,3, 经检验，原方程组的解为 ,y,5.,小结:方程组中含有分式方程或无理方程，要注意验根(例7 甲、乙两辆汽车在A、B两地间相向而行，甲车比乙车每小时快10千米，若甲车比乙车晚出发40分钟，两车在两地中点处相遇;若两车同时出发，经过3小时两车相遇后又相距25.2千米，求乙车速度及两地距离(解析:甲车速度=乙车速度+10;甲走AB距离的一半所用时间比乙走AB距离一半2所用的时间少40分钟，即甲走AB一半所用的时间乙走AB一半所用的时间，利,,3用这一关系可列一个方程(另外根据题目中: 甲、乙两车同时相向出发3小时，则两车相遇后又相距25.2千米，可得:3×(甲速+乙速)=AB距离+25.2(解:设乙车速度为x千米/小时，两地距离为y千米，依题意得:由,得 , yx,，648.2 由,得 , 220150xxy，,,2xx,,,35360 把,代入,得解这个方程得xx,,,361,. 12把x,36代入,得y,2208. 11把x,,1代入,得y,,12. 22？经检验方程组的解为36,1,x,x,,,,12,,y,2208.;y,,12..12,,x,,1,,2 但不合题意，舍去( ,y,,12..2,答:乙的速度为36千米/小时，AB两地间的距离为220.8千米(22,xyxy,，,,01(),例8 解方程组 ,22,xyxy，，，,2312(),解析:在这个方程组里，因为方程(1)的右边是零，而左边又可以分解为()(),xyxy,，，1所以方程(1)可以化为两个一次方程，从而原方程组可以转化成两个第一种类型的二元二次方程组(解:由(1)得 ()()xyxy,，，,10所以 xyxy,,，，,010,或因此，原方程组可以化为两个方程组xy,,0,xy，，,10,,, ,,2222xyxy，，，,231,xyxy，，，,231,,,解这个两个方程组，得原方程组的解为,,,，533,,5333,x,x,x,,,,,123,x,1,,,,,4424 ,,,,1y,,2.,，533,,5334,,,,y,;y,;;y,312,,,2,44,,22,xxyy，,,201(),例9 解方程组 ,22,xxyyxy，，,,,,2202(),解法一由()得120()(),xyxy,，,？,,，,xyxy020,.原方程组可化为xy,,0,xy，,20,,, ,,2222xxyyxy，，,,,,220;xxyyxy，，,,,,220.,,1,x,,,2,x,1,x,4,x,,2,,,,,1234 解这两个方程组，得原方程组的解为 ,,,,y,1;1y,,2;y,1.134,,,,y,,;2,2,解法二由()得120()(),xyxy,，,？,,，,xyxy020,.由()得2210()(),xyxy，,，，,？，,,，，,xyxy2010,.？原方程组可化为xy,,0,xy,,0,xy，,20,xy，,20,,,,,,,,,xy，,,20;xy，，,10;xy，,,20;xy，，,10.,,,,解得原方程组的解为1,x,,,2,x,1,x,4,x,,2,,,,,1234 ,,,,y,1;1y,,2;y,1.134,,,,y,,;2,2, 以下例10——例13为补充的类型(2,xxy，,3281,(),例10 解方程组 ,2,272xyy,,.(),解析:这个方程组的两个方程都不含未知数的一次项，消去常数项后就可得到形如22的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就axbxycy，，,0可以求得原方程组的解(解:(1),(2)×4，得22xxyy,，,540,()().xyxy,,,40？,,,,xyxy040,.或因此，原方程组可化为两个方程组xy,,0,xy,,40,,, ,,2227xyy,,,27xyy,,.,,解这两个方程组，得原方程组的解为,,x,,4,x,7,x,,7,x,4,,,,,4123 ,,,,y,1;y,,1。
八年级数学下册期中期末专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(考点串讲)(解析版)
专题05 二元二次方程组与列方程（组）解应用题【考点剖析】 1.二元二次方程22(1)(2)(3)0(,,,,,(,42)2,ax bxy cy dx ey f a b c d f b c e a ⎧⎪⎪⎪+++++=⎨⎪⎪⎪⎩定义：仅含有未知数，并且含的最高次数是的方程；理解：；含有两个未知数；含有最高次数是.一般形式：是常数，且至少有一个不为零)解：能使二元二次方程左右两边两个未知数的项整式整式方程未知数的项一的值相等的的值.对未知数①②③ 2.二元二次方程组2(1)(2)⎧⎪⎨⎪⎩定义：仅含有，各方程是，并且含有的 最高次数是的；二元二次方程组的解:方程组中所含各方两个未知数整式方程未知数的项程的解.方程组公共 3.二元二次方程组的解法⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩基本思想二元二次方程组的解法题型一基本题型题型二(1)解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次. (2)题型一：解方程组⎧⎨⎩；二元二次方二方程程.元一次即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.方法：代入消元法；一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原方程组的解.(3)题型二：解方程组⎧⎨⎩二元二次方程；二元二次方程.（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解. 4.列方程（组）解应用题()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩审题；；；一般：解方程；；作答列解决问题设元列方程步骤检验一元二次方程高次方程分式方程；列方程组解应用题列简单的解决问题；列解决问题列解决问题列解决问题无理方程方程组①②③④⑤⑥.【典例分析】例题1（金山2018期中3）下列方程中，有实数解的是（ ） A.111x x x =--； B.220x +=；10=； D.220x y +=.【答案】D ；【解析】A 、解得1x =是增根，因此A 无实数根；B 、无实数根；C 、无实数根；D 、方程的解为00x y =⎧⎨=⎩；因此答案选D.