等几何分析
几何分析知识点总结
几何分析知识点总结几何分析作为数学的一个分支，研究了空间中的形状、大小、相对位置、角度等几何关系。
它涉及到平面几何、立体几何和向量几何等内容，在学校的数学课程中占据着重要的地位。
几何分析知识点的掌握不仅可以帮助我们理解空间中的各种几何图形和关系，还可以培养我们的逻辑思维能力和空间想象能力。
本文将对几何分析的主要知识点进行总结，包括平面几何的基本概念、平面几何的基本定理、立体几何的基本概念、立体几何的基本定理和向量几何的基本概念等内容，以便读者更全面地了解几何分析知识点。
一、平面几何的基本概念1. 点、线、面：几何学研究的基本对象是点、线和面。
点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的概念。
线是由无限多个点连在一起形成的，没有宽度和高度，只有长度的概念。
面是由无限多个线段组成的，具有长度和宽度，但没有高度的概念。
2. 角：角是由两条线段的公共端点组成的，它分为内角和外角。
内角是两条交叉线之间的角，外角是两条平行线之间的角。
角的大小由其两条边的位置关系决定，一般以角度来度量。
3. 同位角：同位角是两条平行线被一条截线切成的相对应的角，对应角相等。
4. 直线和平面：直线是无限延伸的，没有宽度的几何图形，平面是无限延伸的，没有厚度的几何图形。
5. 多边形：多边形是由若干条直线段首尾相接形成的有限几何图形。
二、平面几何的基本定理1. 同位角定理：如果两条平行线被一条截线切割，那么同位角是相等的。
2. 内角和定理：同一直线上的两个内角的和等于180度。
3. 角平分线定理：如果一条线段同时平分一个角的两边，那么这条线段就是这个角的平分线。
4. 垂直平分线定理：垂直平分线就是直角的判定条件。
5. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。
6. 余角定理：如果两角的和等于一个直角的话，这两角互为余角。
三、立体几何的基本概念1. 立体几何：立体几何是研究三维空间中的几何关系的一门学科，它涉及到了长方体、正方体、球体、圆柱体、圆锥体等几何图形的性质和关系。
基于等几何分析的结构形状优化设计研究
短 设 计 周 期 ，显 著 地 提 高 设 计 质 量 ，而 且 还 可 以
解决 传 统设 计方 法无 法解 决 的复 杂设 计 问题 。 结 构 优 化 设 计 以数 学 、 力 学 、 计 算 机 及 其 他
工 程 学 科 为 理 论 基 础 ，其 核 心 支 撑 包 括 参 数 化 几
等 可 以直 接 使 用Ｉ ＧＥ Ｓ 、Ｓ Ｔ Ｅ Ｐ 等格式的Ｃ ＡＤ几 何
模 型 数 据 ，但 是 对 于 复 杂 的 工 业 产 品 或 工 程 结 构 ，在 进 行 有 限 元 计 算 分 析 之 前 ，必 须 对 结 构 几 何 特 征 进 行 一 定 的 简化 （ 例 如 去 除 孔 洞 或 键 槽 等 特 征 ） ， 另外 复 杂 结 构 的有 限 元 网格 划 分 也 是 十 分 费 时 费 力 的 ，经 验 表 明 ，有 限 元 建 模 工 作 量 占 整个 有限元分 析工作量 的７ ０ ％～ ８ ０ ％左 右 。因 此 ，如何 解 决ＣＡ Ｄ 和Ｃ ＡＥ 系统 模 型异 构 问题 ，实
程实例考察了该方法应用于结构形状优化设计的有效性，结果表明基于等几何分析的结构形 状 优化是 可行的 ，对克服形 状优化 中边界可 动 、网格 扭曲和 重建等难 题提供 了有力的支 持 ，
为 产品设计、分析和优化过程的集成统 一提供 了新 的选择 ，供工程技术人员参考。 关键词 ： 形 状优 化设计 ；等几何分析 ；有限元法 ； 非均匀有理 Ｂ 样条 中国分类号 ：Ｒ ４ ９ ６ 文献 标识码 ：Ａ 文章 编号 ：１ ０ ０ ９ －０ １ ３ ４ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ２ （ 上） －０ ０ ８ ７ － ０ ４
最 优 的结 构 性 能 ， 包 括 强 度 、 刚 度及 稳 定性 要 求 等 。今 天 单 纯依 靠 工程 设 计 人 员 经 验 和 辅 助试 验 的传 统 设 计 方 式 巳难 以胜 任 诸 如航 空航 天器 、船 舶 、车 辆 、精 密机 械 和 建 筑 物 等 复 杂部 件 及 大型 工 程 设 计 问题 。从 二 十 世 纪 ６ ０ 年 代 ， 随 着 优化 理 论 的发 展 ，优 化 技 术 开 始 引入 结构 设 计 领 域 ，使 其 逐 渐 从 传 统 的被 动 校 验 设 计 转 变 为 主 动 改善 设 计 ，并 且 由可 行 性 达 到 最 优 化 。实 践 证 明 ，将 最 优 化 理 论 和 方 法 应 用 于 设 计 ，不 仅 可 以大 大 地 缩
高等数学教材解析几何
高等数学教材解析几何解析几何是高等数学中的一门重要学科，它是研究平面和空间中几何图形的性质和变换规律的数学分支。
作为高等数学教材的内容之一，解析几何既深刻又具体地描述了几何问题，并通过数学方法进行分析和求解。
本文将对高等数学教材中的解析几何进行详细解析，为读者解释其基本概念、常用方法以及应用场景。
1. 直线与平面在解析几何中，直线和平面是两个基本的几何要素。
直线可以通过方程、向量等方式表示，而平面则可以由点和法向量确定。
在教材中，我们学习了直线和平面的基本性质，并能够应用它们解决实际问题，比如求直线与平面的交点、直线在平面上的投影等。
2. 向量与坐标向量是解析几何的重要工具，它可以表示从一个点到另一个点的位移。