例题2 （杨浦2019期中9）将方程组：22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 转化成两个二元一次方程组分别是和 . 【答案】22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩； 【解析】22225601x xy y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩①②，由①得(2)(3)0x y x y --=，所以2030x y x y -=-=或，故原方程组可化为22222030,11x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩. 例题3（青浦2018期末20）解方程组：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩. 【答案】16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或；【解析】解：22860x y x xy y +=-⎧⎨+-=⎩①②，由②，得（x+3y ）（x ﹣2y ）＝0，即x+3y ＝0或x ﹣2y ＝0，所以原方程组可转化为：883020x y x y x y x y +=-+=-⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解方程组，得16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或.所以原方程组的解为：16123483x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或. 例题4 (奉贤2018期末19)解方程组：2242x y x y xy-=⎧⎨-=⎩. 【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：2242x y x y xy -=⎧⎨-=⎩①②由①得：x =4+y ③，把③代入②得：22(4)2(4)y y y y +-=+，解得：y 1=4，y 2=-2，代入③得：当y 1=4时，x 1=8，当y 2=-2时，x 2=2，所以原方程组的解为：121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩． 例题5（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树. 由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】40棵；【解析】解：设有的计划每天种x 棵，根据题意得：10001000510x x -=+，去分母整理，得： 21020000x x +-=， 解得1240,50x x ==-，经检验：1240,50x x ==-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去. 答：原计划每天种树40棵. 【真题训练】 一、选择题1.（松江2018期中16）下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A.12x y x y +=⎧⎨-=⎩；B.22231310xy x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩； C.21x y xy -=⎧⎨=⎩； D.313x y xy y x ⎧+=⎨=-⎩.【答案】C ；【解析】根据“二元二次方程组”定义满足三个条件：含两个未知数，最高次数是2次，整式方程；故A 、B 、D 不是，C 是二元二次方程组；因此答案选C.2. （黄浦2018期中5）方程组222x y x y k⎧-=⎨-=⎩有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.3k ≥；B.3k =；C.3k <；D.3k ≤. 【答案】D ；【解析】解：222x y x y k ⎧-=⎨-=⎩①②，由②得，y=2x-k ③，把③代入①，得x 2-（2x-k ）=2，∴△=4-4（k-2）≥0，解得k≤3，故选：D ．3. （浦东2018期中5）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为121222,44x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）A.68x y xy +=⎧⎨=⎩； B. 26x y y x +=-⎧⎨=⎩； C.22220y x x y =⎧⎨+=⎩； D. 22820xy x y =⎧⎨+=⎩【答案】C【解析】解：A 、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； B 、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意； C 、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意； D 、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意； 故选：C ．4．（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x 米，那么根据题意可列出方程（ ） A.500500215x x -=+； B. 500500215x x -=+； C. 500500215x x -=-； D. 500500215x x-=-. 【答案】A ；【解答】解：设原计划每天修x 米，则实际每天修（x+15）米．由题意，知原计划用的时间为500x天，实际用的时间为：50015x +天，故所列方程为：500500215x x -=+．故选：A ．二、填空题5.（崇明2018期中17）已知22(4)0x y -+=，则2x y += .【答案】16；【解析】由已知22(4)0x y -+=可得：x=4，y=0，因此224016x y +=+=.6．（浦东四署2018期中11）将二元二次方程2221x xy y -+=化为二个二元一次方程为 ． 