在高等数学教材中，我们学习了向量的定义、运算法则以及坐标表示方法。
通过向量，我们可以更加直观地理解几何图形之间的关系，并可以通过向量的性质进行证明和推导。
3. 直线与曲线的方程直线和曲线在解析几何中经常出现，并且可以通过数学方程进行表示。
对于直线而言，我们学习了直线的点斜式、截距式等不同的表示方法，并能够根据给定条件求出直线的方程。
而对于曲线，我们掌握了圆、椭圆、抛物线、双曲线等常见曲线的方程，并能够分析其性质和特点。
4. 空间几何与立体图形除了平面几何外，解析几何还包括了空间几何的内容。
在高等数学教材中，我们学习了空间中点、直线、平面的位置关系以及其方程表示。
此外，我们还研究了立体图形的性质，比如球、圆柱、锥体等，并能够通过解析几何的知识进行计算和推导。
5. 解析几何的应用解析几何不仅仅是一门抽象的数学学科，它也有着广泛的应用场景。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，解析几何都扮演着重要的角色。
通过解析几何的方法，我们可以分析和解决各种实际问题，比如物体的运动轨迹、工程结构的设计等。
总结起来，解析几何是高等数学教材中的一门重要学科，它通过数学方法来研究和解决几何问题。
通过学习解析几何，我们可以更加深入地理解几何图形的性质和变换规律，并能够将其应用于实际问题的求解中。
等几何分析
等几何分析研究进展摘要等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。
等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。
本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。
关键字等几何分析有限元 NURBS 发展现状1 前言有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。
有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。
这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。
不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。
首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。
Sandia国家实验室曾做过一项统计，在汽车、航空航天和造船行业，大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备[1]。
其次，网格划分使得应力不连续，且在处理大变形问题中，单元的过度扭曲导致精度严重损失。
第三，网格划分工具对几何形状的识别精度较低，特别是划分复杂高级曲面时无法精确划分，容易划分出大变形网格。
再者，网格划分是建立在几何模型的基础上，若几何模型发生改变，那么须得重新划分网格，花费大量时间。
最后，在处理网格畸变、网格移动如动态裂纹扩展、冲压成型等问题时需要进行网格重构，不仅浪费计算时间，还会损害计算精度[2]。
高等几何中的解析法
高等几何中的解析法在数学中，解析法是一种研究问题和解决问题的方法，它是以模型和符号来表达几何形状和结构的数学技术。
解析法在高等几何中具有重要的意义，它包括一系列的方法、策略和技巧，帮助我们解决复杂的数学难题。
解析法在高等几何中的应用有很多，它可以帮助理解和描述几何形状，比如圆、椭圆、抛物线等。
它还可以用来解决位置问题，如如何绘制一个向量和定义平面坐标系。
解析法也可以用来确定几何形状的位置和特性，比如圆曲线、线段和点，以及几何形状间的关系，例如线段和点间的交点和相交线段。
此外，解析法还可以用来解决几何的空间问题，如轮廓的三维表示，三维空间内的点和线段的定位，以及从三维空间到二维平面的转换。
解析法在解决几何问题上显得非常有用，因为它开发出了更多工具来描述几何形状。
解析法在高等几何中的使用非常多，它可以帮助研究者解决几何问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。
让我们来看一下解析法在高等几何中的一些实际应用：1.解析法来描述几何形状是最常用的方法，例如用轴对称的方程描述圆形，用平移和旋转的变换描述椭圆。
解析法也可以用来描述图形的属性，如圆的半径，点的坐标，线段的斜率等。
2.析法可以帮助我们解决和预测几何形状的位置，比如计算两点间的距离，求解矩阵的行列式，以及求解平行线和平行四边形等。
3.析法在几何形状变换中也很重要，比如用它计算几何形状的中心，或者对图形进行旋转、缩放和变换等。
4.析法在几何图形分析中也非常有用，比如衡量直线斜率、求解线段的交点和构建平面图形等。
解析法在高等几何中的运用十分普遍，它的应用范围从描述几何形状到几何图形分析，再到变换，都有它的存在。
它的运用不仅可以帮助数学研究者解决问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。
因此，解析法在高等几何中具有非常重要的意义。
解析几何求解技巧
解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。
解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。
一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。
它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。
根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。
2. 确定几何图形上的点的坐标。
根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。
可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。
3. 转化为代数方程。
根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。
这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。
4. 求解代数方程。
根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。
5. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。
它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。
具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。
建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。
常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。
2. 利用向量的性质和运算推导条件。
根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。
3. 利用向量之间的关系求解。
根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。
4. 检验结果。
将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。
如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。
三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。
它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。
等几何分析与网格生成学术研讨
2019年第3期国际学术动态等几何分析与网格生成学术研讨大连理工大学国际信息与软件学院2018年8月3~5日，由大连理工大学发起并主办的等几何分析与网格生成国际会议在海创大连科技交流中心举办。
等几何分析的主要思想是将几何建模和物理仿真的数据结构统一成样条表示，具有颠覆有限元法的潜力，这一新兴学科已成为当前计算机辅助设计、计算力学的研究前沿和热点。
同时，等几何分析需要将物理实体用体样条来表示，将实体转换成体样条需要借助于结构化的六面体网格。
等几何分析和网格生成紧密相关。
此次会议为等几何分析与网格生成的学术和技术交流提供了高端便利的平台，旨在促进国内等几何分析与网格生成领域的发展及工业应用，是国内举办的首次等几何分析与网格生成的国际会议。
在罗钟铉教授、顾险峰教授、斯杭教授和雷娜教授的努力下，会议成功邀请了美国三院院士Thomas Hughes ，T 样条之父Thomas Sederberg 等7位嘉宾在会上作特邀报告；同时，来自国内外的30余位专家学者也分享了自己最新的研究成果；所有参会人员进行了热烈而广泛的交流。
会议接收英文论文摘要34篇，参会人员112人，其中外宾8人。
此次会议结合了当前学术界和产业界的流行研究方向，针对等几何分析与网格生成领域中出现的理论和算法问题，包括但不限于等几何分析的新理论与新方法、新型样条建模理论、拓扑优化与形状分析、算法设计和分析、计算域参数化、四边形与六面体网格自动化生成以及网格奇异点的分析与控制等。
8月3日，在大连理工大学国际信息与软件学院雷娜教授的主持下，远在美国的大连理工大学校长助理、会议主席罗钟铉发来信件表达了对与会人员的欢迎和对会议的支持。
纽约州立大学石溪分校顾险峰教授讲述了等几何分析和网格生成的意义和前景。
为了细化研究领域，促进参会人员的充分交流，会议分为“等几何分析”、“样条”、“参数化”、“网格化”和“应用”等部分。
每个部分均邀请国内的知名教授进行主持，有苏志勋教授、刘利刚教授、杨迪雄教授和徐岗教授等人。
几何分析的技巧
几何分析的技巧几何分析是一门研究几何图形的学科，通过运用几何变换、应用数学等方法来解决几何问题。
在进行几何分析时，我们可以运用一些技巧来帮助我们更好地理解和解决问题。
下面我将介绍几个几何分析的常用技巧。
1. 图形分解：当我们遇到一个复杂的几何图形时，常常可以将其分解成简单的几何图形，从而更好地理解和分析。
例如，我们可以将一个三角形分解成三个小三角形，或者将一个多边形分解成多个三角形，这样可以减少问题的复杂度，并且可以运用各种几何性质解决问题。
2. 平移、旋转和缩放：这是常用的几何变换，通过这些变换可以改变图形的位置、方向和大小，从而更好地观察和研究图形的性质。
平移是通过保持图形的大小和形状不变，将其整体移动到另一个位置；旋转是围绕某个点或轴进行旋转；缩放是通过改变图形的大小来观察其性质。
3. 利用对称性：对称性是几何分析中非常重要的一个思想，可以大大简化问题的分析和求解过程。
例如，当我们面对一个对称图形时，可以利用对称性来得到图形的一些性质，从而减少繁琐的计算。