【答案】1,x y -=1x y -=-；【解析】由2221x xy y -+=得2()10x y --=即(1)(1)0x y x y ---+=，所以1,x y -=1x y -=-. 7. （松江2019期中11）已知12x y =⎧⎨=⎩是二元二次方程2221ax y -=的一个解，那么的值是_____________．【答案】9【解析】解：将12x y =⎧⎨=⎩代入方程2221ax y -=得，a ﹣8=1，解得a=9.故答案为：9.8.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，依题决可列方程： . 【答案】2180(1%)300x +=；【解析】180元的商品连续两次提价x%后为2180(1%)x +，故得方程2180(1%)300x +=.9.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务. 设实际每天载x 棵桂花树，则可列出方程为 . 【答案】969642x x-=-； 【解析】原计划时间为：962x -，实际上所用时间为96x，因为实际提前4天完成，故得方程为：969642x x -=-.10．（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则可列方程为________________ 【答案】140140+=1421x x +； 【解析】依题李强读前一半时间为140x ，读后一半的时间为14021x +，故140140+=1421x x +. 11．（青浦2018期末16）某学校准备用2400元购买一批学习用品，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，若用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，问：这两种学习用品的单价分别是多少元？若设乙种学习用品的单价为x 元，那么根据题意可列方程 ．【答案】240024002002x x-=-; 【解析】解：设乙种学习用品的单价为x 元，则甲种学习用品单价为（x ﹣2）元，根据题意，得240024002002x x -=-．故答案为240024002002x x-=-． 12．（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到100万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x ，那么列出的方程是 ． 【答案】2144(1)100x -=；【解答】．解：设平均每月产值降低的百分率是x ，则2月份的产值为144(1)x -万元，3月份的产值为2144(1)x -万元，根据题意，得2144(1)100x -=．故答案为2144(1)100x -=．三、解答题13.（崇明2018期中23）2223230x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 【解析】解：由②得：(3)()0x y x y -+=即300x y x y -=+=或，原方程组可变为：2323300x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解之得111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩.故原方程组的解为111191,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩； 14.（松江2018期中23）解方程组：222302x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩；【解析】解：由②得：2x y =+③，将③代入①得：22(2)2(2)30y y y +-+-=，整理得：21y =，解得11y y ==-或，将1y =代入②得3x =，将1y =-代入②得1x =. 所以原方程组的解为121231,11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. （此题也可以将①分解成两个二元一次方程，然后与②联立得两个二元一次方程组去求解，过程略）15.（浦东一署2018期中23）解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩.【答案】312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩； 【解析】解：由原方程组变形得：222200,88x y x y x y x y +=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩，解得121222,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩，343422,22x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．故原方程组的解为：312412342222,,,2222x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-===-⎩⎩⎩⎩.16.（浦东四署2019期中22）解方程组：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩. 【答案】121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：221444y x x xy y =+⎧⎨-+=⎩①②，把①代入②得：224(1)4(1)4x x x x -+++=， 整理得240x x +=，解得40x x =-=或，当4x =-时，3y =-；当0x =时，1y =，所以原方程组的解为121240,31x x y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.17. （松江2019期中22）解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩； 【解析】解：由①得2030x y x y -=-=或，所以原方程组可化为：20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得：121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ . 所以原方程组的解为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. 18．（普陀2018期末21）解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩.【答案】1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩【解析】解：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由方程①，得3x y =，将3x y =代入②，得22(3)20y y +=，整理，得22y =，解这个方程，得12y y ==，将1y 代入3x y =，得1x =，将2y =代入3x y =，得2x =-1212x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩．19．（静安2018期末20）解方程组：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②.【答案】34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩【解答】解：2222320344x xy y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩①②由①，得（x ﹣y ）（x ﹣2y ）＝0，∴x ﹣y ＝0，x ﹣2y ＝0故原方程组可以变为2222020344344x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或，解这两个方程组得1212x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3434x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩所以原方程组的解为：34121234x x x x y y y y ⎧⎧==⎪⎪⎧⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎪⎪⎩⎩20.（嘉定2019期末20）解方程组222,20x y x xy y -=⎧⎨--=⎩①②【答案】121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：由②得：(2)()0x y x y -+=，得200x y x y -=+=或，所以原方程可以化为：22020x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或，解之得121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.所以原方程组的解为121214,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩.21．（长宁2019期末20）解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 【答案】121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；【解析】解：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩①②，由②得：（x +y ）（x ﹣2y ）＝0，x +y ＝0或x ﹣2y ＝0，原方程组可变形为：22200x y x y x y x y -=--=-⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或，解得原方程的解：121241,21x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩．22.（松江2018期中25）迎新晚会需要气球3000个，八一班同学自愿承担吹气球的工作. 后来，有10名同学因排练节目没有参加吹气球，这样，其他同学平均每人吹的气球比原计划多15个，问这个班有多少名同学？【答案】50名；【解析】解：设这个班有x 名同学，根据题意，得300030001510x x =--，整理得：21020000x x --=，解得1250,40x x ==-，经检验：1250,40x x ==-都是原方程的根，但240x =-不符合题意，舍去. 答：这个班有50名同学.23. （黄浦2018期中23）某厂接到一份订单，某运动会开幕式需要720面彩旗，后来由于情况紧急，要求生产总量比原计划增加20%，且必须提前2天完成生产任务，该厂迅速增加人员，实际每天比原计划多生产36面彩旗．请问该厂实际每天生产多少面彩旗？ 提示：本题可以设该厂实际每天生产x 面彩旗，（直接设元），也可设实际完成生产任务需要x 天（间接设元），也可以同时设两个未知数列方程组，其中有些方法的运算量较小，请同学们在比较中体会． 【答案】108顶；【解析】解：设该厂实际需要x 天完成生产任务，由题意列方程得：-=36，解得：x 1=8，x 2=-6（不合题意，舍去），经检验，x =8是原方程的根，则720×（1+20%）÷8=108（顶）．答：该厂实际每天生产帐篷108顶．24.（浦东四署2018期中24）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料？ 【答案】甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料；【解析】解：设甲店进了x 箱饮料，则乙店进了（25 - x ）箱饮料． 根据题意，得100010003501025x x+-=-．两边同乘以x （25 - x ），并整理，得226025000x x -+=，解得10250x x ==或，经检验，10250x x ==或是原方程的解．但当x = 250时，25 –x = -225 < 0，不合题意，所以，取x = 10． 于是，25 –x = 15． 