此外，还可以利用对称性来构造辅助线或辅助图形，帮助我们解决问题。
4. 应用数学方法：几何分析与数学紧密相关，我们可以运用一些数学方法来解决几何问题。
例如，可以利用比例关系、代数方程、三角函数等进行分析和求解。
此外，还可以利用数学推理和证明方法来严谨地分析几何问题。
5. 利用已知条件：在进行几何分析时，我们通常会有一些已知条件，例如已知的边长、角度等。
我们可以利用这些已知条件来推导其他未知的关系，从而求解几何问题。
例如，根据已知的相似三角形关系可以求解其他未知的长度或角度。
6. 构造辅助线或辅助图形：当遇到一个复杂的几何问题时，我们可以通过构造一些辅助线或辅助图形来简化问题的分析和求解。
辅助线和辅助图形可以帮助我们得到一些更容易分析的几何关系，从而解决问题。
7. 思维的灵活转换：在进行几何分析时，我们需要具备一定的数学思维能力。
有时，一个问题可能看似没有解法，但通过灵活的思维方式，我们可以将问题转化成另一个等价的问题。
高等数学解析几何教材
高等数学解析几何教材高等数学解析几何是大学数学学科中的一门重要课程，主要涉及平面几何和空间几何的分析与推演。
它在培养学生的数学思维和几何观念方面起着重要的作用。
作为一门专业课程，高等数学解析几何的教材编写需要具备科学性、系统性和易读性，以便学生能够更好地理解和掌握其中的知识和技巧。
第一章：平面解析几何基础在高等数学解析几何的教材中，第一章通常是平面解析几何基础知识的讲解。
这一章主要包括平面直角坐标系、点、向量等基本概念的引入和讲解。
通过简洁明了的语言和图示，帮助学生建立起直角坐标系下的几何直观，并从点和向量的角度来理解平面上的几何问题。
第二章：直线与圆的解析几何第二章是高等数学解析几何教材中的重要章节之一，主要涵盖直线和圆的解析几何知识。
在这一章中，详细介绍了直线的方程和性质、直线的交点、直线的位置关系等内容；同时，还介绍了圆的方程和性质、圆与直线的位置关系等。
通过大量的例题和解题技巧的讲解，帮助学生掌握直线和圆的解析几何的基本概念和计算方法。
第三章：平面的参数方程与法线方程第三章是关于平面的参数方程与法线方程的讲解部分。
这一章主要介绍了平面的参数方程的表示方法、平面的位置关系、平面的交线等内容。
同时，通过数学证明和几何图形的分析，讲解了平面的法线方程与直线的夹角、平面的点到直线的距离等重要概念。
通过深入浅出的讲解和相关例题的练习，帮助学生理解和掌握平面的参数方程与法线方程的具体应用。
第四章：空间直线与空间曲面第四章主要涉及到空间直线与空间曲面的解析几何知识。
在这一章中，详细介绍了空间直线的方程、直线的位置关系和直线与平面的位置关系等内容。
同时，还介绍了空间曲面的方程、曲面的位置关系和曲面与平面的位置关系等。
通过逐步引入复杂的解析几何问题和大量的例题分析，帮助学生掌握空间直线与空间曲面的解析几何性质和计算方法。
第五章：空间直角坐标系与向量第五章是关于空间直角坐标系与向量的讲解部分。
这一章主要介绍了空间直角坐标系的建立和使用、空间向量的表示和运算等内容。
数学中的几何分析
数学中的几何分析几何分析（Geometric Analysis）是数学中的一个重要分支，它旨在将几何和分析两个领域相结合，以解决一系列的几何问题。
在几何分析中，我们运用了微积分、偏微分方程、变分法等分析工具，来研究和解决几何中的问题。
一、几何分析的基本概念几何分析主要研究的对象是曲率和变分。
曲率是描述曲线、曲面等几何体弯曲程度的量，而变分则是描述一类函数的特征性质。
几何分析通过对曲率和变分的深入研究，揭示了几何结构的各种性质和规律。
二、微分几何微分几何是几何分析中的一个重要分支，它主要研究的是欧几里得空间中的曲线和曲面。
微分几何通过引入切向量、法向量、切空间和法空间等概念，并结合微分方程和微分形式等工具，研究了曲线和曲面的性质。
微分几何的重要应用之一是研究流形的拓扑性质和几何结构。
三、偏微分方程的应用几何分析中广泛运用了偏微分方程的理论和方法。
偏微分方程是研究描述多变量函数的各种物理现象和几何问题的重要工具。
通过建立适当的偏微分方程模型，并运用变分法、极值原理和最大值原理等分析方法，我们可以研究和解决各种几何问题，如最小曲面问题、曲率流问题等。
四、变分方法变分方法是几何分析中一种常用的工具。
它通过定义适当的泛函，将几何问题转化为最值问题，并通过极值原理和最大值原理等方法，得到问题的最优解。
变分方法在几何分析中被广泛运用，例如研究曲面的最小性质、形状优化问题等。
五、数学物理中的几何分析几何分析在数学物理中有着广泛的应用。
通过运用几何分析的理论和方法，我们可以研究和解决诸如引力场方程、热方程、波动方程等物理问题。
几何分析在理论物理、计算物理等领域起着重要的作用。
六、几何分析的前沿领域几何分析作为一个活跃的研究领域，不断有新的问题和方法涌现。
在现代几何分析中，研究者们致力于解决一些传统几何问题的猜想和难题，如黎曼猜想、庞加莱猜想等。
同时，几何分析也与其他学科相结合，涌现出了新的跨学科研究领域，如几何拓扑、几何流体力学等。
三维声腔模态的等几何计算分析
几何分析高考知识点归纳
几何分析高考知识点归纳几何分析是高中数学中的一项重要内容，也是高考中的常见考点之一。
它主要涉及图形的性质、几何关系和变换等内容。
在这篇文章中，我们将对几何分析的一些重要知识点进行归纳总结，帮助大家更好地复习和应对高考。
1. 直线和平面的性质在几何分析中，我们首先需要了解直线和平面的性质。
直线的性质包括：直线的定义、直线上的点以及直线的斜率和方程等。
平面的性质包括：平面的定义、平面上的点以及平面的方程等。
在解题时，我们需要根据已知条件判断直线和平面的性质，并利用这些性质进行推理和证明。