答：甲、乙两店分别进了10箱和15箱饮料．25. （松江2019期中24）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 路线，全程约60千米.小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟.若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度. 【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时，10060152060x x -=+，去分母整理得：214048000x x -+=，解得6080x x ==或，经检验：6080x x ==或都是原方程的根，但是60x =，不符合题意，应舍去.答： 小王开车返回时的平均速度是80千米/小时.26．（普陀2018期末23）某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次又用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？ 【答案】10；【解析】解：设第一次买了x 本资料，根据题意，得：120240420x x -=+，整理得：x 2+50x ﹣600＝0． 解得：x 1＝﹣60，x 2＝10，经检验：它们都是方程的根，但x 1＝﹣60不符合题意，舍去，答：第一次买了10本资料．27. (奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间． 【答案】4；【解析】 解：设复兴号用时x 小时，则和谐号用时（x +1）小时，根据题意得：=70+，解得：x =4或x =-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．28.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园. 已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了30分钟，结果两人同时到达公园. 问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？ 【答案】10千米/小时，8千米/小时； 【解析】设甲平均每小时行驶x 千米，则20200.52x x-=-，化简为：22800x x --= 解得：128,10x x =-=，经12-8,10x x ==检验：不符合题意，舍去是原方程的解.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.29．（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A 线路，全程约100千米，返回时走B 线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x 千米/小时（x ≥70），则小王开车去时的平均速度为（x +20）千米/小时，根据题意得：10060152060x x -=+，解得：x ＝80或x ＝60（舍去），经检验：x ＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时．。
二元二次方程应用题
二元二次方程应用题（20道）1.一辆火车从站点A出发，以每小时60公里的速度行驶，另一辆火车从站点B出发，以每小时80公里的速度行驶。
两辆火车从彼此相距600公里的地方同时出发。
多少小时后两辆火车会相遇？2.一块矩形田地的长度比宽度多6米，其面积为504平方米。
求该田地的长度和宽度各是多少米？3.一辆汽车和一辆摩托车同时从相同的地点出发，以不同的速度向北行驶。
汽车的速度是摩托车速度的2倍，摩托车的速度是30公里/小时。
如果两车相遇时，汽车行驶了4小时，求汽车的速度。
4.某商店销售两种类型的电视机。
第一种电视机售价2000元，第二种电视机售价1500元。
某天共售出10台电视机，总销售额为18000元。
求销售了多少台第一种电视机和第二种电视机？5.一辆船从A地向B地驶去，船的速度是每小时30公里。
一辆摩托车从B地向A地驶去，速度是每小时50公里。
两车同时出发，相距200公里。
多少小时后两车会相遇？6.某数的十位与个位的数字之和是8，如果将十位与个位数字对调后所得数比原数大18，求原数是多少？7.一家工厂生产两种类型的产品，甲产品每单位售价12元，乙产品每单位售价8元。
某天共售出1500单位产品，总销售额为16000元。
求售出了多少单位的甲产品和乙产品？8.某项投资分为A、B两种方式，A方式的年收益率为8%，B方式的年收益率为6%。
已知总投资额为5000元，投资一年后，两种方式共获得利息320元。
求分别以A方式和B 方式投资的金额各是多少？9.一架飞机从A地向B地起飞，速度是每小时400公里。
另一架飞机从B地向A地起飞，速度是每小时500公里。
两架飞机同时起飞，相距3000公里。
多少小时后两架飞机会相遇？10.一辆卡车和一辆小轿车同时从相同的地点出发，沿同一路线向南行驶。
卡车的速度是小轿车速度的1.5倍，小轿车的速度是每小时80公里。
如果两车相遇时，卡车行驶了5小时，求卡车的速度。
11.某数的十位与个位数字之和是12，如果将十位与个位数字对调后所得数比原数小54，求原数是多少？12.一台搅拌机生产甲、乙两种产品。
第06讲无理方程二元二次方程组列方程解应用题(十大题型)(原卷版)
第06讲 无理方程 二元二次方程组 列方程解应用题（十大题型）1、理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念.2、经历探索无理方程解法的过程，领会无理方程“有理化”的化归思想.3、知道解无理方程的一般步骤，知道解无理方程必须验根，并掌握验根的方法.4、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；5、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；6、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；7、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；8、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.知识点一、无理方程方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 要点：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．知识点二、有理方程整式方程和分式方程统称为有理方程.知识点三、代数方程有理方程和无理方程统称为代数方程. 要点：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.知识点四、解无理方程的一般步骤1.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 要点：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：2.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 要点：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。
知识点五、代数方程分类代数方程知识点六、二元二次方程有理方程整式方程分式方程无理方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 知识点七、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.知识点八、二元二次方程组的解法1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2、因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey知识点九、方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点：4．已知方程组把（2）代入（1）得到正确的方程是（）A．x2+2（1﹣x）=1）2322 yx xy x）2018 xy xxy y）531 x y x y）23135y xx y1）解方程组：⎧⎨⎩。
二元二次方程应用题(一)
二元二次方程应用题(一)二元二次方程的应用题飞行轨迹问题•问题描述：某飞机在空中作直线运动，运动轨迹满足二元二次方程。
已知该飞机在起飞后2秒时位于坐标(0,0)，8秒时位于坐标(10,10)，求该飞机的运动轨迹方程。
•解题思路：设飞机的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)4a+2b+c=0 （起飞后2秒时位于坐标(0,0)）2)64a+8b+c=10 （8秒时位于坐标(10,10)）3)a≠0 （飞机作直线运动）解上述方程组即可得到飞机的运动轨迹方程。
炮弹射击问题•问题描述：一颗炮弹以抛物线的形式射出，炮弹的运动轨迹满足二元二次方程。
已知炮弹的射程为1000米，射程中心为原点，炮弹在射程末端的高度为200米，求该炮弹的运动轨迹方程。
•解题思路：设炮弹的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(500)^2+b(500)+c （射程中心为原点）2)200=a(1000)^2+b(1000)+c （射程末端的高度为200米）3)a≠0 （炮弹以抛物线的形式射出）解上述方程组即可得到炮弹的运动轨迹方程。
平抛运动问题•问题描述：一个物体以抛物线的形式在空中做平抛运动，物体的运动轨迹满足二元二次方程。
已知物体在水平方向上的位移为100米，最高点的高度为50米，求该物体的运动轨迹方程。
•解题思路：设物体的运动轨迹方程为y=ax^2+bx+c，根据已知条件可得到三个方程：1)0=a(50)^2+b(50)+c （最高点的高度为50米）2)0=a(-50)^2+b(-50)+c （水平方向上的位移为100米）3)a≠0 （物体以抛物线的形式做平抛运动）解上述方程组即可得到物体的运动轨迹方程。
以上是三个关于二元二次方程的应用题。
通过解题思路，我们可以根据已知条件建立方程组，然后解方程组得到所需的运动轨迹方程。
这些问题涉及实际生活中的运动轨迹，对于理解和应用二元二次方程有一定的帮助。
典型二元二次方程与应用题
典型二元二次方程与应用题(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二元二次方程组解法与应用题教学目标1.理解二元二次方程的概念2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组4.会列代数方程(组)解简单的应用题教学重难点1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解知识梳理二元二次方程和方程组仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项.使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法应用题在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.二元二次方程与方程组1.将y 2x 1=-代入方程22y 2x 2-=后,整理成关于x 的整式方程是__01422=--x x ___2.已知22m 2x y 5x 4y 20⎧+=⎪⎨+=⎪⎩是关于x,y 的二元二次方程组,则m= 或13.将方程22x 2xy 3y 0+-=分解为两个二元一次方程为_x+3y=0__与__x-y=0___4.二元二次方程组(x 2y)(2x y)0(x 3y 1)(2x y 1)0--=⎧⎨-++-=⎩的解有___4_____组.5.已知03x y =⎧⎨=⎩和11x y =-⎧⎨=⎩是二元二次方程220x y dx ey +++=的两个解,则d=____2____, e=___0____6.下列不是二元二次方程组的是（ D ）A. 2235024x y x xy y --=⎧⎨-+=⎩B. 211x y -=⎧⎪=C. 03x y xy +=⎧⎨=⎩D. 222x y ⎧-=⎪=7.