2. 角的性质和测量几何分析还涉及到角的性质和测量。
角的性质包括：角的定义、角的分类以及角的性质等。
例如，相邻角、对顶角、补角和余角等都是常见的角的性质。
角的测量则是通过角度来表示角的大小，常用的单位有度和弧度。
在解题时，我们可以利用角的性质和测量来推导和证明结论，并进行角度的计算。
3. 三角形的性质和判定三角形是几何分析中的重要图形之一。
三角形的性质包括：三角形的定义、三角形的分类以及三角形的性质等。
例如，等腰三角形、等边三角形、直角三角形和全等三角形等都是常见的三角形的性质。
三角形的判定则是通过已知条件来确定一个三角形是否存在或具有某些性质。
常用的判定方法有SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）和HL（斜边-直角）等。
在解题时，我们需要灵活运用三角形的性质和判定方法，进行证明和计算。
4. 圆的性质和判定除了三角形，圆也是几何分析中的重要图形之一。
圆的性质包括：圆的定义、圆的元素以及圆的性质等。
例如，圆心角、半径、切线和弦等都是常见的圆的性质。
圆的判定则是通过已知条件来确定一个图形是否是圆或与圆有特定的关系。
常用的判定方法有切线判定、弦判定和角度判定等。
在解题时，我们需要掌握圆的性质和判定方法，进行推理和计算。
5. 向量的性质和运算在几何分析中，向量是一项重要的内容。
向量的性质包括：向量的定义、向量的数量表示以及向量的运算等。
等几何分析
等几何分析研究进展摘要等几何分析是一种刚刚兴起的数值分析方法，对现有的CAE产生了很大的影响。
等几何分析法的出现于发展，缓解和消除了困扰CAE多年的难题，开启了一条结合设计、分析和优化等三方面的途径。
本文阐述了等几何分析产生的背景、意义和相关的定义，还介绍了等几何分析从首先提出到现如今的10年发展历程，包括基础理论体系的发展与完善，新型样条的构建，网格细分方法的研究，计算效率的提高，以及其他方面（如边界条件的施加、接触分析、结构优化等）的进展，展示了等几何分析相对于基于拉格朗日插值的有限元法的优势。
关键字等几何分析有限元NURBS 发展现状1 前言有限元分析是目前应用最广泛的一种数值分析方法，且由于结合了能够高速运算的计算机，有限元法得到了大多数人的支持。
有限元法是将连续的物体离散成有限个单元，单元之间通过节点连接在一起，并将节点处的未知量作为基本未知量，使得无限自由度问题转换成了有限自由度的问题，在利用力学原理近似的求解出未知量。
这一突出优点使得有限元法得到广泛应用，各类有限元软件也层出不穷，如ABAQUS、ANSYS、LS-DYNA、HyperMesh等。
不过这一突出的优点也大大的限制了有限元的进一步发展。
首先，有限元法求得的结果的精确度与网格的细化程度有关，网格越细，则计算结果的精度越高，而计算时间和计算所需的内存也将随之增加，而以目前的水平来看，还无法做到超高精度的细化网格。
Sandia国家实验室曾做过一项统计，在汽车、航空航天和造船行业，大约全部分析时间的80%用于网格划分及划分前的几何模型准备[1]。
其次，网格划分使得应力不连续，且在处理大变形问题中，单元的过度扭曲导致精度严重损失。
第三，网格划分工具对几何形状的识别精度较低，特别是划分复杂高级曲面时无法精确划分，容易划分出大变形网格。
再者，网格划分是建立在几何模型的基础上，若几何模型发生改变，那么须得重新划分网格，花费大量时间。
最后，在处理网格畸变、网格移动如动态裂纹扩展、冲压成型等问题时需要进行网格重构，不仅浪费计算时间，还会损害计算精度[2]。
等几何分析 相场
等几何分析相场等几何分析，又称用几何概念分析，是一种以几何概念替代代数概念，从而获得更直观的结果的分析方法。
它把问题分成一系列的几何问题，以便解决复杂的数学问题。
因此，几何分析引起了许多人的兴趣，并且在科学研究中发挥着重要作用。
几何分析的应用范围很广，其中最重要的一个应用就是用来解决相场的问题，即用空间正交函数描述电场和磁场的强度和分布。
相场是指传统物理问题，即电磁波在介质中传播时，通过它们与电磁场相互作用所产生的场。
必要的假定是，电磁场不受任何介质的影响，并且它可以以空间正交的函数表示。
传统的物理理论要求电磁场的场强可以用空间正交的函数表示，而用几何分析解决这一问题，就可以求出电磁场的场强和分布。
运用几何分析解决相场问题，可以分析电磁场强度和分布，从而求出它们的分布特征，这是传统物理理论无法解决的问题。
因此，等几何分析方法对研究相场有着重要的意义。
首先，几何分析方法可以给出电磁场强度的具体表达式，这在传统物理理论中是不可能实现的。
其次，几何分析方法还可以分析某一特定介质中的电磁场分布特征，从而给出更准确的结论。
等几何分析方法还可以用来解决其它物理问题，比如解释质量积分的质量分布，估算光的传播速度等。
这些都是传统物理理论无法解决的问题，只有通过几何分析方法才能得到准确的结果。
此外，用几何分析方法也可以解决无线电传播中的问题，研究电磁场的冲击波分布等。
最后，用几何分析方法还可以开展更深入的研究，比如宇宙物质和能量的膨胀问题等。
总之，几何分析方法，特别是用几何分析解决相场问题，在科学研究中发挥着重要的作用。
几何分析方法可以提供更准确的结论和更有益的结果，并且它可以用来解决传统物理理论无法解决的问题。
未来，等几何分析方法将更加普及，在科学研究中发挥更为重要的作用。
面向等几何分析的几何计算
面向等几何分析的几何计算几何计算是指使用数学方法来确定几何形状的属性与关系的过程。
在几何分析中，几何计算起着非常重要的作用，不仅可以帮助我们理解几何形状的性质，还可以指导我们解决实际问题。