若方程组2y 2x k y 4x =+⎧⎨=⎩有实数解,则k 的取值范围是 ( C ) A. 1k 2≥ B. k 2≥ C. 1k 2≤ D. k 2≤8.解下列方程(代入法)(1)2x y 4x 2xy 3=+⎧⎨+=⎩ (2)22x 2y 1x 4y 5-=⎧⎨-=⎩(3)xy 6x y 5=-⎧⎨+=⎩ (4)x y 11xy 18-=⎧⎨=-⎩(5)22x y 13x y 5⎧+=⎨+=⎩ (6)22x 4y x 3y 102x y 10⎧-++-=⎨--=⎩(7)2y 2x 3y x =+⎧⎨=⎩ (8)2x 2y 1x 2y 50-=⎧⎨+-=⎩9.解下列方程(因式分解法)(1)22x 3xy 10y 0xy 2x 5y 100⎧--=⎨--+=⎩ (2)2222x y 0x 4xy 4y 9⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(3)2222x 5xy 6y 0x 6xy 9y 1⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ (4)222x 2xy y 1(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(5)22x y 0xy 2(x y)30⎧-=⎨+++=⎩ (6)222x 2xy y 9(x y)3(x y)100⎧-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩(7)222x y 1(x y)2(x y)30⎧-=⎪⎨----=⎪⎩ (8)2222x y 2(x y)x xy y 1⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩10.求满足条件22x 2xy 3y 0--=的x,y 的值11.若方程组 2y 4x 2y 10y x a ⎧--+=⎨=+⎩无实数解,求a 的取值范围;12.若方程组 2x 2ay 5y x 6a⎧+=⎨-=⎩ 有正整数解,求a 的值13.已知关于x,y 的方程组22x y 2x 0kx y k 0⎧+-=⎨--=⎩,求证:不论k 取何值,方程组总有2组不同的实数解能力训练解下列方程(1)22x y13xy6⎧+=⎨=-⎩(2)22x xy y19xy6⎧++=⎨=⎩(3)222x2xy y2xy y4⎧--=⎪⎨+=⎪⎩(4)2222x5xy6y284x3xy y7⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(5)22222x2xy4y x19x xy2y y9⎧+++=⎪⎨++-=⎪⎩(6)222x15xy3y2x9y985xy y3y21⎧--++=⎪⎨+-=-⎪⎩应用题1.师徒两人检修一条煤气管道,师傅单独完成需要10个小时,徒弟单独完成需要15个小时.师傅先开始检修,1小时后,让徒弟一起参加,还需要多少时间可以完成2.一艘轮船航行于两码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时,已知该船在静水中每小时航行12千米,求水流速度和两码头之间的路程.3.一块长方形铁皮的长是宽的2倍,四角各截去一个正方形,制成高是5cm,容积是500立方厘米的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.4.某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额带到万元.求3月份到5月份营业额的平均月增长率20%5.直角三角形的周长为2+斜边上的中线长为1.求这个直角三角形的三条边长课后作业1.下列方程组中,没有实数解的是 ( )A. 22x y 5x y 13+=⎧⎨+=⎩B. x y 5xy 7+=-⎧⎨=⎩C. 22x y 5x y 17+=-⎧⎨+=⎩ D. x y 5xy 6+=⎧⎨=-⎩2.若222(23105)0x y y --++=,则x=______y=_______3.解下列方程(1)222x y 5x y 5+=⎧⎨+=⎩(2)x y 7xy 12+=⎧⎨=⎩(3)x y1xy12-=⎧⎨=⎩(4)2222x5xy6y0x y5⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩(5)2222x2xy y1 x3xy2y0⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩4.已知方程组2y nxy2x m⎧=⎨=+⎩(其中m,n均不为零)只有一组实数解.(1)试确定mn的值;(2)若n=4,试解这个方程组5.当m为何值时,方程组2644030y x ymx y⎧--+=⎨-+=⎩只有一组解,并求出此解.6.已知方程组22x y axy b⎧+=⎨=⎩的一组解是11x3y2=⎧⎨=-⎩,求它的其余解7.一件上衣原价每件500元,第一次降价后,销售甚慢,第二次降价的百分率是第一次的2倍,结果以每件240元的价格迅速售出,求每次降价的百分率.8.一个水池有甲乙两根进水管,单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时.若甲管先开放10小时,然后乙管加入注水,6小时可把水池注满,求单独开放甲管需几小时注满水池9.学校原有长方形操场的面积为4000平方米,调整校园布局时,一边增长了10米,另一边减少了10米,操场面积增加了200平方米,求原有操场两边的长.。
二元二次方程应用题
二元二次方程应用题一、引言二元二次方程是高中数学中的重要内容，它可以应用于各种实际问题的建模与求解。
在本文中，我们将深入探讨二元二次方程的应用，通过实例分析，了解如何将问题转化为数学模型，并运用二元二次方程求解。
二、音速与距离的关系2.1 实际问题描述假设飞行器以音速v飞行，并向下方发射一枚炮弹，炮弹经过t秒后击中地面。
已知飞行器与地面的垂直距离h为1000米，请问飞行器在何处放置才能使炮弹击中目标？2.2 建立模型我们可以根据物体运动的基本原理，构建如下模型： 1. 飞行器沿垂直方向上升的距离为vt，其中v为飞行器的速度，t为炮弹下落的时间。
2. 炮弹在垂直方向上自由落体运动，其下落距离为gt^2/2，其中g为重力加速度。
根据题意可知，飞行器与地面的垂直距离h为1000米。