本文将介绍一些面向等几何分析的几何计算方法，包括长度、角度、面积与体积的计算，以及类比与相似的计算，供读者参考。
一、长度的计算长度是指距离，在几何分析中，长度的计算是一个基础问题。
对于任何一段线段，我们都可以通过测量其两个端点之间的距离来得出其长度。
但是，在实际的几何分析过程中，往往需要计算复杂形状中每一个线段的长度。
此时，我们可以利用勾股定理、余弦定理和正弦定理等方法来计算。
1. 勾股定理勾股定理是一个非常基础但又十分实用的几何计算方法。
对于一个直角三角形，勾股定理告诉我们：直角边的平方等于另外两条边的平方和。
即$a^2+b^2=c^2$，其中$c$为斜边的长度，$a$和$b$分别为两直角边的长度。
例如，在一个直角三角形ABC中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=a=3$，$AC=b=4$，求$AB$的长度。
根据勾股定理可以得到：$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
因此，直角三角形ABC中，$AB=5$。
2. 余弦定理余弦定理也是一个常用的几何计算方法。
对于一个三角形ABC，余弦定理告诉我们：一条边的平方等于另外两条边的平方和与这两条边之间夹角的余弦值的积的两倍。
即$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，其中$a$为夹角为$A$的边长，$b$和$c$分别为该边夹角$A$的两侧的边长。
例如，在一个三角形ABC中，$\angle A=60^{\circ}$，$BC=a=5$，$AC=b=6$，$AB=c=7$，求$\angle B$的大小。
根据余弦定理可以得到：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=6^2+7^2-2\times6\times7\cos B$。
数学几何分析
数学几何分析数学几何分析是数学领域的一个重要分支，主要研究几何形状与数学函数之间的关系。
它是数学分析与几何学的结合，通过数学符号和推理方法来描述和解释几何问题。
本文将对数学几何分析的基本概念、原理和应用进行详细介绍。
一、基本概念1. 几何形状：几何形状是指空间中的点、线、面和体等。
在几何分析中，通过数学方式来描述和研究各种形状。
例如，直线的方程通常用一元一次方程表示，圆的方程通常用二元二次方程表示。
2. 数学函数：数学函数是将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
在几何分析中，函数常常用来描述几何形状的性质。
例如，平面上的一个曲线可以用函数的表达式来表示。
二、原理和方法1. 解析几何：解析几何是利用解析方法解决几何问题的学科。
它通过将几何问题转化为代数问题，利用代数运算和方程求解的方法来解决几何问题。
例如，通过将直线的方程和圆的方程联立，可以求解直线与圆的交点。
2. 微积分：微积分是数学中的一门重要学科，用于研究变化和运动的过程。
在几何分析中，微积分的概念和方法常用于描述和分析几何形状的变化和曲线的特性。
例如，通过对曲线的斜率进行微分，可以找到曲线的最高点或最低点。
3. 向量分析：向量是几何分析中的重要工具，它可以用来表示空间中的位置和方向。
向量分析主要研究向量的运算和性质，通过向量的分解和组合，可以描述几何形状的变化和运动。
例如，通过向量的叉乘可以得到曲面的法向量。
4. 极坐标和球坐标：极坐标和球坐标是几何分析中常用的坐标系。
它们可以把几何形状转化为几何函数的方程，用来描述和分析几何形状的性质。
例如，通过极坐标可以方便地描述圆的方程和曲线的形状。
三、应用领域1. 物理学：几何分析在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述和分析物体的运动轨迹和力学性质方面。
例如，利用几何分析可以精确地计算天体的轨道、地球的形状和运动等。
2. 工程学：几何分析在工程学中起着重要的作用，特别是在计算机图形学、建筑设计和机械制造等领域。
高中数学知识点解析几何
高中数学知识点解析几何解析几何是普及率极高的数学学科，属于高中数学的重要部分，是理学、工科、社科等领域的基础，同时也是实际问题的研究基础。
解析几何的方法和思想对于高中数学学生来说是非常重要的，本文将对高中数学知识点解析几何进行解析。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何的基础，含有两个坐标轴：水平的x 轴和垂直的 y 轴，两轴相交于原点 O，构成四个象限。
平面直角坐标系可以用于描述平面上的点、线、圆、多边形等几何图形。
二、二维向量向量是一个物理量，既有大小又有方向，可以与平面上的点对应。
向量的表示方式可以是端点坐标的差异，也可以通过公式来求解。
设向量 A 的坐标为(x1,y1)，向量 B 的坐标为(x2,y2)，则其差向量的表示方法为 C=(x2-x1,y2-y1)。
向量的长度称为模，即向量 C 的模为|C|=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
三、直线的方程直线的方程有三种类型，即一般式、斜率截距式和点斜式。
一般式方程是 Ax+By+C=0，其中 A, B, C 是常数；斜率截距式方程是y=kx+b，其中k 斜率，b 是截距；点斜式方程是y-y1=k(x-x1)，其中 (x1,y1) 是直线上的一点，k 斜率。