根据模型，我们可以得到以下方程： vt = gt^2/2 + h2.3 求解二元二次方程将飞行器的速度v代入方程，我们可以得到二元二次方程： gt^2/2 - vt + h = 0解此方程可以得到炮弹下落的时间t。
2.4 实例分析假设飞行器的速度v为300米/秒，重力加速度g为10米/秒^2。
代入方程，我们可以得到： 5t^2 - 300t + 1000 = 0解此方程可以得到两个解，分别为t = 14.8秒和t = 3.2秒。
即炮弹在14.8秒和3.2秒时击中地面。
三、面积和周长的关系3.1 实际问题描述假设有一面积为S的矩形花坛，其宽度为x米，长度为y米。
我们知道花坛的面积与周长有一定的关系，请问如何选择长度和宽度，才能使花坛的周长最小？3.2 建立模型我们可以根据矩形的性质，构建如下模型： 1. 矩形的面积S为宽度和长度的乘积，即S = xy。
2. 矩形的周长C为宽度和长度的两倍之和，即C = 2(x + y)。
根据题意可知，花坛的面积S为已知量。
根据模型，我们可以得到以下方程： xy = S3.3 求解二元二次方程将花坛的面积S代入方程，我们可以得到二元二次方程： xy = S3.4 实例分析假设花坛的面积S为50平方米。
数学下册综合算式专项练习题解二元二次方程组
数学下册综合算式专项练习题解二元二次方程组解二元二次方程组的方法之一是代入法，即利用其中一个方程将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而得到一个关于一个未知数的一元二次方程，进而求解。
下面是一个具体的练习题及解答过程。
例题：已知方程组：① 2x + 3y = 7② x^2 - y^2 = 1求解方程组。
解析：根据代入法的思想，我们可以从①出发，将x表示成y的函数，然后代入②中，得到一个一元二次方程，进而求解。
步骤一：将①式中的x表示成y的函数。
由①，可得：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y)/2步骤二：将步骤一中得到的x代入②式中，得到一元二次方程。
将x = (7 - 3y)/2代入②，得：(7 - 3y)^2 - y^2 = 1步骤三：化简及求解一元二次方程。
对上述方程进行展开和化简：49 - 42y + 9y^2 - y^2 = 18y^2 - 42y + 48 = 0这是一个一元二次方程，可以使用求根公式解得y的值。
根据一元二次方程的求解公式：y = (-b ± √(b^2 - 4ac))/ (2a)对方程8y^2 - 42y + 48 = 0，可知：a = 8，b = -42，c = 48带入求解公式，得：y = (-(-42) ± √((-42)^2 - 4 * 8 * 48))/(2 * 8)y = (42 ± √(1764 - 1536))/16y = (42 ± √228)/16由此可得，y的取值为：y1 = (42 + √228)/16y2 = (42 - √228)/16步骤四：代入y的值求解x的值。
将y1和y2的值代入步骤一中得到的x = (7 - 3y)/2中，可分别求得对应的x的值。
当y = (42 + √228)/16时，代入x = (7 - 3y)/2，得：x = (7 - 3((42 + √228)/16))/2化简上述表达式，得到x1的值。
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列二元二次方程组解应用题（1课时）
教学目标
1．能以二元二次方程组为工具，解决一些生活中的实际问题. 2．能列方程组求解方程和解释结果的实际意义和合理性. 3．能根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效模型.
教学重点及难点
根据具体实际问题中的数量关系列出方程组，运用二元二次方程组解决实际问题.；运用方程组解决实际问题的关键在于正确分析问题中的数量关系.
教学过程
一、情景引入
思考探究
通过实际问题列得下列方程组
(x-400)(y+10)=12000 (1)
｛
xy=12000+4000 (2)
可以先把方程（1）展开，将方程（2）“_____”代入，消去_____ 项，得到一次方程，实现了_______.
二、学习新课：
例题1 某起重机厂四月份生产A型起重机25台,B型起重机若干台.
从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.
分析： 题中的等量关系是:
五月份 A 型起重机产量=B 型起重机产量 × 2
六月份 A 型起重机产量+B 型起重机产量 =54(台)
解 设四月份生产B 型起重机X 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.
根据题意 ，可列方程组
()()()()⎩
⎨⎧=⨯++++=+542312532125x y x y （解题过程见课件） ()()()()⎩
⎨⎧=⨯++++=+5423125321252x y x y 例题2 某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?
分析： 根据计划总共能获利润12000元可得等量关系是: 计划销售运动衣的套数×计划每套运动衣的利润=12000元 根据实际总利润比计划多4000元可得等量关系是:
实际销售运动衣的套数×实际每套运动衣的利润=12000+4000
解 设实际销售运动衣X 套,实际每套运动衣的利润是y 元.
根据题意 ，可列方程组
()()⎩
⎨⎧+==+-4001200012000
10400xy y x （解题过程见课件） 三、巩固练习
教材61页 练习21.7(5) 1、2、3
四、课堂小结
在列方程解应用题中，要抓住关键词语，也可以利用画图列表等方法帮助分析等量关系，解决实际问题.
五、作业布置
作业：练习部分
教学设计说明
这节课是方程应用题的继续和发展性学习.根据课程标准的要求，以三维目标制定教学目标，由浅入深，通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，通过师生互动充分体会这个过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决生活中的实际问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.。