四、圆的方程圆的方程是 (x-a)²+(y-b)²=r²，其中 (a,b) 是圆心， r 是半径。
通过圆的方程可以求得圆的周长和面积，也可以用于圆的位置、交点等相关计算。
五、直线和圆的交点求直线和圆的交点通常可以通过联立直线和圆的方程来解。
设直线的方程为 y=mx+n，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，则可得二元一次方程组：(x-a)²+(mx+n-b)²=r²解得x=(-m²±√[m²-(b-n)²-r²+a²])/(1+m²)y=mx+n通过以上公式可以求得直线和圆的交点。
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Let no man ignorant of geometry enter here One may argue the merits of NURBS versus other computational geometry technologies, but their preeminence in engineering design is indisputable. As such, they were the natural starting point for isogeometric analysis and their use in an analysis setting is the focus of this book.Unlike in standard finite element analysis, the B-spline parameter space is local to patches rather than elements.参数空间:设（X1，……，Xn)为来自总体X的样本，（x1,…xn）为相应的样本值，θ是总体分布的未知参数,θ∈Θ，Θ表示θ的取值范围,称Θ为参数空间.基函数：已知一个节点向量，则B样条曲线的基函数递归地定义为分段常数（p=0）：对于p=1，2，3，…，它们被定义为：这就是Cox-de递归公式。
对于一个统一的节点向量应用式（2.1）和（2.2）所得的结果显示为图2.3。
对于当p=0和p=1时的B样条曲线函数，与普通的分段常量和线性有限元函数有一样的结果。
二次B样条曲线基函数虽然和有限元中的不一样。
可以从图2.3获得一些很重要的特征除了这些函数是齐次的。
首先最主要的是对一个单位分解，即对任意的，有：其次在整个区间内基函数的值都是非负的（见第6章），这就涉及到发展集中质量的方案。
The third major feature to note is that each pth order function has p −1 continuous derivatives across the element boundaries (i.e., across the knots). This feature has many extremely important implications for the use of splines as a basis for analysis and is one of the most distinctive features of isogeometric analysis. Lastly, the support ofthe B-spline functions of order p is always p + 1 knot spans. It is a common misconception that this increasing support of the functions leads to increased bandwidth in a numerical method. This simply is not the case. As we see in Figure 2.4 for cubics, the total number of functions that any given function shares support with (including itself) is 2p + 1 regardless of whether we are using an FEA basis or B-splines.对不均匀节点向量的利用比对均匀节点向量的利用，让我们获得过更加丰富的性质。
图2.5显示了一个二次曲线的例子。
对于开放的，不一致的节点向量Note that the basis functions are interpolatory at the ends of the interval and also at ξ= 4, the location of a repeated knot. At this repeated knot, only C0-continuity is attained. Elsewhere, the functions are C1-continuous. In general, basisfunctions of order p have p −mi continuous derivatives across knot ξi , where mi is the multiplicity of the value of ξi in the knot vector. When the multiplicity of a knot value is exactly p, the basis is interpolatory at that knot. When the multiplicity is p + 1, the basis becomes discontinuousand the patch boundary is formed.This relationship between continuity and the multiplicity of the knots is even more apparent in Figure 2.6, in which we have a fourth order curve with differing levels of continuity at every element boundary. At the first internal element boundary, ξ= 1, the knot value appears only once in the knot vector, and so we have the maximum level of continuity possible: C p−1 = C3. At each subsequent internal knot value, the multiplicity is increased by one, and so the number of continuous derivatives is decreased by one. Note, as before, that when a knotvalue is repeated p times, in this case at ξ= 4, the C0 basis is interpolatory. The basis is also interpolatory at the boundary of the domain, where the open knot vector demands that the first and last knot value be repeated p + 1 times. The result is “C−1”-continuity, that is, the basis is fully discontinuous, naturally terminating the domain.Observe that increasing the multiplicities of the knot values seems to have decreased the support of some of the functions. This is not a contradiction with the trend we observed previously as the support of each function Ni,p still begins at knot ξi and ends at ξi+p+1. That is, the support of each function is still p + 1 knot spans, but some of those knot spans have zero measure due to the repetition of knot values. Surprisingly, none of this has any effect on the bandwidth.Building functions from non-uniform knot vectors下面来看重复节点值在基函数的定义过程中是怎样发挥作用的，让我们明确地根据节点向量来构建二次基函数。
从i=1开始，我们有：当我们知道之间不存在的值。
因此。
The confusion comes from a desire to associate knots with the nodes of classical FEA.Derivatives of B-spline basis functionsFor a given polynomial order p and knot vector the derivative (导数)of thebasis function is given byWe can generalize this to higher derivatives by simply differentiating each side of (2.12) to get当重复节点出现时这些系数的分母就为零了，这时这个系数就定义为0。
Efficient algorithms for thesecalculations can be found in Piegl and Tiller, 1997.2.1.3 B-spline 几何图形B样条曲线：R维中的B样条曲线通过与B样条基函数的一个线性结合而构成，就像古典的FEA一样。
基函数中向量值的系数就是控制点。
这些和有限元中坐标节点是一样的，因为他们是基函数的系数，but thenon-interpolatory nature of the basis does not lead to a concrete interpretation of the control point values.给定n个基函数，相应的控制点一个分段线性B样条曲线是：B样条曲面给定一个control net（控制网）多项式次数是p和q，节点向量是和一个张量积的B样条曲面被定义为：这里的都是次数分别为p和q的单变量B样条曲线基函数，各自相应的节点向量分别是。